证明圆的切线的两种类型训练
2023年中考九年级数学高频考点拔高训练-圆的切线的证明
2023年中考九年级数学高频考点拔高训练-圆的切线的证明1．如图，△ABD是△O的内接三角形，E是弦BD的中点，点C是△O外一点，且△DBC＝△A＝60°，连接OE并延长与△O相交于点F，与BC相交于点C．（1）求证：BC是△O的切线；（2）若△O的半径为6cm，求弦BD的长．2．如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上一点，∠BAC的平分线AD交⊙O于点D，过点D作DE⊥AC交AC的延长线于点E．（1）求证：DE是⊙O的切线；（2）如果∠BAC=60°，AE=4√3，求AC长．3．如图，AC与△O相切，切点为C，点B在CO的延长线上，BD△AO，垂足为D，△ABD=△BO D．（1）求证：AB为△O的切线；（2）若BC=4，AC=3，求BD的长．4．如图，AB 是△O 的直径，点E 在△O 上，连接AE 和BE ，BC 平分△ABE 交△O 于点C ，过点C 作CD△BE ，交BE 的延长线于点D ，连接CE ．（1）请判断直线CD 与△O 的位置关系，并说明理由；（2）若sin△ECD ＝35，CE ＝5，求△O 的半径． 5．如图，AB 为△O 的直径，C 、D 为△O 上不同于A 、B 的两点，△ABD ＝2△BAC ，连接CD ，过点C 作CE△DB ，垂足为E ，直径AB 与CE 的延长线相交于F 点．（1）求证：CF 是△O 的切线；（2）当BD ＝ 185 ，sinF ＝ 35时，求OF 的长． 6．如图，线段AB 经过圆心O ，交△O 于点A 、C ，点D 为△O 上一点，连结AD 、OD 、BD ，△A ＝△B ＝30°．（1）求证：BD 是△O 的切线．（2）若OA ＝5，求OA 、OD 与AD 围成的扇形的面积．7．如图，在Rt△ABC 中，△ACB ＝90°，CD 是斜边AB 上的中线，以CD 为直径的△O 分别交AC 、BC 于点M 、N ，过点N 作NE△AB ，垂足为E（1）若△O的半径为52，AC＝6，求BN的长；（2）求证：NE与△O相切.8．如图，AB是△O的弦，OP△OA交AB于点P，过点B的直线交OP的延长线于点C，且CP=CB．（1）求证：BC是△O的切线；（2）若△O的半径为√5，OP=1，求BC的长．9．如图，AB是△O的直径，点C在AB的延长线上，AD平分△CAE交△O于点D，且AE△CD，垂足为点E．（1）求证：直线CE是△O的切线．（2）若BC=3，CD=3 √2，求弦AD的长．10．如图，AB为圆的直径，C是△O上一点，过点C的直线交AB的延长线于点M.作AD△MC，垂足为D，已知AC平分△MAD .（1）求证：MC是△O的切线：（2）若AB＝BM＝4，求tan△MAC的值11．如图，AB是△O的直径，点C在△O上，BD平分∠ABC交△O于点D，过点D作DE⊥BC，垂足为E.（1）求证：DE与△O相切；（2）若AB=10，AD=6，求DE的长.12．如图，点O在△APB的平分线上，△O与PA相切于点C．（1）求证：直线PB与△O相切；（2）PO的延长线与△O交于点E．若△O的半径为3，PC=4．求弦CE的长．13．如图，已知A（﹣5，0）、B（﹣3，0），点C在y轴的正半轴上，△CBO＝45°，CD△AB，△CDA＝90°点，P从点Q（4，0）出发，沿x轴向左以每秒1个单位长度的速度运动，运动时间ts．（1）求点C的坐标；（2）当△BCP＝15°时，且△OPC中最长边是最短边的2倍，求t的值；（3）以点P为圆心，PC为半径的△P随点P的运动而变化，当△P与四边形ABCD的边（或边所在的直线）相切时，求t的值．14．已知AB为⊙O的直径，C为⊙O上一动点，连接AC，BC，在BA的延长线上取一点D，连接CD，使CD=CB．（1）如图1，若AC=AD，求证：CD是⊙O的切线；（2）如图2，延长DC交⊙O于点E，连接AE．①若⊙O的直径为√10，sinB=√10，求AD的长；10②若CD=2CE，求cosB的值．15．如图，AB、AC分别是△O的直径和弦，OD△AC于点D，过点A作△O的切线与OD的延长线交于点P，PC、AB的延长线交于点F.（1）求证：PC是△O的切线；（2）若△ABC=60°，AB=10，求线段CF的长，16．如图，在平面直角坐标系中，O为原点，平行四边形ABCD的边BC在x轴上，D点在y轴上，C点坐标为（2，0），BC=6，△BCD=60°，点E是AB上一点，AE=3EB，△P过D，O，C三点，抛物线y=ax2+bx+c过点D，B，C三点．（1）求抛物线的解析式；（2）求证：ED是△P的切线；（3）若点M为此抛物线的顶点，平面上是否存在点N，使得以点B，D，M，N为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．答案解析部分1．【答案】（1）证明：连接OB ，如图所示：∵E 是弦BD 的中点，∴BE ＝DE ，OE△BD ， BF ⌢=12BD ⌢ ， ∴△BOE ＝△A ，△OBE+△BOE ＝90°，∵△DBC ＝△A ，∴△BOE ＝△DBC ，∴△OBE+△DBC ＝90°，∴△OBC ＝90°，即BC△OB ，∴BC 是△O 的切线；（2）解：∵OB ＝6，△DBC ＝△A ＝60°，BC△OB ， ∴OC ＝12，∵△OBC 的面积＝ 12 OC•BE ＝ 12OB•BC ， ∴BE ＝ OB×BC OC =6×6√312=3√3 ， ∴BD ＝2BE ＝6 √3 ，即弦BD 的长为6 √3 ．2．【答案】（1）证明：连接 OD ，如图，∵∠BAC 的平分线 AD 交 ⊙O 于点 D ，∴∠BAD=∠DAC，∵OA=OD，∴∠OAD=∠ODA，∴∠ODA=∠DAC，∴OD//AE，∵DE⊥AE，∴DE⊥OD，OD为半径，∴DE是⊙O的切线（2）解：作OF⊥AC于F∵∠BAC=60°，∴∠DAE=30°，在RtΔADE中，DE=AE⋅tan30°=4四边形ODEF为矩形，∴OF=DE=4，在RtΔOAF中，∵∠OAF=60°∴AF=√3=4√33∴AC=2AF=8√3 33．【答案】（1）证明：作OH△AB，垂足为H∵AC与△O相切，切点为C，∴△ACO=90°∴△OAC+△AOC=90°又BD△AO∴△BDO=90°∴△BOD+△DBO=90°，△BAD+△ABD=90°又△BOD=△AOC，△ABD=△BOD∴△OAC=△BAD∴OH=OC又OC为△O半径∴AB为△O的切线（2）解：在Rt△BOH和Rt△BAC中AB=√BC2+AC2=5sin∠ABC=OHOB=ACAB=354−OB OB=35，解得OB=52，OC=32，OA=√OC2+AC2=32√5∵△AOC=△BOD，△C=△D=90°∴△AOC△△BOD∴OAOB=ACBD∴32√552=3BD，解得：BD=√5．4．【答案】（1）解：结论：CD是△O的切线．理由：连接OC．∵OC＝OB，∴△OCB＝△OBC，∵BC平分△ABD，∴△OBC＝△CBE，∴△OCB＝△CBE，∴OC//BD ，∵CD△BD ，∴CD△OC ，∵OC 是半径，∴CD 是△O 的切线；（2）解：设OA ＝OC ＝r ，设AE 交OC 于点J ．∵AB 是直径，∴△AEB ＝90°，∵OC△DC ，CD△DB ，∴△D ＝△DCJ ＝△DEJ ＝90°，∴四边形CDEJ 是矩形，∴△CJE ＝90°，CD ＝EJ ，CJ ＝DE ，∴OC△AE ，∴AJ ＝EJ ，∵sin△ECD ＝DE CE ＝35，CE ＝5， ∴DE ＝3，CD ＝4，∴AJ ＝EJ ＝CD ＝4，CJ ＝DE ＝3，在Rt△AJO 中，r 2＝（r ﹣3）2+42，∴r ＝256， ∴△O 的半径为256． 5．【答案】（1）解：连接OC ．如图1所示：∵OA＝OC，∴△1＝△2．又∵△3＝△1+△2，∴△3＝2△1．又∵△4＝2△1，∴△4＝△3，∴OC△DB．∵CE△DB，∴OC△CF．又∵OC为△O的半径，∴CF为△O的切线；（2）解：连接AD．如图2所示：∵AB是直径，∴△D＝90°，∴CF△AD，∴△BAD＝△F，∴sin△BAD＝sinF＝BDAB＝35，∴AB＝53BD＝6，∴OB＝OC＝3，∵OC△CF，∴△OCF＝90°，∴sinF＝OCOF＝35，解得：OF＝5．6．【答案】（1）证明：∵△ADO＝△BAD＝30°，∴△DOB＝60°∵△ABD＝30°，∴△ODB＝90°∴OD△BD．∵点D为△O上一点，∴BD是△O的切线．（2）解：∵△DOB＝60°，∴△AOD＝120°．∵OA＝5，∴OA、OD与AD围成的扇形的面积为120·π·52360=253π．7．【答案】（1）解：∵ △O 的半径为52，则CD=5，AB=10，BC=√AB2−AC2=√100−36=8CD为直径，得DN△BC，D为AB的中点，则BD=CD，则△BDC为等腰三角形，由三线合一知，BN=NC=12BC=4。
专题训练(七) 证明圆的切线的两种类型
在 Rt△OFB 中，OB2＝BF2＋(OB－AF)2，∴OB＝4，∴BD＝8，∴在 Rt△ABD 中，AD＝
BD2－AB2＝ 64－8＝2 14
4．如图，在△OAB中，OA＝OB，以点O为圆心的⊙O经过AB的中点C，连接OC，直线 AO与⊙O相交于点E，D，OB交⊙O于点F，P是的中点，连接CE，CF，BP. (1)求证：AB是⊙O的切线； (2)若OA＝4，则 ①当AC＝____时，四边形OECF是菱形； ②当AC＝____时，四边形OCBP是正方形．
专题训练(七) 证明圆的切线的两种 类型
类型之一 已知直线与圆的交点 1．如图，AB＝AC，AB是⊙O的直径，⊙O交BC于点D，DM⊥AC于点M. 求证：DM与⊙O相切．
证明：方法一：连接OD.∵AB＝AC，∴∠B＝∠C. ∵OB＝OD，∴∠BDO＝∠B，∴∠BDO＝∠C，∴OD∥AC. ∵DM⊥AC，∴DM⊥OD.∴DM与⊙O相切． 方法二：连接OD，AD.∵AB是⊙O的直径，∴AD⊥BC. ∵AB＝AC，∴∠BAD＝∠CAD.∵DM⊥AC，∴∠CAD＋∠ADM＝90° ∵OA＝OD，∴∠BAD＝∠ODA.∴∠ODA＋∠ADM＝90°， 即OD⊥DM，∴DM是⊙O的切线
2．如图，已知P是⊙O外一点，PO交⊙O于点C，OC＝CP＝2，弦AB垂直平分OC. (1)求BC的长； (2)求证：PB是⊙O的切线．
解：(1)连接OB.∵弦AB垂直平分OC，∴OB＝BC. 又∵OB＝OC，∴△OBC是正三角形．∴BC＝OC＝2 (2)证明：∵BC＝CP，∴∠CBP＝∠CPB. ∵△OBC是正三角形，∴∠OBC＝∠OCB＝60°. ∴∠CBP＝30°，∴∠OBP＝∠CBP＋∠OBC＝90°， 即OB⊥BP.∵点B在⊙O上，∴PB是⊙O的切线
圆切线证明不同题型精析
圆切线证明不同题型精析证明圆的切线常用的方法有（解题中注意充分利用已知及图上已知）：一、若直线l 过⊙O 上某一点A ，证明l 是⊙O 的切线，只需连OA ，证明OA ⊥l 就行了，简称“连半径，证垂直”，难点在于如何证明两线垂直. 有以下几种类型：1、通过证明三角形全等证明垂直的；例1 如图，在△ABC 中，AB=AC ，以AB 为直径的⊙O 交BC 于D ，交AC 于E ，B 为切点的切线交OD 延长线于F.求证：直线EF 为⊙O 的切线2、通过证明两角互余，即利用等量代换证明垂直； 例2、（2011•北京）如图，在△ABC ，AB=AC ，以AB 为直径的⊙O 分别交AC 、BC 于点D 、E ，点F 在AC 的延长线上，且∠CBF=∠CAB ．（1）求证：直线BF 是⊙O 的切线；（2）若AB=5，sin ∠CBF=，求BC 和BF 的长．例3 .(2009年本溪)22．如图所示，AB 是O ⊙直径，OD ⊥弦BC 于点F ，且交O ⊙于点E ，若AEC ODB ∠=∠． （1）判断直线BD 和O ⊙的位置关系，并给出证明； （2）当108AB BC ==，时，求BD 的长3.通过证平行来证明垂直例5 如图，AB=AC，AB是⊙O的直径，⊙O交BC于D，DM⊥AC于M求证：DM与⊙O相切.4、通过证三角形相似证明垂直例6 如图，AB是⊙O的直径，CD⊥AB，且OA2=OD·OP.点C是圆上一点。
求证：直线PC是⊙O切线。
二、若直线l与⊙O没有已知的公共点，又要证明l是⊙O的切线，只需作OA⊥l，A为垂足，证明OA是⊙O的半径就行了，简称：“作垂直；证半径”1、通过证明三角形全等证明DF=DE例7 如图，AB=AC，D为BC中点，⊙D与AB切于E点.求证：AC与⊙D相切例 8 如图，点O 在∠APB 的平分线上，⊙O 与PA 相切于点C ． (1) 求证：直线PB 与⊙O 相切；(2) PO 的延长线与⊙O 交于点E ．若⊙O 的半径为3，PC=4．求弦CE 的长．三、综合训练1．(本题8分)如图，等腰三角形ABC 中，AC ＝BC ＝10，AB ＝12。
专项20 切线的证明方法归类(2大类型+5种方法)(原卷版)
专项20 切线的证明方法归类（2大类型+5种方法）（1）连半径、证垂直：当直线和圆有一个公共点时，把圆心和这个公共点连接起来，然后证明直线垂直于这条半径，简称“连半径，证垂直”（2）作垂直，证半径：当直线和圆的公共点没有明确时，可以过圆心作直线的垂线，再证圆心到直线的距离等于半径，简称“作垂直，证半径”【考点1 有公共点：连半径，证垂直】【典例1】如图，AD是⊙O的弦，AB经过圆心O交⊙O于点C，∠A＝∠B＝30°，连接BD．求证：BD是⊙O的切线．【变式1-1】如图，AD是⊙O的弦，AB经过圆心O，交⊙O于点C，连接BD，∠DAB＝∠B＝30°，求证：直线BD是⊙O的切线．【变式1-2】如图，A、B、C分别是⊙O上的点，∠B＝60°，CD是⊙O的直径，CD＝2，E是CD延长线上的一点，且AE＝AC．（1）求证：AE是⊙O的切线；（2）求ED的长．【典例2如图，AB是⊙O的直径，C为半圆O上一点，直线l经过点C，过点A作AD⊥l 于点D，连接AC，当AC平分∠DAB时，求证：直线l是⊙O的切线．【变式2-1】如图，已知Rt△ABC中，∠C＝90°，D为BC的中点，以AC为直径的⊙O 交AB于点E．（1）求证：DE是⊙O的切线；（2）若AE：EB＝1：2，BC＝6，求⊙O的半径．【变式2-2】已知：如图，AB是⊙O的直径，AB⊥AC，BC交⊙O于点D，点E是AC的中点，ED与AB的延长线交于点F．（1）求证：DE是⊙O的切线；（2）若∠F＝30°，BF＝2，求△ABC外接圆的半径．【典例3】已知：如图，△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O交BC于点P，PD⊥AC 于点D．求证：PD是⊙O的切线；【变式3-1】（2022•大兴区二模）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD是∠BAC的平分线，O是AB上一点，以OA为半径的⊙O经过点D．求证：BC是⊙O切线；【变式3-2】如图，AB是⊙O的直径，⊙O交BC的中点于D，DE⊥AC．求证：DE是⊙O的切线．【变式3-3】（2022•百色一模）如图，在△ABC中，BA＝BC，以AB为直径作⊙O，交AC 于点D，连结DB，过点D作DE⊥BC，垂足为点E．求证：DE是⊙O的切线；【典例4】已知，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，以AB为直径的⊙O与BC相交于点E，在AC上取一点D，使得DE＝AD，求证：DE是⊙O的切线．【变式4-1】如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以BC为直径的⊙O交斜边AB于点D，若E是AC的中点，连接DE．求证：DE为⊙O的切线．【考点2 无公共点：做垂直，证半径】【典例5】如图，在Rt△ABC中，∠BAC的角平分线交BC于点D，E为AB上一点，DE ＝DC，以D为圆心，DB的长为半径作⊙D，AB＝5，BE＝3．求证：AC是⊙D的切线；【变式5-1】（2018•天河区校级一模）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，BD是角平分线，以点D为圆心，DA为半径的⊙D与AC相交于点E求证：BC是⊙D的切线；【典例6】如图，在△ABC中，O为AC上一点，以点O为圆心，OC为半径作圆，与BC 相切于点C，过点A作AD⊥BO交BO的延长线于点D，且∠AOD＝∠BAD．求证：AB为⊙O的切线；【变式6】如图，AB是⊙O的直径，点C，D在圆上，且四边形AOCD是平行四边形，过点D作⊙O的切线，分别交OA的延长线与OC的延长线于点E，F，连接BF．求证：BF是⊙O的切线；1．（2021秋•西城区校级期中）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BD是角平分线，点O 在AB上，以点O为圆心，OB为半径的圆经过点D，交BC于点E．求证：AC是⊙O的切线；2．（2021秋•温岭市期末）如图，D为⊙O上一点，点C在直径BA的延长线上，且∠CDA ＝∠CBD．求证：CD是⊙O的切线；3．如图，⊙O的半径为1，A是⊙O的直径BD延长线上的一点，C为⊙O上的一点，AD ＝CD，∠A＝30°．求证：直线AC是⊙O的切线；4．如图，已知，四边形ABCD中，E是对角线AC上一点，DE＝EC，以AE为直径的⊙O 与边CD相切于点D，点B在⊙O上，连接OB．（1）求证：DE＝OE；（2）若CD∥AB，求证：BC是⊙O的切线．5.如图，在△ABC中，AB＝AC．以AB为直径的⊙O与线段BC交于点D，过点D作DE ⊥AC，垂足为E，ED的延长线与AB的延长线交于点P．求证：直线PE是⊙O的切线；6．如图，△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O与AC，BC分别交于点D和点E，过点E作EF⊥AC，垂足为F．（1）求证：EF是⊙O的切线；（2）若CD＝4，EF＝3，求⊙O半径．7.如图，已知AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，OD⊥BC于点D，过点C作⊙O的切线，交OD的延长线于点E，连接BE．求证：BE与⊙O相切．8．如图，AC是⊙O直径，D是的中点，连接CD交AB于点E，点F在AB延长线上且FC＝FE．求证：CF是⊙O的切线；。
2022年中考数学大题圆证明切线的两种常用方法及专项练习题汇总
2022中考数学圆综合大题证明切线的两种常用方法类型1直线与圆有交点方法归纳：直线过圆上某一点，证明直线是圆的切线时，只需“连半径，证垂直，得切线”．“证垂直”时通常利用圆中的关系得到90°的角，如直径所对的圆周角等于90°等．【例1】如图，AB＝AC，AB是⊙O的直径，⊙O交BC于D，DM⊥AC于M.求证：DM与⊙O相切．1．(朝阳中考)如图，AB是⊙O的弦，OA⊥OD，AB，OD交于点C，且CD＝BD.(1)判断BD与⊙O的位置关系，并证明你的结论；(2)当OA＝3，OC＝1时，求线段BD的长．2．(德州中考)如图，已知⊙O的半径为1，DE是⊙O的直径，过D作⊙O的切线，C是AD的中点，AE交⊙O于B点，四边形BCOE是平行四边形．(1)求AD的长；(2)BC是⊙O的切线吗？若是，给出证明，若不是，说明理由．3．(毕节中考)如图，以△ABC的BC边上一点O为圆心的圆，经过A，B两点，且与BC边交于点E，D为BE的下半圆弧的中点，连接AD交BC于F，AC＝FC.(1)求证：AC是⊙O的切线；(2)已知圆的半径R＝5，EF＝3，求DF的长．类型2不确定直线与圆是否有公共点方法归纳：直线与圆没有已知的公共点时，通常“作垂直，证半径，得切线”．证明垂线段的长等于半径常用的方法是利用三角形全等或者利用角平分线上的点到角的两边的距离相等．【例2】如图，AB＝AC，D为BC中点，⊙D与AB切于E点．求证：AC与⊙D相切．4．如图，O为正方形ABCD对角线AC上一点，以O为圆心，OA长为半径的⊙O与BC 相切于点M，与AB，AD分别相交于点E，F.求证：CD与⊙O相切．5．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，∠BAC的平分线交BC于点D，E为AB上的一点，DE＝DC，以D为圆心，DB长为半径作⊙D，AB＝5，EB＝3.(1)求证：AC是⊙D的切线；(2)求线段AC的长．参考答案【例1】 证明：法一：连接OD.∵AB ＝AC ，∴∠B ＝∠C.∵OB ＝OD ，∴∠BDO ＝∠B.∴∠BDO ＝∠C.∴OD ∥AC.∵DM ⊥AC ，∴DM ⊥OD.∴DM 与⊙O 相切．法二：连接OD ，AD. ∵AB 是⊙O 的直径，∴AD ⊥BC.∵AB ＝AC ，∴∠BAD ＝∠CAD.∵DM ⊥AC ，∴∠CAD ＋∠ADM ＝90°.∵OA ＝OD ，∴∠BAD ＝∠ODA.∴∠ODA ＋∠ADM ＝90°.即OD ⊥DM ，∴DM 是⊙O 的切线．1.(1)连接OB ，∵OA ＝OB ，∴∠OAC ＝∠OBC.∵OA ⊥OD ，∴∠AOC ＝90°.∴∠OAC ＋∠OCA ＝90°.∵DC ＝DB ，∴∠DCB ＝∠DBC.∵∠DCB ＝∠ACO ，∴∠ACO ＝∠DBC.∴∠DBC ＋∠OBC ＝90°.∴∠OBD ＝90°.∵点B 是半径OB 的外端，∴BD 与⊙O 相切．(2)设BD ＝x ，则CD ＝x ，OD ＝x ＋1，OB ＝OA ＝3，由勾股定理得：32＋x 2＝(x ＋1)2.解得x ＝4.∴BD ＝4.2.(1)连接BD ，则∠DBE ＝90°.∵四边形BCOE 是平行四边形，∴BC ∥OE ，BC ＝OE ＝1.在Rt △ABD 中，C 为AD 的中点，∴BC ＝12AD ＝1.∴AD ＝2.(2)BC 是⊙O 的切线，理由如下：连接OB ，由(1)得BC ∥OD ，且BC ＝OD.∴四边形BCDO 是平行四边形．又∵AD 是⊙O 的切线，∴OD ⊥AD.∴四边形BCDO 是矩形．∴OB ⊥BC ，∴BC 是⊙O 的切线．3.(1)连接OA ，OD ，∵D 为BE 的下半圆弧的中点，∴∠FOD＝90°.∵AC＝FC，∴∠CAF＝∠AFC.∵∠AFC＝∠OFD，∴∠CAF＝∠OFD.∵OA＝OD，∴∠ODF＝∠OAF.∵∠FOD＝90°.∴∠OFD＋∠ODF＝90°.∴∠OAF＋∠CAF＝90°，即∠OAC＝90°.∴AC与⊙O相切．(2)∵半径R＝5，EF＝3，∴OF＝OE－EF＝5－3＝2.在Rt△ODF中，DF＝52＋22＝29.【例2】法一：连接DE，作DF⊥AC，垂足为F.∵AB是⊙D的切线，∴DE⊥AB.∵DF⊥AC，∴∠DEB＝∠DFC＝90°.∵AB＝AC，∴∠B＝∠C.∵BD＝CD，∴△BDE≌△CDF.∴DF＝DE.∴F在⊙D上．∴AC是⊙D的切线．法二：连接DE，AD，作DF⊥AC，F是垂足．∵AB与⊙D相切，∴DE⊥AB.∵AB＝AC，BD＝CD，∴∠DAB＝∠DAC.∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE＝DF.∴F在⊙D上，∴AC与⊙D相切．4.证明：连接OM，过点O作ON⊥CD，垂足为N，∵⊙O与BC相切于M，∴OM⊥BC.∵正方形ABCD中，AC平分∠BCD，又∵ON⊥CD，OM⊥BC，∴OM＝ON.∴N在⊙O上．∴CD与⊙O相切．5.(1)证明：过点D作DF⊥AC于F.∵∠ABC＝90°，∴AB⊥BC.∵AD平分∠BAC，DF⊥AC，∴BD＝DF.∴点F在⊙D上．∴AC是⊙D的切线．(2)在Rt△BDE和Rt△FDC中，∵BD＝DF，DE＝DC，∴Rt△BDE≌Rt△FDC(HL)，∴EB＝FC.∵AB＝AF，∴AB＋EB＝AF＋FC，即AB＋EB＝AC，∴AC＝5＋3＝8.2022年中考数学复习专题---圆中阴影面积计算班级：___________姓名：___________学号：___________1．如图，直线y kx b=+经过点M(1，√3)和点N(1−，3√3)，A、B是此直线与坐标轴的交点．以AB为直径作⊙C，求此圆与y轴围成的阴影部分面积．2．如图，AAAA是⊙OO的直径，CC,DD是圆上两点，且有BD�=CCDD�，连结AADD,AACC，作DDDD⊥AACC的延长线于点DD．(1)求证：DDDD是⊙OO的切线；(2)若AADD=2√3,∠AADDDD=60∘，求阴影部分的面积．（结果保留ππ）3．如图，AAAA是圆OO的直径，AACC⊥AAAA，DD为圆OO上的一点，AACC=DDCC，延长CCDD交AAAA的延长线于点DD.(1)求证：CCDD为圆OO的切线.(2)若OOFF⊥AADD，OOFF=1，30∠=o，求圆中阴影部分的面积.(结果保留ππ)OAF4．如图，⊙OO是等边ΔAAAACC的外接圆，连接AAOO并延长至点PP，且AAAA=AAPP．（1）求证：PPAA是⊙OO的切线；（2）若AAAA=2√3，求图中阴影部分的面积．（结果保留ππ和根号）5．如图，OO为等边△AAAACC的外接圆，DD为直径CCDD延长线上的一点，连接AADD，AADD=AACC．（1）求证：AADD是⊙O的切线；（2）若CCDD=6，求阴影部分的面积．6．如图，AC为圆O的直径，弦AD的延长线与过点C的切线交于点B，E为BC中点，AC= 4√3，BC=4.（1）求证：DE为圆O的切线；（2）求阴影部分面积.7．已知AB是⊙O的直径，点C是圆O上一点，点P为⊙O外一点，且OP∥BC，∠P＝∠BAC．（1）求证：P A为⊙O的切线；（2）如果OP＝AB＝6，求图中阴影部分面积．8．如图，AAAA为⊙OO的直径，弦CCDD⊥AAAA，垂足为DD，CCDD=4√5，连接OOCC,OODD=2DDAA,FF为圆上一点，过点FF作圆的切线交AAAA的延长线于点GG，连接AAFF,AAFF=AAGG．（1）求⊙OO的半径；（2）求证：AAFF=FFGG；（3）求阴影部分的面积．9．如图，△ABC中，∠C=90º，∠ABC=2∠A，点O在AC上，OA=OB,以O为圆心，OC为半径作圆．（1）求证：AB是⊙O的切线；（2）若BC=3，求图中阴影部分的面积．10．如图，在△ABC中，∠CC=60∘，⊙OO是△ABC的外接圆，点P在直径BD的延长线上，且AB=AP．(1)求证：PA是⊙OO的切线；(2)若AB=2√3，求图中阴影部分的面积.(结果保留ππ和根号)11．如图，AB为圆O的直径，射线AD交圆O于点F，点C为劣弧BF的中点，过点C作CE⊥AD，垂足为E，连接AC(1)求证：CE是圆O的切线(2)若∠BAC＝30°，AB＝4，求阴影部分的面积12．如图,CD是⊙O的直径,AB是⊙O的弦,AB⊥CD于G,OG:OC=3:5,AB=8.(1)求⊙O的半径；(2)点E为圆上一点,∠ECD=15º,将弧CE沿弦CE翻折,交CD于点F,求图中阴影部分的面积.13．如图，已知⊙O是△ABC的外接圆，AC是直径，∠A＝30°，BC＝4，点D是AB的中点，连接DO并延长交⊙O于点P．（1）求劣弧PC的长（结果保留π）；（2）过点P作PF⊥AC于点F，求阴影部分的面积（结果保留π）.14．如图，四边形ABCD内接于圆O，对角线AC是圆O的直径，DB平分∠ADC，AC长10cm．（1）求点O到AB的距离；（2）求阴影部分的面积．15．如图，在矩形ABCD中，AB=8cm，BC=4cm，以点A为圆心，AD为半径作圆与BA 的延长线交于点E，连接CE，求阴影部分的面积．16．如图，∠APB的平分线过点O，以O点为圆心的圆与PA相切于点C，DE为⊙O的直径．（1）求证：PB是⊙O的切线；（2）若∠CPO＝50°，∠E＝25°，求∠POD；（3）若⊙O的半径为2，CE＝2√3，求阴影部分的面积．17．如图，点P在圆O外，PA与圆O相切于A点，OP与圆周相交于C点，点B与点A 关于直线PO对称，已知OA=4，∠POA=60°求：（1）弦AB的长；（2）阴影部分的面积（结果保留π）．18．如图，⊙O是Rt△ABC的外接圆，直径AB＝4，直线EF经过点C，AD⊥EF于点D，∠ACD＝∠B．（1）求证：EF是⊙O的切线；（2）若AD＝1，求BC的长；（3）在（2）的条件下，求图中阴影部分的面积．。
九年级下第24章圆专题三证明切线的两种方法选用作业新版沪科版
(三)利用角度的转换证垂直 6．如图，在⊙O 中，AB 为⊙O 的直径，C 为⊙O 上一点，P 是 BC 的中点，过点 P 作 AC 的垂线，交 AC 的延长线于点 D，连接 OP.求证：DP 是⊙O 的切线．
证明：∵P 是 BC 的中点，∴ PC ＝ PB ，∴∠PAD＝∠PAB.∵OA＝OP，∴∠APO ＝∠PAO，∴∠DAP＝∠APO，∴AD∥OP.∵PD⊥AD，∴PD⊥OP，∴DP 是⊙O 的切 线
证明：过点 O 作 OD⊥AQ 于 D.∵AO 平分∠PAQ，∴∠BAO＝∠DAO.又∵OB⊥AP， OD⊥AQ ， ∴∠OBA ＝ ∠ODA ＝ 90°. 在 △OAB 与 △OAD 中 ， ∠BAO＝∠DAO， ∠OBA＝∠ODA， ∴△OAB≌△OAD(AAS)， OA ＝OA ，
∴OB＝OD，∴点 D 在⊙O 上．又∵OD⊥AQ， ∴AQ 与⊙O 相切于点 D
，解得 x＝3，
即⊙O 的半径为 3
方法 2 有交点时连半径，证垂直
方法归纳：如果题目中明确告诉“切点”在圆上，那么就连接圆心和“切点”，去证明 圆心和“切点”的连线与所证明的直线是垂直的即可．这当中要证明垂直，也就是证 明角是90°，在题目已知角度的情况下可以直接求出度数，如果没告诉具体角的度 数，则需要利用其他知识将角进行等量代换，间接求出角是90°.
专题(三) 证明切线的两种方法(选用)
方法 1 不确定有无交点时作垂直，证半径
方法归纳：如果题目中并没有告诉直线与圆有一个交点，也没有标出这个点的字母 ，一定要注意，正确的方法是过圆心作所证直线的垂线，得到垂直90°，然后去证 明作出的垂线段长度等于圆的半径才行．
1.如图，O 为∠PAQ 的角平分线上的一点，OB⊥AP 于点 B，以 O 为圆心，OB 为 半径作⊙O，求证：AQ 与⊙O 相切．
证明圆的切线经典例题
证明圆的切线方法及例题证明圆的切线常用的方法有:、若直线l过O O上某一点A，证明I是O O的切线，只需连0A，证明OA丄l就行了，简称“连半径，证垂直”，难点在于如何证明两线垂直例1 如图，在△ ABC中，AB=AC，以AB为直径的O O交BC于D，交AC于E, B为切点的切线交0D延长线于F.求证：EF与O 0相切.证明：连结OE, AD.•/ AB是O 0的直径，••• AD 丄BC.n 又••• AB=BC ,•••/ 3= / 4.——• BD=DE，/ 1 = / 2.又••• OB=OE , OF=OF ,•••△ BOF ◎△ EOF ( SAS) •••/OBF= / OEF.••• BF与O O相切，• OB 丄BF.•••/ OEF=9O°.• EF与O O相切.说明：此题是通过证明三角形全等证明垂直的例2 如图，AD 是/ BAC 的平分线，P 为BC 延长线上一点，且 PA=PD.求证：PA 与O O 相切.作直径AE ，连结EC. •/ AD 是/ BAC 的平分线， •••/ DAB= / DAC. •/ PA=PD , •••/ 2= / 1+ / DAC.•••/ 2= / B+ / DAB , •••/ 1 = / B.又•••/ B= / E , •••/ 1 = / E•/ AE 是O O 的直径，• AC 丄 EC , / E+ / EAC=90 .•••/ 1 + / EAC=90°.即OA 丄PA. • PA 与O O 相切.延长AD 交O O 于E ,连结OA , OE.•/ AD 是/ BAC 的平分线, • BE=C ® ,• OE 丄 BC. •••/ E+/ BDE=90 0. •/ OA=OE , •••/ E=/ 1. •/ PA=PD , • / PAD= / PDA. 又•••/ PDA= / BDE, •••/ 1 + / PAD=90 0证明一:证明二:即OA丄PA.• PA与O O相切说明：此题是通过证明两角互余，证明垂直的，解题中要注意知识的综合运用例3 如图，AB=AC , AB是O O的直径，O O交BC于D, DM丄AC于M求证：DM与O O相切.证明一：连结OD.•/ AB=AC ,•••/ B= / C.•/ OB=OD ,•••/ 仁/ B.•••/ 仁/C.• OD // AC.•/ DM 丄AC ,• DM 丄OD.• DM与O O相切证明二：连结OD , AD.•/ AB是O O的直径,• AD 丄BC.又••• AB=AC,• / 1= / 2.•/ DM 丄AC ,•/ 2+Z 4=90°•/ OA=OD ,•/ 仁/3., , 0•/ 3+Z 4=90 .即OD丄DM.• DM是O O的切线.证明二是通过证两角互余证明垂直的，解题中注意充分说明：证明一是通过证平行来证明垂直的利用已知及图上已知例4 如图，已知：AB 是O O 的直径，点 C 在O O 上，且/ CAB=30°, BD=OB , D 在AB 的延长 线上•••• OB=BC.•/ OB=BD , • OB=BC=BD. • OC 丄 CD. • DC 是O O 的切线.此题是根据圆周角定理的推论3证明垂直的，此题解法颇多，但这种方法较好例5 如图，AB 是O O 的直径，CD 丄AB ，且OA 2=OD • OP.2•/ OA =OD • OP , OA=OC ,2• OC 2=OD • OP ,•/ CD 丄 AB ,• / OCP=90 . • PC 是O O 的切线.求证: DC 是O O 的切线 证明: 连结OC 、BC.•/ OA=OC ,又••• OC=OB ,说明:求证: PC 是O O 的切线. 证明: 连结OCOC OP OD OC说明: 此题是通过证三角形相似证明垂直的 PD例6 如图，ABCD是正方形，G是BC延长线上一点，AG交BD于E,交CD于F.求证：CE与厶CFG的外接圆相切.分析：此题图上没有画出△ CFG的外接圆，但△ CFG是直角三角形，圆心在斜边FG的中点，为此我们取FG的中点0,连结0C,证明CE丄OC即可得解.证明：取FG中点0,连结0C.T ABCD是正方形，••• BC 丄CD , △ CFG 是Rt△•/ 0是FG的中点，• 0是Rt A CFG的外心.•/ 0C=0G ,•••/ 3= / G,•/ AD // BC,•/ G= / 4.•/ AD=CD , DE=DE ,o/ ADE= / CDE=45 ,•△ ADE ◎△ CDE (SAS)•••/ 4= / 1,Z 1 = / 3.•••/ 2+ / 3=90°,•••/ 1 + / 2=90°.即CE丄0C.• CE与厶CFG的外接圆相切、若直线l与O O没有已知的公共点，又要证明I是O O的切线，只需作OA丄I, A为垂足，证明OA是O O的半径就行了，简称："作垂直；证半径”例7 如图，AB=AC , D为BC中点，O D与AB切于E点.求证：AC与O D相切.证明一：连结DE,作DF丄AC , F是垂足.••• AB是O D的切线，••• DE 丄AB.•/ DF 丄AC ,•••/ DEB= / DFC=90°.•/ AB=AC ,•••/ B= / C.又••• BD=CD ,•••△ BDE ◎△ CDF (AAS )• DF=DE.• F在O D上.• AC是O D的切线证明二：连结DE , AD，作DF丄AC , F是垂足.••• AB与O D相切，• DE 丄AB.•/ AB=AC , BD=CD ,•••/ 仁/2.•/ DE 丄AB , DF 丄AC ,• DE=DF.• F在O D上.• AC与O D相切.的，证明二是利用角平分线的性质证明DF=DE 说明：证明一是通过证明三角形全等证明DF=DE的，这类习题多数与角平分线有关•例8 已知：如图，AC, BD与O O切于A、B,且AC // BD，若/ COD=90°.求证：CD是O O的切线.证明一：连结OA , OB，作OE丄CD , E为垂足.••• AC , BD 与O O 相切，••• AC 丄OA , BD 丄OB.•/ AC // BD ,, , , , 0•••/ 1 + / 2+ / 3+ / 4=180 .•••/ COD=90°,•/ 2+ / 3=90°,/ 1 + / 4=90°. •••/ 4+ / 5=900.•/ 1 = / 5.• Rt△ AOC s Rt△ BDO.•AC OC"OB - OD .•/ OA=OB ,•A C OC"OA - OD.又•••/ CAO= / COD=900,• △ AOC ODC ,•/ 1 = / 2.又••• OA 丄AC , OE 丄CD,• OE=OA.• E点在O O上.• CD是O O的切线.证明二：连结OA , OB，作OE丄CD于E,••• AC , BD 与O O 相切，• AC 丄OA , BD 丄OB.•/ AC // BD ,•/ F=/ BDO.又••• OA=OB ,•△ AOF ◎△ BOD (AAS )• OF=OD.•••/ COD=90 0,• CF=CD，/ 1= / 2.又••• OA 丄AC , OE 丄CD ,••• OE=OA.••• E点在O O上.• CD是O O的切线.证明连结AO并延长，作OE丄CD于E,取CD中点F，连结OF.三：••• AC与O O相切，• AC 丄AO.•/ AC // BD ,• AO 丄BD.••• BD与O O相切于B,• AO的延长线必经过点 B.• AB是O O的直径.•/ AC // BD，OA=OB，CF=DF ,• OF // AC ,•/ 仁/COF.•••/ COD=9O°, CF=DF ,1•OF CD 二CF .2•/ 2=Z COF.•/ 仁/2.•/ OA 丄AC , OE 丄CD,• OE=OA.• E点在O O上.• CD是O O的切线说明：证明一是利用相似三角形证明/ 1 = / 2，证明二是利用等腰三角形三线合一证明/ 1 = 7 2•证明三是利用梯形的性质证明/ 1 = 7 2，这种方法必需先证明A、O、B三点共线.11。
中考复习证明圆的切线的两种方法
中考复习证明圆的切线的两种方法
方法一：直角三角形方法证明圆的切线
设圆的圆心为O，半径为r，切点为A，切线为AB。
首先，连接OA和OB。
由于OA是半径，所以OA⊥AB。
由于AB是切线，所以AB⊥OB。
综上可得：OA⊥AB⊥OB，即OA⊥OB，所以O、A、B三点共线。
由于直角三角形AOB中，AO⊥OB，所以AOB为直角三角形。
根据直角三角形的性质，AOB为直角三角形可推出∠OAB=90°。
所以，∠OAB=90°，即OA⊥AB，证明了AB是圆的切线。
方法二：几何方法证明圆的切线
设圆的圆心为O，半径为r，切点为A，切线为AB。
首先，连接OA和OB。
由于OA是半径，所以OA=OB=r。
根据圆的性质，点A到圆心O的距离为r，即AO=r。
因为AB是切线，所以∠OAB=90°。
又知，O、A、B三点共线，所以∠OBA=∠OAB=90°。
所以，三角形OAB是直角三角形。
由于OAB为直角三角形，可以利用勾股定理得到：AB²=OA²+OB²。
代入已知条件，可得AB²=r²+r²=2r²。
化简得到AB²=2r²，取平方根可得AB=√2r。
所以，AB=√2r，证明了AB是圆的切线。
综上所述，根据直角三角形方法和几何方法可以证明圆的切线。
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证明圆的切线的两种类型
类型1已知直线与圆的交点【方法】“连半径，证垂直，得切线”.“证垂直”
如图，AB=AC，AB是⊙O的直径，⊙O交BC于D，DM⊥AC于M.
求证：DM与⊙O相切.
练习1(湖州中考改编)如图，已知P是⊙O外一点，PO交⊙O于点C，OC=CP=2，弦AB 垂直平分OC.
(1)求BC的长；
(2)求证：PB是⊙O的切线.
练习2(德州中考)如图，已知⊙O的半径为1，DE是⊙O的直径，过D作⊙O的切线，C 是AD的中点，AE交⊙O于B点，四边形BCOE是平行四边形.
(1)求AD的长；
(2)BC是⊙O的切线吗？若是，给出证明，若不是，说明理由.
3(临沂中考)如图，已知等腰三角形ABC的底角为30°，以BC为直径的⊙O与底边AB 交于点D，过D作DE⊥AC，垂足为E.
(1)证明：DE为⊙O的切线；
(2)连接OE，若BC=4，求△OEC的面积.
类型2未知直线与圆的交点【方法】作垂直，证半径，得切线
如图，AB=AC，D为BC中点，⊙D与AB切于E点.求证：AC与⊙D相切.
练习4如图，O为正方形ABCD对角线AC上一点，以O为圆心，OA长为半径的⊙O与BC相切于点M，与AB、AD分别相交于点E、F.
求证：CD与⊙O相切.
练习5如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，∠BAC的平分线交BC于点D，E为AB上的一点，DE=DC，以D为圆心，DB长为半径作⊙D，AB=5，EB=3.
（1）求证：AC是⊙D的切线;
（2）求线段AC的长.
23、（本题满分7分）（2014-2015学年（上）厦门市数学九年级质量检测）
如图8，已知AB 是⊙O 的直径，点D 在⊙O 上，C 是⊙O 外一点。
若AD ∥OC ，直线BC 与⊙O 相交，判断直线CD 与⊙O 的位置关系，并说明理由。
23．（本题满分7分）（2015—2016学年(上)厦门市九年级质量检测）
如图7，在□ABCD 中，∠ABC ＝70°，半径为r 的⊙O 经过点A ，B ，D ，︵AD 的长是πr 2
，延长CB 至点P ，使得PB ＝AB ．判断直线PA 与⊙O 的位置关系，并说明理由．
图7B O
B
A
C
图8D
圆的有关计算
类型1动态几何中弧长或扇形的面积问题
练习1已知一个半圆形工件，未搬动前如图所示，直径平行于地面放置，搬动时为了保护圆弧部分不受损伤，先将半圆作如图所示的无滑动翻转，使它的直径紧贴地面，再将它沿地面平移50m ，半圆的直径为4m ，则圆心O 所经过的路线长是______m.(结果用π表示)
练习2如图所示，Rt △ABC 的边BC 位于直线l 上，AC=3,∠ACB=90°,∠A=30°,若Rt △ABC 由现在的位置向右无滑动地翻转，当点A 第3次落在直线l 上时，点A 所经过的路线长为______.(结果用含π的式子表示)
练习3(恩施中考)如图，在直角坐标系中放置一个边长为1的正方形ABCD ，将正方形ABCD 沿x 轴的正方向无滑动的在x 轴上滚动，当点A 离开原点后第一次落在x 轴上时，点A 运动的路径线与x 轴围成图形的面积为()
A.2π+21
B.2π+1
C.π+1
D.π+2
1
练习4如图所示，扇形OAB 的圆心角为60°，半径为1，将它向右滚动到扇形O ′A ′B ′的位置，点O 到O ′所经过的路线长为()
A.π
B.34π
C.35π
D.2π
练习5(日照中考)如图，正六边形ABCDEF 是边长为2cm 的螺母，点P 是FA 延长线上的点，在A 、P 之间拉一条长为12cm 的无伸缩性细线，一端固定在点A ，握住另一端点P 拉直细线，把它全部紧紧缠绕在螺母上(缠绕时螺母不动)，则点P 运动的路径长为()
A.13πcm
B.14πcm
C.15πcm
D.16πcm
练习6如图，边长为2的正六边形ABCDEF 在直线l 上按顺时针方向作无滑动的翻滚.
(1)当正六边形绕点F 顺时针旋转60度时，A 落在点A 1位置；
(2)当点A 翻滚到点A 2的位置时，求点A 所经过的路径长.
类型2圆中不规则图形的面积问题
(盐城中考)如图，在△ABC 中，∠BAC ＝90°，
AB ＝5cm ，AC ＝2cm ，将△ABC 绕顶点C 按顺时针方向旋转45°至△A 1B 1C 的位置，求线
段AB 扫过区域(图中阴影部分)的面积.
7.(泰安中考)如图7，半径为2cm ，圆心角为90°的扇形OAB
中，分别以OA 、OB 为直径作半圆，则图中阴影部分的面积为()A.(2π-1)cm 2 B.(2π+1)cm 2 C.1cm 2 D.2
πcm 2
8(重庆中考)如图8，菱形ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O ，AC=8，BD=6，以AB 为直
径作一个半圆，则图中阴影部分的面积为(
)A.25π-6
B.225π-6
C.625π-6
D.8258-69(乐山中考)如图，正方形ABCD 的边长为3，以A 为圆心，2为半径作圆弧，以D 为圆心，3为半径作圆弧.若图中阴影部分的面积分别为S 1、S 2，则S 1-S 2=______
10(河南中考)如图，在菱形ABCD 中，AB=1，∠DAB=60°.把菱形ABCD 绕点A 顺时针旋转30°得到菱形AB ′C ′D ′，其中点C 的运动路径为CC ′，则图中阴影部分的面积为______11(襄阳中考)如图，在正方形ABCD 中，AD=2，E 是AB 的中点，将△BEC 绕点B 逆时针旋转90°后，点E 落在CB 的延长线上点F 处，点C 落在点A 处.再将线段AF 绕点F 顺时针旋转90°得线段FG ，连接EF ，CG.
(1)求证：EF ∥CG ；
(2)求点C ，点A 在旋转过程中形成的弧AC,弧AG 与线段CG 所围成的阴影部分的
面积.。