平面向量的数量积与运算律

所以，向量的数量积不满足结合律．
在实数中，若ab = ac且a 0，则b = c
向量中是否也有“若 a b a c(a 0) ，则
b c ”成立呢 ? 为什么?
b B b
a
O
C
A
a
所以，向量的数量积不满足消去律．
例3 已知| a | = 6，| b | = 4， a 与b 的夹角为60，求：
新课引入
物理中功的概念 一个物体在力F 的作用下产生位 移s，那么力F 所做的功应当怎样计 算？
W | F || s |cos
其中力F 和位移s 是向量，功是数量.
是F的方向 与s的方向 的夹角。
F
θ s
先看一个概念-----向量的夹角
已知
(0 180 )
B
b
Oa
A
b
a
B
O
A
当 180，a 与b 反向；
2
④ a, b a // b ，且方向相反．
例题1：求下列向量的内积
（1） a 5 ， b 4 ， a, b 60 ，求 a b . （书 P56）
（2） a 3,4 ， b
1，
ab
，求 a b .（册，下同）
2
2
（3） a 3,4 ， b 3, 4，求 a b .
ab
，求：
3
（1） 2a 3b
解：由题意
） a 2b a
）4a a 2b
练习二：
（1）在四边形ABCD中，AB ·BC=0，且AB=DC
则四边形ABCD是（ C ）
A 梯形 B 菱形 C 矩形 D 正方形
（2）已知向量 a , b 共线，且 |a| =2|b| 0,
则a与b间的夹角的余弦值是 ±1。
a x1i y1 j ， b x2i y2 j
a b x1i y1 j x2i y2 j
x1x2i i y1y2 j j x1y2i j x2 y1 j i
故： a b x1x2 y1y2
平面向量内积的坐标表示
设向量 a ， b 的坐标为 a x1, y1 ， b x2, y2 ，则 a b x1x2 y1y2
3、利用 a ·b= |a| ·|b|cos 可求两向量的夹角，
尤其 是判定垂直。
4、两向量的夹角范围是[0, ]
5、掌握五条重要性质：
演练反馈
判断下列各题是否正确：
(1)、若a 0，则任一向量 b ，有 a • b 0
×
（2）、若 a 0，a • b 0，则 b 0
×
（3）、若a 0，a • b b • c，则 a c
特别地 a • a a 2 或 a a2
4 cos a • b
ab
(5) a • b a b
例题 2：已知 a b 2 ， a b 2 ，求 .
4 cos a • b
ab
数量积的运算律： 已知向量 a 、b 、c 和实数 ，则
⑴交换律： a b b a
⑵对数乘的结合律： (a) b (a b) a (b) ⑶分配律： (a b)c a c bc
例题2：已知 a 1,2,b 2,3 ，求：
（1） a b a b （2） a b 2a b
向量夹角的计算公式
， 设 a x1, y1, b x2, y2 ，则
cos a,b a b
x1x2 y1 y2
ab
x12 y12 x22 y22
例题3：已知 a 1, 2,b 3,1，求 a b，a , b ，
（2）两个向量的数量积是两个向量之间的一种乘法，它与 数的乘法是有区别的， a ·b不能写成 a×b 或 ab . （3） 在运用数量积公式解题时，一定要注意两向量夹角的 范围是 [ 0°，180°]．
结论：① 0 与任意向量的夹角是任意值.
② a, b =0 a // b ，且方向相同．） 2a 3b
（2） a 2b a
（3） 4a a 2b （4） AB AB 2CD
例题 3：已知 a 3,1 ， b 2 ，
ab
，求：
3
（1） 2a 3b
（2） a 2b a
（3） 4a a 2b
例题 3：已知 a 3,1 ， b 2 ，
(1) (a 2b) (a 3b);
解：(1) (a 2b) (a 3b) a a a b 6b b
| a |2 a b 6 | b |2
62 6 4 cos 60 6 42 = 72.
小结：
1. a b a b 0.
2. 向量运算不能照搬实数运算律， 交换律、数乘结合律、分配率成立； 向量结合律、消去律不成立。
×
（4）、 a • b a b a // b
√
分配律的证明：
(a b) c a c b c.
a
b
c
A
b
B
a
O
A1 c B1 C
在实数中，有(ab)c = a(bc)，向量 中是否也有(a b) c a (b c)? 为什么?
答：没有. 因为右端是与 a 共线的向量，而
左端是与 c共线的向量，但一般 a 与 c 不共线．
（3）在 ABC 中，已知|AB|=|AC|=1，且
AB
·AC=
1 2
，则这个三角形的形状是
等边三角形
总结提炼
1、向量的数量积的物理模型是力的做功； 平面向量的数量积的几何意义是: a 的长度 |a|
与 b 在 a 的方向 上的数量 |b|cos 的乘积
2、a ·b的结果是一个实数，它是标量不是向量。
（4） a 1,3 ， a a .
（5） a 0 ， b x, y ，求 a b .
平面向量数量积的性质：
（1）e ·a=a ·e=| a | cos
（2）a⊥b a ·b=0 (判断两向量垂直的依据)
（3）当a 与b 同向时，a ·b =| a | ·| b |，当a 与b 反向
时， a ·b = -| a | ·| b | ．( a // b a ·b=±|a| ·|b| )
3. 向量的主要应用是解决长度和夹 角问题。
运用平面向量的坐标求内积
探究：设 a x1, y1 ，b x2, y2 ，i，j 分别为x轴和y轴
正方向上的单位向量。
（1）| i | １| j | 1 j ０ i 1 j j １
（2）用 a, b 的坐标表示它们的内积 a b 。 （2）用 a, b 的坐标表示它们的内积 a b 。
例题３：求下列向量的内积
（1） a 3, 2， b 1,5，求 a b （2） a 3,1 ， b 2, 5 ，求 a b .
（3） a 1, 1 ， b 1, 1 ，求 a b .
解：（１）
结论：由（3）的计算结果发现：
a a bba b a0 b x10x2 y1yx21x20 y1y2 0
AOB
a
Ob
当
B 0，
a
与b
同A 向；
B
b
a
O
A
当 90，a 与b 垂直.
记作 a b
练习一：
在 ABC 中，找出下列向量的夹角： A
(1) AB与AC;
(2) AB与BC; (3) AC与BC。
C B
平面向量的数量积的定义
说明：（1）两向量的数量积是一个数量，而不是向量，符号由 夹角决定.
解：
例题 4：根据条件分别求出 a, b 的夹角 （1） a 3 ， b 4 ， a b 6 . （2） a b 2 ， a b 2 .
（3） a 2,1 ， b 3, 1 . （4） a 2, 1 ， b 3, 1 .
例５ 判断下列各组向量是否相互垂直： 解：
解：
即：两个向量的内积等于它们对应坐标的乘积之和.
探究：利用坐标公式验证向量的模
（1）若 a
x, y ，则 a a
2
a
2
a
x2
y2
所以 a x2 y2
（2）若 A x1, y1 ， B x2, y2 ，则 AB x2 x1, y2 y1
所以 AB x2 x1 2 y2 y1 2 （两点间距离公式）