高二数学平面向量数量积2
高中数学课件 平面向量的数量积(2)
解： ab = (3, 1) (1, 2)=3+2=5.
|a|= |b|=
a a 32 (1) 2 10
2 2
b b 1 (2) 5 a b 5 2 cos <a, b>= | a ||b | 2 10 5
所以 <a, b>=45°
例2.已知A(1, 2)，B(2, 3)，C(2, 5)， 求证：△ABC是直角三角形
4 x 2 y 0 2 2 x y 1
5 2 5 5 2 5 所求向量为 ( , )或( , ) 5 5 5 5
例6. 已知a=(1, 0)，b=(2, 1)，当k为何实数时，
向量ka－b与a+3b （1）平行；（2）垂直。 解：ka－b=(k－2, －1), a+3b=(7, 3), （1）由向量平行条件得3(k－2)+7=0, 1 所以k= 3 （2）由向量垂直条件得7(k－2) －3=0,
o
2
2
练习2：已知|a|=1，|b|= 2 ，
(1)若a∥b，求a· b；
2
2
(2)若a、b的夹角为60°，求|a+b|； 3
(3)若a－b与a垂直，求a与b的夹角. 45°
练习2：设i，j为正交单位向量，则 ① i· 1 i=_______ ② j· 1 j=________ ③ i· 0 j=________
所以 | a b | 37
(2) |2a－3b|2=4|a|2－12a· b+9|b|2=108,
所以 | 2a 3b | 6 3
练习1： 已知|a|=3，|b|=4，<a, b>=60° ,求
（1）|a+b|；（2）|2a－3b|.
向量的数量积 第2课时 向量的向量积 课件(1)-人教A版高中数学必修第二册(共17张PPT)
【解析】 由于 a2≥0，b2≥0，所以，若 a2＋b2＝0，则 a＝b＝0， 故①正确；若 a＋b＝0，则 a＝－b，又 a，b，c 是三个非零向量， 所以 a·c＝－b·c，所以|a·c|＝|b·c|，②正确；a，b 共线⇔a·b＝±|a||b|， 所以③不正确；对于④应有|a||b|≥a·b；对于⑤，应该是 a·a·a＝|a|2a； ⑥a2＋b2≥2|a||b|≥2a·b，故正确；当 a 与 b 的夹角为 0 时，也有 a·b>0， 因此⑦错；
小结：
数量积运算律
(1)a b b a（交换律） (2)(a) b (a b) (a) b（数乘结合律）
(3)(a b) c a c b c （分配律）
所以
(a b) c a c b c
思考：向量的数量积满足结合律 ( a b ) c a ( b c ) 吗？
说明： (a b) c 表示一个与 c 共线的向量 ， 而 a (b c) 表示一个与a 共线的向量 但 c 与 a 不一定共线，
(a b) c a (b c)
∴ 向量数量积不满足结合律 .
例1.对任意a,b R ,恒有 (a b)2 a2 2ab b2，(a b)(a b) a2面类似的结论？
(1)(a
2(a
b)2 b)
a
2
(a b)
2a
a
b b 2 2 b2
解：（1）(a b)2 (a b)(a b) a a a b b a b b
即a2
k
2
2
b
0
因为
2
a
32
2
9, b
42
16
所以 9 16k 2 0
所以,当 k 3时, 4
高中数学 第二章 平面向量 2.3 平面向量的数量积 2.3.3 向量数量积的坐标运算与度量公式学案
2.3.3 向量数量积的坐标运算与度量公式1．向量内积的坐标运算已知a ＝(a 1，a 2)，b ＝(b 1，b 2)，则a ·b ＝a 1b 1＋a 2b 2.知识拓展非零向量a ＝(x 1，y 1)与b ＝(x 2，y 2)夹角θ的范围与坐标运算的数量积的关系是：(1)θ为锐角或零角⇔x 1x 2＋y 1y 2＞0； (2)θ为直角⇔x 1x 2＋y 1y 2＝0； (3)θ为钝角或平角⇔x 1x 2＋y 1y 2＜0.【自主测试1】若a ＝(2，－3)，b ＝(x,2x )，且a ·b ＝43，则x 等于( )A ．3B ．13C ．－13 D ．－3解析：由题意，得2x －6x ＝43，解得x ＝－13.答案：C2．用向量的坐标表示两个向量垂直的条件已知a ＝(a 1，a 2)，b ＝(b 1，b 2)，则a ⊥b ⇔a 1b 1＋a 2b 2＝0.名师点拨解决两向量垂直的问题时，在表达方式上有一定的技巧，如a ＝(m ，n )与b ＝k (n ，－m )总是垂直的，当两向量的长度相等时，k 取±1.【自主测试2】已知a ＝(2,5)，b ＝(λ，－3)，且a ⊥b ，则λ＝__________.解析：∵a ⊥b ，∴a·b ＝0，即2λ－15＝0，∴λ＝152.答案：1523．向量的长度、距离和夹角公式(1)向量的长度：已知a ＝(a 1，a 2)，则|a |＝a 21＋a 22，即向量的长度等于它的坐标平方和的算术平方根．(2)两点之间的距离公式：如果A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则|AB →|＝x 2－x 12＋y 2－y 12.(3)向量的夹角的余弦公式：已知a ＝(a 1，a 2)，b ＝(b 1，b 2)，则两个向量a ，b 的夹角的余弦为cos 〈a ，b 〉＝a 1b 1＋a 2b 2a 21＋a 22b 21＋b 22.你会求出与向量a ＝(m ，n )同向的单位向量a 0的坐标吗？答：a 0＝a |a |＝1m 2＋n 2(m ，n )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫m m 2＋n 2，n m 2＋n 2.【自主测试3－1】已知A (1,2)，B (2,3)，C (－2,5)，则△ABC 为( ) A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形 D ．无法判断解析：由AB →＝(1,1)，BC →＝(－4,2)，CA →＝(3，－3)， 得AB →2＝2，BC →2＝20，CA →2＝18. ∵AB →2＋CA →2＝BC →2，即AB 2＋AC 2＝BC 2，∴△ABC 为直角三角形． 答案：B【自主测试3－2】已知m ＝(3，－1)，n ＝(x ，－2)，且〈m ，n 〉＝π4，则x 等于( )A ．1B ．－1C ．－4D ．4 解析：cos π4＝3x ＋210×x 2＋4， 解得x ＝1. 答案：A【自主测试3－3】已知a ＝(3，x )，|a |＝5，则x ＝__________. 解析：由|a |2＝9＋x 2＝25，解得x ＝±4.答案：±41．向量模的坐标运算的实质剖析：向量的模即为向量的长度，其大小应为平面直角坐标系中两点间的距离，如a ＝(x ，y )，则在平面直角坐标系中，一定存在点A (x ，y )，使得OA →＝a ＝(x ，y )，∴|OA →|＝|a |＝x 2＋y 2，即|a |为点A 到原点的距离；同样若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则AB →＝(x 2－x 1，y 2－y 1)，∴|AB →|＝x 2－x 12＋y 2－y 12，即平面直角坐标系中任意两点间的距离公式．由此可知向量模的运算其实质即为平面直角坐标系中两点间距离的运算．2．用向量的数量积的坐标运算来分析“(a·b )·c ＝a ·(b·c )”不恒成立 剖析：设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，c ＝(x 3，y 3)， 则a·b ＝x 1x 2＋y 1y 2, b·c ＝x 3x 2＋y 3y 2.∴(a·b )·c ＝(x 1x 2＋y 1y 2)(x 3，y 3)＝(x 1x 2x 3＋y 1y 2x 3，x 1x 2y 3＋y 1y 2y 3)，a·(b·c )＝(x 1，y 1)(x 3x 2＋y 3y 2)＝(x 1x 3x 2＋x 1y 2y 3，x 2x 3 y 1＋ y 1y 2y 3)．假设(a·b )·c ＝a·(b·c )成立，则有(x 1x 2x 3＋y 1y 2x 3，x 1x 2y 3＋y 1y 2y 3)＝(x 1x 3x 2＋x 1y 2y 3，x 2x 3 y 1＋ y 1y 2y 3)， ∴x 1x 2x 3＋y 1y 2x 3＝x 1x 3x 2＋x 1y 2y 3，x 1x 2y 3＋y 1y 2y 3＝x 2x 3 y 1＋y 1y 2y 3.∴y 1y 2x 3＝x 1y 2y 3，x 1x 2y 3＝x 2x 3 y 1. ∴y 2(y 1x 3－x 1y 3)＝0，x 2(x 1y 3－x 3y 1)＝0. ∵ b 是任意向量， ∴x 2和y 2是任意实数． ∴y 1x 3－x 1y 3＝0. ∴a ∥c .这与a ，c 是任意向量，即a ，c 不一定共线相矛盾． ∴假设不成立．∴(a·b )·c ＝a·(b·c )不恒成立． 3．教材中的“思考与讨论”在直角坐标系xOy 中，任作一单位向量OA →旋转90°到向量OB →的位置，这两个向量的坐标之间有什么关系？你能用上述垂直的条件，证明下面的诱导公式吗？cos(α＋90°)＝－sin α，sin(α＋90°)＝cos α.反过来，你能用这两个诱导公式，证明上述两个向量垂直的坐标条件吗？把两向量垂直的坐标条件可视化．有条件的同学可用“几何画板”、“Scilab”等数学软件进行可视化研究．剖析：如图所示，在平面直角坐标系中，画出一单位圆，有A (cos α，sin α)，B (cosβ，sin β)，且β－α＝90°，也就是β＝α＋90°.过点A 作AM ⊥x 轴于点M ，过点B 作BN ⊥x 轴于点N ，则△BNO ≌△OMA ． ∴|OM →|＝|NB →|，|ON →|＝|MA →|.当点A 在第一象限时，点B 在第二象限， ∴|ON →|＝－cos β，|NB →|＝sin β， |OM →|＝cos α，|MA →|＝sin α，从而有－cos β＝－cos(α＋90°)＝sin α， sin β＝sin(α＋90°)＝cos α， 即cos(α＋90°)＝－sin α， sin(α＋90°)＝cos α.题型一 向量数量积的坐标运算【例题1】已知a ＝(－6,2)，b ＝(－2,4)，求a ·b ，|a |，|b |，〈a ，b 〉． 分析：直接套用基本公式a ·b ＝x 1x 2＋y 1y 2，|a |＝x 21＋y 21，cos 〈a ，b 〉＝x 1x 2＋y 1y 2x 21＋y 21x 22＋y 22即可．解：a ·b ＝(－6,2)·(－2,4)＝12＋8＝20. |a |＝a ·a ＝－6，2×－6，2＝36＋4＝210， |b |＝－22＋42＝20＝2 5.∵cos 〈a ，b 〉＝a ·b |a ||b |＝20210×25＝22，且〈a ，b 〉∈[0，π]， ∴〈a ，b 〉＝π4.反思如果已知向量的坐标，则可以直接用公式来计算数量积、模和夹角等问题；如果向量的坐标是未知的，一般考虑用定义和运算律进行转化．〖互动探究〗设平面向量a ＝(3,5)，b ＝(－2,1)， (1)求a －2b 的坐标表示和模的大小； (2)若c ＝a －(a ·b )·b ，求|c |. 解：(1)∵a ＝(3,5)，b ＝(－2,1)，∴a －2b ＝(3,5)－2(－2,1)＝(3＋4,5－2)＝(7,3)， |a －2b |＝72＋32＝58. (2)∵a ·b ＝－6＋5＝－1，∴c ＝a ＋b ＝(1,6)，∴|c |＝12＋62＝37. 题型二 平面向量垂直的坐标运算【例题2】在△ABC 中，AB →＝(2,3)，AC →＝(1，k )，且△ABC 的一个内角为直角，求k 的值．分析：对△ABC 的三个内角分别讨论，并利用坐标反映垂直关系． 解：当A ＝90°时，AB →·AC →＝0， ∴2×1＋3×k ＝0.∴k ＝－23.当B ＝90°时，AB →·BC →＝0，BC →＝AC →－AB →＝(1－2，k －3)＝(－1，k －3)，∴2×(－1)＋3×(k －3)＝0.∴k ＝113.当C ＝90°时，AC →·BC →＝0，∴－1＋k (k －3)＝0， ∴k ＝3±132.因此，△ABC 有一个角为直角时，k ＝－23，或k ＝113，或k ＝3±132.反思(1)若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，a ≠0，则向量a 与b 垂直⇔a ·b ＝0⇔x 1x 2＋y 1y 2＝0.(2)向量垂直的坐标表示x 1x 2＋y 1y 2＝0与向量共线的坐标表示x 1y 2－x 2y 1＝0很容易混淆，应仔细比较并熟记，当难以区分时，要从意义上鉴别，垂直是a ·b ＝0，而共线是方向相同或相反．题型三 数量积的坐标运算在几何中的应用 【例题3】已知三个点A (2,1)，B (3,2)，D (－1,4)． (1)求证：AB ⊥AD ；(2)若四边形ABCD 为矩形，求点C 的坐标，并求矩形ABCD 的两对角线所夹的锐角的余弦值．解：(1)证明：∵A (2,1)，B (3,2)，D (－1,4)， ∴AB →＝(1,1)，AD →＝(－3,3)． ∴AB →·AD →＝1×(－3)＋1×3＝0， ∴AB →⊥AD →，即AB ⊥AD ． (2)若四边形ABCD 为矩形， 则AB →⊥AD →，AB →＝DC →. 设C 点的坐标为(x ，y )，则AB →＝(1,1)，DC →＝(x ＋1，y －4)，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1＝1，y －4＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝5.∴C 点的坐标为(0,5)．从而AC →＝(－2,4)，BD →＝(－4,2),∴|AC →|＝25，|BD →|＝25，AC →·BD →＝8＋8＝16. 设AC →与BD →的夹角为θ，则cos θ＝AC →·BD →|AC →| |BD →|＝1625×25＝45，∴矩形ABCD 的两条对角线所夹的锐角的余弦值为45.反思用向量法解决几何问题的关键是把有关的边用向量表示，然后把几何图形中的夹角、垂直、长度等问题都统一为向量的坐标运算即可，最后再回归到原始几何图形中进行说明．题型四 利用向量数量积的坐标运算证明不等式【例题4】证明：对于任意的a ，b ，c ，d ∈R ，恒有不等式(ac ＋bd )2≤(a 2＋b 2)(c 2＋d 2)． 分析：设m ＝(a ，b )，n ＝(c ，d )，用m ·n ≤|m |·|n |即可，要注意等号成立的条件． 证明：设m ＝(a ，b )，n ＝(c ，d )，两向量夹角为θ，则m ·n ＝|m ||n |cos θ，∴ac ＋bd ＝a 2＋b 2·c 2＋d 2·cos θ，∴(ac ＋bd )2＝(a 2＋b 2)(c 2＋d 2)cos 2θ≤(a 2＋b 2)(c 2＋d 2)， 当且仅当m 与n 共线时等号成立． ∴(ac ＋bd )2≤(a 2＋b 2)(c 2＋d 2)得证．反思本题直接利用代数方法也易得证．若从不等式的特征构造向量，利用向量的数量积和模的坐标运算来证，显得比较灵活，体现了向量的工具性．题型五 易错辨析【例题5】设平面向量a ＝(－2,1)，b ＝(λ，－1)(λ∈R )，若a 与b 的夹角为钝角，则λ的取值范围是( )A ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，2∪(2，＋∞) B．(2，＋∞) C ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，＋∞ D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－12 错解：由a 与b 的夹角为钝角，得a ·b ＜0， 即－2λ－1＜0，解得λ＞－12.故选C ．错因分析：a ·b ＜0⇔a 与b 的夹角为钝角或平角．因此上述解法中需要对结论进行检验，把a 与b 的夹角为平角的情况舍去．正解：a ·b ＜0⇒(－2,1)·(λ，－1)＜0⇒λ＞－12.又设b ＝t a (t ＜0)，则(λ，－1)＝(－2t ，t )，所以t ＝－1，λ＝2，即λ＝2时，a 和b 反向，且共线，所以λ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，2∪(2，＋∞)．故选A ．1．设m ，n 是两个非零向量，且m ＝(x 1，y 1)，n ＝(x 2，y 2)，则以下等式中，与m ⊥n 等价的个数为( )①m ·n ＝0；②x 1x 2＝－y 1y 2；③|m ＋n |＝|m －n |；④|m ＋n |＝m 2＋n 2. A ．1 B ．2 C ．3 D ．4解析：①②中的等式显然与m ⊥n 等价；对③④中的等式的两边平方，化简，得m ·n ＝0，因此也是与m ⊥n 等价的，故选D ．答案：D2．已知向量a ＝(－2,1)，b ＝(－2，－3)，则向量a 在向量b 方向上的投影的数量为( )A ．－1313 B ．1313C ．0D ．1 答案：B3．(2012·广东广州测试)已知向量a ＝(1，n )，b ＝(n,1)，其中n ≠±1，则下列结论正确的是( )A ．(a －b )∥(a ＋b )B ．(a ＋b )∥bC ．(a －b )⊥(a ＋b )D ．(a ＋b )⊥b解析：∵a －b ＝(1－n ，n －1)，a ＋b ＝(1＋n ，n ＋1)， ∴(a －b )·(a ＋b )＝0， ∴(a －b )⊥(a ＋b )． 答案：C4．已知a ＝(1,2)，b ＝(1,1)，c ＝b －k a ，若c ⊥a ，则c ＝__________.解析：根据a 和b 的坐标，求c 的坐标，再利用垂直建立关于k 的方程，求出k 后可得向量c .答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫25，－155．已知i ＝(1,0)，j ＝(0,1)，a ＝i －2j ，b ＝i ＋m j ，给出下列命题：①若a 与b 的夹角为锐角，则m ＜12；②当且仅当m ＝12时，a 与b 互相垂直；③a 与b不可能是方向相反的向量；④若|a |＝|b |，则m ＝－2.其中正确的命题的序号是__________．答案：①②③6．设向量a ＝(1，－1)，b ＝(3，－4)，x ＝a ＋λb ，λ为实数，证明：使|x |最小的向量x 垂直于向量b .证明：因为|x |2＝x ·x ＝|a |2＋λ2|b |2＋2λa ·b ， 所以x 2＝25λ2＋14λ＋2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫5λ＋752＋125.当5λ＋75＝0，即λ＝－725时，|x |最小．此时x ＝a －725b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫425，325. 又425×3－325×4＝0，所以向量x 与b 垂直．。
平面向量的数量积-高考数学复习
若两个向量的夹角为锐角，则3 k ＞0，即 k ＞0.
又 a ＋ kb ， b ＋2 ka 不共线，∴ k ≠
2
2
，∴ k ＞0且 k ≠ .
2
2
方法总结
1. 向量夹角问题的两个注意点
(1)切记向量夹角的范围是[0， π].
(2)非零向量 a 与 b 夹角为锐角⇔ a ·b ＞0且 a 与 b 不共线；非零向量 a 与 b
＝4，则 − ＝( D
A. 5
B. 3
)
C. 2
D. 1
＋ 2 ＝ a 2＋ b 2＋2 a ·b ＝49⇒2 a ·b ＝49－9－16＝24，∴ − 2 ＝
a 2＋ b 2－2 a ·b ＝9＋16－24＝1，∴ − ＝1.
3. (2022·新高考Ⅱ卷)已知向量 a ＝(3，4)， b ＝(1，0)， c ＝ a ＋ tb .
1，｜ c ｜＝ 2 ，且 a ＋ b ＋ c ＝0，则 cos < a － c ， b － c >＝(
D )
(1)法一：∵ a ＋ b ＋ c ＝0，∴ a ＋ b ＝－ c ，∴ a 2＋ b 2＋2 a ·b ＝ c 2.
∵｜ a ｜＝｜ b ｜＝1，｜ c ｜＝ 2 ，∴1＋1＋2 a ·b ＝2，解得 a ·b ＝0.
夹角为钝角⇔ a ·b ＜0且 a 与 b 不共线.
方法总结
2. 求向量夹角的两种方法
(1)定义法：当 a ， b 是非坐标形式时，求 a 与 b 的夹角θ，需求出 a ·b 及
| a |,| b |或得出它们之间的关系，由 cos
·
θ＝
求得.
||||
(2)坐标法：若已知 a ＝( x 1， y 1)与 b ＝( x 2， y 2),则 cos 〈 a ， b 〉=
高中数学第二章平面向量2-4平面向量的数量积2-4-1平面向量数量积的物理背景及其含义优化练习新人教A版必修4
答案：－63
9．已知|a|＝3，|b|＝6，当①a∥b，②a⊥b，③a与b的夹角是60°时，分别求a·b.
解析：①当a∥b时，
若a与b同向，则它们的夹角θ＝0°，
∴a·b＝|a||b|cos 0°＝3×6×1＝18；
若a与b反向，则它们的夹角θ＝180°，
解析：(1)由|3a－b|＝ ，得(3a－b)2＝5，
所以9a2－6a·b＋b2＝5，因为a2＝b2＝1，所以a·b＝ .因此(a＋3b)2＝a2＋6a·b＋9b2＝15，
所以|a＋3b|＝ .
(2)设3a－b与a＋3b的夹角为θ，
因为(3a－b)·(a＋3b)＝3a2＋8a·b－3b2＝ ，
所以cosθ＝ ＝ ＝ ，
故 · ＝( ＋ )·
＝ ·( － )
＝ ·( － )
＝ · ＋ －
＝ | || |cos 120°＋ | |2－ | |2
＝ ×2×1× ＋ ×1－ ×22＝－ .
答案：－
8．已知a＋b＝2i－8j，a－b＝－8i＋16j，i，j为相互垂直的单位向量，那么a·b＝________.
解析：将两已知等式相加得，2a＝－6i＋8j，所以a＝－3i＋4j.同理将两已知等式相减得，b＝5i－12j，而i，j是两个互相垂直的单位向量，
1．已知|a|＝6，|b|＝3，a·b＝－12，则向量a在向量b方向上的投影是( )
A．2B．－2
C．4D．－4
解析：记向量a与b的夹角为θ，由a·b＝|a||b|cosθ＝－12，即6×3cosθ＝－12，所以cosθ＝－ ，所以a在b方向上的投影为|a|cosθ＝6× ＝－4.
平面向量数量积2
已知两个非零向量a 和b ，它们的夹角为 ，我们把数量 | a || b | cos 叫做a 与b 的数量积（或内积），记作a · b ，即
a b | a || b | cos
| b | cosθ叫向量 b 在 a 方向上的投影． 平面向量的数量积的几何意义是: a 的长度 |a| 与 b 在 a 的方向 上的投影 |b|cos 的乘积
(2)若a≠0，则对任一非零向量b,有a ·b ≠0 (×）
(3)若a≠0，a ·b =0,则b =0 (×） (×）
(4)若a ·b = 0,则a , b中至少有一个为0
(5)对任一向量a,有a2 = |a|2 （ √）
例题分析：
例1 求证： (1) (a b ) a 2 a b b ;
(3)(a b) c a c b c.
思考
反之成立吗？ （ 1 ） a c b c , 有a b吗？
(2)向量的数量积满足结合律吗？
即 ( a b ) c a ( b c ) 成立吗？
练习：
1.判断正误
(1)若a = 0，则对任一向量b ，有a ·b =0（√）
2
a· b=±|a| · |b| )
2
a a | a | 或 a | a | 解决模长问题
a b a b .
a b a b
(3)
4
cos
解决夹角的问题
平面向量的数量积的运算律
设向量Байду номын сангаас, b, c和实数， 则向量的数量积满足下列运算律：
(1)a b b a; (2)( a) b a (b) (a b) a b;
平面向量的数量积和点积
平面向量的数量积和点积在数学中，向量是用来表示有大小和方向的量的。
而平面向量是指在一个平面内的向量，它由两个实数（或复数）组成。
平面向量的数量积和点积是两个重要的概念，它们在向量运算中起着关键的作用。
一、平面向量的数量积平面向量的数量积，也称为内积或点积，表示了两个向量之间的夹角关系。
设有两个平面向量$\vec{a}=(x_1,y_1)$和$\vec{b}=(x_2,y_2)$，它们的数量积可以用如下公式表示：$$\vec{a}\cdot\vec{b}=x_1x_2+y_1y_2$$其中，$\cdot$表示数量积的运算符。
从公式中可以看出，数量积的结果是一个标量，即一个实数。
根据数量积的定义，我们可以得到一些重要的性质：1. 交换律：$\vec{a}\cdot\vec{b}=\vec{b}\cdot\vec{a}$，表示数量积满足交换律，与向量的顺序无关。
2. 分配律：$(\vec{a}+\vec{b})\cdot\vec{c}=\vec{a}\cdot\vec{c}+\vec{b}\cdot\vec{c} $，表示数量积满足分配律，可以按照矩阵乘法的性质进行运算。
二、点积与夹角的关系数量积不仅可以表示两个向量之间的夹角关系，还可以通过夹角的余弦值来计算数量积。
根据余弦定理，两个向量$\vec{a}$和$\vec{b}$之间的夹角$\theta$可以用下面的公式表示：$$\cos\theta=\frac{\vec{a}\cdot\vec{b}}{|\vec{a}||\vec{b}|}$$其中，$|\vec{a}|$和$|\vec{b}|$分别表示向量$\vec{a}$和$\vec{b}$的模。
这个公式非常重要，因为它可以帮助我们计算向量的夹角，而不需要直接通过几何图形进行推导。
三、数量积的几何意义数量积还有一个重要的几何意义，它可以帮助我们计算向量之间的投影。
设有向量$\vec{a}$和$\vec{b}$，以及它们之间的夹角$\theta$，那么$\vec{b}$在$\vec{a}$上的投影可以表示为：$$\text{proj}_\vec{a}\vec{b}=|\vec{b}|\cos\theta$$通过数量积的计算，我们可以轻松得到投影的结果。
平面向量数量积公式
平面向量数量积公式介绍平面向量是二维空间中具有大小和方向的量。
数量积（又称点积或内积）是平面向量运算的一种形式，用于确定两个向量的相关性以及它们之间的夹角。
数量积公式平面向量数量积公式表示为：A ·B = |A| * |B| * cos(θ)其中，A和B是平面向量，|A|和|B|分别代表向量A和B的模（长度），θ则表示向量A和B之间的夹角。
公式解释平面向量数量积公式的等式左边A · B表示向量A和B之间的数量积。
数量积可以通过两个向量的模和它们之间的夹角来计算。
公式右边的|A|和|B|分别代表向量A和B的模（长度）。
向量的模可以通过求平方根来得到，即|A| = √(A1^2 + A2^2)和|B| = √(B1^2 + B2^2)，其中A1和A2分别为向量A在x轴和y轴上的分量，B1和B2类似地代表向量B在x轴和y轴上的分量。
公式右边的cos(θ)表示向量A和B之间的夹角的余弦值。
夹角的余弦可以通过向量的数量积和向量模之间的关系来计算，即cos(θ) = (A · B) / (|A| * |B|)。
综上所述，平面向量数量积公式说明了如何通过向量的模和夹角来计算两个向量之间的数量积。
数量积应用平面向量数量积在多个数学和物理应用中都有重要作用，例如：1.计算向量的模：通过平面向量数量积公式，可以计算向量的模。
向量的模用于衡量向量的长度和大小。
2.计算向量之间的夹角：通过平面向量数量积公式，可以计算两个向量之间的夹角。
夹角的大小和方向可以帮助我们理解向量之间的关系。
3.判断向量的正交性：如果两个向量的数量积为零，即A · B = 0，则称这两个向量为正交向量。
正交向量的特点是它们之间的夹角为90度。
4.判断向量的平行性：如果两个向量的夹角为0度或180度，即θ =0或θ = π，则称这两个向量为平行向量。
平行向量的特点是它们之间的数量积等于两个向量的模的乘积。
5.导出向量的投影：通过平面向量数量积公式，可以导出向量在另一个向量上的投影。
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