求数列通项公式专题典型例题精校版
求数列通项公式的十种方法(例题+详解)
求数列通项公式的十种方法一、公式法例1 已知数列{}n a 满足1232n n n a a +=+⨯，12a =，求数列{}n a 的通项公式。
解：1232n n n a a +=+⨯两边除以12n +，得113222n n n n a a ++=+，则113222n n n n a a ++-=，故数列{}2n n a 是以1222a 11==为首项，以23为公差的等差数列，由等差数列的通项公式,得31(1)22n n a n =+-，所以数列{}n a 的通项公式为31()222n n a n =-。
评注:本题解题的关键是把递推关系式1232n n n a a +=+⨯转化为113222n n n na a ++-=，说明数列{}2n n a 是等差数列，再直接利用等差数列的通项公式求出31(1)22n n a n =+-,进而求出数列{}n a 的通项公式。
二、利用{1(2)1(1)n n S S n S n n a --≥==例2．若n S 和n T 分别表示数列{}n a 和{}n b 的前n 项和，对任意正整数2(1)n a n =-+，34n n T S n -=.求数列{}n b 的通项公式；解： 22(1)4231a n a d S n n n n =-+∴=-=-=--23435T S n n n n n ∴=+=-- (2)分 当1,35811n T b ===--=-时当2,626 2.1n b T T n b n n n n n ≥=-=--∴=---时……4分练习：1。
已知正项数列｛a n ｝，其前n 项和S n 满足10S n =a n 2+5a n +6且a 1，a 3，a 15成等比数列，求数列{a n }的通项a n解: ∵10S n =a n 2+5a n +6， ① ∴10a 1=a 12+5a 1+6，解之得a 1=2或a 1=3又10S n －1=a n －12+5a n －1+6(n ≥2）,②由①－②得 10a n =（a n 2－a n －12）+6(a n －a n －1），即（a n +a n －1）（a n －a n －1－5）=0 ∵a n +a n －1>0 ， ∴a n －a n －1=5 (n ≥2）当a 1=3时，a 3=13，a 15=73 a 1, a 3，a 15不成等比数列∴a 1≠3;当a 1=2时， a 3=12, a 15=72， 有 a 32=a 1a 15 ， ∴a 1=2， ∴a n =5n －3三、累加法例3 已知数列{}n a 满足11211n n a a n a +=++=，,求数列{}n a 的通项公式。
求数列通项公式的十种方法(例题+详解)
求数列通项公式的十种方法一.公式法 例1已知数列｛勺｝满足d”|=2勺+3x2", q=2,求数列｛勺｝的通项公式。
扌，故数列｛影｝是 以沪知为首项，以扌为公差的等差数列，由等差数列的通项公式，畤“+心)|,3 1 所以数列｛©｝的通项公式为a n =(-n —)2\2 2评注：本题解题的关键是把递推关系式。
心=2©+3><2”转化为增一牛=3,说明数列 2 2 2 ｛*｝是等差数列，再直接利用等差数列的通项公式求出*=1+5—1)_,进而求出数列 2 2 2｛q r ｝的通项公式。
例2.若S”和7；分别表示数列｛©｝和0｝的前"项和，对任意正整数a n =-2(n + l), T n -3S n =4n.求数列｛b K ｝的通项公式；解：•/ a fj = -2(n + I)/. “] = -4 cl = -2 = 一昇 一 3n.・.坊=3»+4"=-3舁2_5加 2 分 当 ”=1 时,7j 訥=—3—5=—8 当 n>2^\,b f J =T f J —7^2—1 =-6/2—2 ........... . ^=—6/2—2. 4 分I练习：1.已知正项数列｛an ｝,其前n 项和Sn 满足10Sn=an 2+5a n +6且a 】,a3,a 】5成等 比数列，求数列｛%｝的通项％. 解：T 105>訂+5/+6,① ・：108产日「+5/+6,解之得创=2或力产3,又 10$-产②-：+5②T +6(〃$2),②由①—②得 10a = (a^—a…-i 2) +6(a…—a…-x ),即(8”+$Q (%—/一】—5) =0T 色+/_1>0 , 二 a :—乔产5 (77^2) •当 ai =3 时，a.\— 13* ^i5=73. EL \* 越，去不成等比数列Si^3； 当 ai —2 时» 3.\— 12 9 ai5=72,有 &3 二日15 、二2, • • @7二5/7 —3,三、累加法 例3已知数列｛©｝满足如=©+2几+ 1, q=l,求数列｛©｝的通项公式。
数列通项公式专题(含详细答案)
t
t晦 的两条边上，所有 ．若 ， ，则数列 t 相互
，
， ，
，
t
平行，且所有梯形 的通项公式是
t t
和 t ，t ， ，t ，
t
分别在角
的面积均相等．设
A.
B.
C.
D.
t
84. 如图是一个树形图的生长过程，依据图中所示的生长规律，第 ‸ 行的实心圆点的个数是
85. 数列 A. 86. 数列 A.
A. 晦
．若
，则 C. ，则数列
等于 D.
项和为 D. 一定是等差数列 ” 是否成立 D. 能断定
项和
，那么数列 C. 不能断定
B. 成立
76. 下图是一系列有机物的结构简图，图中的“小黑点”表示原子，两黑点间的“短线”表示化学键，按 图பைடு நூலகம்结构第 个图有化学键
A. A. A.
个 ， ，
B. B. 中，已知对任意
t
‴ ‸
t ，则
D. ‴
t
t
‴
t
‴ ‸
等
B.
90. 以下数表的构造思路源于我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算术》一书中的“杨辉三角形”． ‸ 晦 ‴ 晦 ‴ ‸ ‴ ‴
‴ ‸
C.
‴ ‴ ‴
D.
‴ ‸ ‴
晦
‴
晦‴‸
晦‴ ‴
该表由若干行数字组成，第一行共有 ‴ 91. 数列 A. ‴ 满足
‴ ‸
个数字，从第二行起，每一行中的数字均等于其 “肩上 ”
是等差数列 是等比数列 是等差数列 是等比数列 t t t t t
‴
间 ‴㘴 ‴ 67. 已知数列
内所有的劣数的个数为 B. 晦 ， B.
数列通项公式的完整求法-还有例题详解
一． 观察法例1：根据数列的前4项，写出它的一个通项公式： （1）9，99，999，9999，…（2）K ,17164,1093,542,211（3）K ,52,21,32,1（4）K ,54,43,32,21--解：（1）变形为：101－1，102―1，103―1，104―1，…… ∴通项公式为：110-=n na（2）;122++=n n n a n （3）;12+=n a n（4）1)1(1+⋅-=+n na n n.点评：关键是找出各项与项数n 的关系。
二、公式法：当已知条件中有a n 和s n 的递推关系时，往往利用公式：a n ＝1*1(1)(2,)n n s n s s n n N -=⎧⎪⎨-≥∈⎪⎩来求数列的通项公式。
例1： 已知数列{a n }是公差为d 的等差数列，数列{b n }是公比为q 的(q ∈R 且q ≠1)的等比数列，若函数f (x ) = (x －1)2，且a 1 = f (d －1)，a 3 = f (d +1)，b 1 = f (q +1)，b 3 = f (q －1)，(1)求数列{ a n }和{ b n }的通项公式；解：(1)∵a 1=f (d －1) = (d －2)2，a 3 = f (d +1)= d 2，∴a 3－a 1=d 2－(d －2)2=2d ， ∴d =2，∴a n =a 1+(n －1)d = 2(n －1)；又b 1= f (q +1)= q 2，b 3 =f (q －1)=(q －2)2，∴2213)2(q q b b -==q 2，由q ∈R ，且q ≠1，得q =－2，∴b n =b ·qn －1=4·(－2)n －1 例 2. 等差数列{}n a 是递减数列，且432a a a ⋅⋅=48，432a a a ++=12，则数列的通项公式是（ ）(A)122-=n a n (B) 42+=n a n (C) 122+-=n a n (D) 102+-=n a n解析：设等差数列的公差位d ，由已知⎩⎨⎧==+⋅⋅+12348)()(3333a d a a d a ，解得⎩⎨⎧±==243d a ，又{}n a 是递减数列， ∴2-=d ，81=a ，∴=--+=)2)(1(8n a n 102+-n ，故选(D)。
数列通项公式求法大全配练习及答案
数列通项公式的十种求法一、公式法*11(1)()n a a n d dn a d n N =+-=+-∈ 1*11()n nn a a a q q n N q-==⋅∈ 二、累加法 )(1n f a a n n +=+例 1 数列{}n a 满足11211n n a a n a +=++=，，求数列{}n a 的通项公式。
2n a n =例2 数列{}n a 满足112313n n n a a a +=+⨯+=，，求数列{}n a 的通项公式。
〔3 1.n n a n =+-〕 三、累乘法 n n a n f a )(1=+例3 数列{}n a 满足112(1)53n n n a n a a +=+⨯=，，求数列{}n a 的通项公式。
〔(1)12325!.n n n n a n --=⨯⨯⨯〕评注：此题解题的关键是把递推关系12(1)5n n n a n a +=+⨯转化为12(1)5n n n a n a +=+，进而求出13211221n n n n a aa a a a a a a ---⋅⋅⋅⋅⋅，即得数列{}n a 的通项公式。
例4数列{}n a 满足11231123(1)(2)n n a a a a a n a n -==++++-≥，，求{}n a 的通项公式。
〔!.2n n a =〕评注：此题解题的关键是把递推关系式1(1)(2)n n a n a n +=+≥转化为11(2)n na n n a +=+≥，进而求出132122n n n n a a a a a a a ---⋅⋅⋅⋅，从而可得当2n n a ≥时，的表达式，最后再求出数列{}n a 的通项公式。
四、待定系数法qpa a n n +=+1()n f pa a n n +=+1n n n qa pa a +=++12〔其中p ，q 均为常数〕。
例5 数列{}n a 满足112356n n n a a a +=+⨯=，，求数列{}n a 的通项公式。
数列通项公式求法大全配练习及答案
数列通项公式的十种求法一、公式法*11(1)()n a a n d dn a d n N =+-=+-∈1*11()n nn a a a qq n N q-==⋅∈ 二、累加法 )(1n f a a n n +=+例 1 已知数列{}n a 满足11211n n a a n a +=++=，，求数列{}n a 的通项公式。
2n a n = 例 2 已知数列{}n a 满足112313nn n a a a +=+⨯+=，，求数列{}n a 的通项公式。
（3 1.n n a n =+-）三、累乘法 n n a n f a )(1=+例3 已知数列{}n a 满足112(1)53nn n a n a a +=+⨯=，，求数列{}n a 的通项公式。
（(1)12325!.n n n n a n --=⨯⨯⨯）评注：本题解题的关键是把递推关系12(1)5n n n a n a +=+⨯转化为12(1)5n n na n a +=+，进而求出13211221n n n n a a a a a a a a a ---⋅⋅⋅⋅⋅，即得数列{}n a 的通项公式。
例4已知数列{}n a 满足11231123(1)(2)n n a a a a a n a n -==++++-≥，，求{}n a 的通项公式。
（!.2n n a =）评注：本题解题的关键是把递推关系式1(1)(2)n n a n a n +=+≥转化为11(2)n na n n a +=+≥，进而求出132122n n n n a a a a a a a ---⋅⋅⋅⋅，从而可得当2n n a ≥时，的表达式，最后再求出数列{}n a 的通项公式。
四、待定系数法 q pa a n n +=+1 ()n f pa a n n +=+1 nn n qa pa a +=++12（其中p ，q 均为常数）。
例5 已知数列{}n a 满足112356nn n a a a +=+⨯=，，求数列{}n a 的通项公式。
常见递推数列通项公式的求法典型例题及习题
常见递推数列通项公式的求法典型例题及习题k=1，则an+1=an+f(n)为一阶线性递推数列，可用递推公式或特征方程求解。
例如已知a1=1，an+1=an+1/n，则有：an+1-an=1/nan-an-1=1/(n-1)an-a1=1+1/2+。
+1/n-1an=1+1/2+。
+1/n当k≠1时，设an+1+m=k(an+m)，则有：an+1=kan+km-m比较系数得km-m=b，解得m=b/(k-1)an+m=b/(k-1)k^(n-1)+(a1-b/(k-1))k^n-1即为通项公式。
例2]an+1=kan+f(n)型。
当k=1时，an+1-an=f(n)，若f(n)可求和，则可用累加消项的方法求得通项公式。
例如已知a1=1，an+1-an=1/(n(n+1))，则有：an+1-an=1/n-1/(n+1)an-an-1=1/1-1/2-1/2+1/3+。
+1/(n-1)-1/n-1/(n+1)an-a1=1-1/(n+1)an=2-1/n当k≠1且f(n)=an+b时，可设an+1+A(n+1)+B=k(an+An+B)，解得A=a/(k-1)，B=(2k-1)/(k-1)b-a，即可得通项公式。
例3]an+1=f(n)an型。
若f(n)=q(n+1)/n，则有：Cn=qCn-1Cn=q^nC0an=Cn/n!=q^nC0/n!即为通项公式。
1.已知数列 $\{a_n\}$ 中，$a_1=1$，$a_{n+1}=a_n+2a_{n-1}$，求 $a_n$。
解：根据递推式，可以列出 $a_2=3$，$a_3=7$，$a_4=15$，$a_5=31$，$a_6=63$，$a_7=127$，$\cdots$，可以猜测 $a_n=2^n-1$。
可以用数学归纳法证明：当 $n=1$ 时，$a_1=1=2^1-1$，假设 $a_k=2^k-1$，则 $a_{k+1}=a_k+2a_{k-1}=2^k-1+2\cdot 2^{k-1}-2=2^{k+1}-1$，所以 $a_n=2^n-1$。
数列通项公式习题精选精讲
数列通项公式的求法几种常见的数列的通项公式的求法一． 观察法例1：根据数列的前4项，写出它的一个通项公式： （1）9，99，999，9999，…（2） ,17164,1093,542,211（3） ,52,21,32,1（4） ,54,43,32,21-- 解：（1）变形为：101－1，102―1，103―1，104―1，…… ∴通项公式为：110-=n na（2）;122++=n n n a n （3）;12+=n a n （4）1)1(1+⋅-=+n na n n .点评：关键是找出各项与项数n 的关系。
二、公式法例2： 已知数列{a n }是公差为d 的等差数列，数列{b n }是公比为q 的(q ∈R 且q ≠1)的等比数列，若函数f (x ) = (x －1)2，且a 1 = f (d －1)，a 3 = f (d +1)，b 1 = f (q +1)，b 3 = f (q －1)，(1)求数列{ a n }和{ b n }的通项公式；解：(1)∵a 1=f (d －1) = (d －2)2，a 3 = f (d +1)= d 2，∴a 3－a 1=d 2－(d －2)2=2d ， ∴d =2，∴a n =a 1+(n －1)d = 2(n －1)；又b 1= f (q +1)= q 2，b 3 =f (q －1)=(q －2)2，∴2213)2(qq b b -==q 2，由q ∈R ，且q ≠1，得q =－2，∴b n =b ·q n －1=4·(－2)n －1 例1. 等差数列{}n a 是递减数列，且432a a a ⋅⋅=48，432a a a ++=12，则数列的通项公式是（ ）(A)122-=n a n (B) 42+=n a n (C) 122+-=n a n (D) 102+-=n a n解析：设等差数列的公差位d ，由已知⎩⎨⎧==+⋅⋅+12348)()(3333a d a a d a ，解得⎩⎨⎧±==243d a ，又{}n a 是递减数列， ∴ 2-=d ，81=a ，∴ =--+=)2)(1(8n a n 102+-n ，故选(D)。
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数列的通项公式专题
题型一【积差求商】形如11++⋅=-n n n n a ka a a 例1：已知数列}{n a 满足112++⋅=-n n n n a a a a ，且211=a ，求数列}{n a 的通项公式.变式训练1：已知数列}{n a 满足113++⋅=-n n n n a a a a ，且911=a ，求数列}{n a 的通项公式.变式训练2：已知数列}{n a 满足113++⋅=-n n n n a a a a ，且21=a ，求数列}{n a 的通项公式.题型二【n a 与n S 】
例2：已知数列}{n a 的前n 项和22+=n S n ，求数列}{n a 的通项公式.
变式训练1：已知数列}{n a 的前n 项和n S 满足1)1(log 2+=+n S n ，求数列}{n a 的通项公式.变式训练2：已知数列}{n a 的前n 和为n S ，21=a ，且)1(1++=+n n S na n n ，求n a .变式训练3：已知数列}{n a 的前n 和为n S ，且满足21),2(,0211=≥=⋅+-a n S S a n n n ，求n a ．变式训练4：已知数列}{n a 的前n 项和n S 满足2)1(4
1+=n n a S 且0>n a ，求}{n a 通项公式．变式训练5：数列{}n a 满足11154,3
n n n a S S a ++=+=，求n a .
题型三【累加法】形如已知1a 且()1n n a a f n +-=(()f n 为可求和的数列)的形式均可用累加法。
例3：已知数列}{n a ，且21=a ，n a a n n =-+1，求通项公式n a .变式训练1：已知数列}{n a 满足21=a ，231++=+n a a n n ，求}{n a 的通项公式.变式训练2：已知数列}{n a ，且21=a ，n n n a a 21+=+，求通项公式n a .变式训练3：数列{}n a 中已知11=a ,3231+++=+n a a n n n ,求{}n a 的通项公式.
加强训练1：已知数列}{n a 满足11=a ，)11ln(1n
a a n n ++=+，求}{n a 的通项公式.加强训练2：已知数列{}n a 满足211=a ，n n a a n n ++=+211，求n a 。
加强训练3：已知数列{}n a 满足211=a ，n n a a n n 2121++=+，求n a 。
题型四【累乘法】形如已知1a 且()1n n
a f n a +=(()f n 为可求积的数列)的形式均可用累乘法.例4：已知数列}{n a ，21=a 且11-⋅-=
n n a n n a （2≥n ），求通项公式n a
变式训练1：数列{}n a 中已知1121,n n a n a a n ++==,求{}n a 的通项公式变式训练2：已知数列}{n a ，21=a 且)2(log 11+⋅=++n a a n n n ，求通项公式n a 变式训练3：已知数列}{n a 满足11=a ，)(1n n n a a n a -=+，求}{n a 的通项公式.变式训练4：已知数列}{n a 满足3211=⋅+=+a a n n a n n ，，求数列}{n a 的通项公式。
变式训练5：已知数列}{n a 满足31
211=⋅++=+a a n n a n n ，，求数列}{n a 的通项公式。
题型五【取倒法】1111n n n n n pa n m a m a n a p a p
++=⇒=⋅++例5：已知数列｛n a ｝中11=a 且11+=
+n n n a a a （N n ∈），，求数列的通项公式变式训练1：已知1,1
3111=+⋅=--a a a a n n n ，求n a 变式训练2：已知数列{}n a 中，0≠n a ，211=a ，)(211++∈+=N n a a a n n n 求n a .题型六【已知相邻三项】
例6：已知数列{}n a 满足*12211,3,32().n n n a a a a a n N ++===-∈求数列{}n a 的通项公式.
变式训练1：数列{}n a 中，11=a ，22=a ，n n n a a a 2312-=++，求n a .变式训练2：数列{}n a 中，11=a ，22=a ，n n n a a a 3212+=++，求n a .变式训练3：已知数列{}n a 满足，11=a ，22=a ，*112N n a a a n n n ∈+=
-+，．（1）令n n n a a b -=+1，证明：{}n b 是等比数列；（2）求{}n a 的通项公式．题型七【待定系数法（构造法）】
例7：设数列{}n a 中，21=a ，121+=+n n a a ，求通项公式n a .
变式训练1：在数列}{n a 中，21=a 且231+=+n n a a ，求通项公式n a 变式训练2：已知数列}{n a 满足11=a ，1321n n a a n +=++，求}{n a 的通项公式.变式训练3：已知数列}{n a 满足11=a ，n a a n n 321+=+，求}{n a 的通项公式.变式训练4：已知数列}{n a 满足11=a ，123n n n a a +=+，求}{n a 的通项公式.变式训练5：已知数列}{n a 满足21=a ，1122+++=n n n a a ，求}{n a 的通项公式.
变式训练6：已知数列}{n a 满足332311=⋅+=+a a a n n n ，，求数列}{n a 的通项公式。
题型八【对数法】
型如i
n n a a =+1的数列（其中R i ∈且()01≠-i i ，数列{}n a 是正项数列）例8：已知数列}{n a 满足21=a ，21n
n a a =+，求}{n a 的通项公式.变式训练：已知数列}{n a 满足21=a ，212n n
n a a a +=+，求}{n a 的通项公式.
课后练习
1、如数列}{n a 中，,11=a 对所有的2≥n 都有2
321n a a a a n = ，求n a 2、已知数列{}n a 中，0>n a ,且41=a ，)(11++∈+=N n a a n n 求n
a 3、已知数列{}n a 中，31=a ，)(12
11++∈+=N n a a n n 求n a
4、已知数列满足1a =1，=n a .
5、已知数列{}n a 中，11=a ，321+=+n n a a ，求n a .
6、已知数列}{n a ，且21=a ，11
1++=-+n n a a n n ，求通项公式n a .
7、已知数列}{n a ，且21=a ，n
n a a n n +=-+211，求通项公式n a .8、在数列}{n a 中，21=a 且3221++=+n a a n n ，求通项公式n a .
9、在数列}{n a 中，21=a 且n
n n a a 321+=+，求通项公式n a .10、已知数数列{}n a 的前项和为n S ，对任意的*n N ∈，都有2n n S a n =-，设2log (1)n n b a =+．
求数列{}n a 、{}n b 的通项公式.。