“三法”解决平面向量数量积问题

“三法”解决平面向量数量积问题L ——> >［典例］ 已知在△ ABC 中，AB = 4 ,AC = 6, BC =■ 7,其外接圆的圆心为 0,则AO -BC偲路点拨］本题如果直接利用向量数量积的定义求解，计算复杂，过程较长•我们可以从以下三 种思路着手：(1) 利用数量积的几何意义，及数形结合思想，可以巧妙解决该题；(2) 选择——t ,——？为基底，利用向量基本定理，将——6 •——？转化到两个基底之间的运算, 问题自然就能顺利解决.⑶设D 是边BC 的中点，根据题意可知 0D 丄BC ,因此方便建立平面直角坐标系，利 用坐标运算解答问题.［方法演示］ 法一：投影法如图，作0D 丄BC ,垂足为D ，贝U D 是线段BC 的中点. 作AE 丄BC ,垂足为E.则——0在——6的方向上的投影为-- 6 --------- 6 ---- 6|AO | c os 〈 AO , BC 〉= |ED ——> |,所以——0 -B 0=|——°| |——°| cos 〈——0 ,——？> = |ED ——o | |——°|.在厶 ABC 中，AB = 4, AC = 6, BC = 7, AB2+ BC 2- AC 2 __ 13 2AB BC =-8.7.所以 cos/ ABE = cos( —/ ABC) = 13 , 8寸7 所以 BE = AB cos/ ABE =_13.2^7 所以 |ED ——o |= BE + BD = 13 +；7207 2 因为 |1B C |= 7,-- 6 -- 6 ---------------- 6所以 AO - BC = |ED ——-61 | BC |= 10.由余弦定理，得 cos/ ABC =法二：基底法如图，作0D 丄BC ,垂足为D,则D 是线段BC 的中点，且 -D -BC = 0. 所以-5 .-c-- D=（AB ------ D ----------- D ---------- D+ BD + DO ） BC--- >------ D ------------ D -------- D ----------- D -------- DBC + BD -BC + DO BC=—B ------ D ------------ D -------- DBC + BD -BC--- D -- D 1 ---- D -- D =-BA -BC + 2BC -BC ,在厶 ABC 中，AB = 4, AC = 6, BC = 7, 2 2 2AB 2+ BC 2- AC 213由余弦定理，得cos/ABC = —2ABCBC —=-丽. 所以 入（0 I B C = - - -B C + 2I B C -3C=-|"B A | I -3C |cos/ ABC + ^崗2=-4X 7 X-8137 + 1X（ 7）2= 10.法三：坐标法如图，作0D 丄BC ,垂足为D ,以D 为坐标原点，BC , DO 分别为x 轴，y 轴建立平面直角坐标系. 在厶 ABC 中，AB = 4, AC = 6, BC = 7, 2 2 2由余弦定理，得 cos/ ACB =AC+BC - AB= 9 . AC BC 4,7作AE 丄BC ,垂足为E.27 在 Rt △ ACE 中，CE = AC cos/ ACB =~j= 2^7A • (0,2)B ・(0,4]答案：10 ［解题师说］ （1） 法一（投影法）利用向量数量积的几何意义，借助于向量的投影求向量的数量积，巧妙地利用平面图形的性质， 解答简短.法二（基底法）通过向量的分解变换，即向量的线性运算， 转化成另外向量的数量积，不断化简求出值，充分体现了转化的思想，其中垂直关系的利 用是化简的关键•思维更自然，处理更简单•法三 （坐标法）巧妙地把向量运算转化为数量运算，解答过程同样简洁，体现了坐标法的威力.（2） 如果题目图形便于建立平面直角坐标系，可以优先考虑的坐标法•如果不方便建立 平面直角坐标系，则可考虑投影法或基底法，其中选择恰当的基底，将要求的数量积的两 向量用基底表示是关键.［应用体验］1.如图，△ ABC 是边长为2 3的正三角形，P 是以C 为圆心，半径为 1的圆上任意 -- > -- >点，则AP -P 的取值范围是（A • [1,13] C • (4,10)解析：选A 取AB 的中点D,连接CD ,CP,则6Q + "CB = 2Ct?, --- B -- B ------ B ---- B ---- B ---- B ----- B -- B --- B --- B以 AP -BP = ( CP — CA ) (- CP — CB ) = CA -CB — 2 CD ・CP + 1 = (2 ,3)2cos n — 2x 3x 1 x cos <0(5 , C?> + 1 = 7— 6cos 〈-?, C?>, 3------ B -------- B ------- B --------- B ------ B --------- B ----- B ---------- B以当 cos 〈 CD , CP > = 1 时，AP .BP 取得最小值为 1;当 cos 〈 CD , CP > = — 1 时，AP ・BP取得最大值为13,因此-6 亦 的取值范围是［1,13］ •2.已知四边形 ABCD 的对角线相交于一点， AC = （1,3）, B D = （ 3, 1）,则 -B -C B0(0, y 。

)，又 B —孑，0 , C# 0 .-专,y o —y A , —sc =( 7, 0).D • [4,10]设A所以7 + (y °— y A ) x 0= 10.所以A O J 3C =B . (1,13) 所的取值范围是（）A • (0,2) B・(0,4]C •[— 2,0)D •[— 4,0)解析：选C 由已知得，|瓜C p i E —E |= 2, AC 丄BD.法一（基底法）:设四边形 ABCD 的对角线相交于一点 O ,设OA = x , OB = y , 则 OC = 2— x ，OD = 2— y ，且 0<x<2,0<y<2.所以6D=—2 OC , O B =— 2y OD . 2 — x 2 — y若以"O （C , 06为基底.则 AB CD = ( OB — O A ) (6tD — OC )= — —^ O D +—^―2 — y 2 — x-- 6 6 x C Cy C 2 x C 2 , 八2 , 八2 aOD -OD — OC -OC =—|OD|2— |OC|2= (y — 1)2+ (x — 1)2— 2. 2— x2— y 2 — x22又 0 w (x — 1) <1,0 W (y — 1) <1 , 所以一2< —C €[?<0.法二（坐标法）:设四边形ABCD 的对角线相交于一点 原点，OC , OD 分别为x 轴，y 轴建立平面直角坐标系.设 =b ,贝U OC = 2— a , OD = 2— b ,且 0<a<2,0vbv2.则 A(— a,0), B(0,— b), C(2 — a,0), D(0,2 — b),- > -------------- >所以 AB = (a , — b), CD = (a — 2,2 — b).所以 AB CD = a(a — 2) + (—b)(2 — b) =(a — 1)2+ (b — 1)2— 2.22又 0W (a — 1) <1,0 w (b — 1) <1, 所以一2< —C €[?<0.［升级增分训练］、选择题1.(2017 日照一模)如图，在△ ABC 中，AB = BC = 4,/ ABC = 30 ° AD 是 BC 边上的解析：选B 因为AB = BC = 4,/ ABC = 30° AD 是BC 边上的高，所以 AD = 2,所——C C ——C yOC (OD - OC) =— 2—y D . — 4以-D -AC =A D-- D D D D D D D D 1(AB + BC) = AD - AB + AD - BC = AD -AB = 2 x 4X ^= 4.- > --- >2.（2018郑州质检）已知P是边长为2的正三角形ABC的边BC上的动点，则AP （ AB------ D+ AC)()A .有最大值B.是定值6C •有最小值D .与P点的位置有关解析：选B-- > -- > -- > -- >-- >-- > -- > 2 o设AB = a, AC = b, BP = tBC , A BC = AC —AB = b—a, a2= b2= 4,—> —> —> —> —>a b= 2 x 2x cos 60 °= 2，二AP = AB + BP = a+ t(b —a) = (1 —t)a+ tb, AB + AC = a+ b,(y AB + -A C ) = [(1 —t)a + tb] (a + b) = (1 —t)a2+ [(1 —t) + t]a b+ tb2= (1 —t) x 4 + 2 +t x 4= 6.3.如图，菱形ABCD的边长为2,/ BAD = 60 ° M为DC的中点，若N为菱形内任意一点（含边界），则AM T解析：选D 由平面向量数量积的几何意义知，AM -A N等于-D与石？在入质方向上--- D--- D --------- D --- D1 ---- D ----- D 的投影之积，所以(AM - AN )max = AM -AC = 2 AB + AD--- D----- D 1 ----- D 2(AB + AD )= ^AB- > -- >AB -AD = 9.4. (2018 宝鸡质检)在等腰直角△ ABC 中，/ ABC= 90 ° AB = BC= 2, M , N (不与A, C重合）为AC边上的两个动点，且满足|MhN|= 2，则Blv T -的取值范围为（嗚，2）C.；, 2D.解析：选C 以等腰直角三角形的直角边BC为x轴，BA为y轴，建立平面直角坐标系，如图，则B（0,0），直线AC的方程为x + y= 2.设M(a,2—a),贝U 0<a<1 , N(a + 1, 1 —a),「. BM = (a,2 —a), B h t =——> ——> 2(a+ 1,1 —a),「. BM *BN = a(a + 1) + (2 —a)(1 —a)= 2a —2a + 2,T0<a<1,BM T 百D取得最小值2又BM D i BN <2，故B M T百D的取值范围为c1•••当a= 1时,5. （2018福州模拟）在平行四边形 ABCD 中，/ BAD = 60° AB = 1, AD =Q 3, P 为平行四边形内一点， AP = 2 ,右AP = XAB +『AD （入『€ R ）,则^+ A /3『的最大值为（）A . 1C. 24 D ・4解析：选A v —C= XAI C+ 卩-C, •• I -A C|2= (XA B + ^A D)2,=^|—AB|2+『I -C |2+ 2XJ1A B -AD.又 AB = 1, AD = 3，/ BAD = 60°二-CA D = 1 x ^/3x cos 60=爭,•••(入+屁)2=3+w 入 w 4+2^3^2,- > ----- > -- >6. （2018开封质检）已知△ ABC 为等边三角形，AB = 2,设点P , Q 满足AP =入AB , AQ=(1 —为 A C ,入€ R.若 BQ -CP =— 3，贝U U ()A.； 1 土. 10 C. 2•••(—1 —人 V3(1 — ?)) (2「1,— 73)= — 2,• A 2.12,•-3卩的最大值为1,当且仅当入=1尸—3 ±2 2解析：选A法一：如图，以点A 为坐标原点，AB 所在的直线为x 轴,过点A 且垂直于 AB 的直线为y 轴，建立平面直角坐标系.则A （0,0）, B （2,0）, C(1, 3), -AB = (2,0), —S = (1, V3) ,••• P(2 入 0), Q(1 —人 V3(1—刚.即毕口等号.. _ _______ > ---- > --- > ----------- > --- > ---- > --- > ---- > --- > ---- > 法二：•/ BQ = AQ - A B = (1 - ?) -C - A B , CP = AP - A C =入A B - AC ，又 —P —P 3 —— —— —— —— BQ -CP =- 2 |AB|=|AC|= 2,〈 AB , AC > = 60°-- P -- P ----- P ---- PAB AC = |AB|「AC|COS 60 = 2,——— ——— ——— ——— 3• [(1 一 力 AC - AB ](-入AB - AC )=- ?,即开忌|2+ (於一入一1)忌—+ (1 - ?)|—A —|2= 2,••• 4入+ 2（亲一入一 1） + 4（1 —片=号，解得 =2.8 B 86 C・6解析：选D 法一：以AB , AD 所在直线分别为 x 轴，y 轴，建立平面1, 1 , A C = (1,1).v -AC = ZAM + 而=入—2 仏 扌+ □,7.如图，△ ABC 的外接圆的圆心为 O , AB = 2, AC = 7, BC = 3,—Oo 1BC 的值为（ A"3Bl解析：选A 取--- B 1BC 的中点为 D ,连接 AD , OD ，贝U OD 丄BC , AD =---- P ---- P ---- P ---- P ---- P --- P -- P ------ P ---- P --- P ---- P --- P(AB + AC ), BC = AC - AB ,所以 AO -BC = (AD + DO ) BC = AD -BC—P P P P 1 P P + DO -BC = AD -BC = 2( AB + AC)(• A — - 能)=1( AC 2-A —2) = 1X [( 7)2 - 22] = 3.8.（2018贵阳质检）如图，在正方形 ABCD 中，M , N 分别是BC , CD 的中点,--- P若AC =~— -- — rZAM + yBN ，则入+ 尸()直角坐标系，如图所示，设正方形的边长为1y AM T =Z = 5,解得. . . 1 --- B ----- B法二：由 AM = AB + 2 AD , BN = — ^AB + AD ,•••入+尸5.5DE 并延长到点F ，使得DE = 2EF ，则Nl ? I B C 的值为（）解析:选B 如图所示， -- > --- > ---- > AF = AD + DF .又D , E 分别为AB , BC 的中点, —> 1 —>且 DE = 2EF ，所以 A D = ?A B ,D F = 17D + 4A D=4 A D ,24 4所以 A D=1 AB + 3-A D.2 4又 B B = -AC -AB ,则A B B B = 2A B + 4 A B (AC -A B ) 1—> —> 1—> 2 3 —> 2 3 —> —>=o AB -AC — o AB + AC — AC AB 4 49.已知△ ABC 是边长为1的等边三角形，点D ,E 分别是边 AB , BC 的中点，连接-- B ----- B -- B得 AC = ZAM + ^BN =+扌+茴.--- > ----- > ---- >又 AC = AB + AD ,1尸4. 2 X-供26-5 2- 5- =113——> 21——> 2 1 ——> ——>蔦AC -1AB -4A C -A B.--- C ----- C又|AB|= | AC |= 1,/ BAC = 60 °——C ——C 3 11 1 1故AF Be = 3-2-4X 1X1 x 1=8.10. （2018成都诊断）已知A, B是圆O：x2+ y2= 4上的两个动点，I-2, I O C =-5 C）A2 ---- >----------------------------- > -- >-^OB若M是线段AB的中点，贝U OC OM的值为（）B. 2 3解析：选A 由条件易知△ OAB为正三角形.又由M为AB的中点，则6丽=1（OA + OEB),所以°D C •O-M = 2( O ct + 冋(5 ODt - 2 阿=15| 看2+戏牯-^|2= 3.11.（2018湖北八校联考）如图，O ABC的外心，AB = 4, AC= 2,/ BAC为钝角,--- C -- CM为BC边的中点，贝U AMD. 5解析：选D如图，取AB，AC的中点分别为D，E，可知OD丄AB, OE丄AC ,v M是BC边的中点,),--- C -- C 1 --- C ---- C ---- C 1 ----- C--- C 1--- C -- C C••• AM AO = 2( AB + AC) AO = ?AB -AO + "AC -AO = AD AO + AE -AO .由数量积的定义可得A D -AO = |AD || AO | cos〈A D , -O >,而|°A O |cos〈 AID , AO > = -1,故-D T AO = |^AD |2= 4,同理可得忌J AQ = |忌|2= 1，即0(D J AQ + 能J A O = 5,故-- > -- >AM -AO = 5.12. （2018陕西质检）已知非零单位向量a, b满足|a + b|=|a—b|,则a与b-a的夹角是443 C. n 4解析：选 C 由 |a + b|= |a — b|,得 a b = 0, 即卩 a 丄 b.法一：如图，令 0X = a , 1O B = b , 则厶AOB 为等腰直角三角形.又 b — a = AB ,••• a 与b — a 的夹角为3 n. 4法二：不妨令 a = (1,0), b = (0,1),则 b — a = (— 1,1),又T 0€ [0, n] • 0= 3 n .二、填空题13.在厶ABC 中，点D 在线段BC 的延长线上，且1B C = 3 0(?，点O 在线段CD 上(与 - B --- B --- B 点C , D 不重合)，若AO = xAB + (1 — x) AC ，贝U x 的取值范围是 --- . --- B ------ B4 -- X ----- B ----- B ----- B ----- B ----- B 解析：依题意，设 BO =入BC ,其中1< ?<3，则有 AO = AB + BO = AB +入BC = AB 3+ x AC — AB )= (1 — R AB + XAC .又 AO = xAB + (1 — x)AC ，且 AB , AC 不共线，于是 有x = 1—人由入€ 1 3知，x €3, 0 j,即x 的取值范围是3 0]答案：-3,0 14.如图，在平行四边形 ABCD 中，已知 AB = 8, AD = 5, CP = 3 PD , AP -BP = 2, 则石I °D 的值是 _______________ .解析：因为刁？ = A D +15? = A D +AB ,E B P = °? + C? = A DD — 3 AE B,设a 与b — a 的夹角为0,贝Ucos1|AID |2- 16|—A B |2-1—A D —A B = 2,将 AB = 8, AD = 5 代入解得 ^A B —AD = 22.答案：2215.如图，在 Rt △ ABC 中，AB = AC , BC = 4, O 为BC 的中点，以 O 为圆心, --- D -- D径的半圆与BC 交于点D , P 为半圆上任意一点，则 BP —D 的最小值为 _______________答案：2— 516.在厶ABC 中，AB 丄AC, AB =十,AC = t, P 是厶ABC 所在平面内一点， 若k ? = 4—AB I -?| --- D + AC ，则△ PBC 面积的最小值为______________ .| —C |解析：由于AB 丄AC ，故以AB , AC 所在直线分别为 x 轴，y 轴，建立平面直角坐标系-- D ----- D(图略)，则B t ，0，C(0, t),因为入？ = LAB，所以点P 坐标为(4,1)，直线BC 的7|A B | |A C | 2 |4t + 1 — t| PBC 的面积为J X |4昇J = * 4t +1 — 1 A 2,当且仅当t = 2时取等旦 号.1为半解析：建立如图所示的平面直角坐标系，则 B(— 2,0), A(0,2),D(1,0),设 P(x , y),故El ? = (x + 2, y), Nt D = (1, — 2)，所以 I B ?— =x —2y + 2.令x — 2y + 2 = t ,根据直线的几何意义可知，当直线 x — 2y + 2= t 与半圆相切时，t 取得最小值，由点到直线的距离公式可得|2— t| 5 =1, t = 2— 5,即 -- D -- D BP AD 的最小值是,BC =亠宁，所以△ 方呈为你+y —1=。