平面向量的数量积的求法

平面向量的数量积的求法

一、知识储备

1．向量的夹角

已知两个非零向量a 和b ，作OA →＝a ，OB →＝b ，则∠AOB 就是向量a 与b 的夹角，向量夹角

的范围是：[0，π]．

2．平面向量的数量积

3.平面向量数量积的性质 设a ，b 都是非零向量，e 是单位向量，θ为a 与b (或e )的夹角．则

(1)e ·a ＝a ·e ＝|a |cos θ.(2)a ⊥b ⇔a ·b ＝0.

(3)当a 与b 同向时，a ·b ＝|a ||b |；

当a 与b 反向时，a ·b ＝－|a ||b |.特别地，a ·a ＝|a |2或|a |(4)cos θ＝a ·b |a ||b |

.(5)|a ·b |≤|a ||b |. 4．平面向量数量积满足的运算律

(1)a·b ＝b·a ；(2)(λa )·b ＝λ(a·b )＝a ·(λb )(λ为实数)；(3)(a ＋b )·c ＝a·c ＋b·c .

5．平面向量数量积有关性质的坐标表示

设向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a·b ＝x 1x 2＋y 1y 2，由此得到：

(1)若a ＝(x ，y )，则|a |2＝x 2＋y 2或|a |＝x 2＋y 2.

(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则A ，B 两点间的距离|AB |＝|AB →|＝(x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)2.

(3)设两个非零向量a ，b ，a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ⊥b ⇔x 1x 2＋y 1y 2＝0.

[方法与技巧]

1．计算数量积的五种方法：定义法、坐标运算、数量积的几何意义、基向量法、极化公式法，解题要灵活选用恰当的方法，和图形有关的不要忽略数量积几何意义的应用．

2．求向量模的常用方法：利用公式|a |2＝a 2，将模的运算转化为向量的数量积的运算．

3．利用向量垂直或平行的条件构造方程或函数是求参数或最值问题常用的方法与技巧．

二、知识导学

例1、如图，在半径为1的扇形AOB 中，∠AOB ＝60°，C 为弧上的动点，AB 与OC 交于点

P ，则OP →·BP →最小值是___________________．

课堂训练：

1、310=ABC M BC AM BC AB AC ==⋅在△中，是的中点，，，则

2、如图，在四边形ABCD 中，AB ⊥BC ,AD ⊥DC ，若||,||AB a AD b ==，

则AC BD ⋅= .

222222A. B. C. D.b a a b a b ab --+

3．如图，O 为△ABC 的外心，BAC AC AB ∠==,2,4为钝角,M 是边

BC 的中点，则AO AM ⋅的值为 （ ）． A ．4 B ．5 C ．6 D ．7 4、已知1

,,AB AC AB AC t t

⊥== ，若P 点是ABC ∆ 所在平面内一点，且4AB AC AP AB AC =

+ ，则PB PC ⋅ 的最大值=

5、正ABC ∆边长等于3，点P 在其外接圆上运动，则PB AP ⋅的取值范围是（ ）

A. ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-23,23

B. ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-21,23

C. ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-23,21

D. ⎥⎦

⎤⎢⎣⎡-21,21

三、课后追踪

1、如图，在ABC △中，3AB BC ==，30ABC ∠=，AD 是边BC

上的高，则AD AC ⋅的值等于（ ）

A ．0

B ．94

C ．4

D ．94-

2．在边长为1的等边ABC ∆中，,D E 分别在边BC 与AC 上，且BD DC =，2AE EC =，则AD BE ⋅=（ ）

A ．12-

B ． 13-

C ．14-

D ．16

-

3．如图，AOB ∆为等腰直角三角形，1=OA ，OC 为斜边AB 的高，

P 为线段OC 的中点，则=⋅OP AP ( ) A ．1- B ．81- C ．41- D ．21- 4．在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，1===→

→→OD OC OB ，→→→→=++0OD OC OB ，

(1,1),A 则→→⋅OB AD 的取值范围（ ）

A.12,21⎡⎤---⎣⎦

B.112,222⎡⎤---+⎢⎥⎣⎦

C.112,22

2⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦ D.12,12⎡⎤-+⎣⎦ 5．在ABC ∆中，0P 是AB 中点，且对于边AB 上任一点P ，恒有00PB PC P B P C ⋅≥⋅，则有（ ）

A. AB BC =

B. AC BC =

C. 90ABC ∠=

D. 90BAC ∠=

6．已知菱形ABCD 的边长为2，120BAD ，点,E F 分别在边,BC DC 上，BE BC ，

DF DC ．若1AE AF ，23

CE CF ，则 （ ）

（A ）12 （B ）23 （C ）56 （D ）712 7．如图在平行四边形ABCD 中，已知8,5AB AD ==，

3,2CP PD AP BP =⋅=，则AB AD ⋅的值是 .

8．如图，在矩形ABCD 中，AB ＝2，BC ＝2，点E 为BC 的中点，点F

在边CD 上，若AB ·AF ＝2，则AE ·BF 的值是________．

9.已知,||2,AB AC CB ⊥=若P 点是ABC ∆ 所在平面内一点，且

4AB

AC

AP AB AC =+ ，则PB PC ⋅ 的最小值=