高二数学平面向量数量积2
版高中数学第二章平面向量24第2课时平面向量数量积的坐标运算学案苏教版
第2课时平面向量数量积的坐标运算学习目标 1.理解两个向量数量积坐标表示的推导过程，能运用数量积的坐标表示进行向量数量积的运算.2.能根据向量的坐标计算向量的模，并推导平面内两点间的距离公式.3.能根据向量的坐标求向量的夹角及判定两个向量垂直．知识点一平面向量数量积的坐标表示ijxy轴的正半轴同向的单位向量．设，轴、是两个互相垂直且分别与iijjij分别是多少？·思考1 ··，，ijaxybxyabij，(，取思考2 ，，，试将为坐标平面内的一组基底，设)＝(，用)，＝2112ab. 表示，并计算·abab坐标间有何关系？若⊥，，则思考3axybxy).＝＝((，)，，梳理若向量2112ab＝·数量积____________________________向量垂直平面向量的模知识点二ayxa |(1 思考若＝，)，试将向量的模|用坐标表示．1→ABBxyxAy (，如何计算向量，，思考2 若(的模？，))2211梳理向量的模及两点间的距离→AB＝||→AxyBxyAB 为端点的向量(以，()，，)211222yyxx＋－－1122向量的夹角知识点三a·b ba xy b y baa x＝θ的夹角，则)，都是非零向量，θ＝(，是)，cos ＝(，与设，2121|a||b|xxyy＋2112. ＝2222yyxx＋·＋1221类型一平面向量数量积的坐标运算abb a·b＝10. 已知(1,2)与，同向，＝例1a的坐标；求(1)ca b·ca·b c. )，求(及)(1)(2(2)若＝，－2此类题目是有关向量数量积的坐标运算，灵活应用基本公式是前提，设向量一反思与感悟般有两种方法：一是直接设坐标，二是利用共线或垂直的关系设向量，还可以验证一般情况cbbcaa )··≠，即向量运算结合律一般不成立．(下·(·)ababa________. )·1,2)，则(2向量＋＝(1，－1)，＝＝(－1 跟踪训练向量的模、夹角问题类型二BAxOyO．－(16,12)，在平面直角坐标系5,15)中，是原点(如图)．已知点(例2→→ABOA ||，|(1)求|；OAB. 求∠(2)利用向量的数量积求两向量夹角的一般步骤：反思与感悟 (1)利用向量的坐标求出这两个向量的数量积．22yax|＋|＝求两向量的模．(2)利用θ的值．θ代入夹角公式求cos ，并根据θ的范围确定(3)baba的取值范λ的夹角α＝(λ，1)，若与为钝角，求2 跟踪训练已知(1＝，－1)，围．向量垂直的坐标形式类型三baabab的值为垂直，则实数λλ1,0)(3,2)((1)例3 已知＝－，＝－，若向量＋与－2 _____． 3→→kABCABABCACk是直角三角形，求(2,3)，，若△＝(1，的值．(2)在△中，)＝利用向量数量积的坐标表示解决垂直问题的实质是把垂直条件代数化，若在关反思与感悟于三角形的问题中，未明确哪个角是直角时，要分类讨论．→→→OCtOCBCABxOyA，－－1)，在平面直角坐标系若中，已知((1,4)，)⊥(－2,3)，，(2跟踪训练3t________.则实数＝baba的夹角为，－2)，则________1．已知与＝(3，－1)，．＝(1????1331→→??ABCBABC＝，________.2．已知向量＝＝，则∠，????2222mnmnmn)，则λ－2,2)，若(＋＝)⊥(________. 3．已知向量＝(λ＋1,1)，＝(λ＋abab a·b b＝____________. ＝5|＝14．已知平面向量，且，，若，则向量＝(4，－3)，|ab＝(－1,2)＝(4,3)，．5．已知ab的夹角的余弦值；与(1)求abab)，求实数λ(的值．－λ )⊥(2＋(2)若1．平面向量数量积的定义及其坐标表示，提供了数量积运算的两种不同的途径．准确地把握这两种途径，根据不同的条件选择不同的途径，可以优化解题过程．同时，平面向量数量积的两种形式沟通了“数”与“形”转化的桥梁，成为解决距离、角度、垂直等有关问题的有力工具．2．应用数量积运算可以解决两向量的垂直、平行、夹角以及长度等几何问题，在学习中要不断地提高利用向量工具解决数学问题的能力．a x，(若可以对比学习、注意区分两向量平行与垂直的坐标形式，3．二者不能混淆，记忆．＝1 4 yb xy ab xyxy ab xxyy＝－＝0，⊥＋?0.，则，，)＝()∥?221112112224．事实上应用平面向量的数量积公式解答某些平面向量问题时，向量夹角问题却隐藏了许多陷阱与误区，常常会出现因模糊“两向量的夹角的概念”和忽视“两向量夹角”的范围，稍不注意就会带来失误与错误．5答案精析 问题导学 知识点一jjiiij 0. ＝1×1×cos 0＝1·，思考1 ·＝＝1×1×cos 0＝1，·jyxaxiyjbi ＝，＋＋＝，思考2 ∵221122yyjyyjxxxyjxiyjxixyxyabxii . ()·(＋＝＋＋)∴＝··＝(＋)＋＋2121122222121111ybabxxya 0. ?＝·＋思考3 ＝⊥0?2112yxxy ＋梳理2112yabxxy 0⊥＋?＝2211 知识点二yxiyjxa ＋，∈∵，＝R ，思考122222222jiyyjxyxaxiyji ·jxixyi ·j . )＋＋((＝)∴2＝(＋2＋ ＋)＝22i ·jji 1，0＝1，又∵，＝＝222222yaxyxa ＝|＋＋＝∴，∴|，22yax .∴||＋＝→→→yyyOAxyxxABOBx －，，)－(，，思考2 ∵)＝＝(－)－＝(11221221→22yxABxy.－|＋－＝∴|1212题型探究ba λλ)(>0)＝λ，＝(λ，21 例解 (1)设a ·b λ＝10则有，＝λ＋4a ＝(2,4)λ∴＝2，∴．a ·bb ·c 10，＝1×2－2×1＝0，(2)∵＝aab ·c 0)＝0，∴＝(ca ·b ．＝(20，－(10))1)＝10(2，－11 跟踪训练→OA ＝(16,12)例2 解 (1)由，→AB ，＝－12)(－21,3)－＝(－516,15→22OA ＝|20|＝1612＋，得→22AB 152.|－|＝＋3＝ 6→→ABAO ·→→ABOABAO. ＝(2)cos ∠cos ＝， →→ABAO ||||→→→→ABABAOOA 300. ＝－＝－[16×(－其中21,3)··21)＋12×3]＝＝－(16,12)·(－2300OAB .故cos ∠＝＝2220×15OAB ∴∠＝45°.ba ，1)∵，＝(1，－1)，＝(λ 跟踪训练2 解2baab 1. ＝|＝1＋λλ，∴|－|＝2|，·ba 为钝角，又∵的夹角，α ，1<0λ－?? ∴2?，2·1＋λλ≠1－ ，λ<1?? 即?2＋1≠0.λλ＋2??1. λ≠－<1∴λ且 1,1)．∴λ的取值范围是(－∞，－1)∪(－1 (1)例3 － 7133±211. －(2)或或 2331 －跟踪训练3当堂训练π3 3.－1. 2.30° 434????，－ 4. ??552552 (2)(1)5． 925 720XX —019学年度第一学期生物教研组工作计划指导思想以新一轮课程改革为抓手，更新教育理念，积极推进教学改革。
高中数学课件 平面向量的数量积(2)
解： ab = (3, 1) (1, 2)=3+2=5.
|a|= |b|=
a a 32 (1) 2 10
2 2
b b 1 (2) 5 a b 5 2 cos <a, b>= | a ||b | 2 10 5
所以 <a, b>=45°
例2.已知A(1, 2)，B(2, 3)，C(2, 5)， 求证：△ABC是直角三角形
4 x 2 y 0 2 2 x y 1
5 2 5 5 2 5 所求向量为 ( , )或( , ) 5 5 5 5
例6. 已知a=(1, 0)，b=(2, 1)，当k为何实数时，
向量ka－b与a+3b （1）平行；（2）垂直。 解：ka－b=(k－2, －1), a+3b=(7, 3), （1）由向量平行条件得3(k－2)+7=0, 1 所以k= 3 （2）由向量垂直条件得7(k－2) －3=0,
o
2
2
练习2：已知|a|=1，|b|= 2 ，
(1)若a∥b，求a· b；
2
2
(2)若a、b的夹角为60°，求|a+b|； 3
(3)若a－b与a垂直，求a与b的夹角. 45°
练习2：设i，j为正交单位向量，则 ① i· 1 i=_______ ② j· 1 j=________ ③ i· 0 j=________
所以 | a b | 37
(2) |2a－3b|2=4|a|2－12a· b+9|b|2=108,
所以 | 2a 3b | 6 3
练习1： 已知|a|=3，|b|=4，<a, b>=60° ,求
（1）|a+b|；（2）|2a－3b|.
向量的数量积 第2课时 向量的向量积 课件(1)-人教A版高中数学必修第二册(共17张PPT)
【解析】 由于 a2≥0，b2≥0，所以，若 a2＋b2＝0，则 a＝b＝0， 故①正确；若 a＋b＝0，则 a＝－b，又 a，b，c 是三个非零向量， 所以 a·c＝－b·c，所以|a·c|＝|b·c|，②正确；a，b 共线⇔a·b＝±|a||b|， 所以③不正确；对于④应有|a||b|≥a·b；对于⑤，应该是 a·a·a＝|a|2a； ⑥a2＋b2≥2|a||b|≥2a·b，故正确；当 a 与 b 的夹角为 0 时，也有 a·b>0， 因此⑦错；
小结：
数量积运算律
(1)a b b a（交换律） (2)(a) b (a b) (a) b（数乘结合律）
(3)(a b) c a c b c （分配律）
所以
(a b) c a c b c
思考：向量的数量积满足结合律 ( a b ) c a ( b c ) 吗？
说明： (a b) c 表示一个与 c 共线的向量 ， 而 a (b c) 表示一个与a 共线的向量 但 c 与 a 不一定共线，
(a b) c a (b c)
∴ 向量数量积不满足结合律 .
例1.对任意a,b R ,恒有 (a b)2 a2 2ab b2，(a b)(a b) a2面类似的结论？
(1)(a
2(a
b)2 b)
a
2
(a b)
2a
a
b b 2 2 b2
解：（1）(a b)2 (a b)(a b) a a a b b a b b
即a2
k
2
2
b
0
因为
2
a
32
2
9, b
42
16
所以 9 16k 2 0
所以,当 k 3时, 4
平面向量的数量积PPT课件
运算律
向量与标量乘法结合律
对于任意向量$mathbf{a}$和标量$k$，有$kmathbf{a} cdot mathbf{b} = (kmathbf{a}) cdot mathbf{b} = k(mathbf{a} cdot mathbf{b})$。
向量与标量乘法交换律
对于任意向量$mathbf{a}$和标量$k$，有$mathbf{a} cdot kmathbf{b} = k(mathbf{a} cdot mathbf{b}) = (kmathbf{b}) cdot mathbf{a}$。
向量数量积的性质
向量数量积满足交换律和结合 律，即a·b=b·a和 (a+b)·c=a·c+b·c。
向量数量积满足分配律，即 (a+b)·c=a·c+b·c。
向量数量积满足正弦律，即 a·b=|a||b|sinθ，其中θ为向量a 和b之间的夹角。
02 平面向量的数量积的运算
计算公式
定义
平面向量$mathbf{a}$和$mathbf{b}$的数量积定义为 $mathbf{a} cdot mathbf{b} = |mathbf{a}| times |mathbf{b}| times cos theta$，其中$theta$是向量 $mathbf{a}$和$mathbf{b}$之间的夹角。
交换律
平面向量的数量积满足交换律，即$mathbf{a} cdot mathbf{b} = mathbf{b} cdot mathbf{a}$。
分配律
平面向量的数量积满足分配律，即$(mathbf{a} + mathbf{b}) cdot mathbf{c} = mathbf{a} cdot mathbf{c} + mathbf{b} cdot mathbf{c}$。
平面向量数量积2
已知两个非零向量a 和b ，它们的夹角为 ，我们把数量 | a || b | cos 叫做a 与b 的数量积（或内积），记作a · b ，即
a b | a || b | cos
| b | cosθ叫向量 b 在 a 方向上的投影． 平面向量的数量积的几何意义是: a 的长度 |a| 与 b 在 a 的方向 上的投影 |b|cos 的乘积
(2)若a≠0，则对任一非零向量b,有a ·b ≠0 (×）
(3)若a≠0，a ·b =0,则b =0 (×） (×）
(4)若a ·b = 0,则a , b中至少有一个为0
(5)对任一向量a,有a2 = |a|2 （ √）
例题分析：
例1 求证： (1) (a b ) a 2 a b b ;
(3)(a b) c a c b c.
思考
反之成立吗？ （ 1 ） a c b c , 有a b吗？
(2)向量的数量积满足结合律吗？
即 ( a b ) c a ( b c ) 成立吗？
练习：
1.判断正误
(1)若a = 0，则对任一向量b ，有a ·b =0（√）
2
a· b=±|a| · |b| )
2
a a | a | 或 a | a | 解决模长问题
a b a b .
a b a b
(3)
4
cos
解决夹角的问题
平面向量的数量积的运算律
设向量Байду номын сангаас, b, c和实数， 则向量的数量积满足下列运算律：
(1)a b b a; (2)( a) b a (b) (a b) a b;
平面向量数量积公式
平面向量数量积公式介绍平面向量是二维空间中具有大小和方向的量。
数量积（又称点积或内积）是平面向量运算的一种形式，用于确定两个向量的相关性以及它们之间的夹角。
数量积公式平面向量数量积公式表示为：A ·B = |A| * |B| * cos(θ)其中，A和B是平面向量，|A|和|B|分别代表向量A和B的模（长度），θ则表示向量A和B之间的夹角。
公式解释平面向量数量积公式的等式左边A · B表示向量A和B之间的数量积。
数量积可以通过两个向量的模和它们之间的夹角来计算。
公式右边的|A|和|B|分别代表向量A和B的模（长度）。
向量的模可以通过求平方根来得到，即|A| = √(A1^2 + A2^2)和|B| = √(B1^2 + B2^2)，其中A1和A2分别为向量A在x轴和y轴上的分量，B1和B2类似地代表向量B在x轴和y轴上的分量。
公式右边的cos(θ)表示向量A和B之间的夹角的余弦值。
夹角的余弦可以通过向量的数量积和向量模之间的关系来计算，即cos(θ) = (A · B) / (|A| * |B|)。
综上所述，平面向量数量积公式说明了如何通过向量的模和夹角来计算两个向量之间的数量积。
数量积应用平面向量数量积在多个数学和物理应用中都有重要作用，例如：1.计算向量的模：通过平面向量数量积公式，可以计算向量的模。
向量的模用于衡量向量的长度和大小。
2.计算向量之间的夹角：通过平面向量数量积公式，可以计算两个向量之间的夹角。
夹角的大小和方向可以帮助我们理解向量之间的关系。
3.判断向量的正交性：如果两个向量的数量积为零，即A · B = 0，则称这两个向量为正交向量。
正交向量的特点是它们之间的夹角为90度。
4.判断向量的平行性：如果两个向量的夹角为0度或180度，即θ =0或θ = π，则称这两个向量为平行向量。
平行向量的特点是它们之间的数量积等于两个向量的模的乘积。
5.导出向量的投影：通过平面向量数量积公式，可以导出向量在另一个向量上的投影。
数学中的向量进阶平面向量的数量积与向量积
数学中的向量进阶平面向量的数量积与向量积数学中的向量进阶：平面向量的数量积与向量积在数学中，向量是用来表示大小和方向的量。
我们可以在平面或者空间中使用向量进行各种数学运算和推导。
本文将重点介绍进阶的向量运算——数量积和向量积，并探讨它们在几何和物理学中的应用。
一、数量积数量积是指两个向量的乘积与夹角的余弦值的乘积。
即对于两个向量a和b，在数量积运算中，我们可以通过以下公式计算它们的结果：a·b = |a| |b| cosθ其中，a·b表示向量a与向量b的数量积，|a|和|b|分别表示向量a和b的模，θ表示向量a和向量b之间的夹角。
数量积有以下几个重要的性质：1. 交换律：a·b = b·a2. 数量积为0时，a和b垂直：若a·b = 0，则a和b垂直。
3. 数量积为非零时，a和b夹角为锐角或钝角：若a·b ≠ 0，则a和b 夹角为锐角或钝角。
数量积在几何学中有广泛的应用。
例如，通过计算数量积可以判断两个向量是否垂直，或者计算两个向量之间的夹角。
在物理学中，数量积可以用来计算向量的投影和求解力的功率等问题。
二、向量积向量积是指两个向量的乘积得到的另一个向量。
在平面向量中，向量积只存在于三维空间中。
给定两个向量a和b，它们的向量积可以表示为c=a×b。
向量积的计算公式如下：c = a×b = |a| |b| sinθ n其中，c表示向量积的结果，|a|和|b|分别表示向量a和b的模，θ表示夹角，n表示两个向量构成的平面的法向量。
向量积具有以下几个重要的性质：1. 交换律：a×b = -b×a2. 结果为零时，a和b共线：若a×b = 0，则a和b共线。
3. 结果的模为两个向量之间的平行四边形的面积。
向量积在几何学和物理学中也有广泛的应用。
例如，在几何学中，向量积可以用来计算两个向量所构成平行四边形的面积。
高中数学第二章平面向量2.4平面向量的数量积(2)课件新人教A版必修4
(2) 若 点
A(x1
，
y1)
，
B(x2
，
y2)
，
则
→ AB
＝
(x2
－
x1
，
y2
－
y1)
，
所
以
|
→ AB
|
＝
（x2－x1）2＋（y2－y1）2，即|A→B|的实质是 A，B 两点间的距离或线段 AB 的长
(2)坐标表示下的运算，若 a＝(x，y)，则|a|＝ x2＋y2.
第二十一页，共37页。
2．(1)已知向量 a＝(1，2)，b＝(－3，2)，则|a＋b|＝________，|a－b|＝________；
(2)设平面向量 a＝(1，2)，b＝(－2，y)，若 a∥b，则|2a－b|等于( )
A．4
第二十六页，共37页。
[归纳升华] 用坐标求两个向量夹角与垂直问题的步骤
(1)用坐标求两个向量夹角的四个步骤： ①求 a·b 的值； ②求|a||b|的值； ③根据向量夹角的余弦公式求出两向量夹角的余弦； ④由向量夹角的范围及两向量夹角的余弦值求出夹角．
第二十七页，共37页。
(2)利用向量解决垂直问题的四个步骤： ①建立平面直角坐标系，将相关的向量用坐标表示出来； ②找到解决问题所需的垂直关系的向量； ③利用向量垂直的相关公式列出参数满足的等式，解出参数值； ④还原到所要解决的几何问题中.
答案：
(1)－15
3 (2)2
第三十页，共37页。
[变式练]☆ 2．已知平面向量 a＝(3，4)，b＝(9，x)，c＝(4，y)，且 a∥b，a⊥c. (1)求 b 与 c； (2)若 m＝2a－b，n＝a＋c，求向量 m，n 的夹角的大小．
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