信号分析_第3章 一些常用的变换分解
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信号与系统第3章 信号通过LTI系统的频域分析
这里需要指出的是，上面的等式对信号 的间断点不成立。
从数学上说，周期信号能进行傅里 叶级数展开的条件是信号须满足狄里赫 利（Dirichlet）条件：
（1）在一个周期内，如果有间断点存在， 则间断点的数目应是有限个；
（2）在一个周期内，极大值和极小值的 数目应是有限个； （3）在一个周期内，信号是绝对可积的， T f (t )dt 等于有限值。 即 0
式（3-8）的意义与三角函数形式的傅 里叶级数一样，表明函数f(t)可以分解为无 限个复正弦谐波信号 e jn0t 的线性组合。
必须注意的是，这里出现了n为负 的频率，但这个负频率只是“视在”的 ，是数学表达上的存在。
傅里叶级数的复指数形式在高等数学 课程中并未出现，而且表达式中出现了n为 负的频率，初学者可能会感到困惑。
Im[ H ( j )]
∞
∞
h(t )sin(t )dt
因此，ReH(j)是的偶函数，而ImH(j) 是的奇函数。同时，由于
H ( j )
Re H ( j Im H ( j)
2
2
Re[ H ( j )] ( ) arctan Im[ H ( j )]
工程中广泛使用了频域分析的概念 与方法，其依据是：实际应用中遇到的 信号通常都可以分解为正弦信号的线性 组合。
因此，如果了解了正弦信号通过LTI系 统的响应情况，那么根据LTI系统的线性 与时不变性，就可以得到任意信号通过 LTI系统的响应。
建立在这一基础上的分析方法称为 频域分析，也就是著名的傅里叶分析。 为了进行频域分析，首先必须解决 的两个问题是： ①频域中的信号分解； ②正弦信号通过LTI系统后的响应。
一阶系统中，RC称为系统的时间常 数，可用来表征系统的惯性，并据此对输 出波形与输入波形之间的关系做出定量的 解释，但对系统中存在两个以上储能元件 的情况，也即对二阶以上的系统，就难以 用系统的时域参数来定量地表征对信号的 影响。
第3章 PPT 信号分析基础 1 工程测试技术
+
An2 (nω0)
22
● 周期信号及其频谱分析
■ 三角函数展开式
任何周期函数， 任何周期函数，都可以展开成正交函数线性组合的无穷 级数，如三角函数集的傅里叶级数: 级数，如三角函数集的傅里叶级数:
{cos nω0t , sin nω0t}
23
● 周期信号及其频谱分析
Байду номын сангаас
■ 时域&频域的比较 时域&
用被测物理量的强度作为纵坐标， 时间做横坐标， 用被测物理量的强度作为纵坐标，用时间做横坐标， 强度作为纵坐标 记录被测物理量随时间的变化情况。 记录被测物理量随时间的变化情况。
A(t)
0
t 信号波形图
3
信号分析基础
2
信号的分类
为深入了解信号的物理实质，从不同角度观察信号，可分为： 为深入了解信号的物理实质，从不同角度观察信号，可分为： ♣ 从信号可否确定分 -- 确定性信号、非确定性信号 确定性信号、 ♣ 从信号的幅值和能量分 ♣ 从分析域分
● 周期信号及其频谱分析 实频谱和虚频谱形式
■ 三角函数展开式
C n = Re C n + j Im C n = C n e
幅频谱和相频谱形式
jφ n
Cn =
(Re Cn ) + (Im Cn )
2
2
Im Cn φ n = arctan Re Cn
耐 心 点 哟 ！
27
ω (nω 0 )
● 周期信号及其频谱分析
10
■ 信号的分类及其描述域
（3） 连续时间信号与离散时间信号 连续时间信号: 连续时间信号:在所有时间点上有定义
离散时间信号:仅在若干时间点上有定义 离散时间信号:
信号的分解原理
信号的分解原理
信号的分解原理是通过将复杂的信号拆分为若干个简单的成分来进行分析和处理。
这种分解可以帮助我们更好地理解信号的性质和特征。
在信号处理中，常常使用傅里叶变换和小波变换等方法来实现信号的分解。
傅里叶变换是一种将时域信号转换为频域信号的方法。
它通过将一个连续时间域上的信号分解为一系列复指数函数的线性组合，来表示信号的频谱特性。
傅里叶变换可以将信号分解为一组不同频率分量的振幅和相位，从而揭示了信号在频率域上的能量分布。
小波变换是一种将信号分解为一系列小波基函数的线性组合的方法。
小波是一种局部化的基函数，能够更好地描述信号的瞬时特性。
小波变换将信号分解为不同尺度和位置上的小波基函数，从而能够同时提供时域和频域的信息。
通过信号的分解，我们可以获得信号在不同频率、不同时间、不同尺度上的特征信息。
这种分解原理可以应用于信号处理、图像处理、音频处理等领域，帮助我们更好地理解和处理复杂的信号。
第三章信号的时域分解线性系统分析...
第三章信号的时域分解§3-1 引言●线性系统分析方法，是将复杂信号分解为简单信号之和（或积分），通过系统对简单信号的响应求解系统对复杂信号的响应。
●在时域中，近代时域法将信号分解为冲激信号的积分，根据系统的冲激响应通过卷积计算出系统对信号的响应。
●而在频域法中，我们将信号分解为一系列正弦函数的和（或积分），通过系统对正弦信号的响应求解系统对信号的响应。
●频域在工程中也有很重要的意义。
很多信号的特性与频域都有很重要的关系。
研究频域可以得到很多具有实用价值的结论。
如上章所述，通过信号分解的方法求解响应要研究下面几个问题：1）如何将任意信号分解为一系列正弦信号之和（或积分）。
2）如何求系统对各个正弦子信号的响应，这个内容在电路分析课程中已经有详细介绍；3） 如何将各子信号的响应相叠加，从而合成系统对激励信号的响应。
本章将要研究的就是如何对信号进行分解和合成。
§3-2 信号在正交函数集中的分解为了形象地说明信号的分解，首先我们讨论矢量的分解。
一、矢量的分解 1、矢量的定义2、矢量运算：加，标量乘法，矢量乘法3、矢量的分解：1） 矢量的单矢量基的分解：11A c 近似矢量A ——误差尽可能小。
ε+=11A A c从几何或者解析角度，都可以得到使误差最小的系数为：1111A A A A =c其中的1c 称为矢量A 和1A 的相似系数。
如果01=c （或01=A A ），则表明A 和1A 相垂直（又称为正交）。
2） 矢量的多矢量基分解：将矢量表示成为一系列标准矢量（基）的线性组合：∑==+++=ni i i n n c c c c 12211...A A A A A✧ 显然，如果知道了标准矢量i A 和相应的系数i c ，就可以确定任意矢量。
✧ 如何确定最佳的系数i c 情况比较复杂，对于特定的i 而言，i c 不仅与特定的i A 有关，与其它的标准矢量也有关系。
但是如果矢量i A 两两正交，可以证明：ii i i c A A AA =4、标准矢量基的几个限制条件：1）归一化：标准矢量的模等于1——方便计算 2）正交化：标准矢量两两正交3）完备性：可以不失真地组合出任意矢量二、信号的分解与矢量分解相似，我们也可以推导出信号分解。
信号与系统 第三章 信号分析
(t ) f1 (t ) C12 f 2 (t )
进一步定义均方误差（方均误差）
1 1 2 * (t ) (t ) (t )dt f 1 (t ) C12 f 2 (t ) dt t 2 t1 t1 t 2 t1 t1
2 t2 t2
与矢量的分解相似，要使均方误差最小应 取它的垂直投影，所以分量系数
t2
f1 (t ), f 2 (t ) C12 f 2 (t ), f 2 (t )
t1 t2
t2
f1 (t ) f 2* (t )dt
2
t1
f1 (t ) f 2* (t )dt
t2
f
t1
(t ) f (t )dt
* 2
t1
f 2 (t ) dt
2
这个结论也可仿照前面的做法，令均方误 差对分量系数的偏导数等于0来推出。显然也有 类似的结论当f1(t),f2(t)正交时C12=0，当f1(t)=f2(t) 时C12=1，C12也与两个函数的的相似程度有关。 但一般不直接将它作为相关系数，这是因为当 f1(t)=f2(t)+f3(t)并且f2(t)，f3(t)正交时
上的分量系数，对于函数集与矢量一样有类似 的结论： 1、n维函数空间中的任一函数可分解为n个分 量； 2、如果分量小于n个则产生误差，如要均方误 差最小则应取它的垂直投影； 3、函数的分解一般也采用正交函数集，即正 交分解。
现在我们来看两个函数的情况，假定f1(t),f2(t) 是定义在区间[t1,t2]上的两个函数，取f1(t)在f2(t) 上的分量C12 f2(t)近似f1(t)。那么也将产生误差 εΔ(t)。
A1 , A2 ,, An，如它们是线性无关
进一步定义均方误差（方均误差）
1 1 2 * (t ) (t ) (t )dt f 1 (t ) C12 f 2 (t ) dt t 2 t1 t1 t 2 t1 t1
2 t2 t2
与矢量的分解相似，要使均方误差最小应 取它的垂直投影，所以分量系数
t2
f1 (t ), f 2 (t ) C12 f 2 (t ), f 2 (t )
t1 t2
t2
f1 (t ) f 2* (t )dt
2
t1
f1 (t ) f 2* (t )dt
t2
f
t1
(t ) f (t )dt
* 2
t1
f 2 (t ) dt
2
这个结论也可仿照前面的做法，令均方误 差对分量系数的偏导数等于0来推出。显然也有 类似的结论当f1(t),f2(t)正交时C12=0，当f1(t)=f2(t) 时C12=1，C12也与两个函数的的相似程度有关。 但一般不直接将它作为相关系数，这是因为当 f1(t)=f2(t)+f3(t)并且f2(t)，f3(t)正交时
上的分量系数，对于函数集与矢量一样有类似 的结论： 1、n维函数空间中的任一函数可分解为n个分 量； 2、如果分量小于n个则产生误差，如要均方误 差最小则应取它的垂直投影； 3、函数的分解一般也采用正交函数集，即正 交分解。
现在我们来看两个函数的情况，假定f1(t),f2(t) 是定义在区间[t1,t2]上的两个函数，取f1(t)在f2(t) 上的分量C12 f2(t)近似f1(t)。那么也将产生误差 εΔ(t)。
A1 , A2 ,, An，如它们是线性无关
信号分析_第3章 一些常用的变换
ˆ M ( f ) − jM ( f )
M( f )
ˆ − jM ( f )
ˆ LSB g LSB (t ) = Ac [m(t ) − jm(t )]
ˆ LSB GLSB ( f ) = F { Ac [m(t ) − jm(t )]} = Ac [ M ( f ) − jM ( f ) H ( f )] Ac [ M ( f ) − jM ( f )( − j )] = 0 = Ac [ M ( f ) − jM ( f )( j )] = 2 Ac M ( f ) ( f > 0) ( f < 0)
dt dt s(t ) dt
16
3)AM信号的解调 信号的解调 对于AM信号 信号 对于
s(t ) = a (t ) cos[ω0t + ϕ (t )]
cos(ω1t))
ˆ s (t ) = H {a (t ) cos(ωc t + ϕ )} = a (t ) sin(ωc t + ϕ )
ˆ 4 ⇒ .if M (ω ) ⇔ m(t ) and M (ω ) ⇔ m(t ) ˆ ˆ ˆ M (ω ) = F {m(t )} = F {H {m(t )}} 1 (ω > 0) = − jM (ω ) sgn(ω ) sgn(ω ) =
− 1 (ω < 0)
9
5.Hilbert变换的应用 变换的应用 1).单边带调制 单边带调制 SSB的复包络可表示为 的复包络可表示为 where and
12
ˆ USB gUSB (t ) = Ac [m(t ) + jm(t )]
sUSB (t ) = Re{gUSB (t )e jωct } ˆ = Ac [m(t ) cos ωc t − m(t ) sin ωc t ]
随机信号分析_第三章_平稳随机过程的谱分析
A RX (t , t ) e j d
说明如果A<RX(t,t+τ)>绝对可积，那自 相关函数的时间平均与功率谱密度是傅 里叶变换对。
对于平稳随机过程，由于： A<RX(t,t+τ)>＝ A<RX(τ)>＝ RX(τ) 所以: j S X ( ) RX ( )e d
S X ( ) R X ( )e
0
j
d
0
Ae e
j
d Ae
e
j
d
1 1 A[ ] j j 2 A 2 2
例3.4 P203 设随机相位信号X(t)＝Acos(ω0t+θ)， 其中A, ω0为常数； θ为随机相位，在（0， 2π）均匀分布。可以计算初其自相关函 数RX(τ)=[A2cos (ω0τ)]/2, 求X(t)的功率谱 密度。 解：引入δ函数。 1 1 j ()e d 2 2
3.2.1 功率谱密度的性质
1. 功率谱密度的非负性。即： SX(ω)>=0 2. 功率谱密度是ω的实函数。即： SX(ω)= SX(ω)
3. 对于实随机过程来讲，功率谱密度是ω 的偶函数。即： SX(ω)＝ SX(－ω) 4. 功率谱密度可积。即：
S X ( )d
3.2.2 谱分解定理
满足上述条件的x(t)的傅利叶变换为：
Fx ( ) x(t )e
jt
dt
称为x(t)的频谱。为一复数，有 Fx(ω)= Fx(-ω)
Fx(ω)的傅利叶反变换为：
1 x(t ) 2
信号与系统 第3章(xin ) 信号的频域分析
3 信号的频域分析
2.基本形式（三角形式）
满足狄氏条件的任一周期信号都是由cos，sin组成。 连续周期信号的基本形式可以表示为：
a0 f ( t ) ( ak cos k0 t bk sin k0 t ) 2 k 1
2 T 其中：a0 2T f (t )dt T 2
a0 f ( t ) An cos( k0 t n ) 2 t
2 其中：a0 f ( t )dt 是 k 的 偶 T
An ak bk
2
2
函数
bk n arctan ak
是k的奇函 数
3 信号的频域分析
2.基本形式
满足狄氏条件的任一周期信号都是由cos，sin组成。 离散周期信号的基本形式可以表示为：
1 n
f1 (t )
(t nT )
n
重复性、定义域、n、周期等四个要素
3 信号的频域分析
§3.1.1 周期信号的展开（ expansion ）
离散周期信号：
f (n) f (n iN ); n (, ); i 0, 1, 2, ; N C f (n iN )
jk0 t0 jk
有 fT ( t -t0 ) e
C( jk0 ) 2 C( jk ) N
f N ( n n0 ) e
2 n N 0
3 信号的频域分析
§3.1.3 离散频谱的性质
3. 比例特性
若
2 fT ( t ) / f N ( n ) C( jk0 ) / C( jk ) N jk t 0 1 T 2 a
3 信号的频域分析
§3.1.3 离散频谱的性质
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9
5.Hilbert变换的应用 1).单边带调制
SSB的复包络可表示为
g(t) Ac[m(t) j m(t)]
where
m(t) m(t) h(t)
and h(t) 1
t
SSB带通信号可表示为
s(t) Ac[m(t) cosct m(t) sin ct]
10
t
1 cos2ftdt j 1 sin 2ftdt
t
t
H ( f ) 2 j 1 sin 2ftdt 2 j sin 2ft dt
0 t
0 t
2
j2
f
0
sin 2ft 2ft
dt
2
j
sin x dx
0x
x 2ft dx 2fdt
2
2
j
j
2
2
j j
f 0 f 0
SLSB ( f ) 1/ 2[GLSB ( f fc ) GL*SB ( f fc )]
SUSB ( f )
SLSB ( f )
c
c
c
c 13
2)SSB信号的数字解调
sLSB (n) Ac[m(n) coscn mˆ (n) sincn]
H {m(n)coscn} m(n)sincn
Hilbert filter
6
3. Hilbert的性质
性质1 Hilbert变换器是-90度相移的全通滤波器。
1
H {奇函数} 偶函数
2
H {偶函数} 奇函数
性质2 s(t)与 sˆ(t)，s(n)与 sˆ(n)分别是正交的。
s(t)sˆ(t)dt
1
S()[Sˆ()]*d
2
j 0 S() 2d j S() 2d 0
LSB GLSB ( f ) F{Ac[m(t) jmˆ (t)]}
Ac[M ( f ) jM ( f )H ( f )]
Ac[M (
Ac
[
M
(
f f
) )
jM ( jM (
f f
)( j)] 0 )( j)] 2AcM (
f
)
( f 0) ( f 0)
12
USB gUSB(t) Ac[m(t) jmˆ (t)]
m(n)
SSB的一种数字解调
14
3).带通信号的包络、瞬时相位和瞬时频率 带通信号s(t)的解析信号可以表示为
t
m(t) mˆ (t) h(t)
1
where
h(t)
t
4
2. Hilbert 变换系统
Hilbert滤波器 幅频响应
相频响应
- j f 0
H(f )
j
j sgn( f ) f 0
Hibert变换滤波器是一个全通滤波器
Hilbert变换的本质是一个相移滤波器，相移-90° 5
H ( f ) 1 e j2ftdt
Ac[M ( f ) jM ( f )H ( f )]
Ac[M (
Ac
[
M
(
f f
) )
jM ( jM (
f f
)( j)] 2AcM ( )( j)] 0
f
)
( f 0) ( f 011)
M(f )
jMˆ ( f )
M ( f ) jMˆ ( f )
LSB gLSB (t) Ac[m(t) jmˆ (t)]
H {m(t) cos(ct )} m(t)sin(ct ) H {m(t)sin(ct )} m(t) cos(ct )
4 .if M () m(t) and Mˆ () mˆ (t)
Mˆ () F{mˆ (t)} F{H {m(t)}}
jM ()sgn()
sgn()
2
2 0
7
3. Hilbert的性质
性质3 如果 s(t)、s1(t)和s2 (t) 的Hilbert变换分别为
sˆ(t)、sˆ1(t)和sˆ2 (t)，且 s(t) s1(t)* s2(t)
sˆ(t) s1(t)*sˆ2(t) sˆ1(t)*s2(t)
性质4 对于平稳随机信号x(t)的Hilbert变换也是 平稳的，且有
mˆ (t) H{m(t)} m(t) * h(t)
m( ) d
(t )
m(t)
H
－1{mˆ (t)}
mˆ (
(t
)
d
)
M(f )
jMˆ ( f )
M ( f ) jMˆ ( f )
USB gUSB(t) Ac[m(t) jmˆ (t)]
USB GUSB( f ) F{Ac[m(t) jmˆ (t)]}
H {mˆ (n)sincn} mˆ (n)sincn
H {sLSB (n)} Ac[m(n) sincn mˆ (n) coscn]
s(n)
AI (n)
解调输出
Hilbert 变换
cos0n
NCO
sin 0n
AQ (n)
AI (n) AQ (n)
m(n) cos2 (cn) m(n) sin2(cn)
Rxˆ ( ) Rx ( )
Rxˆx ( ) Rˆx ( ) Rxxˆ ( ) Rˆx ( )
8
4. 在通信中常用的Hilbert变换的重要公式
1 H {cos(ct )} sin(ct )
2 H {sin(ct )信号
sUSB(t) Re{gUSB(t)e } jct
Ac[m(t) cosct mˆ (t)sinct]
LSB gLSB (t) Ac[m(t) jmˆ (t)]
sLSB (t) Re{gLSB (t)e } jct
Ac[m(t) cosct mˆ (t)sinct]
SUSB ( f ) 1/ 2[GUSB ( f fc ) GU*SB ( f fc )]
3
用途: 已知一个函数或信号，求其正交函数或信 号，这在工程中是常见的。
1 Hilbert 变换的定义 对于信号 m(t)，其Hilbert变化为
mˆ (t) H {m(t)} 1 m( ) d
t
mˆ (t) m(t) h(t)
逆变换 m(t) H -1{mˆ (t)} 1 mˆ ( ) d
第3章 一些常用的变换
1
主要内容
Hilbert变换 匹配滤波器和相关器 Walsh-Hadamand变换 K-L变换
2
引言 设s(t)是因函数，即s(t)=s(t)U(t)，且有
s(t) S() R() jI()
有：
R()
1
I ( ) d
I
()
1
R( ) d
即：因函数的Fourier变换得到实部与虚部存在一 定的对应关系，这一对应关系称为Hilbert变换