山东省泰安市2020届高三第五次模拟考试数学试题(附答案及解析)

山东省泰安市2020届高三第五次模拟考试数学试题题号 一 二 三 总分 得分评卷人 得分一、选择题 本大题共12道小题。

1.已知函数()()3211f x x gx x =+++，若等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且()()12020110,110f a f a -=--=，则2020=S （ ）A. －4040B. 0C. 2020D. 40402.已知0.130.2log 0.2,log 0.3,10,a b c ===则（ ） A. a b c << B. a c b <<C. c a b <<D. b c a <<3.在3世纪中期，我国古代数学家刘徽在《九章算术注》中提出了割圆术：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆合体，而无所失矣”.这可视为中国古代极限观念的佳作.割圆术可以视为将一个圆内接正n 边形等分成n 个等腰三角形(如图所示)，当n 变得很大时，等腰三角形的面积之和近似等于圆的面积.运用割圆术的思想，可得到sin 3°的近似值为（ ）(π取近似值3.14)A. 0.012B. 0.052C. 0.125D. 0.2354.（多选题）在疫情防控阻击战之外，另一条战线也日渐清晰——恢复经济正常运行.国人万众一心，众志成城，防控疫情、复工复产，某企业对本企业1644名职工关于复工的态度进行调查，调查结果如图所示，则下列说法正确的是（ ）A. 0.384x =B. 从该企业中任取一名职工，该职工是倾向于在家办公的概率为0.178C. 不到80名职工倾向于继续申请休假D. 倾向于复工后在家办公或在公司办公的职工超过986名 5.（多选题）已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的右焦点为F ，点P 在椭圆C 上，点Q 在圆()()22:344E x y ++-=上，且圆E 上的所有点均在椭圆C 外，若PQ PF -的最小值为256，且椭圆C 的长轴长恰与圆E 的直径长相等，则下列说法正确的是（ ） A. 椭圆C 的焦距为2B. 椭圆C 3C. PQ PF +的最小值为5D. 过点F 的圆E 47-± 6.（多选题）已知向量()()()2,1,1,1,2,,a b c m n ==-=--其中m ,n 均为正数，且()//a b c -，下列说法正确的是（ ） A. a 与b 的夹角为钝角 B. 向量a 在b 5C. 24m n +=D. mn 的最大值为27.已知复数z 满足()14i z i -⋅=，则z =（ ）A. 2B. 2C. 22D. 88.()()311x x -+的展开式中，3x 的系数为（ ）A. 2B. －2C. 3D. －39.函数f (x )与()32sin 12x g x xπ⎛⎫-- ⎪⎝⎭=的图象关于y 轴对称，则函数f (x )的部分图象大致为（ ）A.B.C.D.10.已知集合{}20A x x x =-<，{|1B x x =>或0}x <，则（ ） A. B A ⊆ B. A B ⊆ C. A B R = D. AB =∅11.在四面体ABCD 中2,90BC CD BD AB ABC ====∠=，，二面角A BC D --的平面角为150°，则四面体ABCD 外接球的表面积为（ ） A.π313B.1243π C. 31π D. 124π12.（多选题）已知函数()=cos sin f x x x -，则下列结论中，正确的有（ ） A. π是f (x )的最小正周期B. f (x )在,42ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增 C. f (x )的图象的对称轴为直线()4x k k Z ππ=+∈D. f (x )的值域为[0,1]一、填空题 本大题共4道小题。

13.若曲线()ln f x x x x =+在点()()11f ，处的切线与直线240x ay +-=平行，则a =_________. 14.CES 是世界上最大的消费电子技术展，也是全球最大的消费技术产业盛会.2020CES 消费电子展于2020年1月7日—10日在美国拉斯维加斯举办.在这次CES 消费电子展上，我国某企业发布了全球首款彩色水墨屏阅读手机，惊艳了全场.若该公司从7名员工中选出3名员工负责接待工作(这．3名员工的工作视．．．．．．．为相同的工作．．．．．．)，再选出2名员工分别在上午、下午讲解该款手机性能，若其中甲和乙至多有1人负责接待工作，则不同的安排方案共有__________种. 15.已知点F 1、F 2分别为双曲线()222210,0x y C a b a b-=>>：的左、右焦点，点A ，B 在C 的右支上，且点F 2恰好为1F AB ∆的外心，若11()0BF BA AF +⋅=，则C 的离心率为__________. 16.已知圆锥的顶点为S ，顶点S 在底面的射影为O ，轴截面SAB 是边长为2的等边三角形，则该圆锥的侧面积为__________，点D 为母线SB 的中点，点C 为弧AB 的中点，则异面直线CD 与OS 所成角的正切值为________.二、解答题 本大题共6道小题。

17.已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且21n n S a n =+-. （1）求证：数列{}1n a +为等比数列； （2）设()1n n b n a =+，求数列{b n }的n 项和T n . 18.已知函数()cos ,,2xf x e x x π⎡⎫=-∈-+∞⎪⎢⎣⎭，证明. （1）f (x )存在唯一的极小值点；（2）f (x )的极小值点为0,x 则()010f x -<<. 19.如图，在四棱锥E -ABCD 中，底面ABCD 为直角梯形，AB //CD ，,2BC CD AB BC ⊥==2,CD EAB △是以AB 为斜边的等腰直角三角形，且平面EAB ⊥平面ABCD ，点F 满足，([0,1])EF EA λλ=∈.（1）试探究λ为何值时，CE //平面BDF ，并给予证明； （2）在（1）的条件下，求直线AB 与平面BDF 所成角的正弦值. 20.十九大提出：坚决打赢脱贫攻坚战，做到精准扶贫.某县积极引导农民种植一种名贵中药材，从而大大提升了该县村民的经济收入.2019年年底，该机构从该县种植的这种名贵药材的农户中随机抽取了100户，统计了他们2019年因种植，中药材所获纯利润(单位：万元)的情况(假定农户因种植中药材这一项一年最多获利11万元)，统计结果如下表所示： 分组 [1,3) [3,5) [5,7) [7,9) [9,11] 频数1015452010（1）由表可以认为，该县农户种植中药材所获纯利润Z (单位：万元)近似地服从正态分布()2,N μσ，其中μ近似为样本平均数x (每组数据取区间的中点值)，2σ近似为样本方差222.1s ≈.若该县有1万户农户种植了该中药材，试估算所获纯利润Z 在区间(1.9，8.2)的户数；（2）为答谢广大农户的积极参与，该调查机构针对参与调查的农户举行了抽奖活动，抽奖规则如下：在一箱子中放置5个除颜色外完全相同的小球，其中红球1个，黑球4个.让农户从箱子中随机取出一个小球，若取到红球，则抽奖结束；若取到黑球，则将黑球放回箱中，让他继续取球，直到取到红球为止(取球次数不超过10次).若农户取到红球，则视为中奖，获得2000元的奖励，若一直未取到红球，则视为不中奖.现农户张明参加了抽奖活动，记他中奖时取球的次数为随机变量X ，他取球的次数为随机变量Y .①证明：(){}(),110P X n n N n *=∈≤≤为等比数列；②求Y 的数学期望.(精确到0.001)参考数据：9100.80.1342,0.80.1074≈≈.若随机变量()2~,Z Nμσ，则(P Z μσ-<≤)()=0.6827220.9545P Z μσμσμσ+-<≤+=，.21.在①2sin cos cos cos a C B C C =；②5cos 45c B b a +=；③()2cos b a C -=cos c A ，这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，然后解答补充完整的题目. 在△ABC 中，内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c .且满足_________. （1）求sin C ；（2）已知5a b +=，△ABC 的外接圆半径为3，求△ABC 的边AB 上的高h . 22.已知点()0,2M -，点P 在直线21216y x =+上运动，请点Q 满足12MQ MP =，记点Q 的为曲线C. （1）求曲线C 的方程；（2）设()()0,3,0,3D E -，过点D 的直线交曲线C 于A ，B 两个不同的点，求证：2AEB AED ∠=∠.试卷答案1.C 【分析】结合对数的运算性质，对()f x -进行整理可得()f x 为奇函数，从而可知120202a a +=，代入等差数列的求和公式即可求出2020S 的值.【详解】解：因为())31f x x gx =+定义域为R ，关于原点对称，且()())331f x x g x x -=-+-=-+)()31x gx f x =--=-，所以()f x 为奇函数，由()()()120202020111f a f a f a -=--=-得，1202011a a -=-，所以120202a a +=， 因为{}n a 为等差数列，所以()1202020202020=20202a a S +=，故选:C.【点睛】本题考查了对数的运算，考查了函数的奇偶性的判断，考查了等差数列的求和公式.本题的关键是求出120202a a +=. 2.A 【分析】根据对数函数与指数函数的单调性,将a b c 、、与0、1比较,即可得出答案. 【详解】因为3log y x =在(0,)+∞上单调递增, 所以33log 0.2log 10a =<=,因为0.2log y x =在(0,)+∞上单调递减, 所以0.20.20.20log 1log 0.3log 0.21b =<=<=, 因为10xy =在R 上单调递增, 所以0.1010101c =>=, 所以a b c <<. 故选：A【点睛】本题考查指数与指数函数和对数与对数函数.属于基础题.本类题型一般都是将所需比较的数与0、1比较大小,熟练掌握指数函数与对数函数的单调性是解本题的关键. 3.B 【分析】根据题意圆内接正120边形其等分成120个等腰三角形，每个等腰三角形的顶角为3︒,根据等腰三角形的面积之和近似等于圆的面积.即可列出等式解出sin3°的近似值. 【详解】当120n =时,每个等腰三角形的顶角为360=3120︒︒,则其面积为21sin 32S r ∆=︒, 又因为等腰三角形的面积之和近似等于圆的面积, 所以221120sin 3sin 30.052260r r ππ⨯︒≈⇒︒≈≈, 故选：B【点睛】本题考查三角形与圆的面积公式,属于基础题.解本类题型需认真审题，读懂题意找到等式是关键. 4.BD【分析】根据扇形图中的比例关系依次验证各个选项即可得到结果. 【详解】对于A ，100 5.117.842.334.8x =---=，A 错误；对于B ，倾向于在家办公的人员占比为17.8%，故对应概率为0.178，B 正确； 对于C ，倾向于继续申请休假人数为1644 5.1%84⨯≈人，C 错误；对于D ，倾向于在家办公或在公司办公的职工人数为()164417.8%42.3%988⨯+≈人，D 正确. 故选：BD .【点睛】本题考查根据扇形图进行相关命题的辨析的问题，涉及到比例和频数的计算等知识，属于基础题. 5.AD 【分析】由题意可求得a 的值，再由圆的几何性质结合椭圆的定义以及已知条件可求得c 的值，进而可判断出A 、B 选项的正误；利用圆的几何性质可判断C 选项的正误；设出切线方程，利用圆心到切线的距离等于半径可求得切线的斜率，可判断D 选项的正误.综合可得出结论. 【详解】圆E 的圆心为()3,4E -，半径长为2，由于椭圆C 的长轴长恰与圆E 的直径长相等，则24a =，可得2a =，设椭圆的左焦点为点1F ，由椭圆的定义可得124PF PF a +==，14PF PF ∴=-，所以，()111144246256PQ PF PQ PF PF PQ PF PE EF -=--=+-≥+--≥-=，当且仅当P 、Q 、E 、1F 四点共线，且当P 、Q 分别为线段1EF 与椭圆C 、圆E 的交点时，等号成立， 则1EF ===02c a <<=，解得1c =，所以，椭圆C 的焦距为22c =，A选项正确；椭圆C的短轴长为2b ==B 选项错误；2222PQ PF PE PF EF +≥+-≥-==，当且仅当P 、Q 、E 、F 四点共线，且当P 、Q 分别为线段EF 与椭圆C 、圆E 的交点时，等号成立，C 选项错误；若所求切线的斜率不存在，则直线方程为1x =，圆心E 到该直线的距离为3142--=>，则直线1x =与圆E 相离，不合乎题意；若所求切线的斜率存在，可设切线的方程为()1y k x =-，即kx y k 0--=，2==，整理得23830kk ++=，解得43k -±=.D 选项正确. 故选：AD.【点睛】本题考查利用椭圆的定义解决焦半径与椭圆上的点到圆上的点的距离和与差的最值问题，同时也考查了过圆外一点引圆的切线问题，考查数形结合思想的应用，属于中等题. 6.CD 【分析】利用a b ⋅的符号即可判断选项A ；根据投影的概念即可判断选项B ；根据两平行向量的坐标关系即可判断选项C ；结合基本不等式即可判断选项 D.【详解】由题意知，10a b ⋅=>，所以a 与b 的夹角为锐角，故选项A 错误； 向量a 在b方向上的投影为22a b b⋅==，故选项B 错误； ()1,2a b -=，因为()//a b c -，,m n 均为正数，所以c 为非零向量， 且24,24n m m n -=-+=，故选项C 正确；由基本不等式知，42m n =+≥，2mn ≤，当且仅当22m n ==时取等号， 故mn 的最大值为2，故选项D 正确.故选：CD【点睛】本题主要考查两平面向量的夹角及投影的概念，考查两向量平行的坐标关系及利用基本不等式求最值问题，属于基础题. 7.C 【分析】利用复数的代数形式的除法运算先求出z ，再根据复数的模长公式求出z ． 【详解】解：∵()14i z i -⋅=，，∴41iz i =-()()()4111i i i i +=-+22i =-+，∴z =. 故选：D ．【点睛】本题主要考查复数的代数形式的除法运算，考查复数的模，属于基础题． 8.B 【分析】由题意转化条件得()()()()3331111x x x x x -+=+-+，再由二项式定理写出()31x +的通项公式，分别令3r =、2r，求和即可得解.【详解】由题意()()()()3331111x x x x x -+=+-+，()31x +的通项公式为31331r rr r r r T C x C x -+=⋅⋅=⋅，令3r =，则3331rC C ==； 令2r，则2333r C C ==；所以()()311x x -+的展开式中，3x 的系数为132-=-. 故选：B.【点睛】本题考查了二项式定理的应用，考查了运算求解能力，属于基础题. 9.D 【分析】由诱导公式对()g x 化简，结合两函数图象的关系可求出()2cos 1x f x x +=，通过求2f π⎛⎫ ⎪⎝⎭，2f π⎛⎫- ⎪⎝⎭，()f π即可排除错误答案.【详解】解：()32sin 12cos 12x x g x x xπ⎛⎫-- ⎪--⎝⎭==，因为()f x 与()g x 图象关于y 轴对称， 则()()2cos 12cos 1,0x x f x x x x---+==≠-，2cos122022f ππππ+⎛⎫==> ⎪⎝⎭，排除C ，2cos 122022f ππππ⎛⎫-+ ⎪⎛⎫⎝⎭-==-< ⎪⎝⎭-，排除B ， ()2cos 110f ππππ+==-<，排除A ，故选:D.【点睛】本题考查了诱导公式，考查了函数图象的变换，考查了函数图象的选择.本题的关键是求出()f x 的解析式. 10.D 【分析】解不等式对集合进行化简，即可求出两集合的关系.【详解】解：解不等式20x x -<得01x <<，则{}01A x x =<<. 因为{|1B x x =>或0}x <，所以A B =∅，故选:D.【点睛】本题考查了一元二次不等式的求解，考查了两集合间的关系. 11.B 【分析】建立空间直角坐标系，写出,,,A B C D 坐标，利用球心到,,,A B C D 距离等于半径求出球心坐标，从而求出球体半径，即可求出球体的表面积.【详解】解：取BD 中点E 为坐标系原点，过点E 作垂直于平面BCD 的直线为z 轴，EB 所在直线为x 轴，EC 所在直线为y 轴，如下图所示.由已知条件可得：()1,0,0B ，()1,0,0C -，()3,0D ，()1,3,1A -. 设四面体ABCD 外接球的球心为,,O x y z ，由OA OB OC OD ===得：()()()()2222221311x y z x y z -+++-=-++ ()2221x y z =+++ ()2223x y z =+-+解得：033x y z =⎧⎪⎪=⎨⎪=⎪⎩3O ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭. ∴四面体ABCD 外接球的半径()222331133133R OA ⎛⎫==+++-= ⎪ ⎪⎝⎭，所以四面体ABCD 外接球的表面积2311244433S R πππ==⨯=. 故选：B .【点睛】本题考查三棱锥外接球表面积，关键是建立空间直角坐标系求出各顶点坐标，属于中档题. 12.BD 【分析】由()()f x f x -=，知函数为偶函数，又()()2f x f x π+=，知2π是()f x 的周期， 当[0,]4x π∈时，化简()f x 并画出其图象，在根据偶函数和周期性，画出函数()f x 的图象，根据图象判断每一个选项是否正确.【详解】由()()f x f x -=，知函数为偶函数，又()()2f x f x π+=，知2π是()f x 的周期， 当[0,]4x π∈时，()cos sin 2)4f x x x x π=-=--，画出()f x 的图象如图所示：由图知，()f x 的最小正周期是2π，A 错误； ()f x 在,42ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，B 正确；()f x 的图象的对称轴为(),4k x k Z π=∈，C 错误； ()f x 的值域为[]0,1，D 正确.故选：BD.【点睛】本题是绝对值与三角函数的综合问题，判断函数奇偶性，周期性画出函数图象是解决问题的关键，属于中档题. 13.－1 【分析】求出函数()f x 在1x =处的导数值,即可根据两直线平行(斜率都存在)斜率相等截距不相等列出等式,得出答案.【详解】因为()ln f x x x x =+. 所以()ln 11ln 2f x x x '=++=+,所以 (1)2f '=.因为曲线()ln f x x x x =+在点()()11f ，处的切线与直线240x ay +-=平行, 即221a a=-⇒=-. 故答案为:1-.【点睛】本题考查函数的导函数的几何意义,属于基础题.解本提出的关键在于理解函数在某点的导函数值等于函数在这点的切线的斜率. 14.360 【分析】理解题意，分两步安排，先安排接待工作，再安排讲解工作. 安排接待工作时，甲和乙至多安排1人，故分没安排甲乙和甲乙安排1人两类求解，从而计算出不同的安排方案总数.【详解】先安排接待工作，分两类，一类是没安排甲乙有35C 种， 一类是甲乙安排1人有1225C C 种，再从余下的4人中选2人分别在上午、下午讲解该款手机性能，共24A 种， 故不同的安排方案共有()12322554360C C C A +⋅=种. 故答案为：360.【点睛】本题考查了排列、组合的综合应用，考查了分析理解能力，分类讨论思想，属于中档题. 15.31+ 【分析】取1AF 的中点为C ，连接BC 、2AF 、2BF ，由垂直向量的数量积关系推出1BC AF ⊥，再利用双曲线的定义求出1122AF BF a c ==+即可推出1ABF ∆为等边三角形，求出BC ，在1CBF ∆中利用勾股定理列出关于a 、c 的齐次式即可求解离心率.【详解】取1AF 的中点为C ，连接BC 、2AF 、2BF ，如图所示：因为1111()02BF BA AF BC AF +⋅=⋅=，所以1BC AF ⊥， 又C 为1AF 的中点，所以1ABF ∆为等腰三角形且1BF BA =，因为点2F 恰好为1F AB ∆的外心，所以点2F 在直线BC 上，且22122AF BF F F c ===， 由双曲线的定义知12122AF AF BF BF a -=-=，则1122AF BF a c ==+， 所以1ABF ∆为等边三角形，则2332BC BF c ==， 在1CBF ∆中，22211CB CF BF +=即()()222922c a c a c ++=+，化简得223660a ac c +-=，同时除以2a可得22210e e--=，解得13e+=或132-(舍去).故答案为：31+【点睛】本题考查双曲线的定义及简单几何性质、等边三角形的性质、双曲线离心率的求法，涉及垂直向量的数量积关系、平行四边形法则，属于中档题16.2π；15【分析】由轴截面的图形可知圆的半径和母线长，从而可求出侧面积；作DE AB⊥于E，通过求出tanECCDEDE∠=，从而可求异面直线所成角.【详解】解：因为轴截面SAB是边长为2的等边三角形，所以底面圆的半径为1，母线为2，所以圆锥的侧面积为122Sππ=⨯⨯=；作DE AB⊥于E，则DE⊥底面圆，因为D为母线SB的中点，所以211321222ED SO==-=，又22215122EC OC OE⎛⎫=+=+=⎪⎝⎭，所以5152tan3ECCDEDE∠===，因为//ED SO，所以异面直线CD与OS所成角的正切值为15.故答案为：2π；15【点睛】本题考查了圆锥侧面积的求解，考查了异面直线二面角的求解.本题的关键是将异面直线通过平移，求其夹角.17.（1）证明见解析；（2）()121nn T n =-⋅+.【分析】（1）令2n ≥，由21n n S a n =+-得出()11211n n S a n --=+--，两式作差得121n n a a -=+，利用等比数列的定义可证明出{}1n a +为等比数列，并可确定该数列的首项和公比；（2）求得数列{}1n a +的通项公式，可得出n b 的表达式，然后利用错位相减法可求得n T . 【详解】（1）当2n ≥时，因为21n n S a n =+-，①，所以()11211n n S a n --=+--.② 由①-②得121n n a a -=+，即()1121n n a a -+=+，所以1121n n a a -+=+.当1n =时，112S a =，得10a =，则111a +=. 所以数列{}1n a +是以1为首项，2为公比的等比数列；（2）由（1）知112n n a -+=，所以()112n n n b n a n -=+=⋅.所以01211222322n n T n -=⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅+⋅，③则12321222322nn T n =⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅+⋅，④由③-④，得()012112121212122212112nn n n n n T n n n ---=⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅+⨯-⋅=-⋅=---，所以()121nn T n =-⋅+【点睛】本题考查等比数列的证明，同时也考查了错位相减法求和，考查推理能力与计算能力，属于中等题.18.（1）证明见解析；（2）证明见解析. 【分析】(1)求出函数的导数并二次求导，即设()()sin xg x f x e x '==+，()cos xg x e x '=+，结合余弦函数和指数函数的性质可求出当,2x π⎡⎫∈-+∞⎪⎢⎣⎭，()0g x '≥恒成立，即可判断出()g x 在,2x π⎡⎫∈-+∞⎪⎢⎣⎭上的单调性，由零点存在定理可求出()f x '在区间2π⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭，上存在唯一的零点0x ，进而可证明结论.(2)由04f π⎛⎫'<⎪⎝⎭，()00010f e '=+=>，由零点存在定理可得极小值点0,04x π⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，进而可得00sin 0x e x +=，结合三角恒等变换可得()0fx 04x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，由正弦三角函数可求出()010f x -<<.【详解】解：（1）()sin xf x e x '=+，设()()sin xg x f x e x '==+，则()cos xg x e x '=+，当,02x π⎡⎫∈-⎪⎢⎣⎭时，[)()cos 0,1,0,1x x e ∈∈，所以()0g x '>. 当[)0,x ∈+∞时，()0cos 1cos 0g x e x x '≥+=+≥， 综上所述，当,2x π⎡⎫∈-+∞⎪⎢⎣⎭，()0g x '≥恒成立， 故()()f x g x '=在2π⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭，上单调递增. 又()02110,0102f e e f ππ-⎛⎫''-=-<-==> ⎪⎝⎭，由零点存在定理可知，函数()f x '在区间2π⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭，上存在唯一的零点0x ，0,02x π⎛⎫∈- ⎪⎝⎭， 结合单调性可得()f x 在02x π⎡⎫-⎪⎢⎣⎭，上单调递减，在()0,x +∞上单调递增， 所以函数()f x 存在唯一极小值点0x .（2）由（1）知，0,02x π⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，021102f e e ππ-⎛⎫'-=-<-= ⎪⎝⎭，11224211422f e e πππ-⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪'-=-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，而122e e π>>，所以11222112e π⎛⎫⎛⎫ ⎪< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 即04f π⎛⎫'<⎪⎝⎭，()00010f e '=+=>，故极小值点0,04x π⎛⎫∈- ⎪⎝⎭， 且()000sin 0xf x e x '=+=，即()00sin .xe x =-*，由()*式，得()000cos x f x e x =-()000sin cos 4x x x π⎛⎫=-+=+ ⎪⎝⎭.由0,04x π⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，得00,44x ππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，所以()02sin 1,04x π⎛⎫-+∈- ⎪⎝⎭，即()010f x -<<. 【点睛】本题考查了极值的求解，考查了零点存在定理，考查了三角函数的最值，考查了辅助角公式.本题的难点在于第二问缩小极值点的取值范围. 19.（1）13λ=；证明见解析；（2）6.【详解】解：（1）当13λ=时，CE //平面FBD. 证明如下：连接AC ，交BD 于点M ，连接MF .，因为AB //CD ， 所以AM ：MC =AB ：CD =2：1，又13EF EA =，所以F A ：EF =2：1. 所以AM ：MC =AF ：EF =2：1，所以MF //CE.又MF ⊂平面BDF ，CE ⊄平面BDF ，所以CE //平面BDF . （2）取AB 的中点O ，连接EO ，OD ，则EO AB ⊥. 又因为平面ABE ⊥平面ABCD ，平面ABE平面,ABCD AB EO =⊂平面ABE ，所以EO ⊥平面ABCD ，因为OD ⊂平面ABCD ，所以EO OD ⊥. 由BC CD ⊥，及AB =2CD ，AB //CD ，得⊥OD AB ，由OB ，OD ，OE 两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz .因为EAB ∆为等腰直角三角形，AB =2BC =2CD ， 所以OA =OB =OD =OE ，设OB =1，所以()()()()0,0,0,1,0,0,1,0,0,1,1,0O A B C -，()()0,1,0,0,0,1D E .所以()()2,0,01,1,0AB BD ==-，， 11112,0,,,0,33333EF EA F ⎛⎫⎛⎫==--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以42033FB ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，，设平面BDF 的法向量为(),,n x y z =，则有·0·0n BD n FB ⎧=⎪⎨=⎪⎩，所以042033x y x z -+=⎧⎪⎨-=⎪⎩， 取1x =，得()1,1,2n =.设直线AB 与平面BDF 所成的角为θ， 则sin cos ,AB n AB n AB nθ⋅=<>=22221010262112⨯+⨯+⨯==++. 即直线AB 与平面BDF 所成角的正弦值为6. 【点睛】本题考查了线面平行的判定，用空间向量求直线与平面所成的角，建立空间直角坐标系并表示所需点的坐标是解题的关键，还考查了学生的分析能力，运算能力，属于中档题. 20.（1）8186；（2）①证明见解析；②4.463.. 【分析】(1)根据题意求出样本平均数 6.1x =即可得出()2~ 6.1,2.1Z N 即()()2, 1.9,8.2μσμσ-+=,则可根据()()()1122222P P z P Z μσμσμσμσμσμσ-<Z <+=-<<++-<<+,求出其所获纯利润Z 在区间(1.9，8.2)的户数；(2) ①因为每次取球都恰有15的概率取到红球,即()11455n P X n -⎛⎫==⎪⎝⎭，则可证明之.②根据①所求的()11455n P X n -⎛⎫==⎪⎝⎭,根据当9n ≤时,()()P X n P Y n ===,代入()91()n E Y n P Y n ==⋅=∑,再利用错位相减求出其值即可.【详解】（1）由题意知：所以样本平均数为20.140.1560.4580.2100.1 6.1x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=（万元）， 所以()2~ 6.1,2.1Z N ，所以()()2, 1.9,8.2μσμσ-+=，而()()()112220.818622P P z P Z μσμσμσμσμσμσ-<Z <+=-<<++-<<+=. 故1万户农户中，Z 落在区间()1.98.2，的户数约为100000.8186=8186⨯. （2）①每次取球都恰有15的概率取到红球. 则有()11111415555n n P X n --⎛⎫⎛⎫==-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()()114145551455nn P X n P X n -⎛⎫⎪=+⎝⎭===⎛⎫⎪⎝⎭，()115P X == 故(){}(),110P X n n N n *=∈≤≤为以15为首项45为公比的等比数列.②由①可知，当9n ≤时,()()P X n P Y n ===,()94105P Y ⎛⎫== ⎪⎝⎭.故Y 的数学期望为()8914141412910555555E Y ⎛⎫⎛⎫=⨯+⨯⨯+⋅⋅⋅+⨯⨯+⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭891444129105555⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+⨯+⋅⋅⋅+⨯+⨯⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦设84412955S ⎛⎫=+⨯+⋅⋅⋅+⨯ ⎪⎝⎭，则2944441295555S ⎛⎫⎛⎫=⨯+⨯+⋅⋅⋅+⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，两式作差得289144441955555S ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++⋅⋅⋅+-⨯ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭999411544951445515⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎛⎫⎛⎫⎝⎭=-⨯=-⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭-, ()991441051410555E Y S ⎛⎫⎛⎫∴=+⨯=-⨯+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭994454540.1342 4.46355⎛⎫⎛⎫⨯=-⨯≈-⨯≈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.【点睛】本题考查概率的求法,考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法,属于中档题.解题时需认真审题,结合题中所给数据,拿出答案. 21.答案不唯一，具体见解析【分析】选择条件①:(1)利用正弦定理将边化角,再利用A B C π++=化简,及可求出3C π=,即可得出sin C 的值.(2)利用正弦定理结合外接圆半径3与sin C 的值求出4c =,代入角C 的余弦定理结合5a b +=,可得到3ab =,再利用等面积法: 11sin 22S ab C ch ==,即可求出答案. 选择条件②:(1)利用正弦定理将边化角,再利用A B C π++=化简,及可求出4cos 5C =,即可得出sin C 的值.(2)利用正弦定理结合外接圆半径3与sin C 的值求出5c =,代入角C 的余弦定理结合5a b +=,可得到3ab =,再利用等面积法: 11sin 22S ab C ch ==,即可求出答案. 选择条件③:(1)利用正弦定理将边化角,再利用A B C π++=化简,及可求出3C π=,即可得出sin C 的值.(2)与sin C 的值求出4c =,代入角C 的余弦定理结合5a b +=,可得到3ab =,再利用等面积法: 11sin 22S ab C ch ==,即可求出答案. 【详解】选择条件①：（1）因为2sin cos cos cos a C B C C =,所以由正弦定理得2sin sin cos cos cos A C C B C B C =,即()sin sin sin cos sin cos A C C C B B C =+,故sin sin sin A C C A =.又()0,sin 0A A π∈⇒≠,所以sin tan C C C =⇒=，由()0,C π∈3C π⇒=所以sin sin 3C π==（2）由正弦定理得243c π==,由余弦定理得()22222cos 3163c a b ab a b ab π=+-=+-=, 所以()21633a b ab ab +-=⇒=.于是得ABC ∆的面积11sin 22S ab C ch ==,所以3sin 24ab C h c ===.选择条件②：（1）因为5cos 45c B b a +=,由正弦定理得5sin cos 4sin 5sin C B B A +=,即()5sin cos 4sin 5sin 5sin cos 5cos sin C B B B C B C B C +=+=+,于是()sin 45cos 0B C -=.在sin 0ABC B ∆≠中，, 所以4cos 5C =, 3sin 5C ==. （2）由正弦定理得325c ==由余弦定理得2222cos c a b ab C =+-()218192525a b ab =+-=, 所以()21925433251890ab a b ⎡⎤=+-⨯=⎢⎥⎣⎦, 于是得ABC ∆的面积11sin 22S ab C ch ==,所以sin 4333905720ab C h c ==⨯=. 选择条件③：（1）因为()2cos cos b a C c A -=,所以由正弦定理得()2sin sin cos sin cos B A C C A -=,所以()2sin cos sin sin B C A C B =+=,因为()0,B π∈,所以1sin 0cos 2B C ≠⇒=, 又()0,A π∈, 所以3C π=,所以sin C =. （2）由正弦定理得243c π==, 由余弦定理得()22222cos 3163c a b ab a b ab π=+-=+-=, 所以()21633a b ab ab +-=⇒=.于是得ABC ∆的面积11sin 22S ab C ch ==,所以3sin 24ab C h c ===.【点睛】本题考查解三角形相关知识.属于基础题.熟练掌握正余弦定理、三角形的面积公式是解本题的关键.22.（1）28x y =；（2）证明见解析.【分析】（1）设()()00,,,Q x y P x y ，由平面向量的知识可得00222x x y y =⎧⎨=+⎩，再由点P 在曲线21216y x =+上代入即可得解；（2）分直线AB 的斜率是否存在讨论；当直线AB 的斜率存在时，设直线AB 的方程为3y kx =+，()()1122,,,A x y B x y ，联立方程，利用韦达定理可得0AE BE k k +=，即可得证.【详解】（1）设()()00,,,Q x y P x y ，由12MQ MP =可得()()001,2,22x y x y +=+， 所以0012222x x y y ⎧=⎪⎪⎨+⎪+=⎪⎩即00222x x y y =⎧⎨=+⎩， 因为点P 在曲线21216y x =+上，所以2001216y x =+即()21222216y x +=⋅+，整理得28x y =. 所以曲线C 的方程为28x y =；（2）证明：当直线AB 的斜率不存在时，直线AB 与抛物线仅有一个交点，不符合题意；当直线AB 的斜率存在时，设直线AB 的方程为3y kx =+，()()1122,,,A x y B x y ，由238y kx x y=+⎧⎨=⎩，消去x 得28240x kx --=，264960k ∆=+>， 可知128x x k +=，1224x x ⋅=-，直线AE ，BE 的斜率之和为121212123366AE BE y y kx kx k k x x x x +++++=+=+ ()121212264848024kx x x x k k x x ++-+===-， 故AE ，BE 的倾斜角互补，∴AED BED ∠=∠，∴2AEB AED ∠=∠.【点睛】本题考查了轨迹方程的求解、直线与抛物线的综合应用，考查了转化化归思想与运算求解能力，属于中档题.。