利用插补法求解组距数列的中位数和众数

利用插补法求解组距数列的中位数和众数
一、中位数(Median)
中位数是一组数据按从小到大排序后，处在中间位置上的变量值，用Me 表示。

中位数将全部数据等分成两部分，使一部分数据比中位数大，另一部分数据则比中位数小。

中位数是一个位置代表值，它主要用于测定数据的集中趋势，且不受极端数值的影响。

此外，中位数还具有一个性质，就是各变量值与中位数的离差绝对值之和最小，即
)
m i n (1
最小=-∑
=n
i e
i M
x (1)
根据未分组数据计算中位数时，要先对数据进行排序，然后确定中位数的位置，其公式
为：中位数的位置=21
+n ，式中的n 为数据的个数，凭此确定中位数的具体数值。

设有一
组数据从小到大排序后为n x x x x ,,,,321⋅⋅⋅。

若n 为奇数，则中位数为
2
1
+n x ；若n 为偶数，则
中位数是
2
n
x 与
1
2
+n
x 的平均数。

即
⎪
⎩⎪⎨⎧+=++为偶数时当为奇数时当n x x x Me n n n )(21
n 1222
1 (2)
根据分组数据计算中位数时，要先根据公式
2
∑
f
确定中位数的位置，并确定中位数所
在的组。

如果是单项数列，则中位数就取中位数所在组的组值(即标志值)；如果是组距数列，
则采用下面的公式计算中位数的近似值：
i
f S f
L Me m
m ⨯-+
=-∑
12
(3)
式(3)中，∑ƒ为数据的个数(总次数)；L 为中位数所在组的下限值；1-m S 为中位数所在组以前各组的累积频数；m f 为中位数所在组的频数；i 为中位数所在组的组距。

式(3)中，假定中位数所在组的频数在该组内是均匀分布的。

图-1 组距数列中位数的分布图
那么，我们接下来要讨论的是如何求证式(3)，即组距数列中位数的计算公式。

假设上面图-1是某组距数列次数分布图。

利用插补法进行比例推算。

图-1中，A 点表示中位数所在组的下限，其值为L ；B 点表示中位数所在组的上限；C 点表示中位数所处的位置，其值为Me ；A 点到B 点所夹的距离，也就是中位数所在组的组距，其值为i ；A 点到C 点所夹的距离，就是中位数所在组的下限到中位数位置的距离，其值设为X 。

我们假定图-1中，AB 区域即整个中位数所在的组内，次数分布是均匀的，依次分布着m f 个次数或频数。

同样，再假定AC 区域内，次数分布也是均匀的，且依次分布着
1
2
--∑
m S f
个次数或频数，式中的
2
∑
f
是中位数所在的位置，1-m S 为中位数所在组以前
各组的累积频数。

这样，我们可以得到下面的等式：
区域中的次数分布区域中的次数分布
的距离
到的距离
到AB AC =
B A
C A (4)
将上述假设代入式(4)，得： m
m f S f
i
12
X
--=
∑
所以，有 i
f S f
X m
m ⨯-=
-∑
12
(5)
中位数所在的位置是：X L M e += (6) 将式(5)代入式(6)，则：
i
f S f
L Me m
m ⨯-+
=-∑
12
上面的式(3)就得到了证明。

解：由表-1可知，中位数的位置=
25
2
502
==
∑
f
，根据累计频数可测得中位数在120～125
这一组中，L=120，1-m S =16，m f =14，i =5，根据式(3)，得
)
(21.123514
162
50
120个=⨯-+=e
M
二、众数(Mode)
众数是一组数据中出现次数最多的变量值，用o M 表示。

众数是一个位置代表值，它也不受数列中极端数值的影响。

但它可以反映总体各单位某一标志值的集中趋势。

当然，在特殊情况下，可能没有众数，也可能多于一个众数。

在实际应用中，众数用来说明现象的一般水平。

众数的计算分两种情况，在未分组资料或单项数列中，可用观察法直接确定众数，即总体中出现次数最多的标志值就是众数。

在组距数列中，确定众数时，先要确定次数最多的一组为众数组，然后根据数列的次数分布情况，计算众数的近似值。

用公式表示为：
i
L M
o
⨯∆+∆∆+
=2
11 (7)
式中，L 为众数组的下限值；i 为众数组的组距；1∆是众数组的次数与靠近下限的邻组次数之差；2∆是众数组的次数与靠近上限的邻组次数之差。

下面，我们仍要利用插补法推导组距数列中众数的计算公式，即式(7)，为了能直观地介绍该方法，利用几何图解比较好理解。

图-2 组距数列中的众数位置图
图-2假定是组距数列的次数分布直方图，横坐标是组距，纵坐标是次数分布状况。

一般来说，在等距数列中次数分布愈集中，直方柱愈高。

为了便于说明此问题，我们只画了三根直方柱。

从图中可以看到，中间一组就是中位数所在的组，其次数分布最集中。

我们假定G 点是众数所在的组的下限，H 点是众数所在的组的上限，GH 的距离就是众数组的组距(i )，
o M 点就是众数所处的位置。

从图中我们可以看出，众数的位置主要取决于众数所在组的左右两邻组的次数分布。

如果左右两邻组的次数分布相等即高度相等(1-f =1+f )，无疑众数就在众数所在组的正中央；如果左邻组的次数分布高于右邻组的次数分布(1-f ＞1+f )，则o M 会偏向左边，靠近众数组的下限；如果左邻组的次数分布低于右邻组的次数分布(1-f ＜1+f )，则o M 会偏向右边，靠近众数组的上限。

图-2中，我们连结AD 和BC 两条线段，它们的交点为O ，而O 点垂直连线与横坐标轴的交点就是o M ，现假定G 点到o M 的长度为X ，则o M 到H 点的长度是i －X 。

另外，假定众数所在组的次数为f ；AB 的距离为1∆，且1∆=f －1-f ；CD 的距离为2∆，且2∆ =f －1+f 。

由于O o M 是垂直连线，EO=G o M =X ；OF=o M H=i －X 。

G 点是众数所在组的下限，其值为L 。

我们从图-2中可以发现，△AOB ≌△COD ，根据相似三角形的性质，这两个相似三角形所对应的底边和高成比例，即
OF EO
CD
AB
= (8)
将上述的设定分别代入式(8)，则
X i X -=
∆∆2
1
化简得： i
X ⨯∆+∆∆=
2
11 (9)
由于o M =X L +
所以， i
L M
o
⨯∆+∆∆+
=2
11
这样，组距数列的众数计算公式得以证明。

例二、根据表-1的数据，计算50名工人日加工零件数的众数。

解：从表-1中的数据可以看出，出现频数最多的是14，即众数组为120～125这一组，根据式(7)得50名工人日加工零件数的众数为：
)
(1235)
1014()814(814120个=⨯-+--+
=o
M。