2019上海复旦附中高一期中
2019-2020学年上海市复旦附中高一(上)期中数学试卷
2019-2020学年上海市复旦附中高一（上）期中数学试卷一、填空题（本大题共有12题，满分48分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）1. 已知集合A＝{2, 0, 1, 9}，则集合A的非空真子集的个数为________．【答案】14【考点】子集与真子集【解析】若集合A中有n个元素，则集合A中有2n−2个非空真子集．【解答】∵集合A＝{2, 0, 1, 9}，∴集合A的非空真子集的个数为：24−2＝14．2. U＝{−3, −2, −1, 0, 1, 2, 3}，A＝{x|x2−1≤0, x∈Z}，B＝{x|−1≤x≤3, x∈Z}，则(∁U A)∩B＝________．【答案】{2, 3}【考点】交、并、补集的混合运算【解析】用列举法求出集合A和B，再根据集合的补集的定义、两个集合的交集的定义求出(∁U A)∩B．【解答】∵A＝{x|x2−1≤0, x∈Z}＝{−1, 0, 1}，B＝{x|−1≤x≤3, x∈Z}＝{−1, 0, 1, 2, 3}，∴∁U A＝{x|x≤−2, 或 x≥2, x∈Z}，∴(∁U A)∩B＝{2, 3}，3. 不等式-2<1x <3的解集是________|________<13} ．【答案】{x,x<−12或0<x【考点】其他不等式的解法【解析】结合x的范围，去分母转化为一次不等式即可求解．【解答】∵ -2<1x<3，当x>0时，−2x<1<3x，解可得，$${\{}$ - \${dfrac\{1\}\{2\}}$∴ {0}$当x<0时，−2x>1>3x，解可得，x<−12，综上可得，不等式的解集为{x|x<−12或0<x<13}．4. 设集合T＝{⌀, {⌀}}，则下列命题：①⌀∈T，②⌀⊆T，②{⌀}∈T，④{⌀}⊆T中正确的是________．【答案】①②③④【考点】集合的包含关系判断及应用【解析】根据元素与集合的关系即可判断出①③都正确，根据子集的定义即可判断出②④都正确，从而找出正确的命题序号．【解答】∵T＝{⌀, {⌀}}，∴⌀∈T，⌀⊆T，{⌀}∈T，{⌀}⊆T．5. 若集合{x|y=√x2+2(a+1)x+a2−5}=R，则实数a的取值范围是________．【答案】(−∞, 3]【考点】函数的定义域及其求法【解析】由题意可得，x2+2(a+1)x+a2−5≥0恒成立，结合二次不等式的恒成立问题即可求解．【解答】由题意可得，x2+2(a+1)x+a2−5≥0恒成立，∴△＝4(a+1)2−4(a2−5)≤0，解可得，a≤−3，6. 如果全集U含有12个元素，P，Q都是U的子集，P∩Q中含有2个元素，∁U P∩∁U Q 含有4个元素，∁U P∩Q含有3个元素，则P含有________个元素．【答案】5【考点】交、并、补集的混合运算【解析】作出维恩图，由维恩图能求出集合P中含有的元素个数．【解答】由全集U含有12个元素，P，Q都是U的子集，P∩Q中含有2个元素，∁U P∩∁U Q含有4个元素，∁U P∩Q含有3个元素，作出维恩图，图中数字代表集合中包含的元素的个数，由维恩图结合题意得：4+x+2+3＝12，解得x＝3．∴集合P中含有的元素个数为：2+x＝2+3＝5．7. 已知Rt△ABC的周长为定值2，则它的面积最大值为________．【答案】3−2√2【考点】正弦定理【解析】设直角边长为a，b，则斜边长为√a2+b2，利用直角三角形ABC的三边之和为2，可得a+b+√a2+b2=2，利用基本不等式，即可求△ABC的面积的最大值．【解答】设直角边长为a，b，则斜边长为√a2+b2，∵直角三角形ABC的三边之和为2，∴a+b+√a2+b2=2，∴2≥2√ab+√2ab，∴√ab≤=2−√2，2+√2∴ab≤6−4√2，∴S=1ba≤3−2√2，2∴△ABC的面积的最大值为3−2√2．8. 若f(x)在区间[t, t2−2t−2]上为奇函数，则实数t的值为________．【答案】−1【考点】函数奇偶性的性质与判断【解析】由奇函数的定义域关于原点对称可知，t+t2−2t−2＝0，且t2−2t−2>0，即可求解．【解答】由奇函数的定义域关于原点对称可知，t+t2−2t−2＝0，且t2−2t−2>0，∴t2−t−2＝0，解可得t＝2（舍）或t＝−1，9. 已知不等式|x−3|−|x+4|<a解集非空，则实数a的取值范围为________．【答案】(−7, +∞)【考点】绝对值不等式的解法与证明【解析】由题意，不等式|x−3|−|x+4|<a解集非空可转化为|x−3|−|x+4|的最小值小于a，依据绝对值的几何意义求出|x−3|−|x+4|的最小值，即可得出参数a的取值范围．【解答】不等式|x −3|−|x +4|<a 解集非空，所以|x −3|−|x +4|的最小值小于a ， 又|x −3|−|x +4|≥−7，此时x ≥3 ∴ a >−710. 对于集合M ，定义函数f M (x)={−1,x ∈M1,x ∉M ，对于两个集合A ，B ，定义集合A ∗B＝{x|f A (x)⋅f B (x)−1}．已知集合A ={x|√2−x >x}，B ＝{x|x(x −3)(x +3)>0}，则A ∗B ＝________． 【答案】(−∞, 1)∪(3, +∞) 【考点】子集与交集、并集运算的转换 【解析】求出集合A ，B ，利用新定义求出A ∗B 即可． 【解答】A ＝(−∞, 1)，B ＝(−∞, −3)∪(3, +∞)， f A (x)⋅f B (x)＝−1，当f A (x)＝1，f B (x)＝−1，A ∗B ＝B ，当f A (x)＝−1，f B (x)＝1，A ∗B ＝[−3, 1)， 故A ∗B ＝(−∞, 1)∪(3, +∞)，11. 若实数x ，y ≥0满足x +3y −xy ＝1，求3x +4y 的最小值为________． 【答案】43【考点】基本不等式及其应用 【解析】将等式x +3y −xy ＝1，转化得x =3y−1y−1，代入3x +4y 中，将限制条件下的二元函数最值化为一元函数最值问题，此一元函数为对勾函数模型，接下来按照对勾函数单调性的方法解题 【解答】由x +3y −xy ＝1，得；x +3y −xy ＝1x =3y−1y−1≥0，y ∈[0,13]∪(1,+∞)，3x +4y =33y−1y−1+4y =13+6y−1+4(y −1)，当y >1时，3x +4y ≥13+2√24=13+4√6；当y ∈[0,13]时，设y −1=u ∈[−1,−23]，6y−1+4(y −1)=6u +4u 在[−1,−23]上单调递减，在u =−23处取得最小值−9−83，3x +4y 取得最小值43， 综上可得3x +4y 取得最小值43，12. 已知a >0，且对任意x >0，有(x −a)(x 2+bx −a)≥0恒成立，则ab 的取值范围为________．【答案】(−∞, −1)∪(0, +∞)【考点】函数恒成立问题【解析】首先分析出x＝a是方程x2+bx−a＝0的根，得到a+b−1＝0，再运用a的几何意义b求解．【解答】∵对任意x>0，有(x−a)(x2+bx−a)≥0恒成立，∴x＝a是方程x2+bx−a＝0的根，即a2+ab−a＝0，又a>0，则a+b−1＝0，∴(b, a)可理解为直线a+b−1＝0上纵坐标大于0的点，则a的几何意义即为直线a+bb−1＝0上纵坐标大于0的点与原点连线的斜率，如图，∈(−∞,−1)∪(0,+∞)．直线a+b−1＝0的斜率为−1，由图象可知，ab二、选择题（本大题共有4题，满分20分，每题5分）命题“若p不正确，则q不正确”的逆命题的等价命题是（）A.若q不正确，则p不正确B.若q不正确，则p正确C.若p正确，则q不正确D.若p正确，则q正确【答案】D【考点】四种命题间的逆否关系【解析】由命题“若p不正确，则q不正确”，根据四种命题的定义，我们易求出其逆命题，进而根据互为逆否命题是等价命题，易求出结果．【解答】命题“若p不正确，则q不正确”的逆命题是：“若q不正确，则p不正确”其等价命题是它的逆否命题，即“若p正确，则q正确”已知a，b∈R，则“|a|<1，|b|<1”是“不等式ab+1>a+b”成立的（）条件．A.充分非必要B.必要非充分C.充要D.既不充分又不必要【答案】A【考点】充分条件、必要条件、充要条件【解析】根据“不等式ab+1>a+b”成立等价于“ab+1−a−b＝(b−1)(a−1)>0”，所以“|a|<1，|b|<1”必有(b−1)(a−1)>0；反之，不一定成立，即可得出结果．【解答】∵ “不等式ab+1>a+b”成立等价于“ab+1−a−b＝(b−1)(a−1)>0”，∴当“|a|<1，|b|<1时，则(b−1)(a−1)>0成立；当(b−1)(a−1)>0时，有a>1且b>1；或者a<1且b<1；故“|a|<1，|b|<1”是“不等式ab+1>a+b”成立的充分非必要条件；>0，定义在R上的偶函数f(x)满足对任意x1，x2∈(−∞, 0](x1≠x2)，有f(x2)−f(x1)x2−x1则当n∈N∗时，有（）A.f(−n)<f(n−1)<f(n+1)B.f(n−1)<f(−n)<f(n+1)C.f(n+1)<f(−n)<f(n−1)D.f(n+1)<f(n−1)<f(−n)【答案】C【考点】奇偶性与单调性的综合【解析】利用函数的奇偶性，单调性判断即可．【解答】根据题意，函数f(x)是偶函数，且在(−∞, 0]递增，(0, +∞)递减，因为0<n−1<n<n+1，所以f(n−1)>f(n)>f(n+1)，设集合P1={x|x2+ax+1>0}，P2={x|x2+ax+2>0}，Q1={x|x2+x+b>0}，Q2={x|x2+2x+b>0}，其中a，b∈R，下列说法正确的是（）A.对任意a，P1是P2的子集，对任意b，Q1不是Q2的子集B.对任意a，P1是P2的子集，存在b，使得Q1是Q2的子集C.存在a，P1不是P2的子集，对任意b，Q1不是Q2的子集D.存在a，P1不是P2的子集，存在b，使得Q1是Q2的子集【答案】B【考点】集合的包含关系判断及应用【解析】运用集合的子集的概念，令m ∈P 1，推得m ∈P 2，可得对任意a ，P 1是P 2的子集；再由b ＝1，b ＝5，求得Q 1，Q 2，即可判断B 正确，A ，C ，D 错误． 【解答】解：对于集合P 1={x|x 2+ax +1>0}，P 2={x|x 2+ax +2>0}， 可得当m ∈P 1，即m 2+am +1>0，可得m 2+am +2>0， 即有m ∈P 2，可得对任意a ，P 1是P 2的子集；当b =5时，Q 1={x|x 2+x +5>0}=R ，Q 2={x|x 2+2x +5>0}=R ， 可得Q 1是Q 2的子集；当b =1时，Q 1={x|x 2+x +1>0}=R ，Q 2={x|x 2+2x +1>0}={x|x ≠−1且x ∈R}，可得Q 1不是Q 2的子集．综上可得，对任意a ，P 1是P 2的子集，存在b ，使得Q 1是Q 2的子集． 故选B .三、解答题（本大题共有5题，满分38分）已知集合A ＝{x|x 2−(m +3)x +2(m +1)0}，B ＝{x|2x 2+(3n +1)x +20}，其中m ，n ∈R ．（1）若A ∩B ＝A ，求m ，n 的值；（2）若A ∪B ＝A ，求m ，n 的取值范围． 【答案】集合A ＝{x|x 2−(m +3)x +2(m +1)0}，B ＝{x|2x 2+(3n +1)x +20}，其中m ，n ∈R ．解x 2−(m +3)x +2(m +1)＝0得：x ＝2，或x ＝m +1， 若A ∩B ＝A ，则A ⊆B ，将x ＝2代入2x 2+(3n +1)x +2＝0得：n ＝−2，则B ＝{x|2x 2+(3n +1)x +20, n ∈R}＝{x|2x 2−5x +20}＝{2, 12}． 则m +1=12，则m =−12，当A ＝{2}时，m +1＝2，解得m ＝1， 综上m =−12，n ＝−2，或m ＝1，n ＝−2． 若A ∪B ＝A ，则非空集合B ⊆A ，当△＝(3n +1)2−16＝0时，n =−53，B ＝{1}，m +1＝1，m ＝0， 或n ＝1时，B ＝{−1}，m +1＝−1，m ＝−2；当△＝(3n +1)2−16≥0，即n ≤−53，或n ≥1时，则2∈B ，由（1）得：m =−12，n ＝−2；当△＝(3n +1)2−16<0时，即$${\{}$ - \${dfrac\{5\}\{3\}}$综上，{m ∈Rn ∈(−53,1) 或{m =−2n =1 或{m =0n =−53或{m =−12n =−2 ． 【考点】交、并、补集的混合运算【解析】（1）解x 2−(m +3)x +2(m +1)＝0得：x ＝2，或x ＝m +1，若A ∩B ＝A ，则A ⊆B ，将x ＝2代入2x 2+(3n +1)x +2＝0可得答案；（2）若A ∪B ＝A ，则非空集合B ⊆A ，分当△＝0和当△>0两种情况讨论满足条件的m ，n 的值，综合讨论结果，可得答案． 【解答】集合A ＝{x|x 2−(m +3)x +2(m +1)0}，B ＝{x|2x 2+(3n +1)x +20}，其中m ，n ∈R ．解x 2−(m +3)x +2(m +1)＝0得：x ＝2，或x ＝m +1， 若A ∩B ＝A ，则A ⊆B ，将x ＝2代入2x 2+(3n +1)x +2＝0得：n ＝−2，则B ＝{x|2x 2+(3n +1)x +20, n ∈R}＝{x|2x 2−5x +20}＝{2, 12}． 则m +1=12，则m =−12，当A ＝{2}时，m +1＝2，解得m ＝1， 综上m =−12，n ＝−2，或m ＝1，n ＝−2． 若A ∪B ＝A ，则非空集合B ⊆A ，当△＝(3n +1)2−16＝0时，n =−53，B ＝{1}，m +1＝1，m ＝0， 或n ＝1时，B ＝{−1}，m +1＝−1，m ＝−2；当△＝(3n +1)2−16≥0，即n ≤−53，或n ≥1时，则2∈B ，由（1）得：m =−12，n ＝−2；当△＝(3n +1)2−16<0时，即$${\{}$ - \${dfrac\{5\}\{3\}}$综上，{m ∈Rn ∈(−53,1) 或{m =−2n =1 或{m =0n =−53或{m =−12n =−2 ．设a >0，b >0，且a +b =1a +1b ．求证： （1）a +b ≥2；（2）a 2+a <2与b 2+b <2不可能同时成立． 【答案】由a +b =1a +1b ,a >0,b >0，得ab =1，由基本不等式及ab =1，有a +b ≥2√ab =2，即a +b ≥2． 假设a 2+a <2与b 2+b <2同时成立，则a 2+a <2且b 2+b <2，则a 2+a +b 2+b <4，即：(a +b)2+a +b −2ab <4，由（1）知ab =1因此(a +b)2+a +b <6① 而a +b ≥2，因此(a +b)2+a +b ≥6②，因此①②矛盾， 因此假设不成立，原结论成立． 【考点】 不等式的证明 【解析】（1）由已知等式可得ab=1，再由基本不等式即可得证；（2）运用反证法证明，结合不等式的性质，即可得到矛盾，进而得到证明．【解答】由a+b=1a +1b,a>0,b>0，得ab=1，由基本不等式及ab=1，有a+b≥2√ab=2，即a+b≥2．假设a2+a<2与b2+b<2同时成立，则a2+a<2且b2+b<2，则a2+a+b2+b<4，即：(a+b)2+a+b−2ab<4，由（1）知ab=1因此(a+b)2+a+b<6①而a+b≥2，因此(a+b)2+a+b≥6②，因此①②矛盾，因此假设不成立，原结论成立．如图所示，用总长为定值l的篱笆围成长方形的场地，以墙为一边，并用平行于一边的篱笆隔开．（1）设场地面积为y，垂直于墙的边长为x，试用解析式将y表示成x的函数，并确定这个函数的定义域；（2）怎样围才能使得场地的面积最大？最大面积是多少？【答案】设场地面积为y，垂直于墙的边长为x，它的面积y＝x(l−3x)；由x>0，且l−3x>0，可得函数的定义域为(0, l3)；y＝x(l−3x)=13×3x(l−3x)≤13×(3x+l−3x2)2=l212，当x=l6时，这块长方形场地的面积最大，这时的长为l−3x=12l，最大面积为l212．【考点】基本不等式及其应用【解析】（1）由题意设长方形场地的宽为x，则长为l−3x，表示出面积y；由x>0，且l−3x>0，可得函数的定义域；（2）对其运用基本不等式求出函数的最值即场地的面积最大值，从而求解．【解答】设场地面积为y，垂直于墙的边长为x，它的面积y＝x(l−3x)；由x>0，且l−3x>0，可得函数的定义域为(0, l3)；y＝x(l−3x)=13×3x(l−3x)≤13×(3x+l−3x2)2=l212，当x=l6时，这块长方形场地的面积最大，这时的长为l−3x=12l，最大面积为l212．已知函数f(x)=x2+ax，（1）判断f(x)的奇偶性，并给出理由；（2）当a＝2时，①判断f(x)在x∈(0, 1]上的单调性并用定义证明；②若对任意x∈(0, +∞)，不等式f(x)>m−√m−1恒成立，求实数m的取值范围．【答案】当a＝0时，f(x)＝x2，定义域为{x|x≠0}，关于原点对称，此时f(−x)＝f(x)∴f(x)为偶函数；当a≠0时，f(x)=x2+ax，定义域为{x|x≠0}，关于原点对称，此时f(1)＝1+a，f(−1)＝1−a，故f(−1)≠f(1)，f(−1)≠−f(1)，∴f(x)无奇偶性．f(x)=x2+2x，任取0<x1<x2≤1，则f(x1)−f(x2)=x12+2x1−x22−2x2=x1−x2x1x2[x1x2(x1+x2)−2]，∵0<x1<x2≤1，∴x1−x2<0，x1x2>0，x1x2(x1+x2)<2，∴f(x1)−f(x2)>0，所以f(x)在区间(0, 1]上是递减．（1）由题意得f(x)min>m−√m−1，由（2）知f(x)在区间(0, 1]上是递减，同理可得f(x)在区间[1, +∞)上递增，所以f(x)min＝f(1)＝3，所以3>m−√m−1，即m−1−√m−1−2<0，令√m−1=t,(t≥0)，则t2−t−2<0，解得−1<t<2，故0≤t<2即0≤√m−1<2，即1≤m<5．【考点】函数恒成立问题【解析】（1）当a＝0时，f(x)＝x2，判断f(x)为偶函数；当a≠0时，f(x)=x2+ax，用定义法判断f(x)无奇偶性．（2）f(x)=x2+2x，利用函数的单调性的定义判断函数的单调性．（3）由题意得f(x)min>m−√m−1，求出f(x)min＝f(1)＝3，利用换元法转化求解m的范围即可．【解答】当a＝0时，f(x)＝x2，定义域为{x|x≠0}，关于原点对称，此时f(−x)＝f(x)∴f(x)为偶函数；当a≠0时，f(x)=x2+ax，定义域为{x|x≠0}，关于原点对称，此时f(1)＝1+a，f(−1)＝1−a，故f(−1)≠f(1)，f(−1)≠−f(1)，试卷第11页，总13页∴ f(x)无奇偶性． f(x)=x 2+2x，任取0<x 1<x 2≤1，则f(x 1)−f(x 2)=x 12+2x 1−x 22−2x2=x 1−x 2x 1x 2[x 1x 2(x 1+x 2)−2]，∵ 0<x 1<x 2≤1，∴ x 1−x 2<0，x 1x 2>0，x 1x 2(x 1+x 2)<2，∴ f(x 1)−f(x 2)>0，所以f(x)在区间(0, 1]上是递减．（1）由题意得f(x)min >m −√m −1，由（2）知f(x)在区间(0, 1]上是递减，同理可得f(x)在区间[1, +∞)上递增， 所以f(x)min ＝f(1)＝3，所以3>m −√m −1，即m −1−√m −1−2<0，令√m −1=t,(t ≥0)，则t 2−t −2<0，解得−1<t <2，故0≤t <2 即0≤√m −1<2，即1≤m <5．设函数f(x)为定义在R 上的奇函数，且当x ∈[0, +∞)时，f(x)＝−x 2+2x ． （1）求函数f(x)的解析式；（2）求实数a ，b ，使得函数f(x)在区间[a, b]⊆[1, +∞)上的值域为[1b ,1a ]；（3）若函数f(x)在区间[a, b]上的值域为[1b ,1a ]，则记所有满足条件的区间[a, b]的并集为D ，设g(x)＝f(x)(x ∈D)，问是否存在实数m ，使得集合{(x, y)|yg(x)}∩{(x, y)|yx 2+m}恰含有2个元素？若存在，求出m 的取值范围；若不存在，请说明理由． 【答案】因为f(x)是奇函数，令x <0，则−x >0，所以f(−x)＝−(−x)2+2(−x)＝−x 2−2x ＝−f(x)， 所以x <0时，f(x)＝x 2+2x ， 所以f(x)={−x 2+2x,x ≥0,x 2+2x,x <0； 由（1）可知，当[a, b]⊆[1, +∞)时，f(x)＝−(x −1)2+1，函数f(x)单调递减， 则有{f(a)=−a 2+2a =1af(b)=−b 2+2b =1b，解得a ＝1，b =√5+12， 由（2）知，函数f(x)在[1, +∞)上满足条件的区间为[1, √5+12]当区间[a, b]⊆[0, 1]时，[1b ,1a ]⊆[1, +∞)，而函数f(x)＝−x 2+2x 在[0, 1]上的值域为[0, 1]，所以函数f(x)在[0, 1]上不存在这样的区间，故函数f(x)在[0, +∞)上满足条件的区间为[1, √5+12]．当x ∈(−∞, 0)时，同理可知f(x)的倒值区间为[−√5+12, −1]．故g(x)={−x 2+2x,x ∈[1,√5+12]x 2+2x,x ∈[−√5+12,−1]．试卷第12页，总13页若集合{(x, y)|yg(x)}∩{(x, y)|yx 2+m}恰含有2个元素，即函数g(x)的图象与y ＝x 2+m 的图象有两个不同的交点，则这两个交点分别在第一、三象限，故当交点在第一象限时，方程−x 2+2x ＝x 2+m 即m ＝−2x 2+2x 在区间[1, √5+12]内恰有一个解，此时有−2≤m ≤0；当交点在第三象限时，方程x 2+2x ＝x 2+m 即m ＝2x 在区间[−√5+12, −1]内恰有一个解，有−√5−1≤m ≤−2； 综上可得，m ＝−2． 【考点】函数与方程的综合运用 【解析】（1）利用函数奇偶性直接求解；（2）根据条件判断出f(x)在[1, +∞)上单调递减，则有{f(a)=−a 2+2a =1af(b)=−b 2+2b =1b ，再结合1≤a <b ，即可解出a ，b ；（3）根据条件得到g(x)的解析式，然后由函数g(x)的图象与y ＝x 2+m 的图象有两个不同的交点知，这两个交点分别在第一、三象限，再分别计算即可． 【解答】因为f(x)是奇函数，令x <0，则−x >0，所以f(−x)＝−(−x)2+2(−x)＝−x 2−2x ＝−f(x)， 所以x <0时，f(x)＝x 2+2x ， 所以f(x)={−x 2+2x,x ≥0,x 2+2x,x <0； 由（1）可知，当[a, b]⊆[1, +∞)时，f(x)＝−(x −1)2+1，函数f(x)单调递减， 则有{f(a)=−a 2+2a =1af(b)=−b 2+2b =1b，解得a ＝1，b =√5+12， 由（2）知，函数f(x)在[1, +∞)上满足条件的区间为[1, √5+12]当区间[a, b]⊆[0, 1]时，[1b ,1a ]⊆[1, +∞)，而函数f(x)＝−x 2+2x 在[0, 1]上的值域为[0, 1]，所以函数f(x)在[0, 1]上不存在这样的区间，故函数f(x)在[0, +∞)上满足条件的区间为[1, √5+12]．当x ∈(−∞, 0)时，同理可知f(x)的倒值区间为[−√5+12, −1]．故g(x)={−x 2+2x,x ∈[1,√5+12]x 2+2x,x ∈[−√5+12,−1]． 若集合{(x, y)|yg(x)}∩{(x, y)|yx 2+m}恰含有2个元素，即函数g(x)的图象与y ＝x 2+m 的图象有两个不同的交点，则这两个交点分别在第一、三象限，故当交点在第一象限时，方程−x 2+2x ＝x 2+m 即m ＝−2x 2+2x 在区间[1, √5+12]内恰有一个解，此时有−2≤m≤0；, −1]内恰有一个当交点在第三象限时，方程x2+2x＝x2+m即m＝2x在区间[−√5+12解，有−√5−1≤m≤−2；综上可得，m＝−2．试卷第13页，总13页。
上海市复旦大学附属中学2019-2020学年高一上学期期中考试化学试题(教师版)
复旦大学附属中学2019学年第一学期高一年级化学期中考试试卷可能用到的相对原子质量：H-1 C-12 O-16 N-14 Na-23 Mg-24 Al-27S-32 Cl-35.5 Fe-56 Mn-55 Cu-64一、选择题1. 随着科学技术的不断进步，研究物质的手段和途径越来越多，H3、O4、C60、N+等均已被发现，下列有5关说法中正确的是（）A. H2与H3属于同素异形体B. 16O2与18O4属于同位素C. 12C60的质量数为720g/molD. N+离子中含有36个电子5【答案】A【解析】【详解】A．同素异形体是指同一元素形成的性质不同的几种单质，故H2与H3属于同素异形体，A正确；B．同位素是质子数相同而中子数不同的原子之间的互称，故16O2与18O4不属于同位素，而是同素异形体，B错误；C．12C60的摩尔质量为720g/mol，C错误；D．N+离子中含有7×5-1=34个电子，D错误；5故答案为：A。
2. 化学需要借助专用语言来描述，下列有关化学用语正确的是（）A.硫离子电子式：S2-B. 硼原子的结构示意图：C. 用于考古测定年代的碳同位素：146CD. 次氯酸钙的化学式：CaClO 【答案】C 【解析】【详解】A．硫离子电子式为，故A错误；B．硼原子的结构示意图为，故B错误；C．用于考古测定年代的碳同位素为146C，故C正确；D．次氯酸钙的化学式为Ca(ClO)2，故D错误。
综上所述，答案为C。
3. 13153I是常规核裂变产物之一，可以通过测定大气或水中13153I的含量变化来检测核电站是否发生放射性物质泄漏，下列有关13153I的叙述中错误的是（）A. 13353I的化学性质与13153I相同B. 13153I的原子核外电子数为78C. 13153I的原子序数为53D. 13153I的原子核内中子数多于质子数【答案】B【解析】【详解】A. 13353I与13153I的核外电子排布相同，化学性质相同，A正确；B. 13153I的原子核外电子数为53，78是中子数，B错误；C. 13153I的原子序数为53，C正确；D. 13153I的原子核内中子数是78，质子数是53，中子数大于质子数，D正确；答案选B。
上海市杨浦区复旦大学附属中学2018-2019学年高一上学期期中考试数学试题含答案解析
上海市杨浦区复旦大学附属中学2018-2019学年高一上学期期中考试数学试题一．填空题（共12小题，满分54分）1.若实数a满足：a2∈{1，4，a}，则实数a的取值集合为_____．【答案】{﹣1，﹣2，2，0}【解析】∵实数满足：∈{1，4，}，∴=1或=4，或=a，解得=﹣2或=2或=﹣1或=1或=0，当=1时，集合为{1，4，1}，不合题意；当=﹣1，或=±2，或=0时，满足题意．∴实数的取值集合为{﹣1，﹣2，2，0}．故答案为：{﹣1，﹣2，2，0}．2.函数的定义域为_____．【答案】[﹣2，3）【解析】由题意得，解得．∴函数的定义域为：[﹣2，3）．故答案为：[﹣2，3）．3.命题“若ab＝0，则b＝0”的逆否命题是______．【答案】“若b≠0，则ab≠0”【解析】因为一个命题的逆否命题，是将原命题逆命题的条件与结论同时否定得到，所以命题“若ab＝0，则b＝0”的逆否命题是“若b≠0，则ab≠0”.故答案为：“若b≠0，则ab≠0”.4.函数y=+2的单调区间是_____．【答案】（﹣∞，0）和（0，+∞）【解析】由题意得函数的定义域为，又函数在和上单调递减，所以函数的单调减区间是和．故答案为：（∞，0）和（0，+∞）．5.已知为定义在上的奇函数，当时，，则当时，__________．【答案】【解析】设，则，由已知当时，，当时，可得，．6.已知符号函数sgn（x），则函数f（x）=sgn（x）﹣2x的所有零点构成的集合为_____．【答案】【解析】①当x＞0时，函数f（x）=sgn（x）﹣2x =1﹣2x，令1﹣2x=0，得x=，即当x＞0时，函数f（x）的零点是；②当x=0时，函数f（x）=0，故函数f（x）的零点是0；③当x＜0时，函数f（x）=﹣1﹣2x，令﹣1﹣2x=0，得x=，即当x＜0时，函数f（x）的零点是．综上可得函数f（x）=sgn（x）﹣x的零点的集合为：．7.函数的值域为_______.【答案】【解析】由指数函数的性质可知：，据此可知：，函数的值域为.8.已知a＞0，b＞0，则的最小值为_____．【答案】4【解析】由题意得，∵，∴，∴，当且仅当，即时等号成立．∴的最小值为4．故答案为：4．9.设集合A={1，2，6}，B={2，4}，C={x∈R|﹣1≤x≤5}，则（A∪B）∩C=_____【答案】{1，2，4}【解析】∵A={1，2，6}，B={2，4}，∴A∪B={1，2，4，6}，又C={x|﹣1≤x≤5，x∈R}，∴（A∪B）∩C={1，2，4}．故答案为：{1，2，4}．10.若y=f（x）是定义在（﹣∞，+∞）上的单调减函数，且f（x）＜f（2x﹣2），则x的取值范围_____．【答案】（﹣∞，2）【解析】∵f（x）＜f（2x﹣2），且y=f（x）是定义在（﹣∞，+∞）上的单调减函数，∴x＞2x﹣2，解得x＜2．∴x的取值范围为（﹣∞，2）．故答案为：（﹣∞，2）．11.若函数，则_____．【答案】1【解析】由题意得．故答案为：1．12.定义：若平面点集A中的任一个点（x0，y0），总存在正实数r，使得集合，则称A为一个开集．给出下列集合：①{（x，y）|x2+y2=1}；②{（x，y）|x+y+2＞0}；③{（x，y）||x+y|≤6}；④．其中不是开集的是_____．（请写出所有符合条件的序号）【答案】①③【解析】对于①，集合A={（x，y）|x2+y2=1}表示以原点为圆心，1为半径的圆，则在该圆上任意取点（x0，y0），以任意正实数r为半径的圆面，均不满足，故①不是开集．对于②，集合A={（x，y）|x+y+2＞0}，对于A中的任一点（x0，y0），设该点到直线x+y+2=0的距离为d，取r=d，则满足，故②是开集．对于③，集合A={（x，y）||x+y|≤6}，在曲线|x+y|=6任意取点（x0，y0），以任意正实数r为半径的圆面，均不满足，故该集合不是开集．对于④，集合A=表示以点为圆心，以1为半径除去圆心和圆周的圆面，在该平面点集A中的任一点（x0，y0），则该点到圆周上的点的最短距离为d，取r=d，则满足，故该集合是开集．综上可得①③中的集合不是开集．故答案为：①③．二．选择题（共4小题，满分20分，每小题5分）13.设x∈R，则“|x﹣2|＜1”是“x2﹣x﹣6＜0”的（）A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】由|x﹣2|＜1得﹣1＜x﹣2＜1，解得1＜x＜3，由x2﹣x﹣6＜0，得﹣2＜x＜3．因为，，所以“1＜x＜3”是“﹣2＜x＜3”的充分不必要条件，即“|x﹣2|＜1”是“x2﹣x﹣6＜0”的充分不必要条件．故选A．14.已知函数f（x）=3x+x，g（x）=log3x+x，h（x）=sin x+x的零点依次为x1，x2，x3，则以下排列正确的是（）A. x1＜x2＜x3B. x1＜x3＜x2C. x3＜x1＜x2D. x2＜x3＜x1【答案】B【解析】函数f（x）=3x+x，g（x）=log3x+x，h（x）=sin x+x的零点依次为x1，x2，x3，在坐标系中画出y=3x，y=log3x，y=sin x与y=﹣x的图象，如下图所示：由图形可知x1＜0，x2＞0，x3=0，所以x1＜x3＜x2．故选B．15.已知非空集合M满足：若x∈M，则∈M，则当4∈M时，集合M的所有元素之积等于（）A. 0B. 1C. －1D. 不确定【答案】C【解析】依题意，得当4∈M时，有，从而，，于是集合M的元素只有4，，所有元素之积等于4×（）×=-1．16.已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，对任意的x∈R，均有f（x+2）=f（x），当x∈[0，1）时，f（x）=2x﹣1，则下列结论正确的是（）A. f（x）的图象关于x=1对称B. f（x）的最大值与最小值之和为2C. 方程f（x）﹣lg|x|=0有10个实数根D. 当x∈[2，3]时，f（x）=2x+2﹣1【答案】C【解析】由函数f（x）是定义在R上的奇函数，可得．又当x∈[0，1）时，f（x）=2x﹣1，所以，当x∈[﹣1，0）时，﹣x∈[0，1），则f（﹣x）=2﹣x﹣1=﹣f（x），∴．又f（x+2）=f（x），∴函数f（x）是周期为2的周期函数．画出函数y=f（x）与y=lg|x|的图象，如图所示，对于A，结合图象可得函数f（x）的图象无对称轴，所以A不正确．对于B，由图象可得，函数f（x）没有最大值和最小值，所以B不正确．对于C，结合图象可得当x＞0时，函数y=f（x）与y=lg|x|的图象有4个交点，当x＜0时，函数y=f（x）与y=lg|x|的图象有6个交点，故方程f（x）﹣lg|x|=0有10个实数根．所以C 正确．对于D，当x∈[2，3)时，x﹣2∈[0，1)，所以．故D不正确．故选C．三．解答题（共5小题，满分76分）17.设p：实数x满足x2－4ax＋3a2＜0，其中a＞0；q：实数x满足x2－x－6≤0.(1)若a＝1，p且q为真，求实数x的取值范围；(2)若¬q是¬p的充分不必要条件，求实数a的取值范围．解：(1)由x2－4ax＋3a2＜0得(x－3a)(x－a)＜0，又a＞0，所以a＜x＜3a，当a＝1时，1＜x＜3，即p为真时，实数x的范围是1＜x＜3；由q为真时，实数x的范围是－2≤x≤3，若p且q为真，则p真且q真，所以实数x的取值范围是(1,3)．(2)¬p：x≤a或x≥3a，¬q：x＜－2或x＞3，由¬q是¬p的充分不必要条件，有得0＜a≤1，显然此时¬p¬q，即a的取值范围为(0,1]．18.已知函数y=f（x）为定义在（﹣∞，0）∪（0，+∞）上的奇函数，且当x＞0时，（1）试求f（﹣2）的值；（2）指出f（x）的单调递增区间（直接写出结论即可）；（3）求出f（x）的零点．解：（1）∵函数为奇函数，∴．（2）当x＞0时，函数在（3，+∞）上单调递增，又函数y=f（x）为定义在（﹣∞，0）∪（0，+∞）上的奇函数，∴函数y=f（x）在（﹣∞，﹣3）上也单调递增，∴函数的单调递增区间为（﹣∞，﹣3）和（3，+∞）.（3）当时，由，得，解得，∴是函数的零点．又函数为奇函数，∴也为函数的零点．综上可得函数的零点为和．19.已知函数.（1）求不等式的解集；（2）若对恒成立，求的取值范围.解：（1）因为，，所以当时，由得；当时，由得；当时，由得.综上，的解集为.（2）法一：由得，因为，当且仅当取等号，所以当时，取得最小值.所以当时，取得最小值，故，即的取值范围为.法二：设，则，当时，取得最小值，所以当时，取得最小值，故时，即的取值范围为.20.函数f(x)的定义域为D＝{x|x≠0}，且满足对任意x1，x2∈D，有f(x1·x2)＝f(x1)＋f(x2)．(1)求f(1)的值；(2)判断f(x)的奇偶性并证明你的结论；(3)如果f(4)＝1，f(x－1)<2，且f(x)在(0，＋∞)上是增函数，求x的取值范围．解：(1)∵对于任意x1，x2∈D，有f(x1·x2)＝f(x1)＋f(x2)，∴令x1＝x2＝1，得f(1)＝2f(1)，∴f(1)＝0.(2)令x1＝x2＝－1，有f(1)＝f(－1)＋f(－1)，∴f(－1)＝f(1)＝0.令x1＝－1，x2＝x有f(－x)＝f(－1)＋f(x)，∴f(－x)＝f(x)，∴f(x)为偶函数．(3)依题设有f(4×4)＝f(4)＋f(4)＝2，由(2)知，f(x)是偶函数，∴f(x－1)<2⇔f(|x－1|)<f(16)．又f(x)在(0，＋∞)上是增函数．∴0<|x－1|<16，解之得－15<x<17且x≠1.∴x的取值范围是{x|－15<x<17且x≠1}．21.已知函数，．(1)若函数是奇函数，求实数的值；(2)在(1)的条件下，判断函数与函数的图象公共点个数，并说明理由；(3)当时，函数的图象始终在函数的图象上方，求实数的取值范围．解：（1）因为为奇函数，所以对于定义域内任意，都有，即，，显然，由于奇函数定义域关于原点对称，所以必有.上面等式左右两边同时乘以得，化简得，.上式对定义域内任意恒成立，所以必有，解得.（2）由（1）知，所以，即，由得或，所以函数定义域.由题意，要求方程解的个数，即求方程在定义域上的解的个数. 令，显然在区间和均单调递增，又，且，.所以函数在区间和上各有一个零点，即方程在定义域上有2个解，所以函数与函数的图象有2个公共点.（附注：函数与在定义域上的大致图象如图所示）（3）要使时，函数的图象始终在函数的图象的上方，必须使在上恒成立，令，则，上式整理得在恒成立.方法一：令，.①当，即时，在上单调递增，所以，恒成立；②当，即时，在上单调递减，只需，解得与矛盾.③当，即时，在上单调递减，在上单调递增，所以由，解得，又，所以综合①②③得的取值范围是.方法二：因为在恒成立. 即，又，所以得在恒成立令，则，且，所以，由基本不等式可知（当且仅当时，等号成立.）即，所以,所以的取值范围是.。
2019复旦附中高一期中
复旦附中高一期中数学试卷2018.11一.填空题1.集合{}∅的元素个数是2.已知()f x =(2)f x -的定义域是3.命题“若3x >或2y >，则224x y +>”的逆否命题是4.函数4y x x=+（0x >）的递增区间是5.已知()f x 是定义在R 上的奇函数，若0x <时，()(2)f x x x =-，则0x >时，()f x =6.若关于x 的方程22(1)4(1)10a x a x -+++=无实根，则实数a 的取值范围是7.函数221()()1x f x x ++=的值域为8.已知正实数,x y 满足xy y x =+2，则y x +2的最小值等于9.设集合A 、B 是实数集R 的子集，[1,0]A B =-R ð，[1,2]B A =R ð，[3,4]A B =R R 痧，则A =10.已知定义在R 上的奇函数()f x 在[0,)+∞上递增，则下列函数：①|()|f x ；②(||)f x ；③1()f x ；④()()f x f x -；其中在(,0)-∞上递减的是11.设函数1(|)2|x f x x +=，区间[,]M a b =（a b <），集合{(),}N y y f x x M ==∈，则使得M N =的实数对(,)a b 有对12.对任何有限集S ，记()p S 为S 的子集个数.设{1,2,3,4}M =，则对所有满足A B M ⊆⊆的有序集合对(,)A B ，()()p A p B 的和为二.选择题13.已知x ∈R ，则12x >是12x <的（）条件A.充分不必要 B.必要不充分 C.充要 D.既不充分也不必要14.若a b c <<，则函数()()()()()()()f x x a x b x b x c x c x a =--+--+--的两个零点分别位于区间（）A.(,)a b 和(,)b c 内 B.(,)a -∞和(,)a b 内 C.(,)b c 和(),c +∞内 D.(,)a -∞和(),c +∞15.若整数集Z 的子集S 满足条件：对任何,a b S ∈，都有a S b -∈，就称S 是封闭集.下列命题中错误的是（）A.若S 是封闭集且{0}S ≠，则S 一定是无限集B.对任意整数a 、b ，{|,,}S n n ax by x y ==+∈Z 是封闭集C.若S 是封闭集，则存在整数k S ∈，使得S 中任何元素都是k 的整数倍D.存在非零整数,a b 和封闭集S ，使得,a b S ∈，但,a b 的最大公约数d S∉16.设()f x 是定义在R 上的函数，下列关于()f x 的单调性的说法：（1）若存在实数a b <，使得()()f a f b <，则存在实数c d <，满足[,][,]c d a b ⊆，且()f x 在[,]c d 上递增；（2）若()f x 在R 上单调，则存在x ∈R ，使得(())f f x x ≠-；（3）若对任意0a >，存在d ∈R ，使得0d a <<，且()()f x d f x +>对一切x ∈R 成立，则()f x 在R 上递增；其中正确的个数是（）A.0B.1C.2D.3三.解答题17.已知命题:p 0x ≤或2x ≥，q ：x a ≤.（1）若p 是q 的必要条件，求实数a 的取值范围；（2）若对任意x ∈R ，p 、q 中至少有一个是真命题，求实数a 的取值范围.18.已知α、β是关于x 的方程2220x kx k -++=的两实根，且αβ<.（1）若1αβ<<，求实数k 的取值范围；（2）若α、[0,3]β∈，求实数k 的取值范围.19.对关于x 的不等式|2|3x a x -<+.（1）当1a =时，求解不等式；（2）若该不等式对一切[1,1]x ∈-恒成立，求实数a 的取值范围.20.已知()f x 是定义在R 上不恒为0的函数，满足对任意x 、y ∈R ，()()()f x y f x f y +=+，()()()f xy f x f y =.（1）求()f x 的零点；（2）判断()f x 的奇偶性和单调性，并说明理由；（3）①当x ∈Z 时，求()f x 的解析式；②当x ∈R 时，求()f x 的解析式.21.（1）设实数0t ≠、1，若关于x 的方程2201t tx tx +=-+有实根，求t 的取值范围；（2）设r ∈R ，若存在实数0t ≠、1，使得r 是（1）中方程的实根，求r 的取值范围；（3）设()f x 是定义在R 上的函数，若实数x 满足((()))f f f x x =，但()f x x ≠，则称x 是()f x 的三阶不动点，对存在三阶不动点的一切函数2()f x x ax b =++（,a b ∈R ），及()f x 的一切三阶不动点x ，求|()||()(())||(())|m x f x f x f f x f f x x =-+-+-的最小值.参考答案一.填空题1.12.(,2]-∞3.若224x y +≤，则3x ≤或2y ≤4.[2,)+∞5.(2)x x -+6.5(,1]3--7.[0,2]8.99.,1)(2,3)(4,)(-∞+∞ 10.①②③11.312.2401二.选择题13.A14.A 15.D 16.B三.解答题17.（1）,](,0]([2,)0a q p a ∞⊆-∞+∞⇒⇔⇔-≤ ；（2）x ∈R ，p 或q 为真,]((,0][2,))2(a a ∞-∞+⇔-∞=⇔≥R .18.记2()22f x x kx k =-++（1）1(1)303f k k αβ<<⇔=-<⇔>；（2）24(2)003(0)20(34,[0,)11503]1125k k f k k k f k αβαβ⎧∆=⎪∈⎧⎪⇔⇔<≤⎨⎨≠⎩⎪⎪⎩-+>≤≤=+≥=-≥.19.（1）1a =时，|21|3(3)214323x x x x x x -<+⇔-+<+⇔-<<<-（2）对一切[1,1]x ∈-，|2|3x a x -<+，即(3)23x a x x -+<-<+，即333x a x -<<+记()3,[1,1]f x x x ∈-=-，()33,[1,1]g x x x ∈-=+则,f g 在[1,1]-递增，所以max (1)2f f ==-，min (1)0g g =-=对一切[1,1]x ∈-，max min ()()f x a g x f a g <<⇔<<，即20a -<<.20.记()()()f x y f x f y +=+①()()()f xy f x f y =②（1）在①中取0y =得(0)0f =.若存在0x ≠，使得()0f x =，则对任意y ∈R ，()(()()0y y f x f x f xy f x =⋅==，与()f x 不恒为0矛盾.所以0x ≠时，()0f x ≠，f 的零点是0（2）在①中取y x =-得()()(0)0f x f x f +-==，即()(),f x f x x -=-∈R ，所以f 是奇函数.所以f 在R 上递增.（3）②中取,1x y =得2(1)((1))f f =.因为(1)0f ≠，所以(1)1f =对任意正整数n ，由①，(1)()(1)1n f n f n n f +=+=⨯= 个，()()f n f n n -=-=-又因为(0)0f =，所以x ∈Z 时，()f x x=对任意有理数m n （,m n ∈∈*Z N ），由①，)(()((()n m m m m f f nf n n n f m f n n =⋅=++= 个，所以())(f m f m m n n n==，即对一切x ∈Q ，()f x x =若存在x ∈R ，使得()f x x ≠，不妨设()f x x >（否则以()f x --代替()f x ，x -代替x 即可），则存在有理数α，使得()x f x α<<（例如可取1)[1(f x n x+-=，[]1m nx =+，m nα=）.x α<但(())f x f αα=>，与f 的递增性矛盾.所以x ∈R 时，()f x x =.21.（1）22403110t t t t t t ⎧∆=≥⎪⇔≤->-⎨⎪≠⎩-或（2）2222001100t r t t r r r t r t rt ⎧⎧==⎪⎪⇔--⎨⎨⎪⎪≠+≠+⎩+⎩+，所以存在0,1t ≠，使得r 是关于x 的方程2201t t x tx +=-+的解⇔0,1r ≠，且关于x 的方程2201r r x rx +=-+有实数解31r r ⇔≤->或（3）设x 是函数2()f x x ax b =++的三阶不动点，记()y f x =①()z f y =②则((()))()x f f f x f z ==③记,,r x y s y z t z x =-=-=-，则0r s t ++=.①-②，②-③，③-①得()()()r x y a s s y z a t t z x a r ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩，因为()f x x ≠，即0r ≠，所以0,s t ≠，即x y a y z a z s r t s r a t x ⎧++=⎪⎪⎪++=⎨⎪⎪++=⎪⎩④⑤⑥⑤-⑥得r r t t s =-，即21rs t t=-，又因为r s t +=-，所以,r s 是关于关于x 的方程2201t t x tx +=-+两根.由（1）（2），(,3](1),,,r s t ∈-∞-⋃+∞.因为0r s t ++=，所以,,r s t 中至少有一个为负，不妨设3t ≤-，则0r s t +=->，201t trs =>-，所以,0r s >，||||||26m r s t r s t t =++=+-=-≥当2294216a a b --=时，f 有三阶不动点542x a =-，满足6m =，所以m 的最小值为6.。
2018-2019学年上海市复旦大学附属中学高一上学期期中考试数学试卷含详解
上海市复旦附中2018-2019学年高一（上）期中数学模拟试卷一．填空题（共12小题，满分54分）1.若实数a 满足：a 2∈{1，4，a}，则实数a 的取值集合为_____．2.函数lg(3)y x =-的定义域为_____．3.命题“若ab ＝0，则b ＝0”的逆否命题是______．4.函数y=1x +2的单调区间是_____．5.已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，当0x ≥时，()()1f x x x =+，则0x <时，()f x =________.6.已知符号函数sgn（x）1,00,01,0x x x >⎧⎪==⎨⎪-<⎩，则函数f（x）=sgn（x）﹣2x 的所有零点构成的集合为_____．7.函数3()log (81)xf x =+的值域为_______.8.已知a＞0，b＞0，则224442a ab b a b ++++的最小值为_____．9.设集合A={1，2，6}，B={2，4}，C={x∈R|﹣1≤x≤5}，则（A∪B）∩C=_____10.若y=f（x）是定义在（﹣∞，+∞）上的单调减函数，且f（x）＜f（2x﹣2），则x 的取值范围_____．11.若函数()[]()()2,1,12,1,x x f x f x x ⎧∈-⎪=⎨-∈+∞⎪⎩，则()5f =_____．12.定义：若平面点集A 中的任一个点（x 0，y 0），总存在正实数r，使得集合(){x,y }Ar <⊆，则称A 为一个开集．给出下列集合：①{（x，y）|x 2+y 2=1}；②{（x，y）|x+y+2＞0}；③{（x，y）||x+y|≤6}；④()(22{,|01}x y x y <+-<．其中不是开集的是_____．（请写出所有符合条件的序号）二．选择题（共4小题，满分20分，每小题5分）13.设x∈R，则“|x﹣2|＜1”是“x 2﹣x﹣6＜0”的（）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件14.已知函数f（x）=3x +x，g（x）=log 3x+x，h（x）=sinx+x 的零点依次为x 1，x 2，x 3，则以下排列正确的是（）A.x 1＜x 2＜x 3B.x 1＜x 3＜x 2C.x 3＜x 1＜x 2D.x 2＜x 3＜x 115.已知非空集合M 满足：若x ∈M ，则11x-∈M ，则当4∈M 时，集合M 的所有元素之积等于A.0B.1C.－1D.不确定16.已知函数f（x）是定义在R 上的奇函数，对任意的x∈R，均有f（x+2）=f（x），当x∈[0，1）时，f（x）=2x ﹣1，则下列结论正确的是（）A.f（x）的图象关于x=1对称B.f（x）的最大值与最小值之和为2C.方程f（x）﹣lg|x|=0有10个实数根D.当x∈[2，3]时，f（x）=2x+2﹣1三．解答题（共5小题，满分76分）17.设:p 实数x 满足22430x ax a -+<，其中0a >；:q 实数x 满足260x x --≤.（1）若1a =，p 且q 为真，求实数x 的取值范围；（2）若q ⌝是p ⌝的充分不必要条件，求实数a 的取值范围．18.已知函数y=f （x）为定义在（﹣∞，0）∪（0，+∞）上的奇函数，且当x＞0时，()212,0333,3x x f x x x ⎧-+<≤⎪⎪=⎨⎪->⎪⎩（Ⅰ）试求f（﹣2）的值；（Ⅱ）指出f（x）的单调递增区间（直接写出结论即可）；（Ⅲ）求出f（x）的零点．19.选修4-5：不等式选讲已知函数()|2||3|=-++f x x x .（1）求不等式()15f x ≤的解集；（2）若2()x a f x -+≤对x R ∈恒成立，求a 的取值范围.20.函数f(x)的定义域为D＝{x|x≠0}，且满足对任意x 1，x 2∈D，有f(x 1·x 2)＝f(x 1)＋f(x 2)．(1)求f(1)的值；(2)判断f(x)的奇偶性并证明你的结论；(3)如果f(4)＝1，f(x－1)<2，且f(x)在(0，＋∞)上是增函数，求x 的取值范围．21.已知函数2()lg()1f x a x =+-，a R ∈．(1)若函数()f x 是奇函数，求实数a 的值；(2)在(1)的条件下，判断函数()y f x =与函数lg 2x y =的图象公共点个数，并说明理由；(3)当[)1,2x ∈时，函数(2)x y f =的图象始终在函数lg(42)x y =-的图象上方，求实数a 的取值范围．上海市复旦附中2018-2019学年高一（上）期中数学模拟试卷一．填空题（共12小题，满分54分）1.若实数a 满足：a 2∈{1，4，a}，则实数a 的取值集合为_____．【答案】{﹣1，﹣2，2，0}【分析】由2a ∈{1，4，a}，得到2a =1或2a =4，或2a =a ，由此求出实数a 的取值，根据互异性验证后可得所求集合．【详解】∵实数a 满足：2a ∈{1，4，a }，∴2a =1或2a =4，或2a =a，解得a =﹣2或a =2或a =﹣1或a =1或a =0，当a =1时，集合为{1，4，1}，不合题意；当a =﹣1，或a =±2，或a =0时，满足题意．∴实数a 的取值集合为{﹣1，﹣2，2，0}．故答案为{﹣1，﹣2，2，0}．【点睛】本题考查集合的求法，是基础题，解题时要认真审题，对得到的结果要进行验证，注意集合中元素性质的合理运用．2.函数lg(3)y x =-的定义域为_____．【答案】[﹣2，3）【分析】由根式内部的代数式大于等于0和对数的真数大于0得到关于变量x 的不等式组，解不等式组后可得定义域．【详解】由题意得2030x x +≥⎧⎨->⎩，解得23x -≤<．∴函数的定义域为：[﹣2，3）．故答案为[﹣2，3）．【点睛】本题考查函数的定义域及其求法，解题的关键是构造关于自变量的的不等式（组），是基础题．3.命题“若ab ＝0，则b ＝0”的逆否命题是______．【答案】“若b ≠0，则ab ≠0”【详解】因为一个命题的逆否命题，是将原命题逆命题的条件与结论同时否定得到，所以命题“若ab ＝0，则b ＝0”的逆否命题是“若b ≠0，则ab ≠0”.故答案为“若b ≠0，则ab ≠0”.4.函数y=1x+2的单调区间是_____．【答案】（﹣∞，0）和（0，+∞）【分析】求出函数的定义域，利用反比例函数的单调性可求得答案．【详解】由题意得函数1y 2x=+的定义域为()(),00,∞∞-⋃+，又函数1y x =在(),0∞-和()0,∞+上单调递减，所以函数1y 2x=+的单调减区间是(),0∞-和()0,∞+．故答案为（-∞，0）和（0，+∞）．【点睛】本题考查函数单调区间的求法，属于基础题，熟练掌握常见基本函数的单调性是解题的基础，同时还应注意函数的单调区间不能并在一起．5.已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，当0x ≥时，()()1f x x x =+，则0x <时，()f x =________.【答案】()1x x -【分析】设0x <，则0x ->，代入0x ≥的解析式，由函数的奇偶性即可求解.【详解】设0x <，则0x ->，由0x ≥时，()()1f x x x =+，所以()()()1f x x x -=--，又函数为偶函数，即()()f x f x -=，所以()()()()11f x x x x x =--=-.故答案为：()1x x -【点睛】本题考查了利用函数的奇偶性求解析式，考查了基本知识的掌握情况，属于基础题.6.已知符号函数sgn（x）1,00,01,0x x x >⎧⎪==⎨⎪-<⎩，则函数f（x）=sgn（x）﹣2x 的所有零点构成的集合为_____．【答案】11,0,22⎧⎫-⎨⎬⎩⎭【分析】根据x 的取值进行分类讨论，得到等价函数后分别求出其零点，然后可得所求集合．【详解】①当x＞0时，函数f（x）=sgn（x）﹣2x =1﹣2x，令1﹣2x=0，得x=12，即当x＞0时，函数f（x）的零点是12；②当x=0时，函数f（x）=0，故函数f（x）的零点是0；③当x＜0时，函数f（x）=﹣1﹣2x，令﹣1﹣2x=0，得x=12-，即当x＜0时，函数f（x）的零点是12-．综上可得函数f（x）=sgn（x）﹣x 的零点的集合为：11,0,22⎧⎫-⎨⎬⎩⎭．故答案为11,0,22⎧⎫-⎨⎬⎩⎭．【点睛】本题主要考查函数零点的求法，解题的关键是根据题意得到函数的解析式，考查转化思想、分类讨论思想，是基础题．7.函数3()log (81)xf x =+的值域为_______.【答案】(0,)+∞【详解】由指数函数的性质可知：80,811x x >∴+>，据此可知：()()3log 810xf x =+>，函数的值域为()0,∞+.8.已知a＞0，b＞0，则224442a ab b a b++++的最小值为_____．【答案】4【分析】由题意构造出基本不等式的形式，然后根据基本不等式求解即可．【详解】由题意得222444(2)44(2)222a ab b a b a b a b a b a b+++++==+++++，∵0,0a b >>，∴20a b +>，∴4(2)42a b a b ++≥=+，当且仅当422a b a b +=+，即22a b +=时等号成立．∴224442a ab b a b++++的最小值为4．故答案为4．【点睛】应用基本不等式求最值时，需要注意使用的条件，即“一正、二定、三相等”，若不满足此条件，则要通过“拼、凑”等方法进行变形，使得满足所需条件．本题考查“构造思想”与基本不等式的运用，属于基础题．9.设集合A={1，2，6}，B={2，4}，C={x∈R|﹣1≤x≤5}，则（A∪B）∩C=_____【答案】{1，2，4}【分析】根据并集与交集的定义计算即可．【详解】∵A={1，2，6}，B={2，4}，∴A∪B={1，2，4，6}，又C={x|﹣1≤x≤5，x∈R}，∴（A∪B）∩C={1，2，4}．故答案为{1，2，4}．【点睛】本题考查交集与并集的运算，解题时根据集合运算的定义求解即可，是基础题．10.若y=f（x）是定义在（﹣∞，+∞）上的单调减函数，且f（x）＜f（2x﹣2），则x 的取值范围_____．【答案】（﹣∞，2）【分析】根据y=f（x）是定义在（﹣∞，+∞）上的单调减函数可由f（x）＜f（2x﹣2）得到x＞2x﹣2，解不等式可得x 的取值范围．【详解】∵f（x）＜f（2x﹣2），且y=f（x）是定义在（﹣∞，+∞）上的单调减函数，∴x＞2x﹣2，解得x＜2．∴x 的取值范围为（﹣∞，2）．故答案为（﹣∞，2）．【点睛】本题考查函数单调性的应用及一元一次不等式的解法，解题时注意转化思想方法的运用，属于简单题．11.若函数()[]()()2,1,12,1,x x f x f x x ⎧∈-⎪=⎨-∈+∞⎪⎩，则()5f =_____．【答案】1【分析】根据函数的解析式可推导出f（5）=f（3）=f（1），由此可得所求结果．【详解】由题意得()()()()()2552332111f f f f f =-==-===．故答案为1．【点睛】本题考查求分段函数的函数值和运算求解能力，解题的关键是分清自变量所在的范围，然后代入求值，属于基础题．12.定义：若平面点集A 中的任一个点（x 0，y 0），总存在正实数r，使得集合(){x,y }A r <⊆，则称A 为一个开集．给出下列集合：①{（x，y）|x 2+y 2=1}；②{（x，y）|x+y+2＞0}；③{（x，y）||x+y|≤6}；④()(22{,|01}x y x y <+-<．其中不是开集的是_____．（请写出所有符合条件的序号）【答案】①③【分析】弄清开集的定义是解决本题的关键，解答本题时根据新定义进行计算后判断，即所选的集合需要满足：存在以该集合内任意点为圆心、以正实数为半径的圆，且圆的内部均在该集合内．【详解】对于①，集合A={（x，y）|x 2+y 2=1}表示以原点为圆心，1为半径的圆，则在该圆上任意取点（x 0，y 0），以任意正实数r 为半径的圆面，均不满足()B {x,y }A r =<⊆，故①不是开集．对于②，集合A={（x，y）|x+y+2＞0}，对于A 中的任一点（x 0，y 0），设该点到直线x+y+2=0的距离为d，取r=d，则满足()B {x,y |}A r =<⊆，故②是开集．对于③，集合A={（x，y）||x+y|≤6}，在曲线|x+y|=6任意取点（x 0，y 0），以任意正实数r 为半径的圆面，均不满足()B {x,y }A r =<⊆，故该集合不是开集．对于④，集合A=()(22{,|01}x y x y <+-<表示以点(为圆心，以1为半径除去圆心和圆周的圆面，在该平面点集A 中的任一点（x 0，y 0），则该点到圆周上的点的最短距离为d，取r=d，则满足()B {x,y |}A r =<⊆，故该集合是开集．综上可得①③中的集合不是开集．故答案为①③．【点睛】本题属于集合的新定义型问题，考查学生即时掌握信息、解决问题的能力，正确理解开集的定义是解决本题的关键．二．选择题（共4小题，满分20分，每小题5分）13.设x∈R，则“|x﹣2|＜1”是“x 2﹣x﹣6＜0”的（）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A【分析】根据绝对值不等式和一元二次不等式的解法求出不等式的等价条件，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可．【详解】由|x﹣2|＜1得﹣1＜x﹣2＜1，解得1＜x＜3由x 2﹣x﹣6＜0，得﹣2＜x＜3．因为{|13}x x ＜＜{|23}x x ＜＜-，所以“1＜x＜3”是“﹣2＜x＜3”的充分不必要条件，即“|x﹣2|＜1”是“x 2﹣x﹣6＜0”的充分不必要条件．故选A．【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，解题时可转化为两集合间的包含关系求解，根据不等式的解法求出不等式的等价条件是解决本题的关键．14.已知函数f（x）=3x +x，g（x）=log 3x+x，h（x）=sinx+x 的零点依次为x 1，x 2，x 3，则以下排列正确的是（）A.x 1＜x 2＜x 3B.x 1＜x 3＜x 2C.x 3＜x 1＜x 2D.x 2＜x 3＜x 1【答案】B【分析】将函数的零点看作两函数图象交点的横坐标，画出函数的图象，利用数形结合，判断出函数的零点的大小即可．【详解】函数f（x）=3x +x，g（x）=log 3x+x，h（x）=sinx+x 的零点依次为x 1，x 2，x 3，在坐标系中画出y=3x ，y=log 3x，y=sinx 与y=﹣x的图象，如下图所示：由图形可知x 1＜0，x 2＞0，x 3=0，所以x 1＜x 3＜x 2．故选B．【点睛】求函数零点的常用方法有：（1）解函数对应的方程()0f x =，得到函数的零点；（2）将函数的零点转化为两函数图象的交点的横坐标，画出函数的图象，根据数形结合求解．15.已知非空集合M 满足：若x ∈M ，则11x-∈M ，则当4∈M 时，集合M 的所有元素之积等于A.0 B.1C.－1D.不确定【答案】C【详解】试卷分析：依题意，得当4∈M 时，有11143M =-∈-，从而131413M =∈+，14314M =∈-，于是集合M 的元素只有4，13-，34所有元素之积等于4×（13-）×34=-1考点：元素与集合关系的判断16.已知函数f（x）是定义在R 上的奇函数，对任意的x∈R，均有f（x+2）=f（x），当x∈[0，1）时，f（x）=2x ﹣1，则下列结论正确的是（）A.f（x）的图象关于x=1对称B.f（x）的最大值与最小值之和为2C.方程f（x）﹣lg|x|=0有10个实数根D.当x∈[2，3]时，f（x）=2x+2﹣1【答案】C【分析】根据函数为奇函数和x∈[0，1）时的解析式，可求出当x∈（﹣1，0]时函数的解析式，再根据函数的周期性画出函数y=f（x）的图象，再画出y=lg|x|的图象，结合图象对四个选项作出判断即可．【详解】由函数f（x）是定义在R 上的奇函数，可得(0)0f =．又当x∈[0，1）时，f（x）=2x ﹣1，所以，当x∈[﹣1，0）时，﹣x∈[0，1），则f（﹣x）=2﹣x ﹣1=﹣f（x），∴()12x f x =-﹣．又f（x+2）=f（x），∴函数f（x）是周期为2的周期函数．画出函数y=f（x）与y=lg|x|的图象，如图所示，对于A，结合图象可得函数f（x）的图象无对称轴，所以A 不正确．对于B，由图象可得，函数f（x）没有最大值和最小值，所以B 不正确．对于C，结合图象可得当x＞0时，函数y=f （x）与y=lg|x|的图象有4个交点，当x＜0时，函数y=f （x）与y=lg|x|的图象有6个交点，故方程f（x）﹣lg|x|=0有10个实数根．所以C 正确．对于D，当x∈[2，3)时，x﹣2∈[0，1)，所以2()(2) 21x f x f x -=-=-．故D 不正确．故选C．【点睛】本题考查函数的奇偶性、周期性、对称性，以及函数零点个数的判断，考查转化能力和运算能力，解题时借助函数的图象求解是关键，属于中档题．三．解答题（共5小题，满分76分）17.设:p 实数x 满足22430x ax a -+<，其中0a >；:q 实数x 满足260x x --≤.（1）若1a =，p 且q 为真，求实数x 的取值范围；（2）若q ⌝是p ⌝的充分不必要条件，求实数a 的取值范围．【答案】（1）()1,3（2）(]0,1【分析】（1）解一元二次不等式得,p q ，根据p 且q 为真求解，（2）由推出关系列式求解，【小问1详解】由22430x ax a -+<得()(3)0x a x a --<，而0a >，故3a x a <<，当1a =时，:13p x <<，由260x x --≤得23x -≤≤，故:23q x -≤≤，当p 且q 为真时，x 的取值范围为()1,3，【小问2详解】由题意得p 是q 的充分不必要条件，而:3p a x a <<，:23q x -≤≤，(,3)a a 是[2,3]-的真子集，故0233a a a >⎧⎪≥-⎨⎪≤⎩，解得01a <≤，故a 的取值范围为(]0,118.已知函数y=f （x）为定义在（﹣∞，0）∪（0，+∞）上的奇函数，且当x＞0时，()212,0333,3x x f x x x ⎧-+<≤⎪⎪=⎨⎪->⎪⎩（Ⅰ）试求f（﹣2）的值；（Ⅱ）指出f（x）的单调递增区间（直接写出结论即可）；（Ⅲ）求出f（x）的零点．【答案】（1）2(2)3f -=-；（2）（﹣∞，﹣3）和（3，+∞）；和【分析】（Ⅰ）利用函数的奇偶性以及函数的解析式可求得f（﹣2）的值；（Ⅱ）利用函数的奇偶性以及分段函数的解析式可写出f（x）的单调递增区间；（Ⅲ）把函数f（x）的零点转化为方程的根，解方程可得函数的零点．【详解】（Ⅰ）∵函数()f x 为奇函数，∴()()212222233f f ⎛⎫-=-=--⨯+=-⎪⎝⎭．（Ⅱ）当x＞0时，函数()212,0333,3x x f x x x ⎧-+<≤⎪⎪=⎨⎪->⎪⎩在（3，+∞）上单调递增，又函数y=f（x）为定义在（﹣∞，0）∪（0，+∞）上的奇函数，∴函数y=f（x）在（﹣∞，﹣3）上也单调递增，∴函数的单调递增区间为（﹣∞，﹣3）和（3，+∞）.（Ⅲ）当0x >时，由()0f x =，得21203x -+=，解得x =，是函数()f x 的零点．又函数()f x 为奇函数，∴也为函数()f x 的零点．综上可得函数()f x和．【点睛】本题考查分段函数的奇偶性的应用、分段函数函数值的求法以及函数的零点的求法，解题时注意函数图象对称性的应用，考查计算能力和转化应用的能力，属于基础题．19.选修4-5：不等式选讲已知函数()|2||3|=-++f x x x .（1）求不等式()15f x ≤的解集；（2）若2()x a f x -+≤对x R ∈恒成立，求a 的取值范围.【答案】（1）[8,7]-（2）(,5]-∞【详解】试卷分析：（1）由已知，根据解析式中绝对值的零点（即绝对值等于零时x 的值），将函数的定义域分成若干段，从而去掉绝对值号，再分别计算各段函数的相应不等式的解集，从而求出原不等式的解集；（2）由题意，将不等式转化为()2a x f x ≤+，可构造新函数()()2g x x f x =+，则问题再转化为()min a g x ≤，由（1）可得()()min 05g x g ==，即5a ≤，从而问题可得解.试卷解析：（1）因为()21,35,3221,2x x f x x x x --<-⎧⎪=-≤≤⎨⎪+>⎩，所以当3x <-时，由()15f x ≤得83x -≤<-；当32x -≤≤时，由()15f x ≤得32x -≤<；当2x >时，由()15f x ≤得27x -<≤.综上，()15f x ≤的解集为[]8,7-.（2）（方法一）由()2x a f x -+≤得()2a x f x ≤+，因为()()()235f x x x ≥--+=，当且仅当32x -≤≤取等号，所以当32x -≤≤时，()f x 取得最小值5，所以当0x =时，()2x f x +取得最小值5，故5a ≤，即a 的取值范围为(],5-∞.（方法二）设()2g x x a =-+，则()()max 0g x g a ==，当32x -≤≤时，()f x 取得最小值5，所以当0x =时，()2x f x +取得最小值5，故5a ≤，即a 的取值范围为(],5-∞.20.函数f(x)的定义域为D＝{x|x≠0}，且满足对任意x 1，x 2∈D，有f(x 1·x 2)＝f(x 1)＋f(x 2)．(1)求f(1)的值；(2)判断f(x)的奇偶性并证明你的结论；(3)如果f(4)＝1，f(x－1)<2，且f(x)在(0，＋∞)上是增函数，求x 的取值范围．【答案】（1）0；（2）见解析；（3）()(15,1)1,17⋃－【详解】试卷分析：（1）抽象函数求具体指，用赋值法；（2）根据定义求证函数的奇偶性找f (－x )和f (x )的关系；（3）先利用f (4×4)＝f (4)＋f (4)＝2得到f (x －1)<2⇔f (|x －1|)<f (16).再根据单调性列出不等式求解即可.(1)∵对于任意x 1，x 2∈D ，有f (x 1·x 2)＝f (x 1)＋f (x 2)，∴令x 1＝x 2＝1，得f (1)＝2f (1)，∴f (1)＝0.(2)令x 1＝x 2＝－1，有f (1)＝f (－1)＋f (－1)，∴f (－1)＝f (1)＝0.令x 1＝－1，x 2＝x 有f (－x )＝f (－1)＋f (x )，∴f (－x )＝f (x )，∴f (x )为偶函数．(3)依题设有f (4×4)＝f (4)＋f (4)＝2，由(2)知，f (x )是偶函数，∴f (x －1)<2⇔f (|x －1|)<f (16)．又f (x )在(0，＋∞)上是增函数．∴0<|x －1|<16，解之得－15<x <17且x ≠1.∴x 的取值范围是{x |－15<x <17且x ≠1}．21.已知函数2()lg()1f x a x =+-，a R ∈．(1)若函数()f x 是奇函数，求实数a 的值；(2)在(1)的条件下，判断函数()y f x =与函数lg 2x y =的图象公共点个数，并说明理由；(3)当[)1,2x ∈时，函数(2)x y f =的图象始终在函数lg(42)x y =-的图象上方，求实数a 的取值范围．【答案】(1)1a =.(2)函数()y f x =与函数lg 2x y =的图象有2个公共点；说明见解析.(3)(3)-+∞.【详解】分析：（1）由题意可得()()0f x f x +-=，解出1a =；（2）要求方程1lglg21x x x +=-解的个数，即求方程22101x x --=-在定义域D 上的解的个数，令()2211x F x x =---，利用零点存在定理判断即可；（3）要使[)1,2x ∈时，函数()2x y f =的图象始终在函数()lg 42x y =-的图象的上方，必须使24221x x a +>--在[)1,2x ∈上恒成立，令2x t =，则[)2,4t ∈，上式整理得()2560t a t a +-+->在[)2,4t ∈恒成立，分类讨论即可.详解：（1）因为()f x 为奇函数，所以对于定义域内任意x ，都有()()0f x f x +-=，即22lg lg 011a a x x ⎛⎫⎛⎫+++= ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭，22111a a x x ⎛⎫⎛⎫∴+⋅-= ⎪ ⎪-+⎝⎭⎝⎭，显然1x ≠，由于奇函数定义域关于原点对称，所以必有1x ≠-.上面等式左右两边同时乘以()()11x x -+得()()212121a x a x x ⎡⎤⎡⎤-+⋅+-=-⎣⎦⎣⎦，化简得()()2221430a x a a ---+=，.上式对定义域内任意x 恒成立，所以必有2210430a a a ⎧-=⎨-+=⎩，解得1a =.（2）由（1）知1a =，所以()2lg 11f x x ⎛⎫=+⎪-⎝⎭，即()1lg 1x f x x +=-，由101x x +>-得1x <-或1x >，所以函数()f x 定义域()(),11,D =-∞-⋃+∞.由题意，要求方程1lglg21x x x +=-解的个数，即求方程22101x x --=-在定义域D 上的解的个数.令()2211x F x x =---，显然()F x 在区间(),1-∞-和()1,+∞均单调递增，又()22112210343F --=--=-<-，323212105252F -⎛⎫-=--=> ⎪⎝⎭-且32322150122F ⎛⎫=--=< ⎪⎝⎭，()22221101F =--=>.所以函数()F x 在区间32,2⎛⎫--⎪⎝⎭和3,22⎛⎫ ⎪⎝⎭上各有一个零点，即方程22101x x --=-在定义域D 上有2个解，所以函数()y f x =与函数lg2x y =的图象有2个公共点.（附注：函数11x y x +=-与2x y =在定义域()(),11,D =-∞-⋃+∞上的大致图象如图所示）（3）要使[)1,2x ∈时，函数()2x y f =的图象始终在函数()lg 42x y =-的图象的上方，必须使24221x x a +>--在[)1,2x ∈上恒成立，令2x t =，则[)2,4t ∈，上式整理得()2560t a t a +-+->在[)2,4t ∈恒成立.方法一：令()()256g t t a t a =+-+-，[)2,4t ∈.①当522a -≤，即1a ≥时，()g t 在[)2,4上单调递增，所以()()()min 2425610g t g a a a ⎡⎤==+-+-=≥>⎣⎦，恒成立；②当542a -≥，即3a ≤-时，()g t 在[)2,4上单调递减，只需()4320g a =+≥，解得23a ≥-与3a ≤-矛盾.③当5242a -<<，即31a -<<时，()g t 在52,2a -⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，在5,42a -⎡⎫⎪⎢⎣⎭上单调递增，所以由()2min561024a a a g t g --+-⎛⎫⎡⎤==> ⎪⎣⎦⎝⎭，解得33a -<<+又31a -<<，所以31a -<<综合①②③得a 的取值范围是()3-+∞.方法二：因为()2560t a t a +-+->在[)2,4t ∈恒成立.即()2156t a t t ->-+-，又113t ≤-<，所以得2561t t a t -+->-在[)2,4t ∈恒成立令1u t =-，则[)1,3u ∈，且1t u =+，所以()()22151656231u u t t u t u u -+++--+-⎛⎫==-+ ⎪-⎝⎭，由基本不等式可知2u u +≥=（当且仅当[)1,3u =时，等号成立.）即min2u u ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，所以2max max 562331t t u t u ⎡⎤⎡⎤-+-⎛⎫=-+=-⎢⎥ ⎪⎢⎥-⎝⎭⎣⎦⎣⎦,所以a的取值范围是()3-+∞.点睛：函数零点存在性定理是零点存在的一个充分条件，而不是必要条件；判断零点个数还要根据函数的单调性、对称性或结合函数图象.。
2018-2019学年上海市复旦大学附属中学高一下学期期中考试数学试题(解析版)
2018-2019学年上海市复旦大学附属中学高一下学期期中考试数学试题一、单选题1．在ABC ∆中，“1sin 2A =”是“6A π=”的（ ） A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件 C ．充要条件 D ．既非充分又非必要条件 【答案】B【解析】试题分析：ABC ∆中，若1sin 2A =，则6A π=或56π，反之，若6A π=，则一定有1sin 2A =，所以在ABC ∆中，“1sin 2A =”是“6A π=”的必要非充分条件，故选B ．【考点】1、已知三角函数求角；2、充分条件与必要条件. 2．设函数的图象为，下面结论中正确的是A ．函数的最小正周期是B ．图象关于点对称C ．图象可由函数的图象向右平移个单位得到D ．函数在区间上是增函数【答案】B 【解析】根据的周期计算公式，对称中心，单调区间及图形变换规律依次判断即可。
【详解】 函数的最小正周期为，故A 错误； ∵，∴图象关于点对称，故B 正确；易知图象可由函数的图象向右平移个单位得到，故C 错误；易得函数的单调递增区间是，当时，，∴函数在区间上是先增后减，故D 错误.故选B.【点睛】本题考查的相关性质，关键要对此部分知识加强记忆，深刻理解其处理思想和方法，此类问题是各类考试的热点，应给予足够的重视。
二、填空题3．已知,，若角与的终边相同，则____________【答案】【解析】利用终边相同的角的特点可知，再将其化为弧度制的角得到结果. 【详解】与的终边相同本题正确结果：【点睛】本题考查终边相同的角的问题，弧度制与角度制的互化，属于基础题.4．已知函数的最小正周期为，则____________【答案】【解析】根据正切型函数最小正周期为构造方程求得结果.【详解】的最小正周期本题正确结果：【点睛】本题考查的最小正周期问题，属于基础题.5．一个半径为r的扇形，若它的周长等于弧所在的半圆的长，那么该扇形的圆心角是____________弧度【答案】【解析】根据扇形弧长公式表示出扇形的周长，从而建立起方程，求解得到圆心角. 【详解】设扇形的圆心角为：则扇形的周长本题正确结果：【点睛】本题考查扇形弧长公式的应用问题，属于基础题.6．已知是第三象限的角，则的符号是____________号（填正或负）【答案】负【解析】根据角的范围可得和的范围，进而可确定和的符号，从而得到结果.【详解】为第三象限角，；本题正确结果：负【点睛】本题考查三角函数在各个象限内的符号问题，属于基础题.7．角终边上有点，且，则____________【答案】【解析】根据构造方程，求出，根据的定义求得结果.【详解】由题意得：本题正确结果：【点睛】本题考查三角函数的定义问题，属于基础题.8．若，则____________【答案】【解析】根据二倍角公式可得，进而得到，代入得到结果.【详解】本题正确结果： 【点睛】本题考查函数解析式的求解以及利用解析式求解函数值的问题，关键是能够通过二倍角公式构造出关于的形式，根据整体法得到函数解析式.9．已知函数，且是其单调区间，则的取值范围是____________ 【答案】【解析】根据的范围得到的范围；根据函数单调可知，解不等式得到结果. 【详解】 当时，，即本题正确结果：【点睛】 本题考查利用的单调性求解参数范围的问题，关键是能够通过的范围得到整体所处的范围，放入的单调区间中构造不等式.10．已知，，____________【答案】【解析】根据诱导公式和二倍角公式可求得，再根据角的范围求得，利用两角和差公式求解得到结果.【详解】即：本题正确结果：【点睛】本题考查三角函数中诱导公式、二倍角公式、两角和差公式的应用以及同角三角函数的求解问题，关键是能够通过配凑角的方式通过已知角将所求角表示出来，从而利用公式求解得到结果.11．张老师整理旧资料时发现一题部分字迹模糊不清，只能看到：在中，分别是角是的对边，已知，，求边，显然缺少条件，若他打算补充的大小，并使得有两解，那么的取值范围是____________【答案】【解析】问题为三角形有两个解，根据画圆法可确定，从而得到所求范围. 【详解】由题意可知三角形有两个解由上图可知：若有两解，可知以为圆心，为半径的圆弧与有两个交点则，即【点睛】本题考查三角形解的个数的问题，关键是能够将问题转化为与之间的大小关系的比较.12．函数的值域____________【答案】【解析】首先确定定义域，根据二倍角公式将整理为，从而根据定义域可知，进而得到函数值域.【详解】定义域为：当时，值域为本题正确结果：【点睛】本题考查正切函数值域的求解问题，忽略原函数的定义域是本题的易错点.13．为了竖一块广告牌，要制造三角形支架，如图，要求，的长度大于1米，且比长0.5米，为了稳固广告牌，要求越短越好，则最短为____________米【答案】【解析】根据余弦定理构造出，利用换元法可将右侧式子凑成符合基本不等式的形式，根据基本不等式求得最小值.【详解】设，则由余弦定理得令，则当且仅当，即时，即时，取得最小值本题正确结果：【点睛】本题考查利用基本不等式解决实际问题，关键是能够通过余弦定理将所求长度化为关于变量的和的形式，根据基本不等式求解出和的最小值.14．设是定义在上的周期为4的函数，且，记，若函数在区间上零点的个数是8个，则的取值范围是____________【答案】【解析】将问题转化为与的图象在区间之间有个交点的问题，根据解析式和周期画出函数图象，通过数形结合得到结果.【详解】由题意可转化为与的图象在区间之间有个交点由解析式及周期，可得函数的图象如下图：若与在有个交点，则位置如图所示数形结合可知：本题正确结果：【点睛】本题考查利用函数区间内的零点个数求解参数范围问题，关键是能够将问题转化为曲线与直线的交点个数问题，从而通过数形结合的方式求得结果.15．设函数，其中，若、、是的三条边长，则下列结论：①对于一切都有；②存在使、、不能构成一个三角形的三边长；③为钝角三角形，存在，使，其中正确的个数为______个A．3 B．2 C．1 D．0【答案】A【解析】构造函数，根据函数单调性可知，根据三角形三边关系可知，可推导出，从而可得，可知①正确；通过取值可知存在取值使得取值不满足三边关系，可知②正确；根据余弦定理可知，可得，再结合，可知，由零点存在性定理可知③正确；由此可得选项. 【详解】①令在上单调递减在上单调递减当时，根据三角形三边关系可知：又时，都有，可知①正确；②取，，，则，不满足三角形三边关系，可知②正确；③为钝角三角形，从而又，由零点存在性定理，可知③正确本题正确选项：【点睛】本题考查函数与解三角形知识的综合应用问题，其中涉及到零点存在定理的应用、余弦定理及三角形三边关系的应用、函数单调性问题，关键是能够构造出合适的函数来对问题进行求解.16．若函数的最大值和最小值分别为、，则函数图像的对称中心不可能是_______A．B．C．D．【答案】C【解析】设，可得为奇函数，进而得到，从而得到解析式；根据的对称中心，平移可得对称中心的坐标；再分别对应四个选项，当不是整数时，则不可能为对称中心，由此可得选项.【详解】设，则即为奇函数令则，可知的对称中心为将的图象向右平移个单位，再向上平移个单位得的图象的对称中心为当时，，不合题意，可知不可能为又当时分别对应选项，可知均为的对称中心本题正确选项：【点睛】本题考查函数性质的综合应用问题，涉及到利用奇偶性求解最值、与三角函数有关的对称中心的求解、函数图象平移变换问题，对于学生函数性质的掌握要求较高，属于偏难题.三、解答题17．已知函数.（1）求的单调增区间；（2）当时，求的最大值和最小值.【答案】（1）；（2）的最大值为2，最小值为-1【解析】（1）利用辅助角公式得：，将放入的单调递增区间中，求出的范围即可；（2）根据的范围得的范围，结合的图象可求得最值. 【详解】（1）由得：的单调增区间为（2）当时，当时，当时，的最大值为，最小值为【点睛】本题考查的单调区间的求解、函数值域的求解问题，关键是能够通过整体对应的方式，通过分析的图象求得结果.18．在中，已知，外接圆半径.（1）求角的大小；（2）试求面积的最大值.【答案】（1）（2）【解析】（1）利用二倍角公式得到关于的方程，解出，进而得到；（2）根据正弦定理求得，根据余弦定理，结合基本不等式可得，代入三角形面积公式求得面积的最大值.【详解】（1）由得：即解得：或（舍）（2）由正弦定理得：由余弦定理得当且仅当时，取得最大值，即面积的最大值为【点睛】本题考查正余弦定理解三角形、三角形面积的最值问题，关键是能够利用余弦定理构造出基本不等式的形式，从而得到积的最大值.19．已知函数的图像与轴的交点为，它在轴右侧的第一个最高点和第一个最低点的坐标分别为和.（1）求函数的解析式；（2）将函数的图像向左平移个单位后，得到的函数是奇函数，求的值.【答案】（1）（2）【解析】（1）根据最值确定振幅；再根据两对称轴之间距离为求得；代入求得；根据图象否掉的情况，从而得到结果；（2）根据图象平移得到解析式，利用求得；通过验证可知满足题意，从而确定结果.【详解】（1）由题意，，即，即或当时，函数在时先取得最小值，后取得最小值，不符合图象函数的解析式为（2）由题意得：，是奇函数又当时，满足，即为奇函数，可知满足题意【点睛】本题考查利用三角函数图象求解函数解析式、利用图象平移和函数性质求解参数的问题.本题的易错点为利用特殊值求解初相时，忽略图象最值取得的位置，从而无法舍去增根. 20．如图，制图工程师要用两个同中心的边长均为4的正方形合成一个八角形图形，由对称性，图中8个三角形都是全等的三角形，设.（1）用表示线段；（2）设，，求关于的函数解析式；（3）求八角形所覆盖面积的最大值，并指出此时的大小.【答案】（1），（2），（3）时，取得最大值【解析】（1）根据构造出与的关系，整理得到结果；（2）由（1）可得，整理化简可得结果；（3）利用将表示成，；利用换元法，可将问题转化为，根据的范围和的单调性求得最值和的取值.【详解】（1）由题意可得：，（2）由（1）得：两边平方并化简得：又，（3），令则又在上单调递增当，即时，取得最大值【点睛】本题考查利用三角函数的实际应用问题，重点考查了面积的最值求解问题，关键是能够将所求面积表示成与三角函数有关的函数关系式，从而通过换元的方式结合函数的单调性求得结果；易错点是忽略了换元后参数的取值范围.21．已知是定义在上的函数，如果存在常数，对区间的任意划分：，和式恒成立，则称为上的“绝对差有界函数”，注：.（1）求证：函数在上是“绝对差有界函数”；（2）记集合存在常数，对任意的，有成立.求证：集合中的任意函数为“绝对差有界函数”；（3）求证：函数不是上的“绝对差有界函数”.【答案】（1）见解析（2）见解析（3）见解析【解析】（1）将整理为，可知在上单调递增；可知，从而可将化简为，从而可知，得到结论；（2）取，根据，可得，从而可取得到结论；（3）取一个划分：，可将整理为；根据放缩可知只要足够大，可使得，从而得到结论.【详解】（1）当时，在区间上为单调递增函数当，时，有，所以从而对区间的任意划分：存在，使得成立综上，函数在上是“绝对差有界函数”（2）证明：任取从而对区间的任意划分：和式成立则可取所以集合中的任意函数为“绝对差有界函数”（3）取区间的一个划分：，则有：所以对任意常数，只要足够大，就有区间的一个划分：满足所以函数不是的“绝对差有界函数”【点睛】本题考查与新定义有关的证明问题，关键是能够理解新定义的具体含义，进而可通过单调性、不等关系、放缩的方式把关系式进行化简，从而可求得临界值的具体取值，再根据取值确认函数是否符合新定义，属于难题.。
2018-2019学年上海市复大附中高一(下)期中数学试卷-学生版+解析版(无水印)
2018-2019学年上海市复大附中高一（下）期中数学试卷一、填空题1．（3分）已知1690α=︒，(2,0)θπ∈-，若角θ与α的终边相同，则θ= ． 2．（3分）已知函数()tan()(0)4f x ax a π=+>的最小正周期为2π，则a = ．3．（3分）已知半径为r 的扇形，它的周长等于弧所在半圆的弧长，则扇形的圆心角的弧度数为 ．4．（3分）已知α是第三象限的角，则sin(cos )cos(sin )αα的符号是 号（填正或负）． 5．（3分）角α终边上有点(P x ，5)(0)x <，且cos 13xα=，则cot α= ． 6．（3分）若(tan )cos2f x x =，则f （2）= ．7．（3分）已知函数()2sin()(0)4f x x πωω=+>，且[0,]4π是其单调区间，则ω的取值范围是8．（3分）已知1cos()cos()638ππαα+-=-，(,)32ππα∈，sin 2α= ．9．（3分）张老师整理旧资料时发现一题部分字迹模糊不清，只能看到：在ABC ∆中，a ，b，c 分别是角是A ，B ，C 的对边，已知b =45A ∠=︒，求边c ，显然缺少条件，若他打算补充a 的大小，并使得c 有两解，那么a 的取值范围是 ． 10．（3分）函数1cos ()sin xf x x-=的值域 ． 11．（3分）如图为了立一块广告牌，要制造一个三角形的支架 三角形支架形状如图，要求60ACB ∠=︒，BC 的长度大于1米，且AC 比AB 长0.5米，为了广告牌稳固，要求AC 的长度越短越好，则AC 最短为 米．12．（3分）设()f x 是定义在R 上的周期为4的函数，且2sin 201()2log 14x x f x x x π⎧=⎨<<⎩剟，记()()g x f x a =-，若函数()g x 在区间[4-，5]上零点的个数是8个，则a 的取值范围是 ． 二、选择题13．（3分）在ABC ∆中，“1sin 2A =”是“6A π=”的( ) A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件 C ．充要条件D ．既非充分又非必要条件14．（3分）设函数()sin(2)3f x x π=-的图象为C ，下面结论中正确的是( ) A ．函数()f x 的最小正周期是2π B ．图象C 关于点(,0)6π对称C ．图象C 可由函数()sin 2g x x =的图象向右平移3π个单位得到D ．函数()f x 在区间(,)122ππ-上是增函数 15．（3分）设函数()x x x f x a b c =+-，其中0c a >>，0c b >>．若a 、b 、c 是ABC ∆的三条边长，则下列结论中正确的个数是( ) ①对于一切(,1)x ∈-∞都有()0f x >；②存在0x >使x xa ，x b ，x c 不能构成一个三角形的三边长； ③若ABC ∆为钝角三角形，则存在(1,2)x ∈，使()0f x =． A ．3个B ．2个C ．1个D ．0个16．（3分）若函数222(1)sin ()1x xf x x ++=+的最大值和最小值分别为M 、m ，则函数()()sin[()]3g x M m x M m x π=+++-图象的对称中心不可能是( )A ．4(,)33ππB ．(,)123ππC ．28(,)33ππ D ．416(,)33ππ 三、解答题17．已知函数()2cos 2f x x x =+． （1）求()y f x =的单调增区间；（2）当[,]63x ππ∈-时，求()f x 的最大值和最小值．18．在ABC ∆中，已知22sin cos212A BC ++=，外接圆半径2R =． （1）求角C ；（2）求ABC ∆面积的最大值．19．已知函数()cos()(0,0,)22f x A x A ππωϕωϕ=+>>-<<的图象与y 轴的交点为(0,1)，它在y 轴右侧的第一个最高点和第一个最低点的坐标分别为0(x ，2)和0(2x π+，2)-． （1）求函数()f x 的解析式；（2）将函数()y f x =的图象向左平移((0,2))a a π∈个单位后，得到的函数()y g x =是奇函数，求a 的值．20．如图，制图工程师要用两个同中心的边长均为4的正方形合成一个八角形图形，由对称性，图中8个三角形都是全等的三角形，设11AA H α∠=．（1）用α表示线段1AH ；（2）设1AH x =，sin y α=，求y 关于x 的函数解析式； （3）求八角形所覆盖面积S 的最大值，并指出此时α的大小．21．已知()f x 是定义在[a ，]b 上的函数，如果存在常数0M >，对区间[a ，]b 的任意划分：011n n a x x x x b -=<<⋯<<=，和式11|()()|ni i i f x f x M -=-∑…恒成立，则称()f x 为[a ，]b 上的“绝对差有界函数”，注：121ni n i a a a a ==++⋯+∑；（1）证明函数()sin cos f x x x =+在[,0]2π-上是“绝对差有界函数”；（2）记集合{()|A f x =存在常数0k >，对任意的1x ，2[x a ∈，]b ，有1212|()()|||f x f x k x x --…成立}，证明集合A 中的任意函数()f x 均为“绝对差有届函数”；当[a ，][1b =，2]时，判断()g x =A 中，如果在，请证明并求k 的最小值，如果不在，请说明理由；（3）证明函数cos01()20x x f x xx π⎧<⎪=⎨⎪=⎩…不是[0，1]上的“绝对差有界函数．2018-2019学年上海市复大附中高一（下）期中数学试卷参考答案与试题解析一、填空题1．（3分）已知1690α=︒，(2,0)θπ∈-，若角θ与α的终边相同，则θ= 1118π- 【解答】解：169036042503605110α=︒=︒⨯+︒=︒⨯-︒， 即α与110-︒的终边相同，即1118θπ=-， 故答案为：1118π-． 2．（3分）已知函数()tan()(0)4f x ax a π=+>的最小正周期为2π，则a = 12【解答】解：()tan()(0)4f x ax a π=+>的最小正周期为2π， ∴2aππ=，12a ∴=． 故答案为：12． 3．（3分）已知半径为r 的扇形，它的周长等于弧所在半圆的弧长，则扇形的圆心角的弧度数为 2π- ．【解答】解：设扇形的圆心角是rad θ，因为扇形的弧长是r θ， 所以扇形的周长是2r r θ+． 依题意得2r r r θπ+=， 解得2θπ=-． 故答案为：2π-．4．（3分）已知α是第三象限的角，则sin(cos )cos(sin )αα的符号是 负 号（填正或负） 【解答】解：α是第三象限的角，1cos 0α∴-<<，1sin 0α-<<， 则sin(cos )0α<，cos(sin )0α>， 即则sin(cos )cos(sin )0αα<， 故答案为：负．5．（3分）角α终边上有点(P x ，5)(0)x <，且cos 13x α=，则cot α= 125- 【解答】解：角α终边上有点(P x ，5)(0)x <，且cos 13x α==，∴得12x =-，12cot 5α∴=-． 故答案为：125-． 6．（3分）若(tan )cos2f x x =，则f （2）= 35-【解答】解：设tan 2x =，则：222222221143cos2cos sin 1145cos x sin x tan x x x x cos x sin x tan x ---=-====-+++； ∴3(2)5f =-．故答案为：35-．7．（3分）已知函数()2sin()(0)4f x x πωω=+>，且[0,]4π是其单调区间，则ω的取值范围是 (0，1]【解答】解：当[0,]4x π∈时，[,(1)]444x πππωω+∈+，()f x 在[0,]4π上单调，∴(1)42ππω+…，1ω∴…，又0ω>，ω∴的取值范围为(0，1]．故答案为(0，1]．8．（3分）已知1cos()cos()638ππαα+-=-，(,)32ππα∈，sin 2α=【解答】解：1cos()cos()638ππαα+-=-，且()632πππαα++-=，cos()sin()36ππαα∴-=+，111sin()cos()sin(2)66238ππααπα∴++=+=-，11sin(2)34πα∴+=-，(,)32ππα∈，∴142(,)33ππαπ+∈，1cos()3πα∴+=11111sin 2sin[(2)]sin(2))33233ααππαπαπ∴=+-=++=9．（3分）张老师整理旧资料时发现一题部分字迹模糊不清，只能看到：在ABC ∆中，a ，b ，c 分别是角是A ，B ，C的对边，已知b =45A ∠=︒，求边c ，显然缺少条件，若他打算补充a 的大小，并使得c 有两解，那么a 的取值范围是 (2， 【解答】解：由已知及正弦定理sin sin a bA B == 可得2sin B a=， 要使得c 有两解，那么sin B有两解，则2sin (2B a =∈，1)， 解得：(2a ∈，． 故答案为：(2，． 10．（3分）函数1cos ()sin xf x x -=的值域 (-∞，0)(0⋃，)+∞ 【解答】解：1cos ()sin xy f x x-==， sin 1cos y x x ∴=-，∴)1x φ+=，其中1tan (0)y yφ=≠，∴sin()0)x y φ+=≠，|sin()|1x φ+…，∴1(0)y ≠，0y ∴>或0y <，()f x ∴的值域为：(-∞，0)(0⋃，)+∞．故答案为：(-∞，0)(0⋃，)+∞．11．（3分）如图为了立一块广告牌，要制造一个三角形的支架 三角形支架形状如图，要求60ACB ∠=︒，BC 的长度大于1米，且AC 比AB 长0.5米，为了广告牌稳固，要求AC 的长度越短越好，则AC 最短为 2+【解答】解：设BC 的长度为x 米，AC 的长度为y 米，则AB 的长度为(0.5)y -米，在ABC ∆中，依余弦定理得：2222cos AB AC BC AC BC ACB =+-∠ 即2221(0.5)22y y x yx -=+-⨯，化简，得21(1)4y x x -=-， 1x >， 210∴-> 因此2141x y x -=-，3(1)224(1)y x x =-++-当且仅当314(1)x x -=-时，取“=”号，即1x =+y有最小值2．故答案为：2．12．（3分）设()f x 是定义在R 上的周期为4的函数，且2sin 201()2log 14x x f x x x π⎧=⎨<<⎩剟，记()()g x f x a =-，若函数()g x 在区间[4-，5]上零点的个数是8个，则a 的取值范围是 (0,1) 【解答】解：由()f x 是定义在R 上的周期为4的函数，且2sin 201()2log 14x x f x x x π⎧=⎨<<⎩剟，又()()g x f x a =-，若函数()g x 在区间[4-，5]上零点的个数是8个等价于函数()y f x =的图象与直线y a =在区间[4-，5]有8个交点，又函数()y f x =的图象与直线y a =在区间[4-，5]的位置关系如图所示， 由图可知，当函数()y f x =的图象与直线y a =在区间[4-，5]有8个交点时，01a <<， 故答案为：(0,1)． 二、选择题13．（3分）在ABC ∆中，“1sin 2A =”是“6A π=”的( ) A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件 C ．充要条件D ．既非充分又非必要条件【解答】解：在ABC ∆中，由1sin 26A A π=⇔=，或56π． ∴ “1sin 2A =”是“6A π=”的必要非充分条件， 故选：B ．14．（3分）设函数()sin(2)3f x x π=-的图象为C ，下面结论中正确的是( )A ．函数()f x 的最小正周期是2πB ．图象C 关于点(,0)6π对称C ．图象C 可由函数()sin 2g x x =的图象向右平移3π个单位得到D ．函数()f x 在区间(,)122ππ-上是增函数 【解答】解：对于A ，函数()sin(2)3f x x π=-的最小正周期为2T ππω==，A 错误；对于B ，6x π=时，()sin(2)063f x ππ=⨯-=， 其图象关于点(,0)6π对称，B 正确；对于C ，()sin 2()6f x x π=-，其图象可由函数()sin 2g x x =的图象向右平移6π个单位得到，C ∴错误； 对于D ，(12x π∈-，)2π时，2(32x ππ-∈-，2)3π，函数()sin(2)3f x x π=-先递增后递减，D 错误；故选：B ．15．（3分）设函数()x x x f x a b c =+-，其中0c a >>，0c b >>．若a 、b 、c 是ABC ∆的三条边长，则下列结论中正确的个数是( ) ①对于一切(,1)x ∈-∞都有()0f x >；②存在0x >使x xa ，x b ，x c 不能构成一个三角形的三边长； ③若ABC ∆为钝角三角形，则存在(1,2)x ∈，使()0f x =． A ．3个B ．2个C ．1个D ．0个【解答】解：对于①，a ，b ，c 是ABC ∆的三条边长，a b c ∴+>， 0c a >>，0c b >>，01a c ∴<<，01bc<<， 当(,1)x ∈-∞时，()[()()1]x x x x x x a bf x a b c c c c =+-=+-(1)0x x a b a b cc c c c c+->+-=>，∴①正确；对于②，令1a =，2b =， 2.5c =，a ，b ，c 可以构成三角形， 2x =时，222a =，24b =，2 6.25c =不能构成三角形，∴②正确；对于③，0c a >>，0c b >>，若ABC ∆为钝角三角形，则2220a b c +-<， f （1）0a b c =+->，f （2）2220a b c =+-<，∴由根的存在性定理可知在区间(1,2)上存在零点，即(1,2)x ∃∈，使()0f x =，∴③正确； 综上，正确命题的个数为3个． 故选：A ．16．（3分）若函数222(1)sin ()1x x f x x ++=+的最大值和最小值分别为M 、m ，则函数()()sin[()]3g x M m x M m x π=+++-图象的对称中心不可能是( )A ．4(,)33ππB ．(,)123ππC ．28(,)33ππ D ．416(,)33ππ 【解答】解：222222(1)sin 2(1)4sin 4sin ()2111x x x x x x xf x x x x ++++++===++++， 而函数24sin 1x xx ++为奇函数，设其最大值为a ，则其最小值为a -，可得2M a =+，2m a =-．4M m ∴+=．∴()()sin[()]4sin(4)33g x M m x M m x x x ππ=+++-=+-． 令43x k ππ-=，得412k x ππ=+，k Z ∈． 取0k =，得12x π=，此时()123g ππ=； 取1k =，得3x π=，此时4()33g ππ=； 取5k =，得43x π=，此时416()33g ππ=． ∴函数()()sin[()]3g x M m x M m x π=+++-图象的对称中心不可能是28(,)33ππ． 故选：C ． 三、解答题17．已知函数()2cos 2f x x x =+． （1）求()y f x =的单调增区间；（2）当[,]63x ππ∈-时，求()f x 的最大值和最小值【解答】解：（1）()2cos22sin(2)6f x x x x π+=+，令222262k x k πππππ-++剟，k Z ∈，解得：36k x k ππππ-+剟，k Z ∈，可得()y f x =的单调递增区间为：[,]()36k k k Z ππππ-+∈；（2）当[,]63x ππ∈-时，2[66x ππ+∈-，5]6π，∴当266x ππ+=-时，即6x π=-时，()f x 取得最小值1-；当262x ππ+=时，即6x π=时，()f x 取得最小值2．即()f x 的最大值为2，最小值为1-． 18．在ABC ∆中，已知22sin cos212A BC ++=，外接圆半径2R =． （1）求角C ；（2）求ABC ∆面积的最大值．【解答】解：（1）在ABC ∆中，已知22sin cos212A BC ++= ∴由三角函数公式可得1cos()cos21A B C -++=，A B C π++=，cos()cos A B C ∴+=-，22cos cos 10C C ∴+-=，解得cos 1C =-（舍)，或1cos 2C =， 3C π∴=；（2）由正弦定理可得24sin cR C==，4sin 4c C ∴===由余弦定理可得222122cos 2c a b ab C ab ab ab ==+--=…，当且仅当a b ==时取等号，12ab ∴…，11sin 1222ABC S ab C ∆∴=⨯=…，故ABC ∆面积的最大值为19．已知函数()cos()(0,0,)22f x A x A ππωϕωϕ=+>>-<<的图象与y 轴的交点为(0,1)，它在y 轴右侧的第一个最高点和第一个最低点的坐标分别为0(x ，2)和0(2x π+，2)-． （1）求函数()f x 的解析式；（2）将函数()y f x =的图象向左平移((0,2))a a π∈个单位后，得到的函数()y g x =是奇函数，求a 的值．【解答】解：（1）函数()cos()(0,0,)22f x A x A ππωϕωϕ=+>>-<<的图象与y 轴的交点为(0,1)，它在y 轴右侧的第一个最高点和第一个最低点的坐标分别为0(x ，2)和0(2x π+，2)-，2A ∴=，且1222ππω=，12ω∴=． 2cos 1ϕ∴=，1cos 2ϕ∴=，3πϕ∴= （舍去，不满足图象），或3πϕ=-，1()2cos()23f x x π∴=-．（2）将函数()y f x =的图象向左平移((0,2))a a π∈个单位后，得到的函数1()2cos()223a y g x x π==+-的图象，由于()g x 是奇函数，∴232a ππ-=，53a π∴=． 20．如图，制图工程师要用两个同中心的边长均为4的正方形合成一个八角形图形，由对称性，图中8个三角形都是全等的三角形，设11AA H α∠=． （1）用α表示线段1AH ；（2）设1AH x =，sin y α=，求y 关于x 的函数解析式； （3）求八角形所覆盖面积S 的最大值，并指出此时α的大小．【解答】解：（1）由题意可得，1114sin tan AH AH AH αα++=， 14sin sin cos 1AH ααα∴=++，1(0,)2απ∈，（2）14sin sin cos 1AH ααα=++，1(0,)2απ∈，x ∴=，4y xy x ∴=--，∴显然0y ≠，∴224,(0,4)48x x y x x x -=∈-+；（3）1122132sin cos 164164162tan (sin cos 1)AA H x S Sααααα=+=+⨯⨯=+++，1(0,)2απ∈，令cos sin )(14t πααα=++∈，则2216(1)321632(1)1t S t t -=+=-++，易证S 在(1t ∈单调递增，当t =4πα=时，S取得最大值64-21．已知()f x 是定义在[a ，]b 上的函数，如果存在常数0M >，对区间[a ，]b 的任意划分：011n n a x x x x b -=<<⋯<<=，和式11|()()|ni i i f x f x M -=-∑…恒成立，则称()f x 为[a ，]b 上的“绝对差有界函数”，注：121ni n i a a a a ==++⋯+∑；（1）证明函数()sin cos f x x x =+在[,0]2π-上是“绝对差有界函数”；（2）记集合{()|A f x =存在常数0k >，对任意的1x ，2[x a ∈，]b ，有1212|()()|||f x f x k x x --…成立}，证明集合A 中的任意函数()f x 均为“绝对差有届函数”；当[a ，][1b =，2]时，判断()g x =A 中，如果在，请证明并求k 的最小值，如果不在，请说明理由；（3）证明函数cos01()20x x f x xx π⎧<⎪=⎨⎪=⎩…不是[0，1]上的“绝对差有界函数．【解答】解：（1）()sin cos )4f x x x x π=++在[2π-，0]上是增函数，∴对任意划分1()()n n f x f x ->，1101|()()|()()()()(0)()22i i n n f x f x f x f x f x f x f f π--∴-=-+⋯+-=--=；取常数2M …，则和式11|()()|ni i i f x f x M -=-∑…恒成立，∴函数()f x 在[2π-，0]上是“绝对差有界函数”；（2）)存在常数k ，使得对于任意的1x ，2[x a ∈，]b ，1212|()()|||f x f x k x x --…，∴1111|()()|||()nni i ii i i f x f x xx k b a --==--=-∑∑…；故存在常数()M k b a =-，使得11|()()|ni i i f x f x M -=-∑…恒成立，所以()f x 为[a ，]b 上的“绝对差有界函数”；若()g x =则12|()()||g x g x -==，[a ，][1b =，2]，112x ∴剟，212x 剟，11则212，则12121|()()|||2g x g x x x -=-， ∴当12k …时，1212|()()|||g x g x k x x --…恒成立，故()g x =A 中，k 的最小值是12． （3）证明：函数cos ,01()20;0x x f x xx π⎧<⎪=⎨⎪=⎩…， 令12(21)i x i =+，1122i x i-=，*i N ∈，则11()()2(21)22i j f x f x i i-=--+； ∴和式(Tex translation failed)不成立，故函数()f x 不是[0，1]上的“绝对差有界函数”；。
2019-2020学年上海市杨浦区复旦附中高一下学期期中数学试题解析
绝密★启用前2019-2020学年上海市杨浦区复旦附中高一下学期期中数学试题注意事项：1、答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2、请将答案正确填写在答题卡上一、单选题1．在△ABC 中，“sin 2A >”是“34A π<”的（ ）条件 A ．充分非必要B ．必要非充分C ．充要D ．既非充分又非必要答案：A根据三角函数的性质，得到当sin 2A >时，34A π<是成立的，再利用反例，得出必要性不一定成立，即求解.解：在ABC ∆中，由sin A >，因为(0,)A π∈，可得344A ππ<<，所以当sin 2A >时，34A π<是成立的，即充分性成立；反之：例如364A ππ=<，此时1sin 22A =<，即必要性不一定成立.所以“sin 2A >”是“34A π<”的充分不必要条件. 故选：A点评： 本题主要考查了充分不必要条件的判定，其中解答中熟练应用三角函数的性质，结合充分条件、必要条件的判定方法求解是解答的关键，着重考查推理与运算能力.2．以下哪个不是25lim 21nn n q q →∞-+可能的取值（ ） A ．2B ．1-C ．52-D ．7-答案：D对q 的取值进行分类讨论，即可得答案；解：（1）若12q =，则0n q →，∴25lim 221n n n q q →∞-=+； （2）若2q =，则n q →+∞，∴25255lim lim 12122n n n n n n q q q q→∞→∞--==-++； （3）若1q =，则1nq =，∴25lim 121nn n q q →∞-=-+； 利用排除法可得D 选项不可能，故选：D.点评：本题考查数列极限的求解，考查分类讨论思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力.3．若等差数列{}n a 首项为2，公差为2，其前n 项和记为n S ，则数列1{}n S 前n 项和为（ ）A ．21n n +B ．1n n +C ．1n(n 1)+D ．2(1)n n + 答案：B根据等差数列前n 项和公式求出n S ，从而得出1{}nS 的通项公式，再用裂项相消法即可求出数列1{}nS 前n 项和. 解： 等差数列前n 项()112n n n S na d -=+，等差数列{}n a 首项为2，公差为2，代入可得()()12212n n n S n n n -=+⨯=+，所以()111111n S n n n n ==-++，所以数列1{}nS 前n 项和为111111111122334111n n T n n n n =-+-+-++-=-=+++L . 故选：B点评：本题主要考查等差数列前n 项和的求法，以及裂项相消法求数列前n 项和.4．已知函数()sin()f x A x ωϕ=+（其中A 、ω、ϕ均为正的常数）的最小正周期为2π，当3x π=时，函数()f x 取得最小值，则下列结论正确的是（ ）A ．(1)(1)(0)f f f <-<B ．(0)(1)(1)f f f <<-C ．(1)(0)(1)f f f -<<D ．(1)(0)(1)f f f <<- 答案：A根据周期公式可得4ω=，根据当3x π=时，函数()f x 取得最小值，可得1126k ϕππ=-，k Z ∈，所以()f x sin(4)6A x π=+，再利用诱导公式以及三角函数的性质比较大小可得答案.解： 依题意得22ππω=，解得4ω=，所以()sin(4)f x A x ϕ=+， 因为当3x π=时，函数()f x 取得最小值， 所以4232k ππϕπ⨯+=-，k Z ∈，即1126k ϕππ=-，k Z ∈， 所以11()sin(42)6f x A x k ππ=+-11sin(4)sin(42)66A x A x πππ=-=-+sin(4)6A x π=+， 因为3462πππ<+<且0A >，所以(1)sin(4)6f A π=+0<， 因为(1)sin(4)sin(42)sin[(42)]666f A A A ππππππ-=-+=-++=--++11sin(4)sin(4)66A A πππ=--=-， 又1104662πππ<-<<，所以110sin(4)sin 66ππ<-<， 因为0A >，所以0(1)(0)f f <-<，综上所述：(1)(1)(0)f f f <-<.故选：A点评：本题考查了根据三角函数的性质求解析式，考查了诱导公式，考查了利用正弦函数的单调性比较大小，属于中档题.二、填空题5．一个面积为1的扇形，所对弧长也为1，则该扇形的圆心角是________弧度 答案：12设扇形的所在圆的半径为r ，圆心角为α，应用扇形的弧长公式和面积公式，列出方程组，即可求解.解：设扇形的所在圆的半径为r ，圆心角为α，因为扇形的面积为1，弧长也为1， 可得21121r r αα⎧⋅=⎪⎨⎪=⎩，即221r r αα⎧⋅=⎨=⎩，解得12,2r α==. 故答案为：12 点评：本题主要考查了扇形的弧长公式和面积公式的应用，其中解答中熟练应用扇形的弧长公式和面积公式，列出方程组是解答的关键，着重考查了运算与求解能力.6．计算sin40sin100sin50sin10︒︒-︒︒=________ 答案：12利用诱导公式和两角差的正弦公式，即可得到答案；解： 原式1sin 40cos10cos 40sin10sin 302=︒︒-︒︒=︒=， 故答案为：12. 点评：本题考查诱导公式和两角差的正弦公式的应用，考查转化与化归思想，考查运算求解能力.7．函数sin y x =，[,]2x ππ∈的反函数记为()g x ，则1()2g =________ 答案：56π 点51(,)62π在原函数sin y x =的图象上，根据题意两函数图象关于直线y x =对称知点15(,)26π在反函数()g x 的图象上，得解.解： 因为当[,]2x ππ∈时，51sin 62π=，所以点51(,)62π在原函数sin y x =的图象上， 因为()g x 是函数sin y x =，[,]2x ππ∈的反函数， 所以点15(,)26π在反函数()g x 的图象上，则15()26g π=. 故答案为：56π点评： 本题考查两个互为反函数的函数图象的对称性、正弦函数的图象与性质，属于基础题.8．在△ABC中，若a =1b =，60A =︒，则B =________ 答案：6π 直接利用正弦定理，结合三角形解的个数判定，即可得到答案；解：Q 11sin sin sin sin 22a b B A B B=⇒=⇒=， Q a b >，∴A B >， ∴6B π=， 故答案为：6π. 点评：本题考查正弦定理\三角形解的个数，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力.9．已知等比数列{}n a 中，24a =，68a =，则10a =________答案：16将等比数列的通项公式代入24a =，68a =中，可得4q ，再求10a 的值。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
复旦附中高一期中数学试卷
2019.04
一.填空题
1.已知=1690α︒，(2,0)θπ∈-，若角θ与α的终边相同，则θ=
2.已知函数()tan()4
f x ax π
=+
(0)a >的最小正周期为2π，则a =3.一个半径为r 的扇形，若其周长等于弧所在半圆的长，则该扇形圆心角是弧度
4.已知α是第三象限的角，则sin(cos )cos(sin )αα⋅的符号是号（填正或负）
5.角α终边上有点(,5)P x (0)x <，且cos 13
x
α=，则cot α=6.若(tan )cos2f x x =，则(2)f =
7.已知函数()2sin()4f x x πω=+
(0)ω>，且[0,4
π
是其单调区间，则ω的取值范围是8.已知1cos()cos()638ππαα+⋅-=-，(,)32
ππ
α∈，sin 2α=
9.张老师整理旧资料时发现一题目部分字迹模糊不清，只能看到：在△ABC 中，a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的
对边，已知b =45A ∠=︒，求边c ，显然缺少条件，若他打算补充a 的大小，并使得c 有两解，那么a 的取值范围是10.函数1cos ()sin x
f x x
-=
的值域
11.为了竖一块广告牌，要制造三角形支架，如图，要求60ACB ∠=︒，
BC 的长度大于1米，且AC 比AB 长0.5米，为了稳固广告牌，要求AC 越短越好，则AC 最短为
米
12.设()f x 是定义在R 上的周期为4的函数，且2sin 201
()2log 14x x f x x x π≤≤⎧=⎨<<⎩
，记()()g x f x a =-，若函数()g x 在
区间[4,5]-上零点的个数是8个，则a 的取值范围是二.选择题
13.在△ABC 中，“1
sin 2
A =”是“6A π=”的（
）
A.充分非必要条件
B.必要非充分条件
C.充要条件
D.既非充分条件又非必要条件
14.设函数()sin(2)3
f x x π
=-
的图像为C ，下列结论正确的是（）
A.函数()f x 的最小正周期是2π
B.图像C 关于(,0)6
π对称
C.图像C 可由函数()sin 2g x x =的图像向右平移3
π
个单位得到D.函数()f x 在区间(,122
ππ
-
上是增函数
15.设函数()x x x f x a b c =+-，其中0c a >>，0c b >>，若a 、b 、c 是△ABC 的三条边长，则下列结论：①对于一切(,1)x ∈-∞都有()0f x >；②存在0x >使x xa 、x b 、x c 不能构成一个三角形的三边长；③△ABC 为钝角三角形，存在(1,2)x ∈，使()0f x =；其中正确的个数为（
）个
A.3
B.2
C.1
D.0
16.若函数222(1)sin ()1x x
f x x ++=+的最大值与最小值分别为M 、m ，则函数
()()sin[()]3
g x M m x M m x π
=+++-图像的对称中心不可能是（
）
A.4(,)33ππ
B.(,)123ππ
C.28(,33
ππ
D.416(
,)33
ππ
三.解答题
17.已知函数()2cos2f x x x =+.（1）求()y f x =的单调递增区间；（2）当[,63
x ππ
∈-
时，求()f x 的最大值和最小值.18.在△ABC 中，已知22sin cos212
A B
C ++=，外接圆半径2R =.（1）求角C 的大小；
（2）试求△ABC 面积S 的最大值.
19.已知函数()cos()f x A x ωϕ=+（0A >，0ω>，22
ππ
ω-<<）的图像与y 轴的交点为(0,1)，它在y 轴右侧第一个最高点和第一个最低点的坐标分别为0(,2)x 和0(2,2)x π+-.
（1）求函数()f x 的解析式；
（2）将函数()y f x =的图像向左平移a ((0,2))a π∈个单位后，得到的函数()y g x =是奇函数，求a 的值.
20.如图，制图工程师要用两个同中心的边长均为4的正方形合成一个八角形图形，由对称性，图中8个三角形是全等的三角形，设11AA H α∠=.（1）用α表示线段1AH ；
（2）设1AH x =，sin y α=，求y 关于x 的函数解析式；（3）求八角形所覆盖面积S 的最大值，并指出此时α的大小.
21.已知是定义()f x 在定义在[,]a b 上的函数，如果存在常数0M >，对区间[,]a b 的任意划分：
011n n a x x x x b -=<<⋅⋅⋅<<=，和式11
|()()|n
i i i f x f x M -=-≤∑恒成立，则称()f x 为
[,]a b 上的“绝对差有界函数”.注：121
n
i n i a a a a ==++⋅⋅⋅+∑.
（1）求证：函数()sin cos f x x x =+在[,0]2
π
-
上是“绝对差有界函数”；（2）设集合{()|A f x =存在常数0k >，对任意的12,[,]x x a b ∈，有12|()()|f x f x -≤12||k x x -成立}，求证：集合A 中任意的函数()f x 为“绝对差有界函数”；
（3）求证：函数cos 01()20
x x f x x
x π⎧<≤⎪
=⎨⎪=⎩不是[0,1]上的“绝对差有界函数”.
参考答案
一.填空题1.1118π- 2.
12 3.2
π- 4.负
5.125
-
6.35
-7.(0,1]8.
18
-
9.10.(,0)(0,)-∞+∞ 11.2+12.(0,1)
二.选择题13.B 14.B
15.A
16.C
三.解答题17.（1）[,]36
k k ππ
ππ-+，k ∈Z ；
（2）最大值为2，最小值为1-.
18.（1）3
C π=
；（2）.19.（1）1()2cos()2
3f x x π=-
；（2）53
a π
=.
20.（1）4sin sin cos 1AH ααα=++，(0,2πα∈；（2）2
2448x x y x x -=-+，(0,4)x ∈；（3）max 64S =-，4
πα=.
21.略.。