平面向量数量积运算的解题方法与策略
平面向量数量积问题的求解策略
x 轴建立平面直角坐标系如图3
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平面向量的数量积和叉积的计算步骤
平面向量的数量积和叉积的计算步骤平面向量是数学中重要的概念，它在物理、几何等领域中具有广泛的应用。
其中，数量积和叉积是平面向量运算中的两个重要概念，用于描述向量之间的关系和性质。
本文将介绍平面向量数量积和叉积的计算步骤。
一、平面向量的数量积的计算步骤数量积又称为点积或内积，表示两个向量的乘积的数量。
计算平面向量的数量积可以按照以下步骤进行：1. 确定两个向量的坐标表示形式。
平面向量通常用列向量表示，例如向量a可以表示为(a₁, a₂)，向量b可以表示为(b₁, b₂)。
2. 将两个向量的对应坐标相乘。
将a₁与b₁相乘得到的结果记为x₁，将a₂与b₂相乘得到的结果记为x₂。
3. 对结果进行求和。
将x₁和x₂相加得到总和s，即s = x₁ + x₂。
4. 得到最终结果。
最终结果即为平面向量的数量积，记作a·b = s。
二、平面向量的叉积的计算步骤叉积又称为向量积或外积，表示两个向量之间的乘积的向量。
计算平面向量的叉积可以按照以下步骤进行：1. 确定两个向量的坐标表示形式。
与数量积相同，平面向量可以用列向量表示，向量a可以表示为(a₁, a₂)，向量b可以表示为(b₁, b₂)。
2. 计算叉积的第一分量。
将a₁与b₂相乘得到的结果记为y₁。
3. 计算叉积的第二分量。
将a₂与b₁相乘得到的结果记为y₂。
4. 得到最终结果。
最终结果即为平面向量的叉积，记作a×b = (y₁, y₂)。
三、数量积和叉积的性质和应用1. 数量积的性质：- a·b = b·a，即数量积满足交换律。
- a·(b+c) = a·b + a·c，即数量积满足分配律。
- k(a·b) = (ka)·b = a·(kb)，即数量积满足数乘的结合律。
2. 叉积的性质：- a×b = -b×a，即叉积满足反交换律。
- a×(b+c) = a×b + a×c，即叉积满足分配律。
平面向量的数量积与向量积的运算
平面向量的数量积与向量积的运算平面向量的数量积与向量积是向量的两种重要运算。
它们在物理、几何和工程学等领域中有着广泛的应用。
本文将详细介绍平面向量的数量积和向量积的定义、性质和计算方法。
一、平面向量的数量积平面向量的数量积也叫点积或内积，用符号“·”表示。
给定向量A和向量B，在平面直角坐标系中，它们的数量积定义为：A·B = |A| |B| cosθ其中，|A|和|B|分别表示向量A和向量B的模，θ表示向量A与向量B的夹角。
数量积的性质如下：1. 交换律：A·B = B·A2. 分配律：(kA)·B = k(A·B)，A·(kB) = k(A·B)，其中k为实数3. 结合律：(A+B)·C = A·C + B·C利用数量积，我们可以计算向量的夹角、向量的模、判断两个向量是否垂直等。
此外，数量积还有一种重要的几何意义，即两个向量的数量积等于它们的模与它们夹角的余弦的乘积。
二、平面向量的向量积平面向量的向量积也叫叉积或外积，用符号“×”表示。
给定向量A 和向量B，在平面直角坐标系中，它们的向量积定义为：A×B = |A| |B| sinθ n其中，|A|和|B|分别表示向量A和向量B的模，θ表示向量A与向量B的夹角，n为垂直于平面的单位向量，其方向由右手定则确定。
向量积的性质如下：1. 反交换律：A×B = -B×A2. 分配律：(kA)×B = k(A×B)，A×(kB) = k(A×B)，其中k为实数3. 结合律：(A+B)×C = A×C + B×C向量积具有一些重要的几何意义。
首先，向量积的模等于以向量A 和向量B为邻边的平行四边形的面积。
其次，向量A和向量B的向量积的方向垂直于二者所在的平面，并符合右手定则。
微重点04 平面向量数量积的最值与范围问题((习题版))
微重点04平面向量数量积的最值与范围问题平面向量中的最值与范围问题，是高考的热点与难点问题，主要考查求向量的模、数量积、夹角及向量的系数等的最值、范围．解决这类问题的一般思路是建立求解目标的函数关系，通过函数的值域解决问题，同时，平面向量兼具“数”与“形”的双重身份，数形结合也是解决平面向量中的最值与范围问题的重要方法．知识导图考点分类讲解考点一：求参数的最值(范围)规律方法利用共线向量定理及推论(1)a ∥b ⇔a ＝λb (b ≠0)．(2)OA →＝λOB →＋μOC →(λ，μ为实数)，则A ，B ，C 三点共线⇔λ＋μ＝1.【例1】(2023·漳州模拟)已知△ABC ，点D 满足BC →＝34BD →，点E 为线段CD 上异于C ，D 的动点，若AE →＝λAB→＋μAC →，则λ2＋μ2的取值范围是________．【变式1】设非零向量a ，b 的夹角为θ，若|a |＝2|b |＝2，且不等式|2a ＋b |≥|a ＋λb |对任意的θ恒成立，则实数λ的取值范围为()A．[－1,3]B．[－1,5]C．[－7,3]D．[5,7]【变式2】（23-24高三上·黑龙江佳木斯·阶段练习）在ABC 中，点D 在线段AC 上，且满足12AD AC = ，点Q 为线段BD 上任意一点，若实数,x y 满足AQ x AB y AC =+，则24x y +的最小值为．【变式2】．（2023高三·全国·专题练习）已知向量,a b 满足||1,a b == ，且)0R (a b λλ+∈=，则函数()3(1)1f x x x xλ=+>-+的最小值为.【变式4】(2023·深圳模拟)过△ABC 的重心G 的直线l 分别交线段AB ，AC 于点E ，F ，若AE →＝λAB →，AF →＝μAC →，则λ＋μ的最小值为()A.23＋2 B.2＋223C.43D．1考点二：求向量模、夹角的最值(范围)易错提醒找两向量的夹角时，要注意“共起点”以及向量夹角的取值范围是[0，π]．若向量a ，b 的夹角为锐角，包括a ·b >0和a ，b 不共线；若向量a ，b 的夹角为钝角，包括a ·b <0和a ，b 不共线．【例1】（2024·吉林长春·模拟预测）已知向量a ，b 为单位向量，且12a b ⋅=-r r ，向量c 与3a b +r r 共线，则||b c +的最小值为.【例2】(1)已知e 为单位向量，向量a 满足(a －e )·(a －5e )＝0，则|a ＋e |的最大值为()A．4B．5C．6D．7(2)平面向量a ，b 满足|a |＝3|b |，且|a －b |＝4，则a 与a －b 夹角的余弦值的最小值为________．【变式1】(2023·安庆模拟)已知非零向量a ，b 的夹角为θ，|a ＋b |＝2，且|a ||b |≥43，则夹角θ的最小值为()A.π6B.π4C.π3D.π2【变式2】(2023·杭州模拟)已知a ＝(1,2)，b ＝(1,1)，且a 与a ＋λb 的夹角为锐角，则实数λ的取值范围为____________．【变式3】（2024·吉林长春·模拟预测）已知向量a ，b 为单位向量，且12a b ⋅=-r r ，向量c 与3a b +rr 共线，则||b c +的最小值为.考点三：求向量数量积的最值(范围)规律方法向量数量积最值(范围)问题的解题策略(1)形化：利用平面向量的几何意义将问题转化为平面几何中的最值或范围问题，然后根据平面图形的特征直接进行判断．(2)数化：利用平面向量的坐标运算，把问题转化为代数中的函数最值与值域、不等式的解集或方程有解等问题，然后利用函数、不等式或方程的有关知识来解决．【例3】(1)(2023·开封模拟)等腰直角三角形ABC 的直角顶点A 在x 轴的正半轴上，点B 在y 轴的正半轴上，点C 在第一象限，且AB ＝1，O 为坐标原点，则OC →·OA →的取值范围是()0，2－240，1＋22，1，1(2)(2023·全国乙卷)已知⊙O 的半径为1，直线PA 与⊙O 相切于点A ，直线PB 与⊙O 交于B ，C 两点，D 为BC 的中点，若|PO |＝2，则PA →·PD →的最大值为()A.1＋22B.1＋222C．1＋2D．2＋2【变式1】(2023·台州模拟)已知P 是边长为2的正六边形ABCDEF 内(含边界)一点，M 为边BC 的中点，则AP →·AM →的取值范围是()A．[－2,6]B．[－1,9]C．[－2,4]D．[－1,6]【变式2】(2023·邵阳模拟)已知四边形ABCD 是边长为1的正方形，P 为对角线AC 上一点，则PA →·(PB →＋PD →)的最小值是()A．0B．－14C．－12D．－2【变式3】（2024高三·江苏·专题练习）已知点M 为直角ABC 外接圆O 上的任意一点，90,1,ABC AB BC ∠=︒=()OA OB BM -⋅的最大值为．强化训练单选题1．（2023·陕西咸阳·模拟预测）已知向量a ，b，且5a b == ，6a b += ，则()ta b t +∈R 的最小值为（）A．245B．4C．165D．1252．（23-24高三上·江西吉安·期中）ABC 中，D 为AC 上一点且满足34CD CA = ，若P 为BD 上一点，且满足AP AB AC λμ=+，,λμ为正实数，则下列结论正确的是（）A．λμ的最小值为116B．λμ的最大值为1C．114λμ+的最大值为16D．114λμ+的最小值为43．（2024·内蒙古呼和浩特·一模）在ABC 中，D 为线段AC 的一个三等分点，2AD DC =.连接BD ，在线段BD 上任取一点E ，连接AE ，若AE aAC bAB =+，则22a b +的最小值为（）A．134B．52C．413D．254．（2023·安徽安庆·二模）已知非零向量a ，b的夹角为θ，2a b += ，且43a b ≥ ，则夹角θ的最小值为（）A．π6B．π4C．π3D．π25．（2024·全国·模拟预测）已知非零且不垂直的平面向量,a b满足||||6a b += ，若a 在b 方向上的投影与b 在a 方向上的投影之和等于()2a b ⋅ ，则,a b夹角的余弦值的最小值为（）A．227B．127C．13D．236．（23-24高三下·北京海淀·开学考试）已知AB 是圆O ：221x y +=的直径，C 、D 是圆O 上两点，且60COD ∠=，则()OC OD AB +⋅的最小值为（）A．0B．C．3-D．-7．在ABC 中，点D 为AC 边上的中点，点E 满足3EC BE =，点P 是直线BD ，AE 的交点，过点P 做一条直线交线段AC 于点M ，交线段BC 于点N （其中点M ，N 均不与端点重合）设CM mCA = ，CN nCB =，则m n +的最小值为（）C．75D．1658．（23-24高三上·陕西安康·阶段练习）已知O 是ABC 所在平面内一点，若0,,,,,OA OB OC AM xAB AN y AC MO ON x y λ++==== 均为正数，则xy 的最小值为（）A．12B．49C．1D．43二、多选题1．（2024·河南·模拟预测）已知O 是坐标原点，平面向量a OA = ，b OB = ，c OC = ，且a是单位向量，2a b ⋅= ，12a c ⋅= ，则下列结论正确的是（）A．c a c=- B．若A ，B ，C 三点共线，则2133a b =+C．若向量b a - 与c a -垂直，则2b c a +- 的最小值为1D．向量b a - 与b 的夹角正切值的最大值为42．（2024·广东·模拟预测）如图所示，在边长为3的等边三角形ABC 中，23AD AC =，且点P 在以AD 的中点O 为圆心，OA 为半径的半圆上，若BP xBA yBC =+，则下列说法正确的有（）A．1233BD BA BC=+ B．132BD BO ⋅=C．BP BC ⋅存在最大值D．x y +1+3．（2023·全国·模拟预测）如图，在直四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 为菱形，60BAD ∠=︒，12AB AD AA ===，P 为1CC 的中点，点Q 满足[][]()10,1,0,1DQ DC DD λμλμ=+∈∈，则下列结论中正确的是（）A．若13λμ+=，则四面体1A BPQ 的体积为定值B．若1A BQ △的外心为O ，则11A B AO ⋅为定值2C．若1AQ =，则点Q 的轨迹长度为4D．若1λ=且12μ=，则存在点1E A B ∈，使得AE EQ +三、填空题1．（2024·湖北·模拟预测）已知向量a ，b 满足2a =r ，1= b ，且a ，b的夹角为π3，则()a b λλ-∈R 的最小值是.2．（23-24高三上·山西太原·期末）已知非零向量a ，b 夹角为2π3，则|2|||a b b +的最小值为.3．（2024高三·全国·专题练习）在四边形ABCD 中，AB AC AD ===AB AD ⊥，则CB CD ⋅的最小值为.四、解答题1．如图，在△ABC 中，2AB =，AC =，cos BAC ∠=D 为BC 的中点，E 为AB 边上的动点（不含端点），AD 与CE 交于点O ，AE xAB =.(1)若14x =，求CO OE 的值；(2)求AO CE ⋅的最小值，并指出取到最小值时x 的值.2．（22-23高三·北京·阶段练习）已知非零平面向量a ，b 的夹角为23π，1a a b =+= .(1)证明：a b -= ；(2)设t ∈R ，求a tb +的最小值.3．（22-23高三上·河南安阳·阶段练习）已知()1sin cos ,2cos ,2sin ,sin 2.2a x x b x θθ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭(1)若),4(3c =- 且()π,0,π4x θ=∈时，a 与c 的夹角为钝角，求cos θ的取值范围；(2)若π3θ=函数()f x a b =⋅ ，求()f x 的最小值.4．（2023·四川成都·模拟预测）如图，A ，B 是单位圆（圆心为O ）上两动点，C 是劣弧 AB （含端点）上的动点．记OC OA OB λμ=+（λ，μ均为实数）．(1)若O 到弦AB 的距离是12，求λμ+的取值范围；(2)若532OA OB -≤ ，向量2OA OB +和向量OA OB + 的夹角为θ，求2cos θ的最小值．5．（2022高三·全国·专题练习）如图，已知点G 是边长为1的正三角形ABC 的中心，线段DE 经过点G ，并绕点G 转动，分别交边,AB AC 于点,D E ，设,AD m AB AE n AC ==，其中01,01m n <≤<≤．(1)求11m n的值；(2)求ADEV面积的最小值，并指出相应的,m n的值．。
平面向量的数量积和叉积的计算注意事项
平面向量的数量积和叉积的计算注意事项平面向量是高中数学中重要的概念之一，其数量积和叉积是计算两个向量之间关系的有效工具。
在进行数量积和叉积的计算时，需要注意以下几个关键点。
一、数量积的计算注意事项数量积又称为点积或内积，表示两个向量间的乘积。
在计算数量积时，有以下几个注意事项：1. 数量积的计算公式：对于两个向量A和B，其数量积的计算公式为A·B = |A||B|cosθ，其中|A|和|B|分别表示向量A和B的模长，θ表示两个向量的夹角。
2. 注意模长的计算：在计算数量积时，需要先计算出向量的模长。
向量A的模长计算公式为|A| = √(A₁² + A₂²)，其中A₁和A₂分别表示向量A在x轴和y轴上的分量。
3. 注意夹角的取值范围：夹角θ的取值范围为0°≤θ≤180°。
当θ为锐角时，cosθ大于0；当θ为钝角时，cosθ小于0；当θ为直角时，cosθ等于0。
4. 注意正负号：数量积的结果既可以是正数，也可以是负数。
正数表示两个向量同向，负数表示两个向量反向。
二、叉积的计算注意事项叉积又称为向量积或外积，表示两个向量间的叉乘结果。
在计算叉积时，有以下几个注意事项：1. 叉积的计算公式：对于两个向量A和B，其叉积的计算公式为A×B = |A||B|sinθn，其中|A|和|B|分别表示向量A和B的模长，θ表示两个向量的夹角，n表示垂直于平面的单位向量。
2. 注意模长的计算：与数量积不同，叉积计算中不需要计算向量的模长。
3. 注意夹角的取值范围：夹角θ的取值范围为0°≤θ≤180°。
当θ为锐角时，sinθ大于0；当θ为钝角时，sinθ小于0；当θ为直角时，sinθ等于0。
4. 注意右手法则：叉积的结果具有方向性。
根据右手法则，将右手的食指指向向量A，中指指向向量B，那么拇指的方向就是叉积结果的方向。
总结：在计算平面向量的数量积和叉积时，我们需要注意以下几个要点：1. 数量积的计算公式为A·B = |A||B|cosθ，注意模长的计算和夹角的取值范围。
平面向量的数量积
平面向量的数量积平面向量的数量积，也叫点积或内积，是向量运算中的一种重要操作。
它与向量的夹角以及向量的长度有着密切的关系。
在本文中，我们将详细介绍平面向量的数量积的概念、计算方法以及一些应用。
一、概念平面向量的数量积是指将两个向量的对应分量相乘，并将所得乘积相加而得到的数值。
设有两个平面向量A和A，它们的数量积记作A·A，计算公式为：A·A = AAAA + AAAA其中，AA和AA分别是向量A在A轴和A轴上的分量，AA和AA分别是向量A在A轴和A轴上的分量。
二、计算方法要计算平面向量的数量积，需要先求出两个向量在A轴和A轴上的分量，然后按照数量积的计算公式进行计算。
假设有两个向量A = (A, A)和A = (A, A)，它们的数量积为A·A，计算步骤如下：1. 计算A和A在A轴上的分量AA和AA，分别为A和A；2. 计算A和A在A轴上的分量AA和AA，分别为A和A；3. 将AA和AA、AA和AA进行相乘得到AA和AA；4. 将AA和AA相加，得到平面向量的数量积A·A。
三、性质平面向量的数量积具有以下性质：1. 交换律：A·A = A·A2. 数乘结合律：(AA)·A = A(A·A) = A·(AA)3. 分配律：(A + A)·A = A·A + A·A其中，A为任意实数，A、A和A为任意向量。
四、夹角与数量积的关系两个非零向量A和A的数量积A·A与它们夹角A的余弦函数之间存在着如下关系：A·A = ‖A‖‖A‖cosA其中，‖A‖和‖A‖分别为向量A和A的长度。
五、应用平面向量的数量积在几何和物理学中有着广泛的应用。
以下是一些常见的应用：1. 判断两个向量是否垂直：如果两个向量的数量积为零，即A·A = 0，那么它们是垂直的。
2. 计算向量的模：根据数量积的性质，向量的模可以通过向量与自身的数量积来计算。
求平面向量数量积的5种方法
求平面向量数量积的5种方法平面向量的数量积（也称为内积、点积或标量积）是两个向量的乘积，结果是一个标量（即一个数），代表了两个向量之间的相似度。
平面向量数量积可以通过多种方法进行计算。
本文将介绍五种常用方法，包括点乘法、分量法、向量夹角法、模长法和运算法。
一、点乘法点乘法是最常用的计算平面向量数量积的方法。
给定两个向量A=(a1,a2)和B=(b1,b2)，则它们的数量积记作A·B，计算公式如下：A·B=a1*b1+a2*b2二、分量法分量法是另一种常用的计算平面向量数量积的方法。
当向量A=(a1,a2)和B=(b1,b2)的夹角为θ时，它们的数量积可以用以下公式表示：A·B = ，A， * ，B，* cos(θ)其中，A，和，B，分别表示向量A和B的模长，cos(θ)表示向量A和B的夹角的余弦值。
三、向量夹角法向量夹角法是通过向量夹角公式直接计算平面向量数量积的方法。
若向量A与向量B之间的夹角为θ，则它们的数量积可以计算如下：A·B = ，A， * ，B，* cos(θ)其中，A，和，B，分别表示向量A和B的模长，cos(θ)表示向量A和B的夹角的余弦值。
四、模长法模长法是一种通过计算向量的模长与夹角的余弦值来求解平面向量数量积的方法。
若向量A的模长为，A，向量B的模长为，B，向量A与向量B之间的夹角为θ，则它们的数量积可以计算如下：A·B = ，A， * ，B，* cos(θ)其中，A，和，B，分别表示向量A和B的模长，cos(θ)表示向量A和B的夹角的余弦值。
五、运算法运算法是一种通过平面向量的加、减、乘、除等运算求解数量积的方法。
根据数量积的性质，有以下运算法则：-若A·B=0，则向量A与向量B相互垂直。
-若A·B>0，则向量A与向量B夹角小于90度，即为锐角。
-若A·B<0，则向量A与向量B夹角大于90度，即为钝角。
向量数量积的五种求法
向量的数量积的五种求解策略方法一：定义法利用向量数量积的概念，即：a ·b=∣a ∣·∣b ∣cos θ。
根据向量的数量积的公式可知，在求解两个向量的数量积时，需要先确认两个向量的模以及它们的夹角，在判断向量的夹角时，要特别注意它们是否为“共起点“，如果不是”共起点“的需要先转化为”共起点“的向量再进行求解。
定义法也是求向量数量积的最常见的方法。
例题1：在▲ABC 中，M 是BC 的中点，AM=1，点P 在AM 上，且满足AP=2PM ，则PA ·(PB+PC)=解：∵ M 是BC 的中点，AM=1，且AP=2PM 可得：PB+PC=2PM 又AP=23∴ PA ·(PB+PC)=PA ·AP=-49例题2：在▲ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c 且满足ccosB+bcosC=4acosA ，S ▲ABC =√15，则AB ·AC= 解：由射影定理可得：a=ccosB+bcosC=4acosA ， ∴ cosA=14，可得：sinA=√154PMABC·又 S ▲ABC =12∣AB ∣··∣AC ∣·sinA可得：∣AB ∣··∣AC ∣=8∴ AB ·AC=∣AB ∣··∣AC ∣·cosA=2 方法二：数量积的几何意义a ·b 的几何意义为： a 的模∣a ∣和b 在a 方向上的投影∣b ∣cos θ的乘积。
当两个向量的夹角θ未知时，有时可以根据题目条件，利用其几何意义迅速解决向量的数量积问题。
例题1：如图，在平行四边形ABCD 中，AP ⊥BD ，垂足为P ，AP=3，试求AP ·AC 的数量积。
解： ∵ AC=2AO ∵ AP ⊥BD∴ 可知AO 在AP 方向上的投影为∣AP ∣ ∴ AC 在AP 方向上的投影为2∣AP ∣ ∴ AP ·AC=∣AP ∣·2∣AP ∣=18例题2：点P 是▲ABC 的外心，且∣AC ∣=4，∣AB ∣=2，求AP ·(AC-AB)的数量积。
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平面向量数量积运算的解题方法与策略平面向量数量积运算一直是高考热点内容，它在处理线段长度、垂直等问题的方式方法上尤为有突出的表现,而正确理解数量积的定义和几何意义是求解的关键，同时平面向量数量积的运算结果是实数而不是向量,因此要注意数量积运算和实数运算律的差异,本文仅举数例谈谈求解向量数量积运算的方法和策略。
1.利用数量积运算公式求解在数量积运算律中，有两个形似实数的完全平方和(差)公式在解题中的应用较为广泛,即(a ＋b )２＝a ２＋２a ·b ＋b ２，（a －b ）２＝a ２－２a ·b ＋b ２上述两公式以及(a ＋b )(a －b )＝a ２－b ２这一类似于实数平方差的公式在解题过程中可以直接应用.例1 已知｜a ｜＝２，｜b ｜＝５，a ·b ＝－３，求｜a ＋b ｜，｜a －b ｜.解析：∵｜a ＋b ｜２＝（a ＋b ）２＝a ２＋２a ·b ＋b ２＝２２＋２×（－３）＋５２＝２３∴｜a ＋b ｜＝23，∵（｜a －b ｜）２＝（a －b ）２＝a ２－2a ·b ＋b ２＝2２－2×（－3）×５２＝35，∴｜a －b ｜＝35．例2 已知｜a ｜＝8，｜b ｜＝10，｜a ＋b ｜＝16，求a 与b 的夹角θ(精确到１°).解析：∵（｜a ＋b ｜）２＝（a ＋b ）２＝a ２＋2a ·b ＋b ２＝｜a ｜２＋2｜a ｜·｜b ｜ｃｏｓθ＋｜b ｜２ ∴１６２＝８２＋２×８×１０ｃｏｓθ＋１０２，∴ｃｏｓθ＝4023，∴θ≈５５° 例3 已知a ＝（3，4），b ＝（4，3），求x ,y 的值使(xa +yb )⊥a ，且｜xa +yb ｜=1.分析：这里两个条件互相制约，注意体现方程组思想.解：由a ＝（3，4），b ＝（4，3），有xa +yb =(3x +4y ,4x +3y )又（xa +yb ）⊥a ⇔(xa +yb )·a ＝０⇔3(3x +4y )+4(4x +3y )=0即25x +24y ＝０ ①又｜xa +yb ｜=1⇔｜xa +yb ｜２＝１⇔（３x +4y ）２＋（４x +3y ）２＝１整理得：25x ２＋48xy +25y ２＝１即x (25x +24y )+24xy +25y ２＝１ ②由①②有24xy +25y ２＝１ ③将①变形代入③可得：y =±75 再代回①得：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-==753524753524y x y x 和2. 利用定义直接求解.例4 若向量,a b 满足a b =2=，,a b 的夹角为45°，则a a a b ⋅+⋅=______.解析：根据数量积的定义得a a a b ⋅+⋅22445cos 22220+=⨯+⨯=，例5 设向量2172e e t +与向量21e t e +的夹角为钝角，求实数t 的取值范围.解析：∵0))(72(2121<++e t e e e t ，故071522<++t t ，解之217-<<-t ． 另有λλt t ==7,2，解之14,214-=-=λt ， ∴)21,214()214,7(--⋃--∈t ． 例 6 如图, 已知正六边形123456PP P P P P ，下列向量的数量积中最大的是（ ）（A ）1213PP PP ⋅ （B ）1214PP PP ⋅（C ）1215PP PP ⋅ （D ）1216PP PP ⋅解析：选项中均有向量12PP ，根据数量积的几何意义，要找121(3,4,5,6)i PP PP i ⋅=的最大值,只需求1(3,4,5,6)i PP i =在12PP 方向上的投影最大即可，画图可知只有13PP 在12PP 方向上的投影最大，故最大选A.3. 利用数量积的定义、性质、运算律求解例7 判断正误，并简要说明理由.①ａ·0＝0；②0·ａ＝０；③0－AB ＝BA ；④｜ａ·ｂ｜＝｜ａ｜｜ｂ｜；⑤若ａ≠0，则对任一非零ｂ有ａ·ｂ≠０；⑥ａ·ｂ＝０，则ａ与ｂ中至少有一个为0；⑦对任意向量ａ，ｂ，с都有（ａ·ｂ）с＝ａ（ｂ·с）；⑧ａ与ｂ是两个单位向量，则ａ２＝ｂ２.分析：根据数量积的定义、性质、运算律，逐一判断.解：上述8个命题中只有③⑧正确；对于①：两个向量的数量积是一个实数，应有0·ａ＝０；对于②：应有０·ａ＝0；对于④：由数量积定义有｜ａ·ｂ｜＝｜ａ｜·｜ｂ｜·｜ｃｏｓθ｜≤｜ａ｜｜ｂ｜，这里θ是ａ与ｂ的夹角，只有θ＝０或θ＝π时，才有｜ａ·ｂ｜＝｜ａ｜·｜ｂ｜；对于⑤：若非零向量ａ、ｂ垂直，有ａ·ｂ＝０；对于⑥：由ａ·ｂ＝０可知ａ⊥ｂ可以都非零；对于⑦：若ａ与с共线，记ａ＝λс.则ａ·ｂ＝（λс）·ｂ＝λ（с·ｂ）＝λ（ｂ·с），∴（ａ·ｂ）·с＝λ（ｂ·с）с＝（ｂ·с）λс＝（ｂ·с）ａ若ａ与с不共线，则(ａ·ｂ)с≠（ｂ·с）ａ.评述：这一类型题，要求学生确实把握好数量积的定义、性质、运算律.4. 借助零向量. 即借助“围成一个封闭图形且首尾相接的向量的和为零向量”，再合理使用向量的移项以及平方等变形，求解数量积.例8 已知△ABC 中，c AB b CA a BC ===,,，若a c c b b a ⋅=⋅=⋅，求证：△ABC为正三角形.证明：a c c b ⋅=⋅ ， ∴0)(=-a b c ， 又∵0=++c b a ， )(b a c +-=， 故0))((=-+-a b b a ， 知a =b ， 同理可知b=c ， 故a =b=c ， 得证．例9 已知平面上三点A 、B 、C 满足3,4,5AB BC CA ===则AB BC BC CA CA AB⋅+⋅+⋅的值等于 。
解析：注意到∵0AB BC CA ++=，两边平方得 2222220AB BC CA AB BC BC CA CA AB +++++=所以AB BC BC CA CA AB ⋅+⋅+⋅=−255. 借助平行向量与垂直向量.即借助向量的拆分，将待求的数量积转化为有垂直条件关系或平行向量关系的向量数量积，借助a b ⊥，则0a b ⋅=等解决问题.例10 已知向量a ＝（3，－4），b ＝（2，x ）， c ＝（2，y ）且a ∥b ，a ⊥c ．求|b －c |的值．解析：∵ a ∥b ，∴ 3x ＋8＝0． ∴x ＝38-． ∴ b ＝（2， 38-） ． ∵ a ⊥c ， ∴ 6－4y ＝0． ∴ y ＝23． ∴ c ＝（2， 23）． 而b －c ＝（2，38-）－（2，23）＝（0，－256）， ∴ |b －c |＝256． 例11 如图，在Rt △ABC 中，已知BC=a ，若长为2a 的线段PQ 以点A BCA 为中心，问PQ 与BC 的夹角θ取何值时BP ·CQ 的值最大？，并求出这个最大值. 解析：∵AB ⊥AC ∴AB ·AC =0又∵AP =－AQ ，BP =AP －AB ,CQ =AQ －AC ,∴BP ·CQ =(AP －AB )·(AQ －AC )=AP ·AQ －AP ·AC －AB ·AQ +AB ·AC =－a 2－AP ·AC +AB ·AP =－a 2+AP (AB －AC )=－a 2+21PQ ·BC . ∴当cos θ=1,，即θ=0（PQ 与BC 方向相同）时，BP ·CQ 最大，最大值为0. 例12 四边形ABCD 中，)3,2(),,(),1,6(--===CD y x BC AB（1）若DA BC //，试求x 与y 满足的关系式；（2）满足（1）的同时又有BD AC ⊥，求y x ,的值及四边形ABCD 的面积。
解析： ),(y x BC =)2,4()2,4()(+---=-+-=++-=-=y x y x CD BC AB AD DA（1）DA BC // 则有0)4()2(=--⋅-+-⋅x y y x 化简得：02=+y x（2）)1,6(++=+=y x BC AB AC , )3,2(--=+=y x CD BC BD 又BD AC ⊥ 则 0)3()1()2()6(=-⋅++-⋅+y y x x化简有：0152422=--++y x y x 联立⎩⎨⎧=--++=+015240222y x y x y x 解得⎩⎨⎧=-=36y x 或⎩⎨⎧-==12y xDA BC // BD AC ⊥ 则四边形ABCD 为对角线互相垂直的梯形当⎩⎨⎧=-=36y x 时,)0,8()4,0(-==BD AC 此时1621==S ABCD当⎩⎨⎧-==12y x 时, )4,0()0,8(-==BD AC 此时1621==S ABCD6. 借助向量的拆分将待求向量的数量积转化为题目中能求解的数量积.例13 如图，在ABC △中，12021BAC AB AC ∠===，，°，D 是边BC 上一点，2DC BD =，则AD BC =·_______ .解析：直接利用定义求AD BC ·较困难，题目中给出了12021BAC AB AC ∠===，，°，可以利用定义直接求出AB AC ·，这样问题就转化为能否将向量AD BC ,都用AB AC ,形式表示.由2DC BD =得2()AC AD AD AB -=-即1233AD AC AB =+，BC AC AB =- ∴AD BC =2211283333AC AC AB AB +⋅-=-. 7. 建立坐标系，利用坐标运算求解数量积例14 已知O 为Rt △ABC 的内切圆的圆心，AB=5,BC=4,CA=3下列结论正确的是（ ）A. OA OB OB OC OC OA ⋅<⋅<⋅B. OA OB OB OC OC OA ⋅>⋅>⋅C. OA OB OB OC OC OA ⋅=⋅=⋅D. OA OB OB OC OC OA ⋅<⋅=⋅解析：建立如图直角坐标系：设A(0,3)，B(4,0)，C(0,0)，∵O 为Rt △ABC 的内切圆的圆心∴O(1,1)，∴(1,2)OA =-，(3,1)OB =-，(1,1)OC =--∴5OA OB ⋅=-，1OA OC ⋅=，2OB OC ⋅=-故选 A例15 如图，在ABC △中，12021BAC AB AC ∠===，，°，D 是边BC 上一点，2DC BD =，则ADBC =·_______. 解析：建立以AB 为x 轴，过点A 作AB 的垂线为y 轴的直角坐标系，如图所示，则A(0,0)，B(2,0)，C(13,22-)，由定比分点坐标公式得D(73,66)，所以53(,)22BC =-，AD =(73,66), 即ADBC =·5733826263-⨯+⨯=-.三角恒等式证明的基本技巧三角恒等式的证明是三角函数中一类重要问题，这类问题主要以无条件和有条件恒等式出现。