2019-2020学年上海市复旦附中高一(上)期末数学试卷(有答案解析)
2019-2020学年上海市中学高一上学期期末数学试题及答案解析
2019-2020学年上海市中学高一上学期期末数学试题及答案解析一、单选题1．已知复数113z i =+，23z i =+（i 为虚数单位），在复平面内，12z z -对应的点在（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 【答案】B【解析】利用复数的减法求出复数12z z -，即可得出复数12z z -对应的点所在的象限.【详解】复数113z i =+，23z i =+，()()1213322z z i i i ∴-=+-+=-+， 因此，复数12z z -在复平面内对应的点在第二象限. 故选B. 【点睛】本题考查复数的几何意义，同时也考查了复数的减法运算，利用复数的四则运算法则将复数表示为一般形式是解题的关键，考查计算能力，属于基础题.2．设点M 、N 均在双曲线22:143x y C -=上运动，1F 、2F 是双曲线C 的左、右焦点，则122MF MF MN +-的最小值为（ ） A ．B ．4C ．D ．以上都不对【解析】根据向量的运算，化简得1212222MF MF MN MO MN NO+-=-=，结合双曲线的性质，即可求解. 【详解】由题意，设O 为12,F F 的中点， 根据向量的运算，可得122222MF MFMN MO MN NO+-=-=，又由N 为双曲线22:143x y C -=上的动点，可得NO a ≥，所以122224MF MFMN NO a +-=≥=，即122MF MFMN+-的最小值为4.故选：B. 【点睛】本题主要考查了向量的运算，以及双曲线的标准方程及简单的几何性质的应用，其中解答中利用向量的运算，合理化简，结合双曲线的几何性质求解是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题. 3．已知椭圆C 的焦点为121,01,0F F -()，()，过F 2的直线与C交于A ，B 两点.若222AF F B =││││，1AB BF =││││，则C 的方程为A ．2212x y += B ．22132x y += C ．22143x y += D ．22154x y +=【答案】B【解析】由已知可设2F B n =，则212,3AF n BF AB n ===，得12AF n =，在1AF B △中求得11cos 3F AB ∠=，再在12AF F △中，由余弦定理得n =，从而可求解.法一：如图，由已知可设2F B n =，则212,3AF n BF AB n ===，由椭圆的定义有121224,22aBF BF n AF a AF n =+=∴=-=．在1AF B △中，由余弦定理推论得22214991cos 2233n n n F AB n n +-∠==⋅⋅．在12AF F △中，由余弦定理得2214422243n n n n +-⋅⋅⋅=，解得32n =． 2222423,3,312,a n a b a c ∴==∴=∴=-=-=∴所求椭圆方程为22132x y +=，故选B ．法二：由已知可设2F B n =，则212,3AF n BF AB n ===，由椭圆的定义有121224,22a BF BF n AF a AF n =+=∴=-=．在12AF F △和12BF F △中，由余弦定理得2221222144222cos 4,422cos 9n n AF F n n n BF F n⎧+-⋅⋅⋅∠=⎨+-⋅⋅⋅∠=⎩，又2121,AF F BF F ∠∠互补，2121cos cos 0AF F BF F ∴∠+∠=，两式消去2121cos cos AF F BF F ∠∠,，得223611n n +=，解得3n =．2222423,3,312,a n a b a c ∴==∴=∴=-=-=∴所求椭圆方程为22132x y +=，故选B ．【点睛】本题考查椭圆标准方程及其简单性质，考查数形结合思想、转化与化归的能力，很好的落实了直观想象、逻辑二、填空题4．椭圆22154x y +=的焦距等于________【答案】2【解析】根据椭圆方程，求出,a b ，即可求解. 【详解】设椭圆的焦距为2c ，椭圆方程为22154x y +=， 225,4,1a b c ∴==∴=.故答案为:2. 【点睛】本题考查椭圆标准方程及参数的几何意义，属于基础题.5．双曲线221169x y -=的两条渐近线的方程为________.【答案】34yx 【解析】令220169x y -=解得结果【详解】令220169x y -=解得两条渐近线的方程为34yx 【点睛】本题考查双曲线渐近线的方程，考查基本分析求解能力，属基础题.6．若线性方程组的增广矩阵是123c ⎛⎫⎪，其解为1x =⎧⎨，则12c c +=________【答案】6【解析】本题可先根据增广矩阵还原出相应的线性方程组，然后将解11x y =⎧⎨=⎩代入线性方程组即可得到1c 、2c 的值，最终可得出结果． 【详解】解：由题意，可知：此增广矩阵对应的线性方程组为：1223x y c y c +=⎧⎨=⎩， 将解11x y =⎧⎨=⎩代入上面方程组，可得：1251c c =⎧⎨=⎩． 126c c ∴+=．故答案为：6． 【点睛】本题主要考查线性方程组与增广矩阵的对应关系，以及根据线性方程组的解求参数．本题属基础题． 7．已知复数22iz i+=，则z 的虚部为________．【答案】-1【解析】先根据复数的除法中的分母实数化计算出z 的结果，然后根据z 的结果直接确定虚部. 【详解】 因为()22242122242i i i i z i i i i +⋅+-====-⋅-，所以z 虚部为1-.【点睛】（1）复数的除法运算，采用分母实数化的方法，根据“平方差公式”的形式完成分母实数化；（2）复数z a bi =+，则z 的实部为a ，虚部为b ，注意实、虚部都是数值.8．圆22240x y x y +-+=的圆心到直线3450x y +-=的距离等于________。
复旦附中高一上期末(2020.1)
综上所述， n [0, 4) ，则 m n 的取值范围是 [0, 4) ．
三、解答题 17．（1） f(x) 4x 2 2x 1 4 ， 2x 3 或 2x 1（舍）
方程的解为 x log2 3 ．
（2）令 t
2x
[1 2
, 2] ，则
t2
2at
1
0
，
2a
t2
1 t
t
1 t
，因为
t
1 t
f1(4 a) ≤ f(x) | 2x a2 | 在 x [0, ) 上恒成立，求实数 a 的取值范围．
参考答案
一、填空题
1． (,5)
2． y x 1, (x ≥ 2)
3．
a2 2a
4．3
5． (1, )
6．1
7． (3, 0)
8． (1, 2]
9．2
10．[1 , 2] 2
11． (6, 41 5 ) 10
元（总成本=固定成本+生产成本）．销售收入 Q(x) （万元）满足
Q(x)
0.5x2
224,
(x
22x, 16)
(0
≤
x
≤16)
，假定该产品产销平衡（即生产的产品都能卖掉），根据
上述统计规律，请完成下列问题： （1）求利润函数 y f(x) 的解析式（利润＝销售收入 总成本）；
（2）工厂生产多少百台产品时，可使利润最多？
在 [1 ,1] 2
上递减，
[1, 2] 上递增，所以 2a [2, 5], a [1, 5]
2
4
18．（1）
f
(x)
为奇函数，
1 ax x 1
0
的解集关于原点对称，所以
2019-2020学年上海市高一(上)期末数学试卷 (2)
2019-2020 学年上海市高一（上）期末数学试卷题号 得分一 二 三 总分第 I 卷（选择题）一、选择题（本大题共 4 小题，共 20.0 分） 1. 下列选项中，表示的是同一函数的是( )A. B. D. ( ) = , ( ) = − 1)2( ) = 2, ( ) = ( 2 √2≥ 0C. = {, = | |( ) = √, ( ) = √ ( ) < 0√2. 设非零实数 ，则“ ≥ 2”是“ ≥ 3”成立的( )2A. C.B. D. 充分不必要条件 充要条件必要不充分条件 既不充分也不必要条件3. 函数的图象可能是( )B.D.C. 4. 若函数 的定义域是[−1,4]，则 = − 1)的定义域是( )B. C. D.[−3,7]A. 5]2[−1,4] [−5,5][0, 第 II 卷（非选择题）二、填空题（本大题共 12 小题，共 36.0 分） 5. 函数= √的定义域是________．6. 集合 = {1,2，3}， = ∈ ，则用列举法表示 为________． 2B 7. 若 ， ∈，且= 0，则的最小值为___________．x −8. 已知函数 =__________． = 2lg(的图象经过点(2,2 2)，则 = + > 0且 ≠ 1)的图象恒过定点 2)，则 +9. 若+),则log的值为__________√210. 若幂函数=________________．√11. 已知集合 = |围是__________． 1 = 0, ∈ ，若集合 是有限集，则实数 的取值范2A a 12. 函数=，< 2) 的反函数是______ ．2 13. 若奇函数______ ． 在(∞, 0)内是减函数，且= 0，则不等式 ⋅> 0的解集为√ √ ≥ 0< 014. 设函数 = {，若 = 2，则实数 =______． ++ > 0，若函数 = ≤ 0 15. 已知函数= { + 有且只有一个零点，则实2 2 +数 的取值范围是________． a 16. 若曲线 = |21|与直线 = 有两个公共点，则 的取值范围是____.b 三、解答题（本大题共 5 小题，共 38.0 分） 17. 已知集合 =1 ⩽ 2⩽ 32}，集合 = < 2 或 > 2}．2(1)求 ∩ ； (2)若 = { | ≤1}，且 ⊆ ，求实数 的取值范围．a 1+ 1， ≤ 0；(2)若 > 0，解关于 的不等式18. 已知 =+ 2(1)当 = 2时，解不等式≥ 0．x19.某厂生产某种产品的年固定成本为250万元，每生产万件，需另投入的成本为x单位：万元)，当年产量小于80万件时，=1+；当年产量不小于231000−1450.假设每万件该产品的售价为50万元，且该厂80万件时，=+当年生产的该产品能全部销售完．(1)写出年利润万元)关于年产量万件)的函数关系式；(2)年产量为多少万件时，该厂在该产品的生产中所获利润最大？最大利润是多少？20.已知函数=是定义在上的奇函数，当>0时，=2−，其中∈R(1)求函数=(2)若函数=(3)当=0时，若的解析式；在区间(0,+∞)不单调，求出实数的取值范围；a∈(−1,1)，不等式−+−2>0成立，求实2数的取值范围．k21.若函数=log−有零点，求实数a的取值范围．32答案和解析1.【答案】D【解析】【分析】本题主要考查同一函数的判断，结合条件分别判断两个函数的定义域和对应法则是否相同是解决本题的关键，属于基础题．分别判断两个函数的定义域和对应法则是否相同即可．【解答】解：的定义域是R，的定义域为[0,+∞)，两个函数的定义域不相同，不是同一函数；B.两个函数的对应法则不相同，不是同一函数；+1≥0−1>0≥−1 >1C.由{，得{，即>1，由⩾0得>1或≤−1，两个函数的定义域不相同，不是同一函数；D.由已知有故选D．=，两个函数的定义域和对应法则相同，是同一函数．2.【答案】B【解析】只有当同号时，“2+2≥”才是“+≥3”成立的充要条件.而由+≥3可知同号，故+≥2．23.【答案】C【解析】【分析】本题考查函数的性质与函数图象的识别，属于中档题．根据函数值的符号即可选择出正确选项．【解答】解：当>0时，+1>1，+1|>0，故>0，即可排除A，B两项；当−2<<−1时，>0，即可排除D选项．4.【答案】A【解析】∵函数的定义域是[−1,4]，∴函数=−1)的定义域满足−1≤−1≤4，∴0≤≤5，2∴=−1)的定义域是[0,5]．25.【答案】(−∞,1)∪(1,4]【解析】【分析】本题主要考查定义域问题，分母和偶次下的取值问题．【解答】4−≥0解：由题意得{，−1≠0解得≤4且≠1．故答案为(−∞,1)∪(1,4]．6.【答案】{3,6，11}【解析】【分析】本题考查了集合内的元素的特征，要满足：确定性，无序性，互异性，属于基础题．集合内的元素要满足：确定性，无序性，互异性．【解答】解：={1,2，3}，=2+∈．∴={3,6,11}故答案为{3,6，11}.7.【答案】18【解析】【分析】本题考查利用基本不等式求最值，注意等号成立的条件，属于中档题．由题意，可得2+8=1，利用基本不等式即可求出+的最小值．∵ ， ∈ ，且 = 0，− ∴ =，8= 1， = (∴ 2 ∴) · (28) =10 ≥ 2√ · 10 = 18，= 当且仅当 所以，即 = = 12时等号成立，的最小值为 18，故答案为 18． 8.【答案】3【解析】 【分析】本题考查指数函数的性质，关键是掌握该种题型的求解方法，是基础题． 由题知 恒过定点(2,1)，∴= 2， = 1，= 3．【解答】解：由指数函数 = 的图象过定点(0,1)，所以，函数 即 = 2,1= > 0且 ≠ 1)的图象恒过定点(2,1 = 3．，= 2，故故答案为：3． 9.【答案】4【解析】 【分析】 由= 2lg( −)，先求出 的值，然后再求的值．本题考查对数的运算性质，解题时要认真审题，仔细解答，注意公式的灵活运用． 【解答】 解：∵ = 2lg( − )，∴ = ( − )2， > 0, > 0, − > 0，∴ ( ) − 5( ) 4 = 0， 解得 = 1(舍去)或 = 4，∴ l og= log 4 = 4 ∴−= 0，2 2 2 ．√2√2故答案为4．10.【答案】27【解析】【分析】本题考查了求函数的解析式与计算函数值的应用问题，是基础题目．用待定系数法求出幂函数=的解析式，再计算的值．【解答】解：设幂函数==，∈，且图象过点(2,22)，√∴2=2√2，3解得=，23 2；∴∴=3．=9=272故答案为27．11.【答案】≥−1【解析】当=0时，=−1，满足；当≠0时，由=4+得，≥−1.综上，实数的取值范围是≥−1．12.【答案】=−√>4)【解析】【分析】本题考查反函数的定义的应用，考查计算能力．直接利用反函数的定义求解即可．【解答】解：函数=2，<−2)，则>4．可得=−，√所以函数的反函数为：=−√>4)．故答案为：=−√>4)．13.【答案】(−2,0) ∪ (0,2)【解析】解：奇函数 在(−∞, 0)内是减函数，则 且在(0, +∞)内是减函数． == 0，> 0> 0 =< 0< 0 =不等式 ⋅ > 0 > 0等价为 或 ，< 0，即有或 < 2 > −2 即有0 < < 2或−2 < < 0． 则解集为(−2,0) ∪ (0,2)． 故答案为：(−2,0) ∪ (0,2) 奇函数 在(−∞, 0)内是减函数，则在(0, +∞)内是减函数．且 == 0，> 0< 0不等式 ⋅> 0等价为 或 ，运用单调性去掉 ，f> 0 =< 0 =解出它们，再求并集即可．本题考查函数的奇偶性和单调性的运用：解不等式，注意讨论 的范围，属于中档题．x 14.【答案】±1【解析】解：由分段函数可知 ∴由= 2得= 2 − 1 = 1．若 < 0，则√ = 1，解得 = −1．= 1，+若 ≥ 0，则√ = 1，解得 = 1， ∴ = ±1， 故答案为：±1．根据分段函数的表达式，解方程即可． 本题主要考查分段函数的应用，注意 自变量的取值范围．【解析】【分析】本题考查了函数的性质，图象的运用，利用函数的交点问题解决函数零点问题，属于中档题．化简构造得出= +>0与=≤02有且只有一个交点，利用函数的图象的交点求解即可．2+【解答】解+>0，若=≤0：∵函数=2+有且只有一个零点，2++>0与=≤0∴=2有且只有一个交点，2+根据图形得出：>1，∴<−1故答案为<−1．16.【答案】(0,1)【解析】【分析】画出图像可得解．【解答】解：曲线=−1|与直线=如图所示．由图像可得，的取值范围是(0,1)．b故答案为(0,1)．17.【答案】解：(1)∵=∴∩=(2,5]；−1≤≤5}，=<−2或>2}，(2)∵⊆，且=≤−1}，∴−1≥5，解得≥6，∴实数的取值范围为[6,+∞)．a【解析】本题考查了描述法的定义，交集的定义及运算，子集的定义，考查了计算能力，属于基础题．(1)可以求出=−1≤≤5}，然后进行交集的运算即可；(2)根据⊆即可得出−1≥5，解出的范围即可．a18.【答案】解：12= 2时，不等式化为− − 2) ≤ 0，∴ 1 ≤ ≤ 2，21 2≤≤ 2}；∴不等式的解集为 (2)由题意得 =−− )，1 11}；当0 << 1时， < ，不等式解集为≤ 或 ≥ 1 当 = 1时， = ，不等式解集为 ； R 1 1 }.≥ 或 ≤当 > 1时， > ，不等式解集为【解析】本题考查不等式的解法，考查分类讨论的数学思想，属于中档题．= 2时，不等式化为− 1− 2) ≤ 0，即可解不等式≤ 0，2(2)若 > 0，分类讨论解关于 的不等式≥ 0．x 19.【答案】【解答】解：(1)①当0 < < 80时，根据年利润=销售收入−成本， ∴=− 1−− 250 = − 1+2− 250；2 33 ②当 ≥ 80时，根据年利润=销售收入−成本， ∴=−− 10000 + 1450 − 250 = 1200 −+ 10000)．− 1 + − 250(0 < < 80)2 综合①②可得，= { 3 ； 1200 − + 10000≥ 80) − 250(0 < < 80) − 1 + 2 (2)由(1)可知，= { 3 , 1200 − + 10000≥ 80)①当0 < < 80时，= − 2 +1− 250 = − 13− 60)2 + 950，3∴当 = 60时， ②当 ≥ 80时，取得最大值 = 950万元； = 1200 −+ 10000) ≤ 1200 −⋅ 10000 = 1200 − 200 = 1000， = 1000万元．当且仅当 = 10000，即 = 100时， 综合①②，由于950 < 1000，取得最大值∴当产量为 100 万件时，该厂在这一商品中所获利润最大，最大利润为1000 万元．【解析】【试题解析】本题主要考查函数模型的选择与应用，属于一般题目． (1)分两种情况进行研究，当0 < < 80时，投入成本为= 13+万元)，根据 2 年利润=销售收入−成本，列出函数关系式，当 ≥ 80时，投入成本为 =+1450，根据年利润=销售收入−成本，列出函数关系式，最后写成分段函数的形式，从而得到答案；(2)根据年利润的解析式，分段研究函数的最值，当0 << 80时，利用二次函数求最值，当 ≥ 80时，利用基本不等式求最值，最后比较两个最值，即可得到答案．20.【答案】解：(1)由 是定义在 上的奇函数，所以R= 0，又 > 0时， =2 −，所以 < 0时， > 0， 所以==2 − ，− ≥ 02 所以函数的解析式为 = ; −< 02 (2)当 > 0时，=−，2 ①若 ≤ 0，由 = ⩽ 0知，在(0, +∞)上递增，不合题意；2> 0， = ∈ (0, +∞)，2所以 在(0, +∞)上先减再增，符合函数在(0, +∞)上不单调，综上，实数 的取值范围为 > 0； a 2,≥ 0(3)当 = 0时， =，2, < 0可得函数 是定义域 上的单调递增，R又 是定义域 上的奇函数，R由 ∈ (−1,1)， ∈ (−1,1)，∈ (−1,1)，2 − 2− + 2 − −> 0成立， 2)成立，可得 ∴> −>−2 2⇒ < −=− 3) − 92，2 8 16 ∵ ∈ (−1,1)，∴ (−) ∈ [− 9 , 7),2 16【解析】本题主要考查了函数的解析式、不等式存在性问题，涉及函数的奇偶性、单调 性，属于中档题． (1)由函数的奇偶性先求导求得 < 0的解析式，总结可得(2)结合二次函数的单调性，分类讨论即可求得 的取值范围；= 0，在由 < 0转化为> 0，根据奇函数=在 上的解析式；R a = 0时，结合函数的单调性、奇偶性得到 不等式存在性问题即可求解． 21.【答案】解：因为 ∈ (−1,1)， < − ，进而根据2 2 −有零点，= log 3所以log 3 2 −= 0有解，所以2 −= 1有解．当 = 0时， = −1； 当 ≠ 0时，若2 −− 1 = 0有解，1 则 = 1 +≥ 0，解得 ≥ − 且 ≠ 0．41 综上，实数 的取值范围是[ − ，+∞)．a 4【解析】函数 = log 32 − 有零点，即 2 −= 1有解，讨论 = 0和 ≠ 0两种情况求解即可．本题主要考查函数模型的选择与应用，属于一般题目． (1)分两种情况进行研究，当0 < < 80时，投入成本为= 13+万元)，根据 2 年利润=销售收入−成本，列出函数关系式，当 ≥ 80时，投入成本为 =+10000 −1450，根据年利润=销售收入−成本，列出函数关系式，最后写成分段函数的形式，从而得到答案；(2)根据年利润的解析式，分段研究函数的最值，当0 << 80时，利用二次函数求最值，当 ≥ 80时，利用基本不等式求最值，最后比较两个最值，即可得到答案．20.【答案】解：(1)由 是定义在 上的奇函数，所以R= 0，又 > 0时， =2 −，所以 < 0时， > 0， 所以==2 − ，− ≥ 02 所以函数的解析式为 = ; −< 02 (2)当 > 0时，=−，2 ①若 ≤ 0，由 = ⩽ 0知，在(0, +∞)上递增，不合题意；2> 0， = ∈ (0, +∞)，2所以 在(0, +∞)上先减再增，符合函数在(0, +∞)上不单调，综上，实数 的取值范围为 > 0； a 2,≥ 0(3)当 = 0时， =，2, < 0可得函数 是定义域 上的单调递增，R又 是定义域 上的奇函数，R由 ∈ (−1,1)， ∈ (−1,1)，∈ (−1,1)，2 − 2− + 2 − −> 0成立， 2)成立，可得 ∴> −>−2 2⇒ < −=− 3) − 92，2 8 16 ∵ ∈ (−1,1)，∴ (−) ∈ [− 9 , 7),2 16【解析】本题主要考查了函数的解析式、不等式存在性问题，涉及函数的奇偶性、单调 性，属于中档题． (1)由函数的奇偶性先求导求得 < 0的解析式，总结可得(2)结合二次函数的单调性，分类讨论即可求得 的取值范围；= 0，在由 < 0转化为> 0，根据奇函数=在 上的解析式；R a = 0时，结合函数的单调性、奇偶性得到 不等式存在性问题即可求解． 21.【答案】解：因为 ∈ (−1,1)， < − ，进而根据2 2 −有零点，= log 3所以log 3 2 −= 0有解，所以2 −= 1有解．当 = 0时， = −1； 当 ≠ 0时，若2 −− 1 = 0有解，1 则 = 1 +≥ 0，解得 ≥ − 且 ≠ 0．41 综上，实数 的取值范围是[ − ，+∞)．a 4【解析】函数 = log 32 − 有零点，即 2 −= 1有解，讨论 = 0和 ≠ 0两种情况求解即可．。
复旦附中高一上期末解析(2020.1)
复旦附中高一上期末数学试卷2020.01一、填空题1．函数12log (5)y x =-的定义域为 ．2．函数2()1(1)f x x x =+-≤的反函数为 ． 3．已知2log 3a =，试用a 表示9log 12= ． 4．幂函数223()(1)(,)mm f x a x a m --=-∈N 为偶函数，且在(0,)+∞上是减函数，则a m += ．5．函数23log ()y x x =-的递增区间为 ．6．方程22log (95)log (32)2x x -=-+的解为x = ．7．已知关于x 的方程2240x kx k k +++-=有两个实数根，且一根大于2，一根小于2，则实数k 的取值范围为 ．8．若函数6,2,()3log ,2,a x x f x x x -+⎧=⎨+>⎩≤（0a >且1a ≠）的值域是[4,)+∞，则实数a 的取值范围 ．9．已知1()(33)2x x f x -=-的反函数为1()f x -，当[3,5]x ∈-时，函数1()(1)1F x f x -=-+的最大值为M ，最小值为m ，则M m += ．10．对于函数(),y f x x D =∈，若对任意,,a b c D ∈，(),(),()f a f b f c 都可为某一三角形的三边长，则称()f x 为“三角形函数”．已知()1x x e tf x e +=+是三角形函数，则实数t 的取值范围是 ．11．若关于x 的方程54(4)|5|x x m x x+--=在(0,)+∞内恰好有三个相异实根，则实数m 的取值范围是 ．12．已知函数2131()1log 12x x k x f x xx ⎧-++⎪=⎨-+>⎪⎩≤，2()lg(2)()1xg x a x a x =⋅++∈+R ，若对任意的 {}12,|,2x x x x x ∈∈>-R ，均有12()()f x g x ≤，则实数k 的取值范围是 ．二、选择题13．若命题甲：10x -=，命题乙：2lg lg 0x x -=，则命题甲是命题乙的（ ） A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件 C ．充要条件 D ．既非充分也非必要条件14．下列函数中既是偶函数，又在(0,)+∞上单调递增的是（ ） A ．1||y x = B ．2y x -= C ．2|log |y x = D ．23y x =15．设函数()f x 的定义域为R ，有下列三个命题：（1）若存在常数M ，使得对任意x ∈R , 有()f x M ≤，则M 是函数()f x 的最大值； （2）若存在0x ∈R , 使得对任意x ∈R , 且0x x ≠, 有0()()f x f x <，则0()f x 是函数()f x 的最大值；（3）若存在0x ∈R , 使得对任意x ∈R , 有0()()f x f x ≤，则0()f x 是函数()f x 的最大值． 这些命题中，真命题的个数是（ ）A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个 16．已知函数2()2x f x m x nx =⋅++，记集合{|()0,}A x f x x ==∈R ，集合{|[()]0,}B x f f x x ==∈R ，若A B =，且都不是空集，则m n +的取值范围是（ ）A ．[0,4)B ．[1,4)-C ．[3,5]-D ．[0,7)三、解答题17．已知函数1()421x x f x a +=-⋅+． （1）若1a =，解方程：()4f x =；（2）若()f x 在[1,1]-上存在零点，求实数a 的取值范围．18．已知函数21()log 1axf x x -=-的图像关于原点对称，其中a 为常数． （1）求a 的值； （2）设集合4{|1}7A x x=-≥，2={|()log (1)}B x f x x m +-<，若A B ≠∅I ，求实数m 的 取值范围．19．近年来，雾霾日趋严重，我们的工作．生活受到了严重的影响，如何改善空气质量已成为当今的热点问题．某空气净化器制造厂，决定投入生产某型号的空气净化器，根据以往的生产销售经验得到下面有关生产销售的统计规律：每生产该型号空气净化器x （百台），其总成本为()P x （万元），其中固定成本为12万元，并且每生产1百台的生产成本为10万元（总成本=固定成本+生产成本）．销售收入()Q x （万元）满足20.522,(016)()224,(16)x x x Q x x ⎧-+=⎨>⎩≤≤，假定该产品产销平衡（即生产的产品都能卖掉），根据上述统计规律，请完成下列问题：（1）求利润函数()y f x =的解析式（利润＝销售收入−总成本）； （2）工厂生产多少百台产品时，可使利润最多？20．若函数()f x 满足：对于其定义域D 内的任何一个自变量0x ，都有函数值0()f x D ∈， 则称函数()f x 在D 上封闭．（1）若下列函数的定义域为(0,1)D =，试判断其中哪些在D 上封闭，并说明理由． 1()21f x x =-，2()21x f x =-；（2）若函数5()2x ag x x -=+的定义域为(1,2)，是否存在实数a ，使得()g x 在其定义域(1,2)上 封闭？若存在，求出所有a 的值，并给出证明；若不存在，请说明理由．（3）已知函数()f x 在其定义域D 上封闭，且单调递增．若0x D ∈且00(())f f x x =，求证： 00()f x x =．21．已知函数||0()20x x a x f x x +⎧=⎨<⎩≥，其中a ∈R ．（1）若1a =-，解不等式1()4f x ≥；（2）设0a >，21()log ()g x f x =，若对任意的1[,2]2t ∈，函数()g x 在区间[,2]t t +上的最大值和最小值的差不超过1，求实数a 的取值范围；（3）已知函数()y f x =存在反函数，其反函数记为1()y f x -=．若关于x 的不等式：12(4)()|2|f a f x x a --+-≤在[0,)x ∈+∞上恒成立，求实数a 的取值范围．参考答案一、填空题1．(,5)-∞ 2．1,(2)y x x =--≥ 3．22a a+ 4．3 5．(1,)+∞ 6．1 7．(3,0)- 8．(1,2] 9．2 10．1[,2]211．415(6,) 12．3(,]4-∞-【第9题解析】易知()f x 为R 上单调递增的奇函数，从而可知1()f x -也是R 上单调递增的奇函数，1()(1)1F x f x -=-+是由1()f x -向右、向上平移1个单位，∴()F x 在[3,5]x ∈-上单调递增，且关于点(1,1)中心对称，∴122M mM m +=⇒+=．【第10题解析】即min max 2()()f x f x >，111()1111x x x x xe t e t tf x e e e +++--===++++， ①当10t ->，即1t >时，()f x 在R 上单调递减，()(1,)f x t ∈，∴21t ⋅≥，解得(1,2]t ∈； ②当10t -=，即1t =时，()1f x =符合题意；③当10t -<，即1t <时，()f x 在R 上单调递增，()(,1)f x t ∈，∴21t ⋅≥，解得1[,1)2t ∈；综上，1[,2]2t ∈．【第11题解析】记92594,,5054()45141259,509,0x x x x x x xf x x x x x x x x x x x x ⎧⎧-+-+-⎪⎪⎪⎪⎛⎫=+--==⎨⎨ ⎪⎝⎭⎪⎪+-<+<<⎪⎪⎩⎩≥≥，函数图象如图所示，研究函数单调性可得，10,3x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时，()f x 单调递减，125,3x ⎛⎤∈ ⎥ ⎝⎦时，()f x 单调递增，25,x ⎛⎫∈+∞ ⎪ ⎪⎝⎭时，()f x 单调递减，125,3m f f⎛⎫⎛⎫⎛⎫∈ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭时， 原方程在(0,)+∞内恰有三个相异实根，即4156,m ⎛⎫∈ ⎪ ⎪⎝⎭．【第12题解析】121max 2min ()()()()f x g x f x g x ⇒≤≤，而lg(2)x +∈R ，∴0a =，∴2()(2)1x g x x x =>-+，()g x 的值域为11,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦， 当1x >时，()f x 单调递减，1()(1)2f x f <=-，满足满足题设条件；当1x ≤，max 1113()2424f x f k k ⎛⎫==+-⇒- ⎪⎝⎭≤≤；综上，3,4k ⎛⎤∈-∞- ⎥⎝⎦．二、选择题13．A 14．D 15．C 16．A 【第16题解析】 设0x A ∈，则0()0f x =，又A B =，所以0x B ∈，即0[()](0)0f f x f ==，所以0m =，2()f x x nx =+． 由22222[()]()()()()0f f x x nx n x nx x nx x nx n =+++=+++=． 若0n =时，则{0}A B ==，满足题意； 若0n ≠时，由方程()0f x =的根为0和n -． 而0和n -不是方程20x nx n ++=的根，所以方程20x nx n ++=无解，即240n n ∆=-<，解得(0,4)n ∈ 综上所述，[0,4)n ∈，则m n +的取值范围是[0,4)．三、解答题17．（1）()42214x x f x =-⋅+=，23x =或21x =-（舍） 方程的解为2log 3x =．（2）令12[,2]2xt =∈，则2210t at -+=，2112t a t t t +==+，因为1t t +在1[,1]2上递减，[1,2]上递增，所以552[2,],[1,]24a a ∈∈18．（1）()f x 为奇函数，101axx ->-的解集关于原点对称，所以1a =-．此时21()log ,(11)1x f x x x x +=><--或，2211()log log ()11x x f x f x x x -+--===---+成立，故1a =-．（2）[3,7)A =22()log (1)log (1)f x x x m +-=+<在[3,7)上有解， 2log (1)[2,3), 2.x m +∈∴>Q解2：2log (1),012m x m x +<<+<，(1,21)m B =-- ,213, 2.m A B m ≠∅∴->>Q I19．（1）由题意得()1210P x x =+,则20.51212,016,()()()21210,16.x x x f x Q x P x x x ⎧-+-=-=⎨->⎩≤≤（2）当16x >时，函数()f x 递减，即有()212101652f x <-⨯=；当016x ≤≤时，函数2()0.5(12)60f x x =--+ 当12x =时，()f x 有最大值6052>综上可知，当工厂生产12百台时，可使利润最大为60万元．20．（1）当(0,1)x ∈时，1()21(1,1)f x x =-∈-，1()f x ∴在D 上不封闭；2()21(0,1)x f x =-∈，2()f x 在D 上封闭． （2）设存在实数a ，使得5()2x ag x x -=+在(1,2)上封闭， 即对一切(1,2)x ∈，5122x ax -<<+恒成立， 20,2524x x x a x +>∴+<-<+Q ，即3442x a x -<<-恒成立，34(1,2)2x a -∈-∴≥Q ；42(2,6)2x a -∈∴≤Q ．综上，满足条件的2a =． （3）假设00()f x x ≠，①若00()f x x >，00(),f x x D ∈Q ，()f x 在D 上单调递增， 00(())()f f x f x ∴>，即00()x f x >，矛盾；②若00()f x x <，00(),f x x D ∈Q ，()f x 在D 上单调递增， 00(())()f f x f x ∴<，即00()x f x <，矛盾．所以，假设不成立，00()f x x =．21．（1）1a =-时，|1|,0()2,0x x x f x x -⎧=⎨<⎩≥当0x ≥时，15335()|1|,,[0,][,)44444f x x x x x =-∴∈+∞≥≥或≤U ；当0x <时，1()2,2,[2,0)4x f x x x =-∴∈-≥≥．综上，35[2,][,)44x ∈-+∞U ．（2）22110,[,2],()log ()log ()a x t t g x f a x x >∈+∴==+Q 单调递减，max min 2211()()()(2)log ()log ()12g x g x g t g t a a t t -=-+=+-++≤，112()2a a t t +++≤，1222(2)t a t t t t --=++≥ 在1[,2]2t ∈上恒成立， 令32[0,]2m t =-∈，22()(2)(2)(4)68t m m h m t t m m m m -===+---+， 当0m =时，()0h m =，当3(0,]2m ∈时，1()86h m m m =+-，86m m +-Q 在3(0,]2上递减，83165666,()(0,]2365m h m m ∴+-≥+-=∈， 综上，65a ≥．（3）若0a <，则(0)(2)||f f a a =-=；若0a =，则11(1)()22f f -==；若01a <<，则2(0)(log )f f a a ==，1a ∴<时，()f x 没有反函数． 当1a ≥时，,0()2,0x x a x f x x +⎧=⎨<⎩≥ 为增函数，存在反函数，且()f x 的值域为(0,1)[,)a +∞U ． 令2()()|2|,[0,)F x f x x a x =+-∈+∞，则222223,2()|2|,2a x a a x F x x a x a a x a a x ⎧-+⎪⎪=++-=⎨⎪-++<⎪⎩≥ ， 22min ,()22a a x F x a ==+，所以21(4)2a f a a --+≤，因为()f x 是增函数，所以1()f x -也是增函数，2224()2,680,33224(0,1)[,),(3,4)(,2]1a a a f a a a a a a a a a a ⎧-+=++--+-⎪⎪⎪-∈+∞∈-∞⎨⎪⎪⎪⎩≤≥≥≤≥U U综上，3,2](3,4)a ∈U ．。
【精准解析】上海市复旦大学附属中学2019-2020学年高一上学期期末考试数学试题
∴ m2 2m 3 0 ，且 m2 2m 3 为偶数， m N ，且 a 1=1 . 解得 1 m 3 ， m 0 ，1，2， 且 a=2 , 只有 m 1时满足 m2 2m 3= 4 为偶数. ∴ m 1.
-2-
am3
故答案为：3. 【点睛】本题考查幂函数的性质，根据幂函数性质求参数值，可根据幂函数性质列不等式和 等式，求解即可，属于基础题.
5.函数 y log3 x2 x 的递增区间为__________．
【答案】 1,
【解析】 【分析】 先求出函数的定义域，然后将复合函数分解为内、外函数，分别讨论内外函数的单调性，进
而根据复合函数单调性“同增异减”的原则，得到函数 y log3 x2 x 的单调递增区间． 【详解】函数 y log3 x2 x 的定义域为(−∞,0)∪(1,+∞)
所以原函数的定义域为： ,5 ， 故答案为： ,5 .
【点睛】本题考查对数函数的定义域，利用真数大于 0 列不等式求解即可，属于基础题.
2.函数 f x x2 1x 1 的反函数为__________．
【答案】 y x 1 ， x 2
【解析】 【分析】 通过函数的方程，求出 x，利用反函数的定义，求出函数的反函数即可．
a m ____．
【答案】3
【解析】
【分析】
由幂函数 f x a 1 xm2 2m3 a, m N 为偶函数，且在（0，+∞）上是单调递减函数，
可得 m2-2m-3＜0，且 m2-2m-3 为偶数，m∈Z，且 a 1=1 ．解出即可．
【详解】∵幂函数 f x a 1 xm2 2m3 a, m N 为偶函数，且在 0, 上是减函数，
∵一根大于 2，一根小于 2，
2019-2020学年上海中学高一(上)期末数学试卷
2019-2020学年上海中学高一（上）期末数学试卷一、填空题1. 函数f(x)=√2−x +ln (x −1)的定义域为________．2. 设函数f(x)=(x+1)(x−a)x 为奇函数，则实数a 的值为________．3. 已知y ＝log a x +2(a >0且a ≠1)的图象过定点P ，点P 在指数函数y ＝f(x)的图象上，则f(x)＝________．4. 方程92x+1＝(13)x 的解为________．5. 对任意正实数x ，y ，f(xy)＝f(x)+f(y)，f(9)＝4，则f(√3)=________．6. 已知幂函数f(x)＝(m 2−5m +7)x m 是R 上的增函数，则m 的值为________．7. 已知函数f(x)={2x (x ≤0)log 2x(0<x ≤1)的反函数是f −1(x)，则f −1(12)＝________．8. 函数y ＝log 34|x 2−6x +5|的单调递增区间为________．9. 若函数f(x)=log a (x 2−ax +2)(a >0且a ≠1)满足：对任意x 1，x 2，当x 1<x 2≤a 2时，f(x 1)−f(x 2)>0，则a 的取值范围为________√2） ．10. 已知x >0，定义f(x)表示不小于x 的最小整数，若f （3x +f(x)）＝f(6.5)，则正数x 的取值范围为________．11. 已知函数f(x)＝log a (mx +2)−log a (2m +1+2x )(a >0且a ≠1)只有一个零点，则实数m 的取值范围为________．12. 已知函数f(x)={log 12(1−x),−1≤x ≤n 22−|x−1|−3,n <x ≤m ，(n <m)的值域是[−1, 1]，有下列结论：（1）n ＝0时，m ∈(0, 2]；（2）n =12时，m ∈(12,2]；（3）n =[0,12)时，m ∈(n, 2]，其中正确的结论的序号为________．二、选择题下列函数中，是奇函数且在区间(1, +∞)上是增函数的是（ ）A.f(x)＝3|x|B.f(x)=1x −xC.f(x)＝−x 3D.f(x)＝−log 2x+1x−1已知f(x)是定义在R 上的偶函数，且在区间(−∞, 0)上单调递增，若实数m 满足f(|m −1|)>f(−1)，则m 的取值范围是（ ）A.(−∞, 0)∪(2, +∞)B.(−∞, 0)C.(0, 2)D.(2, +∞)如果函数f(x)在其定义域内存在实数x 0，使得f(x 0+1)＝f(x 0)+f(1)成立，则称函数f(x)为“可拆分函数”，若f(x)=lg a 2x +1为“可拆分函数”，则a 的取值范围是（ ）A.(32,3)B.(12,32)C.(32,3]D.(3, +∞]定义在(−1, 1)上的函数f(x)满足f(x)=1f(x−1)+1，当x ∈(−1, 0]时，f(x)=1x+1−1，若函数g(x)＝|f(x)−12|−mx −m 在(−1, 1)内恰有3个零点，则实数m 的取值范围是（ ）A.[14,916)B.(14,916)C.[14,12)D.(14,12) 三.解谷题已知函数f(x)＝2x −1的反函数是y ＝f −1(x)，g(x)＝log 4(3x +1)．（1）画出f(x)＝2x −1的图象；（2）解方程f −1(x)＝g(x)．已知定义在R 上的奇函数f(x)＝ka x −a −x （(a >0且a ≠1)，k ∈R)．（1）求k 的值，并用定义证明当a >1时，函数f(x)是R 上的增函数；（2）已知f(1)=32，求函数g(x)＝a 2x +a −2x 在区间[0, 1]上的取值范围．松江有轨电车项目正在如火如荼的进行中，通车后将给市民出行带来便利，已知某条线路通车后，电车的发车时间间隔t （单位：分钟）满足2≤t ≤20，经市场调研测算，电车载客量与发车时间间隔t 相关，当10≤t ≤20时电车为满载状态，载客量为400人，当2≤t <10时，载客量会减少，减少的人数与(10−t)的平方成正比，且发车时间间隔为2分钟时的载客量为272人，记电车载客量为p(t)．(1)求p(t)的表达式，并求当发车时间间隔为6分钟时，电车的载客量；(2)若该线路每分钟的净收益为Q =6p(t)−1500t −60（元），问当发车时间间隔为多少时，该线路每分钟的净收益最大？对于定义域为D 的函数y ＝f(x)，若存在区间[a, b]⊂D ，使得f(x)同时满足，①f(x)在[a, b]上是单调函数，②当f(x)的定义域为[a, b]时，f(x)的值域也为[a, b]，则称区间[a, b]为该函数的一个“和谐区间”．（1）求出函数f(x)＝x 3的所有“和谐区间”[a, b]；（2）函数f(x)=|4x −3|是否存在“和谐区间”[a, b]？若存在，求出实数a ，b 的值；若不存在，请说明理由；（3）已知定义在(2, k)上的函数f(x)=2m −4x−1有“和谐区间”，求正整数k 取最小值时实数m 的取值范围．定义在R 上的函数g(x)和二次函数ℎ(x)满足：g(x)+2g(−x)＝e x +2e x −9，ℎ(−2)＝ℎ(0)＝1，ℎ(−3)＝−2．（1）求g(x)和ℎ(x)的解析式；（2）若对于x 1，x 2∈[−1, 1]，均有ℎ(x 1)+ax 1+5≥g(x 2)+3−e 成立，求a 的取值范围；（3）设f(x)={g(x),x >0ℎ(x),x ≤0，在（2）的条件下，讨论方程f[f(x)]＝a +5的解的个数．参考答案与试题解析2019-2020学年上海中学高一（上）期末数学试卷一、填空题1.【答案】此题暂无答案【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答2.【答案】此题暂无答案【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答3.【答案】此题暂无答案【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答4.【答案】此题暂无答案【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答5.【答案】此题暂无答案【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答6.【答案】此题暂无答案【解析】此题暂无解析此题暂无解答7.【答案】此题暂无答案【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答8.【答案】此题暂无答案【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答9.【答案】此题暂无答案【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答10.【答案】此题暂无答案【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答11.【答案】此题暂无答案【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答12.【答案】此题暂无答案【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答此题暂无答案【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】此题暂无答案【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】此题暂无答案【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】此题暂无答案【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答三.解谷题【答案】此题暂无答案【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】此题暂无答案【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】此题暂无答案【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】此题暂无答案【解析】此题暂无解答【答案】此题暂无答案【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答。
2020-2021学年上海市复旦附中高一(上)期末数学试卷
2020-2021学年上海市复旦附中高一（上）期末数学试卷一、填空题（本大题共12题，满分54分，第1～6题每题4分，第7-12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果 1．（4分）函数2()(2)f x log x =-的定义域为 ．2．（4分）不等式2233(1)(31)x x ->+的解集为 ．3．（4分）函数2()log (31)f x x =+，[0x ∈，5]的反函数是 ． 4．（4分）对于实数a ，b ，c ，d ，定义&||&a bad bc c d-=．设函数22(1)&1()||&1log x f x log x --=，则方程()1f x =的解为 ．5．（4分）若函数()1axf x x =+在区间(0,)+∞是严格增函数，则实数a 的取值范围是 ． 6．（4分）已知函数24()1,f x min log x x ⎧⎫=+⎨⎬⎩⎭，若函数()()g x f x =-恰有两个零点，则的取值范围为 ．7．（5分）已知函数15()||(0)2f x x x x =+->，则()f x 的递减区间是 ． 8．（5分）若函数()232x x f x -=+⋅的图象关于直线x m =成轴对称图形，则m = ． 9．（5分）若关于x 的不等式1|2|02x xm --<在区间[0，1]内恒成立，则实数m 的范围 ． 10．（5分）已知函数22()(815)()(f x x x ax bx c a =++++，b ，)c R ∈是偶函数，若方程21ax bx c ++=在区间[1，2]上有解，则实数a 的取值范围是 ．11．（5分）若函数22()(0)1x x a f x x x ++=+的值域为[a ，)+∞，则实数a 的取值范围是 ． 12．（5分）已知集合[A t =，1][4t t ++，9]t +，0A ∉，存在正数λ，使得对任意a A ∈，都有A aλ∈，则t 的值是 ．二、选择题（本大题共4题，满分20分，每题5分）每题有且只有一个正确选项.考生在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑13．（5分）已知()f x 为定义在R 上的奇函数，当0x <时，()3x f x =，则函数()f x 的值域为( ) A ．(1,1)-B ．[0，1)C ．RD ．[0，1]14．（5分）中国的5G 技术领先世界，5G 技术的数学原理之一便是著名的香农公式：2(1)SC Wlog N=+，它表示：在受噪声干扰的信道中，最大信息传递速率C 取决于信道带宽W 、信道内信号的平均功率S 、信道内部的高斯噪声功率N 的大小，其中SN叫做信噪比．按照香农公式，若不改变带宽W ，而将信噪比SN从1000提升至5000，则C 大约增加了( )A ．20%B ．23%C ．28%D ．50%15．（5分）若函数1()f x lnx a x=-+在区间(1,)e （其中 2.71828)e =⋯上存在零点，则常数a 的取值范围( ) A ．01a <<B ．11a e <<C ．111a e -<<D ．111a e+<<16．（5分）设函数()f x 的定义域是R ，已知以下三个陈述句：p ：存在R α∈且0a ≠，对任意的x R ∈，均有(2)(2)x a x f f f -<+（a ）恒成立；1:()q f x 严格递减，且()0f x >恒成立；2:()q f x 严格递增，存在00x <，使得0()0f x =．用这三个陈述句组成了两个命题，命题S ：“若1q ，则P ”；命题T ：“若2q ，则P ”，则关于S ，T ，以下说法正确的是( ) A ．两个命题S ，T 都是真命题 B ．只有命题S 是真命题 C ．只有命题T 是真命题D ．两个命题S ，T 都不是真命题三、解答题（本大题共5题，满分76分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤.17．（14分）已知函数21()(51)m h x m m x +=-+为幂函数，且为奇函数． （1）求m 的值；（2）求函数()()g x h x =+在1[1,]2x ∈-的值域．18．（14分）已知函数12()||h x log x =．（1）求()h x 在11[,]()22a a >上的最大值；（2）设函数()f x 的定义域为I ，若存在区间A I ⊆，满足：对任何1x A ∈，都存在2x A ∈（其中A 表示A 在I 上的补集）使得12()()f x f x =，则称区间A 为()f x 的“Γ区间”．已知121()||([,2])2h x log x x =∈，若1(,)2A a =函数()h x 的“Γ区间”，求a 的最大值． 19．（14分）新冠肺炎疫情发生以后，口罩供不应求，某口罩厂日夜加班生产，为抗击疫情做贡献．生产口罩的固定成本为400万元，每生产x 万箱，需另投入成本()p x 万元，当产量不足60万箱时，21()502p x x x =+；当产量不小于60万箱时，6400()1011860p x x x=+-，若每箱口罩售价100元，通过市场分析，该口罩厂生产的口罩可以全部销售完． （1）求口罩销售利润y （万元）关于产量x （万箱）的函数关系式； （2）当产量为多少万箱时，该口罩生产厂在生产中所获得利润最大？ 20．（16分）设0a >，函数1()12xf x a =+⋅． （1）若1a =，求()f x 的反函数1()f x -；（2）求函数()()y f x f x =⋅-的最大值（用a 表示）；（3）设()()(1)g x f x f x =--．若对任意(x ∈-∞，0]，()(0)g x g 恒成立，求a 的取值范围． 21．（18分）已知函数()||f x x x a =-，其中a 为常数． （1）当1a =时，解不等式()2f x <；（2）若()f x 是奇函数，判断并证明()f x 的单调性；（3）若在[0，2]上存在2021个不同的实数(1i x i =，2，⋯，2021)，122021x x x <<⋯<，使得122320202021|()()||()()||()()|8f x f x f x f x f x f x -+-+⋯+-=，求实数a 的取值范围．2020-2021学年上海市复旦附中高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（本大题共12题，满分54分，第1～6题每题4分，第7-12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果 1．（4分）函数2()(2)f x log x =-的定义域为 (2,4) ．【解答】解：由函数2()(2)f x log x +-，可得4020x x ->⎧⎨->⎩，求得24x <<， 可得定义域为(2,4)， 故答案为：(2,4)．2．（4分）不等式2233(1)(31)x x ->+的解集为 (1,0)- ． 【解答】解：2233(1)(31)x x ->+，22(1)(31)x x ∴->+，2221961x x x x ∴-+>++， 2880x x ∴+<，即8(1)0x x +<，解得：10x -<<， 故答案为：(1,0)-．3．（4分）函数2()log (31)f x x =+，[0x ∈，5]的反函数是 123y =⨯13x -，[0x ∈，4] ．【解答】解：函数2()log (31)f x x =+，[0x ∈，5]，所以函数的值域为[0，4]，312y x +=，可得123x =⨯13y -，所以函数2()log (31)f x x =+，[0x ∈，5]的反函数是：123y =⨯13x -，[0x ∈，4]．故答案为：123y =⨯13x -，[0x ∈，4]．4．（4分）对于实数a ，b ，c ，d ，定义&||&a bad bc c d-=．设函数22(1)&1()||&1log x f x log x --=，则方程()1f x =的解为 2x = ． 【解答】解：222222(1)&1()||log (1)log ()1&1log x f x x x log x x log x --==-+=-=，即22x x -=，且1x >，解得2x =．故答案为：2x =． 5．（4分）若函数()1axf x x =+在区间(0,)+∞是严格增函数，则实数a 的取值范围是 (0,)+∞ ． 【解答】解：设120x x >>， 则1212121212()()()11(1)(1)ax ax a x x f x f x x x x x --=-=++++， 若函数()1axf x x =+在区间(0,)+∞是严格增函数， 则121212()()()0(1)(1)a x x f x f x x x --=>++，110x +>，210x +>，120x x ->，0a ∴>，故答案为：(0,)+∞．6．（4分）已知函数24()1,f x min log x x ⎧⎫=+⎨⎬⎩⎭，若函数()()g x f x =-恰有两个零点，则的取值范围为 (1,2) ． 【解答】解设41y x=+，2log y x =， 则41y x=+在(0,)+∞上为减函数，2log y x =在(0,)+∞上为增函数， 当4x =时，41112y x=+=+=，2log 42y ==，此时两个函数值相等， 当04x <时，24log 1x x+，此时2()log (f x x =∈-∞，2]， 当4x >时，24log 1x x >+，此时4()1(1,2)f x x =+∈，即函数22,(0.4]4()1,41,(4,)log x x f x min log x x x x∈⎧⎪⎧⎫=+=⎨⎬⎨+∈+∞⎩⎭⎪⎩．若函数()()g x f x =-恰有两个零点， 则()()0g x f x =-=，即()f x =，恰有两个根，作出函数()f x 与y =的图象，由图象知若两个图象有两个不同的交点， 则12<<，故实数的取值范围是(1,2)， 故答案为：(1,2)．7．（5分）已知函数15()||(0)2f x x x x =+->，则()f x 的递减区间是 1(0,)2，(1,2) ．【解答】解：画出函数()f x 的图象，如图示：，结合图象，函数()f x 在1(0,)2，(1,2)递减，故答案为：1(0,)2，(1,2)．8．（5分）若函数()232x x f x -=+⋅的图象关于直线x m =成轴对称图形，则m = 212log ． 【解答】解：由题意可知0>，因为函数()232x x f x -=+⋅的图象关于直线x m =成轴对称图形， 则()f x m +为偶函数，图象关于y 轴对称， 故()()f m x f m x -=+恒成立， 所以220m m --⋅=，解得212m log =．故答案为：212log ．9．（5分）若关于x 的不等式1|2|02x xm --<在区间[0，1]内恒成立，则实数m 的范围 322m << ． 【解答】解：由1|2|02x x m --<，得1|2|2xxm -<， ∴11222xx xm -<-<， 即112222x x x x m -<<+在区间[0，1]内恒成立， 函数1()22x x f x =-在区间[0，1]内单调递增，()f x ∴的最大值为32； 令1()22x x g x =+，2(12)x t t =， 则1y t t =+在[1，2]上为增函数，由内函数2x t =为增函数，1()22x xg x ∴=+在区间[0，1]内单调递增，()g x 的最小值为2． ∴322m <<． 故答案为：322m <<． 10．（5分）已知函数22()(815)()(f x x x ax bx c a =++++，b ，)c R ∈是偶函数，若方程21ax bx c ++=在区间[1，2]上有解，则实数a 的取值范围是 11[,]83 ．【解答】解：22()(815)()f x x x ax bx c =++++是偶函数，图象关于y 轴对称，令28150x x ++=可得，3x =-或5x =-，根据偶函数图象的对称性可知，3，5是20ax bx c ++=的两个根， 815b ac a ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， ∴158c a b a =⎧⎨=-⎩，由21ax bx c ++=可得，28151ax ax a -+=， [1x ∈，2]时，2815[3x x -+∈，8]，2111[,]81583a x x ∴=∈-+ 故答案为：11[,]83．11．（5分）若函数22()(0)1x x af x x x ++=+的值域为[a ，)+∞，则实数a 的取值范围是 (-∞，2] ．【解答】解：函数222(1)11()1111x x a x a a f x x x x x ++++--===+++++， ①当10a -时，函数()f x 在[0，)+∞上单调递增，所以()(0)min f x f a ==， 此时函数的值域为[a ，)+∞， 所以1a ；②当10a ->时，1()(1)211a f x x a x -=++-+，当且仅当111a x x -+=+，即1x 时取等号，又(0)f a =，若()f x 的值域为[a ，)+∞10，即2a ， 所以12a <，综上，实数a 的取值范围为(-∞，2]， 故答案为：(-∞，2]．12．（5分）已知集合[A t =，1][4t t ++，9]t +，0A ∉，存在正数λ，使得对任意a A ∈，都有A aλ∈，则t 的值是 1或3- ．【解答】解：当0t >时，当[a t ∈，1]t +时，则[4t aλ∈+，9]t +，当[4a t ∈+，9]t +时，则[t aλ∈，1]t +，即当a t =时，9t aλ+；当9a t =+时，t aλ，即(9)t t λ=+； 当1a t =+时，4t aλ+，当4a t =+时，1t aλ+，即(1)(4)t t λ=++，(9)(1)(4)t t t t ∴+=++，解得1t =．当104t t +<<+时，当[a t ∈，1]t +时，则[t aλ∈，1]t +．当[4a t ∈+，9]t +，则[4t aλ∈+，9]t +，即当a t =时，1t aλ+，当1a t =+时，t aλ，即(1)t t λ=+，即当4a t =+时，9t aλ+，当9a t =+时，4t aλ+，即(4)(9)t t λ=++，(1)(4)(9)t t t t ∴+=++，解得3t =-．当90t +<时，同理可得无解． 综上，t 的值为1或3-． 故答案为：1或3-．二、选择题（本大题共4题，满分20分，每题5分）每题有且只有一个正确选项.考生在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑13．（5分）已知()f x 为定义在R 上的奇函数，当0x <时，()3x f x =，则函数()f x 的值域为( ) A ．(1,1)-B ．[0，1)C ．RD ．[0，1]【解答】解：根据题意，()f x 为定义在R 上的奇函数，则(0)0f =， 当0x <时，()3x f x =，有0()1f x <<， ()f x 为奇函数，则当0x >时，有1()0f x -<<，综合可得：1()1f x -<<， 即函数的值域为(1,1)-， 故选：A ．14．（5分）中国的5G 技术领先世界，5G 技术的数学原理之一便是著名的香农公式：2(1)SC Wlog N=+，它表示：在受噪声干扰的信道中，最大信息传递速率C 取决于信道带宽W 、信道内信号的平均功率S 、信道内部的高斯噪声功率N 的大小，其中SN叫做信噪比．按照香农公式，若不改变带宽W ，而将信噪比SN从1000提升至5000，则C 大约增加了( )A ．20%B ．23%C ．28%D ．50%【解答】解：将信噪比SN从1000提升至5000时， C 大约增加了222(15000)(11000)(11000)Wlog Wlog Wlog +-++ 222500010005001100122100010012lg lg log log lg lg lg log lg --=≈120.2323%3lg -=≈=． 故选：B ．15．（5分）若函数1()f x lnx a x=-+在区间(1,)e （其中 2.71828)e =⋯上存在零点，则常数a 的取值范围( ) A ．01a <<B ．11a e <<C ．111a e -<<D ．111a e+<<【解答】解：函数1()f x lnx a x=-+在区间(1,)e 上为增函数，f （1）110ln a =-+<，f （e ）10lne a e =-+>，可得111a e -<<故选：C ．16．（5分）设函数()f x 的定义域是R ，已知以下三个陈述句：p ：存在R α∈且0a ≠，对任意的x R ∈，均有(2)(2)x a x f f f -<+（a ）恒成立；1:()q f x 严格递减，且()0f x >恒成立；2:()q f x 严格递增，存在00x <，使得0()0f x =．用这三个陈述句组成了两个命题，命题S ：“若1q ，则P ”；命题T ：“若2q ，则P ”，则关于S ，T ，以下说法正确的是( ) A ．两个命题S ，T 都是真命题 B ．只有命题S 是真命题 C ．只有命题T 是真命题D ．两个命题S ，T 都不是真命题【解答】解：对于命题S ：“若1q ，则P ”； 当()f x 单调递减且()0f x >恒成立时，存在0a <，此时22x a x ->，而()f x 单调递减，所以(2)(2)x a x f f -<， 又因为()0f x >恒成立时，则f （a ）0>， 则有(2)(2)x a x f f f -<+（a ）恒成立， 命题S 为真命题；对于命题T ：“若2q ，则P ”，对于命题2q ：当()f x 单调递增，存在00x <使得0()0f x =， 存在0a >，则0a x >，则f （a ）0>，由于0a >，则22x a x -<，而()f x 严格递增，则(2)(2)x a x f f -<， 故(2)(2)x a x f f f -<+（a ）恒成立， 命题T 也为真命题， 两个命题S ，T 都是真命题； 故选：A ．三、解答题（本大题共5题，满分76分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤.17．（14分）已知函数21()(51)m h x m m x +=-+为幂函数，且为奇函数． （1）求m 的值；（2）求函数()()g x h x =+在1[1,]2x ∈-的值域．【解答】解：（1）函数21()(51)m h x m m x +=-+为幂函数， 2511m m ∴-+=，解得0m =或5，当0m =时，()h x x =是奇函数，符合题意， 当5m =时，6()h x x =是偶函数，不符合题意， 所以m 的值为0．（2）由（1）可得()g x x =，令t ，则212t x -=，112x -，0123x ∴-， 03t∴，22111()222t g t t t t -∴=+=-++(03)t，()g t 在[0，1]上单调递增，在[1上单调递减， ()max g t g ∴=（1）1=，又1(0)2g =，112g =>，1()2min g t ∴=，∴函数()()g x h x =+在1[1,]2x ∈-的值域为1[2，1]．18．（14分）已知函数12()||h x log x =．（1）求()h x 在11[,]()22a a >上的最大值；（2）设函数()f x 的定义域为I ，若存在区间A I ⊆，满足：对任何1x A ∈，都存在2x A ∈（其中A 表示A 在I 上的补集）使得12()()f x f x =，则称区间A 为()f x 的“Γ区间”．已知121()||([,2])2h x log x x =∈，若1(,)2A a =函数()h x 的“Γ区间”，求a 的最大值． 【解答】解：（1）由题意知，1()2h h =（2）1=，①若112a <，则()h x 在1[2，]a 上单调递减， 可得()h x 的最大值为1()12h =；②若12a <，则()h x 在1[2，1]上单调递减，在[1，]a 上单调递增，可得h （a ）h （2）1()12h ==，所以()h x 的最大值为 1；③若2a >，则()h x 在1[2，1]上单调递减，在[1，]a 上单调递增，可得h （a ）h （2）1()2h =，所以()h x 的最大值为h （a ）2|log |a =， 综上，若122a <，则()h x 的最大值为 1； 若2a >，则()h x 的最大值为2|log |a ； （2）由（1）知 ①当112a <时，()h x 在1(2，)a 上的值域为2(|log |a ，1)， ()f x 在1{}[2a ⋃，2]上的值域为[0，1]，由任何1x A ∈，都存在2x A ∈（其中A 表示A 在I 上的补集）使得12()()f x f x =， 可得2(|log |a ，1)[0⊆，1]， 即有2|log |0a ，即为112a <； ②当12a <时，()h x 在1(2，)a 上的值域为(0,1)，()h x 在1{}[2a ⋃，2]上的值域为2[|log |a ，1]，由任何1x A ∈，都存在2x A ∈（其中A 表示A 在I 上的补集）使得12()()f x f x =， 可得2(|log |a ，1][0⊆，1]， 即有2|log |0a ，即为12a <．综上可得，a 的最大值为2．19．（14分）新冠肺炎疫情发生以后，口罩供不应求，某口罩厂日夜加班生产，为抗击疫情做贡献．生产口罩的固定成本为400万元，每生产x 万箱，需另投入成本()p x 万元，当产量不足60万箱时，21()502p x x x =+；当产量不小于60万箱时，6400()1011860p x x x=+-，若每箱口罩售价100元，通过市场分析，该口罩厂生产的口罩可以全部销售完． （1）求口罩销售利润y （万元）关于产量x （万箱）的函数关系式； （2）当产量为多少万箱时，该口罩生产厂在生产中所获得利润最大？【解答】解：（1）当060x <<时，2211100(50)4005040022y x x x x x =-+-=-+-；当60x 时，64006400100(1011860)4001460()y x x x x x=-+--=-+． ∴2150400,060264001460(),60x x x y x x x ⎧-+-<<⎪⎪=⎨⎪-+⎪⎩；（2）当060x <<时，221150400(50)85022y x x x =-+-=--+，∴当50x =时，y 取得最大值，最大值为850万元；当60x 时，640064001460()146021300y x x x x=-+-=． 当且仅当6400x x=，即80x =时，y 取得最大值，最大值为1300万元． 综上，当产量为80万箱时，该口罩生产厂在生产中获得的利润最大，最大利润为1300万元． 20．（16分）设0a >，函数1()12xf x a =+⋅．（1）若1a =，求()f x 的反函数1()f x -；（2）求函数()()y f x f x =⋅-的最大值（用a 表示）；（3）设()()(1)g x f x f x =--．若对任意(x ∈-∞，0]，()(0)g x g 恒成立，求a 的取值范围．【解答】解：（1）当1a =时，1()12xf x =+， 112x y∴+=， 即1121x yy y-=-=，则01y <<， 21log ()yx y-∴=；故()f x 的反函数121()log ()xf x x --=，(0,1)x ∈（2）2111()()12121(22)x x x x y f x f x a a a a --=⋅-=⋅=+⋅+⋅+++， 设22x x y -=+，易知，函数22x x y -=+在(,0)-∞上单调递减，在(0,)+∞上单调递增， 则当0x =时，22x x y -=+有最小值，最小值为2， ∴当0x =时，()()y f x f x =⋅-有最大值，221112(1)max y a aa ∴==+++；（3）111()()(1)1212x x g x f x f x a a -=--=-+⋅+⋅，令2x t a =⋅，(x ∈-∞，0]，0a >，0t a ∴<．21()2323t h t t t t t--∴==++++，当2a时()h t 在(0，]a 上单调递减，所以2()()32min ah t h a a a -==++对任意(x ∈-∞，0]，()(0)g x g 恒成立，且11(0)1112g a a=-++， ∴211132112a a a a a--++++恒成立，02a∴<当a >1()223223g x t --⋅+，令2113113212a a a aa --=++++不恒成立，舍去综上，a 的取值范围是(0．21．（18分）已知函数()||f x x x a =-，其中a 为常数． （1）当1a =时，解不等式()2f x <；（2）若()f x 是奇函数，判断并证明()f x 的单调性；（3）若在[0，2]上存在2021个不同的实数(1i x i =，2，⋯，2021)，122021x x x <<⋯<，使得122320202021|()()||()()||()()|8f x f x f x f x f x f x -+-+⋯+-=，求实数a 的取值范围． 【解答】解：（1）当1a =时，()|1|f x x x =-， 当1x >时，2()2f x x x =-<，解得12x -<<， 所以12x <<，当0x =时，()02f x =<恒成立，当1x <时，2()2f x x x =-+<，解得1x <， 综上，不等式()2f x <的解集为(,2)-∞；（2）因为函数()f x 是奇函数，所以()()f x f x -=-， 令1x =，解得0a =，所以当0x 时，2()f x x =，显然函数在(0,)+∞单调递增， 当0x <时，2()f x x =-，在(,0)-∞上单调递增， 综上，函数()f x 在x R ∈时单调递增．（3）①当0a 时，()f x 在[0，2]上单调递增，所以122320202021|()()||()()||()()|f x f x f x f x f x f x -+-+⋯+- 213220212020(()())(()())(()())f x f x f x f x f x f x =-+-+⋯+-20211()()f x f x f =-（2）， 所以f （2）2(2)8a =-，解得2a -．②当4a 时，()()f x x a x =-是[0，2]上的增函数， 所以122320202021|()()||()()||()()|f x f x f x f x f x f x -+-+⋯+- 20211()()f x f x f =-（2）， 所以f （2）2(2)8a =-，解得6a ． ③当04a <<时，()f x 在[0，2]上不单调，所以122320202021|()()||()()||()()|f x f x f x f x f x f x -+-+⋯+-20211()()2()max f x f x f x =-，所以2()424a a f =<，f （2）2|2|4a =-<，在[0，2]上，(){()2max af x f =，f （2）}4<，所以当4a 时，()()f x x a x =-是[0，2]上的增函数，所以122320202021|()()||()()||()()|2()8max f x f x f x f x f x f x f x -+-+⋯+-<， 求实数a 的取值范围(-∞，2][6-⋃，)+∞．。
上海市复旦大学附属中学2020-2021学年高一上学期期末数学试题(解析版)
【详解】由题意 ，
当 ，即 时，函数 在 单调递增，
故 ，值域为 恒成立；
当 ，即 时， ，
当且仅当 ，即 时取等，
又 在 单调递增，且 ，
若值域为 ，则有 ，解得 ，
综上所述， 的取值范围为 ，
故答案为： .
12.已知集合 ， ，存在正数 ，使得对任意 ，都有 ，则 的值是____________
一方面 在 上恒成立，即 ，因为函数 在 上为增函数，要想 在 上恒成立，只需 大于函数 在 上的最大值即可，即 ；
另一方面 在 上恒成立，即 ，因为 (当且仅当 取等号),因此有 ，所以实数 的取值范围为 .
故答案为；
【点睛】本题考查了不等式恒成立问题，考查了函数单调性 性质，考查了基本不等式的应用.
【答案】
【解析】
【分析】
先求原函数的值域，再利用反函数的求法求解.
【详解】因为 ，
所以 ，
所以 ，
转化为指数式得： ，
所以函数的反函数是
故答案为：
4.对于实数a，b，c，d，定义 .设函数 ，则方程 的解为____.
【答案】
【解析】
【分析】
由题意可得 ，再代值求解即可，但注意定义域.
【详解】 新定义运算 ，
【详解】因为函数 的图像关于直线 成轴对称图形，
所以 恒成立，
即 恒成立，
即 恒成立，
所以 ，即 ，
解得 ，
故答案为：
9.若关于 的不等式 在区间 内恒成立，则实数 的取值范围为____．
【答案】
【解析】
【分析】
令 ，解这个绝对值不等式，结合函数的单调性，最后求出实数 的取值范围.
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
2019-2020学年上海市复旦附中高一（上）期末数学试卷一、选择题（本大题共4小题，共12.0分）1.若命题甲：，命题乙：，则命题甲是命题乙的A. 充分非必要条件B. 必要非充分条件C. 充要条件D. 非充分也非必要条件2.下列函数中既是偶函数，又在上单调递增的是A. B. C. D.3.设函数的定义域为R，有下列三个命题：若存在常数M，使得对任意，有，则M是函数的最大值；若存在，使得对任意，且，有，则是函数的最大值；若存在，使得对任意，有，则是函数的最大值．这些命题中，真命题的个数是A. 0B. 1C. 2D. 34.已知函数，记集合，集合，若，且都不是空集，则的取值范围是A. B. C. D.二、填空题（本大题共12小题，共36.0分）5.函数的定义域为______．6.函数的反函数为______．7.已知，试用a表示______．8.幂函数为偶函数，且在上是减函数，则______．9.函数的递增区间为______．10.方程的解是______．11.已知关于x的方程有两个实数根，且一根大于2，一根小于2，则实数k的取值范围为______．12.若函数且的值域是，则实数a的取值范围是______．13.已知的反函数为，当时，函数的最大值为M，最小值为m，则______．14.对于函数，若对于任意的a，b，，，，为某一三角形的三边长，则称为“可构造三角形函数”，已知函数是“可构造三角形函数”，则实数t 的取值范围是______．15.若关于x的方程在内恰有三个相异实根，则实数m的取值范围为______ ．16.已知函数，，若对任意的，，均有，则实数k的取值范围是______．三、解答题（本大题共5小题，共60.0分）17.已知函数．若，解方程：；若在上存在零点，求实数a的取值范围．18.已知函数的图象关于原点对称，其中a为常数．求a的值；设集合，，若，求实数m的取值范围．19.近年来，雾霾日趋严重，我们的工作、生活受到了严重的影响，如何改善空气质量已成为当今的热点问题．某空气净化器制造厂，决定投入生产某型号的空气净化器，根据以往的生产销售经验得到下面有关生产销售的统计规律：每生产该型号空气净化器百台，其总成本为万元，其中固定成本为12万元，并且每生产1百台的生产成本为10万元总成本固定成本生产成本销售收入万元满足，假定该产品产销平衡即生产的产品都能卖掉，根据以述统计规律，请完成下列问题：求利润函数的解析式利润销售收入总成本；工厂生产多少百台产品时，可使利润最多？20.若函数满足：对于其定义域D内的任何一个自变量，都有函数值，则称函数在D上封闭．若下列函数的定义域为，试判断其中哪些在D上封闭，并说明理由．，．若函数的定义域为，是否存在实数a，使得在其定义域上封闭？若存在，求出所有a的值，并给出证明：若不存在，请说明理由．已知函数在其定义域D上封闭，且单调递增．若且，求证：．21.已知函数，其中．若，解不等式；设，，若对任意的，函数在区间上的最大值和最小值的差不超过1，求实数a的取值范围；已知函数存在反函数，其反函数记为，若关于x的不等式在上恒成立，求实数a的取值范围．-------- 答案与解析 --------1.答案：A解析：解：若命题甲：，命题乙：，若命题甲：，则，，则命题甲：，能推出命题乙：，成立；若命题乙：，则，所以或，即或；命题乙：，不能推出命题甲：成立，根据充分条件和必要条件的定义分别进行判断．命题甲是命题乙的充分非必要条件；故选：A．根据充分条件和必要条件的定义分别进行判断即可．本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据充分条件和必要条件的定义是解决本题的关键．2.答案：D解析：解：函数为偶函数，当时，，为减函数，不满足条件．B.函数为偶函数，当时，为减函数，不满足条件．C.函数的定义域为，定义域关于原点不对称，为非奇非偶函数，不满足条件．D.函数为偶函数且在区间上为增函数，满足条件故选：D．根据函数奇偶性和单调性的性质分别进行判断即可．本题主要考查函数奇偶性和单调性的判断，结合常见函数的奇偶性和单调性是解决本题的关键．比较基础．3.答案：C解析：解：错．原因：M不一定是函数值，可能“”不能取到．因为函数最大值的定义是存在一个函数值大于其它所有的函数值，则此函数值是函数的最大值所以对故选：C．利用函数最大值的定义是存在一个函数值大于其它所有的函数值，则此函数值是函数的最大值判断出各命题的真假．本题考查函数的最大值的定义并利用最值的定义判断命题的真假．4.答案：A解析：解：设，，，即，故；故，，当时，成立；当时，0，不是的根，故，解得：；综上所述，；故选：A．由可得，从而求得；从而化简，从而讨论求得本题考查了函数与集合的关系应用及分类讨论的思想应用，同时考查了方程的根的判断，属于中档题5.答案：解析：解：由，得．函数的定义域为．故答案为：．由对数式的真数大于0求解x的范围得答案．本题考查函数的定义域及其求法，是基础题．6.答案：解析：解：由，得，，x，y互换得：，函数的反函数为，故答案为：．由原函数求得x，把x，y互换求得原函数的反函数．本题考查函数的反函数的求法，注意反函数的定义域为原函数的值域，是基础题．7.答案：解析：解：，故答案为：．利用换底公式以及对数的运算性质即可求解．本题主要考查了对数的运算性质以及换底公式，是基础题．8.答案：3解析：解：幂函数，在上是减函数，，且，，，又，，1，2，又幂函数为偶函数，，，故答案为：3．先利用幂函数的定义和单调性求出a的值和m的范围，再结合偶函数确定m的值，即可求出结果．本题主要考查了幂函数的性质，是基础题．9.答案：解析：解：函数的定义域为，令，则，为增函数，在上为减函数；在为增函数，函数的单调递增区间为，故答案为：．先求出函数的定义域，然后将复合函数分解为内、外函数，分别讨论内外函数的单调性，进而根据复合函数单调性“同增异减”的原则，得到函数的单调递增区间．本题考查的知识点是复合函数的单调性，二次函数的性质，对数函数的单调性，其中复合函数单调性“同增异减”是解答本题的关键，本题易忽略真数大于零．10.答案：解析：解：，，令，则，解得或．由式子有意义可知，解得，即，．．故答案为：．利用对数运算性质解方程．本题考查了对数的运算性质，换元法解题思想，属于基础题．11.答案：解析：解：令，由题意可得，即：，整理：，解得：，所以实数k的取值范围为；故答案为：．设函数，由题意可得，解得k的取值范围．考查方程的根的分布，属于基础题．12.答案：解析：解：由于函数且的值域是，故当时，满足．若，在它的定义域上单调递增，当时，由，，，．若，在它的定义域上单调递减，，不满足的值域是．综上可得，，故答案为：．当时，检验满足当时，分类讨论a的范围，依据函数的单调性，求得a的范围，综合可得结论．本题主要考查分段函数的应用，对数函数的单调性和特殊点，属于中档题．13.答案：2解析：解：由题意可得，即函数在R上为奇函数，当，令，则为奇函数且单调递增所以反函数也是单调递增的奇函数，所以是向上平行移动1个单位也为单调递增，对称中心，由互为反函数的性质可得，故答案为：2由题意可得换元可得为奇函数在上，所以也是奇函数，且值域为，为对称中心为的函数且值域为，考查换元法求函数的定义域，及互为反函数的性质，属于中档题．14.答案：解析：解：由题意可得对于，b，都恒成立，由于，当，，此时，，，都为1，构成一个等边三角形的三边长，满足条件．当，在R上是减函数，，同理，，由，可得，解得．当，在R上是增函数，，同理，，由，可得，解得．综上可得，，故实数t的取值范围是，故答案为：因对任意实数a、b、c，都存在以、、为三边长的三角形，则恒成立，将解析式用分离常数法变形，由均值不等式可得分母的取值范围，整个式子的取值范围由的符号决定，故分为三类讨论，根据函数的单调性求出函数的值域，然后讨论k转化为的最小值与的最大值的不等式，进而求出实数k的取值范围．本题主要考查了求参数的取值范围，以及构成三角形的条件和利用函数的单调性求函数的值域，同时考查了分类讨论的思想，属于难题．15.答案：解析：解：当时，，方程，，即；．当时，，方程，，即；；当时，方程无解；当时，方程有且只有一个解；当时，方程在上有两个解；当时，方程的解为1，；综上所述，实数m的取值范围为故答案为：分类讨论以去掉绝对值号，从而利用基本不等式确定各自方程的根的个数，从而解得．本题考查了绝对值方程的解法与应用，同时考查了基本不等式的应用及转化思想的应用．16.答案：解析：解：对函数，当时，；当时，，在上的最大值；对函数，函数若有最小值，则，即，当时，，易知函数；又对任意的，，均有，，即，，，即实数k的取值范围为．故答案为：．可求得，，根据题意，由此得到，解该不等式即可求得实数k的取值范围．本题考查不等式的恒成立问题，考查函数最值的求解，考查转化思想及计算能力，属于中档题．17.答案：解：当时，．，，或舍，当时，令，则，由，得，．在上单调递减，在上单调递增，当时，；当或时，，，．解析：将代入中，然后根据，求出的值，再解出x即可；令，则由可得，再根据t的范围求出a的范围．本题考查了指数方程的解法和根据函数的零点求参数的范围，考查了整体思想和转化思想，属中档题．18.答案：解：函数的图象关于原点对称，其中a为常数．，，解得．当时，，与条件矛盾，舍去．；集合解不等式得．由知，；，且，解得；由于，所以，解得，．故m的取值范围是．解析：根据的图象关于原点对称，得是奇函数，由恒成立，解得a的值即可．先解分式不等式，求得集合A；由于，所以B有解，解得集合B；再根据集合的关系求得m的取值范围即可．本题考查了奇函数的定义，分式不等式的解法，根据交集运算求参数取值范围，考查了运算求解能力，属于中档题．19.答案：解：由题意得，则，即；当时，函数递减，即有，当时，函数，当时，有最大值，综上可知，当工厂生产12百台时，可使利润最大为60万元．解析：本题考查函数模型在实际问题中的应用，考查函数的最值问题，属于中档题．先求得，再由可得所求；分别求出各段的最值，注意运用一次函数和二次函数的最值求法，即可得到．20.答案：解：在中，对于定义域D内的任意一个自变量，都有函数值，故函数在上不封闭；在中，，在上封闭．的定义域为，对称中心为，当时，函数在上为增函数，只需，解得当时，函数在上为减函数，只需，解得综上，所求a的值等于2．证明：函数在其定义域D上封闭，且单调递增．且，根据单调函数性质，则有唯一的，．解析：根据定义域，求得函数的定义域，利用新定义，即可得到结论；分类讨论，确定函数的单调性，建立不等式组，可求a的值．函数在其定义域D上封闭，且单调递增，根据单调函数性质，则有唯一的，由此能证明．本题以新定义函数为载体，考查新定义，考查学生的计算能力，关键是对新定义的理解，有一定的难度．21.答案：解：当，，当时，，解得或，所以或；当时，，解得，所以；综上所述，不等式的解为．，，，，，由复合函数的单调判断原则，可知在上单调递减，，化简得，在上恒成立，令，则，当时，，当时，，由对勾函数性质可知，在上单调递减，，即，故实数a的取值范围为；函数存在反函数，单调，又在上单调递增，在R上必须单调递增，即，，令，，则，，在上恒成立，当即时，恒成立，，当即时，，解得，综上所述，实数a的取值范围为．解析：把代入函数，分段解不等式即可；，，，，，再由复合函数的单调判断出在上单调递减，从而得到在上恒成立，然后用换元法，令，构造新函数，再求出该函数的最大值即可；由函数存在反函数，可得且；再令，，得其最小值为，然后分类讨论解不等式即可．本题考查函数的综合应用，涉及绝对值函数、指对函数的单调性、函数的恒成立问题，在解题过程中用到换元法、构造法、分类讨论法，考查了学生灵活运用知识的能力和逻辑推理能力，属于难题．。