2018版数学-第5章第三讲 平面向量的数量积及向量的应用
【课时讲义】6.2.4 向量的数量积 第1课时导学案及课时讲义必修第二册第六章平面向量及其应用
6．2.4 向量的数量积 导学案及课时讲义第1课时 向量数量积的定义及性质知识点一 向量夹角的概念1.已知|a |＝|b |＝3，且a 与b 的夹角为80°，则a ＋b 与a －b 的夹角是________．2．在Rt △ABC 中，∠ABC ＝90°，|AB →|＝3，|CB →|＝1，则AC →与CB →的夹角θ＝________.知识点二 平面向量数量积的定义3.若向量a ，b 满足|a |＝|b |＝1，a 与b 的夹角为60°，则a ·b 等于( ) A.12 B.32 C ．1＋32D ．2 4．已知A ，B 是圆心为C ，半径为5的圆上两点，且AB ＝5，则AC →·CB →等于( )A ．－52 B.52 C ．2 D.532知识点三 投影向量5.已知等边三角形ABC 的边长为2，则向量AB →在向量CA →方向上的投影向量为( )A ．－12CA →B.12CA → C ．2AC →D ．2CA →6．若|a |＝2，|b |＝4，向量a 与向量b 的夹角为120°，记向量a 在向量b 方向上的投影向量为γ，则|γ|＝( )A ．4B ．3C ．2D ．17．已知|a |＝4，e 为单位向量，a 与e 的夹角为2π3，则e 在a 方向上的投影向量的模为________．知识点四 平面向量数量积的性质 8.给出以下结论：①0·a ＝0；②a ·b ＝b ·a ；③a 2＝|a |2；④(a ·b )c ＝a (b ·c )；⑤|a ·b |≤a ·b .其中正确结论的个数为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．49．若|a |＝1，|b |＝2，则|a ·b |的值不可能是( ) A ．0 B.12C ．2D ．310．在△ABC 中，M 是BC 的中点，AM ＝3，点P 在AM 上，且满足AP →＝2PM →，求PA →·(PB →＋PC →)的值．知识点五 平面向量数量积的应用11.已知a ·b ＝－122，|a |＝4，a 与b 的夹角为135°，则|b |＝( ) A ．12 B ．3 C ．6 D ．3 312．已知|a |＝2，|b |＝3，且a·b ＝－3，则〈a ，b 〉＝( ) A.π6 B.2π3 C.3π4 D.5π613．已知a ，b 是两个非零向量，若|a |＝3，|b |＝4，|a ·b |＝6，求a 与b 的夹角．14．已知非零向量a ，b ，c 满足a ＋b ＋c ＝0，向量a ，b 的夹角为120°，且|b |＝2|a |，则向量b 与c 的夹角为________．易错分析 本题出错的原因是确定向量夹角时未考察向量的方向，简单认为角B 即为向量b 与c 的夹角．一、选择题1．已知|a |＝4，|b |＝2，当a ，b 的夹角为π3时，a ·b ＝( )A ．4 3B ．4C ．8 3D ．82．向量a 的模为10，它与向量b 的夹角为150°，则它在b 方向上的投影向量的模为( )A ．－5 3B ．5C ．－5D ．5 33．在四边形ABCD 中，AB →＝DC →，且AC →·BD →＝0，则四边形ABCD 是( ) A ．矩形 B ．菱形 C ．直角梯形D ．等腰梯形4．已知|a |＝2|b |≠0，且关于x 的方程x 2＋|a |x ＋a ·b ＝0有实根，则a 与b 的夹角的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π6B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，π C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，2π3D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π 5．(多选)已知等腰直角三角形ABC 中，C ＝90°，且S △ABC ＝1，则下列结论正确的是( )A.AC →·BC →＝0B.AB →·AC →＝2 C.AB →·BC →＝2 D ．|AB →|cos B ＝|BC →| 二、填空题6．若|a |＝2，b ＝－2a ，则a ·b ＝________.7．已知e 为一单位向量，a 与e 之间的夹角是120°，而a 在e 方向上的投影向量的模长为2，则|a |＝________.8. 如图所示，已知圆O 为△ABC 的外接圆，AB ＝6，BC ＝7，CA ＝8，则OA →·AB →＋OB →·BC →＋OC →·CA →＝________.三、解答题9．(1)已知|a |＝3，|b |＝6，当①a ∥b ，②a ⊥b ，③a 与b 的夹角是60°时，分别求a ·b ；(2)在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝5，AC ＝4，求AB →·BC →. 10. 如图，在△OAB 中，P 为线段AB 上一点，则OP →＝xOA →＋yOB →.(1)若AP →＝PB →，求x ，y 的值；(2)若AP →＝3PB →，|OA →|＝4，|OB →|＝2，且OA →与OB →的夹角为60°，求OP →·AB →的值．6．2.4 向量的数量积第1课时 向量数量积的定义及性质 解析版知识点一 向量夹角的概念1.已知|a |＝|b |＝3，且a 与b 的夹角为80°，则a ＋b 与a －b 的夹角是________．答案 90°解析 如图，作向量OA →＝a ，OB →＝b ，以OA ，OB 为邻边作平行四边形，则四边形OACB 为菱形．∵OC →＝a ＋b ，BA →＝OA →－OB →＝a －b ，OC →⊥BA →，∴a ＋b 与a －b 的夹角为90°.2．在Rt △ABC 中，∠ABC ＝90°，|AB →|＝3，|CB →|＝1，则AC →与CB →的夹角θ＝________.答案 120°解析 在Rt △ABC 中，∠ABC ＝90°，AB ＝3，CB ＝1，所以tan ∠ACB ＝ABCB ＝3，所以∠ACB ＝60°，即CB →与CA →的夹角为60°，所以AC →与CB →的夹角为120°.知识点二 平面向量数量积的定义3.若向量a ，b 满足|a |＝|b |＝1，a 与b 的夹角为60°，则a ·b 等于( ) A.12 B.32 C ．1＋32 D ．2 答案 A解析 a ·b ＝|a ||b |cos60°＝1×1×12＝12.4．已知A ，B 是圆心为C ，半径为5的圆上两点，且AB ＝5，则AC →·CB →等于( )A ．－52 B.52 C ．2 D.532答案 A解析 因为AB ＝5，所以三角形ABC 为等边三角形，所以AC →·CB →＝|AC →||CB →|cos120°＝5×5×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－52.知识点三 投影向量5.已知等边三角形ABC 的边长为2，则向量AB →在向量CA →方向上的投影向量为( )A ．－12CA →B.12CA →C ．2AC →D ．2CA →答案 A解析 在等边三角形ABC 中，∵∠A ＝60°，∴向量AB →在向量AC →方向上的投影向量为12AC →，∴向量AB →在向量CA →方向上的投影向量为－12CA →.故选A.6．若|a |＝2，|b |＝4，向量a 与向量b 的夹角为120°，记向量a 在向量b 方向上的投影向量为γ，则|γ|＝( )A ．4B ．3C ．2D ．1 答案 D解析 设向量a 与向量b 的夹角为θ，与b 方向相同的单位向量为e ，则a 在b 方向上的投影向量γ＝|a |cos θ·e ，则|γ|＝||a |cos θ|＝|2×cos120°|＝1，故选D.7．已知|a |＝4，e 为单位向量，a 与e 的夹角为2π3，则e 在a 方向上的投影向量的模为________．答案12解析 ∵a 与e 的夹角θ＝2π3，∴e 在a 方向上的投影向量的模为||e |cos θ|＝12. 知识点四 平面向量数量积的性质 8.给出以下结论：①0·a ＝0；②a ·b ＝b ·a ；③a 2＝|a |2；④(a ·b )c ＝a (b ·c )；⑤|a ·b |≤a ·b .其中正确结论的个数为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 答案 C解析 ①②③显然正确；(a ·b )c 与c 共线，而a (b ·c )与a 共线，故④错误；|a ·b |＝|a ||b ||cos θ|，a·b ＝|a ||b |cos θ，有|a ·b |≥a ·b ，故⑤错误．9．若|a |＝1，|b |＝2，则|a ·b |的值不可能是( ) A ．0 B.12 C ．2 D ．3答案 D解析 由向量内积性质知|a ·b |≤|a ||b |＝2.故选D.10．在△ABC 中，M 是BC 的中点，AM ＝3，点P 在AM 上，且满足AP →＝2PM →，求PA →·(PB →＋PC →)的值．解 如图，由AM ＝3，且AP →＝2PM →，可知|AP →|＝2. ∵M 为BC 的中点， ∴PB →＋PC →＝2PM →＝AP →， ∴PA →·(PB →＋PC →)＝PA →·AP → ＝－PA →2＝－|PA →|2＝－4.知识点五 平面向量数量积的应用11.已知a ·b ＝－122，|a |＝4，a 与b 的夹角为135°，则|b |＝( ) A ．12 B ．3 C ．6 D ．3 3 答案 C解析 a ·b ＝|a ||b |cos135°＝－122，又|a |＝4，解得|b |＝6. 12．已知|a |＝2，|b |＝3，且a·b ＝－3，则〈a ，b 〉＝( ) A.π6 B.2π3 C.3π4 D.5π6 答案 D解析 因为|a |＝2，|b |＝3，且a·b ＝－3，所以cos 〈a ，b 〉＝a·b|a ||b |＝－32.又〈a ，b 〉∈[0，π]，所以〈a ，b 〉＝5π6. 13．已知a ，b 是两个非零向量，若|a |＝3，|b |＝4，|a ·b |＝6，求a 与b 的夹角．解 ∵a ·b ＝|a ||b |cos 〈a ，b 〉，∴|a ·b |＝||a ||b |cos 〈a ，b 〉|＝|a ||b ||cos 〈a ，b 〉|＝6. 又|a |＝3，|b |＝4，∴|cos 〈a ，b 〉|＝6|a ||b |＝63×4＝12，∴cos 〈a ，b 〉＝±12.∵〈a ，b 〉∈[0，π]，∴a 与b 的夹角为π3或2π3.课时易错点易错点 求夹角时忽略向量的方向致误14．已知非零向量a ，b ，c 满足a ＋b ＋c ＝0，向量a ，b 的夹角为120°，且|b |＝2|a |，则向量b 与c 的夹角为________．易错分析 本题出错的原因是确定向量夹角时未考察向量的方向，简单认为角B 即为向量b 与c 的夹角．答案 150°正解 由题意画出图形，如图，因为a ，b 的夹角为120°， 所以∠CAB ＝60°，又|b |＝2|a |，所以∠ACB ＝90°，所以∠ABC ＝30°，则b 与c 的夹角为150°.一、选择题1．已知|a |＝4，|b |＝2，当a ，b 的夹角为π3时，a ·b ＝( )A ．4 3B ．4C ．8 3D ．8 答案 B解析 根据向量数量积的定义得a·b ＝|a ||b |cos 〈a ，b 〉＝4×2×cos π3＝4.2．向量a 的模为10，它与向量b 的夹角为150°，则它在b 方向上的投影向量的模为( )A ．－5 3B ．5C ．－5D ．5 3 答案 D解析 a 在b 方向上的投影向量的模为||a |cos150°|＝5 3.3．在四边形ABCD 中，AB →＝DC →，且AC →·BD →＝0，则四边形ABCD 是( ) A ．矩形 B ．菱形 C ．直角梯形 D ．等腰梯形答案 B解析 由AB →＝DC →得四边形ABCD 中一组对边平行且相等，由AC →·BD →＝0得两条对角线互相垂直，所以四边形ABCD 为菱形．4．已知|a |＝2|b |≠0，且关于x 的方程x 2＋|a |x ＋a ·b ＝0有实根，则a 与b 的夹角的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π6B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，π C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，2π3D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π 答案 B解析 设a 与b 的夹角为θ，由题意可得，Δ＝|a |2－4a ·b ≥0，∵|a |＝2|b |，∴cos θ≤12，又θ∈[0，π]，∴θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，π.故选B.5．(多选)已知等腰直角三角形ABC 中，C ＝90°，且S △ABC ＝1，则下列结论正确的是( )A.AC →·BC →＝0 B.AB →·AC →＝2 C.AB →·BC →＝2 D ．|AB →|cos B ＝|BC →| 答案 ABD解析 在等腰直角三角形ABC 中，C ＝90°，面积为1，则12AC 2＝1，得AC ＝2，得AB ＝2，所以AC →·BC →＝0，A 正确；AB →·AC →＝|AB →|·|AC →|cos45°＝2，B 正确；AB →·BC →＝|AB →||BC →|cos135°＝－2，C 不正确；向量BA →在BC →上投影的数量为|BC →|，即|AB →|·cos B ＝|BC →|，D 正确．故选ABD.二、填空题6．若|a |＝2，b ＝－2a ，则a ·b ＝________. 答案 －8解析 |b |＝2|a |＝4，且b 与a 反向，∴〈a ，b 〉＝180°. ∴a ·b ＝|a |·|b |cos180°＝2×4×(－1)＝－8.7．已知e 为一单位向量，a 与e 之间的夹角是120°，而a 在e 方向上的投影向量的模长为2，则|a |＝________.答案 4解析 因为||a |cos 120°|＝2，所以12|a |＝2，所以|a |＝4.8. 如图所示，已知圆O 为△ABC 的外接圆，AB ＝6，BC ＝7，CA ＝8，则OA →·AB →＋OB →·BC →＋OC →·CA →＝________.答案 －1492解析 OA →·AB →＝|OA →||AB →|cos(180°－∠BAO )，∵|OA →|cos(180°－∠BAO )＝－|OA →|cos ∠BAO ＝－12|AB →|，∴OA →·AB →＝－12·|AB →|2，同理，OB →·BC →＝－12|BC →|2，OC →·CA →＝－12|CA →|2，∴OA →·AB →＋OB →·BC →＋OC →·CA →＝－12×(62＋72＋82)＝－1492. 三、解答题9．(1)已知|a |＝3，|b |＝6，当①a ∥b ，②a ⊥b ，③a 与b 的夹角是60°时，分别求a ·b ；(2)在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝5，AC ＝4，求AB →·BC →.解 (1)①当a ∥b 时，若a 与b 同向，则它们的夹角θ＝0°，∴a ·b ＝|a ||b |cos0°＝3×6×1＝18.若a 与b 反向，则它们的夹角θ＝180°，∴a ·b ＝|a ||b |cos180°＝3×6×(－1)＝－18.②当a ⊥b 时，它们的夹角θ＝90°，∴a ·b ＝0.③当a 与b 的夹角是60°时，有a ·b ＝|a ||b |cos60°＝3×6×12＝9. (2)在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝5，AC ＝4，故BC ＝3，且cos ∠ABC ＝35， AB →与BC →的夹角θ＝180°－∠ABC ，∴AB →·BC →＝－|AB →||BC →|cos ∠ABC ＝－5×3×35＝－9. 10. 如图，在△OAB 中，P 为线段AB 上一点，则OP →＝xOA →＋yOB →.(1)若AP →＝PB →，求x ，y 的值；(2)若AP →＝3PB →，|OA →|＝4，|OB →|＝2，且OA →与OB →的夹角为60°，求OP →·AB →的值．解 (1)若AP →＝PB →，则OP →＝12OA →＋12OB →， 故x ＝y ＝12. (2)因为|OA →|＝4，|OB →|＝2，∠BOA ＝60°，所以∠OBA ＝90°，所以|AB →|＝2 3.又因为AP →＝3PB →，所以|PB →|＝32. 所以|OP →|＝22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫322＝192，cos ∠OPB ＝5719， 所以OP →与AB →的夹角θ的余弦值为－5719. 所以OP →·AB →＝|OP →||AB →|cos θ＝－3.。
备考2025届高考数学一轮复习强化训练第六章平面向量复数第3讲平面向量的数量积及应用极化恒等式
极化恒等式例6 （1）[2024北京高考]在△ABC 中，AC ＝3，BC ＝4，∠C ＝90°.P 为△ABC 所在平面内的动点，且PC ＝1，则PA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·PB ⃗⃗⃗⃗⃗ 的取值范围是（ D ） A.[－5， 3]B.[－3，5]C.[－6，4]D.[－4，6]解析 解法一（极化恒等式） 设AB 的中点为M ，CM⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 与CP ⃗⃗⃗⃗⃗ 的夹角为θ，由极化恒等式得PA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·PB ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2－14AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 2＝（CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ －CP ⃗⃗⃗⃗⃗ ）2－254＝CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2＋CP ⃗⃗⃗⃗⃗ 2－2CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·CP ⃗⃗⃗⃗⃗ cos θ－254＝254＋1－5cos θ－254＝1－5cos θ，因为cos θ∈[－1，1]，所以PA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·PB⃗⃗⃗⃗⃗ ∈[－4，6]. 解法二 以C 为坐标原点，CA ，CB 所在直线分别为x 轴，y 轴建立平面直角坐标系，则 A （3，0），B （0，4），设P （x ，y ），则x 2＋y 2＝1，PA⃗⃗⃗⃗⃗ ＝（3－x ，－y ），PB ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝ （－x ，4－y ），所以PA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·PB ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝x 2－3x ＋y 2－4y ＝（x －32）2＋（y －2）2－254，又（x －32）2＋（y －2）2表示圆x 2＋y 2＝1上一点到点（32，2）距离的平方，圆心（0，0）到点（32，2）的距离为52，所以PA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·PB ⃗⃗⃗⃗⃗ ∈[（52－1）2－254，（52＋1）2－254]，即PA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·PB⃗⃗⃗⃗⃗ ∈[－4，6]，故选D. 解法三 以C 为坐标原点，CA ，CB 所在直线分别为x 轴，y 轴建立平面直角坐标系，则 A （3，0），B （0，4），因为PC ＝1，所以P 在以（0，0）为圆心，1为半径的圆上，所以设点P 坐标为（cos α，sin α），则PA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·PB ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝（3－cos α，－sin α）·（－cos α，4－sin α）＝1－3cos α－4sin α＝1－5sin （α＋φ）（其中tan φ＝34）.因为sin （α＋φ）∈[－1，1]，所以PA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·PB⃗⃗⃗⃗⃗ ∈[－4，6]. （2）[全国卷Ⅱ]已知△ABC 是边长为2的等边三角形，P 为平面ABC 内一点，则PA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·（PB ⃗⃗⃗⃗⃗ ＋PC ⃗⃗⃗⃗⃗ ）的最小值是（ B ） A.－2B.－32C.－43D.－1解析 解法一 如图，取BC 的中点D ，则PB ⃗⃗⃗⃗⃗ ＋PC ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝2PD ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则PA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·（PB ⃗⃗⃗⃗⃗ ＋PC ⃗⃗⃗⃗⃗ ）＝2PA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·PD ⃗⃗⃗⃗⃗ .在△PAD 中，取AD 的中点O ，则2PA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·PD⃗⃗⃗⃗⃗ ＝2｜PO ⃗⃗⃗⃗⃗ ｜2－12｜AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ｜2＝2｜PO⃗⃗⃗⃗⃗ ｜2－32. 由于点P 在平面内是随意的，因此当且仅当点P ，O 重合时，｜PO ⃗⃗⃗⃗⃗ ｜取得最小值，即2PA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·PD ⃗⃗⃗⃗⃗ 取得最小值－32.故选B. 解法二 如图，以等边三角形ABC 的底边BC 的中点O 为坐标原点，BC 所在直线为x 轴，BC 的垂直平分线为y 轴建立平面直角坐标系，则A （0，√3），B （－1，0），C （1，0）.设P （x ，y ），则PA⃗⃗⃗⃗⃗ ＝（－x ，√3－y ），PB ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝（－1－x ，－y ），PC ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝（1－x ，－y ），所以PA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·（PB ⃗⃗⃗⃗⃗ ＋PC ⃗⃗⃗⃗⃗ ）＝（－x ，√3－y ）·（－2x ，－2y ）＝2x 2＋2（y －√32）2－32，易知当x ＝0，y ＝√32时，PA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·（PB ⃗⃗⃗⃗⃗ ＋PC ⃗⃗⃗⃗⃗ ）取得最小值，最小值为－32.故选B.方法技巧极化恒等式：a ·b ＝14[（a ＋b ）2－（a －b ）2].几何意义：向量a ，b 的数量积等于以这组向量所对应的线段为邻边的平行四边形的“和对角线长”与“差对角线长”的平方差的14.应用：（1）在▱ABCD 中，O 为AC ，BD 的交点，则有AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝14（4｜AO ⃗⃗⃗⃗⃗ ｜2－4｜OB ⃗⃗⃗⃗⃗ ｜2）＝｜AO⃗⃗⃗⃗⃗ ｜2－｜OB ⃗⃗⃗⃗⃗ ｜2. （2）如图，在△ABC 中，若M 是BC 的中点，则AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2－14BC⃗⃗⃗⃗⃗ 2. 训练4 [2024山东青岛二中5月模拟]如图，在四边形ABCD 中，∠B ＝60°，AB ＝3，BC ＝6，且AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝λBC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AB⃗⃗⃗⃗⃗ ＝－32，则实数λ的值为 16，若M ，N 是线段BC 上的动点，且 ｜MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ｜＝1，则DM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·DN⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的最小值为 132.解析 依题意得AD ∥BC ，∠BAD ＝120°，由AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝｜AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ｜·｜AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ｜·cos ∠BAD ＝ －32｜AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ｜＝－32，得｜AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ｜＝1，因此λ＝｜AD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ｜｜BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ｜＝16.取MN 的中点E ，连接DE ，则DM⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ＋DN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ＝2DE ⃗⃗⃗⃗⃗ ，DM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·DN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ＝14[（DM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ＋DN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ）2－（DM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ －DN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ）2]＝DE ⃗⃗⃗⃗⃗ 2－14NM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2＝DE ⃗⃗⃗⃗⃗ 2－14.留意到线段MN 在线段BC 上运动时，DE 的最小值等于点D 到直线BC 的距离，即AB ·sin B ＝3√32，因此DE ⃗⃗⃗⃗⃗ 2－14的最小值为（3√32）2－14＝132，即DM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·DN⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的最小值为132.思维帮·提升思维 快速解题三角形“四心”的向量表示与运用角度1 垂心的向量表示与运用例7 [2024山西朔州模拟]已知H 为△ABC 的垂心，若AH⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ＝13AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ＋25AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则sin ∠BAC ＝ √63.解析 如图，连接BH ，CH ，因为AH ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ＝13AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ＋25AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，所以BH ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ＝BA⃗⃗⃗⃗⃗ ＋AH ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ＝ －23AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ＋25AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，CH ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝CA ⃗⃗⃗⃗⃗ ＋AH ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ＝13AB ⃗⃗⃗⃗⃗ －35AC ⃗⃗⃗⃗⃗ .由H 为△ABC 的垂心，得BH ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝0，即（－23AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ＋25AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ）·AC⃗⃗⃗⃗⃗ ＝0，可知25｜AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ｜2＝23｜AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ｜·｜AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ｜cos ∠BAC ，即cos ∠BAC ＝3｜AC⃗⃗⃗⃗⃗ ｜5｜AB⃗⃗⃗⃗⃗ ｜ ①，同理有CH ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝0，即（13AB ⃗⃗⃗⃗⃗ －35AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ）·AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝0，可知13｜AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ｜2＝35｜AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ｜｜AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ｜cos ∠BAC ，即cos ∠BAC ＝5｜AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ｜9｜AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ｜②，①×②得cos 2∠BAC ＝13，得sin 2∠BAC ＝1－cos 2∠BAC ＝1－13＝23，又sin ∠BAC ＞0，所以sin ∠BAC ＝√63. 方法技巧1.垂心的定义：三角形三条高的交点称为该三角形的垂心.2.垂心的性质：设O 是△ABC 的垂心，P 为△ABC 所在平面内随意一点，则有（1）OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·OB ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝OB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ·OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ；（2）｜OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ｜2＋｜BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ｜2＝｜OB ⃗⃗⃗⃗⃗ ｜2＋｜CA ⃗⃗⃗⃗⃗ ｜2＝｜OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ｜2＋｜AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ｜2； （3）动点P 满意AP⃗⃗⃗⃗⃗ ＝λ（AB⃗⃗⃗⃗⃗ ｜AB⃗⃗⃗⃗⃗ ｜cos∠ABC ＋AC⃗⃗⃗⃗⃗ ｜AC⃗⃗⃗⃗⃗ ｜cos∠ACB ）或OP⃗⃗⃗⃗⃗ ＝OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ＋λ（AB⃗⃗⃗⃗⃗ ｜AB⃗⃗⃗⃗⃗ ｜cos∠ABC ＋AC⃗⃗⃗⃗⃗ ｜AC⃗⃗⃗⃗⃗ ｜cos∠ACB ），λ∈R 时，动点P 的轨迹经过△ABC 的垂心.角度2 重心的向量表示与运用例8 [2024广州一中诊断]如图，已知点G 是△ABC 的重心，过G 作直线与AB ，AC 分别交于M ，N 两点，AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ＝x AB⃗⃗⃗⃗⃗ ，AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ＝y AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则xy x ＋y＝ 13 .解析 由M ，G ，N 三点共线得，存在实数λ使得AG ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝λAM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ＋（1－λ）AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ＝x λAB ⃗⃗⃗⃗⃗ ＋y （1－λ）AC⃗⃗⃗⃗⃗ ，且0＜λ＜1. 因为G 是△ABC 的重心，所以AG ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝13（AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ＋AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ），所以{xλ＝13，y （1－λ）＝13，则{x ＝13λ，y ＝13（1－λ），故xy ＝19λ（1－λ），x ＋y ＝13λ（1－λ），则xy x ＋y ＝19λ（1－λ）×3λ（1－λ）＝13.方法技巧1.重心的定义：三角形三条中线的交点称为该三角形的重心.2.重心的性质：设O 是△ABC 的重心，P 为平面内随意一点，则有（1）OA⃗⃗⃗⃗⃗ ＋OB ⃗⃗⃗⃗⃗ ＋OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝0；（2）PO⃗⃗⃗⃗⃗ ＝13（PA ⃗⃗⃗⃗⃗ ＋PB ⃗⃗⃗⃗⃗ ＋PC ⃗⃗⃗⃗⃗ ）；（3）动点P 满意AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝λ（AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ＋AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ）或OP ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ＋ λ（AB⃗⃗⃗⃗⃗ ＋AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ），λ∈[0，＋∞）时，动点P 的轨迹经过△ABC 的重心. 角度3 外心的向量表示与运用例9 [2024湖北荆门模拟]已知点O 为△ABC 所在平面内一点，在△ABC 中，满意2AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AO ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝｜AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ｜2，2AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AO ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝｜AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ｜2，则点O 为该三角形的（ B ） A.内心B.外心C.垂心D.重心解析 因为2AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AO⃗⃗⃗⃗⃗ ＝2｜AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ｜｜AO ⃗⃗⃗⃗⃗ ｜cos ∠OAB ＝｜AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ｜2，所以｜AO ⃗⃗⃗⃗⃗ ｜cos ∠OAB ＝ 12｜AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ｜，则向量AO ⃗⃗⃗⃗⃗ 在向量AB⃗⃗⃗⃗⃗ 上的投影向量的长度为｜AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ｜的一半，所以点O 在边AB 的中垂线上，同理，点O 在边AC 的中垂线上，所以点O 为该三角形的外心，故选B. 方法技巧1.外心的定义：三角形三边垂直平分线的交点称为该三角形的外心.2.外心的性质：若O 是△ABC 的外心，则有（1）｜OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ｜＝｜OB ⃗⃗⃗⃗⃗ ｜＝｜OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ｜； （2）（OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ＋OB ⃗⃗⃗⃗⃗ ）·AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝（OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ＋OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ）·AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝（OB ⃗⃗⃗⃗⃗ ＋OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ）·BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝0. 角度4 内心的向量表示与运用例10 [2024四川南充阶段测试]已知O 是△ABC 所在平面内一点，且点O 满意OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·（AB⃗⃗⃗⃗⃗ ｜AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ｜－AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ｜AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ｜）＝OB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·（BA ⃗⃗⃗⃗⃗ ｜BA ⃗⃗⃗⃗⃗ ｜－BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ｜BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ｜）＝OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ·（CA ⃗⃗⃗⃗⃗ ｜CA ⃗⃗⃗⃗⃗ ｜－CB⃗⃗⃗⃗⃗ ｜CB ⃗⃗⃗⃗⃗ ｜）＝0，则点O 为△ABC 的（ C ） A.外心 B.重心C.内心D.垂心解析 解法一AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ｜AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ｜，AC⃗⃗⃗⃗⃗ ｜AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ｜分别是与AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 方向相同的单位向量，可令AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ｜AB⃗⃗⃗⃗⃗ ｜＝AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ，AC⃗⃗⃗⃗⃗ ｜AC⃗⃗⃗⃗⃗ ｜＝AE ⃗⃗⃗⃗⃗ ，连接ED ，则△ADE 为腰长是1的等腰三角形，AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ｜AB⃗⃗⃗⃗⃗ ｜－AC⃗⃗⃗⃗⃗ ｜AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ｜＝ED ⃗⃗⃗⃗⃗ ，所以OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·ED ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝0，所以AO 为∠CAB 的平分线，同理BO 为∠ABC 的平分线，CO 为∠ACB 的平分线，所以O 为△ABC 的内心.故选C. 解法二 OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·（AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ｜AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ｜－AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ｜AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ｜）＝0，即OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ｜AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ｜＝OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ｜AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ｜，即｜OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ｜·｜AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ｜｜AB⃗⃗⃗⃗⃗ ｜cos （π－∠OAB ）＝｜OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ｜·｜AC ⃗⃗⃗⃗⃗｜｜AC ⃗⃗⃗⃗⃗｜·cos （π－∠OAC ），所以∠OAB ＝∠OAC ，即AO 是∠BAC 的平分线，同理可得BO 为∠ABC 的平分线，CO 为∠ACB 的平分线，所以O 为△ABC 的内心. 方法技巧1.内心的定义：三角形三条内角平分线的交点称为该三角形的内心.2.内心的性质：若O 是△ABC 的内心，P 为平面内随意一点，则有（1）a OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ＋b OB ⃗⃗⃗⃗⃗ ＋c OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝0（a ，b ，c 分别是△ABC 的三边BC ，AC ，AB 的长）；（2）动点P 满意AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝λ（AB⃗⃗⃗⃗⃗ ｜AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ｜＋AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ｜AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ｜）或OP ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ＋λ（AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ｜AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ｜＋AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ｜AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ｜），λ∈[0，＋∞）时，动点P 的轨迹经过△ABC 的内心.训练5 （1）[2024长春模拟]点O 是平面α上确定点，点P 是平面α上一动点，A ，B ，C 是平面α上△ABC 的三个顶点（点O ，P ，A ，B ，C 均不重合），以下命题正确的是 ①②③④ .①动点P 满意OP ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ＋PB ⃗⃗⃗⃗⃗ ＋PC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则△ABC 的重心确定在满意条件的P 点的集合中； ②动点P 满意OP ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ＋λ（AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ｜AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ｜＋AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ｜AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ｜）（λ＞0），则△ABC 的内心确定在满意条件的P 点的集合中；③动点P 满意OP ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ＋λ（AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ｜AB⃗⃗⃗⃗⃗ ｜sinB ＋AC⃗⃗⃗⃗⃗ ｜AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ｜sinC ）（λ＞0），则△ABC 的重心确定在满意条件的P 点的集合中；④动点P 满意OP⃗⃗⃗⃗⃗ ＝OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ＋λ（AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ｜AB⃗⃗⃗⃗⃗ ｜cosB ＋AC⃗⃗⃗⃗⃗ ｜AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ｜cosC ） （λ∈R ），则△ABC 的垂心确定在满意条件的P 点的集合中.解析 对于①，OP ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ＋PB ⃗⃗⃗⃗⃗ ＋PC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，移项得－OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ＋OP ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝PB ⃗⃗⃗⃗⃗ ＋PC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，即PA ⃗⃗⃗⃗⃗ ＋PB ⃗⃗⃗⃗⃗ ＋PC ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝0，则点P 是△ABC 的重心，故①正确. 对于②，因为动点P 满意OP⃗⃗⃗⃗⃗ ＝OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ＋λ（AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ｜AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ｜＋AC⃗⃗⃗⃗⃗ ｜AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ｜）（λ＞0），移项得AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝λ（AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ｜AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ｜＋AC⃗⃗⃗⃗⃗ ｜AC⃗⃗⃗⃗⃗ ｜）（λ＞0），所以AP ⃗⃗⃗⃗⃗ 与∠BAC 的平分线对应的向量共线，所以P 在∠BAC 的平分线上，所以△ABC 的内心在满意条件的P 点的集合中，②正确. 对于③，OP⃗⃗⃗⃗⃗ ＝OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ＋λ（AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ｜AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ｜sinB ＋AC⃗⃗⃗⃗⃗ ｜AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ｜sinC ）（λ＞0），即AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝λ（AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ｜AB⃗⃗⃗⃗⃗ ｜sinB ＋AC⃗⃗⃗⃗⃗ ｜AC⃗⃗⃗⃗⃗ ｜sinC ），过点A 作AD ⊥BC ，垂足为D ，则｜AB⃗⃗⃗⃗⃗ ｜sin B ＝｜AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ｜sin C ＝AD ，AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝λAD（AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ＋AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ），设M 为BC 的中点，则AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ＋AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝2AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，则AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝2λAD AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，所以P 在BC 的中线上，所以△ABC 的重心确定在满意条件的P 点的集合中，③正确. 对于④，OP⃗⃗⃗⃗⃗ ＝OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ＋λ（AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ｜AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ｜cosB ＋AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ｜AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ｜cosC ）（λ∈R ），即AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝λ（AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ｜AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ｜cosB＋AC⃗⃗⃗⃗⃗ ｜AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ｜cosC ），所以AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ·BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝λ（AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ｜AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ｜cosB ＋AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ·BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ｜AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ｜cosC）＝λ（－｜BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ｜＋｜BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ｜）＝0，所以AP⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，所以P 在边BC 上的高所在的直线上，所以△ABC 的垂心确定在满意条件的P 点的集合中，④正确.故正确的命题是①②③④.（2）[多选/2024安徽淮北师大附中模拟]数学家欧拉在1765年发表的《三角形的几何学》一书中有这样一个定理：三角形的重心、垂心和外心共线.这条线就是三角形的欧拉线.在△ABC 中，O ，H ，G 分别是外心、垂心和重心，D 为BC 边的中点，则下列四个选项中正确的是（ ABD ） A.GH ＝2OG B.GA ⃗⃗⃗⃗⃗ ＋GB ⃗⃗⃗⃗⃗ ＋GC ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝0 C.AH ＝ODD.S △ABG ＝S △BCG ＝S △ACG解析 依据题意画出图形，如图所示.对于B ，连接GD ，由重心的性质可得G 为AD 的三等分点，且GA ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝－2GD ⃗⃗⃗⃗⃗ ，又D 为BC 的中点，所以GB ⃗⃗⃗⃗⃗ ＋GC ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝2GD ⃗⃗⃗⃗⃗ ，所以GA ⃗⃗⃗⃗⃗ ＋GB ⃗⃗⃗⃗⃗ ＋GC ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝－2GD ⃗⃗⃗⃗⃗ ＋2GD ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝0，故B 正确.对于A ，C ，因为O 为△ABC 的外心，D 为BC 的中点，所以OD ⊥BC ，所以AH ∥OD ，所以△AHG ∽△DOG ，所以GHOG ＝AHOD ＝AGDG ＝2，即GH ＝2OG ，AH ＝2OD ，故A 正确，C 不正确.对于D，延长AH交BC于N，过点G作GE⊥BC，垂足为E，则△DEG∽△DNA，所以GEAN＝DGDA ＝13，所以S△BGC＝12×BC×GE＝12×BC×13×AN＝13S△ABC，同理，S△AGC＝S△AGB＝13S△ABC，所以S△ABG＝S△BCG＝S△ACG，故D正确.故选ABD.。
高一下学期数学人教B版(2019)必修第三册《平面向量的数量积与平面向量的综合应用》综合复习课件
1．平面向量数量积运算的常用公式
常
用
结
论
(1)(a＋b)·(a－b)＝a2－b2；
(2)(a±b)2＝a2±2a·b＋b2.
2．有关向量夹角的两个结论
(1)两个向量a与b的夹角为锐角，则有a·b>0，
反之不成立(因为夹角为0时不成立)；
(2)两个向量a与b的夹角为钝角，则有a·b<0，
反之不成立(因为夹角为π时不成立)．
3 ，
AD＝5，∠A＝30°，点E在线段CB的延长线上，且AE＝BE，
﹣1
则 · ＝________.
➢ 求非零向量a，b的数量积的3种方法
方
法
总
结
方法
适用范围
定义法 已知或可求两个向量的模和夹角
直接利用定义法求数量积不可行时，可选取合适的
基底法
一组基底，利用平面向量基本定理将待求数量积的
6.会用向量方法解决简单的力学问题与其他一
些实际问题.
考向预测
1.平面向量数量积的运算
命题
2.平面向量数量积的性质
角度
3.平面向量数量积的应用
核心
素养
数学运算、直观想象
基础梳理
一、平面向量的数量积
1．数量积定义
|a||b|cos θ
• 已知两个非零向量a与b，我们把数量__________
叫做a与b的数量积(或内积)，记作a·
垂直或等式成立等，得到三角函数的关系式，然后求解；
(2)给出用三角函数表示的向量坐标，要求的是向量的模或者其
他向量的表达形式，解题思路是经过向量的运算，利用正弦、
余弦函数在定义域内的有界性求值域等．
2．平面向量在几何中的应用主要体现在：
平面向量数量积的坐标表示课件(共33张PPT)-高一下学期数学人教A版(2019)必修第二册
探索新知
例10 若点A（1，2），B（2，3），C（－2，5），则△ABC是什么形状？证明你的猜想．
所以△ABC是直角三角形．
探索新知
解：
例11 设 a＝(5，－7)，b＝(－6，－ 4) ，求a·b及a，b的夹角θ(精确到1°).
利用计算器可得θ≈92°.
探索新知
则＝
探索新知
于是cos(α－ β)＝cos αcos β+sin αsin β
另一方面，如图（1）可知， θ
如图（2）可知，θ
于是± θ ，∈Z
所以cos(α－ β)＝
（1）
（2）
02
题型突破
题型突破
题型一 平面向量数量积的坐标运算
题型突破
题型突破
数量积运算的途径及注意点
(1)进行向量的数量积运算，前提是牢记有关的运算法则和运算性质，解题时通常有两条途径：一是先将各向量用坐标表示，直接进行数量积运算；二是先利用数量积的运算律将原式展开，再依据已知计算.
(2)求模.利用计算两向量的模
(4)求角.由向量夹角的范围及求的值.
03
当堂检测
当堂检测
当堂检测
当堂检测
当堂检测
当堂检测
当堂检测
课
堂
小
结
同学们再见！
授课老师：
时间：2024年9月15日
例12 用向量方法证明两角差的余弦公式 cos(α－ β)＝cos αcos β+sin αsin β
证明：角 α， β的终边与单位圆的交点分别为A，B.
则(cos α ， sin α)， (cos β ， sin β)
设与 的夹角为θ，
2019年高考数学一轮复习第4章平面向量、数系的扩充与复数的引入第3节平面向量的数量积及其应
第三节平面向量的数量积及其应用［考纲传真］1.理解平面向量数量积的含义及其物理意义 2 了解平面向量的数量积与向量投影的关系3掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算4能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系.5.会用向量方法解决某些简单的平面几何问题6会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题.双基自主测评I基础知识环能力全面巩固■(对应学生用书第61页)［基础知识填充］1. 向量的夹角(1)定义：已知两个非零向量a和b，如图4-3-1 ,作0A= a, 0B= b，则/ AOB=0 (0 °w 0 < 180° )叫作a与b的夹角.0 b B图4-3-1(2)当0 = 0°时，a与b共线同向.当0 = 180°时，a与b共线反向.当0 =90°时，a与b互相垂直. '—2•平面向量的数量积(1) 定义：已知两个非零向量a和b,它们的夹角为0，则数量| a|| b| • cos 0叫做a与b的数量积(或内积).规定：零向量与任一向量的数量积为0.(2) 几何意义：数量积a • b等于a的长度| a|与b在a的方向上的投影| b|cos 0的乘积Jk 曜或b的长度| b|与a在b方向上射影| a|cos 0的乘积.3. 平面向量数量积的运算律(1) 交换律：a • b= b • a；(2) 数乘结合律：(入a) • b=入(a • b) = a •(入b)；(3) 分配律：a •( b+ c) = a • b+ a • C.4. 平面向量数量积的性质及其坐标表示122结论几何表示坐标表小2| a || b |cos 0夹角a - bcos 0 — . [[ i .|a || b |X 1X 2+ y 1y 2cos 0 — . y, ------------------------------- .,,V X 2 + y2^/X 2 + y 2a 丄ba -b — 0X 1X 2+ y 1y 2— 0|a • b | 与 | a || b | 的关系|a - b | w| a || b || X 1X 2+ y 1y 2| w 寸X 1 + y 2 •寸 X 2+ y ；［知识拓展］1两个向量a , b 的夹角为锐角？ a •b >0且a , b 不共线;两个向量a ，b 的夹角为钝角？ a •b <0且a , b 不共线. 2 •平面向量数量积运算的常用公式 (1)( (2)( (3)(2 2a +b ) •( a -b ) = a — b .2 2 2a +b ) = a + 2a • b + b .a -b )2= a 2-2a • b + b 2.3.当a 与b 同向时，a •b = | a||b1.当a 与b 反向时，a ・b = — |a||b |.［基本能力自测］(思考辨析)判断下列结论的正误.(正确的打“V”，错误的打“X” (1) 两个向量的数量积是一个实数，向量的数乘运算的运算结果是向量.由 a - b = 0,可得 a = 0 或 b = 0.()由a - b = a - c 及a ^0不能推出b = C.()2. 在四边形 ABCDh AB- DC &AC- BD= 0,则四边形 ABCD 为矩形•( [答案](1) V (2) X (3) V(2016 -全国卷川)已知向量BA=A . 30° ,1，则/ ABC=(3.C. 60°D. 120°A [因为BA=2, -2 , BC > 三3, 1，所以 E3A- £=¥+石3=_23.又因为 B A- B <> I B AII 航cos / ABC= 1X 1X cos / ABC 所以 cos / 又 0°<Z ABCc 180°,所以/ABC= 30° .故选 A .](2015 •全国卷 n )向量 a = (1 , - 1), b = ( — 1,2)，则(2a + b ) - a =()A . - 1 B. 0 C. 1D. 22C [法: T a = (1 , — 1) , b = ( — 1,2) ,.•. a = 2, a • b =— 3, 从而(2a + b ) • a = 2a 2 + a • b = 4 — 3= 1. 法二：T a = (1 , — 1) , b = ( — 1,2), .2a + b = (2 , — 2) + ( — 1,2) = (1,0),从而(2a + b ) • a = (1,0) • (1 , — 1) = 1，故选 C.]4. ______________ (教材改编)已知|a | = 5, | b | = 4, a 与b 的夹角0 = 120° ,则向量b 在向量a 方向上的 投影为 __ .—2 [由数量积的定义知， b 在a 方向上的投影为| b |cos 0 = 4x cos 120 ° =— 2.]5. (2017 •全国卷I)已知向量 a = ( — 1,2) , b = (m,1).若向量 a + b 与a 垂直，则 m=7 [ T a = ( — 1,2) , b = (m,1), ••• a + b = ( — 1 + m,2 + 1) = ( m- 1,3). 又 a + b 与 a 垂直，二(a + b ) • a = 0, 即(m-1) x ( — 1) + 3X 2= 0, 解得m= 7.]题型分类突破I 高琴题型烦律方法逐-突砸■(对应学生用书第62页)心 ......平面向量数量积的运算■■■I (1)(2016 •天津高考)已知△ ABC 是边长为1的等边三角形，点D, E 分别是边AB,BC 的中点，连接 DE 并延长到点F ,使得DE= 2EF,则AF- BC 勺值为()A . 11D -S'已知正方形 ABCD 勺边长为1,点E 是AB 边上的动点，则DE- CB 勺值为C.;DE ・DC的最大值为 【导学号: 00090135】AF = AM DF又D, E 分别为AB BC 的中点,(1) B (2) 1 1 [(1)如图所示,f 1 f f 1 ・_且DE=2EF所以AD= 1A B DF=2AC+；AC=4AC1f2当E 运动到B 点时，DE^DC 方向上的投影最大，即为 DC = 1, 所以(DE' Dg =| DC - 1= 1.］［规律方法］1.求两个向量的数量积有三种方法： 利用定义；利用向量的坐标运算； 利用数量积的几何意义.~T 1 -T 3 ~T 所以 AF = 2AB+ 4AC又 BC= AC- AB3T-4AC-又 | AB =|AQ = 1,z BAO 60°,故AF- E3C = 4-2 — 4X 1X 1X 2= 1.故选 B.4 2 4 2 8⑵ 法一：以射线AB AD 为x 轴，y 轴的正方向建立平面直角坐标系，则A (0,0),巳1,0),C (1,1) ,D (0,1)，设E (t, 0) , t € [0,1]，则DE = (t , - 1),(t , -1) - (0，- 1) = 1.因为 DC = (1,0)，所以 DE- DC = (t ，- 1) - (1,0) = t w 1, 故D E- DC 的最大值为1.法二：由图知，无论E 点在哪个位置，DE 在CB^向上的投影都是 CB= 1,所以DE- CB= | CB则 AF- BC= -(AC-AB 3 T T2. (1)要有“基底”意识，关键用基向量表示题目中所求相关向量. (2)注意向量夹角的大小，以及夹角0 = 0°, 90°, 180°三种特殊情形.2[变式训练1] ⑴ 已知AB= (2,1)，点C ( — 1,0) , D (4,5)，则向量AB 在 C [方向上的投影为(1) C (2)C [(1)因为点 C ( —1,0) , Q4,5)，所以 C* (5,5)，又AB= (2,1)，所以向量 AB 在CD?向上的投影为|AB |cos 〈 AB C D =磊=芈I CD%2⑵ 由 AB- AF = 3 得AB ・(AM DF = AB- DF= 3,所以 |DF = 1, |CF = 2,BE • BC= — 6 + 2 = — 4.](1)(2017 •合肥二次质检)已知不共线的两个向量a ,b 满足|a — b | = 2且a 丄(a—2b )，则 | b | =( )A . 2 C. 2 2⑵(2018 •西安模拟)已知平面向量a , b 的夹角为 卡，且|a | = .3, | b | = 2,在厶ABC 中,AB= 2a + 2b , AC= 2a — 6b , D 为 BC 的中点，贝U |AQ = ______ .(1)B (2)2[(1)由 a 丄(a — 2b )得 a - (a — 2b ) = | a | — 2a - b = 0.又•/ | a — b | = 2,「. | a(2)(2018 •榆林模拟)已知在矩形ABCD 中 AB= 3, BC = 3, BE = 2EC 点 F 在边 CD 上.若AB- AF = 3,则 A E- 'BF 的值为()【导学号：00090136】A . 0B 育C.— 4D. 42B.- 3 5 D. 3 5C. 所以 AE - BF = ( AB+ BE ) •( BC+ CF ) =AB- BC+ AB- CF + BE- BC + BE- CF = AB- CF +ISfifl... ......... . ............................ j平面向量数量积的性质角度1平面向量的模MBB. 2 D. 4—b| 2= | a|2—2a - b+ | b|2= 4,则| b|2= 4, | b| = 2，故选B.■ ■ ~9 1 ~> (2)因为 A[> 2(AB+ AC 1=2(2a + 2b + 2a — 6b ) =2a — 2b ,所以 |AD 2= 4(a — b )2= 4(a 2— 2b •a + b 2)—e 2的夹角为B ,贝U cos 3 =⑵ 若向量a = (k, 3) , b = (1,4) , c = (2,1)，已知2a — 3b 与c 的夹角为钝角，贝U k 的取2=I — 2X 3X 2X1 X cos a + 4= I ,所以|a | = 3,i i222因为 b = (3e 1 — e 2) = I — 2X 3X 1 XI X cos a + 1 = 8, 所以 | b | = 2 2,a •b = (3 e 1 — 2e 2)- (3 e 1 — e ?)2 21 =9e 1 — 9e 1 • e2 + 2e 2= I — I X 1 X 1 X + 2 = 8,3 所以cos 3= rOi 占=3^=弩.(2) •/ 2a — 3b 与c 的夹角为钝角， ••• (2 a — 3b ) - c v 0, 即(2 k — 3, — 6) - (2,1) v 0,• 4k — 6— 6v 0, • k v 3.9又若(2a — 3b ) // c ,贝U 2k — 3 =— 12,即卩 k =—》 当 k =— I 时，2a — 3b = ( — 12,— 6) = — 6c ,=4X (3 — 2X 2X3 X cos n + 4) = 4,所以 | AD = 2.]角度2平面向量的夹角2-2 1(1)已知单位向量 e 1与e 2的夹角为 a ,且cos a = 3 向量 a = 3e i — 2e 2与 b = 3e i值范围是 (1)弩(2)[(1)因为 a 2= (3 e 1 — 2e 2)2△in 2 x — ¥cos x = 2,2 2即2a -3b 与c 反向. 综上，k 的取值范围为 一R, 角度3平面向量的垂直 (2016 •山东高考)已知向量a = (1 , - 1), b = (6 , - 4).若a 丄(ta + b )，则实 数t 的值为 _________ —5 [ - a = (1 , — 1), b = (6 , — 4)，…ta + b = (t + 6, — t — 4). 又 a 丄(ta + b )，则 a •( ta + b ) = 0，即 t + 6 +1 + 4= 0，解得 t =— 5.] a • b [规律方法]1.求两向量的夹角：cos 0 = ，要注意0 c [0 , n ]. 丨a l •丨b | 2.两向量垂直的应用： 两非零向量垂直的充要条件是： a 丄b ? a • b = 0? | a — b | = |a + b |. 3 •求向量的模：利用数量积求解长度问题的处理方法有： (1) a 2= a • a = | a |2 或 | a | = a • a . (2) | a ± b | = a ± b 2= a ±2a • b + b . ⑶若 a = (x , y )，则 | a | = x 2 + y 2. |U3［ 平面向量与三角函数的综合 (2018 •佛山模拟)在平面直角坐标系 xOy 中，已知向量m = ^2, — 2小=(sin cos x ) , x c (1)若 miL n ,求 tan x 的值; n ⑵若m 与n 的夹角为—，求x 的值. 【导学号：00090137】所以 sin x = cos x ,所以 tan x = 1. n 1⑵因为 | m = I n | = 1,所以 m-n = cos —=-,3 2x . 所以 m-n = 0, x , cos x ), n Ln . 即承n cos x(1)因为m = n = (sin所以sin 12因为 O v x v n ,所以—n_< x — n_<n n , 一 n n 5 n 所以x —才=6，即x =〒2. ［规律方法］平面向量与三角函数的综合问题的解题思路得到三角函数的关系式，然后求解. (2)给出用三角函数表示的向量坐标，要求的是向量的模或者其他向量的表达形式，解题 sin x x= -------cos x •- tan 2 x = —=1 — tan x 53⑵•/ a = sin ^, , b = (cos x , — 1),3 2 2 2 2••• a •b = sin x cos x — ?, b = cos x + ( — 1) = cos x + 1,23 2 1 1 1• f (x ) = (a + b ) - b = a •b + b = sin x cos x — ~ + cos x + 1 = 2sin 2x + 尹 + cos 2x ) — ?⑴ 题目条件给出向量的坐标中含有三角函数的形式, 运用向量共线或垂直或等式成立等, 思路是经过向量的运算，利用三角函数的定义域内的有界性，求得值域等. ［变式训练2］ (2018 •郴州模拟)已知向量a = sin x , | , b = (cos X , (1)当a //b 时，求tan 2 x 的值; (2)求函数f (x ) = (a + b ) - b 在|—-2 , 0上的值域. (1) ■/ a //b , a = sin x , | , b = (cos x , 3 x - ( — 1) — 2 • cos 即sin 3 X + 2C0S x = 0, 得sin 3 x = — 2C0S x , 二tan -32，匕2tan x 12 x = 0,1 n 1 sin 2x+ 才.I nT x€ |—— , 0••• sin 2x+4 € —1 ,n故函数 f (X ) = (a + b ) • b 在 | — , 0 • •• f(X)= 刍n -弓，2上的值域为•—， 2。
6-3-5 平面向量数量积的坐标表示(教学课件)-高中数学人教A版 (2019)必修第二册
我们发现是∆直角三角形.证明如下：
因为 = − , − = (, ),
= − − , − = (−, )
所以 ∙ = × − + × =
于是 ⊥
因此， ∆直角三角形
6.3.5 平面向量数量
积的坐标表示
引入
①
③
i i =
ij=
1
②
0
④
j j =
j i =
1
0
数量积坐标表示
因为a x1 i y1 j, b x2 i y2 j,
所以a b ( x1 i y1 j ) ( x2 i y2 j )
2
方法一：AM·AN＝AD＋ AB·AB＋ AD
3
2
1 2 1 2
＝0＋ ×2 ＋ ×3 ＋0＝5.
2
3
→
→
方法二：以 A 为原点，AB，AD的方向分别为 x，y 轴的
正方向建立平面直角坐标系，则 A(0，0)，M(1，2)，N(3，1)，
→
→
→ →
于是AM＝(1，2)，AN＝(3，1)，故AM·AN＝5.
例1
(1)已知向量a＝(－1，2)，b＝(3，2)．
①求a·(a－b)；
②求(a＋b)·(2a－b)；
③若c＝(2，1)，求(a·b)c.
①方法一：∵a＝(－1，2)，b＝(3，2)，∴a－b＝(－4，0)．
∴a·(a－b)＝(－1，2)·(－4，0)＝(－1)×(－4)＋2×0＝4.
方法二：a·(a－b)＝a2－a·b＝(－1)2＋22－[(－1)×3＋2×2]＝4.
6.3.5平面向量数量积的坐标表示教学设计-2023学年高一下学期数学人教A版(2019)必修第二册
§6.3.5平面向量数量积的坐标表示一、内容和内容解析本节是高中数学人教A版必修2第六章第3节第五课时的内容．由于平面向量数量积涉及了向量的模向量的夹角，因此在实现向量的数量积的坐标表示后，向量的模、夹角也都可以与向量的坐标联系起来.通过对平面向量数量积的坐标表示的学习，培养学生数学运算的数学素养；能根据向量的坐标计算向量的模、夹角及判定两个向量垂直，培养学生数学运算、逻辑推理的数学素养.二、目标和目标解析目标：（1）掌握平面向量数量积坐标表示及模、夹角的公式.（2）能用公式求向量的数量积、模、夹角．（3）掌握两个向量垂直的坐标判断，会证明两向量垂直，以及能解决一些简单问题.目标解析：（1）利用平面向量正交分解将向量用基底表示，利用数量积的运算律计算，注意到单位向量的数量积为1，推导出向量数量积的坐标表示．（2）利用数量积的坐标公式，将数量积的性质用坐标表示出来，得到模、夹角、垂直的坐标表示.（3）数学核心素养是数学教学的重要目标，但数学核心素养需要在每一堂课中寻找机会去落实．在平面向量数量积的坐标表示的教学中，从已知向量的坐标推导平面向量数量积的坐标是进行数学推理教学的很好机会．基于上述分析，本节课的教学重点定为：平面向量数量积坐标表示及模、夹角公式．三、教学问题诊断分析1．教学问题一：研究向量数量积运算的坐标表示是本节课的第一个教学问题．解决方案：利用正交分解表示向量，结合数乘向量的运算律推导出结论．2. 教学问题二：用公式求向量的数量积、模、夹角及垂直问题的证明是本节课的第二个教学问题．解决方案：公式变形推导，通过数量积性质的复习，结合数量积的坐标运算推导出结论．基于上述情况，本节课的教学难点定为：平面向量数量积的应用．四、教学策略分析本节课的教学目标与教学问题为我们选择教学策略提供了启示．为了让学生通过观察、归纳得到平面向量数量积的坐标表示，应该为学生创造积极探究的平台．因此，在教学过程中以问题串的形式引导学生探究，可以让学生从被动学习状态转到主动学习状态中来．在教学设计中，采取问题引导方式来组织课堂教学．问题的设置给学生留有充分的思考空间，让学生围绕问题主线，通过自主探究达到突出教学重点，突破教学难点．在教学过程中，重视平面向量数量积的坐标表示，让学生体会数学推理的基本过程．因此，本节课的教学是实施数学具体内容的教学与核心素养教学有机结合的尝试．五、教学过程与设计教学环节问题或任务师生活动设计意图回顾前知引出新知[问题1]平面向量的数量积(内积)的定义？[问题2]两个向量的数量积的性质？[问题3]在平面直角坐标系中，设i，j分别是x轴和y轴方向上的单位向量，a＝(3，2)，b＝(2，1)，则a·b的值为多少？教师1：提出问题1．学生1：cosa b a bθ⋅=.教师2：提出问题2．学生2：2a a a a a a⋅==⋅或，cos.0a ba b a ba bθ⋅=⊥⇔⋅=．教师3：提出问题3．学生3：由题意知，a＝3i＋2j，b＝2i＋j，则a·b＝(3i＋2j)·(2i＋j)＝6i2＋7i·j＋2j2.由于i2＝i·i＝1，j2＝j·j＝1，i·j＝0，故a·b＝8.通过复习向量的坐标表示、数量积的运算引入本节新课.建立知识间的联系，提高学生概括、类比推理的能力.探索交流解决问题[问题4]已知两个非零向量a=（x1，y1），b=（x2，y2），怎样用向量的坐标表示a·b？[问题5]若a＝（x，y），如何计算向量的模|a| ？[问题6]若点A（x1，y1），B（x2，y2），如何计算向量AB的模？[问题7]已知两个非零向量a＝（x1，y1），b＝（x2，y2），怎样用坐标表示a⊥b？教师4：提出问题4．学生4：1122,a x i y jb x i y j=+=+所以1122)()a b x i y j x i y j⋅=++（2212122112x x i x y i j x y i j y y j=+++2121yyxx+=教师5：提出问题5．学生5：|a|＝x2＋y2．教师6：提出问题6学生6：()()221212AB x x y y=-+-（两点间的距离公式）教师7：提出问题7.学生7：设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a⊥b⇔a·b＝0⇔x1x2＋y1y2＝0通过探究让学生理解数量积的坐标表示，培养数学抽象的核心素养.[问题8]已知两个非零向量a＝（x1，y1），b＝（x2，y2），怎样用坐标表示a，b的夹角呢？教师8：提出问题8.学生8：设θ是a与b的夹角，则cos θ＝a·b|a||b|＝x1x2＋y1y2x21＋y21x22＋y22.教师9：一起来梳理总结一下这部分内容.学生9：平面向量数量积的坐标表示：已知a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a·b＝x1x2＋y1y2．即两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和．平面向量的模与夹角的坐标表示：(1)向量的模长公式：若a＝(x，y)，则|a|＝x2＋y2．(2)两点间的距离公式：若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB→|＝（x1－x2）2＋（y1－y2）2.(3)向量的夹角公式：设a，b都是非零向量，a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ是a与b的夹角，则cos θ＝a·b|a||b|＝x1x2＋y1y2x21＋y21x22＋y22．(4)两个向量垂直的充要条件：设非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a⊥b⇔x1x2＋y1y2＝0．注意区分两向量平行与垂直的坐标形式，二者不能混淆，可以对比学习、记忆.若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b⇔x1y2－x2y1＝0，a⊥b⇔x1x2＋y1y2＝0.典例分析巩固落实1.平面向量数量积的运算例1.在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝2，点M，N分别在DC，BC上，且DM＝12MC，BN＝12BC，则AM→·AN→＝________.2.平面向量模长的坐标运算教师10：完成例1.学生10：AM→·AN→＝(AD→＋13AB→)·(AB→＋12AD→)＝0＋12·22＋13·32＋13·0＝5.教师11：完成例2.学生11：设a＝(x，y)，则由|a|＝213，得x2＋y2＝52.①例2.已知|a |＝213，b ＝(2，－3)，若a ⊥b ，求a ＋b 的坐标及|a ＋b |.3.平面向量夹角的坐标运算 例3.已知向量a ＝e 1－e 2，b ＝4e 1＋3e 2，其中e 1＝(1，0)，e 2＝(0，1).求向量a 与b 夹角的余弦值.4.向量垂直的坐标运算例4. 已知在△ABC 中，A (2，－1)，B (3，2)，C (－3，－1)，AD 为BC 边上的高，求|AD →|与点D 的坐标.[课堂练习]1.已知点A (0，1)，B (1，－2)，向量AC →＝(4，－1)，则|BC →|＝________．2.已知a ＝⎝⎛⎭⎫－12，32，OA →＝a －b ，OB →＝a ＋b ，若△AOB 是以O 为直角顶点的等腰直角三角形，求向量b .由a ⊥b ，解得2x －3y ＝0.② 联立①②，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝6，y ＝4或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－6，y ＝－4.所以 a ＝(6，4)或a ＝(－6，－4)． 所以a ＋b ＝(8，1)或a ＋b ＝(－4，－7)， 所以|a ＋b |＝65.教师12：完成例3.学生12：设a ，b 的夹角为θ，由a ·b ＝|a ||b |cos θ，∴cos θ＝a ·b |a ||b |＝12×5＝210.教师13：完成例4.学生13：设D 点坐标为(x ，y )，则AD →＝(x －2，y ＋1)，BC →＝(－6，－3)，BD →＝(x －3，y －2). ∵D 在直线BC 上，即BD →与BC →共线， ∴－6(y －2)＋3(x －3)＝0，即x －2y ＋1＝0.① 又∵AD ⊥BC ，∴AD →·BC →＝0， 即(x －2，y ＋1)·(－6，－3)＝0，∴－6(x －2)－3(y ＋1)＝0.即2x ＋y －3＝0.②由①②可得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1，∴|AD →|＝（1－2）2＋（1＋1）2＝5，即|AD →|＝5，点D 的坐标为(1，1).教师14：布置课堂练习1、2． 学生14：完成课堂练习，并核对答案．课堂小结升华认知[问题9]通过这节课，你学到了什么知识？在解决问题时，用到了哪些数学思想？[课后练习]1．已知a＝(1，－1)，b＝(2，3)，则a·b＝()A．5 B．4C．－2 D．－12．已知a＝(－2，1)，b＝(x，－2)，且a⊥b，则x的值为()A．－1 B．0C．1 D．23．平行四边形ABCD中，AB→＝(1，0)，AC→＝(2，2)，则AD→·BD→等于()A．－4 B．－2C．2 D．44．已知a＝(3，－4)，则|a|＝________.5．已知向量a＝(3，－1)，b＝(1，－2)，求：(1)a·b；(2)(a＋b)2；(3)(a＋b)·(a－b)．教师15：提出问题9．学生15：学生16：学生课后进行思考，并完成课后练习．答案：DAD，5，5师生共同回顾总结：引领学生感悟数学认知的过程，体会数学核心素养．课后练习：是对定理巩固，是对本节知识的一个深化认识，同时也为下节内容做好铺垫．。
向量的运算的所有公式
向量的运算的所有公式数学公式是数学题目解题关键，那么向量的运算公式有哪些呢?快来和小编一起看看吧。
下面是由小编为大家整理的“向量的运算的所有公式”，仅供参考，欢迎大家阅读。
向量的运算的所有公式向量的加法满足平行四边形法则和三角形法则，向量加法的运算律：交换律：a+b=b+a;结合律：(a+b)+c=a+(b+c)。
如果a、b是互为相反的向量，那么a=-b，b=-a，a+b=0，0的反向量为0，OA-OB=BA.即“共同起点，指向被减”a=(x1,y1)，b=(x2,y2) ，则a-b=(x1-x2,y1-y2)。
在数学中，向量(也称为欧几里得向量、几何向量、矢量)，指具有大小(magnitude)和方向的量。
它可以形象化地表示为带箭头的线段。
箭头所指：代表向量的方向;线段长度：代表向量的大小。
向量的加法满足平行四边形法则和三角形法则，向量加法的运算律：交换律：a+b=b+a;结合律：(a+b)+c=a+(b+c)。
如果a、b是互为相反的向量，那么a=-b，b=-a，a+b=0，0的反向量为0，OA-OB=BA.即“共同起点，指向被减”a=(x1,y1)，b=(x2,y2) ，则a-b=(x1-x2,y1-y2)。
数与向量的乘法满足下面的运算律：结合律：(λa)·b=λ(a·b)=(a·λb)。
向量对于数的分配律(第一分配律)：(λ+μ)a=λa+μa.数对于向量的分配律(第二分配律)：λ(a+b)=λa+λb.数乘向量的消去律：① 如果实数λ≠0且λa=λb，那么a=b。
② 如果a≠0且λa=μa，那么λ=μ。
向量的数量积的运算律：a·b=b·a(交换律)(λa)·b=λ(a·b)(关于数乘法的结合律)(a+b)·c=a·c+b·c(分配律)向量的向量积运算律：a×b=-b×a(λa)×b=λ(a×b)=a×(λb)a×(b+c)=a×b+a×c.(a+b)×c=a×c+b×c.拓展阅读：向量的表达方式1.代数表示一般印刷用黑体的小写英文字母(a、b、c等)来表示，手写用在a、b、c等字母上加一箭头(→)表示，也可以用大写字母AB、CD上加一箭头(→)等表示。
6.3.5平面向量数量积的坐标表示讲义- 高一下学期数学人教A版(2019)必修第二册
6.3.5 平面向量数量积的坐标表示(教师独具内容)课程标准：1.能用坐标表示平面向量的数量积，会表示两个平面向量的夹角.2.能用坐标表示平面向量垂直的条件．教学重点：平面向量数量积的坐标表示以及模、角度、垂直关系的坐标表示．教学难点：用坐标法处理模、角度、垂直问题．核心素养：1.通过平面向量数量积的坐标表示的推导过程培养逻辑推理和数学运算素养.2.通过运用平面向量数量积的坐标表示来解决模、角度、垂直等问题进一步提升数学运算素养．1．平面向量数量积的坐标表示主要解决的问题向量的坐标表示和向量的坐标运算实现了向量运算的完全代数化，并将数与形紧密结合起来．本节主要应用有：(1)求两点间的距离(求向量的模)．(2)求两向量的夹角．(3)证明两向量垂直．2．解决向量夹角问题的方法及注意事项(1)先利用平面向量的坐标表示求出这两个向量的数量积a·b以及|a||b|，再由cosθ＝a·b|a||b|求出cosθ，也可由坐标表示cosθ＝x1x2＋y1y2x21＋y21x22＋y22直接求出cosθ.由三角函数值cosθ求角θ时，应注意角θ的取值范围是0≤θ≤π.(2)由于0≤θ≤π，利用cosθ＝a·b|a||b|来判断角θ时，要注意cosθ<0有两种情况：一是θ是钝角，二是θ＝π；cosθ>0也有两种情况：一是θ是锐角，二是θ＝0.1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)向量的模等于向量坐标的平方和．( )(2)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a⊥b⇔x1x2＋y1y2＝0.( )(3)若两个非零向量的夹角θ满足cosθ<0，则两向量的夹角θ一定是钝角．( )2．做一做(1)已知a，b为平面向量，a＝(4,3)，2a＋b＝(3,18)，则a，b的夹角θ的余弦值等于( )A.865B．－865C．1665D．－1665(2)若向量a＝(3，m)，b＝(2,1)，a·b＝0，则实数m的值为____.(3)已知a＝(1，3)，b＝(－2,0)，则|a＋b|＝____.题型一平面向量数量积的坐标表示例1 已知向量a与b同向，b＝(1,2)，a·b＝10，求：(1)向量a的坐标；(2)若c＝(2，－1)，求(a·c)b.[条件探究] 若将本例改为a与b反向，b＝(1,2)，a·b＝－10，求：(1)向量a的坐标；(2)若c＝(2，－1)，求(a·c)b.[跟踪训练1] 向量a＝(1，－1)，b＝(－1,2)，则(2a＋b)·a＝( ) A．－1 B．0C．1 D．2题型二向量的模的问题例2 (1)若向量a＝(2x－1,3－x)，b＝(1－x，2x－1)，则|a－b|的最小值为____.(2)若向量a的始点为A(－2,4)，终点为B(2,1)，求：①向量a的模；②与a 平行的单位向量的坐标； ③与a 垂直的单位向量的坐标．[跟踪训练2] 设x ∈R ，向量a ＝(x,1)，b ＝(1，－2)，且a ⊥b ，则|a ＋b |＝( )A. 5 B ．10 C ．2 5D ．10题型三 向量垂直的坐标表示例3 设OA →＝(2，－1)， OB →＝(3,1)， OC →＝(m,3)．(1)当m ＝2时，用OA →和OB →表示OC →； (2)若AB →⊥BC →，求实数m 的值．[跟踪训练3] 已知在△ABC 中，A (2，－1)，B (3,2)，C (－3，－1)，AD 为BC 边上的高，求|AD →|与点D 的坐标．题型四 平面向量的夹角问题例4 已知△ABC 顶点的坐标分别为A (3,4)，B (0,0)，C (c,0)， (1)若c ＝5，求sin A 的值； (2)若∠A 是钝角，求c 的取值范围．[跟踪训练4] 已知平面向量a ＝(3,4)，b ＝(9，x )，c ＝(4，y )，且a ∥b ，a ⊥c .(1)求b 与c ；(2)若m ＝2a －b ，n ＝a ＋c ，求向量m ，n 的夹角的大小． 题型五 向量数量积的综合应用例5 已知三点A (2,1)，B (3,2)，D (－1,4)． (1)求证：AB ⊥AD ；(2)要使四边形ABCD 为矩形，求点C 的坐标并求矩形ABCD 的对角线的长度． [跟踪训练5] 已知a ，b ，m ，n ∈R ，设(a 2＋b 2)(m 2＋n 2)＝(am ＋bn )2，其中mn ≠0，用向量方法求证：a m ＝b n.1．若a ＝(2，－3)，b ＝(x,2x )，且3a ·b ＝4，则x 等于( ) A ．3 B ．13 C ．－13D ．－32．已知向量a ＝(1,2)，b ＝(2，－3)，若向量c 满足(c ＋a )∥b ，c ⊥(a ＋b )，则c 等于( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫79，73 B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－73，－79C.⎝ ⎛⎭⎪⎫73，79 D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－79，－733．已知a ＝(1,2)，b ＝(x,4)，且a ·b ＝10，则|a －b |＝____.4．设向量a 与b 的夹角为θ，且a ＝(3,3)，2b －a ＝(－1,1)，则cos θ＝____.5．已知平面向量a ＝(1，x )，b ＝(2x ＋3，－x )，x ∈R . (1)若a ⊥b ，求x 的值； (2)若a ∥b ，求|a －b |.一、选择题1．已知|a |＝1，b ＝(0,2)，且a ·b ＝1，则向量a 与b 夹角的大小为( ) A.π6 B ．π4 C ．π3D ．π22．已知平面向量a ＝(2,4)，b ＝(－1,2)，若c ＝a －(a ·b )b ，则|c |等于( ) A ．4 2 B ．2 5 C ．8D ．8 23．已知向量a ＝(3，1)，b 是不平行于x 轴的单位向量，且a ·b ＝3，则b ＝( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫32，12 B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫14，334 D ．(1,0)4．(多选)在△ABC 中，AB →＝(2,3)，AC →＝(1，k )，若△ABC 是直角三角形，则k 的值可能为( )A ．－23B ．113C.3±132D ．235．若函数f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6x ＋π3(－2<x <10)的图象与x 轴交于点A ，过点A的直线l 与函数的图象交于B ，C 两点(除点A 外)，则(OB →＋OC →)·OA →＝( )A ．－32B ．－16C ．16D ．32二、填空题6．已知向量a ＝(1,2)，b ＝(－2，－4)，|c |＝5，若(a ＋b )·c ＝52，则a与c 的夹角为____.7．已知向量a ＝(2，－1)，b ＝(x ，－2)，c ＝(3，y )，若a ∥b ，(a ＋b )⊥(b －c )，M (x ，y )，N (y ，x )，则向量MN →的模为____.8．已知a ＝(1,3)，b ＝(2＋λ，1)，且a 与b 的夹角为锐角，则实数λ的取值范围是____.三、解答题9．设平面向量a ＝(cos α，sin α)(0≤α<2π)，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32，且a 与b不共线．(1)求证：向量a ＋b 与a －b 垂直；(2)若两个向量3a ＋b 与a －3b 的模相等，求角α.1．已知点A (－2,0)，B (1,9)，C (m ，n )，O 是原点． (1)若A ，B ，C 三点共线，求m 与n 满足的关系式； (2)若△AOC 的面积等于3，且AC →⊥B C →，求OC →.2．已知OA →＝(4,0)，OB →＝(2,23)，OC →＝(1－λ)OA →＋λOB →(λ2≠λ)． (1)证明：A ，B ，C 三点共线，并在AB →＝BC →时，求λ的值； (2)求|OC →|的最小值．6.3.5 平面向量数量积的坐标表示(教师独具内容)课程标准：1.能用坐标表示平面向量的数量积，会表示两个平面向量的夹角.2.能用坐标表示平面向量垂直的条件．教学重点：平面向量数量积的坐标表示以及模、角度、垂直关系的坐标表示． 教学难点：用坐标法处理模、角度、垂直问题．核心素养：1.通过平面向量数量积的坐标表示的推导过程培养逻辑推理和数学运算素养.2.通过运用平面向量数量积的坐标表示来解决模、角度、垂直等问题进一步提升数学运算素养．1．平面向量数量积的坐标表示主要解决的问题向量的坐标表示和向量的坐标运算实现了向量运算的完全代数化，并将数与形紧密结合起来．本节主要应用有：(1)求两点间的距离(求向量的模)． (2)求两向量的夹角． (3)证明两向量垂直．2．解决向量夹角问题的方法及注意事项(1)先利用平面向量的坐标表示求出这两个向量的数量积a ·b 以及|a ||b |，再由cosθ＝a·b|a||b|求出cosθ，也可由坐标表示cosθ＝x1x2＋y1y2x21＋y21x22＋y22直接求出cosθ.由三角函数值cosθ求角θ时，应注意角θ的取值范围是0≤θ≤π.(2)由于0≤θ≤π，利用cosθ＝a·b|a||b|来判断角θ时，要注意cosθ<0有两种情况：一是θ是钝角，二是θ＝π；cosθ>0也有两种情况：一是θ是锐角，二是θ＝0.1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)向量的模等于向量坐标的平方和．( )(2)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a⊥b⇔x1x2＋y1y2＝0.( )(3)若两个非零向量的夹角θ满足cosθ<0，则两向量的夹角θ一定是钝角．( )答案(1)×(2)√(3)×2．做一做(1)已知a，b为平面向量，a＝(4,3)，2a＋b＝(3,18)，则a，b的夹角θ的余弦值等于( )A.865B．－865C．1665D．－1665(2)若向量a＝(3，m)，b＝(2,1)，a·b＝0，则实数m的值为____.(3)已知a＝(1，3)，b＝(－2,0)，则|a＋b|＝____.答案(1)C (2)－6 (3)2题型一平面向量数量积的坐标表示例1 已知向量a与b同向，b＝(1,2)，a·b＝10，求：(1)向量a的坐标；(2)若c＝(2，－1)，求(a·c)b.[解](1)∵a与b同向，且b＝(1,2)，∴a＝λb＝(λ，2λ)(λ>0)．又a·b＝10，∴λ＋4λ＝10，∴λ＝2，∴a＝(2,4)．(2)∵a·c＝2×2＋4×(－1)＝0，∴(a·c)b＝0.[条件探究] 若将本例改为a与b反向，b＝(1,2)，a·b＝－10，求：(1)向量a的坐标；(2)若c＝(2，－1)，求(a·c)b.解(1)∵a与b反向，且b＝(1,2)，∴设a＝λb(λ<0)，∴a＝(λ，2λ)，又a·b＝－10，∴λ＋4λ＝－10，∴λ＝－2，∴a＝(－2，－4)．(2)∵a·c＝(－2)×2＋(－4)×(－1)＝－4＋4＝0，∴(a·c)b＝0.数量积坐标运算的两条途径进行向量的数量积运算，前提是牢记有关的运算法则和运算性质．解题时通常有两条途径：一是先将各向量用坐标表示，直接进行数量积运算；二是先利用数量积的运算律将原式展开，再依据已知计算．[跟踪训练1] 向量a＝(1，－1)，b＝(－1,2)，则(2a＋b)·a＝( ) A．－1 B．0C．1 D．2答案 C解析a＝(1，－1)，b＝(－1,2)，∴(2a＋b)·a＝(1,0)·(1，－1)＝1.题型二向量的模的问题例2 (1)若向量a＝(2x－1,3－x)，b＝(1－x，2x－1)，则|a－b|的最小值为____.(2)若向量a的始点为A(－2,4)，终点为B(2,1)，求：①向量a的模；②与a 平行的单位向量的坐标； ③与a 垂直的单位向量的坐标．[解析] (1)∵a ＝(2x －1,3－x )，b ＝(1－x,2x －1)， ∴a －b ＝(2x －1,3－x )－(1－x,2x －1)＝(3x －2，4－3x )， ∴|a －b |＝3x －22＋4－3x2＝18x 2－36x ＋20＝18x －12＋2，∴当x ＝1时，|a －b |取最小值为 2. (2)①∵a ＝AB →＝(2,1)－(－2,4)＝(4，－3)， ∴|a |＝42＋－32＝5.②与a 平行的单位向量是±a |a |＝±15(4，－3)，即坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫45，－35或⎝ ⎛⎭⎪⎫－45，35.③设与a 垂直的单位向量为e ＝(m ，n )，则a ·e ＝4m －3n ＝0，∴m n ＝34.又|e |＝1，∴m 2＋n 2＝1. 解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝35，n ＝45或⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－35，n ＝－45，∴e ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫35，45或⎝ ⎛⎭⎪⎫－35，－45.[答案] (1) 2 (2)见解析求向量的模的两种基本策略 (1)字母表示下的运算利用|a |2＝a 2，将向量模的运算转化为向量与向量的数量积的问题． (2)坐标表示下的运算若a ＝(x ，y )，则a ·a ＝a 2＝|a |2＝x 2＋y 2，于是有|a |＝x 2＋y 2.[跟踪训练2] 设x ∈R ，向量a ＝(x,1)，b ＝(1，－2)，且a ⊥b ，则|a ＋b |＝( )A. 5 B ．10C ．25D ．10答案 B解析 由a ⊥b ，可得a ·b ＝0，即x －2＝0，解得x ＝2，所以a ＋b ＝(3，－1)，故|a ＋b |＝32＋－12＝10.故选B.题型三 向量垂直的坐标表示例3 设OA →＝(2，－1)， OB →＝(3,1)， OC →＝(m,3)．(1)当m ＝2时，用OA →和OB →表示OC →； (2)若AB →⊥BC →，求实数m 的值．[解] (1)当m ＝2时，设OC →＝xOA→＋yOB →， 则有⎩⎨⎧2x ＋3y ＝2，－x ＋y ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－75，y ＝85，即OC →＝－75 OA →＋85OB →.(2) AB →＝OB →－OA →＝(1,2)， BC →＝OC →－OB →＝(m －3,2)． 因为AB →⊥BC →，所以AB →·BC →＝0， 即1×(m －3)＋2×2＝0，解得m ＝－1.用向量数量积的坐标表示解决垂直问题利用坐标表示是把垂直条件代数化．因此判定方法更简捷、运算更直接，体现了向量问题代数化的思想．[跟踪训练3] 已知在△ABC 中，A (2，－1)，B (3,2)，C (－3，－1)，AD 为BC 边上的高，求|AD →|与点D 的坐标．解 设D 点坐标为(x ，y )，则AD →＝(x －2，y ＋1)，BC →＝(－6，－3)，BD →＝(x －3，y －2)．∵D 在直线BC 上，即BD →与BC →共线， ∴存在实数λ，使BD →＝λBC →，即(x －3，y －2)＝λ(－6，－3)．∴⎩⎨⎧x －3＝－6λ，y －2＝－3λ，∴x －3＝2(y －2)，即x －2y ＋1＝0.① 又AD ⊥BC ，∴AD →·BC →＝0， 即(x －2，y ＋1)·(－6，－3)＝0. ∴－6(x －2)－3(y ＋1)＝0. 即2x ＋y －3＝0.② 由①②可得⎩⎨⎧x ＝1，y ＝1.∴D (1,1)． ∴|AD →|＝1－22＋1＋12＝5，故|AD →|＝5，点D 的坐标为(1,1). 题型四 平面向量的夹角问题例4 已知△ABC 顶点的坐标分别为A (3,4)，B (0,0)，C (c,0)， (1)若c ＝5，求sin A 的值； (2)若∠A 是钝角，求c 的取值范围． [解] AB →＝(－3，－4)，AC →＝(c －3，－4)． (1)若c ＝5，则AC →＝(2，－4)．∴cos A ＝cos 〈AC →，AB →〉＝AC →·AB →|AC →||AB →|＝55.∵∠A 是△ABC 的内角，∴sin A ＝1－cos 2A ＝255. (2)若∠A 为钝角，则AC →·AB →<0且AC →，AB →不反向共线．由AC→·AB→<0，得－3(c－3)＋16<0，即c>25 3.显然此时AC→，AB→不共线，故当∠A为钝角时，c>25 3.求平面向量夹角的步骤若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，(1)求出a·b＝x1x2＋y1y2；(2)求出|a|＝x21＋y21，|b|＝x22＋y22；(3)代入公式：cosθ＝a·b|a||b|(θ是a与b的夹角)．[跟踪训练4] 已知平面向量a＝(3,4)，b＝(9，x)，c＝(4，y)，且a∥b，a⊥c.(1)求b与c；(2)若m＝2a－b，n＝a＋c，求向量m，n的夹角的大小．解(1)∵a∥b，∴3x＝4×9，∴x＝12.∵a⊥c，∴3×4＋4y＝0，∴y＝－3，∴b＝(9,12)，c＝(4，－3)．(2)m＝2a－b＝(6,8)－(9,12)＝(－3，－4)，n＝a＋c＝(3,4)＋(4，－3)＝(7,1)．设m，n的夹角为θ，则cosθ＝m·n|m||n|＝－3×7＋－4×1－32＋－42×72＋12＝－25252＝－22.∵θ∈[0，π]，∴θ＝3π4，即向量m，n的夹角为3π4.题型五向量数量积的综合应用例5 已知三点A(2,1)，B(3,2)，D(－1,4)．(1)求证：AB⊥AD；(2)要使四边形ABCD为矩形，求点C的坐标并求矩形ABCD的对角线的长度．[解] (1)证明：∵A (2,1)，B (3,2)，D (－1,4)， ∴AB →＝(1,1)，AD →＝(－3,3)． 则AB →·AD →＝1×(－3)＋1×3＝0， ∴AB →⊥AD →，即AB ⊥AD .(2)∵AB →⊥AD →，四边形ABCD 为矩形，∴AB →＝DC →. 设点C 的坐标为(x ，y )，则DC →＝(x ＋1，y －4)， 又AB →＝(1,1)． 从而有⎩⎨⎧x ＋1＝1，y －4＝1，解得⎩⎨⎧x ＝0，y ＝5，∴点C 的坐标为(0,5)． ∴AC →＝(－2,4)，|AC →|＝－22＋42＝25，故矩形ABCD 的对角线的长度为2 5.利用向量的坐标运算解决平面图形问题，常见的题型有：(1)求点的坐标：设出所求点的坐标，利用终点坐标与始点坐标的差得到向量的坐标，根据向量间的关系求解．(2)证明两线段垂直：证明两线段所对应的向量的数量积为零即可． (3)求线段的长度：求出线段所对应的向量的模即可．[跟踪训练5] 已知a ，b ，m ，n ∈R ，设(a 2＋b 2)(m 2＋n 2)＝(am ＋bn )2，其中mn ≠0，用向量方法求证：a m ＝b n.证明 设向量c ＝(a ，b )，d ＝(m ，n )， 且它们的夹角为θ(0°≤θ≤180°)， 则c ·d ＝am ＋bn ，|c |2＝a 2＋b 2，|d |2＝m 2＋n 2. ∵(a 2＋b 2)(m 2＋n 2)＝(am ＋bn )2， ∴|c |2|d |2＝(c ·d )2.又c ·d ＝|c ||d |cos θ，∴cos 2θ＝c ·d 2|c |2|d |2＝1，∴cos 2θ＝1.又0°≤θ≤180°，∴θ＝0°或180°，即c ∥d ，∴an －bm ＝0. 又mn ≠0，∴a m ＝b n.1．若a ＝(2，－3)，b ＝(x,2x )，且3a ·b ＝4，则x 等于( ) A ．3 B ．13 C ．－13D ．－3答案 C解析 3a ·b ＝3(2x －6x )＝－12x ＝4，∴x ＝－13.故选C.2．已知向量a ＝(1,2)，b ＝(2，－3)，若向量c 满足(c ＋a )∥b ，c ⊥(a ＋b )，则c 等于( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫79，73 B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－73，－79C.⎝ ⎛⎭⎪⎫73，79 D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－79，－73答案 D解析 设c ＝(x ，y )，则c ＋a ＝(1＋x,2＋y )，a ＋b ＝(3，－1)，由已知可得⎩⎨⎧22＋y ＋3x ＋1＝0，3x －y ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－79，y ＝－73，即c ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－79，－73.3．已知a ＝(1,2)，b ＝(x,4)，且a ·b ＝10，则|a －b |＝____. 答案5解析由题意，得a·b＝x＋8＝10，∴x＝2，∴a－b＝(－1，－2)，∴|a －b|＝ 5.4．设向量a与b的夹角为θ，且a＝(3,3)，2b－a＝(－1,1)，则cosθ＝____.答案310 10解析2b－a＝2b－(3,3)＝(－1,1)，∴2b＝(－1,1)＋(3,3)＝(2,4)，∴b＝(1,2)．cosθ＝a·b|a||b|＝3，3·1，232＋32×12＋22＝9310＝31010.5．已知平面向量a＝(1，x)，b＝(2x＋3，－x)，x∈R.(1)若a⊥b，求x的值；(2)若a∥b，求|a－b|.解(1)若a⊥b，则a·b＝(1，x)·(2x＋3，－x)＝1×(2x＋3)＋x(－x)＝0，即x2－2x－3＝0，解得x＝－1或x＝3.(2)若a∥b，则1×(－x)－x(2x＋3)＝0，即x(2x＋4)＝0，解得x＝0或x＝－2.当x＝0时，a＝(1,0)，b＝(3,0)，a－b＝(－2,0)，|a－b|＝2.当x＝－2时，a＝(1，－2)，b＝(－1,2)，a－b＝(2，－4)，|a－b|＝4＋16＝2 5.综上，|a－b|＝2或2 5.一、选择题1．已知|a|＝1，b＝(0,2)，且a·b＝1，则向量a与b夹角的大小为( )A.π6B．π4C ．π3D ．π2答案 C解析 ∵|a |＝1，b ＝(0,2)，且a ·b ＝1，∴cos 〈a ，b 〉＝a ·b |a ||b |＝11×0＋22＝12.∴向量a 与b 夹角的大小为π3.故选C. 2．已知平面向量a ＝(2,4)，b ＝(－1,2)，若c ＝a －(a ·b )b ，则|c |等于( ) A ．4 2 B ．2 5 C ．8 D ．8 2答案 D解析 易得a ·b ＝2×(－1)＋4×2＝6，所以c ＝(2,4)－6(－1，2)＝(8，－8)，所以|c |＝82＋－82＝8 2.3．已知向量a ＝(3，1)，b 是不平行于x 轴的单位向量，且a ·b ＝3，则b ＝( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫32，12 B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫14，334 D ．(1,0)答案 B解析 设b ＝(x ，y )，其中y ≠0，则a ·b ＝3x ＋y ＝ 3.由⎩⎨⎧x 2＋y 2＝1，3x ＋y ＝3，y ≠0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12，y ＝32，即b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32.故选B.4．(多选)在△ABC 中，AB →＝(2,3)，AC →＝(1，k )，若△ABC 是直角三角形，则k 的值可能为( )A ．－23B ．113C.3±132D ．23答案 ABC解析 ∵AB →＝(2,3)，AC →＝(1，k )，∴BC →＝AC →－AB →＝(－1，k －3)．若∠A ＝90°，则AB →·AC →＝2×1＋3×k ＝0，∴k ＝－23；若∠B ＝90°，则AB →·BC →＝2×(－1)＋3(k－3)＝0，∴k ＝113；若∠C ＝90°，则AC →·BC →＝1×(－1)＋k (k －3)＝0，∴k ＝3±132.故所求k 的值为－23或113或3±132. 5．若函数f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6x ＋π3(－2<x <10)的图象与x 轴交于点A ，过点A的直线l 与函数的图象交于B ，C 两点(除点A 外)，则(OB →＋OC →)·OA →＝( )A ．－32B ．－16C ．16D ．32答案 D解析 由函数f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6x ＋π3＝0可得πx 6＋π3＝k π，k ∈Z ，即x ＝6k－2，k ∈Z .因为－2<x <10，所以x ＝4，即A (4,0)．设B (x 1，y 1)，C (x 2，y 2)．由题意知B ，C 两点关于点A 对称，所以x 1＋x 2＝8，y 1＋y 2＝0.又OA →＝(4,0)，OB →＝(x 1，y 1)，OC →＝(x 2，y 2)，所以(OB →＋OC →)·OA →＝(x 1＋x 2，y 1＋y 2)·(4,0)＝4(x 1＋x 2)＝32.二、填空题6．已知向量a ＝(1,2)，b ＝(－2，－4)，|c |＝5，若(a ＋b )·c ＝52，则a与c 的夹角为____.答案2π3解析 设c ＝(x ，y )，∵a ＋b ＝(－1，－2)， 且|a |＝5，|c |＝5，(a ＋b )·c ＝52，∴(－1，－2)·(x ，y )＝52.∴－x －2y ＝52，∴x ＋2y ＝－52.设a 与c 的夹角为θ，∴cos θ＝a ·c |a ||c |＝x ＋2y 5·5＝－12.∵0≤θ≤π，∴θ＝2π3. 7．已知向量a ＝(2，－1)，b ＝(x ，－2)，c ＝(3，y )，若a ∥b ，(a ＋b )⊥(b －c )，M (x ，y )，N (y ，x )，则向量MN →的模为____.答案 8 2解析 ∵a ∥b ，∴2×(－2)－(－1)x ＝0，解得x ＝4，∴b ＝(4，－2)，∴a ＋b ＝(6，－3)，b －c ＝(1，－2－y )．∵(a ＋b )⊥(b －c )，∴(a ＋b )·(b －c )＝0，即6－3(－2－y )＝0，解得y ＝－4，∴MN →＝(y －x ，x －y )＝(－8,8)，∴|MN →|＝8 2.8．已知a ＝(1,3)，b ＝(2＋λ，1)，且a 与b 的夹角为锐角，则实数λ的取值范围是____.答案 λ>－5且λ≠－53解析 因为a 与b 的夹角为锐角，则cos 〈a ，b 〉>0，且cos 〈a ，b 〉≠1，即a ·b ＝2＋λ＋3>0，且b ≠k a ，则λ>－5且λ≠－53.三、解答题9．设平面向量a ＝(cos α，sin α)(0≤α<2π)，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32，且a 与b不共线．(1)求证：向量a ＋b 与a －b 垂直；(2)若两个向量3a ＋b 与a －3b 的模相等，求角α. 解 (1)证明：由题意，知a ＋b ＝⎝⎛⎭⎪⎫cos α－12，sin α＋32，a －b ＝⎝⎛⎭⎪⎫cos α＋12，sin α－32，∵(a ＋b )·(a －b )＝cos 2α－14＋sin 2α－34＝0，∴(a ＋b )⊥(a －b )．(2)|a |＝1，|b |＝1，由题意知(3a ＋b )2＝(a －3b )2， 化简得a ·b ＝0，∴－12cos α＋32sin α＝0，∴tan α＝33.又0≤α<2π，∴α＝π6或α＝7π6.1．已知点A (－2,0)，B (1,9)，C (m ，n )，O 是原点． (1)若A ，B ，C 三点共线，求m 与n 满足的关系式； (2)若△AOC 的面积等于3，且AC →⊥B C →，求OC →. 解 (1)由已知，得AB →＝(3,9)，AC →＝(m ＋2，n )． 由A ，B ，C 三点共线，知AB →∥AC →， ∴3n －9(m ＋2)＝0，即n －3m －6＝0.(2)由△AOC 的面积是3，得12·2·|n |＝3，∴n ＝±3.∵BC →＝(m －1，n －9)，且AC →⊥BC →， ∴(m ＋2)(m －1)＋n (n －9)＝0， 即m 2＋n 2＋m －9n －2＝0，∴当n ＝3时，m 2＋m －20＝0，解得m ＝4或m ＝－5. 当n ＝－3时，m 2＋m ＋34＝0，方程没有实数根， ∴OC →＝(4,3)或OC →＝(－5,3)．2．已知OA →＝(4,0)，OB →＝(2,23)，OC →＝(1－λ)OA →＋λOB →(λ2≠λ)． (1)证明：A ，B ，C 三点共线，并在AB →＝BC →时，求λ的值； (2)求|OC →|的最小值．解 (1)证明：AB →＝OB →－OA →＝(－2,23)，BC →＝OC →－OB →＝(1－λ)OA →－(1－λ)OB →＝(λ－1)AB →，因为AB →与BC →有公共点B ，所以A ，B ，C 三点共线． 当AB →＝BC →时，λ－1＝1，所以λ＝2.(2)|OC →|2＝(1－λ)2OA →2＋2λ(1－λ)OA →·OB →＋λ2OB →2 ＝16λ2－16λ＋16＝16⎝ ⎛⎭⎪⎫λ－122＋12. 所以当λ＝12时，|OC →|取到最小值2 3.。
课标Ⅰ卷2020届高考数学一轮第五章平面向量.平面向量的数量积及其应用理
Ｏ→Ｂ ＝ （ －１，３） ，Ｏ→Ｃ ＝ ｍＯ→Ａ－ｎＯ→Ｂ（ ｍ＞ ０，ｎ＞ ０） ，若 ｍ＋ｎ∈［ １，２］ ，则
｜ Ｏ→Ｃ ｜ 的取值范围是
（ ）
Ａ．［ ５ ，２ ５ ］
Ｂ．［ ５ ，２ １０ ）
Ｃ．（ ５ ， １０ ）
Ｄ．［ ５ ，２ １０ ］
������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������
则｜ｃ｜ ＝
（ ）
Ａ．２ ５
Ｂ． ５
Ｃ．２
Ｄ．１
答案 Ａ
解析 由题意知， ｜ ａ ｜ ＝ ５ ， ｜ ｂ ｜ ＝ ３ ５ ，ａ∥ｂ，且 ａ 与 ｂ 方 向相反．
由 ｃ·（４ａ＋ｂ）＝ ５，得 ４ａ·ｃ＋ｂ·ｃ ＝ ５． 由 ｃ 与 ｂ 的夹角为 １２０°，得 ｃ 与 ａ 的夹角为 ６０°，
２ａ·ｂ＋ ｜ ｂ ｜ ２ ＝ ３ ｜ ａ ｜ ２ ，∴ ｜ ａ＋ｂ ｜ ＝ ３ ｜ ａ ｜ ．
∴
ｃｏｓ
θ
＝
｜
（ ａ＋ｂ） ·ａ ａ＋ｂ ｜ · ｜ ａ ｜
＝
｜
ａ２ ＋ａ·ｂ ａ＋ｂ ｜ · ｜ ａ
｜
＝３ ｜ａ｜２２ Nhomakorabea＝
３ ｜ａ｜２
３ ２
．
又知 θ∈［０，π］，
∴
θ＝
π ６
，即
ａ
与
ａ＋ｂ
的夹角为
π ６
λ
＜
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命题趋势
数学
考情精解读 2
第五章·第三讲
平面向量的数量积及向量的应用
考纲解读
考点
2016全国
2015全国
2014全国
自主命题区域
·2016江苏,13,5分 ·2016山东,8,5分
命题规律
数量积的定 义及长度、角 度问题 【40%】 ·全国Ⅲ,3,5分 ·全国Ⅰ,15,5分 ·全国Ⅱ,3,5分
·2015山东,4,5分
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第五章·第三讲
平面向量的数量积及向量的应用
考点2 数量积的性质和运算律
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第五章·第三讲
平面向量的数量积及向量的应用
【辨析比较】
实数运算与向量数量积运算的区别和联系 1.在实数运算中,若ab=0,则a与b中至少有一个为0.而在 向量数量积的运算中,不能从a· b=0推出a=0或b=0成立. 实际上由a· b=0可推出以下四种结论: (1)a=0,b=0;(2)a=0,b≠0;(3)a≠0,b=0;(4)a≠0,b≠0,但a⊥b. 2.在实数运算中,若a,b∈R,则|ab|=|a|· |b|,但对于向量a,b, 却有|a· b|≤|a|· |b|,当且仅当a∥b时等号成立.这是因为 |a· b|=|a|· |b|· |cos θ|,而|cos θ|≤1.
考纲解读
1.热点预测 预计高考对本讲内容的考查以向量
命题规律
的模、夹角及数量积为主;以向量数量积的运算 为载体,综合三角函数、解析几何等知识进行考 查,是一种新的趋势,复习时应予以关注.以客观题
命题趋势
为主,有时出现在解答题中.分值5~12分.
2.趋势分析 以图形、三角函数、解析几何等知 识为载体,考查数量积的定义和应用,这是2018年 高考命题的主要趋势.
·2015江苏,14,5分
·2015四川,7,5分 ·2015天津,14,5分 ·2014四川,7,5分
命题趋势
·2014山东,12,5分
·2014江苏,12,5分 平面向量的 综合应用 【40%】 ·2016浙江,15,5分
·2014天津,8,5分
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考情精解读 3
第五章·第三讲
平面向量的数量积及向量的应用
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第五章·第三讲
平面向量的数量积及向量的应用
3. 3.实数运算满足消去律 实数运算满足消去律::若 若bc bc=ca,c≠0, =ca,c≠0,则 则b=a. b=a.在向量数量积的运算中 在向量数量积的运算中,,若 若 a· a· b b=a· b=a· =a· c c ( (a≠0), (a≠0), a≠0),则向量 则向量c,b c,b在向量 在向量a a的方向上的投影相同 的方向上的投影相同,,而不能由 而不能由a· a· a· b=a· b b=a· =a· c c(a c(a≠0) (a≠0) ≠0)得到 得到 b=c. b=c b=c. .
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第五章·第三讲 考点三
平面向量的数量积及向量的应用 a=(x1,y1),b=(x2,y2),θ为向量a,b的夹角. 结论 模 数量积 夹角 a⊥b的充 要条件 |a· b|与 |a||b|的关系 a· b=|a||b|cos θ a· b=x1x2+y1y2 几何表示 坐标表示
目 录 Contents
考情精解读 A.知识全通关 B.题型全突破 C.能力大提升
考点1 考点3
考点2 考点4
考法1 考法3 考点5
考法2 考法4
方法
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考情精解读 1
第五章·第三讲
平面向量的数量积及向量的应用
考纲解读 考试大纲 命题规律
01
1.理解平面向量数量积的含义及其物理意义.
2.了解平面向量的数量积与向量投影的关系. 3.掌握数量积的坐标表达式,会进行平面向量数量积的运算. 4.能运用数量积表示两个向量的夹角,会用数量积判断两个平面向量的垂 直关系. 5.会用向量方法解决某些简单的平面几何问题. 6.会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题.
设θ是a,b的夹角,则|b|cos θ叫作向量b在向量a的方向上的投影,|a|cos θ叫作向量a在
向量b的方向上的投影. (2)a· b的几何意义 数量积a· b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cos θ的乘积.
注意 投影和两向量的数量积都是数量,不是向量.
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4. 4.实数运算满足乘法结合律 实数运算满足乘法结合律,,但向量数量积的运算不满足乘法结合律 但向量数量积的运算不满足乘法结合律,,即 即( (a· (a· a· b b)· b)· )· c c不
不一定等于 一定等于 不一定等于 a· (a· a· b· (b· (b· c),c), 这是由于 c),这是由于 这是由于 (a· (a· (a· b)· b)· b)· c表示一个与 c c表示一个与 表示一个与 c共线的向量 c c共线的向量 共线的向量 ,a· ,a· ,a· (b· (b· (b· c)表示一个与 c) c)表示一个与 表示一个与 a共 a a 共线的向量 线的向量 共线的向量 ,而 ,,c 而 而 与 c ca 与 与 不一定共线 a a不一定共线 不一定共线 . ..
第五章·第三讲
平面向量的数量积及向量的应用
【规律总结】
设两个非零向量a与b的夹角为θ,则 θ=0°⇔cos θ=1,a· b=|a||b|; θ=180°⇔cos θ=-1,a· b=-|a||b|; θ为锐角⇔a· b>0且向量a,b不共线; θ为钝角⇔a· b<0且向量a,b不共线; θ为直角⇔cos θ=0,a· b=0.
a· b=0
|a·b|≤|a||b|(当且仅当a∥b时 等号成立)
x1x2+y1y2=0
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第五章·第三讲
平面向量的数量积及向量的应用
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知识全通关 1
第五章·第三讲 考点一
平面向量的数量积及向量的应用 平面向量的数量积
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知识全通关 2
第五章·第三讲
平面向量的数量积及向量的应用
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知识全通关 3
第五章·第三讲
平面向量的数量积及向量的应用
3.平面向量数量积的几何意义 (1)一个向量在另一个向量方向上的投影