第3章 信号分析与处理(3)

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（d）是周期离散的时间序列，其傅里叶变换也是周
期离散的。设该时间序列的周期为T,一个周期内有N
个采样点，即采样间隔为t, T=Nt.

根据傅里叶变换公式，其频谱也是周期的，周期
fs=1/ t,频率间隔f=1/T,在一个周期内同样有N条谱
线， fs=Nf.
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若x(t)是周期的，频域中X(f)必然是离散的，反 之亦然； 若x(t)是非周期的，则X(f)一定是连续的，反之 亦然；

2.三角窗
T B 1.28f , A 27dB, 2t , 0t T 2 D 40dB w(t ) W (T t ), T t T 2
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(3）汉宁窗（Hannning）
2 t w(t ) 0.5 0.5cos( ), 0 t T T
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图4.46
数字信号处理基本步骤

信号处理是把信号变成适用于数字处理的形式，以 减少数字处理的难度。包括：幅值调理、滤波、隔 离直流分量、解调等。
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由于计算机只能处理有限长度的离散数据序列，因 此前面对于非周期连续时间信号的傅里叶变换公式 不能被计算机所处理，必须对其连续时域信号和连 续频谱进行离散化并截取其有限长度的一个序列，
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f s 6Hz
fa ?
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f s 4Hz
fa ?
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2.量化和量化误差 模拟信号经采样后得到的离散信号转变为数字信号 的过程称为量化。由此引起的误差称为量化误差。 量化是从一组有限个离散电平中取一个来近似代表 采样点的信号实际幅值电平。由A/D转换器实现。 若A/D转换器的位数为b，允许的动态工作范围为D， 则A/D幅值离散化的间隔为 （A/D转换器的分辨率 resolution） (92)
2 t 4 t 6 t w(t ) 1 1.93cos 1.29cos 0.388cos T T T
B 3.72f , A 93.6dB, D 40dB
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在实际进行信号处理时，应根据不同类型 的信号选用合适的窗函数，在截断随机信 号或对周期信号的截断为非整周期时，被 截取的信号两端会产生不连续的间断点， 从而在频谱中产生额外高频成分，造成泄 漏误差。
x(t )
k


X ( f k )e j 2 fk t
fk=kf, f是相邻谱线的间隔，也就是基频， f=1/T
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(c)为以非周期离散信号的傅里叶变换，时域信号是 离散的脉冲序列，这种时间序列可看成是对连续信 号进行采样，其频谱是一个周期性的连续频谱。
FT:
X(f )
n

对于第四种时域和频域都是离散、周期信号， 使利用计算机实施频谱分析提供了可能。对于 这种信号的傅里叶变换，只需取其时域上一个 周期（N个采样点)和频域一个周期（N个采样 点）进行分析，便可了解信号全过程。
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对有限长序列离散时域或频域信号序列进行傅里叶 变换或逆变换，得到同样有限长度的离散时域或频 域信号序列的方法，称为离散傅里叶变换(DFT)或 其逆变换（IDFT).
◦ 在时域是平滑截断信号两端的波形突变； ◦ 在频域则是尽可能地压低旁瓣的高度。

压低旁瓣高度会带来主瓣变宽的现象，不过在一般情 况下，旁瓣的泄漏仍是主要的。
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一个好的窗函数其频谱的主瓣应窄，旁瓣应小。主 瓣窄意味着能量集中，分辨率高；旁瓣小说明能量 泄漏少。 （1）3dB带宽B: 主瓣归一化幅值下降3dB的带宽
思考：当N等于1024时，分析X(k)时中k最大取 多少？
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三个步骤：时域采样、时域截断、频域采样 （1） 时域采样
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（2）时域截断
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（3）频域采样
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1.时域采样、混叠和采样定理 采样是把连续时间信号变成离散时间序列的过程。 设采样时间间隔为TS，则xa(t)经采样后的离散序列 xs(t)为 xs (t ) xa (t ) s0 (t ) xa (t ) (t nTS )
B 1.44f , A 32dB, D 60dB

(4）凯塞-贝塞尔窗
2 t 4 t 6 t w(t ) 1 1.24cos 0.244cos 0.00305cos T T T
B 1.71f , A 67dB, D
N 1 n0 j 2 nk N nk x(n)WN , k 0,1, n0 N 1
DFT : X (k ) x( n)e 1 IDFT : x(n) N
nk WN e j 2 N N 1 n0
, N 1 , N 1
X (k )e
j
2 nk N
1 N
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fs f
2 f fs f
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fs 2 f
fs 2 f
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发生频率混叠
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为避免发生频率混叠，应使被分析信号的最高频率 fmax低于奈奎斯特频率fs/2. 实际进行信号处理时，往往信号进入A/D之前会先 通过一个模拟低通滤波器，滤出信号出不加以考虑 的高频成分，降低信号中的最大频率，从而也降低 了采样频率。 也可以在A/D之后接一个数字低通滤波器。 这种为了避免发生频率混叠的滤波器称为抗混滤波 器。 经常把采样频率选择为抗混滤波器截止频率的3~4 倍。


信号的分析与处理过程就是对测试信号进行去伪存 真，排除干扰从而获得所需的有用信息的过程。 信号处理的方法包括模拟信号处理和数字信号处理。 模拟信号处理：直接对连续时间信号进行分析处理。 其系统由一系列能实现模拟运算的电路，诸如 模拟滤波器、乘法器等环节组成。 数字信号处理：用数字方法处理信号。在运算速度、 分辨率和功能上优于模拟信号处理，在各行业 中得到广泛的应用。
这就是离散傅里叶变换（Discrete Fourier
Tranform,DFT）产生的基础。
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（a)是非周期性连续信号，其频谱也是-∞到+∞ （b)是周期连续信号，此时傅里叶变换转变为傅里 叶级数，因而频谱是离散的。
FT: IFT:
1 T /2 X (k ) x(t )e j 2 fk t dt T T / 2
W ( f ) 20lg W ( f ) / W (0)


（2）旁瓣幅度A(dB）:最大旁瓣峰值与主瓣峰值之 比，用对数表示。 （3）旁瓣峰值衰减率D：表示最大旁瓣峰值与相距 10倍频处的旁瓣峰值之比。
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窗函数性能指标定义
理想的窗函数应有较小的B和A,较大的D.
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1.矩形窗
w(t ) 1, 0 t T B 0.89f , A 13dB, D 20dB
n


n
x (nT ) (t nT )
a S S

(86)
其谱值为 1 X s ( f ) X a ( f ) S0 ( f ) X a ( f ) TS
1 TS

k ( f ) TS k

(87)
k Xa( f ) TS k
◦ 随机信号和周期信号可以加汉宁窗； ◦ 冲击和瞬态过程应加矩形窗。
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4.频率采样与栅栏效应 对一信号进行采样，实质上就是提取各采样点上 对应的函数值，而非采样点的值被过滤，无法获 取。其效果类似于透过栅栏看外景一样，这种现 象称为栅栏效应。 在时域，只要满足采样定理，栅栏效应不会丢失 信号信息。而在频域，则有可能丢失重要的或具 有特征的频率成分，导致整个频谱分析结果失去 意义。
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频率分辨率：N点DFT意味着频域采样间隔为1/T, T 为采样时间，f=1/T,又称为频率分辨率。 频谱分析上限（频率分析范围）：DFT的频率分析 上限由采样频率fs决定. 1 f max f s 2
实际上，由于频混误差不可能完全避免，在k值接近N/2-1 （f接近fmax）时，频混误差可能较大。所以在解释频谱 中接近分析上限的高端分量时必须谨慎处理若干高端谱线。
nk X ( k ) W N , n 0,1, n0
N 1
DFT变换区间长度N不同，变换结果X(k)也不同。 当N确定后，X(k)与x(n)就一一对应。当N足够 大时，X(k)的包络可逼近X()的曲线。
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对有限长序列x(n),令其长度为N；而对无限长序列 x(n)，则用窗函数将其截断为长度N,并将该N个点的 ˆ (n) 周期序列的一个周期， ˆ ( n) 是 数据序列视为 x x x(n)作周期延拓形成的。 对x(n)求傅里叶级数，得到同样以N为周期的X(k)序 列。 离散傅里叶变换的真正意义：可以对任意连续的时 域信号进行采样和截断，并对其作离散傅里叶变换 的运算，得到离散的频谱，该频谱的包络即是对原 连续信号真正频谱的估计。
qD/2
b
(93)
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当采样信号xa (nTS ) 落在某一小间隔内，经过舍入 或者截尾的方法而变为有限值时，则产生量化误差 。最大量化误差的绝对值为
e D/2
b 1
例：MAX186是一个12位A/D转换器，电压输入 范围±5V， 求该A/D转换器分辨率和量化误差。
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3.截断、泄漏和窗函数 计算机处理的数据长度是有限的，进行数字 信号处理必须对过长时间历程的信号进行截 断处理。截断相当于对信号进行加窗处理。 信号经截断后成为无限带宽信号，这种信号 的能量在频率轴分布扩展的现象称为泄漏。 窗函数的选择应考虑被分析信号的性质与处 理要求。
定义fs/2为折叠频率，也称 为奈奎斯特频率（Nyquist frequency）。