2021学年新教材数学人教B版必修第二册课件：3.1.2 排列与排列数
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新教材 人教B版高中数学选择性必修第二册全册精品教学课件(共958页)
3.1 排列与组合
3.1.1 基本计数原理 P2
3.1.2 排列与排列数 P80
3.1.3 组合与组合数 P167
3.3 二项式定理与杨辉三角 P234
4.1 条件概率与事件的独立性
4.1.1 条件概率 P315
4.1.2 乘法公式与全概率公式 P351
4.1.3 独立性与条件概率的关系 P428
4.2 随机变量
2．(变条件，变结论)本例(2)换为：用数字 1,2,3 可以组成多少个 没有重复数字的整数？
[解] 分三类： ①第一类为一位整数，有 1,2,3，共 3 个； ②第二类为二位整数，有 12,13,21,23,31,32，共 6 个； ③第三类为三位整数，有 123,132,213,231,312,321，共 6 个． ∴共组成 3＋6＋6＝15 个无重复数字的整数．
的个数是( )
A．1
B．3
C．6
D．9
D [这件事可分为两步完成：第一步，在集合{2,3,7}中任取一个
值 x 有 3 种方法；第二步，在集合{－1，－2,4}中任取一个值 y 有 3
种方法．根据分步乘法计数原理知，有 3×3＝9 个不同的点．]
4．一个礼堂有 4 个门，若从任一个门进，从任一门出，共有不 同走法________种．
4.2.1 随机变量及其与事件的联系 P476
4.2.2 离散型随机变量的分布列 P511
4.2.3 二项分布与超几何分布 P566 4.2.4 随机变量的数字特征 P655 4.2.5 正态分布 P754
4.3.1 一元线性回归模型 P801
4.3 统计模型
4.3.2 独立性检验 P919
3.1.1 基本计数原理 第1课时 基本计数原理
3.1.1 基本计数原理 P2
3.1.2 排列与排列数 P80
3.1.3 组合与组合数 P167
3.3 二项式定理与杨辉三角 P234
4.1 条件概率与事件的独立性
4.1.1 条件概率 P315
4.1.2 乘法公式与全概率公式 P351
4.1.3 独立性与条件概率的关系 P428
4.2 随机变量
2．(变条件，变结论)本例(2)换为：用数字 1,2,3 可以组成多少个 没有重复数字的整数？
[解] 分三类： ①第一类为一位整数，有 1,2,3，共 3 个； ②第二类为二位整数，有 12,13,21,23,31,32，共 6 个； ③第三类为三位整数，有 123,132,213,231,312,321，共 6 个． ∴共组成 3＋6＋6＝15 个无重复数字的整数．
的个数是( )
A．1
B．3
C．6
D．9
D [这件事可分为两步完成：第一步，在集合{2,3,7}中任取一个
值 x 有 3 种方法；第二步，在集合{－1，－2,4}中任取一个值 y 有 3
种方法．根据分步乘法计数原理知，有 3×3＝9 个不同的点．]
4．一个礼堂有 4 个门，若从任一个门进，从任一门出，共有不 同走法________种．
4.2.1 随机变量及其与事件的联系 P476
4.2.2 离散型随机变量的分布列 P511
4.2.3 二项分布与超几何分布 P566 4.2.4 随机变量的数字特征 P655 4.2.5 正态分布 P754
4.3.1 一元线性回归模型 P801
4.3 统计模型
4.3.2 独立性检验 P919
3.1.1 基本计数原理 第1课时 基本计数原理
人教B版高中数学选择性必修第二册精品课件 第3章 排列、组合与二项式定理 第1课时 组合及组合数公式
B.从1,2,3,4这4个数字中选取3个不同的数字可以组成多少个不同的三位
数?
C.从全班同学中选出3名同学参加学校运动会开幕式,有多少种选法?
D.从全班同学中选出2名同学分别担任班长、副班长,有多少种选法?
解析 对于A选项,从4名志愿者中选出2人分别参加导游和翻译的工作,将2
人选出后,还要安排导游或翻译的工作,与顺序有关,这个问题为排列问题;
名师点睛
1.排列与组合的区别与联系
(1)共同点:两者都是从n个不同对象中取出m(m≤n)个对象.
(2)不同点:排列与对象的顺序有关,组合与对象的顺序无关.
(3)只要两个组合中的对象完全相同,不论对象的顺序如何,都是相同的组
合,只有当两个组合中对象不完全相同时,才是不同的组合.
2.组合与组Biblioteka 数的区别目录索引基础落实·必备知识一遍过
重难探究·能力素养速提升
学以致用·随堂检测促达标
1.理解组合的概念,会区分排列与组合问题.
正确认识组合与排列的区别与联系
课程标准
2.掌握组合数公式,会利用公式解决一些简单组合问题,理解排列
数与组合数之间的联系.
3.掌握组合数的两个性质,能够应用组合数的性质进行有关的化
多少种.
1
解 因为一共有2件次品,至多有1件正品即恰有1件正品,故抽法有 C98
=98种.
规律方法 解答简单的组合问题的方法
(1)弄清要做的这件事是什么事.
(2)看选出的元素是否与顺序有关,也就是看是不是组合问题.
(3)结合两计数原理,利用组合数公式求出结果.
变式训练3[2024甘肃白银高二期末]课外活动小组共13人,其中男生8人,女
选2人参加服务,则( AD)
数?
C.从全班同学中选出3名同学参加学校运动会开幕式,有多少种选法?
D.从全班同学中选出2名同学分别担任班长、副班长,有多少种选法?
解析 对于A选项,从4名志愿者中选出2人分别参加导游和翻译的工作,将2
人选出后,还要安排导游或翻译的工作,与顺序有关,这个问题为排列问题;
名师点睛
1.排列与组合的区别与联系
(1)共同点:两者都是从n个不同对象中取出m(m≤n)个对象.
(2)不同点:排列与对象的顺序有关,组合与对象的顺序无关.
(3)只要两个组合中的对象完全相同,不论对象的顺序如何,都是相同的组
合,只有当两个组合中对象不完全相同时,才是不同的组合.
2.组合与组Biblioteka 数的区别目录索引基础落实·必备知识一遍过
重难探究·能力素养速提升
学以致用·随堂检测促达标
1.理解组合的概念,会区分排列与组合问题.
正确认识组合与排列的区别与联系
课程标准
2.掌握组合数公式,会利用公式解决一些简单组合问题,理解排列
数与组合数之间的联系.
3.掌握组合数的两个性质,能够应用组合数的性质进行有关的化
多少种.
1
解 因为一共有2件次品,至多有1件正品即恰有1件正品,故抽法有 C98
=98种.
规律方法 解答简单的组合问题的方法
(1)弄清要做的这件事是什么事.
(2)看选出的元素是否与顺序有关,也就是看是不是组合问题.
(3)结合两计数原理,利用组合数公式求出结果.
变式训练3[2024甘肃白银高二期末]课外活动小组共13人,其中男生8人,女
选2人参加服务,则( AD)
人教B版高中数学选择性必修第二册精品课件 第3章 排列、组合与二项式定理 3.1.1 基本计数原理
规律方法 应用两个计数原理解题的策略 对于两个计数原理的综合应用问题,一般是先分类再分步.分类时要设计好 标准,设计好分类方案,防止重复和遗漏;分步时要注意步与步之间的连续 性,同时应合理设计步骤的顺序,使各步互不干扰.也可以根据题意合理地 画出示意图或者列出表格,使问题的实质直观地显现出来,从而便于我们 解题.
变式探究 本例中条件不变,求个位数字小于十位数字且为偶数的两位数 的个数.
解 当个位数字是8时,十位数字取9,只有1个. 当个位数字是6时,十位数字可取7,8,9,共3个. 当个位数字是4时,十位数字可取5,6,7,8,9,共5个. 同理可知,当个位数字是2时,共7个. 当个位数字是0时,共9个. 由分类加法计数原理知,符合条件的个数为1+3+5+7+9=25.
过关自诊 1.从甲地到乙地,一天中有5个班次的火车、12个班次的客车、3个班次的 飞机,还有6个班次的轮船.某人某天要从甲地到乙地,则他不同出行方式的 选法种数是( A ) A.26 B.60 C.18 D.1 080 解析 由分类加法计数原理知有5+12+3+6=26种不同的选法.故选A.
2.[北师大版教材习题改编]在平面直角坐标系中,确定若干个点,点的横坐 标取自集合P={1,2,3},点的纵坐标取自集合Q={1,4,5,6},这样的点共有
探究点二 利用分步乘法计数原理解题
【例2】 现要排一份5天的值班表,每天有1人值班,共有5人,每人都可以值 多天班或不值班,但相邻两天不准由同一人值班,问此值班表有多少种不同 的排法? 解 先排第一天,可排5人中任意一人,有5种排法; 再排第二天,此时不能排第一天已排的人,有4种排法; 再排第三天,此时不能排第二天已排的人,有4种排法; 同理第四、五天均有4种排法.
人教B版高中数学选择性必修第二册精品课件 第三章 排列、组合与二项式定理 第2课时 排列数的应用
4.把5件不同产品摆成一排.若产品A与产品B相邻,且产品A与产品C不相邻,
则不同的摆法有
种.
解析:先将 A,B 捆绑在一起,有A22种摆法,再将它们与其他 3 件产品全排列,有 A44种摆法,共有A22A44种摆法.而 A,B,C 这 3 件产品在一起,且 A,B 相邻,A,C 相 邻,有A22A33种摆法.故 A,B 相邻,A,C 不相邻的摆法有A22A44 − A22A33=48-12=36
以上解答过程中都有哪些错误?出错的原因是什么?你如何改正?你如何防 范? 提示:对“同侧”的理解不到位,只考虑了在甲一侧,未考虑可以在甲另一侧 这种情况,因此遗漏计数而致误.
正解:因为乙、丙两人位于甲同侧,所以可分为两类: 第一类,乙、丙两人位于甲左侧,不同排法的总数为A22A11 + A33=8; 第二类,乙、丙两人位于甲右侧,排法总数与乙、丙两人位于甲左侧的排法 总数相同,也为8.根据分类加法计数原理,乙、丙两人位于甲同侧的排法总 数为16. 答案:A
【变式训练2】 有5名男生,4名女生排成一排.
(1)若女生必须站在一起,则有多少种不同的排法?
(2)若4名女生互不相邻,则有多少种不同的排法?
解:(1)女生站在一起,有A44种排法;将女生看成一个整体,与男生全排列,有A66 种排法.故有A44A66=17 280 种不同的排法. (2)5 名男生全排列,有A55种排法;男生排好后,女生在男生隔成的六个空中安 排,有A46种排法.故有A55A46=43 200 种不同的排法.
有A22A55种,满足甲、乙两人被安排在相邻两天值班,且丁在 10 月 7 日值班的 方案共有A22A55种,满足甲、乙两人被安排在相邻两天值班,且丙在 10 月 1 日 值班、丁在 10 月 7 日值班的方案共有A22A44种. 因此,满足题意的方案共有A22A66-2A22A55 + A22A44=1 440-2×240+48=1 008 种. 答案:C
人教B版高中数学选择性必修第二册精品课件 第3章 排列、组合与二项式定理 第2课时 组合数的应用
目录索引
基础落实·必备知识一遍过 重难探究·能力素养速提升 学以致用·随堂检测促达标
课程标准
1.学会运用组合的概念,分析简单的实际问题. 2.能够运用排列、组合知识解决相关问题.
基础落实·必备知识一遍过
知识点 应用组合知识解决实际问题的基本步骤 1.判断:判断实际问题是不是组合问题. 2.方法:选择利用直接法还是间接法解题. 3.计算:利用组合数公式结合两个计数原理解题. 4.结论:根据计算结果写出方案个数. 名师点睛 有限制条件的组合问题的求解策略 (1)解答有限制条件的组合问题的基本方法是直接法和间接法(排除法).若 用直接法求解,则应坚持“特殊元素优先选取”的原则.用间接法求解的原则 是“正难则反”. (2)在具体计算组合数时,要注意灵活选择组合数的公式及性质.
规律方法 常见的有限制条件的组合问题及解题方法 1.特殊元素:若要选取的元素中有特殊元素,则要以有无特殊元素,特殊元素 的多少作为分类依据. 2.含有“至多”“至少”等限制语句:要分清限制语句中所包含的情况,可以以 此作为分类依据,或采用间接法求解. 3.分类讨论思想:解题的过程中要善于利用分类讨论思想,将复杂问题分类 表达,逐类求解.
12345
2.某省高考改革后实施选科走班制度,小明需要从物理、化学、生物、思
想政治、历史、地理中选择三科作为自己的选科组合,物理和历史不同时
选择,则小明不同的选科情况有( B )
A.14种
B.16种
C.18种
D.20种
解析 由题意,从物理、化学、生物、思想政治、历史、地理中选择三科作
为自己的选科组合,且物理和历史不能同时选择,可分为三类:(1)若物理和历
有C43
C11A22
+
C
基础落实·必备知识一遍过 重难探究·能力素养速提升 学以致用·随堂检测促达标
课程标准
1.学会运用组合的概念,分析简单的实际问题. 2.能够运用排列、组合知识解决相关问题.
基础落实·必备知识一遍过
知识点 应用组合知识解决实际问题的基本步骤 1.判断:判断实际问题是不是组合问题. 2.方法:选择利用直接法还是间接法解题. 3.计算:利用组合数公式结合两个计数原理解题. 4.结论:根据计算结果写出方案个数. 名师点睛 有限制条件的组合问题的求解策略 (1)解答有限制条件的组合问题的基本方法是直接法和间接法(排除法).若 用直接法求解,则应坚持“特殊元素优先选取”的原则.用间接法求解的原则 是“正难则反”. (2)在具体计算组合数时,要注意灵活选择组合数的公式及性质.
规律方法 常见的有限制条件的组合问题及解题方法 1.特殊元素:若要选取的元素中有特殊元素,则要以有无特殊元素,特殊元素 的多少作为分类依据. 2.含有“至多”“至少”等限制语句:要分清限制语句中所包含的情况,可以以 此作为分类依据,或采用间接法求解. 3.分类讨论思想:解题的过程中要善于利用分类讨论思想,将复杂问题分类 表达,逐类求解.
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2.某省高考改革后实施选科走班制度,小明需要从物理、化学、生物、思
想政治、历史、地理中选择三科作为自己的选科组合,物理和历史不同时
选择,则小明不同的选科情况有( B )
A.14种
B.16种
C.18种
D.20种
解析 由题意,从物理、化学、生物、思想政治、历史、地理中选择三科作
为自己的选科组合,且物理和历史不能同时选择,可分为三类:(1)若物理和历
有C43
C11A22
+
C
新教材人教b版选择性必修第二册312第二课时排列的综合应用课件
[跟踪训练]
某班上午有五节课，分别安排语文、数学、英语、物理、化学各一节课．要求语文
与化学相邻，数学与物理不相邻，则不同排课法的种数是
()
A．24
B．16
C．8
D．12
解析：根据题意，分 3 步进行分析：①要求语文与化学相邻，将语文与化学看成一 个整体，考虑其顺序，有 A22＝2 种情况；②将这个整体与英语全排列，有 A22＝2 种 情况，排好后，有 3 个空位；③数学与物理不相邻，有 3 个空位可选，有 A23＝6 种 情况，则不同排课法的种数是 2×2×6＝24(种).
3．数字 1，2，3 与符号“＋”和“－”五个元素的所有排列中，任意两个数字都 不相邻的全排列的个数是________． 解析：由题意知符号“＋”和“－”只能在由 3 个数形成的两个空之间，这是 间隔排列，排法共有 A33A22＝12 种． 答案：12
特殊元素或特殊位置问题
[例 1] (链接教科书第 12 页例 5、例 6)六人按下列要求站一横排，分别有多少 种不同的站法？
[问题] 在填写录取志愿表时，将有多少种不同的填写方法呢？
知识点一 解简单的排列应用题的基本思想
知识点二 解简单的排列应用题 解简单的排列应用题，首先必须认真分析题意，看能否把问题归结为排列问题，
即是否有顺序．如果是的话，再进一步分析，这里 n 个不同的元素指的是什么，以 及从 n 个不同的元素中任取 m 个元素的每一种排列对应的是什么事情，然后才能运 用排列数公式求解．
“特殊”优先原则 常见的“在”与“不在”的有限制条件的排列问题就是典型的特殊元素或特殊 位置问题，解题原则是谁“特殊”谁优先．一般从以下三种思路考虑：(1)以元素为 主考虑，即先安排特殊元素，再安排其他元素；(2)以位置为主考虑，即先安排特殊 位置，再安排其他位置；(3)用间接法解题，先不考虑限制条件，计算出总排列数， 再减去不符合要求的排列数．以上三种思路可以简化为图表如下：
2021学年新教材数学人教B版必修第二册课件：第三章 排列、组合与二项式定理+章末整合
专题一
专题二
专题三
专题四
专题一
专题二
专题三
专题四
答案:(1)C (2)5
专题一
专题二
专题三
专题四
专题四 二项式定理中的“赋值”问题
例4(1)若(x2+1)(x-3)9=a0+a1(x-2)+a2(x-2)2+a3(x-2)3+…+a11(x-2)11,则
a1+a2+a3+…+a11的值为 .
专题一
专题二
专题三
专题四
专题一
专题二
专题三
专题四
方法技巧 1.处理排列组合应用题的一般步骤 (1)认真审题,弄清楚是排列(有序)还是组合(无序),还是排列与组合 混合问题. (2)抓住问题的本质特征,准确合理地利用两个基本原理进行“分类 与分步”. 2.处理排列组合应用题的规律 (1)两种思路:直接法,间接法. (2)两种途径:元素分析法,位置分析法.
专题四
(1)解析:对已知条件式中令x=2,
得a0=(4+1)×(-1)=-5. 令x=3得a0+a1+a2+…+a11=(9+1)×0=0.
∴a1+a2+a3+…+a11=5. 答案:5
专题一
专题二
专题三
专题四
专题一
专题二
专题三
专题四
方法技巧 赋值法的应用规律 与二项式系数有关的问题,包括求展开式中二项式系数最大的项、 各项的二项式系数或系数的和、奇数项或者偶数项的二项式系数 或系数的和以及各项系数的绝对值的和,主要解题方法是赋值法, 通过观察展开式右边的结构特点和所求式子的关系,确定给字母所 赋的值,有时赋值后得到的式子比所求式子多一项或少一项,此时 要专门求出这一项,而在求奇数项或者偶数项的二项式系数或系数 的和时,往往要两次赋值,再由方程组求出结果.
3.1.2排列与排列数-高二数学(人教B版选择性必修第二册)课件
因此，在上述的全排列中恰好符合A，B，C或C，B，A
的排列方法有
A
5 5
A33
2
40（种）.
故答案为：40
练习：
1. 某学校准备元旦晚会节目单时，准备在前五个节目排三个
歌唱节目，一个小品节目以及一个相声节目，若三个歌唱节
目最多有两个相邻，则不同的排法总数为（ C ）
A.75
B．80
C．84
第一步从9个非零数字选一个放在首位，有 A91 种方法.
第二步从剩下的9个个数字中选2个排在后二位，有 A92 种方法.
根据分步乘法计数原理，所求的三位数有 A91A92 9 9 8 648
个.
题型一：数字排列问题
例6：用0到9这10个数字，可以组成多少个没有重复数字的 三位数？ 法2：间接法（排除法）
(n m 1)
一、排列与排列数
例1：计算：
(1) A43; (2) A63; (3) A115; (4) A220;
(1) A43 4 3 2 24;
(2) A63 6 5 4 120;
(3) A115 15;
(4) A220 20 19 380;
(5)
A2 100
100 99
9900
m个数
A53 5 4 3 60, A44 4 3 21 24.
4.阶乘
Ann n (n 1) 21,
Ann n!.
Anm n n!m!.
规定：0! 1, An0 1 .
(n m 1)
一、排列与排列数
例3：求证：Anm mAnm1 Anm1.
由排列数公式可知
Anm
mAnm1
例7：用 0,1, 2, , 9 这10个数字，可以排成多少个没有重复
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3.1.2 排列与排列数
课标阐释
思维脉络
1.正确理解排列的意义,掌
握写出所有排列的方法,加
深对分类讨论方法的理解,
发展学生的抽象能力和逻
辑思维能力.
2.掌握有关排列综合题的
基本解法,提高分析问题和
解决问题的能力,学会用分
类讨论思想解决问题.
激趣诱思
知识点拨
“排列3”和“排列5”是中国体育彩票的两种类型,使用摇奖机、摇奖 球进行摇奖.“排列3”“排列5”共同摇奖,一次摇出5个号码,“排列3”的 中奖号码为当期摇出的全部中奖号码的前3位,“排列5”的中奖号码 为当期摇出的全部中奖号码,每日进行开奖. 你能预测当天的中奖号码吗?
5×5×5=125,所以共有125种不同的送法.
反思感悟 无限制条件的排列问题的求解策略
1.没有限制的排列问题,即对所排列的元素或所排列的位置没有特 别的限制,这一类问题相对简单,分清元素和位置即可. 2.对于不属于排列的计数问题,注意利用计数原理求解.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
变式训练2将3张电影票分给10人中的3人,每人1张,共有
探究三
素养形成
当堂检测
3.由数字1,2,3,4,5组成的无重复数字的四位偶数的个数为( )
A.8 B.24 C.48 D.120
答案:C
4.甲、乙、丙、丁四人轮流读同一本书,则甲首先读的安排方法有
种. 解析:甲在首位,相当于乙、丙、丁全排列,即有 =6种. 答案:6
探究一
探究二
探究三
素养形成
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
例4用0,1,2,3,4,5这六个数字可以组成多少个无重复数字的(1)六位 奇数?(2)个位数字不是5的六位数?(3)不大于4 310的四位偶数? 分析这是一道有限制条件的排列问题,每一问均应优先考虑限制条 件,遵循特殊元素或特殊位置优先安排的原则.另外,还可以用间接 法求解.
其中是排列问题的有( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 解析:①是排列问题,因为两名同学参加的学习小组与顺序有关;② 不是排列问题,因为两名同学参加的活动与顺序无关;③不是排列 问题,因为取出的两个字母与顺序无关;④是排列问题,因为取出的 两个数字还需要按顺序排列. 答案:B
探究一
探究二
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
反思感悟 1.排队问题中的限制条件主要是某人在或不在某位置,可
采用位置分析法或元素分析法进行排列.应记住相邻、相间、定序、
分排等常见问题的解法.
2.元素相邻和不相邻问题的解题策略
限制条件
解题策略
探究一探Βιβλιοθήκη 二探究三素养形成当堂检测
延伸探究 本例条件不变,可以组成多少个能被5整除的五位数?
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
分类讨论思想在排列中的应用 分类的要求:(1)类与类之间要互斥(保证不重复); (2)总数要完备(保证不遗漏). 典例 从数字0,1,3,5,7中取出三个不同的数作系数,可以组成多少个 不同的一元二次方程ax2+bx+c=0?其中有实根的方程有几个?
元素相邻
通常采用“捆绑”法,即把相邻元素看作一个 整体参与其他元素的排列
通常采用“插空”法,即先考虑不受限制的元
元素不相邻
素的排列,再将不相邻元素插在前面元素排
列的空中
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
变式训练3有4名男生、5名女生,全体排成一行,问下列情形各有多 少种不同的排法? (1)甲不在中间,乙必在两端; (2)甲不在左端,乙不在右端; (3)男、女生分别排在一起; (4)男女相间; (5)男生不全相邻.
当堂检测
5.7名班委有7种不同的职务,甲、乙、丙三人在7名班委中,现对7名 班委进行职务具体分工. (1)若正、副班长两职只能从甲、乙、丙三人中选两人担任,有多少 种不同的分工方案? (2)若正、副班长两职至少要选甲、乙、丙三人中的一人担任,有多 少种不同的分工方案?
激趣诱思
知识点拨
一、排列的定义 一般地,从n个不同对象中,任取m(m≤n)个对象,按照一定的顺序排 成一列,称为从n个不同对象中取出m个对象的一个排列.特别 地,m=n时的排列(即取出所有对象的排列)称为全排列.
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知识点拨
名师点析 理解排列的定义应注意的问题 (1)排列的定义中包括两个基本内容,一是“取出元素”,二是“按一定 顺序排列”. (2)只有当对象完全相同,并且对象的排列顺序也完全相同时,两个 排列才是同一个排列. (3)定义中的“一定顺序”说明了排列的本质:有序. (4)判断一个具体问题是不是排列问题,就看从n个不同对象中取出 m个对象后,在安排这m个对象时是有序还是无序,有序就是排列问 题,无序就不是排列问题. (5)写出一个问题中的所有排列的基本方法有:字典排序法、树形 图法、框图法.
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微拓展 排列数的性质
探究一
探究二
探究三
排列数公式的应用
素养形成
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(2)用排列数表示(55-n)(56-n)…(69-n)(n∈N+,且n<55).
探究一
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反思感悟 排列数的计算方法 1.排列数的计算主要是利用排列数的乘积公式进行,应用时注意:连 续正整数的积可以写成某个排列数,其中最大的数是排列元素的总 个数,而正整数(因式)的个数是选取元素的个数,这是排列数公式的 逆用. 2.应用排列数公式的阶乘形式时,一般写出它们的式子后,再提取公 因式,然后计算,这样往往会减少运算量.
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微练习
判断下列问题是否是排列问题: (1)从1到10十个自然数中任取两个数组成平面直角坐标系内的点 的坐标; (2)从10名同学中随机抽取2名同学去学校参加座谈会; (3)某商场有四个大门,从一个门进去,购买物品后再从另一个门出 来的不同的出入方式. 解:(1)由于取出的两个数组成的点的坐标与哪一个数作为横坐标, 哪一个数作为纵坐标的顺序有关,所以这是排列问题. (2)抽取2人参加座谈会不用考虑2人的顺序,所以不是排列问题. (3)因为从一门进,从另一门出是有顺序的,所以是排列问题.
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反思感悟 排数字问题常见的解题方法 1.“两优先排法”:特殊元素优先排列,特殊位置优先填充.如“0”不排 首位. 2.“分类讨论法”:按照某一标准将排列分成几类,然后按照分类加法 计数原理进行计算.要注意以下两点:一是分类标准必须恰当;二是 分类过程要做到不重不漏. 3.“排除法”:全排列数减去不符合条件的排列数. 4.“位置分析法”:按位置逐步讨论,把要求数字的每个数位排好.
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1.4·5·6·…·(n-1)·n等于( )
解析:原式可写成n×(n-1)×…×6×5×4,故选D.
答案:D
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2.已知下列问题: ①从甲、乙、丙三名同学中选出两名分别参加数学和物理学习小
组; ②从甲、乙、丙三名同学中选出两名同学参加一项活动; ③从a,b,c,d四个字母中取出2个字母; ④从1,2,3,4四个数字中取出2个数字组成一个两位数.
微练习 写出从1,2,3,4四个数字中任取两个数字组成两位数的所有排列. 解:所有两位数是12,21,13,31,14,41,23,32,24,42,34,43,共有12个不同 的两位数.
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三、排列数公式
1.排列数公式
名师点析 (1)这个公式只有在m,n∈N+,m≤n的情况下才成立(以后 不再说明). (2)公式右边是m个数的连乘积,它的第一个因数是n,后面的每一个 因数都比它前面的因数少1,最后一个因数为(n-m+1). 2.排列数公式的阶乘表示
种不同的分法. 解析:问题相当于从10个人中选出3个人,然后进行全排列,这是一个
排列问题.故不同分法的种数为 =10×9×8=720.
答案:720
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有限制条件的排列问题
例3有3名男生、4名女生,在下列不同要求下,求不同的排列方法总 数. (1)全体排成一行,其中甲只能在中间或者两边; (2)全体排成一行,其中甲不在最左边,乙不在最右边; (3)全体排成一行,其中男生必须排在一起; (4)全体排成一行,男、女各不相邻; (5)全体排成一行,其中甲、乙、丙三人从左至右的顺序不变; (6)排成前后两排,前排3人,后排4人. 分析分析题意,确定限制条件,先排特殊位置或特殊元素,再排其他 元素.
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无限制条件的排列问题
例2(1)有5本不同的书,从中选3本送给3名同学,每人各1本,共有多少 种不同的送法? (2)有5种不同的书(每种不少于3本),要买3本送给3名同学,每人各1 本,共有多少种不同的送法? 分析(1)从5本不同的书中选出3本分别送给3名同学,每人得到的书 不同,属于求排列数问题;(2)给每人的书均可以从5种不同的书中任 选1本,每人得到哪本书互相没有联系,要用分步乘法计数原理进行 计算.
课标阐释
思维脉络
1.正确理解排列的意义,掌
握写出所有排列的方法,加
深对分类讨论方法的理解,
发展学生的抽象能力和逻
辑思维能力.
2.掌握有关排列综合题的
基本解法,提高分析问题和
解决问题的能力,学会用分
类讨论思想解决问题.
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知识点拨
“排列3”和“排列5”是中国体育彩票的两种类型,使用摇奖机、摇奖 球进行摇奖.“排列3”“排列5”共同摇奖,一次摇出5个号码,“排列3”的 中奖号码为当期摇出的全部中奖号码的前3位,“排列5”的中奖号码 为当期摇出的全部中奖号码,每日进行开奖. 你能预测当天的中奖号码吗?
5×5×5=125,所以共有125种不同的送法.
反思感悟 无限制条件的排列问题的求解策略
1.没有限制的排列问题,即对所排列的元素或所排列的位置没有特 别的限制,这一类问题相对简单,分清元素和位置即可. 2.对于不属于排列的计数问题,注意利用计数原理求解.
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变式训练2将3张电影票分给10人中的3人,每人1张,共有
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3.由数字1,2,3,4,5组成的无重复数字的四位偶数的个数为( )
A.8 B.24 C.48 D.120
答案:C
4.甲、乙、丙、丁四人轮流读同一本书,则甲首先读的安排方法有
种. 解析:甲在首位,相当于乙、丙、丁全排列,即有 =6种. 答案:6
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例4用0,1,2,3,4,5这六个数字可以组成多少个无重复数字的(1)六位 奇数?(2)个位数字不是5的六位数?(3)不大于4 310的四位偶数? 分析这是一道有限制条件的排列问题,每一问均应优先考虑限制条 件,遵循特殊元素或特殊位置优先安排的原则.另外,还可以用间接 法求解.
其中是排列问题的有( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 解析:①是排列问题,因为两名同学参加的学习小组与顺序有关;② 不是排列问题,因为两名同学参加的活动与顺序无关;③不是排列 问题,因为取出的两个字母与顺序无关;④是排列问题,因为取出的 两个数字还需要按顺序排列. 答案:B
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反思感悟 1.排队问题中的限制条件主要是某人在或不在某位置,可
采用位置分析法或元素分析法进行排列.应记住相邻、相间、定序、
分排等常见问题的解法.
2.元素相邻和不相邻问题的解题策略
限制条件
解题策略
探究一探Βιβλιοθήκη 二探究三素养形成当堂检测
延伸探究 本例条件不变,可以组成多少个能被5整除的五位数?
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分类讨论思想在排列中的应用 分类的要求:(1)类与类之间要互斥(保证不重复); (2)总数要完备(保证不遗漏). 典例 从数字0,1,3,5,7中取出三个不同的数作系数,可以组成多少个 不同的一元二次方程ax2+bx+c=0?其中有实根的方程有几个?
元素相邻
通常采用“捆绑”法,即把相邻元素看作一个 整体参与其他元素的排列
通常采用“插空”法,即先考虑不受限制的元
元素不相邻
素的排列,再将不相邻元素插在前面元素排
列的空中
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变式训练3有4名男生、5名女生,全体排成一行,问下列情形各有多 少种不同的排法? (1)甲不在中间,乙必在两端; (2)甲不在左端,乙不在右端; (3)男、女生分别排在一起; (4)男女相间; (5)男生不全相邻.
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5.7名班委有7种不同的职务,甲、乙、丙三人在7名班委中,现对7名 班委进行职务具体分工. (1)若正、副班长两职只能从甲、乙、丙三人中选两人担任,有多少 种不同的分工方案? (2)若正、副班长两职至少要选甲、乙、丙三人中的一人担任,有多 少种不同的分工方案?
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一、排列的定义 一般地,从n个不同对象中,任取m(m≤n)个对象,按照一定的顺序排 成一列,称为从n个不同对象中取出m个对象的一个排列.特别 地,m=n时的排列(即取出所有对象的排列)称为全排列.
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名师点析 理解排列的定义应注意的问题 (1)排列的定义中包括两个基本内容,一是“取出元素”,二是“按一定 顺序排列”. (2)只有当对象完全相同,并且对象的排列顺序也完全相同时,两个 排列才是同一个排列. (3)定义中的“一定顺序”说明了排列的本质:有序. (4)判断一个具体问题是不是排列问题,就看从n个不同对象中取出 m个对象后,在安排这m个对象时是有序还是无序,有序就是排列问 题,无序就不是排列问题. (5)写出一个问题中的所有排列的基本方法有:字典排序法、树形 图法、框图法.
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微拓展 排列数的性质
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排列数公式的应用
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(2)用排列数表示(55-n)(56-n)…(69-n)(n∈N+,且n<55).
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反思感悟 排列数的计算方法 1.排列数的计算主要是利用排列数的乘积公式进行,应用时注意:连 续正整数的积可以写成某个排列数,其中最大的数是排列元素的总 个数,而正整数(因式)的个数是选取元素的个数,这是排列数公式的 逆用. 2.应用排列数公式的阶乘形式时,一般写出它们的式子后,再提取公 因式,然后计算,这样往往会减少运算量.
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判断下列问题是否是排列问题: (1)从1到10十个自然数中任取两个数组成平面直角坐标系内的点 的坐标; (2)从10名同学中随机抽取2名同学去学校参加座谈会; (3)某商场有四个大门,从一个门进去,购买物品后再从另一个门出 来的不同的出入方式. 解:(1)由于取出的两个数组成的点的坐标与哪一个数作为横坐标, 哪一个数作为纵坐标的顺序有关,所以这是排列问题. (2)抽取2人参加座谈会不用考虑2人的顺序,所以不是排列问题. (3)因为从一门进,从另一门出是有顺序的,所以是排列问题.
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反思感悟 排数字问题常见的解题方法 1.“两优先排法”:特殊元素优先排列,特殊位置优先填充.如“0”不排 首位. 2.“分类讨论法”:按照某一标准将排列分成几类,然后按照分类加法 计数原理进行计算.要注意以下两点:一是分类标准必须恰当;二是 分类过程要做到不重不漏. 3.“排除法”:全排列数减去不符合条件的排列数. 4.“位置分析法”:按位置逐步讨论,把要求数字的每个数位排好.
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1.4·5·6·…·(n-1)·n等于( )
解析:原式可写成n×(n-1)×…×6×5×4,故选D.
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2.已知下列问题: ①从甲、乙、丙三名同学中选出两名分别参加数学和物理学习小
组; ②从甲、乙、丙三名同学中选出两名同学参加一项活动; ③从a,b,c,d四个字母中取出2个字母; ④从1,2,3,4四个数字中取出2个数字组成一个两位数.
微练习 写出从1,2,3,4四个数字中任取两个数字组成两位数的所有排列. 解:所有两位数是12,21,13,31,14,41,23,32,24,42,34,43,共有12个不同 的两位数.
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三、排列数公式
1.排列数公式
名师点析 (1)这个公式只有在m,n∈N+,m≤n的情况下才成立(以后 不再说明). (2)公式右边是m个数的连乘积,它的第一个因数是n,后面的每一个 因数都比它前面的因数少1,最后一个因数为(n-m+1). 2.排列数公式的阶乘表示
种不同的分法. 解析:问题相当于从10个人中选出3个人,然后进行全排列,这是一个
排列问题.故不同分法的种数为 =10×9×8=720.
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有限制条件的排列问题
例3有3名男生、4名女生,在下列不同要求下,求不同的排列方法总 数. (1)全体排成一行,其中甲只能在中间或者两边; (2)全体排成一行,其中甲不在最左边,乙不在最右边; (3)全体排成一行,其中男生必须排在一起; (4)全体排成一行,男、女各不相邻; (5)全体排成一行,其中甲、乙、丙三人从左至右的顺序不变; (6)排成前后两排,前排3人,后排4人. 分析分析题意,确定限制条件,先排特殊位置或特殊元素,再排其他 元素.
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无限制条件的排列问题
例2(1)有5本不同的书,从中选3本送给3名同学,每人各1本,共有多少 种不同的送法? (2)有5种不同的书(每种不少于3本),要买3本送给3名同学,每人各1 本,共有多少种不同的送法? 分析(1)从5本不同的书中选出3本分别送给3名同学,每人得到的书 不同,属于求排列数问题;(2)给每人的书均可以从5种不同的书中任 选1本,每人得到哪本书互相没有联系,要用分步乘法计数原理进行 计算.