复旦附中高一期末(2019.01)
上海市复旦附中2019-2020学年高一上学期期末英语试题(含答案解析)
上海市复旦附中2019-2020学年高一上学期期末英语试题（含答案解析）高考真题高考模拟高中联考期中试卷期末考试月考试卷学业水平同步练习上海市复旦附中2019-2020学年高一上学期期末英语试题（含答案解析）1 Fears haunted him those days ______ he ______ down by the scandal.A. that; draggedB. that; would be draggedC. which; had been draggedD. when; would drag【答案解析】 B【详解】考查同位语从句和时态。
句意：那些日子里他一直担心这件丑闻会把他拖下水。
第一空为同位语从句，解释fears的具体内容，从句中不缺少成分，句意完整，故应用that；第二空中，he与drag构成被动关系，且指从过去的某个时间来看，将要发生的动作，应用过去将来时。
故选B。
2 No sooner ______ up the catwalk than the spotlight shone down on her.A. did the model startB. the model had startedC. had the model startedD. the model started【答案解析】 C【详解】考查时态和倒装句。
句意：模特刚走上T台，聚光灯就照在她身上。
no sooner... than...引导的时间状语从句，前面的主句通常用过去完成时，后面的从句通常用一般过去时，当no sooner放于句首时，前面的主句应采用部分倒装，助动词had在主语the model 之前。
故选C项。
3 Madame Curie spent her whole life ______ to ______ the scientific world.A. devoted; exploringB. devoted herself; exploreC. devoting herself; exploreD. being devoted; exploring【答案解析】 D【详解】考查非谓语动词及动词短语辨析。
上海市复旦大学附属中学2018_2019学年高一数学下学期期末考试试题(含解析)
是符合题目要求的.
13.对于函数 f(x)=2sinxcosx，下列选项中正确的是( )
A. f(x)在（ ， ）上是递增的
42 C. f(x)的最小正周期为 2
【答案】B
B. f(x)的图象关于原点对称 D. f(x)的最大值为 2
【解析】
【详解】解:
,是周期为 的奇函数,
对于 A,
在
上是递减的,错误;
【解析】
【分析】
先将 x 的表示形式求解出来，然后根据范围求出 x 的可取值.
【详解】因为 cos(x ) 1 ，所以 x 2k , k Z ，又因为 x [0, ] ，所以 k 0 ，
32
33
此时
x
0或
2 3
，则可得集合：{0, 2 } . 3
【点睛】本题考查根据三角函数值求解给定区间中变量的值，难度较易.
考点：函数
的对称性、周期性，属于中档题.
11.由正整数组成的数列an ，bn 分别为递增的等差数列、等比数列， a1 b1 1 ，记
cn an bn ，若存在正整数 k （ k 2 ）满足 ck1 100 ， ck1 1000 ，则 ck __________．
【答案】262
【解析】
上海市复旦大学附属中学 2018-2019 学年高一数学下学期期末考试试
题（含解析）
一、填空题（本大题共有 12 题，满分 54 分，将答案填在答题纸上）
1.计算 lim 2n 3 __________． n 3n 1 2
【答案】
3
【解析】
【分析】
采用分离常数法对所给极限式变形，可得到极限值.
解得 d
k 0 不符，当
q
3 9 时，解得 d
上海市2018-2019学年复旦附中高一上期末数学期末试卷
2018学年复旦附中高一年级第一学期期末试卷2019.1一、填空题1.（19复旦附中高一期末1）()1x f x a -=（0a >且1a ≠）的图像经过一个定点，这个定点的坐标是_________. 答案：（-1,1）2. （19复旦附中高一期末2）函数y ______. 答案： (],6-∞3.（19复旦附中高一期末3）研究人员发现某种物质的温度y （单位：摄氏度）随时间x （单位：分钟）的变化规律是：()12220x x y x -=⋅+≥.经过__________分钟，该物质温度为5摄氏度. 答案：13. （19复旦附中高一期末4）函数()()34,1log ,1aa x a x f x x x ⎧--<⎪=⎨≥⎪⎩是定义在R 上的单调递增函数，则实数a 的取值范围是________. 答案：（1.3）5.（19复旦附中高一期末5）函数()()1224174f x x x =-+的单调递增区间是__________.答案：[)4,+∞6.（19复旦附中高一期末6）函数0.52log 1x y x =-的零点个数为_________个. 答案：27. （19复旦附中高一期末7）若函数()()()22lg 111f x a x a x ⎡⎤=-+++⎣⎦的定义域为R ，则实数a 的取值范围是________. 答案： 53a >或1a ≤8.（19复旦附中高一期末8）已知函数()()()220log 01x x f x x x ⎧≤⎪=⎨<<⎪⎩的反函数是()1f x -，则112f -⎛⎫⎪⎝⎭=________. 答案：19.（19复旦附中高一期末9）当lg lg ,a b a b =<时，则2a b +的取值范围是_________.答案： ()3,+∞10.（19复旦附中高一期末10）函数()142xf x =-的图像关于点__________成中心对称. 答案：（2,0）11.（19复旦附中高一期末11）设{}()()()21,1112,121M y y x N y y x m x x m -⎧⎫⎛⎫====--+--≤≤⎨⎬ ⎪-⎝⎭⎩⎭，若N M ⊆，则实数m 的取值范围是________.答案：（-1,0）12.（19复旦附中高一期末12）已知函数()241f x ax x =++，若对任意()(),0x R f f x ∈≥恒成立，实数a 的取值范围是_________. 答案： [)3,+∞二、选择题13.（19复旦附中高一期末13）下列四组函数中，不是互为反函数的是（） A. 3y x -=和13y x -=B. 23y x =和()320y xx =≥C. ()20x y x =>和()2log 1y x x =>D. ()()lg 11y x x =->和101x y =+答案：B14.（19复旦附中高一期末14）“1a >”是“函数()()1x f x a a =-⋅是单调递增”的（）A 充分不必要条件 B.必要不充分条件 C 充要条件D.既非充分也非必要条件答案：A15.（19复旦附中高一期末15）下列四个函数中，图像如图所示的只能是（） A. lg y x x =+ B. lg y x x =-+ C. lg y x x =-D. lg y x x =--答案：C16.（19复旦附中高一期末16）已知n m <，函数()()1221log 1,123,x x x n f x n x m ----≤≤⎧⎪=⎨⎪-<≤⎩的值域是[-1,1]有下列结论：①当0n =时，(]0,2m ∈；②当12n =时，1,22m ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦；③当10,2n ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭时，[]1,2m ∈；④当10,2n ⎡⎫∉⎪⎢⎣⎭时(],2m n ∈ A. ①② B.①③ C.②③ D.③④答案：C 三、解答题17.（19复旦附中高一期末17）已知幂函数()()223m m f x x m Z -++=∈是奇函数，且()()12f f <. （1）求m 的值，并确定()f x 的解析式；（2）求()()2121log log 2,,22y f x f x x ⎡⎤=+∈⎡⎤⎣⎦⎢⎥⎣⎦的值域.答案：（1）()30,m f x x == （2）5,114⎡⎤-⎢⎥⎣⎦18.（19复旦附中高一期末18）已知函数()()2log ,f x x a a =+为常数，()g x 是定义在[-1,1]上的奇函数.（1）当2a =时，满足()1f x >的x 取值范围；（2）当01x ≤≤时，()()g x f x =，求()f x 的反函数()1g x -.答案：（1）()32,0,2⎛⎫--+∞ ⎪⎝⎭（2）()[][]1210,1121,0x xx g x x --⎧-∈⎪=⎨-∈-⎪⎩ 19.（19复旦附中高一期末19）如图所示，为一台冷轧机的示意图，冷轧机由若干对轧辊组成，带钢从一端输入，经过各对轧辊逐步减薄后输出.（轧钢过程中.钢带宽度不变，且不考虑损耗）一对对轧辊的减薄率=-输入该对的钢带厚度输出该对的钢带厚度输入该对的钢带厚度（1）输入钢带的厚度为20mm ，输出钢带的厚度为2mm ，若每对轧辊的减薄率不超过20%，问冷轧机至少需要安装几对轧辊？（2）已知一台冷轧机共有4对减薄率为20%的轧拖，所有轧辊周长均为1600mm ，若第k 对轧辊有缺陷，每滚动一周在刚带上压出一个疵点，在冷轧机输出的刚带上，疵点的间距为k L ，易知41600L mm =，为了便于检修，请计算123,,L L L . 答案：（1）11 （2）1233125,2500,2000L L L ===20.（19复旦附中高一期末20）已知函数()2a f x x x=+（其中a 为常数）（1）判断函数()2x y f =的奇偶数；（2）若不等式()2122++42x x f <在[]0,1x ∈时有解，求实数a 的取值范围； （3）设()11x g x x -=+，是否存在整数a ，使得对于区间10,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的任意三个实数,,m n p ，都存在以()()(),,f g x f g n f f p ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎣⎦为边长的三角形？若存在，试求出这样的a 的取值范围；若不存在，请说明理由.答案：（1）1a =，偶函数；1a =-，奇函数；1a ≠±，非奇非偶函数 （2）（-3,3）（3）5155,,3153⎛⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭21.（19复旦附中高一期末21）函数()y f x =定义域为有理数集，当0x ≠时，()1f x >，且对任意有理数,x y ，有()()()()2f x y f x y f x f y ++-=.（1）证明：()01f =； （2）比较()11,,122f ff ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭大小，并说明理由； （3）对任意的*,,x y Q x y ∈<，判断()(),f x f y 的大小关系，并说明理由. 答案：（1）略（2）()11122f f f ⎛⎫⎛⎫>=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（3）()()f x f y <。
上海市复旦大学附属中学2019-2020学年高一下学期期末考试数学试题 Word版含答案
复旦大学附属中学2019学年第二学期高一年级数学期末考试试卷时间：120分钟 满分：150分 2020.07.06一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置填写结果．1．1-和4-的等比中项为__________．2．化简求值：1tan arccos 3⎛⎫= ⎪⎝⎭________．3．若函数()sin()(0)f x x ωϕω=+>的局部图像如右，则ω=_______．4．若三角式等式2cos 2cos cos x a b x c x =++（,,a b c 为常数），对于任意x R ∈都成立，则a b c -+=______． 5．lim 1n n r r →∞⎛⎫ ⎪+⎝⎭存在，则实数r 的取值范围是________． 6．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若12020OB a OA a OC =+（向量,OA OC 不平行），A C B 、、共线，则2020S =_________．7．123PP P 是边长为1的正三角形，则12(,1,2,3,)i j PP PP i j i j ⋅=≠取值集合为__________． 8．向量,,a b c 在正方形网格中的位置，如图所示，若,(,)c a b R λμλμ=+∈，则λμ=_____．9．{}n a 是等差数列，首项11a =，公差0,n d S ≠为其前n 项和，若125,,a a a 成等比数列，则8S =_______．10．如图是由6个宽、高分别为11,b a ；22,b a ；33,b a ；…；66,b a 的矩形在第一象限紧挨拼成()1234560a a a a a a >>>>>>．显然6个矩形面积之和为6112266S a b a b a b =+++．若记121,2,,,6i i T b b b i =+++=，则上述面积又可以写成()()()6121232565S a a T a a T a a T X =-+-++-+形式，其中代数式X =________．（用题目中元素,,i i i a b T 的最简形式表达）11．已知()f x 为偶函数，当0x 时，1cos ,02()121,2x x f x x x π⎧⎪⎪=⎨⎪->⎪⎩，则不等式1(1)2f x -的解集为__________． 12．三角形蕴涵大量迷人性质，例如：若点O 在ABC 内部，用A B C S S S 、、分别代表OBC 、OCA 、OAB 的面积，则有0A B C S OA S OB S OC ⋅+⋅+⋅=．现在假设锐角三角形顶点,,A B C 所对的边长分别为,,,a b c H 为其垂心，,,HA HB HC 的单位向量分别为123,,e e e ，则123ae be ce ++=_________．二、选择题（本大题共有4题，满分20分，每题5分）每题有且仅有一个正确选项，考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑．13．对二元一次方程组1223x y c x y c -=⎧⎨+=⎩的增广矩阵A 经过一系列的初等行变换，得：103~011A⎛⎫ ⎪-⎝⎭，则列向量12c c ⎛⎫ ⎪⎝⎭为（ ）A ．58⎛⎫⎪⎝⎭ B ．31⎛⎫ ⎪-⎝⎭ C ．57⎛⎫ ⎪-⎝⎭ D ．51⎛⎫ ⎪-⎝⎭14．已知2sin 23α=，则2sin 4πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭（ ） A ．16 B ．12 C ．13 D ．5615．等差数列{}n a 的公差为d ，数列{}12na a 为递减数列，则（ ） A ．0d < B ．0d > C ．10a d < D ．10a d >16．根据下面一组等式：11s =，2235s =+=，345615s =++=，47891034s =+++=，5111213141565s =++++=，6161718192021111s =+++++=，……可得21n S -=（ ）A ．324641n n n -+-B ．1413n -C ．2184023n n -+D ．(1)12n n -+ 三、解答题（本大题共有5题，满分76分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写岀必要的步骤．17．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分） 已知(cos ,sin ),(cos 3sin ,3cos sin ),()a x x b x x x x f x a b ==+-=⋅（1）求()f x 的解析式及其最小正周期；（2）求()f x 的单调增区间．18．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）在斜三角形ABC 中，角A B C 、、所对的边分别为a b c 、、且()222sin cos cos()b a cA A ac A C --=+， （1）求角A 大小；（2）若sin cos B C>，求角C 的取值范围． 19．（本题满分14分）某水泥厂计划用一台小型卡车从厂区库房运送20根水泥电线杆，到一条公路沿着路侧架设，已知库房到该公路入口处500米，从库房出发卡车进入公路后继续行驶，直到离入口50米处时放下第一根电线杆，然后沿着该公路同一侧边每隔50米逐一放下余下电线杆，放完折返库房重新装运剩余电线杆．已知卡车每趟从库房最多只能运送3根水泥杆．问：卡车运送完这批水泥杆，并最终返回库房，至少运送几趟？最少行驶多少米？20．（本题满分16分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分）设数列{}n x 各项均为正数，且满足()22221222,n x x x n n n N ++++=+∈， （1）求数列{}n x 的通项公式n x ；（2）已知12231113n n T x x x x x x ++++=+++，求n ； （3）试用数学归纳法证明：2122312(1)1n n x x x x x x n +⎡⎤+++<+-⎣⎦． 21．（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）借助三角比及向量知识，可以方便地讨论平面上点及图像的旋转问题．试解答下列问题．（1）在直角坐标系中，点112A ⎫-⎪⎪⎭，将点A 绕坐标原点O 按逆时针方向旋转6π到点B ，如果终边经过点A 的角记为α，那么终边经过点B 的角记为6πα+．试用三角比知识，求点B 的坐标；（2）如图，设向量(,)ABh k =，把向量AB 按逆时针方向旋转θ角得点C ，判断C 是否能够落在直线y x=上，若能，试用,,a m n 表示相应θ的值，若不能，说明理由．（3）设(,),(,)A a a B m n 为不重合的两定点，将点B 绕点A 按逆时针方向旋转θ角得点C ，判断C 是否能够落在直线y x =上，若能，试用,,a m n 表示相应θ的值，若不能，说明理由．复旦大学附属中学2019学年第二学期高一年级数学期末考试试卷时间：120分钟 满分：150分 2020.07.06一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置填写结果．1．【答案】：2± 2．【答案】： 3．【答案】：44．【答案】：1 5．【答案】：12r >- 6．【答案】：1010 7．【答案】：4 8．【答案】：4 9．【答案】：6410．【答案】：66X a T =【解析】：()()611226*********S a b a b a b a T a T T a T T =+++=+-++- ()()()12123256566a a T a a T a a T a T =-+-++-+ 故66X a T =11．【答案】：1247,,4334⎡⎤⎡⎤⋃⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦ 【解析】：13|1|34x ≤-≤，解1243x ≤≤或4734x ≤≤，故不等式1(1)2f x -的解集为1247,,4334⎡⎤⎡⎤⋃⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦12．【答案】：0【解析】：由0A B C S OA S OB S OC ⋅+⋅+⋅=可得123111||||||||||||0222a HD HA eb HE HB ec HF HC e ⋅+⋅+⋅= 根据BHD AHE ∽可得||||||||HD HA HE HB =，同理可得||||||||HF HC HE HB =所以||||||||||||HD HA HE HB HF HC ==所以1230ae be ce ++=二、选择题（本大题共有4题，满分20分，每题5分）每题有且仅有一个正确选项，考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑．13．【答案】：A14．【答案】：D15．【答案】：C16．【答案】：A【解析】：易得第(1)n -行最后一项为2(1(1))(1)22n n n n +---=，第n 行最后一项为2(1)22n n n n ++= 故第n 行为第一项212n n -+，最后一项为22n n +，项数为n 的等差数列，故22312222n n n n n n n n S ⎛⎫-+++ ⎪+⎝⎭== 所以32214641n S n n n -=-+-，故选A三、解答题（本大题共有5题，满分76分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤．17．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）【答案】：（1）()2sin 2,6f x x T ππ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭； （2）,,36k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦． 18．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）【答案】：（1）4π；（2）,42ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭19．（本题满分14分）【答案】：至少运送7趟，最少行驶14000米20．（本题满分16分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分）【答案】：（1）*n x n N =∈； （2）48； （3）略．21．【答案】：（1）(2,1)； （2）(cos sin ,cos sin )h k k h θθθθ-+；（3）若2m n a +=，则,2k k Z πθπ=+∈，若2,tan ,arctan ,22m n m n m n a k k Z m n a m n a θθπ--+≠==+∈+-+-。
【精准解析】上海市复旦大学附属中学2019-2020学年高一上学期期末考试数学试题
∴ m2 2m 3 0 ，且 m2 2m 3 为偶数， m N ，且 a 1=1 . 解得 1 m 3 ， m 0 ，1，2， 且 a=2 , 只有 m 1时满足 m2 2m 3= 4 为偶数. ∴ m 1.
-2-
am3
故答案为：3. 【点睛】本题考查幂函数的性质，根据幂函数性质求参数值，可根据幂函数性质列不等式和 等式，求解即可，属于基础题.
5.函数 y log3 x2 x 的递增区间为__________．
【答案】 1,
【解析】 【分析】 先求出函数的定义域，然后将复合函数分解为内、外函数，分别讨论内外函数的单调性，进
而根据复合函数单调性“同增异减”的原则，得到函数 y log3 x2 x 的单调递增区间． 【详解】函数 y log3 x2 x 的定义域为(−∞,0)∪(1,+∞)
所以原函数的定义域为： ,5 ， 故答案为： ,5 .
【点睛】本题考查对数函数的定义域，利用真数大于 0 列不等式求解即可，属于基础题.
2.函数 f x x2 1x 1 的反函数为__________．
【答案】 y x 1 ， x 2
【解析】 【分析】 通过函数的方程，求出 x，利用反函数的定义，求出函数的反函数即可．
a m ____．
【答案】3
【解析】
【分析】
由幂函数 f x a 1 xm2 2m3 a, m N 为偶函数，且在（0，+∞）上是单调递减函数，
可得 m2-2m-3＜0，且 m2-2m-3 为偶数，m∈Z，且 a 1=1 ．解出即可．
【详解】∵幂函数 f x a 1 xm2 2m3 a, m N 为偶函数，且在 0, 上是减函数，
∵一根大于 2，一根小于 2，
2018-2019学年上海市复旦大学附属中学高一下学期期末考试数学试题(解析版)
【解析】【详解】解:,是周期为的奇函数,A,在上是递减的,错误;B,是奇函数, 图象关于原点对称,正确;C,是周期为,错误;D,的最大值为1,错误;B 选项是正确的.．已知数列是公差不为零的等差数列，函数是定义在上的单调递增的奇函数，数列{}n a ()f x R 的前项和为，对于命题：)}n a n n S {}a 0S >，与题设矛盾，所以递增，故112121()()...()()...()0k k k f a f a f a f a f a ++=++++++≤{}n a 正确； ，则，，令，所以，但是23n a n =-11a =-21a =()f x x =12()()0f a f a +=23n a n =-错误；因为，所以，k a =121222 (20)k k k a a a a a --+=+===，12122211,,...,k k k k a a a a a a ---+=-=-=-，12122211()(),()(),...,()()k k k k a f a f a f a f a f a ---+=-=-=-，则存在，使得2112121()()...()()...()0k k k k f a f a f a f a f a -+-=++++++=*m N ∈0m S =正确.故选：C.【解析】所求的等比中项为： .284±⨯=±．函数，的反函数为__________．arctan y x =(0,1)x ∈【答案】tan ,(0,)4y x x π=∈【解析】将函数变形为的形式，然后得到反函数，注意定义域.()x f y =【详解】，所以，则反函数为：且.arctan y x =tan x y =tan y x =(0,)4x π∈【点睛】本题考查反三角函数的知识，难度较易.给定定义域的时候，要注意函数定义域.．在等差数列中，，，则 ．{}n a 12a =3510a a +=7a =本题考查根据三角函数值求解给定区间中变量的值，难度较易.．在中，角的对边分别为，若面积，则角__________ABC ∆,,A B C ,,a b c 2222a b S c +-=C =【答案】arctan 2【解析】根据面积公式计算出的值，然后利用反三角函数求解出的值.tan C C 【详解】，所以，则，则有：2221sin 22a b c S ab C +-==222sin 2cos ab C a b c ab C =+-=tan 2C =.arctan 2【点睛】本题考查三角形的面积公式以及余弦定理的应用，难度较易.利用面积公式的时候要选择合适的公式进行化简，可根据所求角进行选择.【答案】4π【解析】根据和的取值特点，判断出两个值都是最值，然后根据图象去确定1()f x 2()f x 12x x -【详解】对任意成立，所以取最小值，取最大值；12()()()f x f x f x ≤≤x ∈R 1()f x 2()f x 取最小值时，与必为同一周期内的最小值和最大值的对应的，则，且2x 1x 2x x 12min 2Tx x -=，故.28||πω=12min 4x x -=【点睛】任何一个函数，若有对任何定义域成立，此时必有：()f x 12()()()f x f x f x ≤≤x ∈1()min f x =.2)max=可得①或②得：；解得：．故答案为9．点评：本题考查了一元二次方程根与系数的关系，考查了等差数列和等比数列的性质，是基础题．【思路点睛】解本题首先要能根据韦达定理判断出a ，b 均为正值，当他们与-2成等差数列时，共有6种可能，当为等差中项时，因为，所以不可取，则-2只能作为首项或者末项，这两种数列的公差互为相反数；又a,b 与-2可排序成等比数列，由等比中项公式可知-2必为等比中项，两数列搞清楚以后，便可列方程组求解p ，q ．．设函数（是常数，）.若在区间上具有单()sin()f x A x ωϕ=+,,A ωϕ0,0A ω>>()f x [,]62ππ调性，且，则的最小正周期为_________.2()()()236f f f πππ==-()f x 【答案】π由在区间上具有单调性，且知，函数的对称中心为，由知函数的对称轴为直线，设函数的最小正周期为，所以，，即，所以，解得，故答案为函数的对称性、周期性，属于中档题，若存在正整数（）满足，，则__________．n na b +k 2k ≥1100k c -=11000k c +=k c =【答案】262【解析】根据条件列出不等式进行分析，确定公比、、的范围后再综合判断.qk d 【详解】设等比数列公比为，等差数列公差为，因为，，所以qd 1100k c -=11000k c +=；又因为，分别为递增的等差数列、等比数列，所以2(2)100(*)1000k kk d q kd q --+=+={}n a {}n b q ≥；又时显然不成立，所以，则，即；12k =11100+=3k ≥31000q <9q ≤，，所以；因为，所以 ；2q ≥221002k k q -->>8k ≤(2)k d d -≥100d ≤可知：，则，；又(*)22900k k q q d --+=22900()200k k d q q -=--<22(1)700k q q -->，所以，即；取连续的有限项构成数sin 1n a =2,2n a k k Zππ=+∈(41),2n k a k Z π+=∈{}n a ，不妨令，则，且，则此时必为整数；}n 1(41),2k b k Z π+=∈2(41),2q k b k Z π+=∈2{}n b a ∈q 时，，不符合；4,k k Z =∈224(4)2(41){}2n k k b k k a π+=+=∉时，，符合，41,k k Z =+∈222(41)4(42)1{}22n k k k b a π+++==∈此时公比 ；41,q k k Z =+∈时， ，不符合；42,k k Z =+∈224(43)2(21)(41){}2n k k b k k a π++=++=∉2(43)(41)4(44)3k k k k π++++．已知数列的通项公式，前项和为，则关于数列、{}n a ()2019112n n a -⎧-⎪=⎨⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎩120192020n n ≤≤≥n n S {}n a 的极限，下面判断正确的是（）}．数列的极限不存在，的极限存在{}n a {}n S ．数列的极限存在，的极限不存在{}n a {}n S ．数列、的极限均存在，但极限值不相等{}n a {}n S ．数列、的极限均存在，且极限值相等{}n a {}n S 【答案】D 【解析】分别考虑与的极限，然后作比较.{}n a {}n S 【详解】【解析】（1）根据条件求解出公比，然后写出等比数列通项；（2）先表示出，然后考虑n S 的的最小值.2020n 【详解】）因为，所以或，又，则，所以；（1222416a q q =⎧⎨=+⎩4q =2-20200S <2q =-12(2)n n a -=⋅-，则，当为偶数时有不符合；2(1(2))2(1(2))20201(2)3n n n S --==-->--(2)3029n -<-n (2)0n->为奇数，且，，所以且为奇数，故.n 11(2)2048-=-13(2)4096-=-13n ≥n min 13n =【点睛】本题考查等比数列通项及其前项和的应用，难度一般.对于公比为负数的等比数列，分析前项和所n n 满足的不等式时，注意分类讨论，因此的奇偶会影响的正负.n n S）由锐角三角形可知： ，所以，则 ，A B C π⎪++=⎩42A <<(2)(,)636A +∈，所以，，则()2sin(2)6A A π=+min 7()2sin()16f A π>=-max ()2sin 22f A π==.)(1,2]∈-【点睛】本题考查三角恒等变换以及三角函数值域问题，难度较易.根据三角形形状求解角范围的时候，要注意到隐含条件的使用.A B C π++=．已知数列满足：，，.{}n a 12a =1(1)(1)n n na n a n n +=+++*n N ∈）求证：数列为等差数列，并求出数列的通项公式；{}n a n {}n a ）记（），用数学归纳法证明：，2(1)n n b n a =+*n N ∈12211(1)n b b b n +++<-+ *n N∈(1)(1)(2)(2)(2)(1)(2)(1)k k k k k k k k ++++++++⎝⎭⎝⎭ ，2222221)2(1)(2)1(1)(2)(1)(2)k k k k k k +++-+-=<++++，22212111(1)(1)(2)(2)k k k k ⎛⎫⎛⎫-+<- ⎪ ⎪++++⎝⎭⎝⎭，故时不等式成立，21211(2)k k b b b k +++++<-+ 1n k =+综上可知：.12211(1)n b b b n +++<-+ 【点睛】数学归纳法的一般步骤：（1）命题成立；（2）假设命题成立；（3）证明命题1n =n k =1n k =+成立（一定要借助假设，否则不能称之为数学归纳法）.π），因为是一条对称轴，对应最值；又()5sin(2)f x x ϕ=+35x π=36()2sin()55f ππϕ=+()f x ，所以，所以，则；（2）由条件知：(0,)2πϕ∈6617()(,)5510πππϕ+∈63()52πϕπ+=310πϕ=，可得，则，又因为5sin((0))025sin((0))0πωϕωπϕ++=-+=1122,2,k k Zk k Z πωϕππωϕπ⎧+=∈⎪⎨⎪-+=∈⎩1212(2)(,)3k k k k Z πϕ+=∈，所以，则，(0,)2π3πϕ=1122,23,3k k Z k k Z ππωπππωπ⎧+=∈⎪⎪⎨⎪-+=∈⎪⎩1162,313k k Z k ω-⎧=∈⎪⎪⎨-⎪因为，故共有个；记对称轴为，据图有：242T ππ==[0,6]π12T ()f x (1,i x a i ==，，，，，1212x x a +=2322x x a +=3432x x a += (232423)x x a +=则，令，12321122322222(...)n n n x x x x x x a a a --+++++=+++ 4,62x k k Zπππ+=+∈，又因为，所以，由于与仅在前半个周期内,412k k Z ππ=+∈[0,6]x π∈[0,23]k ∈()f x 35y =有交点，所以，max 22k =.232101221139122222(...)223444123n n n x x x x x πππ--+++++=++++⋅⋅= 【点睛】本题考查三角函数图象与性质的综合运用，难度较难.对于三角函数零点个数问题，可将其转化为函数图象的交点个数问题，通过数形结合去解决问题会更方便.）将的前项列举出：；将的前项列举出：{}n a 3n (0,1,1,1,2,2,2,...,1,,)n n n -{}n b 3n ；(0,0,0,1,1,1,...,1,1,1)n n n ---；2(11)(1)(11)(1)323322n n n n n n n n ⎡+--⎤⎡+--⎤⎛⎫⎛⎫=++=- ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦）充分性：取，此时，将的前项列举出：，将1,33n n n na b +==-120d d +={}n a 30,1,1{n b 项列出：，此时的前项为：，显然不是等差数列，充分性不满足；必1,1,1---{}n c 31,0,0-{}n c 要性：设，，当为等差数列时，因为，所以11(1)n a a n d =+-12(1)n b b n d =+-{}n c [][]n n n c a b =+ ，又因为，所以有：Z1100[][](1)()n c a b n d d Z =++-∈，且，所以101112[](1)[(1)][(1)]b n d a n d b n d ++-=+-++-[]1x x x-<≤；10110110(1)2[][](1)(1)b n d a b n d a b n d +--<++-≤++-综上：数列为等差数列的必要非充分条件是{}n c 12d d Z+∈【点睛】本题考查数列的定义以及证明，难度困难.对于充分必要条件的证明，需要对充分性和必要性同时分析，不能取其一分析；新定义的数列问题，可通过定义先理解定义的含义，然后再分析问题.。
2018-2019学年上海复旦大学附属中学高一上学期期末数学试题(解析版)
2018-2019学年上海复旦大学附属中学高一上学期期末数学试题一、单选题1．下列四组函数中，不是互为反函数的是（ ） A.3y x -=和13y x -= B.23y x =和()320y x x =≥C.()20xy x =>和()2log 1y x x =>D.()()lg 11y x x =->和101x y =+【答案】B【解析】根据反函数的概念与性质，逐项判断，即可得出结果. 【详解】对于选项A ，由3y x -=得13-=x y ，即3y x -=和13y x -=互为反函数；对于选项B ，由23y x =得x ∈R ，由()320y x x =≥得320=≥y x ，根据反函数的性质，可得，23y x =和()320y x x =≥不是互为反函数； 对于选项C ，D ，由对数函数与指数函数的性质，可得()20xy x =>和()2log 1y x x =>互为反函数，()()lg 11y x x =->和101xy =+也互为反函数. 故选：B 【点睛】本题主要考查判断两函数是否互为反函数，熟记反函数的概念与性质即可，属于常考题型.2．“1a >”是“函数()()1xf x a a =-⋅是单调递增”的（ ）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既非充分也非必要条件【答案】A【解析】先由函数()()1xf x a a =-⋅是单调递增，得到101a a ->⎧⎨>⎩或1001a a -<⎧⎨<<⎩，再由充分条件与必要条件的概念，即可得出结果. 【详解】因为函数()()1xf x a a =-⋅是单调递增，所以101a a ->⎧⎨>⎩或1001a a -<⎧⎨<<⎩，即1a >或01a <<；因此，由“1a >”能推出“函数()()1xf x a a =-⋅是单调递增”，反之不能推出.因此，“1a >”是“函数()()1xf x a a =-⋅是单调递增”的充分不必要条件.故选：A 【点睛】本题主要考查命题的充分不必要条件的判断，熟记充分条件与必要条件即可，属于常考题型.3．下列四个函数中，图象如图所示的只能是（ ）A.lg y x x =+B.lg y x x =-C.lg y x x =-+D.lg y x x =--【答案】B【解析】试题分析：A 中，110,ln10y x '=+>∴函数在(0,)+∞上单调递增,A 不成立；B 中，110ln10y x '=->,当0lg x e <<时,0y '<,当lg x e >时0y '>,故函数先减后增,B 成立；C 中,11ln10y x '=-+，当0lg x e <<时,0y '>,当lg x e >时，0y '<,故函数为先增后减,不符合题意；D 中，110ln10y x '=--<,故函数在(0,)+∞上单调递减,不符合题意.故选B. 【考点】函数的图象.4．已知n m <，函数()()1221log 1,123,x x x n f x n x m --⎧--≤≤⎪=⎨⎪-<≤⎩的值域是[]1,1-，有下列结论：①当0n =时，(]0,2m Î；②当12n =时，1,22m ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦；③当10,2n ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭时，[]1,2m ∈；④当10,2n ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭时(],2m n ∈. A.①②B.①③C.②③D.③④【答案】C【解析】先根据指数函数与对数函数单调性，作出函数2123--=-x y 与()12log 1=-y x 的图像，根据题中条件，逐项判断，即可得出结果. 【详解】 对于函数2123--=-x y ，当1x >时，10x ->，2132323-+-=-=-x x y ，单调递减；当11x -<<时，2112323+-+=-=-x x y 单调递增；作出函数2123--=-x y 与()12log 1=-y x 的图像如下：对于①，当0n =时，()()1221log 1,1023,0x x x f x x m --⎧--≤≤⎪=⎨⎪-<≤⎩，因为()f x 的值域是[]1,1-，由图像可得：[]1,2m ∈，故①错；对于②，当12n =时，()()12211log 1,12123,2x x x f x x m--⎧--≤≤⎪⎪=⎨⎪-<≤⎪⎩，因为()f x 的值域是[]1,1-，112x ≤≤-时，()()[]12log 11,1=-∈-f x x ，所以只需1,22m ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦即可，②正确；对于③④，当10,2n ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭时，()()()1122log 1log 11=-<-<f x x n ，由图像可得，只需[]1,2m ∈，所以③正确，④错； 故选：C 【点睛】本题主要考查由分段函数的值域求参数的问题，熟记指数函数与对数函数的图像与性质，利用数形结合的思想即可求解，属于常考题型.二、填空题 5．()1x f x a-=（0a >且1a ≠）的图象经过一个定点，这个定点的坐标是______.【答案】()1,1【解析】令10x -=代入函数解析式，即可得出结果. 【详解】令10x -=得1x =，所以()101-===x f x a a ，因此函数()1x f x a -=过点()1,1.故答案为：()1,1 【点睛】本题主要考查指数型函数所过定点问题，熟记指数函数性质即可，属于基础题型.6．函数y =______.【答案】(],6-∞【解析】先由题意得到()ln 7070x x ⎧-≥⎨->⎩，求解，即可得出结果.【详解】根据题意得到()ln 7070x x ⎧-≥⎨->⎩，即7170x x -≥⎧⎨->⎩，解得6x ≤，即所求函数定义为(],6-∞. 故答案为：(],6-∞ 【点睛】本题主要考查求具体函数的定义域，只需求使解析式有意义的自变量的范围即可，属于基础题型.7．研究人员发现某种物质的温度y （单位：摄氏度）随时间x （单位：分钟）的变化规律是：()12220xxy x -=⋅+≥.经过______分钟，该物质温度为5摄氏度.【答案】1【解析】根据题意，得到12225-⋅+=x x ，解方程，即可得出结果. 【详解】由题意可得：12225-⋅+=x x ，即22252⋅+=xx ， 即()2225220⋅-⋅+=xx ，即()()222012-⋅=-x x，解得122x=或22x =，即1x =-或1x =； 又0x ≥，所以1x =. 故答案为：1 【点睛】本题主要考查解含指数的方程，熟记指数的运算法则，以及指数函数的性质即可，属于常考题型.8． 已知(3)4,1()log ,1aa x a x f x x x --<⎧=⎨≥⎩，是R 上的增函数，那么a 的取值范围是 。
2019年复旦附中高一期末
复旦附中高一期末数学试卷2019.06一. 填空题1. 计算：23lim 31n n n →∞-=+ 2. 2与8的等比中项是3. 函数arctan y x =，(0,1)x ∈的反函数为4. 在等差数列{}n a 中，12a =，3510a a +=，则7a =5. 用列举法表示集合1{|cos(),[0,]}32x x x ππ-=∈= 6. 在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若面积2222a b c S +-=， 则角C =7. 已知无穷等比数列{}n a 的各项的和为1，则2a 的取值范围为8. 已知函数()2sin()46xf x π=+，若对任意x ∈R 都有12()()()f x f x f x ≤≤（12,x x ∈R ）成立，则12||x x -的最小值为9. 若a 、b 是函数2()f x x px q =-+（0p >，0q >）的两个不同的零点，且a 、b 、2- 这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则p q +=10. 若函数()sin()f x A x ωϕ=+（0A >，0ω>）在区间[,]62ππ上单调，且 2()()()236f f f πππ==-，则()f x 的最小正周期为 11. 由正整数组成的数列{}n a 、{}n b 分别为递增的等差数列、等比数列，111a b ==，记n n n c a b =+，若存在正整数k （2k ≥）满足1100k c -=，11000k c +=，则k c =12. 已知无穷等比数列{}n a 满足：对任意的*n ∈N ，sin 1n a =，则数列{}n a 公比q 的取值集合为二. 选择题13. 对于函数()2sin cos f x x x =，下列选项中正确的是（ ）A. ()f x 在(,)42ππ上单调递增 B. ()f x 的图像关于原点对称 C. ()f x 的最小正周期为2π D. ()f x 的最大值为214. 若等差数列{}n a 的前10项之和大于其前21项之和，则16a 的值（ ）A. 大于0B. 等于0C. 小于0D. 不能确定15. 已知数列{}n a 的通项公式2019(1)120191()20202n n n n a n -⎧-≤≤⎪=⎨≥⎪⎩，前n 项和为n S ，则关于数列 {}n a 、{}n S 的极限，下列判断正确的是（ ）A. 数列{}n a 的极限不存在，{}n S 的极限存在B. 数列{}n a 的极限存在，{}n S 的极限不存在C. 数列{}n a 、{}n S 的极限均存在，但极限值不相等D. 数列{}n a 、{}n S 的极限均存在，且极限值相等16. 已知数列{}n a 是公差不为零的等差数列，函数()f x 是定义在R 上的单调递增的奇函数，数列{()}n f a 的前n 项和为n S ，对于命题：① 若数列{}n a 为递增数列，则对一切*n ∈N ，0n S >；② 若对一切*n ∈N ，0n S >，则数列{}n a 为递增数列；③ 若存在*m ∈N ，使得0m S =，则存在*k ∈N ，使得0k a =；④ 若存在*k ∈N ，使得0k a =，则存在*m ∈N ，使得0m S =；其中正确命题的个数为（ ）A. 0B. 1C. 2D. 3三. 解答题17. 已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，12a =，32216a a =+，且20200S <.（1）求{}n a 的通项公式；（2）是否存在正整数n ，使得2020n S >成立？若存在，求出n 的最小值，若不存在，请说明理由.18.已知函数2()2cos cos 1f x x x x =+-.（1）求函数()y f x =的单调递减区间；（2）在锐角△ABC 中，若角2C B =，求()f A 的值域.19. 已知数列{}n a 满足：12a =，1(1)(1)n n na n a n n +=+++，*n ∈N .（1）求证：数列{}n a n 为等差数列，并求出数列{}n a 的通项公式； （2）记2(1)n n b n a =+（*n ∈N ），用数学归纳法证明：12211(1)n b b b n ++⋅⋅⋅+<-+，*n ∈N .20. 设函数()5sin()f x x ωϕ=+，其中0ω>，(0,)2πϕ∈. （1）设2ω=，若函数()f x 的图像的一条对称轴为直线35x π=，求ϕ的值； （2）若将()f x 的图像向左平移2π个单位，或者向右平移π个单位得到的图像都过坐标原 点，求所有满足条件的ω和ϕ的值；（3）设4ω=，6πϕ=，已知函数()()3F x f x =-在区间[0,6]π上的所有零点依次为123,,,,n x x x x ⋅⋅⋅，且1231n n x x x x x -<<<⋅⋅⋅<<，*n ∈N ，求123212222n n n x x x x x x --+++⋅⋅⋅+++的值.21. 已知无穷数列{}n a 、{}n b 是公差分别为1d 、2d 的等差数列，记[][]n n n c a b =+（*n ∈N ）， 其中[]x 表示不超过x 的最大整数，即1[]x x x -<≤.（1）直接写出数列{}n a 、{}n b 的前4项，使得数列{}n c 的前4项为：2，3，4，5；（2）若13n n a +=，13n n b -=，求数列{}n c 的前3n 项的和3n S ； （3）求证：数列{}n c 为等差数列的必要非充分条件是12d d +∈Z .参考答案一. 填空题 1. 23 2. 4± 3. tan y x =，(0,)4x π∈ 4. 8 5. 2{0,}3π 6. arctan2 7. (0,1)(1,2)U 8. 4π9. 9 10. π 11. 262 12. {|41,}q q k k =+∈Z二. 选择题13. B 14. C 15.D 16. C三. 解答题17.（1）12(2)n n a -=-；（2）12.18.（1）2[,]63k k ππππ++，k ∈Z ；（2）(1,2). 19.（1）(1)n a n n =+；（2）略.20.（1）310π；（2）643n ω+=，3πϕ=；（3）3913π. 21.（1）{}n a 的前4项为1，2，3，4，{}n b 的前4项为1，1，1，1；（2）23n n -；（3）证明略.。
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复旦附中高一期末数学试卷
2019.01
一. 填空题
1. 3()x f x a -=（0a >且1a ≠）的图像经过一个定点，这个定点的坐标是
2.
函数y 的定义域是
3. 研究人员发现某种物质的温度y （单位：摄氏度）随时间x （单位：分钟）的变化规律 是：1222x x y -=⋅+(0)x ≥. 经过 分钟，该物质温度为5摄氏度
4. 函数(3)4,1()log ,1
a a x a x f x x x --<⎧=⎨
≥⎩是定义在R 上的单调递增函数，则实数a 的取值范围 是
5. 函数122()(4174)f x x x -=-+的单调递增区间是
6. 函数0.52|log |1x y x =-的零点个数为 个
7. 若函数22()lg[(1)(1)1]f x a x a x =-+++的定义域为R ，则实数a 的取值范围是 8. 已知函数22,0()log ,01
x x f x x x ⎧≤⎪=⎨<<⎪⎩的反函数是1()f x -，则11()2f -= 9. 当|lg ||lg |a b =()a b <时，则2a b +的取值范围是
10. 函数1()42
x f x =
-的图像关于点 成中心对称 11. 设2{|}M y y x -==，1{|(1)(1)(||1)(2),12}1
N y y x m x x m ==+-+--≤≤-， 若N M ⊆，则实数m 的取值范围是 12. 已知函数2()41f x ax x =++，若对任意x ∈R ，(())0f f x ≥恒成立，实数a 的取值 范围是
二. 选择题
13. 下列四组函数中，不是互为反函数的是（ ）
A. 3y x -=和13y x -=
B. 23y x =和3
2y x =(0)x ≥
C. 2x y =(0)x >和2log y x =(1)x >
D. lg(1)y x =-(1)x >和101x y =+ 14. “1a >”是“函数()(1)x f x a a =-⋅是单调递增”的（ ）条件
A. 充分不必要
B. 必要不充分
C. 充要
D. 既不充分也不必要
15. 下列四个函数中，图像如图所示的只能是（ ）
A. lg y x x =+
B. lg y x x =-+
C. lg y x x =-
D. lg y x x =--
16. 已知n m <，函数122|1|log (1),1()2
3,x x x n f x n x m ----≤≤⎧⎪=⎨-<≤⎪⎩的值域 是[1,1]-有下列结论：
① 当0n =时，(0,2]m ∈； ② 当12n =
时，1(,2]2
m ∈； ③ 当1[0,)2n ∈时，[1,2]m ∈； ④ 当1[0,)2n ∈时，(,2]m n ∈. 其中，正确的命题为（ ）
A. ①②
B. ①③
C. ②③
D. ③④
三. 解答题
17. 已知幂函数223()m m f x x -++=()m ∈Z 是奇函数，且(1)(2)f f <.
（1）求m 的值，并确定()f x 的解析式；
（2）求122
21log ()log [2()],[,2]2
y f x f x x =+∈的值域.
18. 已知函数2()log ()f x x a =+，a 为常数，()g x 是定义在[1,1]-上的奇函数.
（1）当2a =时，满足|()|1f x >的x 取值范围；
（2）当01x ≤≤时，()()g x f x =，求()g x 的反函数1()g x -.
19. 如图所示，为一台冷轧机的示意图，冷轧机由若干对轧辊组成，带钢从一端输入，经过各对轧辊逐步减薄后输出.（轧钢过程中，钢带宽度不变，且不考虑损耗）
一对对轧辊的减薄率=输入该对的钢带厚度-输出该对的钢带厚度输入该对的钢带厚度
（1）输入钢带的厚度为20mm ，输出钢带的厚度为2mm ，若每对轧辊的减薄率不超过 20%，问冷轧机至少需要安装几对轧辊？
（2）已知一台冷轧机共有4对减薄率为20%的轧辊，所有轧辊周长均为1600mm ，若第k 对轧辊有缺陷，每滚动一周在带钢上压出一个疵点，在冷轧机输出的刚带上，疵点的间距为 k L ，易知41600L mm =，为了便于检修，请计算1L 、2L 、3L .
20. 已知函数2
()a f x x x
=+（其中a 为常数）. （1）判断函数(2)x y f =的奇偶性；
（2）若不等式1(2)242
x x x f <+
+在[0,1]x ∈时有解，求实数a 的取值范围； （3）设1()1x g x x -=+，是否存在正数a ，使得对区间1[0,]2上的任意三个实数m 、n 、p ， 都存在以[()]f g m 、[()]f g n 、[()]f g p 为边长的三角形？若存在，试求出这样的a 的取值 范围；若不存在，请说明理由
3k →→
21. 函数()y f x =定义域为有理数集，当0x ≠时，()1f x >，且对任意有理数x 、y ， 有()()2()()f x y f x y f x f y ++-=.
（1）证明：(0)1f =；
（2）比较1()2f -、1
()2
f 、(1)f 的大小，并说明理由； （3）对任意的,x y +∈Q ，x y <，判断()f x 、()f y 的大小关系，并说明理由.
参考答案
一. 填空题
1. (3,1)
2. (,6]-∞
3. 1
4. (1,3)
5. 1
(,)4-∞ 6. 2 7. 53
a >或1a ≤- 8. 1- 9. (3,)+∞ 10. (2,0) 11. (1,0){1}- 12. [3,)+∞
二. 选择题
13. B 14. A 15. C 16. C
三. 解答题
17.（1）0m =，3()f x x =；（2）5
[,11]4-.
18.（1）3(2,)(0,)2--+∞；（2）121[0,1]
()12[1,0)x x x g x x --⎧-∈=⎨-∈-⎩.
19.（1）11；（2）13125L =，22500L =，32000L =.
20.（1）1a =，偶函数；1a =-，奇函数；1a ≠±，非奇非偶函数；
（2）(3,3)-；（3）5155(,(,)315153--.
21.（1）略；（2）1
1
(1)()()22f f f >=-；（3）()()f x f y <.。