半导体物理习题课

式中m为电子质量，k 1 = (1)禁带宽度； (2)导带底电子的有效质量； (3)价带顶空穴的有效质量。
π
a
，a=3.14Å。试求：
解： (1)禁带宽度Eg=导带极小值ECmin-价带极大值EVmax,因此要先求出ECmin、EVmax 令： 得到： 所以有：
dEC (k ) 2 2 k 2 2 (k − k1 ) = + =0 dk m m
r
f eBµ ⊥ = ωc µ ⊥ = * = * mn mn
eB ωc = * mn
3.7在一维情况下,(1)利用周期性条件证明：表示独立状态的k值数目等于晶体的晶 2 2 k E = 胞数；(2)设电子的能量为 ,并考虑到电子的自旋可以有两种不同的取向. 2m * n 试证明在单位长度的晶体中单位能量间隔的状态数为:
3.1 在硅中，导带极小值附近的电子能量可以写成:
2 2 2 2 k x + k y k z + E(k) = E C + ( ) 2 m1 m2
式中m2>m1 (1)分别画出能量E随着kx和kz变化的示意图; (2)画出k空间等能面的示意图(要求分别画出等能面与kx-ky平面以及kx-kz平面的交 线). 解： (1)分别令ky、kz和kx、ky为常数不变，则E~kx与E~kz的关系如下图抛物线所示：
eB 2k 2 证明：能量为 E = * 的电子，在磁场B 中的回旋频率为 * 2m n mn
.
证明: 电子的有效质量为：
mn = 2
*
d 2E ( 2) dk
设电子垂直于磁场 B 的速度为 µ ⊥ ，回旋频率为 ωc ，半径为r，则电子的 线加速度为：
a=
所以有：
2 µ⊥
r
=
.98m、mt=0.19m, 所以经计算得θ=146° .
4.2
T = 40K 时该掺杂半导体处于杂质弱电离区，因此有：
n = N d − nd =
Nd Nd = E f − Ec E f − Ed E − Ed ) • exp( c ) +1 ) + 1 g d exp( g d exp( kT kT kT
mn =
*
2
d 2 EC ( k ) dk 2
=
2
3 = m 8 2 ) 8 ( 3m
(3)按照空穴有效质量的定义：
m p = -m n = −
*
*
2
d 2 EV (k ) − 2 1 m 2 = dk 2 = 6 (− ) 6 m
3.3
* 1 − 2mn N (E) = E 2
解： (1)周期性边界条件： 以晶体的边长为周期，设晶体边长为L，晶格周期为a，电子波函数为 ψ k ( x) 根据布洛赫定理： ψ k ( x) = eikx µ k ( x) ，且 µ k ( x + na ) = µ k ( x) ψ k ( x + L) = ψ k ( x)，即： eik ( x + L ) µ k ( x + L) = eikx µ k ( x) 根据边界条件： 设晶体的原胞数为N个：则L=Na
n = Nd + p
所以，本征激发不可以忽略！
n × p = ( N d + p ) × p = ni2
所以，求关于空穴浓度
p 的一元二次方程，取有意义解即可。
2 − Nd + Nd + 4ni2 ≈ 5.5 × 1012 cm −3 空穴浓度：p = 2
电子浓度：n
= N d + p ≈ 1.055 × 1014 cm −3
2 2 kx kz = 1② + 2m1 ( E0 − EC ) 2m2 ( E0 − EC ) 2 2
由以上两个式子，可得等能面与kx-ky平面以及kx-kz平面的交线如下图所示：
ky kx
2m1 ( E0 − EC )
0
kx
kz
2m 2 ( E0 − EC )
半径为
2m( E0 − EC )
不符合条件，本征载流子已经多于施主提供的载流子。
4.7 施、受主杂质均饱和电离，N d = 1016 cm −3 > N a = 4 × 1015 cm −3
施主首先补偿受主，补偿后提供的电子浓度为：N d
− N a = 6 × 10 cm
15
−3
本征硅在室温下本征载流子浓度为： ni ( Si : 300 K )
（2）
p = N v exp(
Ev − E f kT
)
Nv 1.04 × 1019 = Ev + 0.026 × ln ≈ Ev + 0.18eV E f = Ev + kT ln 16 p 10
4.4 室温下认为锗中施主已经饱和电离，但是
N d = 1014 cm −3，ni = 2.3 × 1013 cm −3
n = 1014 cm −3
40 3 2 N C ( 40 K ) = ( ) × 2.8 × 1019 = 1.4 × 1018 300
N a >> ni 4.3 室温下硼杂质处于饱和电离区，而且
（1） 空穴浓度： P
, 本征激发可以忽略。
= N a = 1016 cm −3
2
(1.5 × 1010 ) 2 ni 4 −3 电子浓度： n = 2 . 25 10 = = × cm 1016 p
4.6
工作温度的上限要确保，高温导致的本征激发载流子仍然占少数，
1 这要求： ni ≤ ⋅ Nd 10
(1) 硅中掺入1015 cm −3 的砷原子，
ni ( Si ) = ( N c N v ) exp( −
2
1
Eg 2kT
)
400 3 2 N c ( Si : 400 K ) = ( ) × N c (300 K ) = 4.31 × 1019 cm −3 300 400 3 2 ) × N v (300 K ) = 1.60 × 1019 cm −3 N v ( Si : 400 K ) = ( 300 2 αT E g (T ) = E g (0) − E g ( Si : 400 K ) = 1.097eV T +β
eik ( x + L ) µ k ( x + L) = eikx ⋅ e ikL µ k ( x + Na) = eikx µ k ( x)
所以有：
e
ikL
= 1 ， kL = kNa = 2nπ
， k=
独立的k值可限制在一个布里渊区中，因此：
2πn Na
其中n为整数
−
π
a
<k≤
π
a
2πn π N N − < ≤ < n ≤ ， 即： 2 2 a Na a
的圆
长轴位于kz,短轴位于kx的椭圆，因为m2>m1
3.2设晶格常数为a的一维晶体，导带极小值附近的能量EC(k)为：
2 k 2 2 ( k − k1 ) 2 + EC (k ) = 3m m
价带极大值附近的能量Ev(k)为：
2 k12 3 2 k 2 − Ev (k ) = 6m m
E g = ECmin − EVmax
2π 2 1 1 2π 2 = ( − )= 2 ma 4 6 12ma 2
(2)按照电子有效质量的定义：
mn =
*
2
d 2E ( 2) dk
2 2 2 2 2 2 d E ( k ) − d 2 k 2 ( k k ) 2 2 8 C 1 又： = + + = = 2 dk dk 3m m m 3m 3m 所以，导带底电子的有效质量为：
1 ni ( Si : 400 K ) = 3.52 × 10 cm << ⋅ N d = 1014 cm −3 10
12 −3
符合条件，保证本征载流子占少数。 (2) 锗中掺入1015 cm −3 的锑原子，
400 3 2 N c (Ge : 400 K ) = ( ) × N c (300 K ) = 1.60 × 1019 cm −3 300 400 3 2 N v (Ge : 400 K ) = ( ) × N v (300 K ) = 9.23 × 1018 cm −3 300 αT 2 E g (T ) = E g (0) − E g (Ge : 400 K ) = 0.623eV T +β 1 −3 15 ni (Ge : 400 K ) = 1.52 × 10 cm > ⋅ N d = 1014 cm −3 10
π
因此n的取值只能有N个，即独立的k值为N个.
(2)我们知道一个倒原胞体积内有N个独立状态,考虑自旋,应为2N个独立状态，因此 一维空间中单位长度上的状态数为： 2N Na = 2π π a 又知：
2 2 E= k
2m
* n
2 dE = k
* mn
⋅ dk
* 1 1 * * * − − m dE 2 m m dE E m dE 所以有： n n ⋅ E 2 dk = n2 = n 2 （ ）2 = 2 k 2
3 k = k1 4
2 9 2 2 3 2 k1 2π 2 2 × k1 + ( k1 − k1 ) = = EC min = m 4 3m 16 4m 4ma 2
2
令： 得到： 所以有： 于是：
dEv (k ) 6 2 k =− =0 dk m
k=0
EVmax
2 k12 2π 2 = = 6m 6ma 2
E1 = E 2 =
则[100]能谷中各电子：