北邮随机信号分析与处理第3章习题解答
北邮随机信号答案ch3
第3章 随机过程的线性变换3.1 设随机过程()X t 是平稳的和可微的，存在导数()X t ′。
证明对于给定的t ，随机变量()X t 和()X t ′是正交的和不相关的。
证明：由于随机过程()X t 是平稳的，故()X t 的均值为常数，所以[()][()]0dE X t E X t dt′==。
又由于随机过程()X t 是可微的，故()X R τ的导数必存在，且由于自相关函数()X R τ在0τ=处取最大值，所以在0τ=处()X R τ的导数为0，即()0X dR d ττ==。
同时()()X XX dR R d τττ′=−，故0()(0)0X XX dR R d ττ′==−=， 由于(){()()}XX R E X t X t ττ′′=+，故(0){()()}0XX R E X t X t ′′== 其中{()()}0E X t X t ′=表明()X t 和()X t ′是正交的。
又()[()()]()()()XX X X XX K E X t X t m t m t R ττττ′′′′=+−+=所以(0)(0)0XX XX K R ′′==，这表明对于给定的t ，随机变量()X t 和()X t ′是不相关的。
归纳：对于随机变量1()X t 和2()Y t ，要证明它们是正交的，需要证明互相关函数12(,)0XY R t t =； 要证明它们是不相关的，需要证明互协方差函数12(,)0XY K t t =； 要证明它们是独立的，需要证明1212(,,,)(,)(,)XY X Y f x t y t f x t f y t =3.2 设有一具有二阶矩的随机变量序列{();1,2,3,}n n =…ξ，()n ξ的相关函数为*1212(,)[()()]R n n E n n ξξξξ=。
若有序列{}(1,2,3,)n a n =…，并定义1。
随机信号习题及答案
3.
⎧0 ⎪ 已知随机变量 X 的分布函数为： FX ( x) = ⎨kx 2 ⎪1 ⎩
x<0 0 ≤ x < 1 ，求：①系数 k；②X 落在区间 x >1
0 < x < +∞,0 < y < +∞ 其它
（0.3，0.7）内的概率；③随机变量 X 的概率密度函数。
4.
⎧e − ( x + y ) 设二维随机变量（X，Y）的概率密度为： f ( x, y ) = ⎨ ⎩0
求：①
分布函数 FXY ( x, y ) ；②（X，Y）落在如图所示的三角形区域内的概率。
y x+y=1
0
x
5. （续上题）求③边缘分布函数 FX ( x) 和 FY ( y ) ；④求边缘概率 f X ( x) 和 fY ( y ) 。 6. （ 续 上 题 ） ⑤ 求 条 件 分 布 函 数 FX ( x y ) 和 FY ( y x) ； ⑥ 求 条 件 概 率 密 度 f X ( x
103
9 若两个随机过程 X (t ) = A(t )cos t 和 Y (t ) = B(t )sin t 都是非平稳过程，其中 A(t ) 和 B (t ) 为相互独立，且 各自平稳的随机过程，它们的均值为 0 ，自相关函数 R A (τ ) = RB (τ ) = R (τ ) 。试证这两个过程之和
和 Y 的相关性及独立性。
11. 已知随机变量 X 的均值 m X = 3 ，方差 σ 2 X = 2 ，且另一随机变量 Y = −6 X + 22 。讨论 X 和 Y 的相关性和正交性。 12. 设随机变量 Y 和 X 之间为线性关系 Y = aX + b ，a、b 为常数，且 a ≠ 0 。已知随机变量 X 为正态分布，即：
北邮_现代信号处理_第3章作业_答案
现代信号处理第三章作业学院： 学号： 序号： 姓名：3.2 我们希望产生自相关函数为r x (k )=0.9|k |+(-0.9)|k |的高斯随机过程x (n )。
(1) 当激励是零均值、单位方差高斯白噪声过程时，求出产生该随机过程的差分方程。
提示: 先求出自相关的z 变换，即复功率谱，然后参照式22()()(1/)()()(1/)()()(1/)x w w N z B z B z S z Q z Q z D z A z A z σσ===对复功率谱进行分解，即可得到用于产生该随机信号的线性系统。
(2) 用差分方程产生随机过程x(n)的1000个样本点，用样本序列估计x(n)的自相关函数，然后与理论值进行比较。
提示：自相关函数的估计方法参见本书4.1节，MATLAB的xcorr函数可用于实现自相关估计。
N = 1000;w = randn(1,N);b1 = -0.81;n =[1 0 b1];x = filter(0.83, n, w);c = xcorr(x,N,'biased');a = 0:999;b = c(500:999);figure(1);stem(a,b);title('Autocorrelation')xlabel('l'); ylabel('Amplitude');N = 1000;w = randn(1,N);b1 = -0.81;n =[1 0 b1];x = filter(0.83, n, w);c = xcorr(x,N/4,'biased');a = 0:249;b = c(250:499);figure(1);stem(a,b);title('Autocorrelation')xlabel('l'); ylabel('Amplitude');k = [0:999];x = 0.9.^abs(k)+(-0.9).^abs(k);figure;stem(k,x);k = [0:249];x = 0.9.^abs(k)+(-0.9).^abs(k);figure;stem(k,x);3.3 一个AR(2)过程满足如下的差分方程：x(n) = x(n-1) -0.5x(n-2)+ω(n) 其中，ω(n)是一个均值为0、方差为0.5的白噪声。
随机信号分析(第3版)第三章 习题答案
Z (t )的均值: E[ Z (t )] = E[ A ⋅ X (t ) ⋅ Y (t )] = E[ A] ⋅ E[ X (t )] ⋅ E[Y (t )] = 2 E[ X (t )] ⋅ E[Y (t )]
2 mX = RX (∞) = lim
2 cos ω0τ = 0 → mX = 0 τ →∞ eτ
⎡ 2 1.3 0.4 __ ⎤ ⎢ __ 2 1.2 0.8⎥ ⎢ ⎥ ⎢ 0.4 1.2 __ 1.1 ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ 0.9 __ __ 2 ⎦ 3.12 解：根据广义平稳随机信号过程的自相关函数矩阵的对称性，得到： ⎛ 2 1.3 0.4 0.9 ⎞ ⎜ 1.3 2 1.2 0.8 ⎟ ⎟ C= ⎜ ⎜ 0.4 1.2 2 1.1 ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ 0.9 0.8 1.1 2 ⎠ 3.13
= E[100 sin 2 (ω 0 t + θ ) ×100 sin 2 (ω 0 t + ω 0τ + θ ) ] = 2500 E[1 − cos(2ω 0τ ) − cos(4ω 0 t + 2ω 0τ + 4θ )] = 2500 E[1 − cos(2ω 0τ ) ] ∴ R Z (τ ) 仅与 τ 有关，且均值为常数，故 Y(t ) 是平稳过程。
3.6 给定随机过程 X ( t ) = A cos (ω 0t ) + B sin (ω 0t ) ，其中 ω 0 是常数， A 和 B 是 两个任意的不相关随机变量，它们均值为零，方差同为 σ 2 。证明 X ( t ) 是广义平 稳而不是严格平稳的。 3.6 证明：Q m X (t ) = E[X(t )] = E[ A cos(ω 0 t ) + B sin(ω 0 t) ] = 0
随机信号分析基础第三章课后答案
第三章，平稳随机过程的n 维概率密度不随时间平移而变化的特性，反映在统计特征上就是其均值不随时间的变化而变化，mx 不是t 的函数。
同样均方值也应是常数。
（2）二维概率密度只与t1,t2的时间间隔有关，而与时间起点t1无关。
因此平稳过程的自相关函数仅是单变量tao 的函数。
则称他们是联合宽平稳的。
第三章Chapter 3 ==========================================3.2 随机过程()t X 为()()ΦωX +=t cos A t 0式中，A 具有瑞利分布，其概率密度为()02222>=-a eaa P a A ，σσ，()πΦ20，在上均匀分布，A Φ与是两个相互独立的随机变量，0ω为常数，试问X(t)是否为平稳过程。
解：由题意可得:()[]()()002121020222220002222=⇒+=*+=⎰⎰⎰⎰∞--∞φφωπσφπσφωX E πσσπd t cos da e a a dad eat cos a t a a ()()()[]()()()()()()[]()()()()()120212021202021202022212020220210120220222020100222222002010212121221122102122121212212122222222222222t t cos t t cos t t cos det t cos da e e a t t cos dea d t t cos t t cos a d ea d t cos t cos da eaadad e at cos a t cos a t t t t R a a a a a a a -=-⨯=-⨯-=-⨯⎪⎩⎪⎨⎧⎪⎭⎪⎬⎫-∞+-=-⨯-=⎩⎨⎧⎭⎬⎫+++---=++=++==-∞∞---∞∞-∞--∞⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰ωσωσωσωωφφωωπσφπφωφωσφσπφωφωX X E σσσσπσπσσπXX ）（，可见()[]t X E 与t 无关，()21t t R ，XX 与t 无关，只与()12t t -有关。
信号分析与处理(第3版)-第3章part1(时域分析)
14
五、离散信号的描述-序列的表示方法
• 集合表示法：
{x(n)}={……, 0，1，2，3, 4，3，2，1，0，……}
n=0
n值规定为自左向右逐一递增
• 公式表示法： x(n) 4 n , n 3
x(n)
• 图形表示法：
4
3
2 1
5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5 n
15
1、单位脉冲序列
奈奎斯特（Nyquist）频率： s 2m
10
2、由抽样信号恢复原连续信号
• 取主频带 X () ：
• 时域卷积定理： X () X s ()H ()
xs (t) x(nTs ) (t nTs ) n
h(t )
c
Sa( ct )
x(t) xs (t) * h(t)
n
c
x(nTs
• 频谱发生了周期延拓，即将原连续信号的频 谱X()分别延拓到以±s， ±2s ……为中心的
频谱，其中s为采样角频率
• 频谱的幅度乘上了因子1/Ts，其中Ts为采样周 期
9
二、时域采样定理
对于频谱受限的信号x(t)，如果其最高频率分量为 ωm，为了保留原信号的全部信息，或能无失真地恢 复原信号，在通过采样得到离散信号时，其采样频 率应满足ω s ≥ 2ωm
• 预习内容：
• 离散信号的频域分析
• 实验1：信号的采样与恢复
34
•即
y(n) {1,1,4,23,32,13,34,21,5,20} 32
7、两序列相关运算
• 序列的相关运算被定义为
xy (n) x(m) y(n m) m
• 可以用卷积符号“＊”来表示相关运算
xy (n) x(n) * y(n)
北邮随机信 分析与处理 习题解答
明：Z(t) X (t) Y (t) 是广义平稳随机过程。
证明：mZ (t) E[X (t) Y(t)] E[A(t)cost B(t)sint] E[A(t)]cost E[B(t)]sin t 0cost 0sint 0
解：(1)
mX2
lim
RX
(
)
lim 2e
0
2 X
RX (0) mX2
2
因此有 rX ( )
r0 0 rX ( )d
RX
( ) mX2
2 X
e d
e 1
0
(2)
mX2
lim
(1)计算均值 mX (t)和自相关函数 RX (t1,t2)；
(2)该过程是否为平稳随机过程？
解：
mX
(t)
1 3
X (t, e1)
1 3
X (t, e2)
1 3
X (t, e3)
1 (1 sin t 3
cos t)
RX (t1,t2) E[X (t1)X (t2)] 1
3 (11 sin t1 sin t2 cos t1 cos t2 ) 1
0.9
2
解：由自相关函数的性质
由广义平稳的性质
RY (t1,t2) RY (t2,t1)
RY (0) E[Y 2(t)]为常数
2 1.3 0.4 0.9
RY
1.3 0.4
2 1.2
1.2
随机信号分析1-3部分答案
1.1 离散随机变量X 由0，1，2，3四个样本组成，相当于四元通信中的四个电平，四个样本的取值概率顺序为1/2，1/4，1/8，和1/8。
求随机变量的数学期望和方差。
解：875.087813812411210)(][41==⨯+⨯+⨯+⨯===∑=i i i x X P x X E81)873(81)872(41)871(21)870(])[(][2224122⨯-+⨯-+⨯-+⨯-=-=∑=i i i P X E x X D109.16471==1.2 设连续随机变量X 的概率分布函数为⎪⎩⎪⎨⎧≥<≤-+<=21201)](2πΑsin[0.500)(x x x x x F求（1）系数A ；（2）X 取值在（0.5，1）内的概率)15.0(<<x P 。
解：⎪⎩⎪⎨⎧<≤-π==其他0201)](2π[cos 2)()(x x A dx x dF x f 由 1)(=⎰∞∞-dx x f得2A 021)](2πAsin[1)]d (2π[cos 2=-=-π⎰∞∞-x x x A 21A =35.042)]15.0(2[sin 21)]11(2[sin 21)5.0(F )1(F )15.0(==-π--π=-=<<x P1.3 试确定下列各式是否为连续随机变量的概率分布函数，如果是概率分布函数，求其概率密度。
（1）⎪⎩⎪⎨⎧<≥-=-000e 1)(2x x x F x （2）⎪⎩⎪⎨⎧≥<≤<=1110Α00)(2x x x x x F （3）0)]()([)(>--=a a x u x u a xx F （4）0)()()(>---=a a x u axa x u a x x F解：（1）⎪⎩⎪⎨⎧<≥-=-000e 1)(2x x x F x 当0≥x 时，对于12x x ≥，有)()(12x F x F ≥，)(x F 是单调非减函数； 1)(0≤≤x F 成立；)()(x F x F =+也成立。