高二下期数学周周练
高二下学期周周练二参考答案
参考答案1．C 2．B 3．A. 4．A 5．B 6．D 7．A 8．A 9．C 10．A 11．B 12．B【解析】设()32f x x ax bx c =+++，由于抛物线的离心率为1，可知()10,10,f a b c =+++=故1c a b =--，所以()()()2111f x x x a x a b ⎡⎤=-+++++⎣⎦的另外两根分别是椭圆和双曲线的离心率，故()()211g x x a x a b =+++++有两个分别属于()()0,1,1,+∞的零点，故()()00,10g g ><，即10,230a b a b ++>++<，则,a b 满足的可行域如下图所示，由10{ 230a b a b ++=++= 求出交点()2,1B - ，而()223a b +-表示点(),a b 到点()0,3A 的距离的平方，点()0,3A 到直线10,230a b a b ++=++=的距离分别是==<()0,3A 作直线230a b ++=的垂线，垂足在阴影区域内，所以()2223635a b +->=⎝⎭，选B.点睛：本题主要考查一元二次方程的根的分布与系数的关系，以及线性规划的相关知识，属于中档题。
求出,a b 的不等式组是解题的关键。
13．14．7215．33 16．①② 17．（1）增区间()0,e ，减区间[)e,+∞；（ 2）当02a <<时， ()min ln f x a =，当2a ≥时， ()min 1ln22f x a =试题解析：（1）()ln (0)a xf x x x =>，∴()()21ln a x f x x-'=， ∵0a >，∴当()0,e x ∈时， ()0f x '>， ()f x 单增，当[)e,x ∈+∞时， ()0f x '≤， ()f x 单减，∴()f x 的单调增区间为()0,e ，单调减区间为[)e,+∞．（2）当2e a ≤时， ()f x 在[],2a a 上单增， ()()min ln ln a af x f a a a ===， 当e a ≥时， ()f x 在[],2a a 上单减，∴()()min ln212ln222a a f x f a a a ===，当e 2a a <<时，即ee 2a <<时， ()f x 在(),e a 上单增，在()e,2a 上单减， ∴()()(){}min min ,2f x f a f a =，()ln f a a =， ()12ln22f a a ==， a =，当2e a ≤<时， 0a >，即()()2f a f a >，∴()()min 12ln22f x f a a ==， 当e22a <<时， ()()2f a f a <， ()()min ln f x f a a ==， ∴综上所述：当02a <<时， ()()min ln f x f a a ==，当2a ≤时， ()()min2f x f a ==18．（1）当1n =时，4443211--=a S ，∴201=a . 1分 当n ≥2时，444311--=--nn n a S ， ∴nn n n n a a S S 43443311⨯--=---，即n n n a a 4341⨯+=-. 3分∴344111=-=----n n n n n n a a b b .即当n ≥2时31=--n n b b . 5分∵51=b ，∴数列}{n b 是首项为5，公差为3的等差数列. 6分∴)1(35-+=n b n ，即23+=n b n . 7分∴nn n a 4)23(+=. 8分（2）24)23()(-+=nn n f . ①当1n =时，18)1(=f ，显然能被18整除； 9分②假设n k = 时，24)23()(-+=kk k f 能被18整除， 10分则当1n k =+时，24)233()1(1-++=++k k k f＝14324)23(4+⨯+-+⨯k k k＝kk k k k 4)23(341224)23(++⨯+-+＝k k k k 4)189(24)23(++-+＝k k k f 4)2(9)(++， 13分∵k ≥1， ∴kk 4)2(9+能被18整除. 14分 又)(k f 能被18整除，∴)1(+k f 能被18整除，即当n ＝k ＋1时结论成立. 15分由①②可知，当*∈N n 时，)(n f 是18的倍数． 16分考点：数列综合问题、数学归纳法.19．(1) 22198x y +=；(2)⎡⎫⎛⋃⎪ ⎢⎪⎣⎭⎝⎦. 试题解析：(1)由已知得22213,1{2 2,c a c b c a b =⨯⨯==-，解得2229,8,1a b c ===，∴椭圆C 的方程为22198x y +=. (2)设()()1122,,,M x y N x y ， MN 的中点为()00,E x y ，点(),0G m ，使得GM GN =, 则GE MN ⊥. 由222,{ 1,98y kx x y =++=得()228936360k xkx ++-=，由0∆>，得k R ∈.∴1223698kx x k +=-+，∴000221816,29898k x y kx k k -==+=++.∵,GE MN ⊥∴1GE k k =-，即221601981898k k k k -+=--+，∴2228989k m k k k--==++. 当0k >时，89k k +≥=89k k =，即k =，∴012m -≤<； 当0k >时，89k k +≤-（当且仅当89k k =，即3k =-时，取等号），∴012m <≤，∴点G的横坐标的取值范围为0,1212⎡⎫⎛-⋃⎪ ⎢⎪ ⎣⎭⎝⎦. 20．（Ⅰ）21n n a =-,（Ⅱ）20．试题解析：（Ⅰ）当1n =时， 11121,1S a a =-∴= 当2n ≥时， 2n n S a n =- ()1121n n S a n --=-- 相减得 1221n n n a a a -=-- 即()1121,121n n n n a a a a --=+∴+=+ ∴数列{}1n a +是首项为2，公比为2等比数列12,21n n n n a a ∴+=∴=-（Ⅱ）由（1）知， 21n n a =-()()111221121212121n n n n n n n n n b a a +++∴===----- 2231111111121212121211121n n n n T ++⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=-+-++- ⎪ ⎪ ⎪-----⎝⎭⎝⎭⎝⎭=--又数列{}n T 单调递增，且n →+∞时， 1n T →120m∴≥即20m ≥ m ∴的最小值为20．【方法点晴】本题主要考查等比数列的通项以及裂项相消法求数列的和，属于中档题. 裂项相消法是最难把握的求和方法之一，其原因是有时很难找到裂项的方向，突破这一难点的方法是根据式子的结构特点，常见的裂项技巧：(1)()1111n n k k n n k ⎛⎫=- ⎪++⎝⎭；（2）1k =； （3）()()1111212122121n n n n ⎛⎫=-⎪-+-+⎝⎭；（4）()()11122n n n =++()()()11112n n n n ⎡⎤-⎢⎥+++⎢⎥⎣⎦；此外，需注意裂项之后相消的过程中容易出现丢项或多项的问题，导致计算结果错误.21． （1）连接1A B ， 1A D ，AC ， 因为1AB AA AD ==， 1160A AB A AD ∠=∠=︒， 所以1A AB ∆和1A AD ∆均为正三角形， 于是11A B A D =． 设AC 与BD 的交点为O ，连接1AO ，则1AO BD ⊥， 又四边形ABCD 是正方形，所以AC BD ⊥，而1AO AC O ⋂=，所以BD ⊥平面1A AC ． 又1AA ⊂平面1A AC ，所以1BD AA ⊥， 又11//CC AA ，所以1BD CC ⊥．（2）由11A B A D ==2BD ==，知11A B A D ⊥，于是1112AO AO BD AA ===，从而1AO AO ⊥， 结合1AO BD ⊥， AO AC O ⋂=，得1AO ⊥底面ABCD ， 所以OA 、OB 、1OA 两两垂直．如图，以点O 为坐标原点， OA的方向为x 轴的正方向，建立空间直角坐标系O xyz -，则()1,0,0A ， ()0,1,0B ， ()0,1,0D -， ()10,0,1A ， ()1,0,0C -， ()0,2,0DB =， ()111,0,1BB AA ==- ， ()111,1,0D C DC ==-，由()111,0,1DD AA ==-，易求得()11,1,1D --．设111D E DC λ=（[]0,1λ∈）， 则()()1,1,11,1,0E E E x y z λ++-=-，即()1,1,1E λλ---，所以()1,,1DE λλ=--．设平面1B BD 的一个法向量为(),,n x y z =，由10,{ 0,n DB n BB ⋅=⋅=得0,{ 0,y x z =-+=令1x =，得()1,0,1n = ，设直线DE 与平面1BDB 所成角为θ，则sin cos ,DE n θ===解得12λ=或13λ=-（舍去），所以当E 为11D C的中点时，直线DE 与平面1BDB 所成角的正弦值为14．22．（1）2e 2,2P ⎛⎫⎪⎝⎭（2）单调增区间为()1,+∞单调减区间为()0,1（3）见解析【解析】试题分析：（1）设点()00,P x y ，根据()000020e {e1x x kx x x kx =-=可解得02x =，从而可得点P 的坐标．（2）由题意得()()()21(0)xe ax x g x x x--=>'，又0a ≤， 0x >，故e 0x ax ->．从而根据1x -的符号可得函数的单调区间。
高二数学下学期周练十七理 试题
正阳县第二高级中学2021-2021学年下期高二数学理科周练〔十七〕一.选择题：1.在复平面内，复数21,z z 对应的点分别是A(-2,-2),B(0,1)那么=+||21z z 〔 ) A.1 B.52.以下推理是演绎推理的是〔 〕222r y x =+的面积2r S π=，推断：椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的面积ab S π=23,11-==n a a n ，求出321,,S S S ，猜出数列}{n a 的前n 项和的表达式x x x f cos )(=满足)()(x f x f -=-对R x ∈∀都成立，推断x x x f cos )(=为奇函数ξ的概率分布如下，且2.12=+n m ，那么=-nm 〔 〕A.1.0-B.1.0C.2.0-D.2.0i i z -+=1)1(2，以下说法正确的选项是( )z 对应的点在第一象限 z 的一共轭复数i z -=1)(1R b b z z ∈+=为纯虚数，那么1=bb a ,为复数z 的实部和虚部，那么点),(b a 在以原点为圆心，1半径为的圆上5.某批零件的长度误差〔单位：毫米〕服从正态分布)3,0(2N ，从中随机取一件，其长度误差落在区间)6,3(内的概率为( )〔附：假设随机变量ξ服从正态分布),(2σμN ，那么%26.68)(=+<<-σμξσμP ，%44.95)22(=+<<-σμξσμP .〕A.4.56%B.13.59%C.27.18%D.31.74%6.一射手对同一目的进展4次射击，且射击结果之间互不影响，至少命中一次的概率为8180，那么此射手的命中率为〔 〕A.91 B.31 C.32 D.98 5,4,3,2,1中任取两个不同的数，事件=A “取到的2个数之和为偶数〞，事件=B “取到的2个数均为偶数〞，那么=)|(A B P 〔 〕A.81 B.41 C.52 D.21 8.式子103(2)x x-的展开式中，所有的系数之和为____________:9.六个人排成一排，甲、乙两人中间至少有一个人的排法种数为〔 〕12y x b =+能作为以下函数()y f x =的切线有〔 〕 ①1()f x x=；②()ln f x x =；③()sin f x x =；④()xf x e =-A.①②B.②③C.③④D.①④11.五种不同的商品在货架上排成一排，其中b a ,两种必须排在一起，而d c ,两种不能排在一起，那么不同的排法一共有〔 〕12.函数⎪⎩⎪⎨⎧<--≥+=0),1ln(0,121)(2x x x x x f ，假设函数kx x f x F -=)()(有且只有两个零点，那么k的取值范围为〔 〕A.)1,0(B.)21,0( C.)1,21( D.),1(+∞二.填空题：13.在直角坐标平面内，由曲线3,,1===x x y xy 所围成的封闭图形的面积为 14.0)1(22312=--A C C a a ，且)0()(23≠+b xb x a的展开式中，13x 项的系数为12-，那么实数=b .15.下面给出的命题中：①线性回归方程为x y 23+=∧，当变量x 增加2个单位，其预报值平均增加4个单位； ②线性相关系数r 越大，两个变量的线性相关性越强；反之，线性相关性越小； ③随机变量ξ服从正态分布),0(2σN ，且4.0)02(=≤≤-ξP ，那么2.0)2(=>ξP ； ④⎰πsin xdx 的值等于2；⑤242241010,2411477,2433455,2466422=---+-=-+-=-+-=-+-，照以上各式规律，得到一般性的等式为)4(24)8(84≠=---+-n n nn n ，其中是真命题的序号有 . 16.某人进展射击，每次中靶的概率均为6.0, 现规定：假设中靶就停顿射击；假设没中靶，那么继续射击.假如只有4发子弹，那么射击停顿后剩余子弹数ξ的数学期望为__________.三.解答题：17. (Ⅰ)点P 的直角坐标为)2,2(-，求它的极坐标〔写出一个即可〕；(Ⅱ)在同一直角坐标系中，经过伸缩变换⎩⎨⎧==yy x x 3'5'后，曲线C 变为曲线1'8'222=+y x ，求曲线C 的方程.18.从某居民区随机抽取10个家庭，获得第i 个家庭的月收入i x 〔单位：千元〕与月储蓄iy〔单位：千元〕的数据资料，算得10180ii x==∑，10120i i y ==∑，101184i i i x y ==∑，1021720i i x ==∑．(Ⅰ)求家庭的月储蓄y 对月收入x 的线性回归方程y bx a =+；(Ⅱ)判断变量x 与y 之间是正相关还是负相关；(Ⅲ)假设该居民区某家庭月收入为7千元，预测该家庭的月储蓄．〔 附：线性回归方程y bx a =+中，1221ni ii nii x y nx yb xnx==-=-∑∑，a y bx =-，其中x ，y 为样本平均值，线性回归方程也可写为y bx a =+．〕19.为了参加亚运会，从四支较强的排球队中选出18人组成女子排球国家队，队员来源人数如下表：(Ⅱ)中国女排奋力拼搏，战胜韩国队获得冠HY ．假设要求选出两位队员代表发言，设其中来自队的人数为ξ，求随机变量ξ的分布列及数学期望)(ξE ．20.户外运动已经成为一种时尚运动，某单位为了理解员工喜欢户外运动是否与性别有关，对本单位的50名员工进展了问卷调查，得到了如以下联表：在这50人中随机抽取1人，抽到喜欢户外运动的员工的概率是35. (Ⅰ)请将上面的列联表补充完好；(Ⅱ)是否有99.5﹪的把握认为喜欢户外运动与性别有关？并说明你的理由；(Ⅲ)经进一步调查发现，在喜欢户外运动的10名女性员工中，有4人还喜欢瑜伽.假设从喜欢户外运动的10位女性员工中任选3人，记ξ表示抽到喜欢瑜伽的人数，求ξ的分布列和数学期望. 下面的临界值表仅供参考：〔22()=,()()()()n ad bc K n a b c d a b c d a c b d -=+++++++参考公式：其中〕21外，其余每局甲队获胜的概率都是32.假设各局比赛结果互相HY. (Ⅰ)分别求甲队以3:0, 3：1, 3:2成功的概率；X 的分布列及数学期望.22.函数2()l n 20)f x a x a x=+-> (.(Ⅰ)假设曲线()y f x =在点(1,(1))P f 处的切线与直线2y x =+垂直，求函数()y f x =的单调区间；(Ⅱ)假设对于(0,)x ∀∈+∞都有()2(1)f x a >-成立，试求a 的取值范围；(Ⅲ)记)()()(R b b x x f xg ∈-+=.当1a =时，函数()g x 在区间1[, ]e e -上有两个零点，务实数b 的取值范围.参考答案：1-6.BDDCBC 7-12.BAABCC 13.4-ln3 14.-2 15.①④⑤ 17.〔1〕7(2,)4π〔2〕2250721x y += 18.〔1〕y=0.3x-0.4 (2)正相关〔3〕1.7〔千元〕 19.〔1〕2〔2〕4()E ξ=20.〔1〕略〔2〕28.333K =>7.879,所以有99.5%认为二者有关 〔3〕()5E ξ=21.〔1〕甲队以3:0,3:1胜出的概率是827，以3:2胜出的概率是427〔2〕乙队得分的分布列是：()9E X=22.〔1〕函数在〔0,2〕上递减，(2,)+∞上递增〔2〕实数a的取值范围2(0,)e〔2〕实数b的取值范围是2(1,1]ee+-励志赠言经典语录精选句；挥动**，放飞梦想。
高二下学期数学周练试卷及答案(概率,立几,解几,导数)
高二下学期周练数学试卷时间：90分钟本份试题主要考查：概率、统计、推理证明、复数、立体几何、解析几何、导数 一、选择题(每题 5分，10小题，共50分)1 .已知集合P =「3,4,5,6 /, Q 二「5,7 /，下列结论成立的是()2.已知i 是虚数单位，若复数 z 满足(z_i)(3 -i) =10，贝y z =()A . Q -PB . PUQ =PC . PflQ =QB .6C . .103.已知两条直线 a,b ，两个平面：•，：.① a//b, a// := b 〃 :；③ a _ >,a 〃b,b 〃 -= ? // ■-; 其中正确的命题序号为A .①②B .②③ D . • 13 给出下面四个命题：② a 二卅，b . I -// - = aA .4.关「统计数据的分折，有以卜几牛结抡.H 中止确的个放为()① 将一组数据中的每个数据郁减去祠-•个數后.期坐与方聖均没有变化: ② 在纯性网归分祈中.相关系数尸越小，农明两牛变hl 相关性趨弱； ③己如随机刎行眼从止応分拓V(5J).且尸(4 “ “2 0.6826,则P(^>6} = 0.1587;5人”A. I乩2 C, 3 D. 4'开始+C . 10D . 9 或 102 26 .设EE 分别是双曲线务-1 a b的左、右焦点.若双曲线上存在点■ F ,MF 2 =60'，且 MF 1 =2 MF 2 ,则双曲线离心率为(A . .2 结束 7.如右图阴影1 A. e + _ Be1 .e +_—1 Ce1.e +_—2 D e&函数f(x)的定义域为开区间(a , b),导函数f ' (x)在(a , b)内的图像如F 图所示，则函数f(x)在开区间(a , b)内有极大值点 (i = 1, s = 15.如果执行右边的程序框图，若输出的)④架单位有职丨750 K. It 中靑年职I ：笳0人*中年职「2刃人”老年职丨150人.X J TT 解该 单检耿1的健康情况#用分层抽样的方法从中抽取样农 若样本中的屮冃职；为7人,则样本容播为是否输出s /ty/y=e JB • 2个C • 3个9 •下列四个命题：①利用计算机产生0〜1之间的均匀随机数 a ，则事件“3a-1 0 ”发生1的概率为：②’X • y = 0”是’X = 1或y = —1 ”的充分不必要条件；3③ 命题在 ABC 中，若sin A 二sinBy .'ABC 为等腰三角形”的否命题为真命题； ④ 如果平面.：：不垂直于平面：，那么平面.：＞ 内一定不存在直线垂直于平面 ：。
2021-2022年高二下学期数学周练试题(理科3.13) 含答案
2021年高二下学期数学周练试题（理科3.13）含答案一．选择题（每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．从正方形四个顶点及其中心这5个点中，任取2个点，则这2个点的距离不小于．．．该正方形边长的概率为 ( )A.15B.25C.35D.452．位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动，则周六、周日都有同学参加公益活动的概率为( )A.18B.38C.58D.783．已知函数，为抛掷一颗骰子所得的点数，则函数在上零点的个数小于5或大于6的概率为（）A. B. C. D.4．从某高中随机选取5名高三男生，其身高和体重的数据如下表所示：身高x(cm)160165170175180体重y(kg)6366707274) A．70.09kg B．70.12kg C．70.55kg D．71.05kg5．设，，这两个正态分布密度曲线如图所示．下列结论中正确的是（）A．B．C．对任意正数，D．对任意正数，6．如图，设抛物线的焦点为，不经过焦点的直线上有三个不同的点，，，其中点，在抛物线上，点在轴上，则与的面积之比是（ ） A. B. C. D.7. 一个几何体的三视图形状都相同、大小均相等，那么这个几何体不可以是( )A ．球B ．三棱锥C ．正方体D ．圆柱 8．在某大学校园内通过随机询问100 名性别不同的大学生是否爱打篮球,得到如下的列表:由算得参照右上附表，得到的正确结论( ) A.在犯错误的概率不超过5%的前提下,认为“是否爱打篮球与性别有关” B.在犯错误的概率不超过5%的前提下,认为“是否爱打篮球与性别无关” C.有97.5%以上的把握认为“是否爱打篮球与性别有关” D.有97.5%以上的把握认为“是否爱打篮球与性别无关”9．已知某批零件的长度误差（单位：毫米）服从正态分布，从中随机取一件，其长度误差落在区间（3,6）内的概率为（ ）（附：若随机变量ξ服从正态分布 ，则 ， 。
高二数学下学期周练试题(承智班,含解析)(2021年整理)
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一、选择题1．已知复数，则的虚部为( ）A。
B。
C。
D.2．如图所示，在直角梯形中，，，．如果边上的点使得以为顶点的三角形和以为顶点的三角形相似，那么这样的点有（）A．1个 B．2个C．3个 D．0个3．执行如图所示的程序框图，则输出的结果为（）A。
B. C. —1 D。
24．已知三棱锥的俯视图与侧视图如图所示，俯视图是边长为2的正三角形，侧视图是有一直角边为2的直角三角形，则该三棱锥的正视图可能为( ）5．设集合，,若，则（）A. B。
C. D.6．已知函数的定义域为，为常数。
若:对，都有；:是函数的最小值，则是的（）A.充分不必要条件 B。
必要不充分条件C。
充要条件 D.既不充分也不必要条件7．等比数列中，,则数列前项和 ( ）A。
B. C. D.9．重庆市乘坐出租车的收费办法如下:⑴不超过3千米的里程收费10元;⑵超过3千米的里程按每千米2元收费（对于其中不足千米的部分，若其小于0．5千米则不收费，若其大于或等于0．5千米则按1千米收费）；当车程超过3千米时，另收燃油附加费1元．相应系统收费的程序框图如图所示，其中(单位:千米）为行驶里程，(单位:元）为所收费用，用表示不大于的最大整数，则图中①处应填( ）A. B。
C. D。
10．已知抛物线的焦点为是抛物线上的不同两点，且,给出下列命题：①,②，③，其中假命题的个数是（）A. 0 B. 1 C. 2 D。
高二下学期经典完整数学周测试卷及答案详解
高二年级下学期数学周测试卷及答案案详解（答案附后） 姓名： 班级： 学号: 得分：一、填空题（请把正确的答案写在题后的横线上，每小题5分，共80分）1.已知函数f （x ）=ax 3﹣2x 的图象过点P （﹣1，4），则曲线y=f （x ）在点P 处的切线方程为 ．2.函数()f x 在()-∞+∞，单调递减，且为奇函数．若()11f =-，则满足()121f x --≤≤的x 的取值范围是 ；3.已知双曲线22221x y C a b-=：（0a >，0b >）的一条渐近线方程为y =，且与椭圆221123x y +=有公共焦点．则C 的方程为 ； 4．已知椭圆2222:1x y C a b+=（0a b >>）的左、右顶点分别为1A ，2A ，且以线段1A 2A 为直径的圆与直线20bx ay ab -+=相切，则C 的离心率为 ；5．△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c 。
已知sin sin (sin cos )0B A C C +-=，a =2，c C = ；6.已知π(0)2a ∈，,tan α=2，则πcos ()4α-=__________；7.从分别写有1,2,3,4,5的5张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张，则抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率为__________； 8.函数()cos sin =2+fx x x 的最大值为 ； .9．设函数10()20x x x f x x +≤⎧=⎨>⎩，，，，则满足1()()12f x f x +->的x 的取值范围是__________；10.若复数(1i)(i)a -+在复平面内对应的点在第二象限，则实数a 的取值范围是 ；11.已知点P 在圆22=1x y +上，点A 的坐标为(-2,0)，O 为原点，则AO AP ⋅的最大值为_________．12.已知奇函数()f x 在R 上是增函数.若0.8221(log ),(log 4.1),(2)5a fb fc f =-==，则,,a b c 的大小关系为 ；13.已知一个正方体的所有顶点在一个球面上，若这个正方体的表面积为18，则这个球的体积为 ；14.若a ，b ∈R ，0ab >，则4441a b ab++的最小值为 ； .15.用数字1，2，3，4，5，6，7，8，9组成没有重复数字，且至多有一个数字是偶数的四位数，这样的四位数一共有___________个.（用数字作答）16.已知12,e e 12-e 与12λ+e e 的夹角为60，则实数λ的值是 .二、解答题（20分）17．已知函数f (x )=（x e x-（12x ≥）. （Ⅰ）求f (x )的导函数；（Ⅱ）求f (x )在区间1[+)2∞，上的取值范围.高二年级下学期数学周测试卷（6月）参考答案1.【解答】解：函数f （x ）=ax 3﹣2x 的图象过点P （﹣1，4）， 可得﹣a +2=4，解得a=﹣2，则f （x ）=﹣2x 3﹣2x ，f （x ）的导数为f′（x ）=﹣6x 2﹣2，则曲线y=f （x ）在点P 处的切线斜率为﹣8， 可得曲线y=f （x ）在点P 处的切线方程为y ﹣4=﹣8（x +1）， 即为8x +y +4=0．故答案为：8x +y +4=0．2.【解答】因为()f x 为奇函数，所以()()111f f -=-=，于是()121f x --≤≤等价于()()()121f f x f --≤≤|又()f x 在()-∞+∞，单调递减121x ∴--≤≤3x ∴1≤≤即[]13，3.【解答】∵双曲线的一条渐近线方程为y =，则b a =又∵椭圆221123x y +=与双曲线有公共焦点，易知3c =，则2229a b c +==②由①②解得2,a b =C 的方程为22145x y -=，4.【解析】∵以12A A 为直径为圆与直线20bx ay ab -+=相切，∴圆心到直线距离d 等于半径，∴d a==又∵0,0a b >>，则上式可化简为223a b =∵222b a c =-，可得()2223a a c =-，即2223c a =∴，c e a ==5.【解析】由题意sin()sin (sin cos )0A C A C C ++-=得sin cos cos sin sin sin sin cos 0A C A C A C A C ++-=，即sin (sin cos )sin()04C A A C A π+=+=，所以34A π=.由正弦定理sin sin a c A C =得23sin sin 4C π=，即1sin 2C =，得6C π=6、7.【解析】如下表所示，表中的点横坐标表示第一次取到的数，纵坐标表示第二次取到的数总计有25种情况，满足条件的有10种 所以所求概率为102255=。
福建省高二(下)第一周周练数学试卷(有答案)
福建省高二（下）第一周周练数学试卷一、选择题：1. 已知函数y=f(x)，下列说法错误的是（）A.△y=f(x0+△x)−f(x0)叫函数增量B.△y △x =f(x0+△x)−f(x0)△x叫函数在[x0, x0+△x]上的平均变化率C.f(x)在点x0处的导数记为y′D.f(x)在点x0处的导数记为f′(x0)2. 已知函数f(x)=2x+5，当x从2变化到4时，函数的平均变化率是（）A.2B.4C.−4D.−23. 一个物体的运动方程为s=1−t+t2其中s的单位是米，t的单位是秒，那么物体在3秒末的瞬时速度是（）A.7米/秒B.6米/秒C.5米/秒D.8米/秒4. 函数y=mx2m−n的导数为y′=4x3，则（）A.m=−1，n=−2B.m=−1，n=2C.m=1，n=2D.m=1，n=−25. 已知f(x)=x3+x2f′(1)，则f′(2)=()A.0B.1C.2D.36. 函数f(x)的图象如图所示，下列数值排序正确的是（）A.0<f′(3)<f′(4)<f(4)−f(3)B.0<f′(3)<f(4)−f(3)<f′(4)C.0<f′(4)<f′(3)<f(4)−f(3)D.0<f(4)−f(3)<f′(3)<f′(4)二、填空题：函数y=x+1x在x=1处的导数是________．曲线y=x3在P点处的切线斜率为3，则P点的坐标________．对于函数y=x2，其导数等于原来函数值的点是________．如果曲线y=x2与y=−x3在x=x0处的切线互相垂直，则x0的值为________．抛物线y=x2与直线x−y−2=0的最短距离________．三．解答题：求以下函数的导数：（1）f(x)=−sin x+x cos x；（2）f(x)=x 2+1ln x．已知曲线y=13x3上一点P(2,83)，求：（1）点P处切线的斜率；（2）点P处的切线方程．动点沿ox轴的运动规律由x=10t+5t2给出，式中t表示时间（单位：s），x表示距离（单位：m），求在20≤t≤20+△t时间段内动点的平均速度，其中①△t=1；②△t=O.1；③△t=0.01当t=20时，运动的瞬时速度等于什么？参考答案与试题解析福建省高二（下）第一周周练数学试卷一、选择题：1.【答案】C【考点】导数的运算【解析】根据导数的定义判断即可．【解答】解：根据导数的定义f′(x0)=lim△x→0f(x0+△x)−f(x0)△x，即可判断出A，B，D正确，C错误，故选：C2.【答案】A【考点】变化的快慢与变化率【解析】求出在区间[2, 4]上的增量△y=f(4)−f(2)，然后利用平均变化率的公式△y△x求平均变化率．【解答】解：函数f(x)在区间[2, 4]上的增量△y=f(4)−f(2)=2×4+5−2×2−5=4，∴f(x)x从2变化到4时的平均变化率为△y△x =f(4)−f(2)4−2=42=2．故选A．3.【答案】C【考点】导数的运算变化的快慢与变化率【解析】①求出s的导函数s′(t)=2t−1②求出s′(3)【解答】解：s′(t)=2t−1，s′(3)=2×3−1=5．故选C.4.【答案】D【考点】【解析】已知函数y=mx2m−n根据幂函数的求导法则对其进行求导，再根据y′=4x3，进行求解；【解答】解：∵函数y=mx2m−n，∴y′=m(2m−n)x2m−n−1，又∵y′=4x3，∴m(2m−n)=4，2m−n−1=3，解得m=1，n=−2．故选D．5.【答案】A【考点】导数的运算【解析】根据题意，求出f′(x)，再求出f′(1)的值，即可求出f′(2)的值．【解答】解：∵f(x)=x3+x2f′(1)，∴f′(x)=3x2+2xf′(1)；令x=1，得f′(1)=3+2f′(1)，∴f′(1)=−3；∴f′(2)=3×22+2×2f′(1)=12−4×(−3)=0．故选：A．6.【答案】B【考点】导数的运算利用导数研究函数的单调性【解析】由函数f(x)的图象，判断出它的单调性，再根据函数图象斜率的变化情况，判断f(x)′的增减性，最后根据函数的凸凹性进行判断，得出结论．【解答】解：由函数f(x)的图象知：当x≥0时，f(x)单调递增，且当x=0时，f(0)>0，∴f′(3)，f′(4)，f(4)−f(3)>0，由此可知f(x)′在(0, +∞)上恒大于0，其图象为一条直线，∵直线的斜率逐渐增大，∴f′(x)单调递增，∴f′(3)<f′(4)，∵f(x)为凹函数，∴f′(3)<f(4)−f(3)<f′(4)∴0<f′(3)<f(4)−f(3)<f′(4)，二、填空题：【答案】【考点】导数的加法与减法法则【解析】利用导数的加法法则与除法法则对给出的函数进行求导，然后在导函数中把x换1即可求得函数y=x+1x在x=1处的导数．【解答】解：由y=x+1x ，得：y′=(x+1x)′=x′+(1x)′=1−1x2．所以，y′|x=1=1−1=0．故答案为0．【答案】(−1, −1)或(1, 1)【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程【解析】利用导数的几何意义，结合曲线y=x3上的点P处的切线的斜率为3，建立方程，即可求得P点的坐标．【解答】解：设切点的坐标为P(a, b)，则由y=x3，可得y′=3x2，∵曲线y=x3上的点P处的切线的斜率为3，∴3a2=3，∴a=±1∴b=a3=±1∴P点的坐标为(−1, −1)或(1, 1)故答案为：(−1, −1)或(1, 1)．【答案】(0, 0)、(2, 4)【考点】导数的运算【解析】对y=x2求导数，令导数等于原函数，求出对应的x的值，即得所求点的横坐标，从而求出所求的点来．【解答】解：∵y=x2，∴y′=2x；令x2=2x，则x=0，或x=2；∴当x=0或x=2时，其导数等于原来的函数值，且对应的y=0或y=4；∴所求的点是(0, 0)、(2, 4)．故答案为：(0, 0)、(2, 4)．【答案】√3636【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程 【解析】求导数，确定切线的斜率，利用曲线y =x 2与y =−x 3在x =x 0处的切线互相垂直，建立方程，即可求x 0的值． 【解答】解：由题意，y′=2x ，k 1=2x 0；y′=−3x 2，k 2=−3x 02．∵ 曲线y =x 2与y =−x 3在x =x 0处的切线互相垂直， ∴ k 1k 2=−1，即6x 03=1，x 0=√3636． 故答案为：√3636． 【答案】7√28【考点】 抛物线的求解 【解析】设抛物线上的任意一点M(m, m 2)，由点到直线的距离公司可求M 到直线x −y −1=0的距离，由二次函数的性质可求M 到直线x −y −1=0的最小距离． 【解答】解：设抛物线上的任意一点M(m, m 2) M 到直线x −y −2=0的距离d =2√2=|(m−12)2+74|√2由二次函数的性质可知，当m =12时，最小距离d =7√28．故答案为：7√28． 三．解答题：【答案】解：（1）f′(x)=−cos x +cos x −x sin x =−x sin x ， （2）f′(x)=2x ln x−(x 2+1)1x(ln x)2=2x ln x −x ln 2x −1x ln 2x ．【考点】 导数的运算 【解析】根据导数的运算法则，求导即可． 【解答】 解：（1）f′(x)=−cos x +cos x −x sin x =−x sin x ， （2）f′(x)=2x ln x−(x 2+1)1x(ln x)2=2x ln x −x ln 2x −1x ln 2x ．【答案】解：（1）y=13x3的导数y′=x2，则点P(2,83)处的切线的斜率为y′|x=2=4；（2）由点斜式方程得，在点P处的切线方程：y−83=4(x−2)，即12x−3y−16=0．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程【解析】求出函数的导数，求出x=2处的切线斜率，由点斜式方程求出切线方程．【解答】解：（1）y=13x3的导数y′=x2，则点P(2,83)处的切线的斜率为y′|x=2=4；（2）由点斜式方程得，在点P处的切线方程：y−83=4(x−2)，即12x−3y−16=0．【答案】解：由题意，△x△t =10(20+△t)+5(20+△t)2−10×20−5×202△t=300+5△t．①△t=1，运动的瞬时速度305m/s；②△t=O.1，运动的瞬时速度300.5m/s；③△t=0.01，运动的瞬时速度300.05m/s．【考点】变化的快慢与变化率【解析】由题意，△x△t =10(20+△t)+5(20+△t)2−10×20−5×202△t=300+5△t，代入计算可得结论．【解答】解：由题意，△x△t =10(20+△t)+5(20+△t)2−10×20−5×202△t=300+5△t．①△t=1，运动的瞬时速度305m/s；②△t=O.1，运动的瞬时速度300.5m/s；③△t=0.01，运动的瞬时速度300.05m/s．。
高二(下)数学周周练系列(3)理科
高二(下)数学周周练系列 (3) 理科选修2–2（导数及其应用1.1–1.3） 杨志明一、选择题1．设函数0()f x x 在可导，则000()(3)limt f x t f x t t→+--=（ ）A ．'0()f xB ．'02()f x -C ．'04()f xD ．不能确定 2．（2007年浙江卷）设()f x '是函数()f x 的导函数，将()y f x =和()y f x '=的图象画在同一个直角坐标系中，不可能正确的是（ ）3．（2007年江西卷）设函数()f x 是R 上以5为周期的可导偶函数，则曲线()y f x =在5x =处的切线的斜率为（ ） Ａ．15-Ｂ．0Ｃ．15Ｄ．54．已知函数x x f =)(，在0=x 处函数极值的情况是（ ）A ．没有极值B ．有极大值C ．有极小值D ．极值情况不能确定5．曲线321x y =在点⎪⎭⎫⎝⎛41,8R 的切线方程是（ ）A ．02048=-+y xB ．48200x y ++=C ．48200x y -+=D ．4200x y --=6．已知曲线)1000)(100(534002≤≤-++=x x x y 在点M 处有水平切线，则点M 的坐标是（ ）．A ．（-15，76）B ．（15，67）C ．（15，76）D ．（15，-76） 7．已知函数x x x f ln )(=，则（ ）A ．在),0(+∞上递增B ．在),0(+∞上递减C ．在⎪⎭⎫ ⎝⎛e 1,0上递增 D ．在⎪⎭⎫ ⎝⎛e 1,0上递减 8．（2007年福建卷）已知对任意实数x ，有()()()()f x f x g x g x -=--=，，且0x >时，()0()0f x g x ''>>，，则0x <时（ ）A ．()0()0f x g x ''>>，B ．()0()0f x g x ''><，C ．()0()0f x g x ''<>，D ．()0()0f x g x ''<<，二、填空题9．函数53)(23--=x x x f 的单调递增区间是_____________．10．若一物体运动方程如下：⎪⎩⎪⎨⎧≥-+<≤+=)2()3( )3(329)1( )30(2322t t t t s 则此物体在1=t 和3=t 时的瞬时速度是________．A ．B ．C ．D ．11．曲线x x y 23+-=在点（－1，－1）处的切线的倾斜角是________．12．已知c x x f +=2)(，且)1()()(2+==x f x f f x g ，设)()()(x f x g x λϕ-=， )(x ϕ在)1,(--∞上是减函数，并且在（－1，0）上是增函数,则λ=________．13．（2006年湖北卷）半径为r 的圆的面积S(r)＝πr 2,周长C(r)=2πr ，若将r 看作(0，＋∞)上的变量，则(πr 2)`＝2πr ○1，○1式可以用语言叙述为：圆的面积函数的导数等于圆的周长函数。
江苏省高二(下)周练数学试卷(1)(文科)(有答案)
江苏省高二（下）周练数学试卷（1）（文科）一、填空题：1. 复数z=(1+i)(1+2i)（i为虚数单位）的实部是________．2. 有五条线段长度分别为1，3，5，7，9，从这5条线段中任取3条，则所取3条线段能构成一个三角形的概率为________•3. 运行如图的算法，则输出的结果是________．4. 在Rt△ABC中，∠A=90∘，AB=1，BC=2．在BC边上任取一点M，则∠AMB≥90∘的概率为________．5. 用计算机随机产生的有序二元数组(x, y)，满足条件−1<x<1，−1<y<1，记事件E为x2+y2≤1，则E发生的概率是________．6. 某人5次上班途中所花的时间（单位：分钟）分别为x，y，10，11，9．已知这组数据的平均数为10，方差为2，则|x−y|的值为________．7. “m>n>0”是”方程mx2+ny2=1表示焦点在y轴上的椭圆”的________条件．8. 如果5个数x1，x2，x3，x4，x5的方差为7，那么3x1+2，3x2+2，3x3+2，3x4+ 2，3x5+2，这5个数的方差是________．9. 若椭圆x2k+8+y29=1的离心率为12，则k的值为________．10. 已知f(x)是定义在(−∞, 0)∪(0, +∞)上的奇函数，当x>0时，f(x)=ln x−ax．若函数f(x)在其定义域上有且仅有四个不同的零点，则实数a的取值范围是________．11. 如图，用一块形状为半椭圆x2+y24=1(y≥0)的铁皮截取一个以短轴BC为底的等腰梯形ABCD，记所得等腰梯形的面积为S，则S的最大值是________．12. 如图，在平面直角坐标系xoy中，A1，A2，B1，B2为椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的四个顶点，F为其右焦点，直线A1B2与直线B1F相交于点T，线段OT与椭圆的交点M恰为线段OT的中点，则该椭圆的离心率为________．13. 设实数n≤6，若不等式2xm+(2−x)n−8≥0对任意x∈[−4, 2]都成立，则m4−n4m3n的最小值为________．二、解答题：已知y=f(x)=x ln x．（1）求函数y=f(x)的图象在x=e处的切线方程；（2）设实数a>0，求函数F(x)=f(x)a在[a, 2a]上的最大值．将一枚骰子先后抛掷2次，观察向上的点数，求：（1）两数之和为6的概率；（2）两数之和是3的倍数的概率；（3）两数之积是6的倍数的概率；x2+y2=25的内部的概率．已知函数f(x)＝−x3+x2+b，g(x)＝a ln x．(Ⅰ)若f(x)在x∈[−12, 1)上的最大值为38，求实数b的值；(Ⅱ)若对任意x∈[1, e]，都有g(x)≥−x2+(a+2)x恒成立，求实数a的取值范围．如图，某自来水公司要在公路两侧铺设水管，公路为东西方向，在路北侧沿直线铺设线路l1，在路南侧沿直线铺设线路l2，现要在矩形区域ABCD内沿直线将l1与l2接通．已知AB=60m，BC=80m，公路两侧铺设水管的费用为每米1万元，穿过公路的EF部分铺设水管的费用为每米2万元，设∠EFB=π2−α，矩形区域内的铺设水管的总费用为W．（1）求W关于α的函数关系式；（2）求W的最小值及相应的角α．如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆E：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的焦距为2，且过点(√2，√62)．（1）求椭圆E的方程；（2）若点A，B分别是椭圆E的左、右顶点，直线l经过点B且垂直于x轴，点P是椭圆上异于A，B的任意一点，直线AP交l于点M．(I)设直线OM的斜率为k1，直线BP的斜率为k2，求证：k1k2为定值；(II)设过点M垂直于PB的直线为m．求证：直线m过定点，并求出定点的坐标．参考答案与试题解析江苏省高二（下）周练数学试卷（1）（文科）一、填空题：1.【答案】−1【考点】复数代数形式的混合运算【解析】直接展开，化简即可求得结果．【解答】解：z=(1+i)(1+2i)=1+i+2i−2=−1+3i，所以复数z的实部是−1．故答案为：−12.【答案】310【考点】等可能事件的概率【解析】根据题意，首先分析可得从五条线段中任取3条的情况数目，再由三角形的三边关系，列举能构成三角形的情况，进而由等可能事件的概率公式计算可得答案．【解答】解：根据题意，从五条线段中任取3条，有C53=10种情况，由三角形的三边关系，能构成三角形的有3、5、7，5、7、9，3、7、9三种情况；；故其概率为310．故答案为3103.【答案】25【考点】循环结构的应用【解析】依次讨论x执行循环体后的值是否满足条件x<20，一旦不满足就退出循环，输出x的值，解题的关键是弄清循环的次数．【解答】解：第一次：x=1，满足条件x<20第二次：x=4，满足条件x<20第三次：x=25，不满足条件x<20故退出循环，此时x=25故答案为：254.【答案】14【考点】直角三角形的射影定理几何概型计算（与长度、角度、面积、体积有关的几何概型）【解析】本题考查的知识点是几何概型，解题要点是要分别求出满足条件的事件对应的线段长度及总事件对应线段长度． 【解答】解：过A 点做BC 的垂线，垂足为M ′，当M 点落在线段BM ′（含M ′点不含B 点）上时∠AMB ≥90 由∠A =90∘，AB =1，BC =2解得BM ′=12，则∠AMB ≥90∘的概率p =122=14．故答案为：145. 【答案】 π4【考点】几何概型计算（与长度、角度、面积、体积有关的几何概型） 【解析】以面积为测度，分别确定区间[−1, 1]上任取两数x ，y 组成有序数对(x, y)，围成区域图形的面积，事件A 为“x 2+y 2≤1”，围成区域图形的面积，即可求得结论． 【解答】解：∵ 区间[−1, 1]上任取两数x ，y 组成有序数对(x, y)，围成区域图形的面积为4； 事件A 为“x 2+y 2≤1”，围成区域图形的面积为π， ∴ P(A)=π4． 故答案为：π4． 6.【答案】 4【考点】极差、方差与标准差 众数、中位数、平均数【解析】利用平均数、方差的概念列出关于x 、y 的方程组，解这个方程组需要用一些技巧，因为不要直接求出x 、y ，只要求出|x −y|即可，故可设x ＝10+t ，y ＝10−t ，求解即可．由题意可得：x+y＝20，(x−10)2+(y−10)2＝8，设x＝10+t，y＝10−t，则2t2＝8，解得t＝±2，∴|x−y|＝2|t|＝4，7.【答案】充要【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断椭圆的定义【解析】本题考查的知识点是充要条件的定义，及椭圆的定义，我们分别判断“m>n>0”⇒“方程mx2+ny2=1表示焦点在y轴上的椭圆”的真假，及“方程mx2+ny2=1表示焦点在y轴上的椭圆”⇒“m>n>0”的真假，然后根据充要条件的定义，即可得到结论．【解答】解：当“m>n>0”时”方程mx2+ny2=1表示焦点在y轴上的椭圆”成立，即“m>n>0”⇒”方程mx2+ny2=1表示焦点在y轴上的椭圆”为真命题，当“方程mx2+ny2=1表示焦点在y轴上的椭圆”时“m>n>0”也成立即“方程mx2+ny2=1表示焦点在y轴上的椭圆”⇒“m>n>0”也为真命题故“m>n>0”是”方程mx2+ny2=1表示焦点在y轴上的椭圆”的充要条件故答案为：充要8.【答案】63【考点】极差、方差与标准差【解析】直接根据方差公式S2=1n[(x1−x¯)2+(x2−x¯)2+...+(x n−x¯)2]进行求解即可．【解答】解：∵数据x1，x2，x3，x4，x5的方差是7，∴15[(x1−x¯)2+(x2−x¯)2+[(x3−x¯)2+(x4−x¯)2+(x5−x¯)2]=7①；方差=15[(3x1+2−3x¯−2)2+(3x2+2−3x¯−2)2+(3x3+2−3x¯−2)2+(3x4+ 2−3x¯−2)2+(3x5+2−3x¯−2)2]=15[9(x1−x¯)2+9(x2−x¯)2+9(x3−x¯)2+9(x4−x¯)2+9(x5−x¯)2]=95[(x1−x¯)2+(x2−x¯)2+[(x3−x¯)2+(x4−x¯)2+(x5−x¯)2]②把①代入②得，方差是：7×9=63．故答案为：63．9.4或−54【考点】椭圆的离心率【解析】若焦点在x轴上，则√k+8−9√k+8=12，若焦点在y轴上，则√9−(k+8)3=12，由此能求出答案．【解答】解：若焦点在x轴上，则√k+8−9√k+8=12，解得k=4．若焦点在y轴上，则√9−(k+8)3=12，解得k=−54．故答案为：4或−54．10.【答案】0<a<1 e【考点】函数奇偶性的性质【解析】利用函数奇偶性的对称性，只要保证x>0时，函数f(x)上有且仅有两个不同的零点即可．【解答】解：因为f(x)是定义在(−∞, 0)∪(0, +∞)上的奇函数，所以要使函数f(x)在其定义域上有且仅有四个不同的零点，则只需函数f(x)在x>0上有且仅有两个不同的零点即可．由f(x)=ln x−ax=0得ln x=ax．设y=ln x，y=ax．当直线y=ax与y=ln x相切时，设切点为(x0, b)，则y′=1x，则切线斜率为k=1x0，所以切线方程为y−ln x0=1x0(x−x0)=1x0x−1，因为切线过原点，所以有ln x0=1，解得x0=e，此时k=1x0=1e．所以要使y=ln x与y=ax有两个不同的交点，则0<a<1e．故答案为：0<a <1e ．11. 【答案】 3√32【考点】 椭圆的定义 【解析】设D 点坐标为(x, y)(x >0)，由点D 在椭圆上知x 2+y 24=1(y ≥0)，得y 2=4(1−x 2)，用x ，y 表示出等腰梯形ABCD 的面积为S =12(|AD|+|BC|)|y|=12(2x +2)⋅y =(x +1)⋅y ，将y 2=4(1−x 2)代入得S 2=(x +1)2⋅y 2=(x +1)2⋅4(1−x 2)=4(−x 4−2x 3+2x +1)，利用导数求此函数的最值 【解答】解：设D 点坐标为(x, y)(x >0)，由点D 在椭圆上知x 2+y 24=1(y ≥0)，得y 2=4(1−x 2)∴ 等腰梯形ABCD 的面积为S =12(|AD|+|BC|)|y|=12(2x +2)⋅y =(x +1)⋅y∴ S 2=(x +1)2⋅y 2=(x +1)2⋅4(1−x 2)=4(−x 4−2x 3+2x +1)=−4x 4−8x 3+8x +4(0<x <1) (S 2)′=4(−4x 3−6x 2+2)，令(S 2)′=0，得2x 3+3x 2−1=0，即(x +1)2(2x −1)=0， ∵ 0<x <1， ∴ x =12，又当0<x <12时，(S 2)′>0；当12<x <1时，(S 2)′<0， ∴ 在区间(0, 1)上，S 2有唯一的极大值点x =12， ∴ 当x =12时，S 2有最大值为274；即当x =12时，S 有最大值为3√32故答案为：3√3212. 【答案】e =2√7−5 【考点】 椭圆的定义 【解析】解法一：可先直线A 1B 2的方程为x −a+y b=1，直线B 1F 的方程为x c+y −b=1，联立两直线的方程，解出点T 的坐标，进而表示出中点M 的坐标，代入椭圆的方程即可解出离心率的值；解法二：对椭圆进行压缩变换，x ′=xa ，y ′=yb ，椭圆变为单位圆：x′2+y′2=1，F ′(ca , 0)．根据题设条件求出直线B 1T 方程，直线直线B 1T 与x 轴交点的横坐标就是该椭圆的离心率． 【解答】解法一：由题意，可得直线A 1B 2的方程为x−a +yb =1，直线B 1F 的方程为xc +y−b =1 两直线联立则点T(2ac a−c ,b(a+c)(a−c))，则M(ac a−c ,b(a+c)2(a−c))，由于此点在椭圆上，故有 c 2(a−c)2+(a+c)24(a−c)2=1，整理得3a 2−10ac −c 2=0 即e 2+10e −3=0，解得e =2√7−5故答案为e =2√7−5解法二：对椭圆进行压缩变换，x ′=xa，y ′=yb，椭圆变为单位圆：x′2+y′2=1，F ′(ca, 0)．延长TO 交圆O 于N ，易知直线A 1B 2斜率为1，TM =MO =ON =1，A 1B 2=√2， 设T(x′, y′)，则TB 2=√2x ′，y′=x′+1，由割线定理：TB 2×TA 1=TM ×TN ，√2x ′(√2x ′+√2)=1×3， x ′=√7−12（负值舍去），y ′=√7+12易知：B 1(0, −1)，直线B 1T 方程：y ′+1x ′=√7+12+1√7−12令y′=0x ′=2√7−5，即F 横坐标即原椭圆的离心率e =ca =2√7−5． 故答案：2√7−5． 13. 【答案】−80 3【考点】函数恒成立问题求线性目标函数的最值简单线性规划【解析】先确定m，n的范围，再得出m=2，n=6时，m 4−n4m3n取最小值即可．【解答】解：设y=2xm+(2−x)n−8，整理可得y=(2m−n)x+(2n−8)，当2m−n>0时，因为x∈[−4, 2]，所以y min=(2m−n)⋅(−4)+(2n−8)=−8m+6n−8，当2m−n<0时，因为x∈[−4, 2]，所以y min=(2m−n)⋅2+(2n−8)=4m−8，∵不等式2xm+(2−x)n−8≥0对任意x∈[−4, 2]都成立，∴m，n满足{−8m+6n−8≥02m−n>0n≤6或{2m−n<04m−8≥0n≤6，可行域如图：或∴当且仅当m=2，时，(nm)max=3，又m 4−n4m3n =mn−(nm)3，∴m4−n4m3n 的最小值为=13−33=−803，故答案为：−803.二、解答题：【答案】解：（1）∵f(x)定义域为(0, +∞)f′(x)=ln x+1∵f(e)=e又∵k=f′(e)=2∴函数y=f(x)的在x=e处的切线方程为：y=2(x−e)+e，即y=2x−e（2）F′(x)=1a (ln x+1)令F′(x)=0得x=1e当x∈(0,1e)，F′(x)<0，F(x)单调递减，当x∈(1e，+∞)，F′(x)>0，F(x)单调递增．∴F(x)在[a, 2a]上的最大值F max(x)=max{F(a), F(2a)}∵F(a)−F(2a)=ln a−2ln2a=ln14a∴当0<a≤14时，F(a)−F(2a)≥0，F max(x)=F(a)=ln a当a>14时，F(a)−F(2a)<0，F max(x)=F(2a)=2ln2a．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程导数求函数的最值【解析】（1）欲求出切线方程，只须求出其斜率即可，故先利用导数求出在x=e处的导函数值，再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率．从而问题解决．（2）先求出F(x)的导数，根据F′(x)>0求得的区间是单调增区间，F′(x)<0求得的区间是单调减区间，求出极值，再比较极值和端点处的函数值的大小，最后确定出最大值即可．【解答】解：（1）∵f(x)定义域为(0, +∞)f′(x)=ln x+1∵f(e)=e又∵k=f′(e)=2∴函数y=f(x)的在x=e处的切线方程为：y=2(x−e)+e，即y=2x−e（2）F′(x)=1a (ln x+1)令F′(x)=0得x=1e当x∈(0,1e)，F′(x)<0，F(x)单调递减，当x∈(1e，+∞)，F′(x)>0，F(x)单调递增．∴F(x)在[a, 2a]上的最大值F max(x)=max{F(a), F(2a)}∵F(a)−F(2a)=ln a−2ln2a=ln14a∴当0<a≤14时，F(a)−F(2a)≥0，F max(x)=F(a)=ln a当a>14时，F(a)−F(2a)<0，F max(x)=F(2a)=2ln2a．【答案】解：（1）由题意知本题是一个等可能事件的概率，试验发生包含的事件数是6×6=36种结果，满足条件是事件是两个数字的和是6，共有(1, 5)(2, 4)(3, 3)(4, 2)(5, 1)五种情况，∴两数之和为6的概率是536．（2）记“两数之和是3的倍数”为事件B，则事件B中含有(1, 2)，(1, 5)，(2, 1)，(2, 4)，(3, 3)，(3, 6)，(4, 2)，(4, 5)，(5, 1)，(5, 4)，(6, 3)，(6, 6)共12个基本事件，故两数之和是3的倍数的概率为：P(B)=1236=13（3）记“向上的两数之积是6的倍数”为事件B，则由列表可知，事件B中含有其中的15个等可能基本事件，所以P(B)=1536=512；（4）由题意知本题是一个等可能事件的概率，试验发生包含的事件数是6×6=36种结果，第一次向上点数为横坐标x，第二次向上的点数为纵坐标y的点(x, y)当x=1时，y有1，2，3，4，4种结果，当x=2时，y有1，2，3，4，4种结果，当x=3时，y有1，2，3，3种结果，当x=4时，y有1，2，2种结果，∴共有4+4+3+2=13种结果．∴要求的概率是1336【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率【解析】（1）由题意知本题是一个等可能事件的概率，试验发生包含的事件数是6×6种结果，满足条件是事件是两个数字的和是6的可以列举出共有5种结果，得到概率．（2）记两数之和是3的倍数为事件A，由基本事件的列表易得事件A中含有的基本事件数目，由古典概型公式可得答案；（3）记“向上的两数之积是6的倍数”为事件B，由基本事件的列表易得事件A中含有的基本事件数目，由古典概型公式可得答案；（4）由题意知本题是一个等可能事件的概率，试验发生包含的事件数是6×6种结果，列举出符合条件的事件数，得到概率．【解答】解：（1）由题意知本题是一个等可能事件的概率，试验发生包含的事件数是6×6=36种结果，满足条件是事件是两个数字的和是6，共有(1, 5)(2, 4)(3, 3)(4, 2)(5, 1)五种情况，∴ 两数之和为6的概率是536．（2）记“两数之和是3的倍数”为事件B ，则事件B 中含有(1, 2)，(1, 5)，(2, 1)，(2, 4)，(3, 3)，(3, 6)，(4, 2)，(4, 5)，(5, 1)，(5, 4)，(6, 3)，(6, 6)共12个基本事件，故两数之和是3的倍数的概率为：P(B)=1236=13（3）记“向上的两数之积是6的倍数”为事件B ，则由列表可知，事件B 中含有其中的15个等可能基本事件， 所以P(B)=1536=512；（4）由题意知本题是一个等可能事件的概率， 试验发生包含的事件数是6×6=36种结果，第一次向上点数为横坐标x ，第二次向上的点数为纵坐标y 的点(x, y) 当x =1时，y 有1，2，3，4，4种结果， 当x =2时，y 有1，2，3，4，4种结果， 当x =3时，y 有1，2，3，3种结果， 当x =4时，y 有1，2，2种结果， ∴ 共有4+4+3+2=13种结果． ∴ 要求的概率是1336 【答案】（1）函数f(x)＝−x 3+x 2+b ，函数f(x)＝−3x 2+2x ，f(x)＝0得x ＝0，x =23， f(x)>0，0<x <23； f(x)<0，x <0或>23可知：f(x)在x ∈[−12, 1)有[−12, 0)，(23, 1)是减区间，(0, 23)是增区间f(−12)=38+b ，f(23)=427+b ，可以判断）38+b =38，b ＝0 所以实数b 的值为0（2）任意x ∈[1, e]，都有g(x)≥−x 2+(a +2)x ，g(x)＝a ln x ． a ≤−x 2+2x ln x−x，设T(x)=−x 2+2x ln x−x，x ∈[1, e]T′(X)=(x−1)(x+2−ln x)(ln x−x)2，x ∈[1, e]，x −1≥0，ln x ≤1，x +2−ln x >0，从而t′(x)≥0，t(x)在[1, e]上为增函数． 所以t(x)min ＝t(1)＝−1，所以a ≤−1 【考点】利用导数研究函数的最值 【解析】（1）求解导数，利用导函数求极值点，单调区间，判断最值，求出b 的值（2）g(x)≥−x 2+(a +2)x 转化为另一个函数的最值问题求解，用好分离参数的方法． 【解答】（1）函数f(x)＝−x 3+x 2+b ，函数f(x)＝−3x 2+2x ，f(x)＝0得x ＝0，x =23，f(x)>0，0<x <23； f(x)<0，x <0或>23可知：f(x)在x ∈[−12, 1)有[−12, 0)，(23, 1)是减区间，(0, 23)是增区间 f(−12)=38+b ，f(23)=427+b ，可以判断）38+b =38，b ＝0所以实数b 的值为0（2）任意x ∈[1, e]，都有g(x)≥−x 2+(a +2)x ，g(x)＝a ln x ． a ≤−x 2+2x ln x−x，设T(x)=−x 2+2x ln x−x，x ∈[1, e]T′(X)=(x−1)(x+2−ln x)(ln x−x)2，x ∈[1, e]，x −1≥0，ln x ≤1，x +2−ln x >0，从而t′(x)≥0，t(x)在[1, e]上为增函数． 所以t(x)min ＝t(1)＝−1，所以a ≤−1 【答案】 解：（1）过E 作EM ⊥BC ，垂足为M ，由题意得∠MEF =α， 故有MF =60tan α，EF =60cos α，AE +FC =80−60tan α，∴ W =(80−60tan α)×1+60cos α×2 =80+120cos α−60tan α． （2）W =80−60sin αcos α+120cos α=80−60(sin α−2)cos α．设f(α)=sin α−2cos α，则f′(α)=cos αcos α−(−sin α)(sin α−2)cos 2α=1−2sin αcos 2α．令f ′(α)=0，得1−2sin α=0，即sin α=12，得α=π6． 列表∴ 当α=π6时有f(α)max =−√3， 此时有W min =80+60√3．【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用 根据实际问题选择函数类型 【解析】（1）过E 作EM ⊥BC ，垂足为M ，由题意可得∠MEF =α，则MF =60tan α，EF =60cos α，AE +FC =80−60tan α，进而可得答案； （2））W =80−60sin αcos α+120cos α=80−60(sin α−2)cos α．令f(α)=sin α−2cos α，利用导数可求得f(α)max =−√3，由此可得答案； 【解答】 解：（1）过E 作EM ⊥BC ，垂足为M ，由题意得∠MEF =α， 故有MF =60tan α，EF =60cos α，AE +FC =80−60tan α， ∴ W =(80−60tan α)×1+60cos α×2 =80+120cos α−60tan α． （2）W =80−60sin αcos α+120cos α=80−60(sin α−2)cos α．设f(α)=sin α−2cos α，则f′(α)=cos αcos α−(−sin α)(sin α−2)cos 2α=1−2sin αcos 2α．令f ′(α)=0，得1−2sin α=0，即sin α=12，得α=π6． 列表∴ 当α=π6时有f(α)max =−√3， 此时有W min =80+60√3． 【答案】解：（1）由题意得2c =2，∴ c =1，又2a 2+32b 2=1，a 2=b 2+1． 消去a 可得，2b 4−5b 2−3=0，解得b 2=3或b 2=−12（舍去），则a 2=4， ∴ 椭圆E 的方程为x 24+y 23=1．(2)(I)设P(x 1, y 1)(y 1≠0)，M(2, y 0)，则k 1=y 02，k 2=y 1x 1−2，∵ A ，P ，M 三点共线，∴ y 0=4y 1x 1+2，∴ k 1k 2=y 0y 12(x 1−2)=4y 122(x 12−4)，∵ P(x 1, y 1)在椭圆上，∴y 12=34(4−x 12)，故k 1k 2=4y 122(x 12−4)=−32为定值．(II)直线BP 的斜率为k 2=y 1x 1−2，直线m 的斜率为k m =2−x 1y 1，则直线m 的方程为y −y 0=2−x 1y 1(x −2)，y =2−x 1y 1(x −2)+y 0=2−x 1y 1x −2(2−x 1)y 1+4y 1x 1+2=2−x 1y 1x +2(x 12−4)+4y 12(x 1+2)y 1=2−x 1y 1x +2(x 12−4)+12−3x 12(x 1+2)y 1=2−x 1y 1x +2−x 1y 1=2−x 1y 1(x +1)，即y =2−x 1y 1(x +1)．所以直线m 过定点(−1, 0)．【考点】圆锥曲线的综合问题直线的一般式方程与直线的垂直关系 椭圆的标准方程【解析】（1）利用椭圆的标准方程及参数a ，b ，c 之间的关系即可求出；(2)(I)利用斜率的计算公式、三点共线的斜率性质、点在椭圆上的性质即可证明； (II)利用直线的点斜式及其(I)的有关结论即可证明． 【解答】解：（1）由题意得2c =2，∴ c =1，又2a 2+32b 2=1，a 2=b 2+1．消去a 可得，2b 4−5b 2−3=0，解得b 2=3或b 2=−12（舍去），则a 2=4， ∴ 椭圆E 的方程为x 24+y 23=1．(2)(I)设P(x 1, y 1)(y 1≠0)，M(2, y 0)，则k 1=y 02，k 2=y 1x 1−2，∵ A ，P ，M 三点共线，∴ y 0=4y 1x 1+2，∴ k 1k 2=y 0y 12(x1−2)=4y 122(x 12−4)，∵ P(x 1, y 1)在椭圆上，∴y 12=34(4−x 12)，故k 1k 2=4y 122(x 12−4)=−32为定值．(II)直线BP 的斜率为k 2=y 1x 1−2，直线m 的斜率为k m =2−x 1y 1，则直线m 的方程为y −y 0=2−x 1y 1(x −2)，y =2−x 1y 1(x −2)+y 0=2−x 1y 1x −2(2−x 1)y 1+4y 1x 1+2=2−x 1y 1x +2(x 12−4)+4y 12(x 1+2)y 1=2−x 1y 1x +2(x 12−4)+12−3x 12(x 1+2)y 1=2−x 1y 1x +2−x 1y 1=2−x 1y 1(x +1)，即y =2−x 1y 1(x +1)．所以直线m 过定点(−1, 0)．。
上海市复旦附中高二(下)数学周周练试卷(十三) (含答案)
复旦附中高二数学第二学期周末练习（13）1．已知集合(,3)A =-∞，(2,)B =+∞，则A B = ．2．已知z ∈C 且满足15z =-i ，求z = ． 3．i 是虚数单位，则51-+ii的值为 ．4．已知l ，m 是平面α外的两条不同直线．给出下列三个论断：①l m ⊥；②m α∥；②l α⊥．以其中的两个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出一个正确的命题： ．5．已知向量(1,0,2)a =，(2,1,0)b =，则a 与b 的夹角为 ． 6．已知二项式5(21)x +，则展开式中含2x 项的系数为 ．7．在二项式9)x 的展开式中，系数为有理数的项的个数是 ．8．过24y x =的焦点F 并垂直于x 轴的直线分别与24y x =交于A 、B ，A 在B 上方，M 为抛物线上一点，(2)OM OA OB λλ=+-，则λ= ．9．某三位数密码，每位数字可在0-9数字中选取，其中恰有两位数字相同的概率是 ． 10．甲、乙两队进行篮球决赛，采取七场四胜制（当一队赢得四场胜利时，该队获胜，决赛结束）．根据前期比赛成绩，甲队的主客场安排依次为“主主客客主客主”．设甲队主场取胜的概率为0.6，客场取胜的概率为0.5，且各场比赛结果相互独立，则甲队以4：1获胜的概率是 ．11．若圆柱的一个底面的圆周经过四棱锥四条侧棱的中点，另一个底面的圆心为四棱锥底面的中心，则该圆柱的体积为 ．12．已知一组数据6，7，8，8，9，10，则该组数据的方差是 ． 13．已知直线方程20x y c -+=的一个方向向量d 可以是（ ）A ．(2,1)-B ．(2,1)C ．(1,2)-D ．(1,2)14．设复数z 满足||1z -=i ，z 在复平面内对应的点为(,)x y ，则（ ）A ．22(1)1x y ++=B ．22(1)1x y -+=C ．22(1)1x y +-=D ．22(1)1x y ++=15．一个直角三角形的两条直角边长分别为1和2，将该三角形分别绕其两条直角边旋转得到的两个圆锥的体积的比值为（ ）A ．1B ．2C ．4D ．816．设三棱锥V ABC -的底面是正三角形，侧棱长均相等，P 是棱V A 上的点（不含端点）．记直线PB 与直线AC 所成角为α，直线PB 与平面ABC 所成角为β，二面角P AC B --的平面角为γ，则（ ）A ．βγ<，αγ<B ．βα<，βγ<C ．βα<，γα<D ．αβ<，γβ< 17．设2012(1)n n n x a a x a x a x +=++++，4n ≥，n *∈N ．已知23242a a a =．（1）求n 的值；（2）设(13)3n a b +=+，其中,a b *∈N ，求223a b -的值．18．如图，在长方体1111A BCD A B C D -中，M 为1BB 上一点．已知2BM =，4AD =，3CD =，15A A =．（1）求直线1A C 与平面ABCD 的夹角； （2）求点A 到平面1A M C 的距离．19．如图，直四棱柱1111A BCD A B C D -的底面是菱形，14A A =，2AB =， 60BAD ∠=︒，E ，M ，N 分别是BC ，1BB ，1A D 的中点．（1）证明：MN ∥平面1C DE ； （2）求二面角1A M A N --的正弦值．20．已知椭圆22184x y +=，1F 、2F 为左、右焦点，直线l 过2F 交椭圆于A 、B 两点．（1）若直线l 垂直于x 轴，求||A B ；（2）当190F A B ∠=︒时，A 在x 轴上方时，求A 、B 的坐标；（3）若直线1A F 交y 轴于M ，直线1BF 交y 轴于N ，是否存在直线l ，使得11F A B F M N S S =△△， 若存在，求出直线l 的方程，若不存在，请说明理由．21．若{}n a 是等差数列，公差(0,]d ∈π，数列{}n b 满足：sin()n n b a =，n *∈N ， 记{|,}n S x x b n *==∈N ． （1）设10a =，23d π=，求集合S ； （2）设12a π=，试求d 的值，使得集合S 恰有两个元素； （3）若集合S 恰有三个元素，且n T n b b +=，其中T 为不超过7的正整数，求T 的所有可能值．参考答案1．(2,3) 2．5+i3 4．若①③，则②；若②③，则① 5．2arccos56．40 7．5 8．3 9．27100 10．0.18 11．4π 12．5313．D 14．C 15．B 16．B【第9题解析】方法一（直接法）：概率为2121023310C C C P ⨯⨯=（分子依次表示密码中出现哪两个数字，哪一个数字出现两次以及该数字出现在哪两个位置）；方法二（排除法）：概率为1310103110C P P +=-（排除密码中三个数字都一样或都不一样的情况）．【第10题解析】即求甲队在第5场比赛取胜，且在前4场比赛中有且仅有1场失利（即1场主场失利或1场客场失利），∴所求概率为121222[0.6(10.6)0.50.60.5(10.5)]0.60.18C C ⨯⨯-⨯+⨯⨯⨯-⨯=．【第11题解析】由题意，圆柱的高为四棱锥高的一半，为1；底面圆的半径为四棱锥底面中心到底面顶点的长度的一半，为12；∴圆柱的体积为221124πV πr h π⎛⎫==⋅⋅= ⎪⎝⎭．17．（1）因为0122(1)n n nn n n n x C C x C x C x +=++++，4n ≥，所以22(1)2n n n a C -==，33(1)(2)6n n n n a C --==，44(1)(2)(3)24n n n n n a C ---==． 因为23242a a a =，所以2(1)(2)(1)(1)(2)(3)26224n n n n n n n n n ------⎡⎤=⨯⨯⎢⎥⎣⎦． 解得5n =．（2）由（1）知，5n =．502233445555555(1(1n C C C C C C a +==++++=+．解法一：因为,a b *∈N ，所以0245553976a C C C =++=，1355553944b C C C =++=， 从而222237634432a b -=-⨯=-．解法二：50122334455555555(1(((((C C C C C C =+++++02233445555555C C C C C C =--+-．因为,a b*∈N ，所以5(1a -=-因此225553((1(1(2)32a b a a -=+-=+⨯=-=-．18．在长方体1111A BCD A B C D -中，因为1A A ⊥平面ABCD ，所以AC 为1A C 在平面ABCD 内的射影，故1A CA ∠为直线1A C 与平面ABCD 所成的角．在1Rt A CA △中，5A C ==，15A A =，于是11tan 1A AA CA A C∠==，得14A CA ∠=π．因此，直线1A C 与平面ABCD 所成角的大小为4π； （2）以A 为原点，AB ，A D ，1A A 所在直线分别为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，则(0,0,0)A ，1(0,0,5)A ，(3,4,0)C ，(3,0,2)M ．设向量(,,)n u v w =是平面1A M C 的法向量，则1n CA ⊥，n CM ⊥．因为1(3,4,5)CA =--，(0,4,2)CM =-，10n CA ⋅=，0n CM ⋅=， 所以3450,420u v w v w --+=⎧⎨-+=⎩．取1u =，得平面1A M C 的一个法向量11,,12n ⎛⎫= ⎪⎝⎭．又(3,4,0)A C =，于是点A 到平面1A M C 的距离||103||n A C d n ⋅==． 19．（1）连结1B C ，M E ．因为M ，E 分别为1BB ，BC 的中点， 所以1M E B C ∥，且112M E B C =．又因为N 为1A D 的中点，所以112N D A D =．由题设知11A B DC ∥，可得11B C A D ∥，故M E N D ∥，因此 四边形MEN D 为平行四边形，MN ED ∥．又MN ⊄平面1EDC ， 所以MN ∥平面1C DE ．（2）由已知可得DE DA ⊥．以D 为坐标原点，DA 的方向为x 轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系D xyz -，则(2,0,0)A ，1(2,0,4)A ，3,2)M ，(1,0,2)N ，1(0,0,4)A A =-，1(3,2)A M =--，1(1,0,2)A N =--，(0,3,0)M N =．设(,,)m x y z =为平面1A M A 的法向量，则110,0m A M m A A ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩．所以320,40x y z z ⎧--=⎪⎨-=⎪⎩．可取(3,1,0)m =．设(,,)n p q r =为平面1A M N 的法向量，则10,0n M N n A N ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩．所以30,20q p r ⎧-=⎪⎨--=⎪⎩．可取(2,0,1)n =-．于是2315cos ,||||25m n m n m n ⋅<>===⨯，所以二面角1A M A N --10．20．（1）由题意，2(2,0)F ，直线l 的方程为2x =，代入椭圆Γ的方程，解得2y = 因此，||22A B =（2）设(,)(0)A x y y >，由1(2,0)F -，2(2,0)F ，及190F A B ∠=︒，得A 点坐标满足方程224x y +=．由题意，点A 的坐标为方程组22221,844,x y x y ⎧+=⎪⎨⎪+=⎩的实数解，解得0,2x y =⎧⎨=⎩． 故点A 的坐标为(0,2)． 直线l 的方程为2y x =-+．由题意，点,A B 的坐标为方程组221,842,x y y x ⎧+=⎪⎨⎪=-+⎩的实数解， 可得点B 的坐标为82,33⎛⎫- ⎪⎝⎭；（3）设11(,)A x y ，22(,)B x y ，3(0,)M y ，4(0,)N y ．显然直线l 的方程不为0y =，可设直线l 的方程为2x my =+． 点,A B 的坐标为方程组221,842,x y x my ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩的实数解， 消x ，得22(2)440m y my ++-=，于是12242m y y m -+=+，12242y y m -⋅=+． 又直线1A F 的方程为11(2)2y y x x =++，可得为13122y y x =+，同理24222y y x =+． 由11F A B F M N S S =△△，得121213411||||||||22F F y y F O y y ⋅⋅-=⋅⋅-（O 为坐标原点）．其中121||2||F F F O =，1212342121212228||||22|4()16|y y y y y y x x m y y m y y --=-=+++++，结合韦达定理，代入上式，可解得m =因此，存在直线l，其方程为20x ±-=，使得11F A B F M N S S =△△． 21．（1）()()12113n n a a n d -π=+-=，()()21sin sin 3n n n b a -π⎡⎤==⎢⎥⎣⎦，10b =，2b =3b =40b =，5b =6b =，…，也即320n b -=，3132n b -=，332n b =-，②33,0,22S ⎧⎫⎪⎪=-⎨⎬⎪⎪⎩⎭； （2）②{}n b 的最小正周期为2， 则()()31sin sin sin 212a a d π⎛⎫=⇒+= ⎪⎝⎭，()()2222d k k d k k ππ⇒+=π+∈⇒=π∈Z Z ， 又(]0,d ∈π，②d =π，此时，211n b -=，21n b =-，{}1,1S =-，符合题意； ②{}n b 的最小正周期为3，则()()41sin sin sin 312a a d π⎛⎫=⇒+= ⎪⎝⎭，()()232223k d k k d k πππ⇒+=π+∈⇒=∈Z Z ， 又(]0,d ∈π，②23d π=， 此时，321n b -=，313212n n b b --==-，1,12S ⎧⎫=-⎨⎬⎩⎭，符合题意；综上，23d π=或d =π； （3）显然()37T T *∈N ≤≤由sin sin 22x x ππ⎛⎫⎛⎫-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭以及单位圆的知识可得3T =：只要保证构造的单位圆上三点纵坐标均不相等即可（如图1所示）可构造10a =，23d π=，例子不唯一；4T =：只要保证构造的单位圆上四点纵坐标有且仅有两个相等即可（如图2所示）可构造10a =，2d π=，例子不唯一； 5T =：只要保证构造的单位圆上五点纵坐标有两组分别相等即可（如图3所示）（图1）（图2）可构造13 10aπ=，25dπ=，例子不唯一；6T=：②3T=时的例子仍然符合题意；②只要保证构造的单位圆上六点纵坐标有三组分别相等即可（如图4所示）可构造1a=，3dπ=，例子不唯一；7T=：意味着构造的单位圆上的七点，至少有三个点纵坐标相等，显然不成立；综上，符合题意的T的所有可能的值为3、4、5、6．（图4）（图3）。
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汝城一中下期高二数学周周练（1）
时量:120分钟 总分:150分
一、选择题（每小题5分，共10个小题，满分50分，每小题有且只有一个正
确答案，请将你认为唯一正确的答案选出） 1．已知△ABC 中，a ＝4，b ＝43，∠A ＝30°，则∠B 等于( ) A ．30° B ．30°或150° C ．60°
D ．60°或120°
2．在△ABC 中，sin A :sin B :sin C =3:2:4，则cos C 的值为（ ）
A ．23
B ．－23
C ．14
D ．－14
3．关于x 的方程22
cos cos cos 02
C
x x A B -⋅⋅-=有一个根为1，
则△ABC 一定是（ ）
A. 等腰三角形
B. 直角三角形
C. 锐角三角形
D. 钝角三角形
4．在等差数列｛a n ｝中，已知a 1=2,a 2+a 3=13，则a 4+a 5+a 6等于
A ．40
B ．42
C ．43
D ．45
5. 设{}n a 是等差数列，1359a a a ++=，69a =，则这个数列的前6项和等于（ ）
Ａ．12 Ｂ．24 Ｃ．36 Ｄ．48 6．不等式
x
x --21
3≥1的解集是 ( ) A ．{x|
43≤x ≤2} B ．{x|4
3
≤x ＜2} C ．{x|x ＞2或x ≤4
3
} D ．{x|x ＜2}
7.下列各函数中，最小值为2的是 ( )
A ．y=x ＋x 1
B ．y= sinx ＋x sin 1,x ∈(0,2
π)
C ．y=
2
322++x x D ．2y =
8．a > b > 0, 下列不等式一定成立的是 ( )
A ．a +
b b a 11+> B ．b
c a c < C ．b a b a b a >++22 D ．b
a a
b ab b a +>
>+22 9.设,z x y =-式中变量x 和y 满足条件30,
0,
x y x y +-≥⎧⎨
-≥⎩则z 的最小值为( )
A ．0
B ．-1
C ．3
D ．-3
10． 在等比数列{}n a 中,12a =,前n 项和为n S ,若数列{}1n a +也是等比数列,则n S 等于
A ．122n +-
B ．3n
C ．2n
D ．31n -
二、填空题(本大题共5小题，每小题5分，共25分)
11. 数列11{},5,3,n n n a a a a ==＋中＋那么这个数列的通项公式是 . 12.
111122334+++
⨯⨯⨯……1(1)
n n +=+________________. 13. 0)2(2
2
=-+y x 是0)2(=-y x 的____________________条件. 14.△ABC 的三个角A<B<C,且2B=A+C,最大边为最小边的2倍,则三内角之比为____________.
15. 已知+
∈R y x ,，且32=+y x ，求
2
1
121+++y x 的最小值为__________． 三.解答题（本题共6个小题，共75分，要求写出必要的文字说明、推理过程和演算步骤）
16．（本小题满分12分）
设2z x y =+，其中变量x,y 满足条件43,
3525,1.x y x y x -≤-⎧⎪
+≤⎨⎪≥⎩
求z 的最大值和最小值。
17．（本小题满分12分）
如图，ACD △是等边三角形，ABC △是等腰直角三角形，90ACB =∠，BD 交AC 于
E ，2AB =．
（Ⅰ）求cos CAE ∠的值； （Ⅱ）求AE ．
18．（本小题满分12分）
已知函数t m x f x
+⋅=2)(的图象经过点A （1，1），B （2，3）及C （),n S n ，n S 为数列
{}n a 的前n 项和．
（１）求n S 和n a ；
（２）若数列{}n C 满足n na C n n -=6，求数列{}n C 的前n 项和n T ； 19．（本小题满分12分）
设ABC △的内角A B C ，，所对的边长分别为a b c ，，，且3cos cos 5
a B
b A
c -=． （1）求tan cot A B 的值； （2）求tan()A B -的最大值．
B A
C
D
E
20．（本小题满分13分）
如图，甲船以每小时302海里的速度向正北方航行，乙船按固定方向匀速直线航行，当甲
船位于
1
A 处时，乙船位于甲船的北偏西
105
方向的
1
B
处，此时两船相距20海里，当甲船航行20分钟到达2A处时，乙船航行到甲船的北偏西120方向的2B
处，此时两船相距102海里，问乙船每小时航行多少海里？
21．（本小题满分14分）
设p q
，为实数，αβ
，是方程20
x px q
-+=的两个实根，数列{}
n
x满足
1
x p
=，
2
2
x p q
=-，
12
n n n
x px qx
--
=-（34
n=，，…）．
（1）证明：p
αβ
+=，q
αβ=；
（2）求数列{}
n
x的通项公式；
（3）若1
p=，
1
4
q=，求{}
n
x的前n项和
n
S．
北
105°
甲
乙
105
120。