平面向量的数量积的求法

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平面向量的数量积和叉积的计算步骤

平面向量的数量积和叉积的计算步骤平面向量是数学中重要的概念，它在物理、几何等领域中具有广泛的应用。

其中，数量积和叉积是平面向量运算中的两个重要概念，用于描述向量之间的关系和性质。

本文将介绍平面向量数量积和叉积的计算步骤。

一、平面向量的数量积的计算步骤数量积又称为点积或内积，表示两个向量的乘积的数量。

计算平面向量的数量积可以按照以下步骤进行：1. 确定两个向量的坐标表示形式。

平面向量通常用列向量表示，例如向量a可以表示为(a₁, a₂)，向量b可以表示为(b₁, b₂)。

2. 将两个向量的对应坐标相乘。

将a₁与b₁相乘得到的结果记为x₁，将a₂与b₂相乘得到的结果记为x₂。

3. 对结果进行求和。

将x₁和x₂相加得到总和s，即s = x₁ + x₂。

4. 得到最终结果。

最终结果即为平面向量的数量积，记作a·b = s。

二、平面向量的叉积的计算步骤叉积又称为向量积或外积，表示两个向量之间的乘积的向量。

计算平面向量的叉积可以按照以下步骤进行：1. 确定两个向量的坐标表示形式。

与数量积相同，平面向量可以用列向量表示，向量a可以表示为(a₁, a₂)，向量b可以表示为(b₁, b₂)。

2. 计算叉积的第一分量。

将a₁与b₂相乘得到的结果记为y₁。

3. 计算叉积的第二分量。

将a₂与b₁相乘得到的结果记为y₂。

4. 得到最终结果。

最终结果即为平面向量的叉积，记作a×b = (y₁, y₂)。

三、数量积和叉积的性质和应用1. 数量积的性质：- a·b = b·a，即数量积满足交换律。

- a·(b+c) = a·b + a·c，即数量积满足分配律。

- k(a·b) = (ka)·b = a·(kb)，即数量积满足数乘的结合律。

2. 叉积的性质：- a×b = -b×a，即叉积满足反交换律。

- a×(b+c) = a×b + a×c，即叉积满足分配律。

平面向量数量积问题的三种解法

平面向量的数量积问题侧重于考查平面向量的加法、减法、数乘运算法则，数量积公式和向量的模的公式.平面向量的数量积问题的常见命题形式是：根据已知图形、向量及其关系，求两个向量的数量积或其范围.本文主要谈一谈解答平面向量的数量积问题的三种方法.一、公式法已知两个非零向量a 和b ，它们的夹角为θ，则数量||||||a →||||||b →cos θ称为a 和b 的数量积，即a ⋅b =||||||a →||||||b →cos θ.运用公式法解答平面向量的数量积问题主要就是利用平面向量的数量积公式，求出||||||a →、||||||b →及两个向量a →和b →的夹角的余弦值，即可求得两个平面向量a 和b 的数量积.特别要注意的是，在求两个向量的夹角θ时，需要使a 和b共起点.例1.在边长为1的正三角形ABC 中，D ,E 是边BC 的两个三等分点（D 靠近点B ），求 AD ⋅AE .解：因为D ,E 是边BC 的两个三等分点，所以BD =DE =CE =13，在△ABD 中，AD 2= BD 2+ AB 2-2 BD ∙ AB ∙cos 60°=æèöø132+12-2×13×1×12=79，即AD .同理可得AE ，在△ADE 中，由余弦定理可得cos ∠DAE = AD 2+ AE 2- DE 22 AD ⋅ AE 7979æö132=1314，所以 AD ⋅ AE =|| AD |AE cos ∠DAE =×1314=1318.对于本题，需要先用余弦定理求出两个向量的夹角的余弦值，再利用向量数量积的公式求解.当题目中两个向量的夹角或向量的模未知时，可以先利用解三角形知识求出它们的夹角或者向量的模，再将其代入数量积公式，运用公式法求解.二、基底法运用基底法求解平面向量的数量积问题，首先要确定一组基底，将题目中涉及的向量分别用这组基底表示出来，将问题转化为基底间的运算问题，通过向量运算求得问题的答案.此方法通常适用于向量的模或夹角不明确，无法用公式直接求出的题目.例2.如图1所示，已知正方形ABCD 的边长为1，E 是AB 边上的动点，则 DE ⋅ CB 的值为_____； DE ⋅ DC的最大值为_______.解：因为 DE = AE -AD ，所以 DE ⋅ CB =( AE - AD )⋅ CB = AE ⋅ CB - AD ⋅CB =1；DE ⋅ DC =( AE - AD )⋅ DC = AE ⋅ DC - AD ⋅ DC =|| AE ⋅|| DC ≤|| DC 2，所以() DE ⋅ DC max =|| DC max=1.解答本题，需以 AD 、AE 为基底，运用基底法求解.运用基底法求解向量的数量积问题，关键是根据已知条件选取恰当的基底，将所求向量用基底来表示，从而将问题简化.三、坐标法坐标法是指通过建立平面直角坐标系，用坐标的形式来表示各个向量，通过坐标运算求得问题的答案.运用坐标法解答平面向量的数量积问题，关键是根据题意或已知图形建立合适的平面直角坐标系.通常可以矩形的两条相邻的边为坐标轴；以直角三角形的两条直角边为坐标轴；正三角形的中线和底边为坐标轴来建立平面直角坐标系.例3.如图2，在直角△ABC 中，∠A =90°，D 为斜边BC 的中点，AB =2，AC =4，求 AD ⋅AB .解：建立如图2所示的平面直角坐标系，由题意可得 AD =(2,1)， AB =(0,2)，所以 AD ⋅AB =(2,1)⋅(0,2)=2.该三角形为直角三角形，于是以该直角三角形的两条直角边为坐标轴建立平面直角坐标系，便可通过向量坐标运算求解.总之，在求解平面向量的数量积问题时，同学们要根据题意和图形，灵活选用合适的方法进行求解，这样才能简化运算过程，达到快速解题的目的.（作者单位：江苏省如东县马塘中学）图1图2考点透视36。

数量积

§5.3 平面向量的数量积1．平面向量的数量积已知两个非零向量a 与b ，它们的夹角为θ，则数量|a ||b |cos θ叫做a 与b 的数量积(或内积)，记作a ·b ＝|a ||b |cos θ.规定：零向量与任一向量的数量积为__0__.两个非零向量a 与b 垂直的充要条件是 a·b ＝0，两个非零向量a 与b 平行的充要条件是 a·b ＝±|a||b|.2．平面向量数量积的几何意义数量积a·b 等于a 的长度|a |与b 在a 的方向上的投影|b |cos θ的乘积． 3．平面向量数量积的重要性质 (1)e·a ＝a·e ＝|a |cos θ；(2)非零向量a ，b ，a ⊥b ⇔a·b ＝0； (3)当a 与b 同向时，a·b ＝|a||b|；当a 与b 反向时，a·b ＝－|a||b|，a·a ＝|a |2，|a |＝a·a ； (4)cos θ＝a·b|a||b|；(5)|a·b |__≤__|a||b|.4．平面向量数量积满足的运算律 (1)a·b ＝b·a (交换律)；(2)(λa )·b ＝λ(a·b )＝a ·(λb )(λ为实数)； (3)(a ＋b )·c ＝a·c ＋b·c .5．平面向量数量积有关性质的坐标表示设向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a·b ＝x 1x 2＋y 1y 2，由此得到 (1)若a ＝(x ，y )，则|a |2＝x 2＋y 2或|a |＝x 2＋y 2.(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则A 、B 两点间的距离|AB |＝|AB →|＝(x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)2. (3)设两个非零向量a ，b ，a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ⊥b ⇔x 1x 2＋y 1y 2＝0. 【思考辨析】判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”(1)向量在另一个向量方向上的投影为数量，而不是向量．( )(2)两个向量的数量积是一个实数，向量的加、减、数乘运算的运算结果是向量．( ) (3)△ABC 内有一点O ，满足OA →＋OB →＋OC →＝0，且OA →·OB →＝OB →·OC →，则△ABC 一定是等腰三角形．( )(4)在四边形ABCD 中，AB →＝DC →且AC →·BD →＝0，则四边形ABCD 为矩形．( )(5)两个向量的夹角的范围是[0，π2]．( )(6)已知a ＝(λ，2λ)，b ＝(3λ，2)，如果a 与b 的夹角为锐角，则λ的取值范围是λ<－43或λ>0.( )1．(2014·重庆)已知向量a ＝(k,3)，b ＝(1,4)，c ＝(2,1)，且(2a －3b )⊥c ，则实数k 等于( ) A ．－92B ．0C ．3D.1522．已知向量a ，b 的夹角为60°，且|a |＝2，|b |＝1，则向量a 与向量a ＋2b 的夹角等于( ) A ．150° B ．90° C ．60° D ．30°3．已知a ＝(2,3)，b ＝(－4,7)，则a 在b 方向上的投影为________．4．在△ABC 中，M 是BC 的中点，AM ＝3，点P 在AM 上，且满足AP →＝2PM →，则P A →·(PB →＋PC →)的值为________．题型一平面向量数量积的运算例1 (1)(2013·湖北)已知点A (－1,1)、B (1,2)、C (－2，－1)、D (3,4)，则向量AB →在CD →方向上的投影为( ) A.322B.3152C. －322D ．－3152(2)已知正方形ABCD 的边长为1，点E 是AB 边上的动点，则DE →·CB →的值为________；DE →·DC →的最大值为________．(1)已知平面向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，若|a |＝2，|b |＝3，a ·b ＝－6.则x 1＋y 1x 2＋y 2的值为( )A.23 B ．－23 C.56 D ．－56(2)在△ABC 中，若A ＝120°，AB →·AC →＝－1，则|BC →|的最小值是( ) A. 2 B ．2 C. 6 D ．6题型二求向量的模与夹角例2 (1)若平面向量a 与平面向量b 的夹角等于π3，|a |＝2，|b |＝3，则2a －b 与a ＋2b 的夹角的余弦值等于( ) A.126 B ．－126C.112D ．－112(2)已知向量a ，b 的夹角为45°，且|a |＝1，|2a －b |＝10，则|b |＝________.(3)(2013·山东)已知向量AB →与AC →的夹角为120°，且|AB →|＝3，|AC →|＝2.若A P →＝λAB →＋AC →，且AP →⊥BC →，则实数λ的值为________．(1)(2013·天津)在平行四边形ABCD 中，AD ＝1，∠BAD ＝60°，E 为CD 的中点．若AC →·BE →＝1，则AB 的长为________．(2)(2014·江西)已知单位向量e 1与e 2的夹角为α，且cos α＝13，向量a ＝3e 1－2e 2与b ＝3e 1－e 2的夹角为β，则cos β＝________. 题型三数量积的综合应用例3 已知△ABC 的角A 、B 、C 所对的边分别是a 、b 、c ，设向量m ＝(a ，b )，n ＝(sin B ，sin A )，p ＝(b －2，a －2)．(1)若m ∥n ，求证：△ABC 为等腰三角形；(2)若m ⊥p ，边长c ＝2，角C ＝π3，求△ABC 的面积．已知向量m ＝(2sin(ωx ＋π3)，1)，n ＝(2cos ωx ，－3)(ω>0)，函数f (x )＝m ·n 的两条相邻对称轴间的距离为π2.(1)求函数f (x )的单调递增区间； (2)当x ∈[－5π6，π12]时，求f (x )的值域．高考中以向量为背景的创新题典例：(1)对任意两个非零的平面向量α和β，定义α∘β＝α·ββ·β.若两个非零的平面向量a ，b 满足a 与b 的夹角θ∈(π4，π2)，且a ∘b 和b ∘a 都在集合{n2|n ∈Z }中，则a ∘b 等于( )A.52B.32 C ．1 D.12(2)设向量a ＝(a 1，a 2)，b ＝(b 1，b 2)，定义一种向量积a ⊗b ＝(a 1b 1，a 2b 2)，已知向量m ＝(2，12)，n ＝(π3，0)，点P (x ，y )在y ＝sin x 的图象上运动，Q 是函数y ＝f (x )图象上的点，且满足OQ →＝m ⊗OP →＋n (其中O 为坐标原点)，则函数y ＝f (x )的值域是________．A 组专项基础训练 (时间：45分钟)1．若向量a ，b 满足|a |＝|b |＝|a ＋b |＝1，则a ·b 的值为( ) A ．－12 B.12C ．－1D ．12．已知向量a ＝(1，3)，b ＝(－1,0)，则|a ＋2b |等于( ) A ．1 B. 2 C ．2 D ．43．已知向量a ＝(1,2)，b ＝(2，－3)．若向量c 满足(c ＋a )∥b ，c ⊥(a ＋b )，则c 等于( ) A.⎝⎛⎭⎫79，73 B.⎝⎛⎭⎫－73，－79 C.⎝⎛⎭⎫73，79D.⎝⎛⎭⎫－79，－73 4．向量AB →与向量a ＝(－3,4)的夹角为π，|AB →|＝10，若点A 的坐标是(1,2)，则点B 的坐标为( ) A ．(－7,8) B ．(9，－4) C ．(－5,10)D ．(7，－6)5．(2013·福建)在四边形ABCD 中，AC →＝(1,2)，BD →＝(－4,2)，则该四边形的面积为( ) A. 5 B ．2 5 C ．5 D ．106．(2014·北京)已知向量a ，b 满足|a |＝1，b ＝(2,1)，且λa ＋b ＝0(λ∈R )，则|λ|＝________. 7．(2013·课标全国Ⅱ)已知正方形ABCD 的边长为2，E 为CD 的中点，则AE →·BD →＝________. 8．已知a ＝(2，－1)，b ＝(λ，3)，若a 与b 的夹角为钝角，则λ的取值范围是____________． 9．已知|a |＝4，|b |＝3，(2a －3b )·(2a ＋b )＝61. (1)求a 与b 的夹角θ； (2)求|a ＋b |和|a －b |.10．已知△ABC 的内角为A 、B 、C ，其对边分别为a 、b 、c ，B 为锐角，向量m ＝(2sin B ，－3)，n ＝(cos 2B,2cos 2B2－1)，且m ∥n .(1)求角B 的大小；(2)如果b ＝2，求S △ABC 的最大值．B 组专项能力提升 (时间：20分钟)11．△ABC 的外接圆圆心为O ，半径为2，OA →＋AB →＋AC →＝0，且|OA →|＝|AB →|，则CA →在CB →方向上的投影为( )A ．1B ．2 C. 3 D ．312．在△ABC 中，A ＝90°，AB ＝1，AC ＝2.设点P ，Q 满足AP →＝λAB →，AQ →＝(1－λ)AC →，λ∈R .若BQ →·CP →＝－2，则λ等于( ) A.13 B.23 C.43D ．2 13.如图所示，在平面四边形ABCD 中，若AC ＝3，BD ＝2，则(AB →＋DC →)·(AC →＋BD →)＝________.14．(2014·湖南)在平面直角坐标系中，O 为原点，A (－1,0)，B (0，3)，C (3,0)，动点D 满足|CD →|＝1，则|OA →＋OB →＋OD →|的最大值是________．15．已知向量p ＝(2sin x ，3cos x )，q ＝(－sin x,2sin x )，函数f (x )＝p ·q . (1)求f (x )的单调递增区间；(2)在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，且f (C )＝1，c ＝1，ab ＝23，且a >b ，求a ，b 的值．§5.4 平面向量应用举例1．向量在平面几何中的应用(1)用向量解决常见平面几何问题的技巧：平面几何问题――→设向量向量问题――→运算解决向量问题――→还原解决几何问题2．平面向量与其他数学知识的交汇平面向量作为一个运算工具，经常与函数、不等式、三角函数、数列、解析几何等知识结合，当平面向量给出的形式中含有未知数时，由向量平行或垂直的充要条件可以得到关于该未知数的关系式．在此基础上，可以求解有关函数、不等式、三角函数、数列的综合问题．此类问题的解题思路是转化为代数运算，其转化途径主要有两种：一是利用平面向量平行或垂直的充要条件；二是利用向量数量积的公式和性质．【思考辨析】判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)若AB→∥AC→，则A，B，C三点共线．()(2)解析几何中的坐标、直线平行、垂直、长度等问题都可以用向量解决．()(3)实现平面向量与三角函数、平面向量与解析几何之间的转化的主要手段是向量的坐标运算．()(4)在△ABC中，若AB→·BC→<0，则△ABC为钝角三角形．()(5)已知平面直角坐标系内有三个定点A(－2，－1)，B(0，10)，C(8,0)，若动点P满足：OP→＝OA→＋t(AB→＋AC→)，t∈R，则点P的轨迹方程是x－y＋1＝0.()1．已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A(3,4)，B(5，2)，C(－1，－4)，则这个三角形是() A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．等腰直角三角形2．(2014·山东)已知向量a＝(1，3)，b＝(3，m)．若向量a，b的夹角为π6，则实数m等于()A ．2 3 B. 3 C ．0 D ．－33．平面上有三个点A (－2，y )，B ⎝⎛⎭⎫0，y 2，C (x ，y )，若AB →⊥BC →，则动点C 的轨迹方程为__________．题型一向量在平面几何中的应用例1 如图所示，四边形ABCD 是正方形，P 是对角线DB 上的一点(不包括端点)，E ，F 分别在边BC ，DC 上，且四边形PFCE 是矩形，试用向量法证明：P A ＝EF .(1)在边长为1的菱形ABCD 中，∠BAD ＝60°，E 是BC 的中点，则AC →·AE →等于( ) A.3＋33B.92C. 3D.94(2)在△ABC 所在平面上有一点P ，满足P A →＋PB →＋PC →＝AB →，则△P AB 与△ABC 的面积的比值是( )A.13B.12C.23D.34题型二向量在三角函数中的应用例2 已知在锐角△ABC 中，两向量p ＝(2－2sin A ，cos A ＋sin A )，q ＝(sin A －cos A,1＋sin A )，且p 与q 是共线向量． (1)求A 的大小； (2)求函数y ＝2sin 2B ＋cos ⎝⎛⎭⎫C －3B 2取最大值时，B 的大小．(1)已知a ，b ，c 为△ABC 的三个内角A ，B ，C 的对边，向量m ＝(3，－1)，n＝(cos A ，sin A )．若m ⊥n ，且a cos B ＋b cos A ＝c sin C ，则角A ，B 的大小分别为( ) A.π6，π3 B.2π3，π6 C.π3，π6D.π3，π3(2)△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边长分别是a ，b ，c ，设向量m ＝(a ＋b ，sin C )，n ＝(3a ＋c ，sin B －sin A )，若m ∥n ，则角B 的大小为________．题型三平面向量在解析几何中的应用例3 (1)已知向量OA →＝(k,12)，OB →＝(4,5)，OC →＝(10，k )，且A 、B 、C 三点共线，当k <0时，若k 为直线的斜率，则过点(2，－1)的直线方程为________．(2)设O 为坐标原点，C 为圆(x －2)2＋y 2＝3的圆心，且圆上有一点M (x ，y )满足OM →·CM →＝0，则yx＝________. 跟踪训练3 (2013·湖南改编)已知a ，b 是单位向量，a ·b ＝0.若向量c 满足|c －a －b |＝1，则|c |的最大值为________．三审图形抓特点典例：如图所示，把两块斜边长相等的直角三角板拼在一起，若AD →＝xAB →＋yAC →，则x ＝________，y ＝ ________.A 组专项基础训练 (时间：45分钟)1．(2014·福建)设M 为平行四边形ABCD 对角线的交点，O 为平行四边形ABCD 所在平面内任意一点，则OA →＋OB →＋OC →＋OD →等于( ) A.OM → B ．2OM → C ．3OM →D ．4OM →2．平面四边形ABCD 中，AB →＋CD →＝0，(AB →－AD →)·AC →＝0，则四边形ABCD 是( ) A ．矩形 B ．梯形 C ．正方形D ．菱形3．在△ABC 中，(BC →＋BA →)·AC →＝|AC →|2，则△ABC 的形状一定是( ) A ．等边三角形 B ．等腰三角形 C ．直角三角形D ．等腰直角三角形4．已知点A (－2,0)、B (3,0)，动点P (x ，y )满足P A →·PB →＝x 2－6，则点P 的轨迹是( ) A ．圆 B ．椭圆 C ．双曲线D ．抛物线5.若函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0，|φ|<π2)在一个周期内的图象如图所示，M ，N 分别是这段图象的最高点和最低点，且OM →·ON →＝0(O 为坐标原点)，则A 等于( )A.π6B.712πC.76πD.73π6．已知在△ABC 中，AB →＝a ，AC →＝b ，a·b <0，S △ABC ＝154，|a |＝3，|b |＝5，则∠BAC ＝________.7．已知|a |＝2|b |，|b |≠0且关于x 的方程x 2＋|a |x －a·b ＝0有两相等实根，则向量a 与b 的夹角是________．8．已知在平面直角坐标系中，O (0,0)，M (1,1)，N (0,1)，Q (2，3)，动点P (x ，y )满足不等式0≤OP →·OM →≤1,0≤OP →·ON →≤1，则z ＝OQ →·OP →的最大值为________．9．已知△ABC 中，∠C 是直角，CA ＝CB ，D 是CB 的中点，E 是AB 上一点，且AE ＝2EB ，求证：AD ⊥CE .10．已知A ，B ，C 三点的坐标分别为A (3,0)，B (0,3)，C (cos α，sin α)，其中α∈(π2，3π2)．(1)若|AC →|＝|BC →|，求角α的值． (2)若AC →·BC →＝－1，求tan(α＋π4)的值．B 组专项能力提升 (时间：20分钟)11．(2014·浙江)记max{x ，y }＝⎩⎪⎨⎪⎧ x ，x ≥y ，y ，x <y ，min{x ，y }＝⎩⎪⎨⎪⎧y ，x ≥y ，x ，x <y ，设a ，b 为平面向量，则( )A ．min{|a ＋b |，|a －b |}≤min{|a |，|b |}B ．min{|a ＋b |，|a －b |}≥min{|a |，|b |}C ．max{|a ＋b |2，|a －b |2}≤|a |2＋|b |2D ．max{|a ＋b |2，|a －b |2}≥|a |2＋|b |212．(2013·浙江)设△ABC ，P 0是边AB 上一定点，满足P 0B ＝14AB ，且对于边AB 上任一点P ，恒有PB →·PC →≥P 0B →·P 0C →，则( ) A ．∠ABC ＝90° B ．∠BAC ＝90° C ．AB ＝ACD ．AC ＝BC13．已知向量OA →＝(3，－4)，OB →＝(6，－3)，OC →＝(5－m ，－3－m )，若∠ABC 为锐角，则实数m 的取值范围是________．14．已知直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠ADC ＝90°，AD ＝2，BC ＝1，P 是腰DC 上的动点，则|P A →＋3PB →|的最小值为________．15．在△ABC中，设内角A，B，C的对边分别为a，b，c，向量m＝(cos A，sin A)，向量n ＝(2－sin A，cos A)，若|m＋n|＝2.(1)求内角A的大小；(2)若b＝42，且c＝2a，求△ABC的面积．。

平面向量的数量积及运算律

平面向量的数量积及运算律【基础知识精讲】1.平面向量的数量积的定义及几何意义(1)两平面向量和的夹角：，是两非零向量，过点O作=、=，则∠AOB=θ(0°≤θ≤180°)就称为向量和的夹角，很显然，当且仅当两非零向量、同方向时θ=0°；当且仅，反方向时，θ=180°，当θ=90°，称与垂直，记作⊥.(2)两平面向是和的数量积：、是两非零向量，它们的夹角为θ，则数量｜｜·｜｜cosθ叫做向量与的数量积(或内积)，记作·，即·=｜｜·｜｜·cosθ.因此当⊥时，θ=90°,cosθ=0，这时·=0特别规定，零向量与任一向量的数量积均为0.综上所述，·=0是⊥或，中至少一个为的充要条件两向量与的数量积是一个实数，不是一个向量，其值可以为正(当≠，≠，0°≤θ＜90°时，也可以为负(当≠，≠，90°＜θ≤180°时，还可以为0(当=或=或θ=90°时).(3)一个向量在另一向量方向上的投影：设θ是向量与的夹角，则｜｜cosθ，称为向量在的方向上的投影：而｜｜cosθ,称为向量在的方向上的投影.一个向量在另一个向量方向上的投影也是一个数，不是向量，当0°≤θ＜90°时，它为正值：当θ=90°时，它为0；当90°＜θ≤180°时，它为负值.特别地，当θ=0°,它就等于｜｜；而当θ=180°时，它等于-｜｜.我们可以将向量与的数量积看成是向量的模｜｜与｜｜在的方向上投影｜｜cosθ的乘积.2.向量数量积的性质：设、是两非零向量，是单位向量，θ是与的夹角，于是我们有下列数量积的性质：(1) ·=·=｜｜cosθ(2) ⊥·=0(3) 、同向·=｜｜·｜｜; ,反向·=-｜｜｜｜;特别地·=2=｜｜2或｜｜=.(4)cosθ= (θ为，的夹角)(5)｜·｜≤｜｜·｜｜3.平面向量的数量积的运算律(1)交换律：·=·(2)数乘向量与数量积的结合律：λ(·)=(λ)·=·(λ);(λ∈R)(3)分配律： (+)· =·+·【重点难点解析】两向量的数量积是两向量之间的一种乘法运算，它与两数之间的乘法有本质的区别：(1)两向量的数量积是个数量，而不是向量，其值为两向量的模与两向量夹角的余弦的乘弦的乘积.(2)当≠时，不能由·=0，推出=，因可能不为，但可能与垂直.(3)非零实数a,b,c满足消去律，即ab=bc a=c，但对向量积则不成立，即·=·=).(4)对实数的积应满足结合律，即a(bc)=(ab)c,但对向量的积则不满足结合律，即·(·)≠(·)·，因·(·)表示一个与共线的向量，而(·)·表示一个与共线的向量，而两向量不一定共线.例1已知、、是三个非零向量，则下列命题中真命题的个数(1)｜·｜＝｜｜·｜｜∥(2) ，反向·=-｜｜·｜｜ (3)⊥｜+｜=｜-｜ (4)｜｜＝｜｜｜·｜＝｜·｜ A.1 B.2 C.3 D.4分析：需对以上四个命题逐一判断，依据有两条，一仍是向量数量积的定义；二是向量加法与减法的平行四边形法则.解：(1)∵·=｜｜·｜｜cosθ∴由｜·｜＝｜｜·｜｜及、为非零向量可得｜cosθ｜=1∴θ=0或π，∴∥且以上各步均可逆，故命题(1)是真命题.(2)若,反向，则、的夹有为π，∴·=｜｜·｜｜cosπ=-｜｜·｜｜且以上各步可逆，故命题（2）是真命题.(3)当⊥时，将向量，的起点确定在同一点，则以向量，为邻边作平行四边形，则该平行四边形必为矩形，于是它的两对角线长相等，即有｜+｜＝｜-｜.反过来，若｜+｜＝｜-｜,则以，为邻边的四边形为矩形，所以有⊥，因此命题(3)是真命题.(4)当｜｜＝｜｜但与的夹角和与的夹角不等时，就有｜·｜≠｜·｜，反过来由｜·｜｜＝｜·｜也推不出｜｜＝｜｜.故命题(4)是假命题.综上所述，在四个命题中，前3个是真命题，而第4个是假命题，应选择(C).说明：(1)两向量同向时，夹角为0(或0°)；而反向时，夹角为π(或180°)；两向量垂直时，夹角为90°，因此当两向量共线时，夹角为0或π，反过来若两向量的夹角为0或π，则两向量共线.(2)对于命题(4)我们可以改进为：｜｜＝｜｜是｜·｜＝｜·｜的既不充分也不必要条件.例2已知向量+3垂直于向量7-5，向量-4垂直于向量7-2，求向量与的夹角.分析：要求与的夹角，首先要求出与的夹角的余弦值，即要求出｜｜及｜｜、·，而本题中很难求出｜｜、｜｜及·，但由公式cosθ=可知，若能把·，｜｜及｜｜中的两个用另一个表示出来，即可求出余弦值，从而可求得与的夹角θ.解：设与的夹角为θ.∵+3垂直于向量7-5，-4垂直于7-2，解之得 2=2·2=2·∴2=2∴｜｜＝｜｜∴cosθ===∴θ=因此，a与b的夹角为.例3已知++=,｜｜=3,｜｜＝1,｜｜＝4，试计算·+·+·.分析：利用｜｜2＝2,｜｜2＝ 2,｜｜2＝2.解：∵++=∴(++)2=0从而｜｜2＋｜｜2＋｜｜2＋2·+2·+2·＝0又｜｜＝3，｜｜＝1，｜｜＝4∴·+·+·=-(｜｜2＋｜｜2＋｜｜2) =-(32+12+42) =-13例4已知：向量=-2-4,其中、、是两两垂直的单位向量，求与同向的单位向量.分析：与同向的单位向量为：·解：∵、、是两两垂直的单位向量∴2＝2＝2＝1, ·=·=·=0∴2=(-2-4)(-2-4)=2+42+162-4· -8·+16·=21从而｜｜=∴与同向的单位向量是·= (-2-4)=--例5求证：直径上的圆周角为直角.已知：如图，AC为⊙O的直径，∠ABC是直径AC上的圆周角.求证：∠ABC=90°分析：欲证∠ABC=90°，须证⊥，因此可用平面向量的数量积证·=0证明：设=,=,有=∵=+, =-且｜｜＝｜｜∴·=(+)( -)=｜｜2-｜｜2=0∴⊥∴∠ABC=90°【难题巧解点拔】例1如图，设四边形P1P2P3P4是圆O的内接正方形，P是圆O上的任意点.求证：｜｜2＋｜｜2＋｜｜＋｜｜2为定值.分析：由于要证：｜｜2＋｜｜2＋｜｜＋｜｜2为定值，所以需将(i=1,2,3,4)代换成已知向量或长为定值的向量的和(或差)，才能使问题证，而这里的半径、、、、等可供我们选择.证明：由于=+=- (i=1,2,3,4).∴有｜｜2=(-)2=()2-2(·)+()2设⊙O的半径为r，则｜｜2=2r2-2(·)∴｜｜2＋｜｜2＋｜｜＋｜｜2＝8r2-2(+++)·=8r2-2··=8r2(定值).例2设AC是□ABCD的长对角线，从C引AB、AD的垂线CE，CF，垂足分别为E，F，如图，试用向量方法求证：AB·AE+AD·AF=AC2分析：由向量的数量积的定义可知：两向量，的数量积·=｜｜·｜｜·cosθ(其中θ是，的夹角)，它可以看成｜｜与｜｜在的方向上的投影｜｜·cosθ之积，因此要证明的等式可转化成：·+·=,而对该等式我们采用向量方法不难得证：证明：在Rt△AEC中｜｜＝｜｜cos∠BAC在Rt△AFC中｜｜＝｜｜cos∠DAC∴｜｜·｜｜=｜｜·｜｜·cos∠BAC=·｜｜·｜｜=｜｜·｜｜cos∠DAC=·∴｜｜·｜｜＋｜｜·｜｜=·+·=(+)·又∵在□ABCD中，+=∴原等式左边=(+)·=·=｜｜2=右边例3在△ABC中，AD是BC边上的中线，采用向量法求证：｜AD｜2= (｜AB｜2+｜AC｜2-｜BC｜2)分析：利用｜a｜2=a·a及=+，=+，通过计算证明证明：依题意及三角形法则，可得：=+=-=+=+则｜｜2=(-)(-)=｜｜2+｜｜2-·｜｜2=(+)(+)=｜｜2+｜｜2+·所以｜｜2＋｜｜2＝2｜｜2＋｜｜2移项得：｜｜2= (｜｜２+｜｜2-｜｜2)例4若(+)⊥(2-),( -2)⊥(2+)，试求，的夹角的余弦值.分析：欲求cosθ的值，根据cosθ=，只须计算即可解：由(+)⊥(2-),( -2)⊥(2+)①×3+②得：2=2∴｜｜2=｜｜2③由①得：·=2-22=｜｜2-2×｜｜2=-｜｜2④由③、④可得：cosθ= ==-∴，的夹角的余弦值为-.【典型热点考题】例1设、、是任意的非零平面向量，且它们相互不共线，下列命题①(·)·-(·)·)=;②｜｜-｜｜＜｜-｜;③(·)·-(·)·不与垂直；④(3+2)·(3-2)=9｜｜2-4｜｜2.其中正确的有( )A.①②B.②③C.③④D.②④解：选D.②正确，因、不共线，在｜｜-｜｜≤｜-｜中不能取等号；④正确是明显的，①错误，因向量的数量积不满足结合律；③错误，因［(·)·-(·)·］·=(·)·(·)-(·)·(·)=0,则(·)·-(·)·与垂直.例2已知+=2-8,-=-8+16,其中,是x轴、y轴方向的单位向量，那么·= .=-3+4, =5-12∴·=(-3+4j)·(5-12)=-152+56·-482∵⊥,｜｜=｜｜=1,∴·=0∴·=-15｜｜2-48｜｜2=-63解法2：· =［(+)2-(-)2］=［4(-4)2-64(-2)2］=2-8·+16j2-16(2-4·+42) =-152+56·-482=-63解法3：在解法1中求得=-3+4，即向量的坐标是(-3，4)，同理=(5,-12).∴·=-3×5+4×(-12)=63例3设、是平面直角坐标系中x轴、y轴方向上的单位向量，且=(m+1) -3,=+(m-1) ，如果(+)⊥(-)，则m= .解法1：∵(+)⊥(-)∴(+)·(-)=0,即2-2=0∴［(m+1) -3］2-［+(m-1) ］2=0∴［(m+1) -3］｜｜2-［6(m+1)+2(m-1)］·+［9-(m-1)2］·2=0∵｜｜＝｜｜=1, ·=0,∴(m+1)2-(m-1)2+8=0，则m=-2.解法2：向量的坐标是(m+1,-3),的坐标是(1，m-1).由(+)·(-)=0,得｜｜2＝｜｜2.解得m=-2评析：向量的运算性质与实数相近，但又有许多差异.尤其是向量的数量积的运算与实数的乘法运算，两者似是而非，极易混淆，是近年来平面向量在高考中考查的重点，应予以重视.例4在△ABC中，若=, =, =，且·=·=·，则△ABC的形状是( )A.等腰三角形B.直角三角形C.等边三角形 D.A、B、C均不正确解：因为++=++=则有+=-,( +)2=2①同理：2+2+2·=2②①-②，有2-2+2(·-·)=2-2由于·=·所以2＝2即是｜｜＝｜｜同理｜｜=｜｜所以｜｜＝｜｜＝｜｜△ABC为正三角形.∴应选C.。

平面向量的数量积与向量投影

平面向量的数量积与向量投影平面向量的数量积和向量投影是线性代数中重要的概念和计算方法。

它们在解决几何和物理问题时起着关键作用。

本文将详细介绍平面向量的数量积和向量投影，探讨它们的定义、性质和计算方法。

1. 平面向量的数量积平面向量的数量积也称为点积或内积，用来计算两个向量之间的夹角和它们之间的关系。

给定两个平面向量a→=(a1,a2)和a→=(a1,a2)，它们的数量积定义为a→⋅a→=a1a1+a2a2。

数量积有以下几个重要的性质：性质1：a→⋅a→=a→⋅a→，即数量积的顺序可以交换。

性质2：a→⋅(a→+a→)=a→⋅a→+a→⋅a→，即数量积对加法的分配律。

性质3：a→⋅a→=‖a→‖^2，即一个向量与自身的数量积等于它自身的模的平方。

性质4：如果两个向量的数量积为0，即a→⋅a→=0，则它们垂直。

基于数量积定义和性质，可以进行向量的投影计算。

2. 向量的投影向量的投影是指一个向量在另一个向量上的投影长度。

通过向量投影可以计算两个向量之间的夹角。

给定两个平面向量a→和a→，它们夹角的余弦可以通过它们的数量积计算如下：cos a = a→⋅a→ / (‖a→‖ * ‖a→‖)其中cos a表示a→和a→夹角的余弦值，‖a→‖和‖a→‖分别表示向量a→和a→的模。

从上述公式中可以看出，如果两个向量的数量积等于它们的模的乘积，则它们的夹角为0度，即两个向量共线。

反之，如果数量积小于0，则夹角为180度，即两个向量反向。

在计算中，可以通过向量的投影来求解两个向量之间的夹角。

向量投影的计算公式如下：a→=(a→⋅a→ / ‖a→‖^2) * a→其中，a→表示向量a→在向量a→上的投影向量。

通过向量投影的计算，我们可以得到两个向量之间的夹角，并且可以判断它们的方向和关系。

3. 数量积与向量投影的应用数量积和向量投影在几何和物理问题中有广泛的应用。

在几何中，利用数量积可以求解两个向量之间的夹角，判断向量的垂直、平行关系，以及计算向量的投影长度。

平面向量数量积公式

平面向量数量积公式介绍平面向量是二维空间中具有大小和方向的量。

数量积（又称点积或内积）是平面向量运算的一种形式，用于确定两个向量的相关性以及它们之间的夹角。

数量积公式平面向量数量积公式表示为：A ·B = |A| * |B| * cos(θ)其中，A和B是平面向量，|A|和|B|分别代表向量A和B的模（长度），θ则表示向量A和B之间的夹角。

公式解释平面向量数量积公式的等式左边A · B表示向量A和B之间的数量积。

数量积可以通过两个向量的模和它们之间的夹角来计算。

公式右边的|A|和|B|分别代表向量A和B的模（长度）。

向量的模可以通过求平方根来得到，即|A| = √(A1^2 + A2^2)和|B| = √(B1^2 + B2^2)，其中A1和A2分别为向量A在x轴和y轴上的分量，B1和B2类似地代表向量B在x轴和y轴上的分量。

公式右边的cos(θ)表示向量A和B之间的夹角的余弦值。

夹角的余弦可以通过向量的数量积和向量模之间的关系来计算，即cos(θ) = (A · B) / (|A| * |B|)。

综上所述，平面向量数量积公式说明了如何通过向量的模和夹角来计算两个向量之间的数量积。

数量积应用平面向量数量积在多个数学和物理应用中都有重要作用，例如：1.计算向量的模：通过平面向量数量积公式，可以计算向量的模。

向量的模用于衡量向量的长度和大小。

2.计算向量之间的夹角：通过平面向量数量积公式，可以计算两个向量之间的夹角。

夹角的大小和方向可以帮助我们理解向量之间的关系。

3.判断向量的正交性：如果两个向量的数量积为零，即A · B = 0，则称这两个向量为正交向量。

正交向量的特点是它们之间的夹角为90度。

4.判断向量的平行性：如果两个向量的夹角为0度或180度，即θ =0或θ = π，则称这两个向量为平行向量。

平行向量的特点是它们之间的数量积等于两个向量的模的乘积。

5.导出向量的投影：通过平面向量数量积公式，可以导出向量在另一个向量上的投影。

初中数学点知识归纳平面向量的数量积和向量积计算

初中数学点知识归纳平面向量的数量积和向量积计算初中数学点知识归纳：平面向量的数量积和向量积计算在初中数学中，平面向量是一个重要的概念，它能够描述物体在平面内的位移和方向。

平面向量具有多种运算，其中包括数量积和向量积的计算。

本文将对初中数学中平面向量的数量积和向量积进行归纳介绍。

一、平面向量的数量积（又称点积或内积）数量积是平面向量中常用的一种运算。

设有两个平面向量a和b，它们的数量积记作a·b。

数量积的计算公式为：a·b = |a| × |b| × cosθ其中，|a|表示向量a的模（长度），|b|表示向量b的模，θ表示向量a和b之间的夹角。

从公式可以看出，数量积的结果是一个实数。

数量积具有以下几个性质：1. 交换律：a·b = b·a2. 结合律：(ka)·b = k(a·b) = a·(kb)，其中k为实数3. 对于零向量0，有0·a = 0利用数量积，我们可以计算两个向量的夹角。

根据公式a·b = |a| ×|b| × cosθ，我们可以求解出夹角θ的大小。

二、平面向量的向量积（又称叉积或外积）向量积是另一种平面向量的运算。

设有两个平面向量a和b，它们的向量积记作a×b（注意，向量积的结果是一个向量）。

向量积的计算公式为：a×b = |a| × |b| × sinθ × n其中，|a|表示向量a的模，|b|表示向量b的模，θ表示向量a和b之间的夹角，n为一个垂直于平面的单位向量，其方向由“右手定则”确定。

向量积具有以下几个性质：1. 反交换律：a×b = -b×a2. 结合律：a×(b+c) = a×b + a×c3. 分配律：a×(kb) = (ka)×b = k(a×b)，其中k为实数4. 对于平行或共线的向量a和b，它们的向量积为零向量，即a×b = 0向量积的计算可以用几何法或坐标法。

数学中的向量进阶平面向量的数量积与向量积

数学中的向量进阶平面向量的数量积与向量积数学中的向量进阶：平面向量的数量积与向量积在数学中，向量是用来表示大小和方向的量。

我们可以在平面或者空间中使用向量进行各种数学运算和推导。

本文将重点介绍进阶的向量运算——数量积和向量积，并探讨它们在几何和物理学中的应用。

一、数量积数量积是指两个向量的乘积与夹角的余弦值的乘积。

即对于两个向量a和b，在数量积运算中，我们可以通过以下公式计算它们的结果：a·b = |a| |b| cosθ其中，a·b表示向量a与向量b的数量积，|a|和|b|分别表示向量a和b的模，θ表示向量a和向量b之间的夹角。

数量积有以下几个重要的性质：1. 交换律：a·b = b·a2. 数量积为0时，a和b垂直：若a·b = 0，则a和b垂直。

3. 数量积为非零时，a和b夹角为锐角或钝角：若a·b ≠ 0，则a和b 夹角为锐角或钝角。

数量积在几何学中有广泛的应用。

例如，通过计算数量积可以判断两个向量是否垂直，或者计算两个向量之间的夹角。

在物理学中，数量积可以用来计算向量的投影和求解力的功率等问题。

二、向量积向量积是指两个向量的乘积得到的另一个向量。

在平面向量中，向量积只存在于三维空间中。

给定两个向量a和b，它们的向量积可以表示为c=a×b。

向量积的计算公式如下：c = a×b = |a| |b| sinθ n其中，c表示向量积的结果，|a|和|b|分别表示向量a和b的模，θ表示夹角，n表示两个向量构成的平面的法向量。

向量积具有以下几个重要的性质：1. 交换律：a×b = -b×a2. 结果为零时，a和b共线：若a×b = 0，则a和b共线。

3. 结果的模为两个向量之间的平行四边形的面积。

向量积在几何学和物理学中也有广泛的应用。

例如，在几何学中，向量积可以用来计算两个向量所构成平行四边形的面积。

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平面向量的数量积的求法
一、知识储备
1．向量的夹角
已知两个非零向量a 和b ，作OA →＝a ，OB →＝b ，则∠AOB 就是向量a 与b 的夹角，向量夹角
的范围是：[0，π]．
2．平面向量的数量积
3.平面向量数量积的性质设a ，b 都是非零向量，e 是单位向量，θ为a 与b (或e )的夹角．则
(1)e ·a ＝a ·e ＝|a |cos θ.(2)a ⊥b ⇔a ·b ＝0.
(3)当a 与b 同向时，a ·b ＝|a ||b |；
当a 与b 反向时，a ·b ＝－|a ||b |.特别地，a ·a ＝|a |2或|a |(4)cos θ＝a ·b |a ||b |
.(5)|a ·b |≤|a ||b |. 4．平面向量数量积满足的运算律
(1)a·b ＝b·a ；(2)(λa )·b ＝λ(a·b )＝a ·(λb )(λ为实数)；(3)(a ＋b )·c ＝a·c ＋b·c .
5．平面向量数量积有关性质的坐标表示
设向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a·b ＝x 1x 2＋y 1y 2，由此得到：
(1)若a ＝(x ，y )，则|a |2＝x 2＋y 2或|a |＝x 2＋y 2.
(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则A ，B 两点间的距离|AB |＝|AB →|＝(x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)2.
(3)设两个非零向量a ，b ，a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ⊥b ⇔x 1x 2＋y 1y 2＝0.
[方法与技巧]
1．计算数量积的五种方法：定义法、坐标运算、数量积的几何意义、基向量法、极化公式法，解题要灵活选用恰当的方法，和图形有关的不要忽略数量积几何意义的应用．
2．求向量模的常用方法：利用公式|a |2＝a 2，将模的运算转化为向量的数量积的运算．
3．利用向量垂直或平行的条件构造方程或函数是求参数或最值问题常用的方法与技巧．
二、知识导学
例1、如图，在半径为1的扇形AOB 中，∠AOB ＝60°，C 为弧上的动点，AB 与OC 交于点
P ，则OP →·BP →最小值是___________________．
课堂训练：
1、310=ABC M BC AM BC AB AC ==⋅在△中，是的中点，，，则
2、如图，在四边形ABCD 中，AB ⊥BC ,AD ⊥DC ，若||,||AB a AD b ==，
则AC BD ⋅= .
222222A. B. C. D.b a a b a b ab --+
3．如图，O 为△ABC 的外心，BAC AC AB ∠==,2,4为钝角,M 是边
BC 的中点，则AO AM ⋅的值为（）． A ．4 B ．5 C ．6 D ．7 4、已知1
,,AB AC AB AC t t
⊥== ，若P 点是ABC ∆ 所在平面内一点，且4AB AC AP AB AC =
+ ，则PB PC ⋅ 的最大值=
5、正ABC ∆边长等于3，点P 在其外接圆上运动，则PB AP ⋅的取值范围是（）
A. ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-23,23
B. ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-21,23
C. ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-23,21
D. ⎥⎦
⎤⎢⎣⎡-21,21
三、课后追踪
1、如图，在ABC △中，3AB BC ==，30ABC ∠=，AD 是边BC
上的高，则AD AC ⋅的值等于（）
A ．0
B ．94
C ．4
D ．94-
2．在边长为1的等边ABC ∆中，,D E 分别在边BC 与AC 上，且BD DC =，2AE EC =，则AD BE ⋅=（）
A ．12-
B ． 13-
C ．14-
D ．16
-
3．如图，AOB ∆为等腰直角三角形，1=OA ，OC 为斜边AB 的高，
P 为线段OC 的中点，则=⋅OP AP ( ) A ．1- B ．81- C ．41- D ．21- 4．在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，1===→
→→OD OC OB ，→→→→=++0OD OC OB ，
(1,1),A 则→→⋅OB AD 的取值范围（）
A.12,21⎡⎤---⎣⎦
B.112,222⎡⎤---+⎢⎥⎣⎦
C.112,22
2⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦ D.12,12⎡⎤-+⎣⎦ 5．在ABC ∆中，0P 是AB 中点，且对于边AB 上任一点P ，恒有00PB PC P B P C ⋅≥⋅，则有（）
A. AB BC =
B. AC BC =
C. 90ABC ∠=
D. 90BAC ∠=
6．已知菱形ABCD 的边长为2，120BAD ，点,E F 分别在边,BC DC 上，BE BC ，
DF DC ．若1AE AF ，23
CE CF ，则（）
（A ）12 （B ）23 （C ）56 （D ）712 7．如图在平行四边形ABCD 中，已知8,5AB AD ==，
3,2CP PD AP BP =⋅=，则AB AD ⋅的值是 .
8．如图，在矩形ABCD 中，AB ＝2，BC ＝2，点E 为BC 的中点，点F
在边CD 上，若AB ·AF ＝2，则AE ·BF 的值是________．
9.已知,||2,AB AC CB ⊥=若P 点是ABC ∆ 所在平面内一点，且
4AB
AC
AP AB AC =+ ，则PB PC ⋅ 的最小值=。