求数列通项公式专题典型例题精校版
数列的通项公式专题
题型一【积差求商】形如11++⋅=-n n n n a ka a a 例1：已知数列}{n a 满足112++⋅=-n n n n a a a a ，且211=a ，求数列}{n a 的通项公式.变式训练1：已知数列}{n a 满足113++⋅=-n n n n a a a a ，且911=a ，求数列}{n a 的通项公式.变式训练2：已知数列}{n a 满足113++⋅=-n n n n a a a a ，且21=a ，求数列}{n a 的通项公式.题型二【n a 与n S 】
例2：已知数列}{n a 的前n 项和22+=n S n ，求数列}{n a 的通项公式.
变式训练1：已知数列}{n a 的前n 项和n S 满足1)1(log 2+=+n S n ，求数列}{n a 的通项公式.变式训练2：已知数列}{n a 的前n 和为n S ，21=a ，且)1(1++=+n n S na n n ，求n a .变式训练3：已知数列}{n a 的前n 和为n S ，且满足21),2(,0211=≥=⋅+-a n S S a n n n ，求n a ．变式训练4：已知数列}{n a 的前n 项和n S 满足2)1(4
1+=n n a S 且0>n a ，求}{n a 通项公式．变式训练5：数列{}n a 满足11154,3
n n n a S S a ++=+=，求n a .
题型三【累加法】形如已知1a 且()1n n a a f n +-=(()f n 为可求和的数列)的形式均可用累加法。
例3：已知数列}{n a ，且21=a ，n a a n n =-+1，求通项公式n a .变式训练1：已知数列}{n a 满足21=a ，231++=+n a a n n ，求}{n a 的通项公式.变式训练2：已知数列}{n a ，且21=a ，n n n a a 21+=+，求通项公式n a .变式训练3：数列{}n a 中已知11=a ,3231+++=+n a a n n n ,求{}n a 的通项公式.
加强训练1：已知数列}{n a 满足11=a ，)11ln(1n
a a n n ++=+，求}{n a 的通项公式.加强训练2：已知数列{}n a 满足211=a ，n n a a n n ++=+211，求n a 。
加强训练3：已知数列{}n a 满足211=a ，n n a a n n 2121++=+，求n a 。
题型四【累乘法】形如已知1a 且()1n n
a f n a +=(()f n 为可求积的数列)的形式均可用累乘法.例4：已知数列}{n a ，21=a 且11-⋅-=
n n a n n a （2≥n ），求通项公式n a
变式训练1：数列{}n a 中已知1121,n n a n a a n ++==,求{}n a 的通项公式变式训练2：已知数列}{n a ，21=a 且)2(log 11+⋅=++n a a n n n ，求通项公式n a 变式训练3：已知数列}{n a 满足11=a ，)(1n n n a a n a -=+，求}{n a 的通项公式.变式训练4：已知数列}{n a 满足3211=⋅+=+a a n n a n n ，，求数列}{n a 的通项公式。
变式训练5：已知数列}{n a 满足31
211=⋅++=+a a n n a n n ，，求数列}{n a 的通项公式。
题型五【取倒法】1111n n n n n pa n m a m a n a p a p
++=⇒=⋅++例5：已知数列｛n a ｝中11=a 且11+=
+n n n a a a （N n ∈），，求数列的通项公式变式训练1：已知1,1
3111=+⋅=--a a a a n n n ，求n a 变式训练2：已知数列{}n a 中，0≠n a ，211=a ，)(211++∈+=N n a a a n n n 求n a .题型六【已知相邻三项】
例6：已知数列{}n a 满足*12211,3,32().n n n a a a a a n N ++===-∈求数列{}n a 的通项公式.
变式训练1：数列{}n a 中，11=a ，22=a ，n n n a a a 2312-=++，求n a .变式训练2：数列{}n a 中，11=a ，22=a ，n n n a a a 3212+=++，求n a .变式训练3：已知数列{}n a 满足，11=a ，22=a ，*112N n a a a n n n ∈+=
-+，．（1）令n n n a a b -=+1，证明：{}n b 是等比数列；（2）求{}n a 的通项公式．题型七【待定系数法（构造法）】
例7：设数列{}n a 中，21=a ，121+=+n n a a ，求通项公式n a .
变式训练1：在数列}{n a 中，21=a 且231+=+n n a a ，求通项公式n a 变式训练2：已知数列}{n a 满足11=a ，1321n n a a n +=++，求}{n a 的通项公式.变式训练3：已知数列}{n a 满足11=a ，n a a n n 321+=+，求}{n a 的通项公式.变式训练4：已知数列}{n a 满足11=a ，123n n n a a +=+，求}{n a 的通项公式.变式训练5：已知数列}{n a 满足21=a ，1122+++=n n n a a ，求}{n a 的通项公式.
变式训练6：已知数列}{n a 满足332311=⋅+=+a a a n n n ，，求数列}{n a 的通项公式。
题型八【对数法】
型如i
n n a a =+1的数列（其中R i ∈且()01≠-i i ，数列{}n a 是正项数列）例8：已知数列}{n a 满足21=a ，21n
n a a =+，求}{n a 的通项公式.变式训练：已知数列}{n a 满足21=a ，212n n
n a a a +=+，求}{n a 的通项公式.
课后练习
1、如数列}{n a 中，,11=a 对所有的2≥n 都有2
321n a a a a n = ，求n a 2、已知数列{}n a 中，0>n a ,且41=a ，)(11++∈+=N n a a n n 求n
a 3、已知数列{}n a 中，31=a ，)(12
11++∈+=N n a a n n 求n a
4、已知数列满足1a =1，=n a .
5、已知数列{}n a 中，11=a ，321+=+n n a a ，求n a .
6、已知数列}{n a ，且21=a ，11
1++=-+n n a a n n ，求通项公式n a .
7、已知数列}{n a ，且21=a ，n
n a a n n +=-+211，求通项公式n a .8、在数列}{n a 中，21=a 且3221++=+n a a n n ，求通项公式n a .
9、在数列}{n a 中，21=a 且n
n n a a 321+=+，求通项公式n a .10、已知数数列{}n a 的前项和为n S ，对任意的*n N ∈，都有2n n S a n =-，设2log (1)n n b a =+．
求数列{}n a 、{}n b 的通项公式.。
求数列通项公式的十种方法(例题+详解)
求数列通项公式的十种方法一、公式法例1 已知数列{}n a 满足1232n n n a a +=+⨯，12a =，求数列{}n a 的通项公式。
解：1232n n n a a +=+⨯两边除以12n +，得113222n n n n a a ++=+，则113222n n n n a a ++-=，故数列{}2n n a 是以1222a 11==为首项，以23为公差的等差数列，由等差数列的通项公式,得31(1)22n n a n =+-，所以数列{}n a 的通项公式为31()222n n a n =-。
评注:本题解题的关键是把递推关系式1232n n n a a +=+⨯转化为113222n n n na a ++-=，说明数列{}2n n a 是等差数列，再直接利用等差数列的通项公式求出31(1)22n n a n =+-,进而求出数列{}n a 的通项公式。
二、利用{1(2)1(1)n n S S n S n n a --≥==例2．若n S 和n T 分别表示数列{}n a 和{}n b 的前n 项和，对任意正整数2(1)n a n =-+，34n n T S n -=.求数列{}n b 的通项公式；解： 22(1)4231a n a d S n n n n =-+∴=-=-=--23435T S n n n n n ∴=+=-- (2)分 当1,35811n T b ===--=-时当2,626 2.1n b T T n b n n n n n ≥=-=--∴=---时……4分练习：1。
已知正项数列｛a n ｝，其前n 项和S n 满足10S n =a n 2+5a n +6且a 1，a 3，a 15成等比数列，求数列{a n }的通项a n解: ∵10S n =a n 2+5a n +6， ① ∴10a 1=a 12+5a 1+6，解之得a 1=2或a 1=3又10S n －1=a n －12+5a n －1+6(n ≥2）,②由①－②得 10a n =（a n 2－a n －12）+6(a n －a n －1），即（a n +a n －1）（a n －a n －1－5）=0 ∵a n +a n －1>0 ， ∴a n －a n －1=5 (n ≥2）当a 1=3时，a 3=13，a 15=73 a 1, a 3，a 15不成等比数列∴a 1≠3;当a 1=2时， a 3=12, a 15=72， 有 a 32=a 1a 15 ， ∴a 1=2， ∴a n =5n －3三、累加法例3 已知数列{}n a 满足11211n n a a n a +=++=，,求数列{}n a 的通项公式。
求数列通项公式的十种方法(例题+详解)
求数列通项公式的十种方法一.公式法 例1已知数列｛勺｝满足d”|=2勺+3x2", q=2,求数列｛勺｝的通项公式。
扌，故数列｛影｝是 以沪知为首项，以扌为公差的等差数列，由等差数列的通项公式，畤“+心)|,3 1 所以数列｛©｝的通项公式为a n =(-n —)2\2 2评注：本题解题的关键是把递推关系式。
心=2©+3><2”转化为增一牛=3,说明数列 2 2 2 ｛*｝是等差数列，再直接利用等差数列的通项公式求出*=1+5—1)_,进而求出数列 2 2 2｛q r ｝的通项公式。
例2.若S”和7；分别表示数列｛©｝和0｝的前"项和，对任意正整数a n =-2(n + l), T n -3S n =4n.求数列｛b K ｝的通项公式；解：•/ a fj = -2(n + I)/. “] = -4 cl = -2 = 一昇 一 3n.・.坊=3»+4"=-3舁2_5加 2 分 当 ”=1 时,7j 訥=—3—5=—8 当 n>2^\,b f J =T f J —7^2—1 =-6/2—2 ........... . ^=—6/2—2. 4 分I练习：1.已知正项数列｛an ｝,其前n 项和Sn 满足10Sn=an 2+5a n +6且a 】,a3,a 】5成等 比数列，求数列｛%｝的通项％. 解：T 105>訂+5/+6,① ・：108产日「+5/+6,解之得创=2或力产3,又 10$-产②-：+5②T +6(〃$2),②由①—②得 10a = (a^—a…-i 2) +6(a…—a…-x ),即(8”+$Q (%—/一】—5) =0T 色+/_1>0 , 二 a :—乔产5 (77^2) •当 ai =3 时，a.\— 13* ^i5=73. EL \* 越，去不成等比数列Si^3； 当 ai —2 时» 3.\— 12 9 ai5=72,有 &3 二日15 、二2, • • @7二5/7 —3,三、累加法 例3已知数列｛©｝满足如=©+2几+ 1, q=l,求数列｛©｝的通项公式。
数列通项公式专题(含详细答案)
t
t晦 的两条边上，所有 ．若 ， ，则数列 t 相互
，
， ，
，
t
平行，且所有梯形 的通项公式是
t t
和 t ，t ， ，t ，
t
分别在角
的面积均相等．设
A.
B.
C.
D.
t
84. 如图是一个树形图的生长过程，依据图中所示的生长规律，第 ‸ 行的实心圆点的个数是
85. 数列 A. 86. 数列 A.
A. 晦
．若
，则 C. ，则数列
等于 D.
项和为 D. 一定是等差数列 ” 是否成立 D. 能断定
项和
，那么数列 C. 不能断定
B. 成立
76. 下图是一系列有机物的结构简图，图中的“小黑点”表示原子，两黑点间的“短线”表示化学键，按 图பைடு நூலகம்结构第 个图有化学键
A. A. A.
个 ， ，
B. B. 中，已知对任意
t
‴ ‸
t ，则
D. ‴
t
t
‴
t
‴ ‸
等
B.
90. 以下数表的构造思路源于我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算术》一书中的“杨辉三角形”． ‸ 晦 ‴ 晦 ‴ ‸ ‴ ‴
‴ ‸
C.
‴ ‴ ‴
D.
‴ ‸ ‴
晦
‴
晦‴‸
晦‴ ‴
该表由若干行数字组成，第一行共有 ‴ 91. 数列 A. ‴ 满足
‴ ‸
个数字，从第二行起，每一行中的数字均等于其 “肩上 ”
是等差数列 是等比数列 是等差数列 是等比数列 t t t t t
‴
间 ‴㘴 ‴ 67. 已知数列
内所有的劣数的个数为 B. 晦 ， B.
数列通项公式的完整求法-还有例题详解
一． 观察法例1：根据数列的前4项，写出它的一个通项公式： （1）9，99，999，9999，…（2）K ,17164,1093,542,211（3）K ,52,21,32,1（4）K ,54,43,32,21--解：（1）变形为：101－1，102―1，103―1，104―1，…… ∴通项公式为：110-=n na（2）;122++=n n n a n （3）;12+=n a n（4）1)1(1+⋅-=+n na n n.点评：关键是找出各项与项数n 的关系。
二、公式法：当已知条件中有a n 和s n 的递推关系时，往往利用公式：a n ＝1*1(1)(2,)n n s n s s n n N -=⎧⎪⎨-≥∈⎪⎩来求数列的通项公式。
例1： 已知数列{a n }是公差为d 的等差数列，数列{b n }是公比为q 的(q ∈R 且q ≠1)的等比数列，若函数f (x ) = (x －1)2，且a 1 = f (d －1)，a 3 = f (d +1)，b 1 = f (q +1)，b 3 = f (q －1)，(1)求数列{ a n }和{ b n }的通项公式；解：(1)∵a 1=f (d －1) = (d －2)2，a 3 = f (d +1)= d 2，∴a 3－a 1=d 2－(d －2)2=2d ， ∴d =2，∴a n =a 1+(n －1)d = 2(n －1)；又b 1= f (q +1)= q 2，b 3 =f (q －1)=(q －2)2，∴2213)2(q q b b -==q 2，由q ∈R ，且q ≠1，得q =－2，∴b n =b ·qn －1=4·(－2)n －1 例 2. 等差数列{}n a 是递减数列，且432a a a ⋅⋅=48，432a a a ++=12，则数列的通项公式是（ ）(A)122-=n a n (B) 42+=n a n (C) 122+-=n a n (D) 102+-=n a n解析：设等差数列的公差位d ，由已知⎩⎨⎧==+⋅⋅+12348)()(3333a d a a d a ，解得⎩⎨⎧±==243d a ，又{}n a 是递减数列， ∴2-=d ，81=a ，∴=--+=)2)(1(8n a n 102+-n ，故选(D)。
数列通项公式求法大全配练习及答案
数列通项公式的十种求法一、公式法*11(1)()n a a n d dn a d n N =+-=+-∈ 1*11()n nn a a a q q n N q-==⋅∈ 二、累加法 )(1n f a a n n +=+例 1 数列{}n a 满足11211n n a a n a +=++=，，求数列{}n a 的通项公式。
2n a n =例2 数列{}n a 满足112313n n n a a a +=+⨯+=，，求数列{}n a 的通项公式。
〔3 1.n n a n =+-〕 三、累乘法 n n a n f a )(1=+例3 数列{}n a 满足112(1)53n n n a n a a +=+⨯=，，求数列{}n a 的通项公式。
〔(1)12325!.n n n n a n --=⨯⨯⨯〕评注：此题解题的关键是把递推关系12(1)5n n n a n a +=+⨯转化为12(1)5n n n a n a +=+，进而求出13211221n n n n a aa a a a a a a ---⋅⋅⋅⋅⋅，即得数列{}n a 的通项公式。
例4数列{}n a 满足11231123(1)(2)n n a a a a a n a n -==++++-≥，，求{}n a 的通项公式。
〔!.2n n a =〕评注：此题解题的关键是把递推关系式1(1)(2)n n a n a n +=+≥转化为11(2)n na n n a +=+≥，进而求出132122n n n n a a a a a a a ---⋅⋅⋅⋅，从而可得当2n n a ≥时，的表达式，最后再求出数列{}n a 的通项公式。
四、待定系数法qpa a n n +=+1()n f pa a n n +=+1n n n qa pa a +=++12〔其中p ，q 均为常数〕。
例5 数列{}n a 满足112356n n n a a a +=+⨯=，，求数列{}n a 的通项公式。
数列通项公式求法大全配练习及答案
数列通项公式的十种求法一、公式法*11(1)()n a a n d dn a d n N =+-=+-∈1*11()n nn a a a qq n N q-==⋅∈ 二、累加法 )(1n f a a n n +=+例 1 已知数列{}n a 满足11211n n a a n a +=++=，，求数列{}n a 的通项公式。
2n a n = 例 2 已知数列{}n a 满足112313nn n a a a +=+⨯+=，，求数列{}n a 的通项公式。
（3 1.n n a n =+-）三、累乘法 n n a n f a )(1=+例3 已知数列{}n a 满足112(1)53nn n a n a a +=+⨯=，，求数列{}n a 的通项公式。
（(1)12325!.n n n n a n --=⨯⨯⨯）评注：本题解题的关键是把递推关系12(1)5n n n a n a +=+⨯转化为12(1)5n n na n a +=+，进而求出13211221n n n n a a a a a a a a a ---⋅⋅⋅⋅⋅，即得数列{}n a 的通项公式。
例4已知数列{}n a 满足11231123(1)(2)n n a a a a a n a n -==++++-≥，，求{}n a 的通项公式。
（!.2n n a =）评注：本题解题的关键是把递推关系式1(1)(2)n n a n a n +=+≥转化为11(2)n na n n a +=+≥，进而求出132122n n n n a a a a a a a ---⋅⋅⋅⋅，从而可得当2n n a ≥时，的表达式，最后再求出数列{}n a 的通项公式。
四、待定系数法 q pa a n n +=+1 ()n f pa a n n +=+1 nn n qa pa a +=++12（其中p ，q 均为常数）。
例5 已知数列{}n a 满足112356nn n a a a +=+⨯=，，求数列{}n a 的通项公式。
常见递推数列通项公式的求法典型例题及习题
常见递推数列通项公式的求法典型例题及习题k=1，则an+1=an+f(n)为一阶线性递推数列，可用递推公式或特征方程求解。
例如已知a1=1，an+1=an+1/n，则有：an+1-an=1/nan-an-1=1/(n-1)an-a1=1+1/2+。
+1/n-1an=1+1/2+。
+1/n当k≠1时，设an+1+m=k(an+m)，则有：an+1=kan+km-m比较系数得km-m=b，解得m=b/(k-1)an+m=b/(k-1)k^(n-1)+(a1-b/(k-1))k^n-1即为通项公式。
例2]an+1=kan+f(n)型。
当k=1时，an+1-an=f(n)，若f(n)可求和，则可用累加消项的方法求得通项公式。
例如已知a1=1，an+1-an=1/(n(n+1))，则有：an+1-an=1/n-1/(n+1)an-an-1=1/1-1/2-1/2+1/3+。
+1/(n-1)-1/n-1/(n+1)an-a1=1-1/(n+1)an=2-1/n当k≠1且f(n)=an+b时，可设an+1+A(n+1)+B=k(an+An+B)，解得A=a/(k-1)，B=(2k-1)/(k-1)b-a，即可得通项公式。
例3]an+1=f(n)an型。
若f(n)=q(n+1)/n，则有：Cn=qCn-1Cn=q^nC0an=Cn/n!=q^nC0/n!即为通项公式。
1.已知数列 $\{a_n\}$ 中，$a_1=1$，$a_{n+1}=a_n+2a_{n-1}$，求 $a_n$。
解：根据递推式，可以列出 $a_2=3$，$a_3=7$，$a_4=15$，$a_5=31$，$a_6=63$，$a_7=127$，$\cdots$，可以猜测 $a_n=2^n-1$。
可以用数学归纳法证明：当 $n=1$ 时，$a_1=1=2^1-1$，假设 $a_k=2^k-1$，则 $a_{k+1}=a_k+2a_{k-1}=2^k-1+2\cdot 2^{k-1}-2=2^{k+1}-1$，所以 $a_n=2^n-1$。
数列通项公式习题精选精讲
数列通项公式的求法几种常见的数列的通项公式的求法一． 观察法例1：根据数列的前4项，写出它的一个通项公式： （1）9，99，999，9999，…（2） ,17164,1093,542,211（3） ,52,21,32,1（4） ,54,43,32,21-- 解：（1）变形为：101－1，102―1，103―1，104―1，…… ∴通项公式为：110-=n na（2）;122++=n n n a n （3）;12+=n a n （4）1)1(1+⋅-=+n na n n .点评：关键是找出各项与项数n 的关系。
二、公式法例2： 已知数列{a n }是公差为d 的等差数列，数列{b n }是公比为q 的(q ∈R 且q ≠1)的等比数列，若函数f (x ) = (x －1)2，且a 1 = f (d －1)，a 3 = f (d +1)，b 1 = f (q +1)，b 3 = f (q －1)，(1)求数列{ a n }和{ b n }的通项公式；解：(1)∵a 1=f (d －1) = (d －2)2，a 3 = f (d +1)= d 2，∴a 3－a 1=d 2－(d －2)2=2d ， ∴d =2，∴a n =a 1+(n －1)d = 2(n －1)；又b 1= f (q +1)= q 2，b 3 =f (q －1)=(q －2)2，∴2213)2(qq b b -==q 2，由q ∈R ，且q ≠1，得q =－2，∴b n =b ·q n －1=4·(－2)n －1 例1. 等差数列{}n a 是递减数列，且432a a a ⋅⋅=48，432a a a ++=12，则数列的通项公式是（ ）(A)122-=n a n (B) 42+=n a n (C) 122+-=n a n (D) 102+-=n a n解析：设等差数列的公差位d ，由已知⎩⎨⎧==+⋅⋅+12348)()(3333a d a a d a ，解得⎩⎨⎧±==243d a ，又{}n a 是递减数列， ∴ 2-=d ，81=a ，∴ =--+=)2)(1(8n a n 102+-n ，故选(D)。
高中数学-数列求通项公式方法汇总及经典练习(含答案)
高中数学-数列求通项公式方法汇总及经典练习（含答案）1、定义法：直接求首项和公差或公比。
2、公式法：1 (1) (2)n n nn S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩两种用途（列举），结果要验证能否写成统一的式子．例、数列{}n a 的各项都为正数，且满足()()2*14nna S n N +=∈，求数列的通项公式．解一：由()()2*14nna S n N +=∈得()()()221114411n n n n n aS S a a +++=-=---化简得()()1120n n n n a a a a +++--=，因为10,2n n n a a a +>∴-=，又()2111441S a a ==-得11a =，故{}n a 是以1为首项，2为公差的等差数列，所以21n a n =-．解二：由()()2*14nn a S n N +=∈，可得()11,12n n n a S S n -=-∴=--≥化简可得)211n S -=，即1=，又11S =，所以数列是首项为1，公差为1的等差数列，∴n =，从而2n S n =，所以121n n n a S S n -=-=-，又11a =也适合，故21n a n =-．练习：已知数列{a n }的前n 项和S n 满足120n n n a S S -+=（2n ≥），a 1=21，求n a ． 答案：a n =⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥--=)2()1(21)1(21n n n n ．扩展一：作差法例、在数列}{n a 中，11a =，212323(1)n a a a na n n ++++=-+，求n a ．解：由212323(1)n a a a na n n ++++=-+，得2123123(1)(2)1n a a a n a n n -++++-=-+-，两式相减，得66n na n =-+，∴ 1 (=1)66 (2)n n a n n n⎧⎪=-⎨≥⎪⎩．练习（理）：已知数列{}n a 满足11231123(1)(2)n n a a a a a n a n -==++++-≥，，求n a ．解：由123123(1)(2)n n a a a a n a n -=++++-≥，得1123123(1)n n n a a a a n a na +-=++++-+，两式相减，得1n n n a a na +-=，即11(2)n na n n a +=+≥，所以13222122![(1)43]2n n n n n a a a n a a n n a a a a a ---=⋅⋅⋅⋅=-⋅⋅⨯=又由已知，得2122a a a =+，则211a a ==，代入上式，得!13452n n a n =⋅⋅⋅⋅⋅=， 所以，{}n a 的通项公式为 1 (1)! (2)2n n a n n =⎧⎪=⎨≥⎪⎩．扩展二、作商法例、在数列}{n a 中，11a =，对所有的2n ≥，都有2123n a a a a n ••••=，求n a ．解：∵2123n a a a a n ••••=，∴21232(1)n a a a a n -••••=-，故当2n ≥时，两式相除，得22(1)n n a n =-， ∴221 (=1) (2)(1)n n a n n n ⎧⎪=⎨≥⎪-⎩．3、 叠加法：对于型如)(1n f a a n n =-+类的通项公式．例、在数列{n a }中，31=a ,)1(11++=+n n a a n n ，求通项公式n a .答案：na n 14-=. 例、已知数列{}n a 满足112231n n n n a a ++=++-（*n N ∈），352a =，求通项n a .解：由112231n nn n aa ++=++-，两边同除以12n +，得()111131112222n n n n n n n a a n ++++-=-+≥，列出相加得121212121332323212212121-+⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛+=---n a a n n n n又由已知求得16a =，∴()*231n n n n N a n ∈=•++．练习：已知数列}a {n 满足3a 132a a 1nn 1n =+⋅+=+，，求数列}a {n 的通项公式．答案：1n 32n 31332a n nn -+=++--⋅=．4、叠乘法：一般地，对于型如1+n a =f (n)·n a 的类型例（理）、已知数列{}n a 满足112(1)53nn n a n a a +=+⨯=，，求数列{}n a 的通项公式．解：因为112(1)53nn n a n a a +=+⨯=，，所以0n a ≠，则12(1)5n n na n a +=+，故13211221n n n n n a a a a a a a a a a ---=⋅⋅⋅⋅⋅121[2(11)5][2(21)5][2(11)5]3n n n n --=-+-++⨯⨯(1)1(1)(2)21122[(1)32]53325!n n n n n n n n n ---+-+++-=-⋅⋅⨯⨯⨯=⨯⨯⨯，所以数列{}n a 的通项公式为(1)12325!n n n n a n --=⨯⨯⨯．练习：在数列{a n }中，112a =，11(1n n n a a a n --=⋅+≥2），求n a ． 答案：）1(1+=n n a n ． 5、构造法：型如a n+1=pa n +f(n) (p 为常数且p ≠0， p ≠1)的数列(1)f(n)= q (q 为常数) 一般地，递推关系式a +1=pa n +q (p 、q 为常数，且p ≠0，p ≠1)等价与)1(11pqa p p q a n n --=--+，则{p q a n --1}为等比数列，从而可求n a ．例、已知数列{}n a 满足112a =，132n n a a --=（2n ≥），求通项n a ． 解：由132n n a a --=，得111(1)2n n a a --=--，又11210a -=≠，所以数列{1}n a -是首项为12，公比为12-的等比数列，∴11111(1)()1()22n nn a a -=---=+-． 练习：已知数列}{n a 的递推关系为121+=+n n a a ，且11=a ，求通项n a ． 答案：12-=n na ．(2) f(n)为等比数列，如f(n)= q n (q 为常数) ，两边同除以q n ，得111+=++nn n n qa p q a q ，令nn n a b q =，则可转化为b n+1=pb n +q 的形式求解．例、已知数列{a n }中，a 1=65，1111()32n n n a a ++=+，求通项n a ． 解：由条件，得2 n+1a n+1=32(2 n a n )+1，令b n =2 n a n ，则b n+1=32b n +1，b n+1-3=32（b n -3） 易得 b n =3)32(341+--n ，即2 n a n =3)32(341+--n ， ∴ a n =n n 2332+-． 练习、已知数列{}n a 满足1232n n n a a +=+⨯，12a =，求通项n a ．答案：31()222nn a n =-．(3) f(n)为等差数列，如1n n a Aa Bn C +=++型递推式，可构造等比数列．（选学，注重记忆方法）例、已知数列{}n a 满足11=a ，11212n n a a n -=+-（2n ≥），求．解：令n n b a An B =++，则n n a b An B =--，∴11(1)n n a b A n B --=---，代入已知条件， 得11[(1)]212n n b An B b A n B n ---=---+-，即11111(2)(1)2222n n b b A n A B -=++++-，令202A +=，1022A B +-=，解得A=－4，B=6，所以112n n b b -=，且46n n b a n =-+， ∴{}n b 是以3为首项、以12为公比的等比数列，故132n n b -=，故13462n n a n -=+-． 点拨：通过引入一些尚待确定的系数，经过变形与比较，把问题转化成基本数列（等差或等比数列）求解． 练习：在数列{}a n 中，132a =，1263n n a a n --=-，求通项a n ． 答案：a n nn -+=69912·()．解：由1263n n a a n --=-，得111(63)22n n a a n -=+-，令11[(1)]2n n a An B a A n B -++=+-+，比较系数可得：A=－6，B=9，令n n b a An B =++，则有112n n b b -=，又1192b a A B ==++，∴{}n b 是首项为92，公比为12的等比数列，所以b n n =-92121()，故a n n n-+=69912·()． (4) f(n)为非等差数列，非等比数列法一、构造等差数列法例、在数列{}n a 中，1112(2)2()n n n n a a a n λλλ+*+==++-∈N ，，其中0λ>，求数列{}n a 的通项公式．解：由条件可得111221n nn nn n a a λλλλ+++⎛⎫⎛⎫-=-+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，∴数列2n n n a λλ⎧⎫⎪⎪⎛⎫-⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭是首项为0，公差为1的等差数列，故21nnn a n λλ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，∴(1)2n n n a n λ=-+． 练习：在数列{a n }中，a na n a n n n n n 1132212==+++++，()()()，求通项a n 。
(完整版)数列求通项专题(总复习专题-方法全面-有答案)全
求数列通项专题题型一：定义法（也叫公式法）直接利用等差数列或等比数列的定义求通项的方法叫定义法，这种方法适应于已知数列类型的题目例：等差数列}a {n 是递增数列，前n 项和为n S ，且931a ,a ,a 成等比数列，255a S =．求数列}a {n 的通项。
解：设数列}a {n 公差为)0d (d > ∵931a ,a ,a 成等比数列，∴9123a a a =，即)d 8a (a )d 2a (1121+=+，得d a d 12= ∵0d ≠，∴d a 1=………①∵255S a = ∴211)d 4a (d 245a 5+=⋅⨯+…………②由①②得：53a 1=，53d = ∴n 5353)1n (53a n =⨯-+=题型二：已知的关系求通项公式(或)n n S a 与()n n S f a =这种类型一般利用与消去⎩⎨⎧≥⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅-=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=-)2()1(11n S S n S a n n n )()(11---=-=n n n n n a f a f S S a n S )2(≥n 或与消去进行求解。
)(1--=n n n S S f S )2(≥n n a 例：（1）已知数列的前项和，求数列的通项公式}{n a n 22+=n S n }{n a 解：当时，；1=n 311==S a 当时，； 2≥n 122)1(2221-=---+=-=-n n n S S a n n n ⎩⎨⎧≥-==∴)2(12)1(3n n n a n （2）已知数列的前项和满足，求数列的通项公式}{n a n n S 1)1(log 2+=+n S n }{n a 解：由，得，1)1(log 2+=+n S n 121-=+n n S ⎩⎨⎧≥==∴)2(2)1(3n n a nn 练习：1、已知数列{}的前n 项和为, 求.n a 32nn S =-n a 2、数列的前n 项和为，，，求的通项公式{}n a n S 11=a )(1121≥+=+n S a n n {}n a题型三：形如用累加法（也叫逐差求和法）：)(1n f a a n n +=+（1）若f(n)为常数,即：,此时数列为等差数列，则=.d a a n n =-+1n a d n a )1(1-+（2）若f(n)为n 的函数时，用累加法. 方法如下： 由 得：)(1n f a a n n =-+时，，2≥n )1(1-=--n f a a n n ，)2(21-=---n f a a n n )2(23f a a =-以上各式相加得)1(12f a a =- 即：.)1()2()2()1(1f f n f n f a a n +++-+-=- ∑-=+=111)(n k n k f a a 为了书写方便，也可用横式来写：时，，2≥n )1(1-=--n f a a n n ∴112211)()()(a a a a a a a a n n n n n +-++-+-=--- =.1)1()2()2()1(a f f n f n f ++++-+- 例1：已知数列{a n }中，a 1=1，对任意自然数n 都有11(1)n n a a n n -=++，求n a ．解：由已知得11(1)n n a a n n --=+，121(1)n n a a n n ---=-，……，32134a a -=⨯，21123a a -=⨯，以上式子累加，利用111(1)1n n n n =-++得 n a -1a =1111...23(2)(1)(1)(1)n n n n n n ++++⨯---+=1121n -+， 3121n a n ∴=-+例2：已知数列满足，求数列的通项公式。