二次函数的应用同步测试

二次函数的应用 一 二次函数的实际应用
(教材P51探究3)
图1中是抛物线形拱桥，当拱顶离水面2 m 时，水面宽4 m ．水面下降1 m 时，水面宽度增加多少？
图1
教材母题答图
解：以抛物线的顶点为原点，以抛物线的对称轴为y 轴建立直角坐标系(如图)，
可设这条抛物线表示的二次函数为y ＝ax 2.
由抛物线经过点(2，－2)，可得
－2＝a ×22，a ＝－12
. 这条抛物线表示的二次函数为y ＝－12
x 2. 当水面下降1 m 时，水面的纵坐标为y ＝－3.
由y ＝－3解得x 1＝6，x 2＝－6，
所以此时水面宽度为2 6 m ，
所以水面宽度增加(26－4)m.
【思想方法】 建模：把问题中各个量用两个变量x ，y 来表示，并建立两种量的二次函数关系，再求二次函数的最大(小)值，从而解决实际问题．应用最多的是根据二次函数的最值确定最大利润，最节省方案等问题．注意：建立平面直角坐标系时，遵从就简避繁的原则，这样求解析式就比较方便．
某隧道横断面由抛物线与矩形的三边组成，尺寸如图2所示．
(1)以隧道横断面抛物线的顶点为原点，以抛物线的对称轴为y 轴，建立直角坐标系，求该抛物线对应的函数解析式；
(2)某卡车空车时能通过此隧道，现装载一集装箱，集装箱宽3 m ，车与集装箱共高4.5 m ，此车能否通过隧道？并说明理由．
图2
解：(1)设抛物线对应的函数解析式为y ＝ax 2 抛物线的顶点为原点，隧道宽6 m ，高5 m ，矩形的高为2 m ，
所以抛物线过点A (－3，－3)，
代入得－3＝9a ，
解得a ＝－13
所以函数关系式为y ＝－x 2
3
. (2)如果此车能通过隧道，集装箱处于对称位置，
将x ＝1.5代入抛物线方程，得y ＝－0.75，
此时集装箱上部的角离隧道的底为5－0.75＝4.25米，不及车与集装箱总高4.5米，即4.25＜4.5.
所以此车不能通过此隧道．
如图3，排球运动员站在点O 处练习发球，将球从点O 正上方2 m 的A 处发出，把球看成点，其运行的高度y (m)与运行的水平距离x (m)满足关系式y ＝a (x －6)2＋h .已知球网与点O 的水平距离为9 m ，高度为2.43 m ，球场的边界距点O 的水平距离为18 m.
(1)当h ＝2.6时，求y 与x 的关系式．(不要求写出自变量x 的取值范围)
(2)当h ＝2.6时，球能否越过球网？球会不会出界？请说明理由；
(3)若球一定能越过球网，又不出边界，求h 的取值范围．
图3
解：(1)∵h ＝2.6，球从点O 正上方2 m 的A 处发出，
∴y ＝a (x －6)2＋h 过点(0，2)，
∴2＝a (0－6)2＋2.6，
解得：a ＝－160
， 故y 与x 的关系式为y ＝－160
(x －6)2＋2.6， (2)当x ＝9时，y ＝－160
(x －6)2＋2.6＝2.45＞2.43， 所以球能越过球网；
当y ＝0时，－160
(x －6)2＋2.6＝0， 解得：x 1＝6＋239＞18，x 2＝6－239(舍去)
故会出界；
(3)当球正好过点(18，0)时，y ＝a (x －6)2＋h 还过点(0，2)，
代入解析式得：⎩
⎪⎨⎪⎧2＝36a ＋h ，0＝144a ＋h ，
解得：⎩
⎨⎧a ＝－154，h ＝83， 此时二次函数解析式为：y ＝－154(x －6)2＋83
， 此时球若不出边界则h ≥83
， 当球刚能过网，此时函数图象过(9，2.43)，y ＝a (x －6)2＋h 还过点(0，2)，代入解析式得：
⎩
⎪⎨⎪⎧2.43＝a （9－6）2＋h ，2＝a （0－6）2＋h ， 解得：⎩⎨⎧a ＝－43
2700，
h ＝19375，
此时球要过网则h ≥19375
， ∵83＞19375，∴h ≥83
， 故若球一定能越过球网，又不出边界，h 的取值范围是h ≥83
. 二 二次函数的综合应用
(教材P47习题22.2第4题)
抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 与x 轴的公共点是(－1，0)，(3，0)，求这条抛物线的对称轴． 解：解法一：∵点(－1，0)，(3，0)的纵坐标相等，
∴这两点是抛物线上关于对称轴对称的两个点，
∴这条抛物线的对称轴是x ＝（－1）＋32＝1. 解法二：∵函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象与x 轴的交点的横坐标就是方程ax 2＋bx ＋c ＝0的两根x 1，x 2，
∴x 1＋x 2＝－b a
＝(－1)＋3＝2， ∴这条抛物线的对称轴是x ＝－b 2a
＝1. 【思想方法】 (1)二次函数的图象是抛物线，是轴对称图形，充分利用 抛物线的轴对称性是研究二次函数的性质的关键；(2)已知二次函数图象上几个点的坐标，一般用待定系数法直接列方程(组)求解；(3)已知二次函数图象上的一个点(除顶点外)和对称轴，便能确定与此点关于对称轴对称的另一个点的坐标．
[2012·南通改编]如图4，经过点A (0，－4)的抛物线y ＝12
x 2＋bx ＋c 与x 轴相交于B (－2，0)，C 两点，O 为坐标原点．
图4 (1)求抛物线的解析式； (2)将抛物线y ＝12x 2＋bx ＋c 向上平移72
个单位长度，再向左平移m (m ＞0)个单位长度得到新抛物线．若新抛物线的顶点P 在△ABC 的内部，求m 的取值范围．
解：(1)∵点A (0，－4)，B (－2，0)在抛物线y ＝12x 2＋bx ＋c 上，∴⎩⎪⎨⎪⎧c ＝－4，2－2b ＋c ＝0，解得⎩
⎪⎨⎪⎧b ＝－1，c ＝－4， ∴抛物线的解析式为y ＝12
x 2－x －4. (2)将抛物线y ＝12x 2－x －4＝12(x －1)2－92向上平移72
个单位长度，再向左平移m (m >0)个单位长度后，得到的新抛物线的顶点P 的坐标为(1－m ，－1)．
设直线AB 的解析式为y ＝kx ＋b ，则⎩⎪⎨⎪⎧b ＝－4，－2k ＋b ＝0，解得⎩
⎪⎨⎪⎧k ＝－2，b ＝－4， ∴y ＝－2x －4，当y ＝－1时，x ＝－32
； 同理求得直线BC 的解析式为y ＝x －4，当y ＝－1时，x ＝3.
∵新抛物线的顶点P 在△ABC 的内部，
∴－32<1－m <3且m >0，解得0<m <52
. 如图5，已知抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的图象经过原点O ，交x 轴于点A ，其顶点B 的坐标为(3，－3)．
(1)求该抛物线的函数关系式及点A 的坐标；
(2)在抛物线上求点P ，使S △POA ＝2S △AOB ；
图5
解：(1)∵抛物线的顶点为B (3，－3)，
∴设抛物线的函数关系式为y ＝a (x －3)2－ 3.
∵抛物线经过原点(0，0)，∴0＝a(0－3)2－3，
∴a＝
3
9，∴y＝
3
9(x－3)
2－3，
即抛物线的函数关系式为y＝
3
9x
2－
23
3x.
令y＝0，得
3
9x
2－
23
3x＝0，
解得x1＝0，x2＝6，∴点A坐标为(6，0)．
(2)如图，∵△AOB与△POA同底不同高，且S△POA＝2S△AOB，
∴△POA中OA边上的高是△AOB中OA边上的高的2倍，即P点纵坐标是2 3.
令23＝
3
9x
2－
23
3x，即x
2－6x－18＝0，
解得x1＝3＋33，x2＝3－33，
∴所求的点为P1(3＋33，23)，P2(3－33，23)．。