材料力学-压杆稳定
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材料力学第9章 压杆稳定
第9章 压杆稳定 图9－6
第9章 压杆稳定
9.2.3 两端非铰支细长压杆的临界载荷 1.一端固定一端自由的细长压杆的临界载荷 图9－7所示为一端固定、一端自由的长为l的细长压杆。
当轴向压力F=Fcr时，该杆的挠曲轴与长为2l的两端铰支细 长压杆的挠曲轴的一半完全相同。因此，如果二杆各截面的 弯曲刚度相同，则临界载荷也相同。所以，一端固定一端自 由、长为l的细长压杆的临界载荷为
第9章 压杆稳定
9.2.2 大挠度理论与实际压杆 式（9－1）与式（9－2）是对于理想压杆根据小挠度挠
曲轴近似微分方程得到的。如果采用大挠度挠曲轴的微分方
程 ddx1xM ExI进行理论分析，则轴向压力F与压杆最
大挠度wmax之间存在着如图9－6中的曲线AB所示的确定关 系，其中A点为曲线的极值点，相应之载荷Fcr即为上述欧拉 临界载荷。
Fcr
2 EI
2l 2
（9－3）
第9章 压杆稳定
图9－7
第9章 压杆稳定
2.两端固定的细长压杆的临界载荷 图9－8所示为两端固定的长为l的细长压杆，当轴向压 力F=Fcr时，该杆的挠曲轴如图9－8(a)所示，在离两固定端 各l/4处的截面A、B存在拐点，A、B截面的弯矩均为零。因 此，长为l/2的AB段的两端仅承受轴向压力Fcr（见图9－8 (b)），受力情况与长为l/2的两端铰支压杆相同。所以，两 端固定的压杆的临界载荷为
Fcr
2EI
0.5l 2
（9－4）
第9章 压杆稳定
图9－8
第9章 压杆稳定
3.一端固定一端铰支的细长压杆的临界载荷 图9－9所示为一端固定一端铰支的长为l的细长压杆， 在微弯临界状态，其拐点与铰支端之间的正弦半波曲线长为
材料力学压杆稳定
D 0, C 1 l 2
3
x 0, w
1 Fa l 2
3 EIl
3EI Fcr al
§14.7 纵横弯曲旳概念
❖9.15
作业9－2
在图示铰接杆系ABC中，AB和BC皆为细长压杆， 且截面相同，材料一样。若因在ABC平面内失稳而 破坏，并要求0<</2，试拟定F为最大值时旳角。
Fcr
2 EI ( l )2
截 面
F
F
材
料
相
同 ，
1.5l
2l
拟
定
失
稳
顺 l 3l
2l
序 。
(1)
(4)
F
F
F
4l
5l
3l
2.8l
2.5l
1.5l
(2)
(3)
(5)
Fcr
2 EI ( l )2
图示托架中AB杆旳直径
d=30mm,长度l=800mm，
两端可视为铰支，材料为
F
A3钢，s=240MPa。试求
第九章 压杆稳定
§9.1 压杆稳定旳概念 §9.2 两端铰支细长压杆旳临界压力 §9.3 其他支座条件下细长压杆旳临界压力 §9.4 欧拉公式旳合用范围 经验公式 §9.5 压杆旳稳定校核 §9.6 提升压杆稳定性旳措施 §9.7 纵横弯曲旳概念
§9.1 压杆稳定旳概念
1. 平衡旳稳定性
a）稳定平衡
B = 0 sinkl=0 kl = n k = n/l
F
k 2 EI
n
2
EI
l
Fcr
2 EI l2
w
A
sin
x
l
§9.3 其他支座条件下细长压杆 旳临界压力
材料力学之压杆稳定
材料力学之压杆稳定引言材料力学是研究物体内部受力和变形的学科，压杆稳定是其中的一个重要内容。
压杆稳定是指在受到压力作用时，压杆能够保持稳定，不发生失稳或破坏的现象。
本文将介绍压杆稳定的基本原理、稳定条件以及一些常见的失稳形式。
压杆的受力分析在进行压杆稳定分析前，我们首先需要对压杆受力进行分析。
压杆通常是一根长条形材料，两端固定或铰接。
在受到外部压力作用时，压杆会受到内部的压力，这些压力会导致杆件产生变形和应力。
在分析压杆稳定性时，我们主要关注压杆的弯曲和侧向稳定性。
压杆的基本原理压杆的稳定性是由杆件的弯曲和侧向刚度共同决定的。
当压杆弯曲和侧向刚度足够大时，压杆能够保持稳定。
所以，为了提高压杆的稳定性，我们可以采取以下几种措施：1.增加杆件的截面面积，增加抗弯能力；2.增加杆件的高度或长度，增加抗弯刚度；3.增加杆件的横向剛性，增加抗侧向位移能力；4.添加支撑或加固结构，增加整体稳定性。
压杆的稳定条件压杆稳定的基本条件是在承受外部压力时，内部应力不超过材料的极限强度。
当内部应力超过材料的极限强度时，压杆将会发生失稳或破坏。
在实际工程中，我们一般采用压杆的临界压力比来判断压杆的稳定性。
临界压力比是指杆件在失稳前的临界弯曲载荷与临界弯曲载荷之比。
当临界压力比大于1时，压杆是稳定的；当临界压力比小于1时，压杆是不稳定的。
临界压力比的计算可以采用欧拉公式或者Vlasov公式等方法。
这些方法能够给出压杆在不同边界条件下的临界压力比。
在工程实践中，我们可以根据具体问题选择合适的方法来计算临界压力比。
压杆的失稳形式压杆失稳通常有两种形式：弯曲失稳和侧向失稳。
弯曲失稳压杆的弯曲失稳是指杆件在受到外部压力作用时，发生弯曲变形并导致失稳。
在弯曲失稳中，压杆的弯曲形态可以分为四种：1.局部弯曲失稳：杆件出现弯曲局部失稳，形成凸起或凹陷；2.局部弯扭失稳：杆件出现弯曲和扭曲共同失稳；3.全截面失稳：整个杆件截面均发生失稳；4.全体失稳：整个杆件完全失稳并失去稳定性。
材料力学_压杆稳定
π 2E λp = σp
欧拉公式仅适用于细长压杆的稳定计算
对Q235 钢,E=200GPa,σp=200MPa,则 , ,
200 × 109 λp = π ≈ 100 6 200 × 10
9.2 压杆的临界应力
二,临界应力总图 大柔度压杆(细长压杆 : 大柔度压杆 细长压杆): 细长压杆
σ cr σs
π 2 EI π 2E Fcr σ cr = = = 2 A (l / i )2 A(l )
其中
记
λ=
l
i
压杆的柔度或 压杆的柔度或长细比 欧拉临界应力
i=
I A
π 2E σ cr = 2 λ
(λ = λmax )
π 2E π 2E σ cr = 2 ≤ σ p λ ≥ λ σp
大柔度压杆(细长压杆 : 大柔度压杆 细长压杆): λ ≥ λ p 细长压杆
σp
σ cr = σ s
σcr = a1 b1λ
2
π 2E σ cr = 2 λ
直线经验公式: 直线经验公式:
(λ ≥ λ p )
σ cr = a bλ
σ cr = π E λ2
2
中柔度压杆(中长压杆 中柔度压杆 中长压杆) 中长压杆
σ cr = a bλ (λs ≤ λ ≤ λ p )
σ cr ≤ σ s (σ b ) λs =
2
d y = M ( x) = M B + FBy (l x) Fy 2 dx
2
k2 =
F EI ~ M M= B F
y
A
y (0) = 0 y′(0) = 0 y (l ) = 0 y′(l ) = 0 ~ ~ B + M + F l = 0 0 1 1 l ~ k 0 0 1 A k F = 0 =0 ~ sin kl cos kl 1 0 A sin kl + B cos kl + M = 0 ~ k cos kl k sin kl 0 1 kA cos kl kB sin kl F = 0 kl sin = 0 or Det = k[kl sin kl 2(1 cos kl )] 2 kl kl kl kl kl = 2k sin ( kl cos 2 sin ) = 0 (kl cos 2 sin ) = 0 2 2 2 2 2
材料力学 第九章 压杆稳定
cr s p
cr s cr a b
cr
小柔度杆 中柔度杆
O
π2 E
2
大柔度杆
2
1
l
i
大柔度杆—发生弹性失稳 中柔度杆—发生非弹性失稳 小柔度杆—不发生失稳，而发生强度失效
Fuzhou University
杆类型
大柔度杆
定义
1
临界力
π EI Fcr ( l ) 2
n 0,1, 2
取
n 1
π 2 EI Fcr 2 l
细长压杆的临界载荷的欧 拉公式 (两端铰支)
Fuzhou University
材料力学课件
w A sin kx B co s kx
kl n , n 0,1, 2
F x l w F x
取 n 1
π 2 EI Fcr 2 l
2
临界应力
cr π2E性质Fra bibliotek2
稳定 稳定 强度
中柔度杆 2 1 Fcr A(a b ) 小柔度杆
cr a b
2
Fcr A s
cr s
l
i
1 π
i
E
I A
1.0, 0.5, 0.7, 2.0
a s 2 b
Fcr
Fcr
π 2 EI
2l
2
π 2 EI
0.7l
2
π 2 EI Fcr 2 (l )
欧拉公式的普遍形式
Fuzhou University
材料力学课件 讨论：
π 2 EI Fcr ( l )2
cr s cr a b
cr
小柔度杆 中柔度杆
O
π2 E
2
大柔度杆
2
1
l
i
大柔度杆—发生弹性失稳 中柔度杆—发生非弹性失稳 小柔度杆—不发生失稳，而发生强度失效
Fuzhou University
杆类型
大柔度杆
定义
1
临界力
π EI Fcr ( l ) 2
n 0,1, 2
取
n 1
π 2 EI Fcr 2 l
细长压杆的临界载荷的欧 拉公式 (两端铰支)
Fuzhou University
材料力学课件
w A sin kx B co s kx
kl n , n 0,1, 2
F x l w F x
取 n 1
π 2 EI Fcr 2 l
2
临界应力
cr π2E性质Fra bibliotek2
稳定 稳定 强度
中柔度杆 2 1 Fcr A(a b ) 小柔度杆
cr a b
2
Fcr A s
cr s
l
i
1 π
i
E
I A
1.0, 0.5, 0.7, 2.0
a s 2 b
Fcr
Fcr
π 2 EI
2l
2
π 2 EI
0.7l
2
π 2 EI Fcr 2 (l )
欧拉公式的普遍形式
Fuzhou University
材料力学课件 讨论：
π 2 EI Fcr ( l )2
材料力学第九章 压杆稳定
02
创新研究方法与手段
积极探索新的实验技术和数值模拟方法，提高压杆稳定研究的精度和可
靠性。
03
拓展应用领域
将压杆稳定研究成果应用于更多领域，解决实际工程问题，推动科学技
术进步。
THANKS
感谢观看
稳定性取决于压杆的初始弯曲程度、压力的大小 和杆件的材料特性。
当压杆受到微小扰动时，如果能够恢复到原来的 平衡状态，则称其为稳定；反之，则为不稳定。
压杆的临界载荷
临界载荷是指使压杆由稳定平衡 状态转变为不稳定平衡状态的载
荷。
当压杆所受压力小于临界载荷时， 压杆保持稳定平衡状态；当压力 大于临界载荷时，压杆将失去稳
相应措施进行解决。
建筑结构中的压杆问题
02
高层建筑、大跨度结构等建筑中的梁、柱等部件可能发生失稳，
需要加强设计和施工控制。
压力容器中的压杆问题
03
压力容器中的管道、支撑部件等可能发生失稳，需要采取相应
的预防和应对措施。
05
压杆稳定的未来发展与展望
压杆稳定研究的新趋势
跨学科交叉研究
压杆稳定与材料科学、计算科学、工程结构等领域相互渗透，形 成多学科交叉的研究趋势。
工程中常见的压杆问题
1 2
细长杆失稳
细长杆在压力作用下容易发生弯曲，导致失稳。
短粗杆失稳
短粗杆在压力作用下可能发生局部屈曲，导致失 稳。
3
弹性失稳
材料在压力作用下发生弹性变形，当压力超过某 一临界值时，杆件发生失稳。
解决压杆失稳的方法与措施
加强材料质量
选择优质材料，提高材料的弹 性模量和抗拉强度，以增强压
材料力学第九章 压杆稳 定
• 引言 • 压杆稳定的基本理论 • 压杆稳定的实验研究 • 压杆稳定的工程应用 • 压杆稳定的未来发展与展望
材料力学-压杆稳定
1．直线型经验公式
对于柔度(λs≤λ<λp)的中柔 度杆（中长压杆），临界应力 与λ的关系采用直线公式：
cr a b 13 8
式(13-8)中的系数a,b可查书中表 13-1。 λ的最低界限：
s
a
s
b
(塑性材料)
b
a
b
b
(脆性材料)
---------(13-9)
图13-3
2．抛物线型经验公式
式中有c1,c2,k三个未知量。根据边界条件：当x=0时， yA=0；代入式(c)得c2=0。式(c)成为
y c1 sinkx (d )
当x=l时，yB=0；代入式(d)后可得 c1 sinkl 0 (e)
要满足式(e)，必然是c1或sinkl等于零，若c1=0，则压杆 上各点的位移都为零，这显然与压杆在微弯状态下保持平衡 的前提不符，故必须是sinkl=0。要满足这一条件的kl值为：
kl 0, ,2 ,L ,n （n为正整数）
由k P n 可得：
EI l
P
n2 2 EI
l2
(
f
)
使压杆可能在微弯状态下保持平衡的最大轴向压力，应
该是式(f) 中n=1时的P值，这就是所求的两端铰支压杆的临
界力Pcr，即
Pcr
2 EI
l2
(13 1)
式(13-1)习惯上称为两端铰支压杆的欧拉公式。当各个 方向的支承情况相同时（如两端为球铰），压杆总是在它的 抗弯能力最小的纵向平面内失稳，所以式(13-1)中的EI是压 杆的最小抗弯刚度，即I应取截面的最小形心主惯性矩Imin。
2
图13-4 对于柔度(λ<λc)的杆件，临界应力与λ的关系采用抛物线公式：
材料力学-第十一章-压杆稳定
＝
π2
×
206 52
×109
×
π
×
160 ×10-3 64
4
= 2.6 ×106 N = 2.60 ×103 kN
材料力学－第11章 压杆稳定
§11-3 两端非铰支细长压杆的临界载荷
2.已知： d =160 mm， Q235钢， E =206 GPa ，确定两根杆的临 界载荷
对于两端固定的压杆，就有
F
d2w + k2w = 0 k2 = F
dx 2
EI
M
F
F
w
微分方程的解: w =Asinkx + Bcoskx
边界条件:=x 0= , w 0 :
B=0
=x l= , w 0 :
Asin kl = 0
系数A，B不能全为0：sin kl = 0
= kl nπ , =n 1, 2,⋅ ⋅ ⋅
k=2
F n2π 2
EI l2
屈曲位移函数： w = Asin nπ x l
弯曲幅值A取决于弯曲程度，与压力F有关。
分叉点 F
Fcr
材料力学－第11章 压杆稳定
§11-2 两端铰支细长压杆的临界载荷
压杆稳定平衡路径
F
平衡路径
F<Fcr 时，直线平衡态为稳定且唯一的
平衡路径
F>Fcr 时，直线平衡态不稳定，一旦有 扰动，杆将转为弯曲平衡态
=
, =n 1, 2,⋅ ⋅ ⋅
EI l2
临界载荷： F=cr
n2π 2EI , =n
l2
1, 2,⋅ ⋅ ⋅
最小临界载荷：
Fcr
=
π 2EI
l2
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2
图（b）中，AB杆受压
N AB P2
EI
2
a
2
P2
EI
2
a
2
例：长方形截面细长压杆，b/h=1/2；如果
将 b改为 h 后仍为细长杆，临界力Pcr是原来的
多少倍？
CL13TU11
4 解： E Ib h 2 3 Pcr b I ( l) h b 12 2 3 8 Ia Pcr a E I a b hb 2 12 ( l)
Pc r
EI
2
l
2
1
Pc r
EI
2
(2 l )
2
2
Pc r
EI
2
( 0.7 l )
2
0.7
Pc r
EI
2
( 0.5 l )
2
0.5
Pc r
EI
2
l
2
EI 2 (2l )
2
EI
2
EI
2
( 0.7l )
2
(0.5l )
θ角（设0<θ<π /2）。
①
90
②
CL13TU16
解：由静力平衡条件可解得两杆的压力分别为： N1 P cos ， N 2 P sin
两杆的临界压力分别为：
Pcr 1
2E I
l1
2
，
Pcr 2
2E I
l2 2
要使P最大，只有N1、N 2 都达 到临界压力，即
P cos P sin
第十三章
压杆稳定
§13-1 压杆稳定性的概念
CL13TU1
钢板尺：一端固定
一端自由
CL13TU2,3
Pcr 称为临界压力
CL13TU4
§13-2 细长压杆的临界压力 欧拉公式
一、两端铰支细长压杆的临界压力
CL13TU5
M ( x) P v
M ( x) P v
P E I v M ( x) P v 即 v v0 EI P 令k EI
sin kl 0 kl n
(n 0,1,2,)
n k l
P EI
P
n 2 EI P
2 2
k2
l
EI
Pcr
EI
2
l
2
两端铰支细长压杆临界压力的欧拉公式
CL13TU6
二、其它杆端约束条件下细长压杆的临界压力
EI Pcr 2 (l )
2
称为长度系数
Pmax Pcr
EI
2
2a
2
Ed
3
4
128a
2
(b) 杆BD受拉，其余杆受压
四根受压杆的临界压力：
Pcr
EI
2
a
2
故杆系所能承受的最大载荷：
Pmax 2 Pcr
2 Ed
3
4
64a
2
例：图示结构，①、②两杆截面和材料相
同，为细长压杆。确定使载荷 P 为最大值时的
2
，则 v k v 0
2 2
2
特征方程为 r k 0
有两个共轭复根 ki
附：求二阶常系数齐次微分方程y p y q 0 的通解
特征方程为 r 2 pr q 0
①两个不相等的实根 r1、r2 通解
r2 x
y C1e
r1 x
C2 e
②两个相等的实根 r1 r2
2
(2)
Pcr 正 Pcr 圆
( l)
2
2
E I圆
( l)
2
I正 I圆
d 4 a4 12 12 4 4 d d 64 64
3
例：三种不同截面形状的细长压杆如图所
示。试标出压杆失稳时各截面将绕哪根形心主
惯性轴转动。
正方形
等边角钢
槽钢
CL13TU12
例：五根直径都为 d的细长圆杆铰接构成 平面正方形杆系ABCD，如各杆材料相同，弹 性模量为E。求图 (a)、(b)所示两种载荷作用下 杆系所能承受的最大载荷。
CL13TU15
解：(a ) 杆BD受压，其余杆受拉 BD杆的临界压力:
Pcr
EI
2
2a
2
EI
2
2a
2
故杆系所能承受的最大载荷
2
例：圆截面的细长压杆，材料、杆长和杆端
约束保持不变，若将压杆的直径缩小一半，则
其临界力为原压杆的＿＿＿＿＿；若将压杆的
横截面改变为面积相同的正方形截面，则其临 界力为原压杆的＿＿＿＿＿。
解：(1)
EI Pcr 2 ( l)
2 E2来自d464 ( l) 2
1 16
2 2
E I正
通解
r1 x
y （C1 C2 x）e
x
③一对共轭复根 r1,2 i 通解
ye
(C1 cos x C2 sin x)
通解： v A sin kx B cos kx 边界条件：x 0时：v 0 B 0 x l 时：v 0 A sin kl 0
①
EI
2
l1 l2
2
（1） （2）
90
②
2E I
2
将式 (2) 除以式 (1), 便得
l1 tg ctg 2 l2
2
2
由此得
arc tg(ctg )
①
90
②
2
例：图示两桁架中各杆的材料和截面均相 同，设P1和P2分别为这两个桁架稳定的最大载 荷，则 (A) P1=P2 (B) P1<P2 (C) P1>P2 (D) 不能断定P1和P2的关系
CL13TU10
解：图(a) 中，AD杆受压 2 EI N AD 2 P 1 2 2a
1 EI P1 2 2 2 a
图（b）中，AB杆受压
N AB P2
EI
2
a
2
P2
EI
2
a
2
例：长方形截面细长压杆，b/h=1/2；如果
将 b改为 h 后仍为细长杆，临界力Pcr是原来的
多少倍？
CL13TU11
4 解： E Ib h 2 3 Pcr b I ( l) h b 12 2 3 8 Ia Pcr a E I a b hb 2 12 ( l)
Pc r
EI
2
l
2
1
Pc r
EI
2
(2 l )
2
2
Pc r
EI
2
( 0.7 l )
2
0.7
Pc r
EI
2
( 0.5 l )
2
0.5
Pc r
EI
2
l
2
EI 2 (2l )
2
EI
2
EI
2
( 0.7l )
2
(0.5l )
θ角（设0<θ<π /2）。
①
90
②
CL13TU16
解：由静力平衡条件可解得两杆的压力分别为： N1 P cos ， N 2 P sin
两杆的临界压力分别为：
Pcr 1
2E I
l1
2
，
Pcr 2
2E I
l2 2
要使P最大，只有N1、N 2 都达 到临界压力，即
P cos P sin
第十三章
压杆稳定
§13-1 压杆稳定性的概念
CL13TU1
钢板尺：一端固定
一端自由
CL13TU2,3
Pcr 称为临界压力
CL13TU4
§13-2 细长压杆的临界压力 欧拉公式
一、两端铰支细长压杆的临界压力
CL13TU5
M ( x) P v
M ( x) P v
P E I v M ( x) P v 即 v v0 EI P 令k EI
sin kl 0 kl n
(n 0,1,2,)
n k l
P EI
P
n 2 EI P
2 2
k2
l
EI
Pcr
EI
2
l
2
两端铰支细长压杆临界压力的欧拉公式
CL13TU6
二、其它杆端约束条件下细长压杆的临界压力
EI Pcr 2 (l )
2
称为长度系数
Pmax Pcr
EI
2
2a
2
Ed
3
4
128a
2
(b) 杆BD受拉，其余杆受压
四根受压杆的临界压力：
Pcr
EI
2
a
2
故杆系所能承受的最大载荷：
Pmax 2 Pcr
2 Ed
3
4
64a
2
例：图示结构，①、②两杆截面和材料相
同，为细长压杆。确定使载荷 P 为最大值时的
2
，则 v k v 0
2 2
2
特征方程为 r k 0
有两个共轭复根 ki
附：求二阶常系数齐次微分方程y p y q 0 的通解
特征方程为 r 2 pr q 0
①两个不相等的实根 r1、r2 通解
r2 x
y C1e
r1 x
C2 e
②两个相等的实根 r1 r2
2
(2)
Pcr 正 Pcr 圆
( l)
2
2
E I圆
( l)
2
I正 I圆
d 4 a4 12 12 4 4 d d 64 64
3
例：三种不同截面形状的细长压杆如图所
示。试标出压杆失稳时各截面将绕哪根形心主
惯性轴转动。
正方形
等边角钢
槽钢
CL13TU12
例：五根直径都为 d的细长圆杆铰接构成 平面正方形杆系ABCD，如各杆材料相同，弹 性模量为E。求图 (a)、(b)所示两种载荷作用下 杆系所能承受的最大载荷。
CL13TU15
解：(a ) 杆BD受压，其余杆受拉 BD杆的临界压力:
Pcr
EI
2
2a
2
EI
2
2a
2
故杆系所能承受的最大载荷
2
例：圆截面的细长压杆，材料、杆长和杆端
约束保持不变，若将压杆的直径缩小一半，则
其临界力为原压杆的＿＿＿＿＿；若将压杆的
横截面改变为面积相同的正方形截面，则其临 界力为原压杆的＿＿＿＿＿。
解：(1)
EI Pcr 2 ( l)
2 E2来自d464 ( l) 2
1 16
2 2
E I正
通解
r1 x
y （C1 C2 x）e
x
③一对共轭复根 r1,2 i 通解
ye
(C1 cos x C2 sin x)
通解： v A sin kx B cos kx 边界条件：x 0时：v 0 B 0 x l 时：v 0 A sin kl 0
①
EI
2
l1 l2
2
（1） （2）
90
②
2E I
2
将式 (2) 除以式 (1), 便得
l1 tg ctg 2 l2
2
2
由此得
arc tg(ctg )
①
90
②
2
例：图示两桁架中各杆的材料和截面均相 同，设P1和P2分别为这两个桁架稳定的最大载 荷，则 (A) P1=P2 (B) P1<P2 (C) P1>P2 (D) 不能断定P1和P2的关系
CL13TU10
解：图(a) 中，AD杆受压 2 EI N AD 2 P 1 2 2a
1 EI P1 2 2 2 a