Matlab偏微分方程工具箱应用简介

偏微分方程—matlab

基础知识偏微分方程的定解问题各种物理性质的定常（即不随时间变化）过程，都可用椭圆型方程来描述。

其最典型、最简单的形式是泊松(Poisson)方程),(2222y x f yux u u =∂∂+∂∂=∆ （1）特别地，当 f ( x , y ) ≡ 0 时，即为拉普拉斯(Laplace)方程，又称为调和方程02222=∂∂+∂∂=∆yux u u （2）带有稳定热源或内部无热源的稳定温度场的温度分布，不可压缩流体的稳定无旋流动及静电场的电势等均满足这类方程。

Poisson 方程的第一边值问题为⎪⎩⎪⎨⎧Ω∂=Γ=Ω∈=∂∂+∂∂=∆Γ∈),(),(),(),(),(2222y x y x u y x y x f y ux u u y x ϕ （3）其中 Ω 为以 Γ 为边界的有界区域， Γ 为分段光滑曲线， Ω U Γ 称为定解区域，f (x, y),ϕ(x, y) 分别为 Ω,Γ 上的已知连续函数。

第二类和第三类边界条件可统一表示成)0(0),(>=⎪⎭⎫⎝⎛+∂∂Γ∈a u n u y x α （4）其中 n 为边界 Γ 的外法线方向。

当α = 0 时为第二类边界条件，α ≠ 0 时为第三类边界条件。

在研究热传导过程，气体扩散现象及电磁场的传播等随时间变化的非定常物理问题时，常常会遇到抛物型方程。

其最简单的形式为一维热传导方程)0(022>=∂∂-∂∂a xua t u （5）方程（5）可以有两种不同类型的定解问题：初值问题（也称为 Cauchy 问题）⎪⎩⎪⎨⎧+∞<<∞-=+∞<<-∞>=∂∂-∂∂x x x u x t x ua tu )()0,(,0022ϕ （6）初边值问题⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧<<===<<<<=∂∂-∂∂lx t g t l u t g t u x x u l x T t x ua t u 0),(),(),(),0()()0,(0,002122ϕ （7）其中ϕ)(),(),(21x g x g x ϕ为已知函数，且满足连接条件 )0()(),0()0(21g l g ==ϕϕ问题（7）中的边界条件)(),(),(),0(21t g t l u t g t u ==称为第一类界条件。

(完整版)偏微分方程的MATLAB解法

引言偏微分方程定解问题有着广泛的应用背景。

人们用偏微分方程来描述、解释或者预见各种自然现象，并用于科学和工程技术的各个领域fll。

然而，对于广大应用工作者来说，从偏微分方程模型出发，使用有限元法或有限差分法求解都要耗费很大的工作量，才能得到数值解。

现在，MATLAB PDEToolbox已实现对于空间二维问题高速、准确的求解过程。

偏微分方程如果一个微分方程中出现的未知函数只含一个自变量，这个方程叫做常微分方程，也简称微分方程；如果一个微分方程中出现多元函数的偏导数，或者说如果未知函数和几个变量有关，而且方程中出现未知函数对几个变量的导数，那么这种微分方程就是偏微分方程。

常用的方法有变分法和有限差分法。

变分法是把定解问题转化成变分问题，再求变分问题的近似解；有限差分法是把定解问题转化成代数方程，然后用计算机进行计算；还有一种更有意义的模拟法，它用另一个物理的问题实验研究来代替所研究某个物理问题的定解。

虽然物理现象本质不同，但是抽象地表示在数学上是同一个定解问题，如研究某个不规则形状的物体里的稳定温度分布问题，由于求解比较困难，可作相应的静电场或稳恒电流场实验研究，测定场中各处的电势，从而也解决了所研究的稳定温度场中的温度分布问题。

随着物理科学所研究的现象在广度和深度两方面的扩展，偏微分方程的应用范围更广泛。

从数学自身的角度看，偏微分方程的求解促使数学在函数论、变分法、级数展开、常微分方程、代数、微分几何等各方面进行发展。

从这个角度说，偏微分方程变成了数学的中心。

一、MATLAB方法简介及应用1.1 MATLAB简介MATLAB是美国MathWorks公司出品的商业数学软件，用于算法开发、数据可视化、数据分析以及数值计算的高级技术计算语言和交互式环境，主要包括MATLAB和Simulink两大部分。

1.2 Matlab主要功能数值分析数值和符号计算工程与科学绘图控制系统的设计与仿真数字图像处理数字信号处理通讯系统设计与仿真财务与金融工程1.3 优势特点1) 高效的数值计算及符号计算功能，能使用户从繁杂的数学运算分析中解脱出来；2) 具有完备的图形处理功能，实现计算结果和编程的可视化；3) 友好的用户界面及接近数学表达式的自然化语言，使学者易于学习和掌握；4) 功能丰富的应用工具箱(如信号处理工具箱、通信工具箱等) ，为用户提供了大量方便实用的处理工具。

(完整版)偏微分方程的MATLAB解法

引言偏微分方程定解问题有着广泛的应用背景。

人们用偏微分方程来描述、解释或者预见各种自然现象，并用于科学和工程技术的各个领域fll。

然而，对于广大应用工作者来说，从偏微分方程模型出发，使用有限元法或有限差分法求解都要耗费很大的工作量，才能得到数值解。

现在，MATLAB PDEToolbox已实现对于空间二维问题高速、准确的求解过程。

偏微分方程如果一个微分方程中出现的未知函数只含一个自变量，这个方程叫做常微分方程，也简称微分方程；如果一个微分方程中出现多元函数的偏导数，或者说如果未知函数和几个变量有关，而且方程中出现未知函数对几个变量的导数，那么这种微分方程就是偏微分方程。

常用的方法有变分法和有限差分法。

变分法是把定解问题转化成变分问题，再求变分问题的近似解；有限差分法是把定解问题转化成代数方程，然后用计算机进行计算；还有一种更有意义的模拟法，它用另一个物理的问题实验研究来代替所研究某个物理问题的定解。

虽然物理现象本质不同，但是抽象地表示在数学上是同一个定解问题，如研究某个不规则形状的物体里的稳定温度分布问题，由于求解比较困难，可作相应的静电场或稳恒电流场实验研究，测定场中各处的电势，从而也解决了所研究的稳定温度场中的温度分布问题。

随着物理科学所研究的现象在广度和深度两方面的扩展，偏微分方程的应用范围更广泛。

从数学自身的角度看，偏微分方程的求解促使数学在函数论、变分法、级数展开、常微分方程、代数、微分几何等各方面进行发展。

从这个角度说，偏微分方程变成了数学的中心。

一、MATLAB方法简介及应用1.1 MATLAB简介MATLAB是美国MathWorks公司出品的商业数学软件，用于算法开发、数据可视化、数据分析以及数值计算的高级技术计算语言和交互式环境，主要包括MATLAB和Simulink两大部分。

1.2 Matlab主要功能数值分析数值和符号计算工程与科学绘图控制系统的设计与仿真数字图像处理数字信号处理通讯系统设计与仿真财务与金融工程1.3 优势特点1) 高效的数值计算及符号计算功能，能使用户从繁杂的数学运算分析中解脱出来；2) 具有完备的图形处理功能，实现计算结果和编程的可视化；3) 友好的用户界面及接近数学表达式的自然化语言，使学者易于学习和掌握；4) 功能丰富的应用工具箱(如信号处理工具箱、通信工具箱等) ，为用户提供了大量方便实用的处理工具。

pde工具介绍

也可以用动画来表示杆上的温度随时间的变化,在上面的程序后面加上如下语句 figure h=plot(xx’,js(1,:)) set(h,’erasemode’,’xor’); for j=2:10 set(h,’ydata’,js(j,:)); drawnow; pause(0.1) end 上图右面是其中的一个画面，所有的画面按时间排列起来，就形成上一幅瀑布图. 例4. 讨论有限长的细杆在第一类边界条件下的热传导问题.可以将这个结果与无限长细杆的热传导问题对比. 无限长细杆的热传导的定解问题是 2 ut = a uxx u(0, t) = 0, u(l, t) = 0 u(x, t = 0) = ϕ(x) 其中0 ≤ x ≤ 20,即l = 20,取a = 10且 ϕ (x ) = 所得的解为 2 10nπ 11nπ − n2π2a2 t nπ u(x, t) = cos − cos e 400 sin x nπ 20 20 20 n=1 再画出前50个分波的合成图形,在程序中用子函数来计算各个分波,然后在主函数中调用.所用的程序是 function jxj
1.1 可解问题的分类
偏微分方程工具箱将问题分成8种类型来设置解法， Generic Scalar 一般标量场 Generic system 一般的偏微分方程组 Structual Mechnics,Plane Stress 结构力学−平面应力场 Structual Mechnics,Plane Strain 结构力学−平面应变场 Electrostatics 静电场 Magnetostatics 静磁场 Ac Power Electromagnetics 交流电磁场 Conductive Media DC 直流导电介质问题 Heat Transfer 热传导问题 Diﬀusion 扩散问题

电磁场中matlab仿真实现工具箱

实验六：使用偏微分方程工具箱对电磁场的仿真一、实验目的与要求1.掌握微分方程工具箱的使用方法；2.掌握使用偏微分方程工具箱分析电磁场。

二、实验类型设计三、实验原理及说明偏微分方程的工具箱（PDE toolbox）是求解二维偏微分方程的工具，MA TLAB专门设计了一个应用偏微分方程的工具箱的演示程序以帮助使用者快速地了解偏微分方程的工具箱的基本功能。

操作方法是在MA TLAB的指令窗口键入pdedemos，打开Command Line Demos窗口，如图所示。

只要单击任意键就会使程序继续运行，直至程序运行结束。

单击信息提示按钮（Info）是有关演示窗口的帮助说明信息。

8个偏微分方程的演示程序分别是泊松方程、亥姆霍兹方程、最小表面问题、区域分解方法、热传导方程、波动方程、椭圆型方程自适应解法和泊松方程快速解法。

（一）偏微分方程的工具箱的基本功能偏微分方程的工具箱可以求解一般常见的二维的偏微分方程，其基本功能是指它能解的偏微分方程的类型和边值条件。

用户可以不必学习编程方法仅仅在图形用户界面窗口进行操作，就能得到偏微分方程的数值解。

1．工具箱可解方程的类型定义在二维有界区域Ω上的下列形式的偏微分方程，可以用偏微分方程工具箱求解：椭圆型()f au u c =+∇∙∇- 抛物型()f au u c tu d =+∇∙∇-∂∂ 双曲型()f au u c tu d =+∇∙∇-∂∂22 本征值方程()du au u c λ=+∇∙∇-式中，u 是偏微分方程的解；c 、a 、d 、f 是标量复函数形式的系数，在抛物型和双曲型方程中，它们也可以是t 的函数，λ是待求的本征值。

当c 、a 、f 是u 的函数时，称之为非线性方程，形式为()()()()u f u u a u u c =+∇∙∇-也可以用偏微分方程工具箱求解。

2．工具箱可解方程的边值条件解偏微分方程需要的边值条件一般为下面两种之一：狄里赫利(Diriclet)边值条件 hu=r广义诺曼(Generalized Neumann)边值条件 ()g qu u c n =+∇∙式中，n为边界外法向单位向量；h 、q 、r 、g 是在边界上定义的复函数。

matlab求解初边值问题的偏微分方程

偏微分方程是描述自然界中动态过程的重要数学工具，在工程领域中，求解偏微分方程是很多实际问题的重要一步。

MATLAB作为一种强大的数学计算软件，提供了丰富的工具和函数来求解各种类型的偏微分方程。

本文将介绍使用MATLAB求解初边值问题的偏微分方程的方法和步骤。

一、MATLAB中的偏微分方程求解工具MATLAB提供了几种可以用来求解偏微分方程的工具和函数，主要包括：1. pdepe函数：用于求解偏微分方程初边值问题的函数，可以处理各种类型的偏微分方程，并且可以自定义边界条件和初始条件。

2. pdepeplot函数：用于绘制pdepe函数求解得到的偏微分方程的解的可视化图形，有助于直观地理解方程的解的特性。

3. pdetool工具箱：提供了一个交互式的图形用户界面，可以用来建立偏微分方程模型并进行求解，适用于一些复杂的偏微分方程求解问题。

二、使用pdepe函数求解偏微分方程初边值问题的步骤对于给定的偏微分方程初边值问题，可以按照以下步骤使用pdepe函数进行求解：1. 定义偏微分方程需要将给定的偏微分方程转化为标准形式，即将偏微分方程化为形式为c(x,t,u)∂u/∂t = x(r ∂u/∂x) + ∂(p∂u/∂x) + f(x,t,u)的形式。

2. 编写边界条件和初始条件函数根据实际问题的边界条件和初始条件，编写相应的函数来描述这些条件。

3. 设置空间网格选择合适的空间网格来离散空间变量，可以使用linspace函数来产生均匀分布的网格。

4. 调用pdepe函数求解偏微分方程将定义好的偏微分方程、边界条件和初始条件函数以及空间网格作为参数传递给pdepe函数，调用该函数求解偏微分方程。

5. 可视化结果使用pdepeplot函数绘制偏微分方程的解的可视化图形，以便对解的性质进行分析和理解。

三、实例分析考虑一维热传导方程初边值问题：∂u/∂t = ∂^2u/∂x^2, 0<x<1, 0<t<1u(0,t) = 0, u(1,t) = 0, u(x,0) = sin(πx)使用MATLAB求解该初边值问题的步骤如下：1. 定义偏微分方程将热传导方程化为标准形式，得到c(x,t,u) = 1, r = 1, p = 1, f(x,t,u) = 0。

matlab偏微分方程组求解

matlab偏微分方程组求解摘要：一、引言1.介绍Matlab 在偏微分方程组求解中的应用2.阐述偏微分方程组的重要性和应用领域3.说明Matlab 在偏微分方程组求解中的优势二、Matlab 偏微分方程组求解方法1.有限差分法2.有限元法3.边界元法4.其他求解方法三、Matlab 偏微分方程组求解步骤1.准备模型和参数2.选择适当的求解方法3.编写求解脚本4.分析结果四、Matlab 偏微分方程组求解案例分析1.二维热传导方程2.二维亥姆霍兹方程3.三维波动方程五、结论1.总结Matlab 在偏微分方程组求解中的应用2.强调Matlab 在偏微分方程组求解中的重要性3.展望Matlab 在偏微分方程组求解领域的发展前景正文：一、引言Matlab 是一款功能强大的数学软件，广泛应用于科学计算、数据分析、建模等领域。

偏微分方程组是描述众多自然现象和工程问题的数学模型，求解偏微分方程组对于理解这些现象和问题具有重要意义。

Matlab 提供了丰富的工具箱和函数，可以方便地求解偏微分方程组，为科研和工程应用提供了强大的支持。

二、Matlab 偏微分方程组求解方法Matlab 提供了多种求解偏微分方程组的方法，包括有限差分法、有限元法、边界元法等。

有限差分法是一种常用的数值求解方法，通过离散化方程组，将偏微分方程转化为离散形式的代数方程组，从而求解。

有限元法和边界元法是另外两种常用的数值求解方法，分别通过将偏微分方程转化为有限个单元的加权积分和边界上的加权积分，从而求解。

除了上述方法外，Matlab 还支持其他求解方法，如有限体积法、谱方法等。

有限体积法是将偏微分方程组的控制区域划分为有限个体积单元，通过对单元内的值进行插值，得到离散形式的偏微分方程组。

谱方法则是利用傅里叶变换将偏微分方程组转化为频域问题，从而求解。

三、Matlab 偏微分方程组求解步骤求解偏微分方程组的过程主要包括准备模型和参数、选择适当的求解方法、编写求解脚本和分析结果四个步骤。

Matlab偏微分方程工具箱应用简介

Matlab偏微分方程工具箱应用简介1．概述本文只给出该工具箱的函数列表，读者应先具备偏微分方程的基本知识，然后根据本文列出的函数查阅Matlab的帮助，便可掌握该工具箱的使用。

2．偏微分方程算法函数列表adaptmesh 生成自适应网络及偏微分方程的解assemb 生成边界质量和刚度矩阵assema 生成积分区域上质量和刚度矩阵assempde 组成偏微分方程的刚度矩阵及右边hyperbolic 求解双曲线型偏微分方程parabolic 求解抛物线型偏微分方程pdeeig 求解特征型偏微分方程pdenonlin 求解非线性型微分方程poisolv 利用矩阵格式快速求解泊松方程3．图形界面函数pdecirc 画圆pdeellip 画椭圆pdemdlcv 转化为版本1.0式的*.m文件pdepoly 画多边形pderect 画矩形pdetool 偏微分方程工具箱的图形用户界面4．几何处理函数csgchk 检查几何矩阵的有效性csgdel 删除接近边界的小区decsg 将固定的几何区域分解为最小区域initmesh 产生最初的三角形网络jigglemesh 微调区域内的三角形网络poimesh 在矩形区域上产生规则的网络refinemesh 细化三角形网络wbound 写一个边界描述文件wgeom 写一个几何描述文件pdecont 画轮廓图pdemesh 画偏微分方程的三角形网络pdeplot 画偏微分方程的三角形网络pdesurf 画表面图命令5．通用函数pdetriq 三角形单元的品性度量poiasma 边界点对快速求解泊松方程的“贡献”矩阵poicalc 规范化的矩阵格式的点索引poiindex 规范化的矩阵格式的点索引sptarn 求解一般的稀疏矩阵的特征值问题tri2grid 由三角形格式转化为矩形格式。