第五章 信号的变换
信号与系统-第5章
第5 章非周期信号实频域分析本章内容傅里叶变换傅里叶变换的概念典型非周期信号的频谱傅里叶变换的性质线性性质，时移性质，频移性质，尺度变换性质，对称性，卷积定理，时域微分积分特性，频域微分积分特性，调制特性非周期信号作用下的系统分析傅里叶变换非周期信号f(T F(jω)∫+∞∞−−=tet f F td )()j (j ωωωωπωd )j (21)(j teF t f ∫+∞=傅里叶反变换=说明：F∫∞−2122d sin )(d cos )()(⎥⎤⎢⎡⎟⎞⎜⎛+⎟⎞⎜⎛=∫∫∞∞t t t f t t t f j F ωωω所以：∫∫∞∞−∞∞−−=tt t f t t t f d sin )(j d cos )(ωωπ2∫∞−π2∞−∫∫∞∞−+=ωωϕωωπd)](cos[)j(21tFωωϕωωd)](sin[)j(j∫∞++tF典型非周期信号的频谱矩形脉冲信号单边指数信号双边指数信号直流信号单位冲激信号符号信号矩形脉冲信号02τ−τ2τE矩形脉冲信号（续）F)(ωj单边指数信号0t单边指数信号（续）1双边指数信号0t双边指数信号（续）直流信号有些函数不满足绝对可积这一充分条件，如1，ε(t ) 等，但傅里叶变换却存在。
2202lim )j (ωααωα+=→F )0()0(≠=ωω因此，直流信号的频谱函数可能为一冲激函数，下面求其大小。
π2=1)(=t f )(∞<<−∞t 不满足绝对可积条件ωωααd 222∫∞∞−+)(d )(122αωαω∫∞∞−+=∞∞−=αωarctan 2直接用定义式不好求解，可用间接的方法。
如：直流信号的频谱函数可看作双边指数信号频谱在α→0时的极限:⎩⎨⎧∞+=0直流信号（续）所以，直流信号的频谱是：单位冲激信号=t fδ)(t)(t符号函数⎩⎨⎧<−>==0101)sgn()(t t t t f 构造函数：[=t11−0可积条件符号函数（续）[] F傅里叶变换对eαjω+本章内容傅里叶变换傅里叶变换的概念典型非周期信号的频谱傅里叶变换的性质线性性质，时移性质，频移性质，尺度变换性质，对称性，卷积定理，时域微分积分特性，频域微分积分特性，调制特性非周期信号作用下的系统分析傅里叶变换的性质线性性质时移性质频移性质尺度变换性质对称性卷积定理时域微分积分特性频域微分积分特性调制特性线性性质== [[解：22‖例：已知f(t), 求F(jω)‖-解： f (t) = f1(t) –g2(t)f1(t) = 1 ↔2πδ(ω)可知：g2(t) ↔2Sa(ω)∴F( jω) = 2πδ(ω) -2Sa(ω)由gτ(t) ↔τSa(ωτ/2)时移性质=[解：‖例求F (j ω)。
[理学]第五章2拉普拉斯变换的性质_OK
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0
2
t
解： 令
f t
f
2
t
2
则
f t 2 t 4 t 2 t
2
f
t
2
1
F
s
2
4
e
s 2
2 es
0
2
f ' t
2
2
1
2e
s 2
es
2
2
2 1
e
s 2
2
L
f
t
2
1 s2
Fs
2
1
e
2
s
. s2
2
0 2
f "
t
2
2
2
0
4
t
t
2
2
这是由于位于收敛边界的极点被抵消的缘故。
例5.2-1 求单边正弦函数 sin t t 和单边余 弦函数 cos t t 的象函数。
解：因为 sin t e jt e jt 2j
而es0t t 1
s s0
e jt e jt 2j
t
1 .
1
1.
1
2 j s j 2 j s j
s2 2
sin
t
t
s2
2
Res 0
3
同理因为
cos t e j t e j t
2
e j t e j t 2
t
s
1. 1
2 s j
1. 1
2 s j
s2
2
cos
t
t
s2
2
Res 0
sin t t
s2
2
信号与系统-第五章概要
1
(a)
2
1 4
f (k)
y(k 2)
D
y(k 1)
D
y(k)
1
(b)
2
1 4
(a) y(k) f (k) 1 y(k 1) 1 y(k 2)
2
4
y(k) 1 y(k 1) 1 y(k 2) f (k)
2
4
为二阶差分方程 (后向差分 )
(b) y(k 2) f (k) 1 y(k 1) 1 y(k)
N=5
N=6
(5) 复指数序列
f (k) e jk cos k j sin k
同正弦序列一样，若复指数序列是一个周期序列，则 2
应为整数或有理数，否则不是周期序列。
二. 序列的基本运算与波形变换 (1) 相加
f (k) f1(k) f2 (k)
f1 (k )
1
-3 -2 -1 0 1 2 3 k
或：y(k 1) (1－T ) y(k) Tf (k)
y(k 1) (1－T ) y(k ) Tf (k )
利用计算机来求解 微分方程就是根据 这一原理来实现的
y(0) (1T ) y(1) Tf (1) y(1) (1T ) y(0) Tf (0) y(2) (1T ) y(1) Tf (1)
一个周期的正弦信号，经抽样后得到的正弦序列是否
也是周期信号呢？ 周期序列的定义：
f (k N) f (k) N为序列的周期，只能为整数。
Asin[(k N ) ] Asin[k N ]
在什么情况下等于 Asin[k＋]? N 2 即N 2 / ，对于周期序列 N必须为整数
■ 当正弦序列的2 / 为整数时，该序列为周期序列，周期为N。
《信号、系统与数字信号处理》第五章 Z变换与离散系统的频域分析
同理
sinh0nun
1 2
e0n
e0n
un
1 z
2
z
e0
z z e0
z2
z sinh0 2z cosh0
1
z max e0 , e0
2、双边z变换的移位 n0 0
若 xn X z
RX
z
R X
则 x n n0 z n0 X z
RX
z
R X
证明： Z x n n0
n
xT t nT estdt
n
xnT esnT
n
令 z esT 引入新的复变量， 将上式写为
X s s xnT zn
n
此式是复变量 z 的函数（T 是常数），记为
X z xnzn
n
x 2z2 x 1z x0 x1z1 x2z2
Z xn 2un z2 X z z1x1 x 2
3） 若 xn 为因果序列 xnun X z
则 xn mun zm X z
m0
xn
mun
zm
X
z
m1 k 0
xk
z
k
例5-9 求周期序列的单边z变换
解： 周期序列 xn xn rN
m0
令 n 0 ~ N 1 的主值区序列为 x1 n ，
( z 1)
4、指数序列加权
若 xn X z RX z RX
则 an xn X a1z
RX a 1z RX
证：Z an xn an xnzn
n
xn a1z n X z / a
n
RX a 1z RX
a
R X
z
a
R X
利用
信号与系统讲义第五章1引言及无失真传输条件
无失真：时域波形传输不变
e(t )
e(t)
线性网络
t
H ( j)
R( j) KE( j)e jt0 R( j) E( j)H ( j)
r (t )
t t0
r(t) K e(t t0 )
H ( j) R( j) Ke jt0 E( j)
频域无失真条件： H ( j) Ke jt0
H( j) K () t0
r(t) e(t)*h(t)
R( j) E( j)H( j) H ( j) LT[h(t)] H ( j) R( j)
E( j)
对稳定系统
H (s)
H ( j) H (s) s j
系统函数还可以通过对微分方程取傅氏变换而得到
求矩形脉冲通过低通滤波器的响应
v1 (t )
E
t
0
输入信号波形
R
傅里叶变换在现代通信系统中的应用非常多，典 型的应用就是——滤波、调制与解调、抽样
频域系统函数——系统的频率响应函数H(jw)
稳定系统：s域系统函数→频域系统函数
频域系统函数H(jw)描述了系统对信号的各频率
成份的加权
傅氏变换将信号分解为无穷多项ejwt信号的叠加
S域系统函数H(s)描述系统对复指数信号est的加
5.3 无失真传输
信号通过系统传输，由于系统对信号中各频率分 量幅度产生不同程度的衰减，使得响应中各频率 分量的相对幅度产生变化，引起幅度失真。
同样地，由于系统对输入信号各频率分量产生的 相移，信号也会出现失真，称为相位失真
频域由相于移系→统时对域信延号时各频率分量产生的相移不与频
输 输
入 出率成yx正((t相t))比对，ss位iinn使((置响11t产t )应生的s1变)in各(化s频i2，nt率()而分2t引量起在2的) 时失间真轴上的
第五章 汽车测试技术
5. 1 电桥
• φ1，φ2，φ3，φ4—各桥臂电压与电流之间的相位差，称为阻抗角 • 纯电阻时，电压与电流同相位，φ=0;电感性阻抗，电压超前于电流， φ>0(纯电感φ=90o);电容性阻抗，电压滞后于电流，φ<0(纯电容小 =φ90o)。因此交流电桥的平衡条件为
•
上式表明，交流电桥平衡必须满足上述两个条件。前者称为交流电 桥模的平衡条件，后者称为相位平衡条件 • 对于纯电阻交流电桥，由于分布电感的影响较小，可以不予考虑， 而导线分布电容的影响较大，相当于每个桥臂上都并联了一个电容， 因此需调节电阻平衡和电容平衡。
• 交流电桥采用交流电源，电桥的四个桥臂可为电感、电容、电阻或其 组合，因此除了电阻外还包括有阻抗。如果阻抗、电流及电压都用复 数表示，则关于直流电桥的平衡关系式在交流电桥中也可适用，如图 5一3所示 • 电桥达到平衡时必须满足:
• 把上式中各复数用指数式表示，则为
• 式中Z01、Z02、 Z03、 Z04—各阻抗的模;
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5. 1 电桥
•
• 4.温度补偿 在测量时，若被测构件和所粘贴的应变片的工作环境温度发生变化， 应变片本身将因温度变化产生应变ξt。显然，应变ξt在结构不承载时 仍然存在，因此，当结构承受载荷时，这个应变就会与由载荷作用而 产生的应变叠加在一起输出，使测量到的输出应变中包含了因环境温 度变化而引起的应变ξt，必然对测量结果产生影响。 利用电桥的加减特性，可以对应变片进行温度补偿，通常采用补偿 块补偿法或工作片补偿法。 (1)补偿块补偿法 使用两个同样的应变片，一片粘贴在试件上，另一片粘贴在与试件 同材料、同温度条件但不受力的补偿块上。根据电桥的加减特性，将 这两片应变片接入相邻桥臂上，由于温度的变化，工作片和补偿片上 产生相同的因温度引起的应变，在桥路中自动抵消，对电桥输出没有 影响，达到温度补偿的作用。
信号与系统第五章 Z变换
f(n) n n1 f(n)示意图 n2
F ( z)
n n1
n2
f (n) z
n
在这种情况下，有限长序列的Z变换收敛域为 |z|>0，即除了z=0外，序列Z变换在整个Z平面上收 敛。
信号处理基础 4) n1=n2=0
即f(n)=Aδ(n) ，A为常数，序列的Z变换为
0
F ( z ) A (n) z A
信号处理基础
收敛域的概念：
Z变换定义为无穷幂级数 之和，显然只有当幂 级数收敛，即
n
f ( n) z
n
时，Z变换才存在。
上式称为绝对可和条件 ，它是序列 f (n)的Z变换存 在的充分必要条件。
Z变换的收敛性取决于：序列和z的取值范围。如果 序列给定，则Z变换的收敛性取决于z的取值范围，我 们称所有使序列的Z变换绝对收敛的z值的集合为序列Z 变换的收敛域。
DTFT
F (e )
j
n
f ( n )e
jn
n
f (n)(e
j n
)
式中ejω 是 ω 的复函数，变量 ω 是实数。 也可看成是复数变量jω 的函数，这时ejω 就是复变函数。
信号处理基础
序列的傅里叶变换存在的充分条件为
n
f ( n)
F ( z) f (2) z f (1) z f (0) z f (1) z f (2) z ...
上式表明，序列的Z变换是复变量z-1 的幂级数， 其系数是序列的值。因此F(z)是复变函数，复变量z 代表Z平面中的点。 上述幂级数的项数等于序列的长度，且n<0的序 列值作为正次幂的系数，n>0的序列值作为负次幂 的系数。
信号系统-第5章 拉普拉斯变换与系统函数
事实上，由于X(s)是一个复平面上 的函数，将其视为一个数学上的变换而 不强调其物理意义更易理解。
利用复变函数理论中的围线积分、留
数定理和约当（Jordon）引理等知识，反 变换表达式（5-11）中原函数x(t)的计算可 简化为如下所示的留数计算。
x(t)
1 2πj
j∞ j∞
X
(s)est ds
因此，反演公式同样适用于单边拉 普拉斯反变换。
5.3 拉普拉斯变换的进一步讨论
5.3.1 定义与说明
式（5-3）已给出了单边拉普拉斯变 换的定义，这里重写于下：
∞
X (s) x(t)estdt 0
图5-2 3个不同的信号具有相同的单边拉普拉斯变换
【例5-5】 求(t)的拉普拉斯变换。
解 取为“0+”时，
1
j∞
X (s)estds
x(t) 2πj j∞
0
t≥0 t0
（5-11）
从物理意义上讲，式（5-11）也可 理解为将x(t)视为形如 et ejt 的幅度随 指数形式增长或衰减的正弦波的线性组 合。
但与傅里叶变换相比，X(s)不能像 X (j) 一样具有明确的物理意义，因此， X(s)在这个正弦波线性组合中的作用难 以得到物理解释。
变收换 敛与 域单 也边相拉同普，拉均斯 为变Re换s相同，，均即为右F半(s)平 s面1（， 包括大半或小半，视 而定）。
【例5-4】 因果信号 f1(t) et (t) 与非因 果信号 f2 (t) et (t) 具有相同的双边 拉普拉斯变换表达式，但收敛域不同。
F1(s)
∞
et (t)estdt
0
0
令 s j ，即 Res ， Ims，
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第五章 中间转换电路
一． 是非题
1.电桥是一个调幅装置，其输出是调幅波。
（ ）
2.电桥是乘法器，其输出是调幅波。
（ ）
3.直流电桥的平衡条件是R1R3＝R2R4。
其电桥灵敏度是供桥电源的函数。
（ ）
4.交流电桥达到平衡时条件必须满足4321z z z z =，4321φφφφ+=+。
（ ）
5.交流电桥可测静态应变，也可测动态应变。
（ ）
6.调幅波是将载波与调制波相乘而获得。
（ ）
7.调幅波是频率不变而幅值发生变化的已调波。
（ ）
8.调频波是频率不变，幅值也不变的已调波。
（ ）
9.调相波是其频率、幅值与其相位都发生变化的已调波。
（ ）
10.同步解调指的是解调时所乘的信号与调制时的载波具有相同频率和相位。
（ ）
11.调幅过程就是频率搬移“过程”。
（ ）
12.电压放大器的连接电缆长度发生变化时，仪器的灵敏度不发生变化。
（ ）
13.电荷放大器的作用是将传感器的高阻抗输出变换为低阻抗输及放大传感器的微弱信号。
（ ）
14.缓变信号经高频调制后才可利用交流放大器。
（ ）
15.压电式传感器利用电荷放大器或电压放大器，其测量效果相同。
（ ）
16.RC 低通滤波器是一阶系统。
（ ）
17.滤波器的带宽表示它的频率分辨力，通频越窄则分辨力越低。
（ ）
18.RC 带通滤波器可以看成是低通滤波器和高通滤波器串联组成。
（ ）
19.在高频段，恒带宽滤波器比恒带宽比滤波器的频率分辨力高。
20.A／D 转换器作用将数字信号转换成模似信号。
（ ）
二． 选择题：
1.直流电桥中，由于接法不同，输出电压灵敏度也不同，_________接法可获得最高灵敏度。
Ａ．全桥 Ｂ．半桥单臂 Ｃ．半桥双臂
2.在动态测量中，电桥的输出量通常利用______。
Ａ．电流量 Ｂ．电感量 Ｃ．电阻量 Ｄ．电压量
3.若提高电桥灵敏度，可采取______。
Ａ．增加应变片的初始电阻值 Ｂ．半桥双臂各串联一片电阻应变 Ｃ．适当提高电桥的电源电压 Ｄ．半桥双臂各串联一片电阻应变片
4.直流电桥同一桥臂增加应变片数，则电桥灵敏度____。
Ａ．增大 Ｂ．不变 Ｃ．减少 Ｄ．变化不定
5.欲保证极矩变化型差动电容传感器工作，传感器两个电容应当连成____电路。
Ａ．电桥 Ｂ．串联 Ｃ．并联
6.由两个电容构成的差动电容传感器与两个电感接成电桥电路。
其电桥供压____。
Ａ．交流 Ｂ．直流 Ｃ．交直流
7.调制可看成是调制信号与载波信号____。
Ａ．相加 Ｂ．相乘 Ｃ．相减 Ｄ．相除
8.幅值调制装置实质上是____。
Ａ．加法器 Ｂ．除法器 Ｃ．减法器 Ｄ．乘法器
9.幅值解调过程中，相敏检波器的作用____。
Ａ．应恢复已调波的幅值和极性 Ｂ．恢复载波的幅值 Ｃ．放大已调波 Ｄ．恢复调制信号的幅值
10.即能检波，又能检相的电路为____。
Ａ．桥式电路 Ｂ．相位解调 Ｃ．整流检波 Ｄ．相敏检波
11.调频波的解调称为________。
Ａ．调频 Ｂ．鉴频 Ｃ．调幅 Ｄ．调相
12.调频波的特点____。
Ａ．幅值变化 Ｂ．相位变化 Ｃ．频率不变 Ｄ．频率变化
13.滤波器是一种____装置。
Ａ．放大 Ｂ．Ａ／Ｄ Ｃ．选频 Ｄ．调制
14.在一定条件下，ＲＣ带通滤波器实际上是低通滤波器与高通滤波器____而形成的。
Ａ．并联 Ｂ．串联 Ｃ．串并联 Ｄ．叠加
15.理想滤波器的波形因数λ=______。
Ａ．-1 Ｂ．0 Ｃ．1 Ｄ．3
16.滤波器 、下截止频率fc2、fc1和中心频率f0的关系____。
Ａ. f0=(fc2+fc1) Ｂ. f0=(fc2-fc1)/2 Ｃ. f0=fc1·fc2 Ｄ. f0=√fc1·fc2
17.滤波器的-3dB频率即截止频率，是指信号幅值为幅频特性的平均值A0_______处频率。
Ａ. √2 Ｂ. 1 Ｃ. 1/2 Ｄ. √2/2
18.滤波器的通带越窄，则其频率分辨力越____。
Ａ．高 Ｂ．低 Ｃ．不变
19.为使滤波器在所有频段都具有同样良好的频率分辨力，可采用____滤波器。
Ａ．恒带宽比 Ｂ．恒带宽
20.某滤波器的倍频程数n=1，则称此滤波器为____。
Ａ．1/3倍频程滤波器 Ｂ．1/5倍频程滤波器 Ｃ．倍频程滤波器
三． 填空题
1.电桥是将电阻、电感、电容参数的变化变为____或____输出的一种测量电路。
2.按照接入激励电压性质，电桥可分为____与____电桥。
3.在机械测试技术中，一般根据工作中电阻值参与变化的桥臂数可分为____式与____式联接。
4.直流电桥平衡条件是____；交流电桥平衡条件为________和_______。
5.在应变测量电桥中，若工作桥臂相邻联接则适用的电阻增量是____。
若相对联接则适用的电阻增量是______。
6.从电桥输出的线性来看，半桥单臂为________；半桥双臂为________；全桥为________。
7.交流电桥与直流电桥二者平衡条件不同点在于____。
8.交流电桥的平衡条件为________和_______，因此与桥路相对两臂为电阻时，则另外两个桥臂应接入________性质的元件才能平衡。
9.交流电桥的平衡条件为_____和____，因此，当桥路相邻两臂为电阻时，则另外两个桥臂应接入____性质的元件才能平衡。
10.为补偿温度变化给应变测量带来的误差，主应变片和补偿应变片应接____桥臂。
11.调制有____、____和____三种类别。
12.调制是指利用信号来____或____高频振荡的某个参数使它随着欲测信号作有规律变化，以利于实现信号的放大与传输。
13.一般将控制高频振荡的缓变信号称为____；载送缓变信号的高频振荡波称为______；
经过调制的高频振荡波称为______。
14.调幅过程相当于频率______过程。
调幅装置实际上是一个______，典型的调幅器是______。
15.调幅装置的解调器是_______；调频装置的解调器是______。
16.调幅波经解调器即相敏检波器检波后，即能反映出调制信号的______，又能反映出______。
17.滤波器是一种______装置，可以使信号中特定的频率成分通过，而极大地衰减其它频率成分。
18.RC低通滤波器中RC值越大，则上限频率越______，所以在改变RC参数时，可改变截止频率。
fc=2πRC
19.RC低通滤波器是______系统，其传递函数H(s)＝______。
其电路微分方程式为______。
20.RC低通滤波器是一阶系统，当______时，A(f)=1，此时信号几乎不受衰减的通过，并且φ(f)-(f)关系为近似于一条通过原点的直线。
因此，可认为，在此情况下，RC低通滤波器是一个______传输系统。
21.RC高通滤波器是______系统，其传递函数______，微分方程为______。
22.RC高通滤波器，当______；φ(f)≈0。
即当ｆ相当大时，幅频特性相当于1，相移趋于零，此时RC高通滤波器可视为______系统。
23.实际RC滤波器的波形的波形因素λ=______，当λ=1时，该滤波器为______。
24.滤波器的带宽表示其______，通带越窄则分辨力越高，对已定带宽的滤波器，过长的测量时间是______。
25.用下列三种滤波器组分别邻接成谱分析仪；⑴倍频程滤波器；⑵1/1 0倍频程滤波器；
⑶1/3倍频程滤波器。
若变量范围一定，则第______组频率分辨力最高，第______组所用的滤波器数量最少。
26.A/D转换过程顺序______、______和______。
27.A/D转换器是将______转换为数字信号的装置。
四． 问答题
1.电桥是一种什么样的测量电路？它能将哪些参数的变化转换成电压或电流的输出？
2.桥式电路有哪些优点？
3.直流电桥的平衡条件是什么？交流电桥的平衡条件是什么？试说明动态电阻应变仪上除了设有电阻平衡旋纽外，还设有电容平衡旋纽的原因。
4.试述影响直流电桥的灵敏度因素。
5.调制的目的是什么？解调的目的又是什么?
6.试写出调制种类。
7.什么是同步解调？试写出同步解调的表达式。
8.试分析调幅中载波频率为什么要比调制信号的截止频率高得多？
9.若调制信号的最高频率为fm，载波频率为f0，那么fm与f0应满足什么关系？原因何在？
10.为什么用电阻应变仪测试时，由交流电桥输出的调幅波不能简单地用二极管检波来解调，而必须用相敏检波器来解调？。