求解平面向量数量积的三种方法
平面向量数量积问题的三种解法
平面向量的数量积问题侧重于考查平面向量的加法、减法、数乘运算法则，数量积公式和向量的模的公式.平面向量的数量积问题的常见命题形式是：根据已知图形、向量及其关系，求两个向量的数量积或其范围.本文主要谈一谈解答平面向量的数量积问题的三种方法.一、公式法已知两个非零向量a 和b ，它们的夹角为θ，则数量||||||a →||||||b →cos θ称为a 和b 的数量积，即a ⋅b =||||||a →||||||b →cos θ.运用公式法解答平面向量的数量积问题主要就是利用平面向量的数量积公式，求出||||||a →、||||||b →及两个向量a →和b →的夹角的余弦值，即可求得两个平面向量a 和b 的数量积.特别要注意的是，在求两个向量的夹角θ时，需要使a 和b共起点.例1.在边长为1的正三角形ABC 中，D ,E 是边BC 的两个三等分点（D 靠近点B ），求 AD ⋅AE .解：因为D ,E 是边BC 的两个三等分点，所以BD =DE =CE =13，在△ABD 中，AD 2= BD 2+ AB 2-2 BD ∙ AB ∙cos 60°=æèöø132+12-2×13×1×12=79，即AD .同理可得AE ，在△ADE 中，由余弦定理可得cos ∠DAE = AD 2+ AE 2- DE 22 AD ⋅ AE 7979æö132=1314，所以 AD ⋅ AE =|| AD |AE cos ∠DAE =×1314=1318.对于本题，需要先用余弦定理求出两个向量的夹角的余弦值，再利用向量数量积的公式求解.当题目中两个向量的夹角或向量的模未知时，可以先利用解三角形知识求出它们的夹角或者向量的模，再将其代入数量积公式，运用公式法求解.二、基底法运用基底法求解平面向量的数量积问题，首先要确定一组基底，将题目中涉及的向量分别用这组基底表示出来，将问题转化为基底间的运算问题，通过向量运算求得问题的答案.此方法通常适用于向量的模或夹角不明确，无法用公式直接求出的题目.例2.如图1所示，已知正方形ABCD 的边长为1，E 是AB 边上的动点，则 DE ⋅ CB 的值为_____； DE ⋅ DC的最大值为_______.解：因为 DE = AE -AD ，所以 DE ⋅ CB =( AE - AD )⋅ CB = AE ⋅ CB - AD ⋅CB =1；DE ⋅ DC =( AE - AD )⋅ DC = AE ⋅ DC - AD ⋅ DC =|| AE ⋅|| DC ≤|| DC 2，所以() DE ⋅ DC max =|| DC max=1.解答本题，需以 AD 、AE 为基底，运用基底法求解.运用基底法求解向量的数量积问题，关键是根据已知条件选取恰当的基底，将所求向量用基底来表示，从而将问题简化.三、坐标法坐标法是指通过建立平面直角坐标系，用坐标的形式来表示各个向量，通过坐标运算求得问题的答案.运用坐标法解答平面向量的数量积问题，关键是根据题意或已知图形建立合适的平面直角坐标系.通常可以矩形的两条相邻的边为坐标轴；以直角三角形的两条直角边为坐标轴；正三角形的中线和底边为坐标轴来建立平面直角坐标系.例3.如图2，在直角△ABC 中，∠A =90°，D 为斜边BC 的中点，AB =2，AC =4，求 AD ⋅AB .解：建立如图2所示的平面直角坐标系，由题意可得 AD =(2,1)， AB =(0,2)，所以 AD ⋅AB =(2,1)⋅(0,2)=2.该三角形为直角三角形，于是以该直角三角形的两条直角边为坐标轴建立平面直角坐标系，便可通过向量坐标运算求解.总之，在求解平面向量的数量积问题时，同学们要根据题意和图形，灵活选用合适的方法进行求解，这样才能简化运算过程，达到快速解题的目的.（作者单位：江苏省如东县马塘中学）图1图2考点透视36。
平面向量的数量积和向量积推导
平面向量的数量积和向量积推导平面向量的数量积和向量积是向量运算中常用的两个操作。
它们在几何学、物理学等领域中有广泛的应用。
本文将对平面向量的数量积和向量积进行推导和说明。
一、平面向量的数量积数量积（也称为点积或内积）是两个向量的乘积的数量表示。
设有两个平面向量a和b，它们的数量积为：a ·b = |a| * |b| * cosθ其中，|a|和|b|分别表示向量a和b的模长，θ表示a和b之间的夹角。
由此可见，数量积的结果是一个实数。
它有以下几个性质：1. 交换律：a · b = b · a2. 分配律：(a + b) · c = a · c + b · c3. 数乘结合律：(k * a) · b = k * (a · b) = a · (k * b)二、平面向量的向量积向量积（也称为叉积或外积）是两个向量的乘积的向量表示。
设有两个平面向量a和b，它们的向量积为：a ×b = |a| * |b| * sinθ * n其中，|a|和|b|分别表示向量a和b的模长，θ表示a和b之间的夹角，n表示与a和b均垂直的单位向量。
向量积的结果是一个向量，它的方向垂直于平面，由右手法则确定。
由此可见，向量积具有以下几个性质：1. 反交换律：a × b = - (b × a)2. 分配律：(a + b) × c = a × c + b × c3. 数乘结合律：(k * a) × b = k * (a × b) = a × (k * b)三、数量积和向量积之间的关系数量积和向量积之间存在一个重要的关系，即向量积的模长等于数量积的模长和夹角的正弦值的乘积：|a × b| = |a| * |b| * sinθ此外，还可以通过向量积来求得两个向量之间的夹角θ：cosθ = (a · b) / (|a| * |b|)四、应用举例1. 面积计算：对于平行四边形，以两边为相邻边的一条对角线为底，可以使用向量积求得其面积。
平面向量的数量积与向量积的运算
平面向量的数量积与向量积的运算平面向量的数量积与向量积是向量的两种重要运算。
它们在物理、几何和工程学等领域中有着广泛的应用。
本文将详细介绍平面向量的数量积和向量积的定义、性质和计算方法。
一、平面向量的数量积平面向量的数量积也叫点积或内积，用符号“·”表示。
给定向量A和向量B，在平面直角坐标系中，它们的数量积定义为：A·B = |A| |B| cosθ其中，|A|和|B|分别表示向量A和向量B的模，θ表示向量A与向量B的夹角。
数量积的性质如下：1. 交换律：A·B = B·A2. 分配律：(kA)·B = k(A·B)，A·(kB) = k(A·B)，其中k为实数3. 结合律：(A+B)·C = A·C + B·C利用数量积，我们可以计算向量的夹角、向量的模、判断两个向量是否垂直等。
此外，数量积还有一种重要的几何意义，即两个向量的数量积等于它们的模与它们夹角的余弦的乘积。
二、平面向量的向量积平面向量的向量积也叫叉积或外积，用符号“×”表示。
给定向量A 和向量B，在平面直角坐标系中，它们的向量积定义为：A×B = |A| |B| sinθ n其中，|A|和|B|分别表示向量A和向量B的模，θ表示向量A与向量B的夹角，n为垂直于平面的单位向量，其方向由右手定则确定。
向量积的性质如下：1. 反交换律：A×B = -B×A2. 分配律：(kA)×B = k(A×B)，A×(kB) = k(A×B)，其中k为实数3. 结合律：(A+B)×C = A×C + B×C向量积具有一些重要的几何意义。
首先，向量积的模等于以向量A 和向量B为邻边的平行四边形的面积。
其次，向量A和向量B的向量积的方向垂直于二者所在的平面，并符合右手定则。
平面向量数量积求解的三种途径
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平面 向量数量积求解的三 种途径
７ １ ７ ６ ０ ０ 陕 西省延 安 市吴起 高级 中学 高 学聪 杜成 海
平面 向量数量积 是平面 向量 一章中 的重 要内容，是 高中数学三角 函数、 平面几何 、解析 几何等 章节知识的交汇点 ，也是高考萤 点考查 的知识．许多学 生在解此类题 时感 觉困难，究其原因，就是学生对数量积 的概念 理解 不透彻． 下面就求解方法归纳如下 ： 定义法
善骨 的营养，使骨长得更粗壮、坚固。也能使骨骼肌获得更多的营养，使肌 肉 的工 作能力提高。从而帮助学生形成 自学参与体育锻炼的意识。通过 “ 收集 、 分析 药品标签中的信息”的活动，知道防御一般感 冒所需要方法，了解一些家 庭常备 的内服 药和外用药 ，并做到安全 、科学用药的生活习惯 。 三、帮助学生彝成 自觉健囊生活 生物学教学要 指导学生如何创建 健康的生活环 境。人类 的活动离不 开环 境，良好环 境是健康 不可缺少的条件。在生物学教学中，要不断渗透科学的生 活方式 ，引导学生 自 觉创 建 良好的生活环境 。如日常 生活 中，要经常开启 门窗， 保持 空气清 新，采用湿 式扫地等。要渗透美化环境的意识，如在教室、寝 室等 生活 的空 间里适 当养花 ，以净化室 内空气 。 生 物学教学要把 生命教育列为重 要教学 内容 。生物 教师要帮助学生树立 珍爱生命 的人生观 。通 过生物教学，让学生正确认识传染病传 播的三个途径 ， 理解预 防传染病的措旌 。 生物教师要纠正一些错误的生命观， 如纠正学生对 “ 艾 滋病 ” 的错误认识 ， 学会关爱艾滋病患者 。 生物教师还可设计 一些课外科技活动， 渗透生命教育 。如组织 学生开展 “ 关于预防 甲型 Ｈ Ｉ Ｎ １ 流感 ”的科技实践活动 ， 为学生体验生命意义搭建平 台，创造机会。 实践证 明， 教育 学生要注重方法 ， 符合认知规律 ， 仅凭一些“ 大道理” 或“ 强 制 ”的方法 ，难 以收到好 的教学效果。作为生物 教师，要利用 自身的优势，积 极参与学校 的健康教育 教学工作 ，利用 生物学知识对学生进行健康 教育，帮助 学生形成健康生活的思想和行为方式，具有深远 意义 。
平面向量的数量积及其性质
平面向量的数量积及其性质平面向量是数学中的一个重要概念，数量积则是描述平面向量之间的一种运算。
本文将介绍平面向量的数量积以及它的性质。
1. 数量积的定义及计算方法数量积，也称为点乘或内积，是两个向量之间的一种运算。
对于平面上的向量A和B，它们的数量积记为A·B，计算方法如下：A·B = |A| |B| cosθ其中，|A|和|B|分别是向量A和B的模，θ是A和B之间的夹角。
2. 数量积的几何意义数量积具有几何意义，它表示一个向量在另一个向量上的投影长度乘以另一个向量的模。
具体来说，如果向量A的方向与向量B的夹角θ为锐角或直角，则A·B大于0；如果θ为钝角，则A·B小于0；如果θ为180度，则A·B等于0。
3. 数量积的性质（1）交换律：A·B = B·A数量积满足交换律，即向量的数量积与它们的顺序无关。
（2）分配律：(A + B)·C = A·C + B·C数量积满足分配律，即两个向量之和与另一个向量的数量积等于它们分别与该向量的数量积之和。
（3）数量积与夹角的关系：A·B = 0 当且仅当 A 和 B 垂直当两个向量的数量积为0时，它们相互垂直。
（4）数量积与向量模的关系：A·A = |A|^2向量A的数量积等于它的模的平方。
4. 应用举例（1）判断向量的大小关系根据向量的数量积性质，可以通过比较两个向量的数量积来判断它们的大小关系。
若A·B > 0，则表示向量A的模大于向量B的模；若A·B < 0，则表示向量A的模小于向量B的模。
（2）计算向量的夹角利用数量积的定义，可以通过求解方程cosθ = A·B / (|A| |B|)来计算两个向量的夹角θ。
（3）求解平面向量的模根据数量积的性质，可以利用向量的数量积来求解向量的模。
若已知向量A与另一个向量B垂直，且知道A·B的值，那么可以通过方程A·B = |A| |B| cos90° = 0求解出向量A的模。
平面向量的数量积与投影
平面向量的数量积与投影平面向量的数量积和投影是向量运算中的重要概念，在数学和物理学中具有广泛的应用。
本文将介绍平面向量的数量积和投影的概念、计算方法以及其在几何和物理中的应用。
一、平面向量的数量积平面向量的数量积（也称为内积、点乘）是指将两个向量的对应分量相乘后求和所得到的数值。
若有向量a=(a₁,a₂)和b=(b₁,b₂)，则它们的数量积用符号表示为a·b，计算公式为：a·b=a₁b₁+a₂b₂。
数量积具有以下性质：1. 交换律：a·b=b·a2. 分配律：a·(b+c)=a·b+a·c3. 数乘结合律：(k·a)·b=k·(a·b)数量积的几何意义在于它可以用来计算两个向量之间的夹角。
设夹角为θ，则cosθ=(a·b)/(||a||*||b||)，其中||a||和||b||分别为向量a和b的模。
根据这个公式，我们可以判断向量之间的夹角大小以及它们之间的相对方向。
二、平面向量的投影平面向量的投影是指一个向量在另一个向量上的影子长度，它是向量运算中的一种重要应用。
设有向量a和b，投影表示为proj_b a，计算公式为：proj_b a=(a·b)/||b|| * (b/||b||)，其中(||b||)为向量b的模。
投影有以下性质：1. 投影为零向量当且仅当向量a与向量b垂直，即a⊥b。
2. 投影的方向与向量b相同或相反，具体取决于向量a与向量b的夹角。
当0°≤θ≤90°时，投影方向与b相同；当90°<θ≤180°时，投影方向与b相反。
投影的几何意义在于它可以帮助我们分析向量之间的关系，特别是在解决几何问题时，投影的计算能够简化向量的运算过程。
三、平面向量的数量积与投影的应用1. 几何应用：平面向量的数量积和投影在几何学中有广泛的应用。
例析平面向量数量积的三种处理方法
Ｄ
Ｐ
ｃ
２ ）＝ （＞Ｏ 关于直线 ）＋（ ＋２ ｒ ）
ｚ ＋ ＋２ 对称． ＝０
（ ）求 同 Ｃ 的 方 程 ： ２ 】 ｆ ）话 ０ 同 卜的 一 个 动
Ｊ
点， 求 ．
的最小值．
解 ：１ （）略． Ｃ的方程 圆
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一
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因为 ＡＢ ＮＡＣ不共 线 ， 以ＡＢ， 所 ＡＣ
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从 而 Ｐ ・ＭＱ 一， ｃｓ ＋ ｓ ０ 一 ２— ２ｉ Ｑ ／ ｏ０ ｉ ） ｇ（ ｎ ｓ ｎ
（ ４） ２ ， 且所 给平 面 图 形方便 建立 直角 坐标 系 ， 容 易写 出各涉 及 点 坐标 并
（ ）以 Ａ为坐标原点 ， Ｂ为 Ｘ轴建立 如 图所 示 ２ Ａ
的直角坐标 系，
解得 志 一± ， 以直 线 ｚ 所 的方程 为 ： 一±
（ ｚ十 ２ ）
则 （ＯＢ ，＇ ， ） （０ ＡＯ） （ＯＤ ２ ２ ， １） ，，２） （ Ｍ ，
ｌ
点评： 当题 中已知 口 ｂ的模 或夹 角 时 ， 向量 的 ， 将
数量积用定 义式 来转 化 ， 比较简 洁．
二 、坐 标 法
Ｄ
Ｐ
ｌ
设 ｎ一 （ ， １ ， １ Ｙ ） ｂ＝ （ ， ２ ， 口 ・ｂ— ２ Ｙ ） 则
Ａ 肘
Ｂ
／
Ｘ Ｘ － １ ２ １２ Ｙｙ． ｑ
例 ３ （ ） 图 （ ）在 等腰 直 角 三 角 形 ＡＢ 中 ， １如 ４， Ｃ
平面向量的数量积
题型三 平面向量与三角函数 例 3 (2020·陕西部分学校摸底)在△ABC 中，设 A，B，C 的对边分别为 a，b，c， 向量 m＝(cosA，sinA)，n＝( 2－sinA，cosA)，且|m＋n|＝2. (1)求角 A 的大小； (2)若 b＝4 2，c＝ 2a，求△ABC 的面积．
解：(1)∵m＋n＝( 2＋cosA－sinA，cosA＋sinA)， ∴|m＋n|＝ 2＋cosA－sinA2＋cosA＋sinA2 ＝ 4－4sinA－π4. ∵|m＋n|＝2，∴sinA－π4＝0， 又 0＜A＜π，∴－π4＜A－π4＜34π，∴A－π4＝0， 即 A＝π4.
(2)∵c＝ 2a，A＝π4，∴ac＝ssiinnCA＝ 2， ∴sinC＝1，又 0＜C＜π，∴C＝π2. ∴△ABC 为等腰直角三角形，S△ABC＝12×(4 2)2＝16.
【思维升华】 平面向量与三角函数的综合问题的解题思路 (1)题目条件给出向量的坐标中含有三角函数的形式，运用向量共线或垂直或等式 成立等，得到三角函数的关系式，然后求解． (2)给出用三角函数表示的向量坐标，要求的是向量的模或者其他向量的表达形 式，解题思路是经过向量的运算，利用三角函数在定义域内的有界性，求得值域 等．
【思维升华】 平面向量数量积的三种运算方法 (1)当已知向量的模和夹角时，可利用定义法求解，即 a·b＝|a||b|cos〈a，b〉． (2)当已知向量的坐标时，可利用坐标法求解，即若 a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则 a·b＝x1x2＋y1y2. (3)利用数量积的几何意义求解．
题型二 平面向量数量积的应用 命题点 1 求向量的模 例 1 (1)(2020·永州模拟)在△ABC 中，∠BAC＝60°，AB＝5，AC＝6，D 是 AB 上一点，且A→B·C→D＝－5，则|B→D|等于( )
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求解平面向量数量积的三种方法
作者：谢伟杰
来源：《读写算》2018年第34期
摘要梅州市高一数学质量抽测题第11题是一道关于平面向量数量积的考题，这道考题引起了笔者的注意。
此题很好地考察了学生对数量积概念的理解，也能很好地考察学生对求解平面向量数量积的方法是否掌握到位。
关键词平面向量数量积；解法
中图分类号：O241.7 文献标识码：A 文章编号：1002-7661（2018） 34-0211-01
做题中的“少运算”是建立在对基本概念理解的基础之上的，学生只有对相关的概念、性质有深刻的理解，而不是纯粹的记公式或套方法，才能在做题中真正实现“多思考，少运算”。
教师在教学中，要帮助学生去认识相关知识点的核心及实质，而不是认为学生只要能记住相关的公式或会套用某类方法解题就行，否则，在具体的问题情境中，学生极容易在公式与计算中迷失，从而找不到解决问题的有效途径。
一、原题呈现
已知是边长为的等边三角形，点，分别是边，的中点，连接并延长到点，使得，则
的值为（）
二、解法展示与对比
解法一：如图1，
解法二：如图2，以点为坐标原点，为轴正方向，建立如图所示的直角坐标系。
则，，
解法三：如图3，点在上的投影为点，作點在上的投影，则在是的投影为，由向量数量积的含义可知，易得与相似，所以，又，所以，即 . 故
作为选择题，解法三有明显的优点，即我们只需将在上的投影作出，对图中线段的长度作大致估计，就可迅速判断只有选项才是合理的。
笔者认为这样并不是投机取巧，恰恰相
反，在考场上会做这样的思考，并采取此策略的学生，说明该生对数量积的概念有更深刻的理解，并有更好的思维能力。
这与高考命题中所提倡的“多思考，少运算”的理念也是一致的。