2001-2010考研数学一真题完整版
2001考研数一真题及答案解析
h sin h h2
0 .因而,若
f
' (0)
(C)成立.反之若(C)成立
lim
t0
f (t) t
(即
f
' (0)
).因为只要
f (t)
有界,任有(C)成立,如
f (x) | x | 满足(C),但
f
' (0) 不 .
t
因此,只能选(B).
(4)【分析】 由 | E A | 4 4 3 0 ,知矩阵 A 的特征值是 4,0,0,0.又因 A 是实对称矩阵, A
(2) lim (x) 1 .
x0
2
八、(本题满分 8 分)
设有一高度为 h(t) ( t 为时间)的雪堆在融化过程,其侧面满足方程 z h(t) 2(x 2 y 2 ) (设 h(t)
长度单位为厘米,时间单位为小时),已知体积减少的速率与侧面积成正比(比例系数为 0.9),问高度为 130(厘米)的雪堆全部融化需多少小时?
(2)设 r x 2 y 2 z 2 ,则 div(gradr) (1,2,2) =_____________.
0
1 y
(3)交换二次积分的积分次序: dy f (x, y)dx ＝_____________.
1
2
(4)设矩阵 A 满足 A2 A 4E 0 ,其中 E 为单位矩阵,则 ( A E)1 =_____________.
f
(1 cos h) 1 cosh
1
cos h2
h
t
1
cos
h
1 lim 2 t0
f (t) t
,
由此可知
lim
h0
1 h2
2001考研数一真题及解析
yOx 2001年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上.)(1)设12(sin cos)xy e C x C x=+(12,C C为任意常数）为某二阶常系数线性齐次微分方程的通解,则该方程为_____________.(2)设222zyxr++=,则div(grad r))2,2,1(-=_____________.(3)交换二次积分的积分次序:⎰⎰--112),(ydxyxfdy＝_____________.(4)设矩阵A满足240A A E+-=,其中E为单位矩阵,则1()A E--=_____________.(5)设随机变量X的方差是2,则根据切比雪夫不等式有估计≤≥-}2)({XEXP_____________.二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.)(1)设函数)(xf在定义域内可导,)(xfy=的图形如右图所示,则)(xfy'=的图形为(2)设),(yxf在点(0,0)附近有定义,且1)0,0(,3)0,0(='='yxff,则(A)(0,0)|3zd dx dy=+.(B)曲面),(yxfz=在(0,0,(0,0))f处的法向量为{3,1,1}.(C ) 曲线⎩⎨⎧==0),(y y x f z 在(0,0,(0,0))f 处的切向量为{1,0,3}.(D ) 曲线⎩⎨⎧==0),(y y x f z 在(0,0,(0,0))f 处的切向量为{3,0,1}.(3)设0)0(=f ,则)(x f 在x =0处可导的充要条件为(A ) 201lim (1cosh)h f h →-存在.(B )01lim(1)h h f e h →-存在. (C ) 201lim (sinh)h f h h→-存在.(D ) 01lim [(2)()]h f h f h h→-存在.(4)设1111400011110000,,1111000011110000A B ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦则A 与B (A ) 合同且相似. (B ) 合同但不相似. (C ) 不合同但相似.(D ) 不合同且不相似.(5)将一枚硬币重复掷n 次,以X 和Y 分别表示正面向上和反面向上的次数, 则X 和Y 的相关系数等于(A )-1.(B ) 0.(C )12. (D ) 1.三、(本题满分6分)求dx e e xx⎰2arctan .四、(本题满分6分)设函数),(y x f z =在点(1,1)处可微,且(1,1)1f =,(1,1)|2fx∂=∂,(1,1)|3f y ∂=∂,()(,x f x ϕ=(,))f x x .求13)(=x x dxd ϕ.五、(本题满分8分)设)(x f =210,arctan ,0,1,x x x x x +⎧≠⎨=⎩将)(x f 展开成x 的幂级数,并求级数∑∞=--1241)1(n nn 的和.六、(本题满分7分) 计算dz y x dy x z dx z y I L)3()2()(222222-+-+-=⎰,其中L 是平面2=++z y x 与柱面1=+y x 的交线,从Z 轴正向看去,L 为逆时针方向.七、(本题满分7分)设)(x f 在(1,1)-内具有二阶连续导数且0)(≠''x f ,试证:(1)对于(1,1)-内的任一0x ≠,存在惟一的)1,0()(∈x θ,使)(x f =)0(f +))((x x f x θ'成立; (2)01lim ()2x x θ→=.八、(本题满分8分)设有一高度为()h t (t 为时间)的雪堆在融化过程,其侧面满足方程)()(2)(22t h y x t h z +-=(设长度单位为厘米,时间单位为小时),已知体积减少的速率与侧面积成正比(比例系数为0.9),问高度为130(厘米)的雪堆全部融化需多少小时?九、(本题满分6分)设s ααα,,,21 为线性方程组0Ax =的一个基础解系,11122t t βαα=+,21223,t t βαα=+,121s s t t βαα=+,其中21,t t 为实常数.试问21,t t 满足什么条件时,s βββ,,,21 也为0Ax =的一个基础解系.十、(本题满分8分) 已知3阶矩阵A 与三维向量x ,使得向量组2,,x Ax A x 线性无关,且满足x A Ax x A 2323-=.(1)记P =（x A Ax x 2,,）,求3阶矩阵B ,使1-=PBP A ;(2)计算行列式E A +.十一、(本题满分7分)设某班车起点站上客人数X 服从参数为λ(0λ>)的泊松分布,每位乘客在中途下车的概率为p (01p <<),且中途下车与否相互独立.以Y 表示在中途下车的人数,求:(1)在发车时有n 个乘客的条件下,中途有m 人下车的概率; (2)二维随机变量(,)X Y 的概率分布.十二、(本题满分7分) 设总体X 服从正态分布2(,)N μσ(0σ>),从该总体中抽取简单随机样本12,X X ,,2n X (2n ≥),其样本均值为∑==ni i X n X 2121,求统计量∑=+-+=ni i n i X X X Y 12)2(的数学期望()E Y .2001年考研数学一试题答案与解析一、填空题(1)【分析】 由通解的形式可知特征方程的两个根是12,1r r i =±,从而得知特征方程为22121212()()()220r r r r r r r r r r r r --=-++=-+=.由此,所求微分方程为'''220y y y -+=.(2)【分析】 先求grad r .grad r=,,,,r r r x y z x y z r r r ∂∂∂⎧⎫⎧⎫=⎨⎬⎨⎬∂∂∂⎩⎭⎩⎭. 再求 div grad r=()()()x y zx r y r z r∂∂∂++∂∂∂=222222333311132()()()x y z x y z r r r r r r r r r++-+-+-=-=.于是div grad r|(1,2,2)-=(1,2,2)22|3r -=.(3)【分析】 这个二次积分不是二重积分的累次积分,因为10y -≤≤时12y -≤.由此看出二次积分0211(,)ydy f x y dx --⎰⎰是二重积分的一个累次积分,它与原式只差一个符号.先把此累次积分表为0211(,)(,)yDdy f x y dx f x y dxdy --=⎰⎰⎰⎰.由累次积分的内外层积分限可确定积分区域D :10,12y y x -≤≤-≤≤.见图.现可交换积分次序原式=02202111111(,)(,)(,)xyxdy f x y dx dx f x y dy dx f x y dy -----=-=⎰⎰⎰⎰⎰⎰.(4)【分析】 矩阵A 的元素没有给出,因此用伴随矩阵、用初等行变换求逆的路均堵塞.应当考虑用定义法.因为2()(2)240A E A E E A A E -+-=+-=,故()(2)2A E A E E -+=,即 2()2A EA E E +-⋅=. 按定义知11()(2)2A E A E --=+.(5)【分析】 根据切比雪夫不等式2(){()}D x P X E X εε-≥≤,于是2()1{()2}22D x P XE X -≥≤=.二、选择题(1)【分析】 当0x <时,()f x 单调增'()0f x ⇒≥,(A ),(C )不对;当0x >时,()f x :增——减——增'()f x ⇒:正——负——正,(B )不对,(D )对. 应选(D ).(2)【分析】 我们逐一分析.关于(A ),涉及可微与可偏导的关系.由(,)f x y 在(0,0)存在两个偏导数⇒(,)f x y 在(0,0)处可微.因此(A )不一定成立.关于(B )只能假设(,)f x y 在(0,0)存在偏导数(0,0)(0,0),f f x y∂∂∂∂,不保证曲面(,)z f x y =在 (0,0,(0,0))f 存在切平面.若存在时,法向量n=(0,0)(0,0)1f f x y ⎫∂∂⎧±-=±⎨⎬∂∂⎩⎭，，{3,1,-1}与{3,1,1}不共线,因而(B )不成立.关于(C ),该曲线的参数方程为,0,(,0),x t y z f t =⎧⎪=⎨⎪=⎩它在点(0,0,(0,0))f 处的切向量为'0{',0,(,0)}|{1,0,(0,0)}{1,0,3}t x dt f t f dt===. 因此,(C )成立.(3)【分析】 当(0)0f =时,'0()(0)limx f x f x →=∃00()()lim lim x x f x f x x x→+→-⇔=∃.关于(A ):220001(1cos )1cos 1()lim (1cos )lim 1cos lim1cos 2h h t f h h f t f h t h h h h t→→→+---=⋅=--, 由此可知 201lim (1cos )h f h h→-∃ ⇔ '(0)f + ∃.若()f x 在0x =可导⇒(A )成立,反之若(A )成立⇒'(0)f + ∃⇒'(0)f ∃.如()||f x x =满足(A ),但'(0)f 不∃. 关于(D ):若()f x 在0x =可导,⇒''001(2)()lim [(2)()]lim[2]2(0)(0)2h h f h f h f h f h f f h h h→→-=-=-. ⇒(D )成立.反之(D )成立0lim((2)())0h f h f h →⇒-=⇒()f x 在0x =连续,⇒()f x 在0x =可导.如21,0()0,0x x f x x +≠⎧=⎨=⎩ 满足(D ),但()f x 在0x =处不连续,因而'(0)f 也不∃.再看(C ):2220001sin (sin )sin ()lim(sin )lim lim sin h h h h h f h h h h f t f h h h h h h h t→→→----=⋅=⋅-(当它们都∃时).注意,易求得20sin lim0h h h h →-=.因而,若'(0)f ∃⇒(C )成立.反之若(C )成立⇒0()lim t f t t→(即 '(0)f ∃).因为只要()f t t有界,任有(C )成立,如()||f x x =满足(C ),但'(0)f 不∃.因此,只能选(B ).(4)【分析】 由 43||40E A λλλ-=-=,知矩阵A 的特征值是4,0,0,0.又因A 是实对称矩阵,A 必能相似对角化,所以A 与对角矩阵B 相似.作为实对称矩阵,当AB 时,知A 与B 有相同的特征值,从而二次型T x Ax 与T x Bx 有相同的正负惯性指数,因此A 与B 合同.所以本题应当选(A ).注意,实对称矩阵合同时,它们不一定相似,但相似时一定合同.例如1002A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦与1003B ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦, 它们的特征值不同,故A 与B 不相似,但它们的正惯性指数均为2,负惯性指数均为0.所以A 与B 合同.(5)【分析】 解本题的关键是明确X 和Y 的关系:X Y n +=,即Y n X =-,在此基础上利用性质:相关系数XY ρ的绝对值等于1的充要条件是随机变量X 与Y 之间存在线性关系,即YaX b =+(其中,a b 是常数),且当0a >时,1XY ρ=;当0a <时,1XY ρ=-,由此便知1XY ρ=-,应选(A ).事实上,(,)(,)Cov X Y Cov X n X DX =-=-,()DY D n X DX =-=,由此由相关系数的定义式有1XY ρ===-.三、【解】原式=222211arctan ()[arctan ]22(1)x x x x xxx de e d e e e e e ---=--+⎰⎰=2221(arctan )21x x x xx xde de e e e e ---++⎰⎰=21(arctan arctan )2xx x x e e e e C ---+++.四、【解】 先求(1)(1,(1,1))(1,1)1f f f ϕ===.求 32''1()|3(1)(1)3(1)x d x dxϕϕϕϕ===,归结为求'(1)ϕ.由复合函数求导法 '''12()(,(,))(,(,))(,)dx f x f x x f x f x x f x x dxϕ=+,'''''1212(1)(1,1)(1,1)[(1,1)(1,1)]f f f f ϕ=++.注意'1(1,1)(1,1)2f f x∂==∂,'2(1,1)(1,1)3f f y ∂==∂. 因此'(1)23(23)17ϕ=++=,31()|31751x d x dxϕ==⨯=.五、【分析与求解】 关键是将arctan x 展成幂级数,然后约去因子x ,再乘上21x +并化简即可.直接将arctan x 展开办不到,但'(arctan )x 易展开,即'221(arctan )(1),||11n n n x x x x ∞===-<+∑, ①积分得 '2210000(1)arctan (arctan )(1)21n xx nnn n n x t dt t dt x n ∞∞+==-==-=+∑∑⎰⎰,[1,1]x ∈-. ② 因为右端积分在1x =±时均收敛,又arctan x 在1x =±连续,所以展开式在收敛区间端点1x =±成立.现将②式两边同乘以21x x+得2222220001(1)(1)(1)arctan (1)212121n n n n n n n n n x x x x x x x n n n +∞∞∞===+---=+=++++∑∑∑=12200(1)(1)2121n n n nn n x x n n -∞∞==--++-∑∑=21111(1)()2121n n n x n n ∞=+--+-∑221(1)2114n nn x n ∞=-=+-∑ ,[1,1]x ∈-,0x ≠上式右端当0x =时取值为1,于是221(1)2()1,[1,1]14n nn f x x x n∞=-=+∈--∑. 上式中令1x =21(1)111[(1)1](21)1422442n n f n ππ∞=-⇒=-=⨯-=--∑.六、【解】用斯托克斯公式来计算.记S 为平面2x y z ++=上L 所为围部分.由L 的定向,按右手法则S 取上侧,S 的单位法向量(cos ,cos ,cos )3n αβγ==. 于是由斯托克斯公式得222222cos cos cos 23SI dS x y z y z z x x y αβγ∂∂∂=∂∂∂---⎰⎰=[(24(26(22]333Sy z z x x y dS ------⎰⎰=(423)(2)(6)33S Sx y z dS x y z x y dS ++++=+-利用. 于是'2'211113x y Z Z ++=++=按第一类曲面积分化为二重积分得(6)32(6)3D DI x y dxdy x y dxdy =+-=-+-⎰⎰, 其中D 围S 在xy 平面上的投影区域||||1x y +≤(图）.由D 关于,x y 轴的对称性及被积函数的奇偶性得()0Dx y dxdy -=⎰⎰⇒21212(2)24DI dxdy =-=-=-⎰⎰.七、【证明】 (1)由拉格朗日中值定理,(1,1)x ∀∈-,0,(0,1)x θ≠∃∈,使'()(0)()f x f xf x θ=+(θ与x 有关);又由''()f x 连续而''()0f x ≠,''()f x 在(1,1)-不变号,'()f x 在(1,1)-严格单调,θ唯一. (2)对'()f x θ使用''(0)f 的定义.由题(1)中的式子先解出'()f x θ,则有'()(0)()f x f f x xθ-=.再改写成'''()(0)(0)()(0)f x f xf f x f x θ---=.'''2()(0)()(0)(0)f x f f x f xf x xθθθ---⋅=, 解出θ,令0x →取极限得'''''2''0001(0)()(0)(0)()(0)12lim lim /lim (0)2x x x f f x f xf f x f x x f θθθ→→→---===.八、【解】 (1)设t 时刻雪堆的体积为()V t ,侧面积为()S t .t 时刻雪堆形状如图所示先求()S t 与()V t .侧面方程是222222()()()((,):)()2xy x y h t z h t x y D x y h t +=-∈+≤. ⇒44,()()z x z yx h t y h t ∂∂=-=-∂∂. ⇒()xyxyD D S t dxdy ==⎰⎰.作极坐标变换:cos ,sin x r y r θθ==,则:02,0()xy D r t θπ≤≤≤≤.⇒2(003()22221()()2113[()16]().()4812t t S t d h t h t r h t h t πθππ==⋅+=⎰用先二后一的积分顺序求三重积分()()()h t D x V t dzdxdy =⎰⎰⎰,其中222()():()()()x y D z h t z t h t +≤-,即2221[()()]2x y h t h t z +≤-. ⇒()233301()[()()][()()]()2224h t V t h t h t z dz h t h t h t πππ=-=-=⎰. (2)按题意列出微分方程与初始条件.体积减少的速度是dV dt -,它与侧面积成正比(比例系数0.9),即 0.9dVS dt=- 将()V t 与()S t 的表达式代入得 22133()0.9()412dh h t h t dt ππ=-,即1310dh dt =-.①(0)130h =.②(3)解①得13()10h t t C =-+. 由②得130C =,即13()13010h t t =-+. 令()0h t =,得100t =.因此,高度为130厘米的雪堆全部融化所需时间为100小时.九、【解】由于(1,2)i i s β=是12,,s ααα线性组合,又12,,s ααα是0Ax =的解,所以根据齐次线性方程组解的性质知(1,2)i i s β=均为0Ax =的解.从12,,s ααα是0Ax =的基础解系,知()s n r A =-.下面来分析12,,s βββ线性无关的条件.设11220s s k k k βββ++=,即11212112222133211()()()()0s s s s t k t k t k t k t k t k t k t k αααα-++++++++=.由于 12,,s ααα线性无关,因此有112211222132110,0,0,0.s s s t k t k t k t k t k t k t k t k -+=⎧⎪+=⎪⎪+=⎨⎪⎪+=⎪⎩(*)因为系数行列式12211211221000000000(1)000s s st t t t t t t t t t +=+-, 所以当112(1)0ss st t ++-≠时,方程组(*)只有零解120s k k k ====.从而12,,s βββ线性无关.十、【解】 (1)由于AP PB = ,即22322(,,)(,,)(,,32)A x Ax A x Ax A x A x Ax A x Ax A x ==-2000(,,)103012x Ax A x ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦,所以000103012B ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦.(2)由(1)知AB ,那么A E B E ++,从而100||||1134011A EB E +=+==--.十一、【解】 (1){|}(1),0,0,1,2,mmn mn P Y m X n C p p m n n -===-≤≤=.(2){,}P X n Y m ==={}{|}P X n P Y m X n ====(1),0,0,1,2,.!nm mn m n e C p p m n n n λλ--⋅-≤≤=十二、【解】 易见随机变量11()n X X ++,22()n X X ++,2,()n n X X +相互独立都服从正态分布2(2,2)N μσ.因此可以将它们看作是取自总体2(2,2)N μσ的一个容量为n 的简单随机样本.其样本均值为21111()2n ni n i i i i X X X X n n +==+==∑∑, 样本方差为2111(2)11n i n ii X X X Y n n +=+-=--∑. 因样本方差是总体方差的无偏估计,故21()21E Y n σ=-,即2()2(1)E Y n σ=-.。
2001-2010考研数学一试题及答案解析
2001-2010考研数学一试题及答案解析安庆师范学院09计1班2001年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上.)(1)设y ex为某二阶常系数线性齐次微分方程的通(C1sinx C2cosx)(C1,C2为任意常数）解,则该方程为_____________.(2)设r x2 y2 z2,则div(gradr)(1, 2,2)=_____________.(3)交换二次积分的积分次序:2 0 1dy 1 y2f(x,y)dx＝_____________. 1(4)设矩阵A满足A A4E 0,其中E为单位矩阵,则(A E)=_____________.(5)设随机变量X的方差是2,则根据切比雪夫不等式有估计P{X E(X) 2}_____________.二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.)(1)设函数f(x)在定义域内可导,y f(x)则y f (x)的图形为(2)设f(x,y)在点(0,0)附近有定义,且(A) fx (0,0) 3,fy (0,0) 1,则dz|(0,0) 3dx d y.(B) 曲面z f(x,y)在(0,0,f(0,0))处的法向量为{3,1,1}.1安庆师范学院09计1班(C) 曲线 z f(x,y)在(0,0,f(0,0))处的切向量为{1,0,3}.y 0z f(x,y)在(0,0,f(0,0))处的切向量为{3,0,1}. y 0 (D) 曲线(3)设f(0) 0,则f(x)在x=0处可导的充要条件为1f(1c osh)存在. h 0h21(C) lim2f(h s inh)存在. h 0h(A) lim1f(1 e h)存在. h 0h1(D) lim[f(2h) f(h)]存在. h 0h(B) lim1 1(4)设A 1 1111111111 4 01 ,B 01 1 0000000000 0 ,则A与B 0 0 (A) 合同且相似. (C) 不合同但相似.(B) 合同但不相似. (D) 不合同且不相似.(5)将一枚硬币重复掷n次,以X和Y分别表示正面向上和反面向上的次数, 则X和Y的相关系数等于(A)-1.三、(本题满分6分) (B) 0. (C) 1. 2 (D) 1.arctanex. 求 e2x四、(本题满分6分)设函数z f(x,y)在点(1,1)处可微,且f(1,1) 1, f f|(1,1) 2,|(1,1) 3, (x) f(x, x y f(x,x)).求d3 (x)dxx 1.五、(本题满分8分)2安庆师范学院09计1班1xxarctanx,x 0,(1)n设f(x)= 将f(x)展开成x的幂级数,并求级数 的和. 2x 0,1,n 11 4n 2六、(本题满分7分) 计算I面L(y2 z2)dx (2z2 x2)dy (3x2 y2)dz,其中L是平面x y z 2与柱x y 1的交线,从Z轴正向看去,L 为逆时针方向.七、(本题满分7分)设f(x)在( 1,1)内具有二阶连续导数且f (x) 0,试证:(1)对于( 1,1)内的任一x 0,存在惟一的 (x) (0,1),使f(x)=f(0)+xf ( (x)x)成立;(2)lim (x) x 01. 2八、(本题满分8分)2(x2 y2)设有一高度为h(t)(t为时间)的雪堆在融化过程,其侧面满足方程z h(t) (设h(t)长度单位为厘米,时间单位为小时),已知体积减少的速率与侧面积成正比(比例系数为0.9),问高度为130(厘米)的雪堆全部融化需多少小时?九、(本题满分6分)设 1, 2, , s为线性方程组Ax 0的一个基础解其中t1,t2为实常数.试问t1,t2满足系, 1 t1 1 t2 2, 2 t1 2 t2 3, , s t1 s t2 1,什么条件时, 1, 2, , s也为Ax 0的一个基础解系.十、(本题满分8分)2已知3阶矩阵A与三维向量x,使得向量组x,Ax,Ax线性无关,且满足Ax 3Ax 2Ax. 32(1)记P=（x,Ax,A(2)计算行列式2x）,求3阶矩阵B,使A PBP 1; A E. 3安庆师范学院09计1班十一、(本题满分7分)设某班车起点站上客人数X服从参数为 ( 0)的泊松分布,每位乘客在中途下车的概率为p(0 p 1),且中途下车与否相互独立.以Y表示在中途下车的人数,求:(1)在发车时有n个乘客的条件下,中途有m人下车的概率;(2)二维随机变量(X,Y)的概率分布.十二、(本题满分7分)设总体X服从正态分布N( , 2)( 0),从该总体中抽取简单随机样本n12nXi,求统计量Y (Xi X n i2)2的X1,X2, ,X2n(n 2),其样本均值为 2ni 1i 1数学期望E(Y).2001年考研数学一试题答案与解析一、填空题(1)【分析】由通解的形式可知特征方程的两个根是r1,r2 1 i,从而得知特征方程为2(r r1)(r r2) r2 (r1 r2)r r r12 r 2r 2 0.由此,所求微分方程为y‘‘ 2y‘ 2y 0.(2)【分析】先求gradr.gradr= r r r xyz ,, ,, . x y z rrrx y z() () () xr yr zr再求divgradr=4安庆师范学院09计1班1x21y21z23x2 y2 z22 . =( 3) (3) (3) r rr r rrrr3r22|(1, 2,2) . r3于是divgradr|(1, 2,2)=(3)【分析】这个二次积分不是二重积分的累次积分,因为1 y 0时1 y 2.由此看出二次积分 dy 112021 y f(x,y)dx是二重积分的一个累次积分,它与原式只差一个符号.先把此累次积分表为dy 1 y f(x,y)dx f(x,y)dxdy. D由累次积分的(A E) 1 1(A 2E). 2(A E) A 2E E. 2故按定义知(5)【分析】根据切比雪夫不等式P{X E(X) } P{X E(X) 2} D(x) 2, 于是D(x)1 . 222二、选择题(1)【分析】当x 0时,f(x)单调增 f‘(x) 0,(A),(C)不对;5安庆师范学院09计1班当x 0时,f(x):增——减——增应选(D).(2)【分析】我们逐一分析. f‘(x):正——负——正,(B)不对,(D)对.关于(A),涉及可微与可偏导的关系.由f(x,y)在(0,0)存在两个偏导数f(x,y)在(0,0)处可微.因此(A)不一定成立.关于(B)只能假设f(x,y)在(0,0)存在偏导数 f(0,0) f(0,0),不保证曲面z f(x,y)在, x y f(0,0) f(0,0)(0,0,f(0,0))存在切平面.若存在时,法向量n= ，1 {3,1,-1}与{3,1,1}不 y x共线,因而(B)不成立.x t, 关于(C),该曲线的参数方程为 y 0,z f(t,0),它在点(0,0,f(0,0))处的切向量为{t‘,0,df(t,0)}|t 0 {1,0,fx‘(0,0)} {1,0,3}. dt因此,(C)成立.f(x)f(x)f(x) lim lim . x 0x 0 x 0 x xx1f(1 c osh)1 c osh1f(t) lim关于(A):lim2f(1 c osh) lim, h 0hh 01 c oshh22t 0 t1lim2f(1 c osh) f ‘(0) .由此可知h 0h(3)【分析】当f(0) 0时,f(0) lim‘若f(x)在x 0可导 (A)成立,反之若(A)成立足(A),但f ‘(0) f‘(0) .如f(x) |x|满f‘(0)不.关于(D):若f(x)在x 0可导, 1f(2h)f(h)lim[f(2h) f(h)] lim[2 ] 2f‘(0) f‘(0). h 0hh 02hhh 0 (D)成立.反之(D)成立 lim(f(2h) f(h)) f(x)在x 0连续,f(x)在x 0可6安庆师范学院09计1班导.如2x 1,x 0 f(x) 0,x 0 lim满足(D),但f(x)在x 0处不连续,因而f‘(0)也不.再看(C): 1h s inhf(h s inh)h s inhf(t)f(h s inh) lim lim (当它们都时). h 0h2h 0h 0h2h s inhh2th s inhf(t)‘ 0lim注意,易求得lim.因而,若(C)成立.反之若(C)成立(即f(0) h 0t 0h2tf(t)‘有界,任有(C)成立,如f(x) |x|满足(C),但f(0)不. f‘(0) ).因为只要t(4)【分析】由因此,只能选(B). | E A| 4 4 3 0,知矩阵A的特征值是4,0,0,0.又因A 是实对称矩阵,A必能相似对角化,所以A与对角矩阵B相似.作为实对称矩阵,当A B时,知A与B有相同的特征值,从而二次型xAx与TxTBx有相同的正负惯性指数,因此A与B合同.所以本题应当选(A).注意,实对称矩阵合同时,它们不一定相似,但相似时一定合同.例如10 10 与, A B 02 03它们的特征值不同,故A与B不相似,但它们的正惯性指数均为2,负惯性指数均为0.所以A 与B合同.(5)【分析】解本题的关键是明确X和Y的关系:X Y n,即Y n X,在此基础上利用性质:相关系数 XY的绝对值等于1的充要条件是随机变量X与Y之间存在线性关系,即Y aX b(其中a,b是常数),且当a 0时, XY1;当a 0时, XY 1,由此便知 XY 1,应选(A). 事实上,Cov(X,Y) Cov(X,n X) D X,DY D(n X) DX,由此由相关系数的定义式有XY 1. 7安庆师范学院09计1班三、【解】11 2xdexx 2xx原式= arctaned(e) [earctane 2x] 22e(1 e2x)1 2xdexdexx) = (earctane 2x 2x2e1 e=1 2x(earctanex e x a rctanex) C. 2四、【解】求归结为求 ‘(1).由先求 (1) f(1,f(1,1)) f(1,1) 1. d3 (x)|x 1 3 2(1) ‘(1) 3 ‘(1),复合函数求导法dxd ‘(x) f1‘(x,f(x,x)) f2‘(x,f(x,x))f(x,x), dx ‘(1) f1‘(1,1) f2‘(1,1)[f1‘(1,1) f2‘(1,1)].f1‘(1,1) f(1,1) f(1,1) 2,f2‘(1,1) 3. x y,注意因此‘(1) 2 3(2 3) 17d3 (x)|x 1 3 17 51. dx2五、【分析与求解】关键是将arctanx展成幂级数,然后约去因子x,再乘上1 x并化简即可. ‗直接将arctanx展开办不到,但(arctanx)易展开,即1n2n(arctanx) ( 1)x,|x| 1, 21 x n 0‘ ①( 1)n2n 1积分得arctanx (arctant)dt ( 1) tdt x,x [ 1,1]. ②00n 0n 02n 1x‘ nx2n因为右端积分在x 1时均收敛,又arctanx在x 1连续,所以展开式在收敛区间端点x 1成立.1 x2现将②式两边同乘以得x8安庆师范学院09计1班1 x2( 1)n2n ( 1)n2n ( 1)nx2n 22 arctanx (1 x) x x x2n 12n 12n 1n 0n 0n 0( 1)n2n ( 1)n 12n = x xn 02n 1n 02n 1=1 n( 1) (n 1 11 )x2n 2n 12n 1( 1)n22n 1 x , 2n 11 4n x [ 1,1],x 0上式右端当x 0时取值为1,于是( 1)n22nf(x) 1 x,x [ 1,1]. 21 4nn 14n( 1)n11 1上式中令x 1 [f(1) 1] (2 1) . 222442n 11六、【解】用斯托克斯公式来计算.记S为平面x y z 2上L所为围部分.由L的定向,按右手法则S取上侧,S的单位法向量n (cos ,cos ,cos ) . 于是由斯托克斯公式得cos I xSy2 z2cos y2z2 x2cos z3x2 y2dS= [( 2y 4zS (2z 6x (2x 2ydS=(4x 2y 3z)dS(利用x y z 2)(6 x y)dS. SS 于是9安庆师范学院09计1班按第一类曲面积分化为二重积分得I (6 x y 2 (6 x y)dxdy, DD其中D围S在xy平面上的投影区域|x| |y| 1(图）.由D关于x,y轴的对称性及被积函数的奇偶性得(x y)dxdy 0 DI 12 dxdy 2 24. D七、【证明】(1)由拉格朗日中值定理, x (1, 1),x 0, (0,1),使f(x) f(0) x f‘( x)f‘‘(x)连续而f‘‘(x) 0,f‘‘(x)在(1, 1)不变号,f‘(x)在(1, 1)严格单( 与x有关);又由调, 唯一.(2)对f‘( x)使用f‘‘(0)的定义.由题(1)中的式子先解出f‘( x),则有f‘( x)‗f(x) f(0). x‘再改写成f(x) f(0) x f‘(0)f( x) f(0) . xf‘( x) f‘(0)f(x) f(0) x f‘(0) , 2 xx解出 ,令x 0取极限得1‘‘f(0)f(x) f(0) x f(0)f( x) f(0)1lim lim/lim . 2‘‘x 0x 0x 0x xf(0)2‘‘‘八、【解】(1)设t时刻雪堆的体积为V(t),侧面积为S(t).t时刻雪堆形状如图所示先求S(t)与V(t).10安庆师范学院09计1班侧面方程是z h(t) 2(x2 y2)h(t)((x,y) D2y2 h2(t)xy:x 2).z4 x x z4yh(t), yh(t).S(t) Dxydxdy .Dxy作极坐标变换:x rcos ,y rsin ,则Dxy:0 2 ,0 r(t). S(t) 12h(t)0d (t032 1[h2(t) 16r22(th(t)48)1312h2(t).用先二后一的积分顺序求三重积分V(t)h(t)dzD dxdy,(x)其中D(z):2(x2 y2)1h(t)h(t) z(t),即x2 y2 2[h2(t) h(t)z].V(t)h(t)2h2(t) h(t)z]dz2[h3(t) 12h(t)3]4h3(t). (2)按题意列出微分方程与初始条件. 体积减少的速度是dVdVdt,它与侧面积成正比(比例系数0.9),即dt0.9S 将V(t)与S(t)的表达式代入得2dh43h(t)dt 0.913 12h2(t),即dhdt 1310.h(0) 130.(3)解①得h(t) 1310t C. 由②得C 130,即h(t)1310t 130. 令h(t) 0,得t 100.因此,高度为130厘米的雪堆全部融化所需时间为100小时.①②11安庆师范学院09计1班九、【解】由于 i(i 1,2 s)是 1, 2, s线性组合,又 1, 2, s是Ax 0的解,所以根据齐次线性方程组解的性质知 i(i 1,2 s)均为Ax 0的解.从 1, 2, s是Ax 0的基础解系,知s n r(A). 下面来分析 1, 2, s线性无关的条件.设k1 1 k2 2 ks s 0,即(t1k1 t2ks) 1 (t2k1 t1k2) 2 (t2k2 t1k3) 3 (t2ks 1t1ks) s 0. 由于 1, 2, s线性无关,因此有t1k1 t2ks 0, tk t k 0,2112 t2k2 t1k3 0,t2ks 1t1ks 0.因为系数行列式(*)t100 0t2t2t10 00s0t2t1 00 t1s (1)s 1t2,000 t2t1所以当t1ss (1)s 1t2 0时,方程组(*)只有零解k1 k2 ks 0. 从而 1, 2, s线性无关.十、【解】(1)由于AP PB ,即A(x,Ax,A2x) (Ax,A2x,A3x) (Ax,A2x,3Ax 2A2x)000 , (x,Ax,A2x) 103 01 212安庆师范学院09计1班000 所以B 103. 01 2(2)由(1)知A B,那么A E B E,从而00|A E| |B E| 13 4.01 1十一、【解】(1)P{Ymm m|X n} Cnp(1 p)n m,0 m n,n 0,1,2, .(2)P{X n,Y m}=P{X n}P{Y m|X n}= nn!mme Cnp(1 p)n m,0 m n,n 0,1,2, .十二、【解】易见随机变量(X1 X n 1),(X2 X n 2), ,(Xn X2n)相互独立都服从正态分布N(2 ,2 2).因此可以将它们看作是取自总体N(2 ,2 2)的一个容量为n的简单随机样本.其样本均值为1n12nXi 2, (Xi X n i) n ni 1i 11n12(X X2) Y. in i n 1i 1n 11Y) 2 2,即E(Y) 2(n 1) 2. n 1样本方差为因样本方差是总体方差的无偏估计,故E( 13安庆师范学院09计1班2002年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上.)(1)e dx=xln2x.y(2)已知函数y y(x)由方程e(3)微分方程yy(4)已知实二次型6xy x2 1 0确定,则y (0)= x 0 . y 2 0满足初始条件y 1,y‘x 0 1的特解是222f(x1,x2,x3) a(x12 x2 x3) 4x1x2 4x1x3 4x2x3经正交变换x Py可化成标准型f 6y12,则a=2(5)设随机变量X服从正态分布N( ,率为)( 0),且二次方程y2 4y X 0无实根的概1,则 ＝2二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内.)(1)考虑二元函数f(x,y)的下面4条性质:①f(x,y)在点(x0,y0)处连续;②f(x,y)在点(x0,y0)处的两个偏导数连续; 14安庆师范学院09计1班③f(x,y)在点(x0,y0)处可微; ④f(x,y)在点(x0,y0)处的两个偏导数存在．若用―P Q‖表示可由性质P推出性质Q,则有(A) ② ③ ①.(C) ③ ④ ①.11n(2)设un 0(n 1,2,3,L),且lim 1,则级数 ( 1)n 1( ) n uunun 1n 1n (B) ③② ①. (D) ③ ① ④.(A) 发散.(B) 绝对收敛. (D) 收敛性根据所给条件不能判定. (C) 条件收敛.(3)设函数y f(x)在(0, )内有界且可导,则(A) 当limf(x) 0时,必有limf (x) 0. x x(B) 当limf (x)存在时,必有limf (x) 0. x xf(x) 0时,必有limf (x) 0. (C) 当lim x 0x 0f (x)存在时,必有limf (x) 0. (D) 当lim x 0x 0(4)设有三张不同平面的方程ai1x a i2y a i3z bi,i 1,2,3,它们所组成的线性方程组的系数矩阵与增广矩阵的秩都为２,则这三张平面可能的位置关系为(5)设X1和X2是任意两个相互独立的连续型随机变量,它们的概率密度分别为分布函数分别为F1(x)和F2(x),则f1(x)和f2(x),15安庆师范学院09计1班(A) f1(x)＋(B) f2(x)必为某一随机变量的概率密度. f1(x)f2(x)必为某一随机变量的概率密度.(C) F1(x)＋F2(x)必为某一随机变量的分布函数.(D) F1(x)三、(本题满分6分)设函数f(x)在x 0的某邻域内具有一阶连续导数,且f(0) 0,f (0) 0,若F2(x)必为某一随机变量的分布函数. af(h) b f(2h) f(0)在h 0时是比h高阶的无穷小,试确定a,b的值.四、(本题满分7分)已知两曲线y f(x)与yarctanx02 e t dt在点(0,0)处的切线相同,写出此切线方程,并求极限2limnf(). n n五、(本题满分7分)计算二重积分六、(本题满分8分)设函数f(x)在( , )内具有一阶连续导数,L是上半平面(其起点为(a,b),终点为(c,d).记max{xe D2,y2}dxdy,其中D {(x,y)|0 x 1,0 y 1}. y ＞0)内的有向分段光滑曲线,I 1x y2f(xy)]dx 2[y2f(xy) 1]dy, Lyy(1)证明曲线积分I与路径L无关;(2)当ab cd时,求I的值.七、(本题满分7分)x36393xn3L L( x )满足微分方程(1)验证函数y(x) 1 3!6!9!(3n)!16安庆师范学院09计1班y y y ex;x3n(2)利用(1)的结果求幂级数 的和函数.n 0(3n)!八、(本题满分7分)设有一小山,取它的底面所在的平面为xOy坐标面,其底部所占的区域为D {(x,y)|x 2 y2 x y 75},小山的高度函数为h(x,y) 75 x2 y2 x y.(1)设M(x0,y0)为区域D上一点,问h(x,y)在该点沿平面上什么方向的方向导数最大? 若记此方向导数的最大值为g(x0,y0),试写出g(x0,y0)的表达式.(2)现欲利用此小山开展攀岩活动,为此需要在山脚下寻找一上山坡最大的点作为攀登的起点.也就是说,要在D的边界线x起点的位置.九、(本题满分6分)已知四阶方阵关, 1十、(本题满分8分)设A,B为同阶方阵,(1)若A,B相似,证明A,B的特征多项式相等.(2)举一个二阶方阵的例子说明(1)的逆命题不成立.(3)当A,B均为实对称矩阵时,证明(1)的逆命题成立.十一、(本题满分7分)设维随机变量X的概率密度为2 y2 x y 75上找出使(1)中g(x,y)达到最大值的点.试确定攀登A ( 1, 2, 3, 4), 1, 2, 3, 4均为4维列向量,其中 2, 3, 4线性无 2 2 3,求线性方程组Ax 的通解.如果 1 2 3 4,17安庆师范学院09计1班x 1cos,f(x) 220,0 x ,其他.2的次数,求Y的数学期望. 3对X独立地重复观察４次,用Y表示观察值大于十二、(本题满分7分) 设总体X的概率分布为其中 (01)是未知参数,利用总体X的如下样本值23,1,3,0,3,1,2,3,求 的矩估计值和最大似然估计值.2002年考研数学一试题答案与解析一、填空题(1)【分析】原式(2)【分析】方程两边对x两次求导得edlnx1l n2xlnxe1.eyy‘ 6xy‘ 6y 2x 0,①②eyy‘‘ e yy‘2 6xy‘‘ 12y‘ 2 0.以x 0代入原方程得y 0,以x y 0代入①得y‘ 0,,再以x y y‘ 0代入②得y‘‘(0) 2.(3)【分析】这是二阶的可降阶微分方程.18安庆师范学院09计1班令y‘ P(y)(以y为自变量),则y‘‘ dy‘dPdP P. dxdxdyx 0 代入方程得yPdPdP P2 0,即y P 0(或P 0,但其不满足初始条件y‘dydy1). 2分离变量得dPdy 0, Py积分得lnP l ny C‘,即P C1(P 0对应C1 0); y由x 0时y 1,P y‘ 11,得C1 .于是又由yx 0 1得C2 1,所求特解为y(4)【分析】因为二次型xAx经正交变换化为标准型时,标准形中平方项的系数就是二次型矩阵TA的特征值,所以6,0,0是A的特征值.又因(5)【分析】设事件A表示―二次方程 a ,故a a a 6 00, a 2. iiiy2 4y X 0无实根‖,则A {16 4X 0} {X 4}.依题意,有而即二、选择题1P(A) P{X 4} . 2 4 14 14 1 () , () , 0. 4.2 2 P{X 4} 1 P{X 4} 1 (4 ),(1)【分析】这是讨论函数f(x,y)的连续性,可偏导性,可微性及偏导数的连续性之间的关19安庆师范学院09计1班系.我们知道,f(x,y)的两个偏导数连续是可微的充分条件,若f(x,y)可微则必连续,故选(A).111u(2)【分析】由limn 1 0 n充分大时即N,n N时 0,且lim 0,不妨认为n n ununnn,un 0,因而所考虑级数是交错级数,但不能保证按定义考察部分和1的单调性. unSn ( 1)k 1nk 1nn111k 11 ( ) ( 1) ( 1)k 1ukuk 1ukk 1uk 1k 1( 1)kn 11( 1)n 11l1 ( 1) (n ), ulu1un 1u1k 1ukl 1n原级数收敛. 11 uun 1nn 1n11再考察取绝对值后的级数 ( 2, ).注意n1un 1unun 1n 1n 1unn111发散( )发散.因此选(C). nuun 1n 1nn 1(3)【分析】证明(B)对:反证法.假设limf (x) a 0,则由拉格朗日中值定理, xf(2x) f(x) f‘( )x (x )(当x 时, ,因为x 2x);但这与f(2x) f(x) f(2x) f(x) 2M矛盾(f(x) M).(4)【分析】因为r(A) r(A)一,因此应选(B).20 2 3,说明方程组有无穷多解,所以三个平面有公共交点且不唯安庆师范学院09计1班(A)表示方程组有唯一解,其充要条件是r(A) r(A) 3.(C)中三个平面没有公共交点,即方程组无解,又因三个平面中任两个都不行,故r(A) 2和r(A) 3,且A中任两个平行向量都线性无关.类似地,(D)中有两个平面平行,故r(A) 2,r(A) 3,且A中有两个平行向量共线.(5)【分析】首先可以否定选项(A)与(C),因[f1(x) f2(x)]dxf1(x)dxf2(x)dx 2 1,F1( ) F2( ) 1 1 2 1.f2(x) 则对任何x ( , ),对于选项(B),若f1(x) 1, 2 x 1, 1,0 x 1,0,其他， 0,其他，f1(x)f2(x) 0,f1(x)f2(x)dx 0 1,因此也应否定(C),综上分析,用排除法应选(D). X max(X1,X2),而Xi~fi(x),i 1,2,则X的分布函数F(x)恰是进一步分析可知,若令F1(x)F2(x).F(x) P{max(X1,X2) x} P{X1 x,X2 x}P{X1 x}P{X2 x} F1(x)F2(x).三、【解】h 0用洛必达法则.由题设条件知lim[af(h) b f(2h) f(0)] (a b1)f(0).由于f (0) 0,故必有a b1 0.及f (0) 0,则有a 2b 0.四、【解】综上,得a 2,b 1. 由已知条件得21安庆师范学院09计1班f(0) 0,f‘(0) (arctanx0e t dt)‘x2x 0e a rctanx1 x22x 01,故所求切线方程为y x.由导数定义及数列极限与函数极限的关系可得D是正方形区域如图.因在D上被积函数分块表示22五、【分析与求解】2x,x y,max{x,y} 2(x,y) D,y,x y,于是要用分块积分法,用y x将D分成两块:D D1UD2,D1 DI{y x},D2 DI{y x}.I emax{xD122,y2}dxdy emax{xD222,y2}dxdyexdxdy eydxdy 2 exdxdy(D关于y x对称)D1D2D122 dx exdy(选择积分顺序) 2 xexdx ex1x21221e 1.六、【分析与求解】(1)易知Pdx Q dy 原函数,Pdx Q dy1x1dx y f(xy)dx x f(xy)dy 2dy 2(ydx x dy) f(xy)(ydx x dy) yyyxyxxd() f(xy)d(xy) d[ f(t)dt].yy0xyxf(t)dt. y0在y 0上Pdx Q dy 原函数,即u(x,y) 积分I在y 0与路径无关.22安庆师范学院09计1班ca(2)因找到了原函数,立即可得I u(x,y)(c,d)(a,b) d b.七、【证明】与书上解答略有不同,参见数三2002第七题(1)因为幂级数(x) 1 x3x6x9x3ny3! 6! 9! L(3n)! L的收敛域是( x ),因而可在( x )上逐项求导数,得x2x5x8x3n 1y‘(x)2! 5! 8! L(3n 1)! L,x4x7x3n 2y‘‘(x) x 4! 7! L(3n 2)! L,所以y‘ y 1 x x2xny‘‘2! L n! L ex( x ).(2)与y‘‘ y‘ y ex相应的齐次微分方程为y‘‘ y‘ y 0,其特征方程为 2 1 0,特征根为 1,2 12 2.x因此齐次微分方程的通解为Y e 2(C1cos2x C2sin2x).设非齐次微分方程的特解为y Aex,将y 代入方程y‘‘ y‘ y ex可得A 11x 3,即有y 3e.于是,方程通解为y Y y e x2(C1cos2x C12sin2x) 3ex.y(0) 110 C1 ,当x 时,有 3 C21 ,C2y‘(0) 0 1C30.22 113.23安庆师范学院09计1班x2 21x3n于是幂级数的和函数为y(x) ex ex( x ) 33n 0(3n)!八、【分析与求解】(1)由梯度向量的重要性质:函数h(x,y)在点M处沿该点的梯度方向gradh(x,y)(x0,y0) { h h, x y(x0,y0) { 2x0 y0, 2y0 x0} 方向导数取最大值即gradh(x,y)(x0,y0)的模, g(x0,y0)(2)按题意,即求g(x,y)求在条件x2 y2 x y 75 0下的最大值点g2(x,y) (y 2x)2 (x 2y)2 5x2 5y2 8x y在条件x2 y2 x y 75 0下的最大值点. 这是求解条件最值问题,用拉格朗日乘子法.令拉格朗日函数L(x,y, ) 5x2 5y2 8xy (x2 y2 x y 75),L x 10x 8y (2x y) 0,L 10y 8x (2y x) 0,y则有L22 x y x y 75 0.解此方程组:将①式与②式相加得(x y)( 2) 0. x y或 2. 若y x,则由③式得3x 75即x 5,y m5.若22 2,由①或②均得y x,代入③式得x75即xy 于是得可能的条件极值点M1(5, 5),M2( 5,5),M3M4( f(x,y) g2(x,y) 5x2 5y2 8xy在这些点的函数值: f(M1) f(M2) 450,f(M3) f(M4) 150. 现比较24安庆师范学院09计1班因为实际问题存在最大值,而最大值又只可能在M1,M2,M3,M4中取到.因此g2(x,y)在M1,M2取到在D的边界上的最大值,即M1,M2可作为攀登的起点.九、【解】由 2, 3, 4线性无关及 1 2 2 3知,向量组的秩r( 1, 2, 3, 4) 3,即矩阵A的秩为3.因此Ax 0的基础解系中只包含一个向量.那么由1 2 ( 1, 2, 3, 4) 1 2 2 3 0 1 0T知,Ax 0的基础解系是(1, 2,1,0).知,(1,1,1,1)T是Ax 的一个特再由 1 1 1 1 A1 2 3 4 ( 1, 2, 3, )4 1 1 1 11 12 1解.故Ax 的通解是k ,其中k为任意常数. 1 1 0 1十、【解】(1)若A,B相似,那么存在可逆矩阵P,使P 1AP B,故 E B E P1AP P 1 EP P1APP 1( E A)P P 1 E A P E A.但A,B不相似.01 00 (2)令A ,B ,那么 E A 2 E B. 00 00否则,存在可逆矩阵P,使P 1AP B 0.从而A P0P 1 0,矛盾,亦可从r(A) 1,r(B) 而知0A 与B不相似.25安庆师范学院09计1班(3)由A,B均为实对称矩阵知,A,B均相似于对角阵,若A,B的特征多项式相等,记特征多项式的根为 1,L, n,则有相似于 O1 ,B也相似于 O n . n 1A1 1O即存在可逆矩阵P,Q,使PAP于是(PQ十一、【解】由于P{X 11 Q 1BQ. n )A(PQ 1) B.由PQ 1为可逆矩阵知,A与B相似. 11x1 cosdx ,依题意,Y服从二项分布B(4,),则有232232111EY2 DY (EY)2 npq (np)2 4 (4 )2 5. 222十二、【解】1EX 0 2 1 2 (1 ) 2 2 3 (1 2 ) 3 4 , (3 E X). 4ˆ 1(3 X),根据给定的样本观察值计算x 1(3 1303123) 的矩估计量为 84ˆ 1(3 x) 1. 2.因此 的矩估计值 44对于给定的样本值似然函数为L( ) 4 6(1 )2(1 2 )4,lnL( ) ln4 6ln 2ln(1 ) 4ln(1 2 ),dlnL( )62824 2 28 6 . d 1 1 2 (1 )(1 2 )令dlnL( )71 0,得方程12 2 14 3 0,解得( ,不合题意). d 122ˆ 于是的最大似然估计值为26安庆师范学院09计1班2003年硕士研究生入学考试（数学一）试题一、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 把答案填在题中横线上）1（1）lim(cosx)ln(1 x2)x 0 =______ .（2）曲面z x2 y2与平面2x 4y z 0平行的切平面的方程是______.，则a2.（3）设x2 ancosnx( x )n 0（4）从R2的基 1 1 1 1到基 1 1 , 2 2 的1 0 , 2 1过渡矩阵为_____（5）设二维随机变量(X,Y)的概率密度为f(x,y) 6x,0 x y 1,0,其他，. 27安庆师范学院09计1班则P{X Y 1} ______ .（6）已知一批零件的长度X (单位：cm)服从正态分布N( ,1)，从中随机地抽取16个零件，得到长度的平均值为40 (cm)，则 的置信度为0.95的置信区间是_______ ., (1.645) 0.95.) (注：标准正态分布函数值 (1.96) 0.975二、选择题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号一个极小值点和两个极大值点.(B) 两个极小值点和一个极大值点.(C) 两个极小值点和两个极大值点.(D)[ ]（2）设{an},{bn},{cn}均为非负数列，且liman 0,limbn 1,limcn ,则必有n n n(A) an bn对任意n成立. (B) bn cn对任意n成立.(C) 极限limancn不存在. (D) 极限limbncn不存在. [ ] n n（3）已知函数f(x,y)在点(0,0)的某个邻域点(0,0)不是f(x,y)的极值点.(B) 点(0,0)是f(x,y)的极大值点.(C) 点(0,0)是f(x,y)的极小值点.(D) 根据所给条件无法判断点(0,0)是否为f(x,y)的极值点. [ ]（4）设向量组I： 1, 2, , r可由向量组II： 1, 2, , s线性表示，则[ ] (A) 当r s时，向量组II必线性相关. (B) 当r s时，向量组II必线性相关.(C) 当r s时，向量组I必线性相关. (D) 当r s时，向量组I必线性相关.（5）设有齐次线性方程组Ax=0和Bx=0, 其中A,B均为m n矩阵，现有4个命题：28安庆师范学院09计1班①若Ax=0的解均是Bx=0的解，则秩(A) 秩(B)；②若秩(A) 秩(B)，则Ax=0的解均是Bx=0的解；③若Ax=0与Bx=0同解，则秩(A)=秩(B)；④若秩(A)=秩(B)，则Ax=0与Bx=0同解.以上命题中正确的是[ ](A) ①②. (B) ①③.(C) ②④. (D) ③④.（6）设随机变量X~t(n)(n 1),Y(A) Y~1，则X2 [ ] 2(n). (B) Y~ 2(n 1).(C) Y~F(n,1). (D) Y~F(1,n).三、（本题满分10分）过坐标原点作曲线y=lnx的切线，该切线与曲线y=lnx及x轴围成平面图形D.(1) 求D的面积A;(2) 求D绕直线x=e旋转一周所得旋转体的体积V.四、（本题满分12分） 1 2x( 1)n将函数f(x) arctan展开成x的幂级数，并求级数 的和. 1 2x2n 1n 0，L为D的正向边界.五、（本题满分10分）已知平面区域D {(x,y)0 x ,0 y }试证：(1)(2) x eLLsinydy y e s inxdx xe s inydy y esinxdx; Lsiny s inx2xedy y edx 2 . 六、（本题满分10分）某建筑工程打地基时，需用汽锤将桩打进土层. 汽锤每次击打，都将克服土层对桩的阻力而作功. 设土层对桩的阻力的大小与桩被打进地下的深度成正比（比例系数为k,k>0）.汽锤第一次击打将桩打进地下a m. 根据设计方案，要求汽锤每次击打桩时所作的功与前一次击打时所作的功之比为常数r(0<r<1). 问(1) 汽锤击打桩3次后，可将桩打进地下多深？(2) 若击打次数不限，汽锤至多能将桩打进地下多深？七、（本题满分12分）设函数y=y(x)在( , )内具有二阶导数，且y 0,x x(y)是y=y(x)的反函数.29安庆师范学院09计1班d2xdx3(1) 试将x=x(y)所满足的微分方程(y s inx)() 0变换为y=y(x)满足的微分2dydy方程；(2) 求变换后的微分方程满足初始条件y(0) 0,y (0)八、（本题满分12分）设函数f(x)连续且恒大于零，3的解. 2f(xF(t) (t)D(t)2 y2 z2)dv2 f(x y)d 2，G(t) D(t) f(x t 12 y2)d ，2f(x)dx2222222其中 (t) {(x,y,z)x y z t}，D(t) {(x,y)x y t}.(1) 讨论F(t)在区间(0, )ax 2by 3c 0，l2: bx 2cy 3a 0，l3: cx 2ay 3b 0.试证这三条直线交于一点的充分必要条件为a b c 0.十一、（本题满分10分）已知甲、乙两箱中装有同种产品，其中甲箱中装有3件合格品和3件次品，乙箱中仅装有3件合格品. 从甲箱中任取3件产品放入乙箱后，求：(1) 乙箱中次品件数的数学期望；(2) 从乙箱中任取一件产品是次品的概率.十二、（本题满分8分）30 *安庆师范学院09计1班设总体X的概率密度为2e 2(x ),x , f(x) x , 0,其中 0是未知参数. 从总体X中抽取简单随机样本X1,X2, ,Xn，记 ˆ min(X1,X2, ,Xn).(1) 求总体X的分布函数F(x);(2) 求统计量 ˆ的分布函数F ˆ(x)；(3) 如果用 ˆ作为 的估计量，讨论它是否具有无偏性.31安庆师范学院09计1班2003年硕士研究生入学考试（数学一）试题答案一、1、1e2、2x 4y z 53、14、5、3 2 12 1 4,40.49) 6、(39.51二、三、【详解】(1) 设切点的横坐标为x0，则曲线y=lnx在点(x0,lnx0)处的切线方程是y lnx0 1(x x0). x0由该切线过原点知lnx0 1 0，从而x0 e. 所以该切线的方程为y平面图形D的面积A 1x. e 10(ey e y)dy 1e 1. 2（2）切线y 1x与x轴及直线x=e所围成的三角形绕直线x=e旋转所得的圆锥体积为e1V1 e2. 3曲线y=lnx与x轴及直线x=e所围成的图形绕直线x=e旋转所得的旋转体体积为V2 y2 (e e)dy， 01因此所求旋转体的体积为32安庆师范学院09计1班11 V V2y221 V23 e 0 (e e)dy 6(5e 12e 3).四、【详解】因为f (x) 21 4x2 2 ( 1)n4nx2n,x ( 11n 02,2).又f(0)=4, 所以f(x) f(0) xf (t)dt x0 4 2 [ ( 1)n4nt2n0]dt n 0= ( 1)n4n2n 114 2 x,x ( 1n 02n 12,2).( 1)n因为级数 2n 1收敛，函数f(x)在x 1处连续，所以n 02f(x) ( 14 2 )n4n1x2n 1,x ( 1,1].令x 12，得f(1 (2) 4 2 [ 1)4n1 ( 1)nn 02n 122n 1] 4 ,n 02n 133安庆师范学院09计1班再由f(12) 0，得( 1)nf(1n 02n 142) 4.五、【详解】方法一：(1) 左边= siny00 edy e s inxdx=0(esinx e s inx)dx，右边= e s inydy 00 esinxdx= sinx0(esinx e)dx，所以Lxesinydy y e s inxdx xe s inyLdy y esinxdx. (2) 由于esinx e s inx 2，故由（1）得Lxesinydy y e s inxdx 0(esinx e s inx)dx 2 2.方法二：（1）根据格林公式，得sinyLxed y y e s inxdx (esiny e s inx)dxdy， DLxe s inydy y esinxdx (e s iny e sinx)dxdy. D因为D 具有轮换对称性，所以(esiny e s inx)dxdy=(e s iny e sinx)dxdy，D D故sinyLxedy y e s inxdx Lxe s inydy y esinxdx.(2) 由(1)知siny s inxsinyLxedy y edx (e e sinx)dxdy D= esi nydxdyD e s inxdxdy D= esinxdxdy e s inxdxdy （利用轮换对称性）D D34安庆师范学院09计1班=六、sinx s inx2(e e)dxdy 2dxdy 2 . DD【详解】(1) 设第n次击打后，桩被打进地下xn，第n次击打时，汽锤所作的功为Wn(n 1,2,3, ). 由题设，当桩被打进地下的深度为x时，土层对桩的阻力的大小为kx，所以W 11 x0kxdx k2k22x1 2a，Wx2k22k222 xkxdx (x2 x1) 2(x2 a).12由W2 rW1可得x222 a ra2即x22 (1 r)a2.W3 x3xkxdx k(x2 x2) k[x2223223 (1 r)a2].由W23 rW2 rW1可得x23 (1 r)a2 r2a2，从而x23 r r a，即汽锤击打3次后，可将桩打进地下r r2am.（2）由归纳法，设x r r2 r n 1n a，则Wxn 1n 1 kxdx kx2(x22nn 1x n)=k2[x2n 1(1 r r n 1)a2].由于W2Wnn 1 rWn rn 1 rW1，故得x2 1n 1(1 r r n)a2 rna2,35安庆师范学院09计1班从而xn 1r n 1 r r a a. 1 r n于是limxn 1 n 1a，1 r1a m. 1 r即若击打次数不限，汽锤至多能将桩打进地下七、【详解】(1) 由反函数的求导公式知dx1 ，于是有dyyy d2xddxd1dx y 1() ==. ()232dydydxy dyy y (y )dy代入原微分方程得y y sinx. ( * )(2) 方程( * )所对应的齐次方程y y 0的通解为Y C1e C2e.设方程( * )的特解为y Acosx B sinx，*x x11*，故y s inx，从而y y sinx的通解是221*x x y Y y C1e C2e s inx. 23由y(0) 0,y (0) ，得C1 1,C2 1. 故所求初值问题的解为21x x x. y e e s in2代入方程( * )，求得A 0,B八、【详解】(1) 因为F(t)2 0d d f(r)rsin dr t22 02 00d f(r)rdr0t2 2 f(r2)r2drt 0t，0f(r)rdr36 2 安庆师范学院09计1班2)tF (t) 2t f(t 0f(r2)r(t r)dr[ tf(r22，0)rd]r所以在(0, )上F (t) 0，故F(t) 在(0, ) g(t) t22t2t0f(r)rdr 0f(r)dr [ 0f(r2)rd]r2，则g (t) f(t2) t0f(r2)(t r)2dr 0，故g(t)在(0, )内单调增加.因为g(t)在t=0处连续，所以当t>0时，有g(t)>g(0). 又g(0)=0, 故当t>0时，g(t)>0, 因此，当t>0时，F(t) 2G(t).九、【详解】方法一：经计算可得A* 5 2225 2 01 1，P 1 100 ，225 001700B P 1A*P= 25 4 .223从而B 2E 90027 4 ，22537安庆师范学院09计1班9E (B 2E) 22004 ( 9)2( 3)， 72 5故B+2E的特征值为 1 2 9, 3 3.当 1 2 9时，解(9E A)x 0，得线性无关的特征向量为1 2 1 1, 2 0, 0 1所以属于特征值 1 2 9的所有特征向量为，其中k1,k2是不全为零的任意常数.1 2 k1 1 k2 2 k11 k200 1当 3 3时，解(3E A)x 0，得线性无关的特征向量为， 10 3 10 所以属于特征值 3 3的所有特征向量为k3 3 k31，其中k3 0为任意常数.1方法二：设A的特征值为 ，对应特征向量为 ，即A . 由于A 7 0，所以 0.又因A*A AE，故有A* A.A于是有B(P 1 ) P 1A*P(P 1 )A (P 1 )，(B 2E)P1 ( 2)P 1 . 38安庆师范学院09计1班因此，A2为B+2E的特征值，对应的特征向量为P 1 .322，由于 E A 2 32 ( 1)2( 7)22 3故A的特征值为 1 2 1, 3 7.1 1当 时，对应的线性无关特征向量可取为1 2 11 1， 2 0.1当 13 7时，对应的一个特征向量为 3 1.101 1 1由P 1 100 1 0，得P 1 1 ，P 1 11 2 ，P 1 3 1 .001 0 1 1因此，B+2E的三个特征值分别为9，9，3.对应于特征值9的全部特征向量为1k 11 11P 1 k2P 2 k1 1k2 1，其中k1,k2是不全为零的任意常数；0 1对应于特征值3的全部特征向量为k 1 03P 3 k3 1，其中k3是不为零的任意常数.1十、【详解】方法一：必要性设三条直线l1,l2,l3交于一点，则线性方程组ax 2by 3c,bx 2cy 3a, (*) cx 2ay 3b,39安庆师范学院09计1班有唯一解，故系数矩阵A b2c与增广矩阵 b2c 3a的秩均为2， a2b a2b 3c于是 0. ac2 c2a 3ba2b 3c由于 b2c 3a 6(a b c)[a2 b2 c2 a b a c b c]c2a 3b=3(a b c)[(a b)2 (b c)2 (c a)2],但根据题设(a b)2 (b c)2 (c a)2 0，故a b c 0.充分性：由a b c 0，则从必要性的证明可知， 0，故秩() 3.由于a2bb2c 2(ac b2) 2[a(a b) b2] = 2[(a 12b)2 34b2] 0，故秩(A)=2. 于是，秩(A)=秩()=2.因此方程组(*)有唯一解，即三直线l1,l2,l3交于一点.方法二：必要性x0设三直线交于一点(x，则 y0,y0)0为Ax=0的非零解，其中1a2b3cAb2c3a .c2a3b于是A 0.40安庆师范学院09计1班a2b3c而A b2c3a 6(a b c)[a2 b2 c2 a b a c b c]2a3bc= 3(a b c)[(a b)2 (b c)2 (c a)2],但根据题设(a b)2 (b c)2 (c a)2 0，故a b c 0.充分性：考虑线性方程组ax 2by 3c, bx 2cy 3a, (*) cx 2ay 3b,将方程组(*)的三个方程相加，并由a+b+c=0可知，方程组(*)等价于方程组ax 2by 3c, (* *)bx 2cy 3a.a2b因为 2(ac b2) 2[a(a b) b2] b2c=-[a b(a b)] 0,故方程组(* *)有唯一解，所以方程组(*)有唯一解，即三直线l1,l2,l3交于一点. 十一、【详解】(1) X的可能取值为0，1，2，3，X的概率分布为3 k C3kC3 P{X k} ，k=0,1,2,3. 3C6222即X 0 1 2 3因此EX 0 1991 2020202019913 1 2 3 . 202020202(2) 设A表示事件―从乙箱中任取一件产品是次品‖，由于{X 0}，{X 1}，{X 2}，{X 3}构成完备事件组，因此根据全概率公式，有41安庆师范学院09计1班3P(A) P{X k}P{AX k} k 03= P{X k} k 1k 066 3kP{X k} k 0=1136EX 6 2 14.【评注】本题对数学期望的计算也可用分解法：设X 0,从甲箱中取出的第i件产品是合格品,i 1,从甲箱中取出的第i件产品是次品,则Xi的概率分布为Xi 0 112 12 i 1,2,3.因为X X1 X2 X3，所以EX EX31 E X2 E X3 2.十二、【详解】(1)F(x) xf(t)dt 1 e2(x ),x ,0,x .(2) F ˆ(x) P{ ˆ x} P{min(X1,X2, ,Xn) x} =1 P{min(X1,X2, ,Xn) x} =1 P{X1 x,X2 x, ,Xn x} =1 [1 F(x)]n= 1 e2n(x ),x ,0,x .42安庆师范学院09计1班(3) ˆ概率密度为2n(x )fˆ(x) 2ne,x ,ˆ(x) dFdx0,x .因为E ˆxf ˆ(x)dx 2nxe 2n(x )dx= 12n ，所以 ˆ作为 的估计量不具有无偏性. 43安庆师范学院09计1班2004年数学一试题一、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 把答案填在题中横线上）（1）曲线y=lnx上与直线x y 1垂直的切线方程为_________.（2）已知f (ex) xe x，且f(1)=0, 则f(x)= __________ .（3）设L为正向圆周x2 y2 2在第一象限中的部分，则曲线积分为____ . Lxdy 2ydx的值d2ydy 4x 2y 0(x 0)的通解为__________. （4）欧拉方程x2dxdx2210 矩阵B满足ABA* 2BA* E，*（5）设矩阵A 120，其中A为A的伴随矩阵， 001E是单位矩阵，则B _________ .（6）设随机变量X服从参数为 的指数分布，则P{X DX}= ________ .二、选择题（本题共8小题，每小题4分，满分32分. 每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号(B) , , . (C) , , . (D) , , . [ ]（8）设函数f(x)连续，且f (0) 0,则存在 0，使得[ ](A) f(x)在（0， ) （B）f(x)在( ,0)对任意的x (0, )有f(x)>f(0) . (D) 对任意的x ( ,0)有f(x)>f(0) .（9）设 an 1 n为正项级数，下列结论中正确的是[ ]44安庆师范学院09计1班(A) 若limnan=0，则级数nan 1n收敛.（B）若存在非零常数 ，使得limnan ，则级数nan 1n发散.(C) 若级数an 1n收敛，则limnan 0.n2(D) 若级数an 1n发散, 则存在非零常数 ，使得limnan .n（10）设f(x)为连续函数，F(t)dy1ttyf(x)dx，则F (2)等于[ ](A) 2f(2). (B) f(2). (C) –f(2). (D) 0.（11）设A是3阶方阵，将A的第1列与第2列交换得B,再把B的第2列加到第3列得C, 则满足AQ=C的可逆矩阵Q为[ ]010(A) 100. (B) 101010101 . (C) 001 010100 . (D) 011 011100 . 001（12）设A,B为满足AB=O的任意两个非零矩阵，则必有[ ](A) A的列向量组线性相关，B的行向量组线性相关. (B) A的列向量组线性相关，B的列向量组线性相关. (C) A的行向量组线性相关，B的行向量组线性相关.(D) A的行向量组线性相关，B的列向量组线性相关.（13）设随机变量X服从正态分布N(0,1)，对给定的 (0 1)，数u 满足P{X u } ，若P{X x} ，则x等于2[1。
考研数学一真题2001-2010
2000年普通高等学校招生全国统一考试数学（理工农医类）本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分。
第I卷1至2页。
第II卷3至9页。
共150分。
考试时间120分钟。
第I卷（选择题60分）注意事项：1．答第I卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上。
2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答，不能答在试题卷上。
3．考试结束，监考人将本试卷和答题卡一并收回。
参考公式：三角函数的积化和差公式正棱台、圆台的侧面积公式其中c′、c分别表示上、下底面周长，l表示斜高或母线长其中S′、S分别表示上、下底面积，h表示高一、选择题：本大题共12分，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
（1）设集合A和B都是自然数集合N，映射f：A→B把集合A中的元素n映射到集合B中的元素，则在映射f下，象20的原象是（）（A）2 （B）3 （C）4 （D）5（2）在复平面内，把复数对应的向量按顺时针方向旋转，所得向量对应的复数是（A）（B）（C）（D）（3）一个长方体共一顶点的三个面的面积分别是，这个长方体对角线的长是（A）（B）（C）6 （D）（4）已知sinα>sinβ，那么下列命题成立的是（A）若α、β是第一象限角，则cosα>cosβ（B）若α、β是第二象限角，则tgα>tgβ某人一月份应交纳此项税款26.78元，则他的当月工资、薪金所得介于（A）800～900元（B）900～1200元（C）1200～1500元（D）1500～2800元（7）若a>b>1，，则（A）R<P<Q（B）P<Q<R （C）Q<P<R （D）P<R<Q （8）以极坐标中的点（1，1）为圆心，1为半径的圆的方程是（A）（B）（C）（D）（9）一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，这个圆柱的全面积与侧面积的比是（A）（B）（C）（D）（10）过原点的直线与圆相切，若切点在第三象限，则该直线的方程是（A）（B）（C）（D）（11）过抛物线（a>0）的焦点F作一直线交抛物线于P、Q两点，若线段PF与FQ的长分别是p、q，则等于（A）2a（B）（C）4a （D）（12）如图，OA是圆锥底面中心O到母线的垂线，OA绕轴旋转一周所得曲面将圆锥分成体积相等的两部分，则母线与轴的夹角为（A）（B）（C）（D）2000年普通高等学校招生全国统一考试数学（理工农医类）第II卷（非选择题共90分）注意事项：1．第II卷共7页，用钢笔或圆珠笔直接答在试题卷中。
2010年全国硕士研究生入学统一考试(数一)试题及答案
2010年全国硕士研究生入学统一考试数一试题一、选择题（1~8小题，每小题4分，共32分，下列每题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，把所选项前的字母填在答题纸指定的位置上）（1）极限2lim ()()xx x x a x b →∞⎡⎤=⎢⎥-+⎣⎦（ ） （A ）1 （B ）e （C ） a b e - （D ）b a e -（2）设函数(,)z z x y =由方程(,)0y zF x x=确定，其中F 为可微函数，且20F '≠。
则z zx y x y∂∂+=∂∂（ ） （A ）x （B ）z （C ）x - （D ）z - （3）设m 、n为正整数，则反常积分0⎰的收敛性（ ）（A ）仅与m 有关 （B ）仅与n 有关 （C ）与 m 、n 都有关 （D ）与 m 、n 都无关 （4）2211lim ()()nnn i j nn i n j →∞===++∑∑（ ） （A ）1201(1)(1)x dx dy x y ++⎰⎰（B ）11001(1)(1)dx dy x y ++⎰⎰ （C ）101(1)(1)x dx dy x y ++⎰⎰（D ）112001(1)(1)dx dy x y ++⎰⎰（5）设A 是m n ⨯矩阵，B 是n m ⨯矩阵，且AB E =，其中E 为m 阶单位矩阵，则（ ）（A ）()()R A R B m == （B ）()R A m =，()R B n = （C ）()R A n =，()R B m = （D ）()()R A R B n ==（6）设A 是4阶实对称矩阵，且2A A O +=，若()3R A =，则A 相似于（ ）（A ）1110⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ （B ）1110⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪- ⎪⎝⎭ （C ）1110⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪- ⎪⎝⎭ （D ）1110-⎛⎫⎪- ⎪ ⎪- ⎪⎝⎭（7）设随机变量X 的分布函数为0,011(),02211,2x x F x x e x -⎧⎪<⎪⎪=≤<⎨⎪⎪-≥⎪⎩，则{1}P X ==（ ）（A ）0 （B ）12 （C ）112e -- （D ）11e -- （8）设1()f x 为标准正态分布的概率密度函数，2()f x 为[1,3]-上均匀分布的概率密度函数，若12(),0()(),0af x x f x bf x x ≤⎧⎪=⎨>⎪⎩（0a >，0b >），则a ，b 满足（ ）（A ）234a b += （B ）324a b += （C ）1a b += （D ）2a b +=二、填空题（9~14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上）（9）设20ln(1)ttx e y u du -⎧=⎪⎨=+⎪⎩⎰，则220t d y dx ==（10）0π=⎰（11）已知曲线L 的方程为1y x =-（11x -≤≤），起点为(1,0)-，终点为(1,0)，则2Lxydx x dy +=⎰（12）设22{(,,)1}x y z x y z Ω=+≤≤，则Ω的形心坐标z =（13）若11210α⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪- ⎪⎝⎭，21102α⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，3211a α⎛⎫⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，若由123,,ααα形成的向量组的秩为2，则a =（14）设随机变量X 的分布为{}!CP X k k ==（0,1,2,...k =），则2EX = 三、解答题（15～23小题，共94分，请将解答写在答题纸指定的位置上。
2001年考研数学一试题及完全解析(Word版)
yOx2001年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上.)(1)设12(sin cos )xy e C x C x =+(12,C C 为任意常数）为某二阶常系数线性齐次微分方程的通解,则该方程为_____________.(2)设222z y x r++=,则div (grad r ))2,2,1(-=_____________.(3)交换二次积分的积分次序:⎰⎰--0112),(y dx y x f dy ＝_____________.(4)设矩阵A 满足240A A E +-=,其中E 为单位矩阵,则1()A E --=_____________.(5)设随机变量X 的方差是2,则根据切比雪夫不等式有估计≤≥-}2)({X E X P_____________.二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.) (1)设函数)(x f 在定义域内可导,)(x f y =的图形如右图所示,则)(x f y'=的图形为(2)设),(y x f 在点(0,0)附近有定义,且1)0,0(,3)0,0(='='y x f f ,则(A ) (0,0)|3z d dx dy =+. (B ) 曲面),(y x f z=在(0,0,(0,0))f 处的法向量为{3,1,1}.(C ) 曲线⎩⎨⎧==0),(y y x f z 在(0,0,(0,0))f 处的切向量为{1,0,3}.(D ) 曲线⎩⎨⎧==0),(y y x f z 在(0,0,(0,0))f 处的切向量为{3,0,1}.(3)设0)0(=f ,则)(x f 在x =0处可导的充要条件为(A ) 201lim (1cosh)h f h →-存在.(B )01lim(1)h h f e h →-存在. (C ) 201lim (sinh)h f h h→-存在.(D ) 01lim [(2)()]h f h f h h→-存在.(4)设1111400011110000,,1111000011110000A B ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦则A 与B (A ) 合同且相似. (B ) 合同但不相似. (C ) 不合同但相似.(D ) 不合同且不相似.(5)将一枚硬币重复掷n 次,以X 和Y 分别表示正面向上和反面向上的次数, 则X 和Y 的相关系数等于(A )-1.(B ) 0.(C )12. (D ) 1.三、(本题满分6分)求dx e e xx⎰2arctan .四、(本题满分6分) 设函数),(y x f z=在点(1,1)处可微,且(1,1)1f =,(1,1)|2fx∂=∂,(1,1)|3f y ∂=∂,()(,x f x ϕ=(,))f x x .求13)(=x x dxd ϕ.五、(本题满分8分)设)(x f =210,arctan ,0,1,x x x x x +⎧≠⎨=⎩将)(x f 展开成x 的幂级数,并求级数∑∞=--1241)1(n nn 的和.六、(本题满分7分) 计算dz y x dy x z dx z y I L)3()2()(222222-+-+-=⎰,其中L 是平面2=++z y x 与柱面1=+y x 的交线,从Z 轴正向看去,L 为逆时针方向.七、(本题满分7分) 设)(x f 在(1,1)-内具有二阶连续导数且0)(≠''x f ,试证:(1)对于(1,1)-内的任一0x ≠,存在惟一的)1,0()(∈x θ,使)(x f =)0(f +))((x x f x θ'成立;(2)01lim ()2x x θ→=.八、(本题满分8分)设有一高度为()h t (t 为时间)的雪堆在融化过程,其侧面满足方程)()(2)(22t h y x t h z +-=(设长度单位为厘米,时间单位为小时),已知体积减少的速率与侧面积成正比(比例系数为0.9),问高度为130(厘米)的雪堆全部融化需多少小时?九、(本题满分6分)设s ααα,,,21 为线性方程组0Ax =的一个基础解系,11122t t βαα=+,21223,t t βαα=+,121s s t t βαα=+,其中21,t t 为实常数.试问21,t t 满足什么条件时,s βββ,,,21 也为0Ax =的一个基础解系.十、(本题满分8分) 已知3阶矩阵A 与三维向量x ,使得向量组2,,x Ax A x 线性无关,且满足x A Ax x A 2323-=.(1)记P =（x A Ax x 2,,）,求3阶矩阵B ,使1-=PBP A ;(2)计算行列式E A +.十一、(本题满分7分)设某班车起点站上客人数X 服从参数为λ(0λ>)的泊松分布,每位乘客在中途下车的概率为p (01p <<),且中途下车与否相互独立.以Y 表示在中途下车的人数,求:(1)在发车时有n 个乘客的条件下,中途有m 人下车的概率; (2)二维随机变量(,)X Y 的概率分布.十二、(本题满分7分) 设总体X 服从正态分布2(,)N μσ(0σ>),从该总体中抽取简单随机样本12,X X ,,2n X (2n ≥),其样本均值为∑==ni i X n X 2121,求统计量∑=+-+=ni i n i X X X Y 12)2(的数学期望()E Y .2001年考研数学一试题答案与解析一、填空题(1)【分析】 由通解的形式可知特征方程的两个根是12,1r r i =±,从而得知特征方程为22121212()()()220r r r r r r r r r r r r --=-++=-+=.由此,所求微分方程为'''220y y y -+=.(2)【分析】 先求grad r .grad r=,,,,r r r x y z x y z r r r ∂∂∂⎧⎫⎧⎫=⎨⎬⎨⎬∂∂∂⎩⎭⎩⎭. 再求 div grad r=()()()x y zx r y r z r∂∂∂++∂∂∂=222222333311132()()()x y z x y z r r r r r r r r r++-+-+-=-=.于是div grad r|(1,2,2)-=(1,2,2)22|3r -=.(3)【分析】 这个二次积分不是二重积分的累次积分,因为10y -≤≤时12y -≤.由此看出二次积分0211(,)ydy f x y dx --⎰⎰是二重积分的一个累次积分,它与原式只差一个符号.先把此累次积分表为0211(,)(,)yDdy f x y dx f x y dxdy --=⎰⎰⎰⎰.由累次积分的内外层积分限可确定积分区域D :10,12y y x -≤≤-≤≤.见图.现可交换积分次序原式=02202111111(,)(,)(,)xyxdy f x y dx dx f x y dy dx f x y dy -----=-=⎰⎰⎰⎰⎰⎰.(4)【分析】 矩阵A 的元素没有给出,因此用伴随矩阵、用初等行变换求逆的路均堵塞.应当考虑用定义法.因为2()(2)240A E A E E A A E -+-=+-=,故()(2)2A E A E E -+=,即 2()2A EA E E +-⋅=. 按定义知11()(2)2A E A E --=+.(5)【分析】 根据切比雪夫不等式2(){()}D x P X E X εε-≥≤,于是2()1{()2}22D x P XE X -≥≤=.二、选择题(1)【分析】 当0x <时,()f x 单调增'()0f x ⇒≥,(A ),(C )不对;当0x >时,()f x :增——减——增'()f x ⇒:正——负——正,(B )不对,(D )对.应选(D ).(2)【分析】 我们逐一分析.关于(A ),涉及可微与可偏导的关系.由(,)f x y 在(0,0)存在两个偏导数⇒(,)f x y 在(0,0)处可微.因此(A )不一定成立.关于(B )只能假设(,)f x y 在(0,0)存在偏导数(0,0)(0,0),f f x y∂∂∂∂,不保证曲面(,)z f x y =在 (0,0,(0,0))f 存在切平面.若存在时,法向量n=(0,0)(0,0)1f f x y ⎫∂∂⎧±-=±⎨⎬∂∂⎩⎭，，{3,1,-1}与{3,1,1}不共线,因而(B )不成立.关于(C ),该曲线的参数方程为,0,(,0),x t y z f t =⎧⎪=⎨⎪=⎩它在点(0,0,(0,0))f 处的切向量为'0{',0,(,0)}|{1,0,(0,0)}{1,0,3}t x dt f t f dt===. 因此,(C )成立.(3)【分析】 当(0)0f =时,'0()(0)limx f x f x →=∃00()()lim lim x x f x f x x x→+→-⇔=∃.关于(A ):220001(1cos )1cos 1()lim (1cos )lim 1cos lim1cos 2h h t f h h f t f h t h h h h t→→→+---=⋅=--, 由此可知 201lim (1cos )h f h h→-∃ ⇔ '(0)f + ∃.若()f x 在0x =可导⇒(A )成立,反之若(A )成立⇒'(0)f + ∃⇒'(0)f ∃.如()||f x x =满足(A ),但'(0)f 不∃. 关于(D ):若()f x 在0x =可导,⇒''001(2)()lim [(2)()]lim[2]2(0)(0)2h h f h f h f h f h f f h h h→→-=-=-. ⇒(D )成立.反之(D )成立0lim((2)())0h f h f h →⇒-=⇒()f x 在0x =连续,⇒()f x 在0x =可导.如21,0()0,0x x f x x +≠⎧=⎨=⎩ 满足(D ),但()f x 在0x =处不连续,因而'(0)f 也不∃.再看(C ):2220001sin (sin )sin ()lim(sin )lim lim sin h h h h h f h h h h f t f h h h h h h h t→→→----=⋅=⋅-(当它们都∃时).注意,易求得20sin lim0h h h h →-=.因而,若'(0)f ∃⇒(C )成立.反之若(C )成立⇒0()lim t f t t→(即 '(0)f ∃).因为只要()f t t有界,任有(C )成立,如()||f x x =满足(C ),但'(0)f 不∃.因此,只能选(B ).(4)【分析】 由 43||40E A λλλ-=-=,知矩阵A 的特征值是4,0,0,0.又因A 是实对称矩阵,A 必能相似对角化,所以A 与对角矩阵B 相似.作为实对称矩阵,当AB 时,知A 与B 有相同的特征值,从而二次型T x Ax 与T x Bx 有相同的正负惯性指数,因此A 与B 合同.所以本题应当选(A ).注意,实对称矩阵合同时,它们不一定相似,但相似时一定合同.例如1002A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦与1003B ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦, 它们的特征值不同,故A 与B 不相似,但它们的正惯性指数均为2,负惯性指数均为0.所以A 与B 合同.(5)【分析】 解本题的关键是明确X 和Y 的关系:XY n +=,即Y n X =-,在此基础上利用性质:相关系数XY ρ的绝对值等于1的充要条件是随机变量X 与Y 之间存在线性关系,即YaX b =+(其中,a b 是常数),且当0a >时,1XY ρ=;当0a <时,1XY ρ=-,由此便知1XY ρ=-,应选(A ).事实上,(,)(,)Cov X Y Cov X n X DX =-=-,()DY D n X DX =-=,由此由相关系数的定义式有1XY ρ===-.三、【解】原式=222211arctan ()[arctan ]22(1)x x x x xxx de e d e e e e e ---=--+⎰⎰=2221(arctan )21x x x xx xde de e e e e ---++⎰⎰=21(arctan arctan )2xx x x e e e e C ---+++.四、【解】 先求(1)(1,(1,1))(1,1)1f f f ϕ===.求 32''1()|3(1)(1)3(1)x d x dxϕϕϕϕ===,归结为求'(1)ϕ.由复合函数求导法 '''12()(,(,))(,(,))(,)dx f x f x x f x f x x f x x dxϕ=+,'''''1212(1)(1,1)(1,1)[(1,1)(1,1)]f f f f ϕ=++.注意'1(1,1)(1,1)2f f x∂==∂,'2(1,1)(1,1)3f f y ∂==∂. 因此'(1)23(23)17ϕ=++=,31()|31751x d x dxϕ==⨯=.五、【分析与求解】 关键是将arctan x 展成幂级数,然后约去因子x ,再乘上21x +并化简即可.直接将arctan x 展开办不到,但'(arctan )x 易展开,即'221(arctan )(1),||11n n n x x x x ∞===-<+∑, ①积分得 '2210000(1)arctan (arctan )(1)21n xx nnn n n x t dt t dt x n ∞∞+==-==-=+∑∑⎰⎰,[1,1]x ∈-. ② 因为右端积分在1x =±时均收敛,又arctan x 在1x =±连续,所以展开式在收敛区间端点1x =±成立.现将②式两边同乘以21x x+得2222220001(1)(1)(1)arctan (1)212121n n n n n n n n n x x x x x x x n n n +∞∞∞===+---=+=++++∑∑∑=12200(1)(1)2121n n n nn n x x n n -∞∞==--++-∑∑=21111(1)()2121n n n x n n ∞=+--+-∑221(1)2114n nn x n ∞=-=+-∑ ,[1,1]x ∈-,0x ≠上式右端当0x =时取值为1,于是221(1)2()1,[1,1]14n nn f x x x n∞=-=+∈--∑. 上式中令1x =21(1)111[(1)1](21)1422442n n f n ππ∞=-⇒=-=⨯-=--∑.六、【解】用斯托克斯公式来计算.记S 为平面2x y z ++=上L 所为围部分.由L 的定向,按右手法则S 取上侧,S 的单位法向量(cos ,cos ,cos )3n αβγ==. 于是由斯托克斯公式得222222cos cos cos 23SI dS x y z y z z x x y αβγ∂∂∂=∂∂∂---⎰⎰=[(24(26(22]333Sy z z x x y dS --+--+--⎰⎰=(423)(2)(6)33S Sx y z dS x y z x y dS ++++=-+-利用. 于是'2'211113x y Z Z ++=++=按第一类曲面积分化为二重积分得(6)32(6)3D DI x y dxdy x y dxdy =+-=-+-⎰⎰, 其中D 围S 在xy 平面上的投影区域||||1x y +≤(图）.由D 关于,x y 轴的对称性及被积函数的奇偶性得()0Dx y dxdy -=⎰⎰⇒21212(2)24DI dxdy =-=-=-⎰⎰.七、【证明】 (1)由拉格朗日中值定理,(1,1)x ∀∈-,0,(0,1)x θ≠∃∈,使'()(0)()f x f xf x θ=+(θ与x 有关);又由''()f x 连续而''()0f x ≠,''()f x 在(1,1)-不变号,'()f x 在(1,1)-严格单调,θ唯一. (2)对'()f x θ使用''(0)f 的定义.由题(1)中的式子先解出'()f x θ,则有'()(0)()f x f f x xθ-=.再改写成'''()(0)(0)()(0)f x f xf f x f x θ---=.'''2()(0)()(0)(0)f x f f x f xf x xθθθ---⋅=, 解出θ,令0x →取极限得'''''2''0001(0)()(0)(0)()(0)12lim lim /lim (0)2x x x f f x f xf f x f x x f θθθ→→→---===.八、【解】 (1)设t 时刻雪堆的体积为()V t ,侧面积为()S t .t 时刻雪堆形状如图所示先求()S t 与()V t .侧面方程是222222()()()((,):)()2xy x y h t z h t x y D x y h t +=-∈+≤. ⇒44,()()z x z yx h t y h t ∂∂=-=-∂∂. ⇒()xyxyD D S t dxdy ==⎰⎰.作极坐标变换:cos ,sin x r y r θθ==,则:02,0()xy D r t θπ≤≤≤≤.⇒2(003()22221()()2113[()16]().()4812t t S t d h t h t r h t h t πθππ==⋅+=⎰用先二后一的积分顺序求三重积分()()()h t D x V t dzdxdy =⎰⎰⎰,其中222()():()()()x y D z h t z t h t +≤-,即2221[()()]2x y h t h t z +≤-. ⇒()233301()[()()][()()]()2224h t V t h t h t z dz h t h t h t πππ=-=-=⎰. (2)按题意列出微分方程与初始条件.体积减少的速度是dV dt -,它与侧面积成正比(比例系数0.9),即 0.9dVS dt=- 将()V t 与()S t 的表达式代入得 22133()0.9()412dh h t h t dt ππ=-,即1310dh dt =-.①(0)130h =.②(3)解①得13()10h t t C =-+. 由②得130C =,即13()13010h t t =-+. 令()0h t =,得100t =.因此,高度为130厘米的雪堆全部融化所需时间为100小时.九、【解】由于(1,2)i i s β=是12,,s ααα线性组合,又12,,s ααα是0Ax =的解,所以根据齐次线性方程组解的性质知(1,2)i i s β=均为0Ax =的解.从12,,s ααα是0Ax =的基础解系,知()s n r A =-.下面来分析12,,s βββ线性无关的条件.设11220s s k k k βββ++=,即11212112222133211()()()()0s s s s t k t k t k t k t k t k t k t k αααα-++++++++=.由于 12,,s ααα线性无关,因此有112211222132110,0,0,0.s s s t k t k t k t k t k t k t k t k -+=⎧⎪+=⎪⎪+=⎨⎪⎪+=⎪⎩(*)因为系数行列式12211211221000000000(1)000s s st t t t t t t t t t +=+-, 所以当112(1)0ss st t ++-≠时,方程组(*)只有零解120s k k k ====.从而12,,s βββ线性无关.十、【解】 (1)由于AP PB = ,即22322(,,)(,,)(,,32)A x Ax A x Ax A x A x Ax A x Ax A x ==-2000(,,)103012x Ax A x ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦,所以000103012B ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦.(2)由(1)知AB ,那么A E B E ++,从而100||||1134011A EB E +=+==--.十一、【解】 (1){|}(1),0,0,1,2,mmn mn P Y m X n C p p m n n -===-≤≤=.(2){,}P Xn Y m ==={}{|}P X n P Y m X n ====(1),0,0,1,2,.!nm mn m n e C p p m n n n λλ--⋅-≤≤=十二、【解】 易见随机变量11()n X X ++,22()n X X ++,2,()n n X X +相互独立都服从正态分布2(2,2)N μσ.因此可以将它们看作是取自总体2(2,2)N μσ的一个容量为n 的简单随机样本.其样本均值为21111()2n ni n i i i i X X X X n n +==+==∑∑, 样本方差为2111(2)11n i n ii X X X Y n n +=+-=--∑. 因样本方差是总体方差的无偏估计,故21()21E Y n σ=-,即2()2(1)E Y n σ=-.。
2001年考研数学一真题
(C) lim
h 0
(D) lim
h 0
1 (4)设 A 1 1 1
0 0 ,则 A 与 B 0 0
(A)合同且相似 (C)不合同但相似
(B)合同但不相似 (D)不合同且不相似
(5)将一枚硬币重复掷 n 次,以 X 和 Y 分别表示正面向上和反面向上的次数, 则 X 和 Y 相关系数为 (A) -1 (C) (B)0 (D)1
十二、(本题满分 7 分) 设 X ~ N ( , ) 抽 取 简 单 随 机 样 本 X 1 , X 2 , , X 2 n ( n 2), 样 本 均 值
2
X
n 1 2n , X Y ( X i X n i 2 X ) 2 ,求 E (Y ). i 2n i 1 i 1
x 0
八、(本题满分 8 分) 设 有 一 高 度 为 h(t )(t 为 时 间 ) 的 雪 堆 在 融 化 过 程 , 其 侧 面 满 足 方 程
z h(t )
2( x 2 y 2 ) (设长度单位为厘米,时间单位为小时),已知体积减少的速率与侧面积 h(t )
成正比(系数为 0.9),问高度为 130 厘米的雪堆全部融化需多少时间? 九、(本题满分 6 分) 设 α1 , α 2 , , α s 为线性方程组 AX O 的一个基础解系,
五、(本题满分 8 分)
d 3 x2 (1) n arctan x x 0 , 将 展开成 x 的幂级数 , 并求 的和. f ( x ) x 2 n 1 1 4n 1 x0
六、(本题满分 7 分) 计算 I
L
( y 2 z 2 )dx (2 z 2 x 2 )dy (3x 2 y 2 )dz ,其中 L 是平面 x y z 2 与
2001考研数学一试题与答案解析
yOx2001年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上.)(1)设12(sin cos )xy e C x C x =+(12,C C 为任意常数）为某二阶常系数线性齐次微分方程的通解,则该方程为_____________.(2)设222z y x r++=,则div (grad r ))2,2,1(-=_____________.(3)交换二次积分的积分次序:⎰⎰--0112),(y dx y x f dy ＝_____________.(4)设矩阵A 满足240A A E +-=,其中E 为单位矩阵,则1()A E --=_____________. (5)设随机变量X 的方差是2,则根据切比雪夫不等式有估计≤≥-}2)({X E X P_____________.二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.)(1)设函数)(x f 在定义域内可导,)(x f y =的图形如右图所示,则)(x f y '=的图形为(2)设),(y x f 在点(0,0)附近有定义,且1)0,0(,3)0,0(='='y x f f ,则 (A ) (0,0)|3z d dx dy =+.(B ) 曲面),(y x f z =在(0,0,(0,0))f 处的法向量为{3,1,1}.(C ) 曲线⎩⎨⎧==0),(y y x f z 在(0,0,(0,0))f 处的切向量为{1,0,3}.(D ) 曲线⎩⎨⎧==0),(y y x f z 在(0,0,(0,0))f 处的切向量为{3,0,1}.(3)设0)0(=f ,则)(x f 在x =0处可导的充要条件为(A ) 201lim (1cosh)h f h →-存在.(B )01lim(1)h h f e h →-存在. (C ) 201lim (sinh)h f h h→-存在.(D ) 01lim [(2)()]h f h f h h→-存在.(4)设1111400011110000,,1111000011110000A B ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦则A 与B (A ) 合同且相似. (B ) 合同但不相似. (C ) 不合同但相似.(D ) 不合同且不相似.(5)将一枚硬币重复掷n 次,以X 和Y 分别表示正面向上和反面向上的次数, 则X 和Y 的相关系数等于(A )-1.(B ) 0.(C )12. (D ) 1.三、(本题满分6分)求dx e e xx⎰2arctan .四、(本题满分6分)设函数),(y x f z =在点(1,1)处可微,且(1,1)1f =,(1,1)|2fx∂=∂,(1,1)|3f y ∂=∂,()(,x f x ϕ=(,))f x x .求13)(=x x dxd ϕ.五、(本题满分8分)设)(x f =210,arctan ,0,1,x x x x x +⎧≠⎨=⎩将)(x f 展开成x 的幂级数,并求级数∑∞=--1241)1(n nn 的和.六、(本题满分7分) 计算dz y x dy x z dx z y I L)3()2()(222222-+-+-=⎰,其中L 是平面2=++z y x 与柱面1=+y x 的交线,从Z 轴正向看去,L 为逆时针方向.七、(本题满分7分)设)(x f 在(1,1)-内具有二阶连续导数且0)(≠''x f ,试证:(1)对于(1,1)-内的任一0x ≠,存在惟一的)1,0()(∈x θ,使)(x f =)0(f +))((x x f x θ'成立; (2)01lim ()2x x θ→=.八、(本题满分8分)设有一高度为()h t (t 为时间)的雪堆在融化过程,其侧面满足方程)()(2)(22t h y x t h z +-=(设长度单位为厘米,时间单位为小时),已知体积减少的速率与侧面积成正比(比例系数为0.9),问高度为130(厘米)的雪堆全部融化需多少小时?九、(本题满分6分)设s ααα,,,21Λ为线性方程组0Ax =的一个基础解系,11122t t βαα=+,21223,t t βαα=+L ,121s s t t βαα=+,其中21,t t 为实常数.试问21,t t 满足什么条件时,s βββ,,,21Λ也为0Ax =的一个基础解系.十、(本题满分8分) 已知3阶矩阵A 与三维向量x ,使得向量组2,,x Ax A x 线性无关,且满足x A Ax x A 2323-=.(1)记P =（x A Ax x 2,,）,求3阶矩阵B ,使1-=PBP A ;(2)计算行列式E A +.十一、(本题满分7分)设某班车起点站上客人数X 服从参数为λ(0λ>)的泊松分布,每位乘客在中途下车的概率为p (01p <<),且中途下车与否相互独立.以Y 表示在中途下车的人数,求:(1)在发车时有n 个乘客的条件下,中途有m 人下车的概率; (2)二维随机变量(,)X Y 的概率分布.十二、(本题满分7分) 设总体X 服从正态分布2(,)N μσ(0σ>),从该总体中抽取简单随机样本12,X X ,L ,2n X (2n ≥),其样本均值为∑==ni i X n X 2121,求统计量∑=+-+=ni i n i X X X Y 12)2(的数学期望()E Y .2001年考研数学一试题答案与解析一、填空题(1)【分析】 由通解的形式可知特征方程的两个根是12,1r r i =±,从而得知特征方程为22121212()()()220r r r r r r r r r r r r --=-++=-+=.由此,所求微分方程为'''220y y y -+=.(2)【分析】 先求grad r .grad r=,,,,r r r x y z x y z r r r ∂∂∂⎧⎫⎧⎫=⎨⎬⎨⎬∂∂∂⎩⎭⎩⎭. 再求 div grad r=()()()x y zx r y r z r∂∂∂++∂∂∂=222222333311132()()()x y z x y z r r r r r r r r r++-+-+-=-=.于是div grad r|(1,2,2)-=(1,2,2)22|3r -=.(3)【分析】 这个二次积分不是二重积分的累次积分,因为10y -≤≤时12y -≤.由此看出二次积分0211(,)ydy f x y dx --⎰⎰是二重积分的一个累次积分,它与原式只差一个符号.先把此累次积分表为0211(,)(,)yDdy f x y dx f x y dxdy --=⎰⎰⎰⎰.由累次积分的内外层积分限可确定积分区域D :10,12y y x -≤≤-≤≤.见图.现可交换积分次序原式=02202111111(,)(,)(,)xyxdy f x y dx dx f x y dy dx f x y dy -----=-=⎰⎰⎰⎰⎰⎰.(4)【分析】 矩阵A 的元素没有给出,因此用伴随矩阵、用初等行变换求逆的路均堵塞.应当考虑用定义法.因为2()(2)240A E A E E A A E -+-=+-=,故()(2)2A E A E E -+=,即 2()2A EA E E +-⋅=. 按定义知11()(2)2A E A E --=+.(5)【分析】 根据切比雪夫不等式2(){()}D x P X E X εε-≥≤,于是2()1{()2}22D x P XE X -≥≤=.二、选择题(1)【分析】 当0x <时,()f x 单调增'()0f x ⇒≥,(A ),(C )不对;当0x >时,()f x :增——减——增'()f x ⇒:正——负——正,(B )不对,(D )对. 应选(D ).(2)【分析】 我们逐一分析.关于(A ),涉及可微与可偏导的关系.由(,)f x y 在(0,0)存在两个偏导数⇒(,)f x y 在(0,0)处可微.因此(A )不一定成立.关于(B )只能假设(,)f x y 在(0,0)存在偏导数(0,0)(0,0),f f x y∂∂∂∂,不保证曲面(,)z f x y =在 (0,0,(0,0))f 存在切平面.若存在时,法向量n=(0,0)(0,0)1f f x y ⎫∂∂⎧±-=±⎨⎬∂∂⎩⎭，，{3,1,-1}与{3,1,1}不共线,因而(B )不成立.关于(C ),该曲线的参数方程为,0,(,0),x t y z f t =⎧⎪=⎨⎪=⎩它在点(0,0,(0,0))f 处的切向量为'0{',0,(,0)}|{1,0,(0,0)}{1,0,3}t x dt f t f dt===. 因此,(C )成立.(3)【分析】 当(0)0f =时,'0()(0)limx f x f x →=∃00()()lim lim x x f x f x x x→+→-⇔=∃.关于(A ):220001(1cos )1cos 1()lim (1cos )lim 1cos lim1cos 2h h t f h h f t f h t h h h h t→→→+---=⋅=--, 由此可知 201lim (1cos )h f h h→-∃ ⇔ '(0)f + ∃.若()f x 在0x =可导⇒(A )成立,反之若(A )成立⇒'(0)f + ∃⇒'(0)f ∃.如()||f x x =满足(A ),但'(0)f 不∃. 关于(D ):若()f x 在0x =可导,⇒''001(2)()lim [(2)()]lim[2]2(0)(0)2h h f h f h f h f h f f h h h→→-=-=-. ⇒(D )成立.反之(D )成立0lim((2)())0h f h f h →⇒-=⇒()f x 在0x =连续,⇒()f x 在0x =可导.如21,0()0,0x x f x x +≠⎧=⎨=⎩ 满足(D ),但()f x 在0x =处不连续,因而'(0)f 也不∃.再看(C ):2220001sin (sin )sin ()lim(sin )lim lim sin h h h h h f h h h h f t f h h h h h h h t→→→----=⋅=⋅-(当它们都∃时).注意,易求得20sin lim0h h h h →-=.因而,若'(0)f ∃⇒(C )成立.反之若(C )成立⇒0()lim t f t t→(即 '(0)f ∃).因为只要()f t t有界,任有(C )成立,如()||f x x =满足(C ),但'(0)f 不∃.因此,只能选(B ).(4)【分析】 由 43||40E A λλλ-=-=,知矩阵A 的特征值是4,0,0,0.又因A 是实对称矩阵,A 必能相似对角化,所以A 与对角矩阵B 相似.作为实对称矩阵,当A B :时,知A 与B 有相同的特征值,从而二次型T x Ax 与T x Bx 有相同的正负惯性指数,因此A 与B 合同.所以本题应当选(A ).注意,实对称矩阵合同时,它们不一定相似,但相似时一定合同.例如1002A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦与1003B ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦, 它们的特征值不同,故A 与B 不相似,但它们的正惯性指数均为2,负惯性指数均为0.所以A 与B 合同.(5)【分析】 解本题的关键是明确X 和Y 的关系:X Y n +=,即Y n X =-,在此基础上利用性质:相关系数XY ρ的绝对值等于1的充要条件是随机变量X 与Y 之间存在线性关系,即YaX b =+(其中,a b 是常数),且当0a >时,1XY ρ=;当0a <时,1XY ρ=-,由此便知1XY ρ=-,应选(A ).事实上,(,)(,)Cov X Y Cov X n X DX =-=-,()DY D n X DX =-=,由此由相关系数的定义式有1XY ρ===-.三、【解】原式=222211arctan ()[arctan ]22(1)x x x x xxx de e d e e e e e ---=--+⎰⎰=2221(arctan )21x x x xx xde de e e e e ---++⎰⎰=21(arctan arctan )2xx x x e e e e C ---+++.四、【解】 先求(1)(1,(1,1))(1,1)1f f f ϕ===.求 32''1()|3(1)(1)3(1)x d x dxϕϕϕϕ===,归结为求'(1)ϕ.由复合函数求导法 '''12()(,(,))(,(,))(,)dx f x f x x f x f x x f x x dxϕ=+,'''''1212(1)(1,1)(1,1)[(1,1)(1,1)]f f f f ϕ=++.注意'1(1,1)(1,1)2f f x∂==∂,'2(1,1)(1,1)3f f y ∂==∂. 因此'(1)23(23)17ϕ=++=,31()|31751x d x dxϕ==⨯=.五、【分析与求解】 关键是将arctan x 展成幂级数,然后约去因子x ,再乘上21x +并化简即可.直接将arctan x 展开办不到,但'(arctan )x 易展开,即'221(arctan )(1),||11n n n x x x x ∞===-<+∑, ①积分得 '2210000(1)arctan (arctan )(1)21n xx nnn n n x t dt t dt x n ∞∞+==-==-=+∑∑⎰⎰,[1,1]x ∈-. ② 因为右端积分在1x =±时均收敛,又arctan x 在1x =±连续,所以展开式在收敛区间端点1x =±成立.现将②式两边同乘以21x x+得2222220001(1)(1)(1)arctan (1)212121n n n n n n n n n x x x x x x x n n n +∞∞∞===+---=+=++++∑∑∑=12200(1)(1)2121n n n nn n x x n n -∞∞==--++-∑∑=21111(1)()2121n n n x n n ∞=+--+-∑221(1)2114n nn x n ∞=-=+-∑ ,[1,1]x ∈-,0x ≠上式右端当0x =时取值为1,于是221(1)2()1,[1,1]14n nn f x x x n∞=-=+∈--∑. 上式中令1x =21(1)111[(1)1](21)1422442n n f n ππ∞=-⇒=-=⨯-=--∑.六、【解】用斯托克斯公式来计算.记S 为平面2x y z ++=上L 所为围部分.由L 的定向,按右手法则S 取上侧,S 的单位法向量(cos ,cos ,cos )3n αβγ==r .于是由斯托克斯公式得222222cos cos cos 23SI dS x y z y z z x x y αβγ∂∂∂=∂∂∂---⎰⎰=[(24(26(22]333Sy z z x x y dS ------⎰⎰=(423)(2)(6)33S Sx y z dS x y z x y dS ++++=+-利用. 于是'2'211113x y Z Z ++=++=按第一类曲面积分化为二重积分得(6)32(6)3D DI x y dxdy x y dxdy =+-=-+-⎰⎰, 其中D 围S 在xy 平面上的投影区域||||1x y +≤(图）.由D 关于,x y 轴的对称性及被积函数的奇偶性得()0Dx y dxdy -=⎰⎰⇒21212(2)24DI dxdy =-=-=-⎰⎰.七、【证明】 (1)由拉格朗日中值定理,(1,1)x ∀∈-,0,(0,1)x θ≠∃∈,使'()(0)()f x f xf x θ=+(θ与x 有关);又由''()f x 连续而''()0f x ≠,''()f x 在(1,1)-不变号,'()f x 在(1,1)-严格单调,θ唯一. (2)对'()f x θ使用''(0)f 的定义.由题(1)中的式子先解出'()f x θ,则有'()(0)()f x f f x xθ-=.再改写成'''()(0)(0)()(0)f x f xf f x f x θ---=.'''2()(0)()(0)(0)f x f f x f xf x xθθθ---⋅=, 解出θ,令0x →取极限得'''''2''0001(0)()(0)(0)()(0)12lim lim /lim (0)2x x x f f x f xf f x f x x f θθθ→→→---===.八、【解】 (1)设t 时刻雪堆的体积为()V t ,侧面积为()S t .t 时刻雪堆形状如图所示先求()S t 与()V t .侧面方程是222222()()()((,):)()2xy x y h t z h t x y D x y h t +=-∈+≤. ⇒44,()()z x z yx h t y h t ∂∂=-=-∂∂. ⇒()xyxyD D S t dxdy ==⎰⎰.作极坐标变换:cos ,sin x r y r θθ==,则:02,0()xy D r t θπ≤≤≤≤.⇒2(003()22221()()2113[()16]().()4812t t S t d h t h t r h t h t πθππ==⋅+=⎰用先二后一的积分顺序求三重积分()()()h t D x V t dzdxdy =⎰⎰⎰,其中222()():()()()x y D z h t z t h t +≤-,即2221[()()]2x y h t h t z +≤-. ⇒()233301()[()()][()()]()2224h t V t h t h t z dz h t h t h t πππ=-=-=⎰. (2)按题意列出微分方程与初始条件.体积减少的速度是dV dt -,它与侧面积成正比(比例系数0.9),即 0.9dVS dt=- 将()V t 与()S t 的表达式代入得 22133()0.9()412dh h t h t dt ππ=-,即1310dh dt =-.①(0)130h =.②(3)解①得13()10h t t C =-+. 由②得130C =,即13()13010h t t =-+. 令()0h t =,得100t =.因此,高度为130厘米的雪堆全部融化所需时间为100小时.九、【解】由于(1,2)i i s β=L 是12,,s αααL线性组合,又12,,s αααL 是0Ax =的解,所以根据齐次线性方程组解的性质知(1,2)i i s β=L 均为0Ax =的解. 从12,,s αααL是0Ax =的基础解系,知()s n r A =-.下面来分析12,,s βββL 线性无关的条件.设11220s s k k k βββ++=L L ,即11212112222133211()()()()0s s s s t k t k t k t k t k t k t k t k αααα-++++++++=L .由于 12,,s αααL 线性无关,因此有112211222132110,0,0,0.s s s t k t k t k t k t k t k t k t k -+=⎧⎪+=⎪⎪+=⎨⎪⎪+=⎪⎩L(*)因为系数行列式12211211221000000000(1)000s s st t t t t t t t t t +=+-L L L M M M M ML , 所以当112(1)0ss st t ++-≠时,方程组(*)只有零解120s k k k ====L .从而12,,s βββL 线性无关.十、【解】 (1)由于AP PB = ,即22322(,,)(,,)(,,32)A x Ax A x Ax A x A x Ax A x Ax A x ==-2000(,,)103012x Ax A x ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦,所以000103012B ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦.(2)由(1)知A B :,那么A E B E ++:,从而100||||1134011A EB E +=+==--.十一、【解】 (1){|}(1),0,0,1,2,mmn mn P Y m X n C p p m n n -===-≤≤=L .(2){,}P X n Y m ==={}{|}P X n P Y m X n ====(1),0,0,1,2,.!nm mn m n e C p p m n n n λλ--⋅-≤≤=L十二、【解】 易见随机变量11()n X X ++,22()n X X ++,2,()n n X X +L 相互独立都服从正态分布2(2,2)N μσ.因此可以将它们看作是取自总体2(2,2)N μσ的一个容量为n 的简单随机样本.其样本均值为21111()2n ni n i i i i X X X X n n +==+==∑∑, 样本方差为2111(2)11n i n ii X X X Y n n +=+-=--∑. 因样本方差是总体方差的无偏估计,故21()21E Y n σ=-,即2()2(1)E Y n σ=-.。
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2001年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题考研加油站收集整理20020022年全国硕士研究生入学统一考试年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分) （1）∫∞+exx dx2ln = _____________. （2）已知0162=−++x xy e y ，则(0)y ′′=_____________.（3）02=′+′′y y y 满足初始条件21)0(,1)0(=′=y y 的特解是_____________.（4）已知实二次型323121232221321444)(),,(x x x x x x x x x a x x x f +++++=经正交变换可化为标准型216y f =，则a =_____________.（5）设随机变量),(~2σµN X ，且二次方程042=++X y y 无实根的概率为0．5，则μ＝_____________.二、单项选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分．) （1）考虑二元函数),(y x f 的四条性质：①),(y x f 在点),(00y x 处连续， ②),(y x f 在点),(00y x 处的一阶偏导数连续，③),(y x f 在点),(00y x 处可微， ④),(y x f 在点),(00y x 处的一阶偏导数存在． 则有：（Ａ）② ⇒③⇒①； （Ｂ） ③⇒⑵⇒①； （Ｃ）③ ⇒④⇒①； （Ｄ） ③ ⇒①⇒④． （2）设0≠n u ，且1lim=∞→n n u n ，则级数)11()1(11+++−∑n n n u u(A)发散； (B)绝对收敛；(C)条件收敛； (D)收敛性不能判定． （3）设函数)(x f 在+R 上有界且可导，则(A)当0)(lim =+∞→x f x 时，必有0)(lim =′+∞→x f x ；（Ｂ）当)(lim x f x ′+∞→存在时，必有0)(lim =′+∞→x f x ；(C) 当0)(lim 0=+→x f x 时，必有0)(lim 0=′+→x f x ；(D) 当)(lim 0x f x ′+→存在时，必有0)(lim 0=′+→x f x ．（4）设有三张不同平面，其方程为i i i i d z c y b x a =++（3,2,1=i ）它们所组成的线性方程组的系数矩阵与增广矩阵的秩都为２，则这三张平面可能的位置关系为（5）设X 和Y 是相互独立的连续型随机变量，它们的密度函数分别为)(x f X 和)(y f Y ，分布函数分别为)(x F X 和)(y F Y ，则（Ａ）)(x f X ＋)(y f Y 必为密度函数； (B) )(x f X )(y f Y 必为密度函数；（Ｃ）)(x F X ＋)(y F Y 必为某一随机变量的分布函数； (D) )(x F X )(y F Y 必为某一随机变量的分布函数．三（、（本题满分本题满分6分）设函数)(x f 在x ＝０的某邻域具有一阶连续导数，且0)0()0(≠′f f ，当0→h 时，若)()0()2()(h o f h bf h af =−+，试求b a ,的值． 四（、（本题满分本题满分本题满分７７分）已知两曲线)(x f y =与∫−=x t dt e y arctan 02在点（０，０）处的切线相同．求此切线的方程，并求极限)2(lim nnf n ∞→．五（、（本题满分本题满分本题满分７７分） 计算二重积分dxdy e Dy x∫∫},max{22，其中}10,10|),{(≤≤≤≤=y x y x D ．六（、（本题满分本题满分本题满分８８分）设函数)(x f 在R 上具有一阶连续导数，L 是上半平面（y ＞０）内的有向分段光滑曲线，起点为（b a ,），终点为（d c ,）．记dy xy f y y x dx xy f y y I ]1)([)](1[1222−++=∫， （１）证明曲线积分I 与路径L 无关；（２）当cd ab =时，求I 的值． 七（、（本题满分本题满分7分）１．验证函数∑∞==03)!3()(n n n x x y （+∞<<∞−x ）满足微分方程x e y y y =+′+′′；２．求幂级数∑∞==03)!3()(n nn x x y 的和函数．八（、（本题满分本题满分本题满分７７分）设有一小山，取它的底面所在的平面为xoy 面，其底部所占的区域为}75|),{(22≤−+=xy y x y x D ，小山的高度函数为),(y x h xy y x +−−=2275．（１）设),(00y x M 为区域D 上一点，问),(y x h 在该点沿平面上何方向的方向导数最大？若此方向的方向导数为),(00y x g ，写出),(00y x g 的表达式．（２）现欲利用此小山开展攀岩活动，为此需要在山脚下寻找一山坡最大的点作为攀登的起点．也就是说要在D 的边界线上找出使（１）中),(y x g 达到最大值的点．试确定攀登起点的位置．九（、（本题满分本题满分6分）已知四阶方阵),,,(4321αααα=A ， 4321,,,αααα均为四维列向量，其中432,,ααα线性无关，3212ααα−=．若4321ααααβ+++=，求线性方程组β=Ax 的通解．十（、（本题满分本题满分8分）设A ，Ｂ为同阶方阵，⑴若A ，Ｂ相似，证明A ，Ｂ的特征多项式相等； ⑵举一个二阶方阵的例子说明⑴的逆命题不成立； ⑶当A ，Ｂ为实对称矩阵时，证明⑴的逆命题成立． 十一十一、（、（本题满分本题满分7分）设维随机变量X 的概率密度为其他π≤≤=x x f x00cos )(221对X 独立地重复观察４次，用Ｙ表示观察值大于3π的次数，求2Y 的数学期望．十二十二、（、（本题满分本题满分7分）设总体X 的概率分布为X 0 12 3 P2θ)1(2θθ−2θθ21−其中θ（210<<θ）是未知参数，利用总体X 的如下样本值３，１，３，０，３，１，２，３．求θ的矩估计和最大似然估计值．2002年全国全国硕士研究生入学硕士研究生入学硕士研究生入学统一统一统一考试考试考试（（数学一数学一））试题及答案解析20020033年全国硕士研究生入学统一考试年全国硕士研究生入学统一考试数学数学一一试题一、填空题填空题填空题（（本题共6小题小题，，每小题4分，满分24分. 把答案填在题中横线上把答案填在题中横线上））（1） )1ln(12)(cos lim x x x +→ = .（2） 曲面22y x z +=与平面042=−+z y x 平行的切平面的方程是 . （3） 设)(cos 02ππ≤≤−=∑∞=x nx ax n n，则2a = .（4）从2R 的基 −= =11,0121αα到基= =21,1121ββ的过渡矩阵为 .（5）设二维随机变量(X,Y)的概率密度为，y x x y x f 其他,10,0,6),(≤≤≤=则=≤+}1{Y X P .（6）已知一批零件的长度X (单位：cm)服从正态分布)1,(µN ，从中随机地抽取16个零件，得到长度的平均值为40 (cm)，则µ的置信度为0.95的置信区间是 .(注：标准正态分布函数值.)95.0)645.1(,975.0)96.1(=Φ=Φ二、选择题选择题（（本题共6小题小题，，每小题4分，满分24分. 每小题给出的四个选项中每小题给出的四个选项中，，只有一项符合题目要求项符合题目要求，，把所选项前的字母填在题后的括号内把所选项前的字母填在题后的括号内）） （1）设函数f(x)在),(+∞−∞内连续，其导函数的图形如图所示，则f(x)有(A) 一个极小值点和两个极大值点.(B) 两个极小值点和一个极大值点. (C) 两个极小值点和两个极大值点.(D)[ ]（2）设}{},{},{n n n c b a 均为非负数列，且0lim =∞→n n a ,1lim =∞→n n b ,∞=∞→n n c lim ,则必有(A) n n b a <对任意n 成立. (B) n n c b <对任意n 成立.(C) 极限n n n c a ∞→lim 不存在. (D) 极限n n n c b ∞→lim 不存在. [ ]（3）已知函数f(x,y)在点(0,0)的某个邻域内连续，且1)(),(lim2220,0=+−→→y x xyy x f y x ，则 (A) 点(0,0)不是f(x,y)的极值点. (B) 点(0,0)是f(x,y)的极大值点. (C) 点(0,0)是f(x,y)的极小值点.(D) 根据所给条件无法判断点(0,0)是否为f(x,y)的极值点. [ ]（4）设向量组I ：r ααα,,,21⋯可由向量组II ：s βββ,,,21⋯线性表示，则(A) 当s r <时，向量组II 必线性相关. (B) 当s r >时，向量组II 必线性相关. (C) 当s r <时，向量组I 必线性相关. (D) 当s r >时，向量组I 必线性相关.[ ]（5）设有齐次线性方程组Ax=0和Bx=0, 其中A,B 均为n m ×矩阵，现有4个命题：① 若Ax=0的解均是Bx=0的解，则秩(A)≥秩(B)； ② 若秩(A)≥秩(B)，则Ax=0的解均是Bx=0的解； ③ 若Ax=0与Bx=0同解，则秩(A)=秩(B)； ④ 若秩(A)=秩(B)， 则Ax=0与Bx=0同解. 以上命题中正确的是(A) ① ②. (B) ① ③.(C) ② ④. (D) ③ ④. [ ] （6）设随机变量21),1)((~XY n n t X =>，则 (A) )(~2n Y χ. (B) )1(~2−n Y χ.(C) )1,(~n F Y . (D) ),1(~n F Y . [ ] 三、（、（本题满分本题满分10分）过坐标原点作曲线y=lnx 的切线，该切线与曲线y=lnx 及x 轴围成平面图形D. (1) 求D 的面积A;(2) 求D 绕直线x=e 旋转一周所得旋转体的体积V. 四（、（本题满分本题满分12分）将函数x x x f 2121arctan )(+−=展开成x 的幂级数，并求级数∑∞=+−012)1(n nn 的和.五 （、（本题满分本题满分10分）已知平面区域}0,0),{(ππ≤≤≤≤=y x y x D ，L 为D 的正向边界. 试证： (1)dx ye dy xe dx ye dy xe xLy x Ly sin sin sin sin −=−∫∫−−;(2).22sin sin π≥−−∫dx ye dy xe x Ly 六 （、（本题满分本题满分10分）某建筑工程打地基时，需用汽锤将桩打进土层. 汽锤每次击打，都将克服土层对桩的阻力而作功. 设土层对桩的阻力的大小与桩被打进地下的深度成正比（比例系数为k,k>0）.汽锤第一次击打将桩打进地下a m. 根据设计方案，要求汽锤每次击打桩时所作的功与前一次击打时所作的功之比为常数r(0<r<1). 问 (1) 汽锤击打桩3次后，可将桩打进地下多深？(2) 若击打次数不限，汽锤至多能将桩打进地下多深？ （注注：m 表示长度单位米.）七 （、（本题满分本题满分12分）设函数y=y(x)在),(+∞−∞内具有二阶导数，且)(,0y x x y =≠′是y=y(x)的反函数.(1) 试将x=x(y)所满足的微分方程0))(sin (322=++dy dx x y dyx d 变换为y=y(x)满足的微分方程；(2) 求变换后的微分方程满足初始条件23)0(,0)0(=′=y y 的解. 八 （、（本题满分本题满分12分）设函数f(x)连续且恒大于零，∫∫∫∫∫+++=Ω)(22)(222)()()(t D t d y xf dvz y xf t F σ，∫∫∫−+=tt D dxx f d y xf t G 12)(22)()()(σ，其中}),,{()(2222t z y x z y x t ≤++=Ω，}.),{()(222t y x y x t D ≤+= (1) 讨论F(t)在区间),0(+∞内的单调性. (2) 证明当t>0时，).(2)(t G t F π>九 （、（本题满分本题满分10分）设矩阵 =322232223A ，=100101010P ，P A P B *1−=，求B+2E 的特征值与特征向量，其中*A 为A 的伴随矩阵，E 为3阶单位矩阵. 十 、（本题满分8分）已知平面上三条不同直线的方程分别为:1l 032=++c by ax ， :2l 032=++a cy bx ，:3l 032=++b ay cx .试证这三条直线交于一点的充分必要条件为.0=++c b a 十一 （、（本题满分本题满分10分）已知甲、乙两箱中装有同种产品，其中甲箱中装有3件合格品和3件次品，乙箱中仅装有3件合格品. 从甲箱中任取3件产品放入乙箱后，求： (1) 乙箱中次品件数的数学期望；(2) 从乙箱中任取一件产品是次品的概率. 十二 （、（本题满分本题满分8分）设总体X 的概率密度为≤>=−−,,,0,2)()(2θθθx x e x f x 其中0>θ是未知参数. 从总体X 中抽取简单随机样本n X X X ,,,21⋯，记).,,,min(ˆ21n X X X ⋯=θ(1) 求总体X 的分布函数F(x);(2) 求统计量θˆ的分布函数)(ˆx F θ； (3) 如果用θˆ作为θ的估计量，讨论它是否具有无偏性.2003年硕士研究生入学考试年硕士研究生入学考试（（数学一数学一））试题及答案解析一、填空题填空题填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 把答案填在题中横线上） （1） )1ln(12)(cos lim x x x +→ =e1 .【分析分析分析】 ∞1型未定式，化为指数函数或利用公式)()(lim x g x f )1(∞=)()1)(lim(x g x f e −进行计算求极限均可.【详解详解1】 )1ln(12)(cos lim x x x +→=xx x ecos ln )1ln(1lim20+→,而 212cos sin lim cos ln lim )1ln(cos ln lim02020−=−==+→→→x x x x x x x x x x ， 故 原式=.121ee=−【详解详解2】 因为 2121lim)1ln(1)1(cos lim 22020−=−=+⋅−→→x xx x x x ， 所以 原式=.121ee=−【评注评注评注】 本题属常规题型（2） 曲面22y x z +=与平面042=−+z y x 平行的切平面的方程是542=−+z y x .【分析分析分析】 待求平面的法矢量为}1,4,2{−=n，因此只需确定切点坐标即可求出平面方程, 而切点坐标可根据曲面22y x z +=切平面的法矢量与}1,4,2{−=n平行确定.【详解详解详解】 令 22),,(y x z z y x F −−=，则x F x 2−=′，y F y 2−=′， 1=′z F .设切点坐标为),,(000z y x ，则切平面的法矢量为 }1,2,2{00y x −−，其与已知平面042=−+z y x 平行，因此有11422200−=−=−y x ， 可解得 2,100==y x ，相应地有 .520200=+=y x z 故所求的切平面方程为0)5()2(4)1(2=−−−+−z y x ，即 542=−+z y x . 【评注评注评注】 本题属基本题型。