《大学物理教程习题答案》上海交通大学出版社

秒的位移；（3）
解：（1）由r
4t2i
(3
2t) j
，可知x
4t2
，y
3
2 t
消去t得轨道方程为：
x
( y 3)2，∴质点的轨道为抛物线。
（2）由v
d r
，有速度：
v
8 t i
2 j
dt
1
1
t 0
从
到
秒的位移为：
r
v d t
(8 t i
2 j ) d t 4 i
2 j
t 1
0
0
（3）t
0和t
1
秒两时刻的速度为：
v(0)
2 j，v (1)
8 i
2 j。
1-3．已知质点位矢随时间变化的函数形式为
r
t2i
2t
j，式中r
的单位为m，t的单位为s.求：（1）任
一时刻的速度和加速度； （2）任一时刻的切向加速度和法向加速度。
解：(1)由v
d r
2t i
2 j，a
d v
2 i
；
，有：v
dt
，有：a
dt
（2）而v
v，有速率：v
。试分别求出抛物线顶点及落地
点的曲率半径。
解：（1）抛物线顶点处子弹的速度
vx
v0cos
，顶点处切向加速度为
0，法向加速度为
g。
v2
(v0cos )2
y
因此有：g
1
1
，
v0
vx
x
v02cos2
；
g
1
0
g
an
v
（2）在落地点时子弹的
g
角，则：an
g cos，
v0，由抛物线对称性，知法向加速度方向与竖直方向成
由：F
md v，有：
4 i
24t2j 2
d v，两边积分有：
d t
dt
v
d v
t1
24t
2
j )dt，∴v
v0
2t i 4t
3
j
，
v0
0
(4 i
2
4 j，t
1s，有v1
考虑到v0
3i
5 i
由于在自然坐标系中，
v
v et，而v1
5i（t
1s时），表明在t 1s时，切向速度方向就是
i方向，所
以，此时法向的力是
和vB匀速直线行驶，它们
会不会相碰?若不相碰， 求两船相靠最近的距离．
图
中 和 为已知。
答：方法一：如图，以A船为参考系，在该参考系
中船A是静止的，而船B
的速度v vBvA。
v是船B相对于船A的速度,从船B作一
条平行于v方向的直线
BC,它不与船A相交,这表明两船不会相碰.
由A作BC垂线AC,其长度rmin就是两船
vx0
v0cos600→x v0cos600t
1g cos600t2
（1）
2
vy0v0sin 600
→y
v0sin 600t
1
g sin 600t2
（2）
2
2v0
第二次落地时：
y
0，代入（2）式得：t
，
g
所以：x v0cos600t
1g cos600t2
2v02
2
2gh
4h 80cm。
2
g
g
1-9．地球的自转角速度最大增加到若干倍时，赤道上的物体仍能保持在地球上而不致离开地球
)i
(vBtsin
)j
rB
( R vBt cos )i
(vBtsin )j
r rB-rA
[ R
(vBcos
vAcos
)t]i[( vBsin
vAsin
)t]j
任一时刻两船的距离为：
r
[ R (vBcos
vAcos
)t]2
[( vBsin
vAsin
)t ]2
令：dr (t )
0
dt
t
vBcos
vAcos
?已知现在
赤道上物体的向心加速度约为
3.4cm / s2，设赤道上重力加速度为
9.80m/s2。
解：由向心力公式：
F向
m
2R，
赤道上的物体仍能保持在地球必须满足：
F向
mg，而现在赤道上物体的向心力为：
F '向
ma
∴
mg
g
980
17
ma
a
16.98
0
3.4
1-10．已知子弹的轨迹为抛物线，
初速为v0，并且v0与水平面的夹角为
(v0t
1axt2)i
1ayt2j
( 2 2
1 34)i
1(7) 4 j
2
2
2
8
2
16
137
ij m
48
2-2
质量为2kg
的质点在
xy平面上运动，受到外力
F 4i
24t2j的作用，t=0
时，它的初速度为
v0
3i
4 j，求t=1s时质点的速度及受到的法向力
Fn。
解：解：由于是在平面运动，所以考虑矢量。
（B）两个质点都始终作匀加速运动
（C）在t2s末两个质点相遇
（D）在0 t2s时间内质点B可能领先质点A
答：D
1-4．质点的x ~ t关系如图，图中a，b，c三条线表示三个速度不同的运动． 问
它们属于什么类型的运动?哪一个速度大？哪一个速度小？
答：匀速直线运动；vavbvc。
1-5．如图所示，两船A和B相距R，分别以速度vA
h
3
x
O
xv0t┄①，h1gt2┄②
2
联立方程解得：x447m，∴arctanx77.50。
h
1-13．一物体和探测气球从同一高度竖直向上运动，物体初速为v049.0m / s，而气球以速度
v19.6m / s匀速上升，问气球中的观察者在第二秒末、第三秒末、第四秒末测得物体的速度各多少？
解：物体在任意时刻的速度表达式为：vyv0gt
h1，一身高为h2的人在路灯下以匀速v1沿直线行走。试证明人影的顶端作匀速
运动，并求其速度
v2.
证明：设人向路灯行走，
t时刻人影中头的坐标为
x1，足的坐标为
x2，
由相似三角形关系可得：
x1
x2
h2，
h1
x1
h1
h1
∴x1
x2
h2
h1
O
h2
两边对时间求导有：
d x1
h1
d x2，考虑到：d x2
v1，
2m / s，vy
0。当t
2s时，求：
(1)
质点的位矢；
(2)
质点的速度。
解：由
ax
fx
6
3
2
fy
7
m / s
2
m
，有：ax
m / s
，ay
m
16
16
8
（1）vx
vx0
2
axdt
2
3
5
0
2
m / s，
8
4
2
7
7m / s。
vy
vy0
aydt
2
0
16
8
于是质点在
2s时的速度：v
5i
7j
m / s
4
8
（2）r
[(2 t)2
22]
1
2
2
t2
1
∴at
dv
2t
1
，利用a2
at2
an2
有：
an
a2
at2
2
1
。
dt
t2
t2
1-4．一升降机以加速度
a上升，在上升过程中有一螺钉从天花板上松落，
升降机的天花板与底板相距为
d，
求螺钉从天花板落到底板上所需的时间。
解法一：以地面为参照系，坐标如图，设同一时间内螺钉下落的距离为
mAgTmAaA
2T
mBaB
aB
1aA
2
4g
则可计算得到：aA
。
5
2-4．如图，用质量为m1的板车运载一质量为
m2的
木箱，车板与箱底间的
摩擦系数为
，车与路面间的滚动摩擦可不计，
计
算拉车的力
F为多少
才能保证木箱不致滑动？
0
解得t
1s，
dt
x1
x1x0
( 2 4 2) 2 2m
x
3
x
x
1
(243232)(242)
8m
3
x
x1
x2
10m。
1-8．一弹性球直落在一斜面上，下落高度
h 20cm，斜面对水
平的倾角
30
，问它第二次碰到斜面的位
置距原来的下落点多
远(假设小球碰斜面前后速度数值相等，
碰撞时
人射角等于反射角)。
解：小球落地时速度为v02gh，建立沿斜面的直角坐标系，以小球第一次落地点为坐标原点如图示，
2v02
（3）∵r
v0t i (h
1g t2) j
，∴d r
v0i g t j，
2
d t
即：v v0i
g t j，
d v
g j
d t
在落地瞬时，有：
t
2h
，∴
d r
v0i
2gh
j
g
d t
又∵v
2
2
2
( gt )
2
，∴dv
g2t
g
2gh
vx
vy
v0
[ v2
( gt )2
1
v02
。
dt
]2
2gh
0
1-6．路灯距地面的高度为
d t
h1
h2
d t
d t
知人影中头的速度：
v影
d x2
h1
v1（常数）。
d t
h1
h2
1-7．一质点沿直线运动，其运动方程为
x
2
4t
2t2
(m)，在t从0秒到3
秒的时间间隔内，则质点
走过的路程为多少？
解：由于是求质点通过的路程，所以可考虑在
0~3s的时间间隔内，质点速度为
0的位置：
v
dx
4
4t
若v
有：g cos
v02
则：
2
v02
。
g cos
2
1-11．一飞行火箭的运动学方程为
x
ut
u(1
t )ln(1
bt )，其中b是与燃料燃烧速率有关的量，
u为燃
b
气相对火箭的喷射速度。求：
（1）火箭飞行速度与时间的关系；（2）火箭的加速度。
解：一维运动，直接利用公式：
v
dx
dv
，a
有：
dt
dt
（1）v
dx
相靠最近的距离
4
rmin
R sin
作FD//AB,构成直角三角形
DEF，故有：sin
vBsin
vAsin
，
v
在三角形BEF中,由余弦定理可得：v
vA2
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱvB2
2vAvBcos(
)
rmin
vBsin
vAsin
R。
vA2
vB2
2vAvBcos(
)
方法二：
两船在任一时刻
t的位置矢量分别为：
rA
( vAt cos
故气球中的观察者测得物体的速度vvyv
代入时间t可以得到第二秒末物体速度：v29.8m
s
，（向上）
第三秒末物体速度：
v3
0
第四秒末物体速度：
v4
9.8m
（向下）。
s
思考题1
1-1．质点作曲线运动，其瞬时速度为v，瞬时速率为v，平均速度为v，平均速率为v，则它们之间的下
列四种关系中哪一种是正确的?
（A）vv,vv；（B）vv,vv；（C）vv,vv；（D）vv,vv
（1）小球的运动方程；
y
（2）小球在落地之前的轨迹方程；
h
v0
（3）落地前瞬时小球的
d r
，d v
，d v。
d t
d t
d t
解：（1）如图，可建立平抛运动学方程：
O
x
1g t2
1
x v0t，y h
，∴r
v0t i
(h
g t2) j；
2
2
gx2
（2）联立上面两式，消去t得小球轨迹方程：yh（为抛物线方程） ；
v应为矢量！须加上箭
头。）
1-8．一质点作斜抛运动，用
t1代表落地时，
t1
t1
t1
（1）说明下面三个积分的意义：
vxdt ,
vydt,
v dt；
0
0
0
（2）用A和B代表抛出点和落地点位置，说明下面三个积分的意义：
B
B
B
dr,
dr,
dr。
A
A
A
t1
答：
vxdt
表示物体落地时
x方向的距离，
0
t1
vydt
j方向的，则利用
F
4 i
24t2j，将t
1s代入有F 4i
24 j
4 et24 en，
∴Fn
24N。
6
2-3．如图，物体A、B质量相同，B在光滑水平桌面上．滑轮与绳的质量以及空气阻力均不计，滑轮与其
轴之间的摩擦也不计．系统无初速地释放，则物体A下落的加速度是多少？
解：分别对A，B进行受力分析，可知：
答：(1)质点作圆周运动；
(2)
质点作匀速率曲线运动；
(3)质点作抛体运动。
1-7．如图所示，质点在
t=0时刻由原点出发作斜抛运动，其速度
v vxi
vyj，回到x轴的时刻为t，则
t
t
vxdt
t
t
（A）
vdt
0
（B）
vdt
vydt
0
0
0
t
t
vxdt
t
t
（C）
v dt
0
（D）
vdt
vydt
0
0
0
答：A
（注意：题目中各处的
u ln(1
bt )
， （2）
dv
ub
dt
a
bt
dt 1
1-12．飞机以v0100m / s的速度沿水平直线飞行，
在离地面高h
98m时，驾驶员要把物品投到前方某
一地面目标上，问：投放物品时，驾驶员看目标的视线和竖直线应成什么角度
?此时目标距飞机下方地点
多远?
x有：
y
v0
解：设此时飞机距目标水平距离为
习题1
1-1．已知质点位矢随时间变化的函数形式为
r =
R(cosωt i
sinωt
j )
其中
为常量．求：（1）质点的轨道；
(2)速度和速率。
解：(1)
由r = R(cosωt i
sinωt j )，知：x
R cos
t
，y
R sin
t
消去t可得轨道方程：x2
y2
R2
∴质点的轨道为圆心在（0，0）处，半径为
表示物体落地时
y方向的距离，
0
5
t1
v dt表示物体在t1时间内走过的几何路程，
0
B
dr抛出点到落地点的位移，
A
B
dr抛出点到落地点位移的大小，
A
B
dr抛出点到落地点位移的大小。
A
习题2
2-1
质量为16kg的质点在xOy平面内运动， 受一恒力作用， 力的分量为fx
6N，fy
7N，当t 0
时，x
y
0，vx
答：（C）
1-2．沿直线运动的物体，其速度大小与时间成反比，则其加速度的大小与速度大小的关系是：（A）与速
度大小成正比； （B）与速度大小平方成正比； （C）与速度大小成反比； （D）与速度大小平方成反比。答：B
1-3．如图所示为A，B两个质点在同一直线上运动的vt图像，由图可知
（A）两个质点一定从同一位置出发
R的圆；
（2）由v
d r
，有速度：v
R sin
t i
Rcos
t j
dt
1
而v
v，有速率：v
[(
Rsin
t )2
(
R cos t)2]
2
R。
1-2
．已知质点位矢随时间变化的函数形式为
r
4t
2
i
(3 2t ) j
，式中r的单位为
mt
的单位为
s
t
0
t
，
。求：
（1）质点的轨道； （2）从
t
0
到
t
1
和
1
秒两时刻的速度。
y1，升降机上升的高度为
y2，运
动方程分别为
y1
v0t
1gt2
（1）
2
y2
v0t
1at2
（2）
2
y1
y2
d
（3）
（注意到y1为负值，有
y
y）
1
1
联立求解，有：t
2d
。
g
a
解法二：以升降机为非惯性参照系，则重力加速度修正为
g ' g
a，
利用d
1
g 't2，有：t
2d
2d。
2
g '
g
a
1
1-5．一质量为m的小球在高度h处以初速度v0水平抛出，求：
R
(vBcos
vAcos
)
2
(vBsin
vAsin
)
2
rmin
vBsin
vAsin
R。
vA2
vB2
2vAvBcos(
)
1-6．若质点限于在平面上运动，试指出符合下列条件的各应是什么样的运动？
（A）d r
0，d r
0；（B）d v
0，d v
0；（C）d a
0，d a
0
d t
d t
d t
d t
d t
d t