数列通项公式的十种方法(已打)

递推式求数列通项公式常见类型及解法

对于由递推式所确定的数列通项公式问题，通常可通过对递推式的变形转化成等差数列或等比数列，也可以通过构8造把问题转化。下面分类说明。

一、型

例1. 在数列{a n}中，已知，求通项公式。

解：已知递推式化为，即，

所以

。

将以上个式子相加，得

，

所以。

二、型

例2. 求数列的通项公式。解：当，

即

当，所以。

三、型

例3. 在数列中，，求。解法1：设，对比

，得。于是，得

，以3为公比的等比数列。

所以有。

解法2：又已知递推式，得

上述两式相减，得，因此，数列是以

为首项，以3为公比的等比数列。

所以，所以

。

四、型

例4. 设数列，求通项公式。

解：设，则，

，

所以，

即。

设这时，所以。

由于{b n}是以3为首项，以为公比的等比数列，所以有。

由此得：。

说明：通过引入一些尚待确定的系数转化命题结构，经过变形与比较，把问题转化成基本数列（等差或等比数列）。

五、型

例5. 已知b≠0，b≠±1，，写出用n和b表示a n的通项公式。

解：将已知递推式两边乘以，得

，又设，

于是，原递推式化为，仿类型三，可解得，故。

说明：对于递推式，可两边除以，得

，引入辅助数列

，然后可归结为类型三。

六、型

例6. 已知数列，求。

解：在两边减去。

所以为首项，以

。

所以令上式，再把这个等式累加，得

。所以。

说明：可以变形为，就是

，则可从，解得，于是是公比为的等比数列，这样就转化为前面的类型五。

等差、等比数列是两类最基本的数列，是数列部分的重点，自然也是高考考查的热点，而考查的目的在于测试灵活运用知识的能力，这个“灵活”往往集中在“转化”的水平上。

转化的目的是化陌生为熟悉，当然首先是等差、等比数列，根据不同的递推公式，采用相应的变形手段，达到转化的目的。

附：构建新数列巧解递推数列竞赛题

递推数列是国内外数学竞赛命题的“热点”之一，由于题目灵活多变，答题难度较大。本文利用构建新数列的统一方法解答此类问题，基本思路是根据题设提供的信息，构建新的数列，建立新数列与原数列对应项之间的关系，然后通过研究新数列达到问题解决之目的。其中，怎样构造新数列是答题关键。 1 求通项

求通项是递推数列竞赛题的常见题型，这类问题可通过构建新数列进行代换，使递推关系式简化，这样就把原数列变形转化为等差数列、等比数列和线性数列等容易处理的数列，使问题由难变易，所用的即换元和化归的思想。

例1、数列{}n a 中，11=a ，()

n n n a a a 2414116

1

1+++=

+。求n a 。 （1981年第22届IMO 预选题）

分析 本题的难点是已知递推关系式中的n a 241+较难处理，可构建新数列{}n b ，令

n n a b 241+=，这样就巧妙地去掉了根式，便于化简变形。

解：构建新数列{}n b ，使0241>+=n n a b

则 51=b ，n n

a b 2412+= ，即24

1

2-=n n b a

∴ ⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛+-⨯+=-+n n n b b b 241411612412

21化简得 ()()22132+=+n n b b ∴ 321+=+n n b b ，即 ()32

131-=-+n n b b

数列 {}3-n b 是以2为首项，

2

1

为公比的等比数列。 n n n b --=⎪

⎭

⎫

⎝⎛⨯=-21

22123 即 322+=-n n b

∴ 1

21122231

232241---⨯+⨯+=-=n n n n n b a

2 证明不等式

这类题一般先通过构建新数列求出通项，然后证明不等式或者对递推关系式先进行巧妙变形后再构建新数列，然后根据已经简化的新数列满足的关系式证明不等式。

例2、设10=a ，1

2

11

1---+=

n n n a a a ()N n ∈，求证：2

2+>

n n a π

。

（1990年匈牙利数学奥林匹克试题）

分析 利用待证的不等式中含有π及递推关系式中含有2

11-+n a 这两个信息，考虑进行三角代换，构建新数列{}n α，使n n tg a α=，化简递推关系式。

证明：易知0>n a ，构建新数列{}n α，使n n tg a α=，⎪⎭

⎫

⎝⎛∈2,

0παn 则 2

sin cos 1111111

12-----=-=

-+=

n n n n n n tg tg tg a α

αααα

∴ 2

1-=n n tg tg αα，2

1-=n n αα又 10=a ，8

121π

tg

a =-=

，从而 8

1π

α=

因此，新数列{}n α是以

8

π为首项，21

为公比的等比数列。

2

1

2

8

21+-=

⋅

⎪

⎭

⎫

⎝⎛=n n n π

π

α

考虑到当)2

,

0(π

∈x 时，有 x tgx >。所以，2

2

2

2

++>

=n n n tg

a π

π

注：对型如 2

1n a ±，n a ±1，

1

11++±n n n

n a a a a 都可采用三角代换。

3 证明是整数

这类题把递推数列与数论知识结合在一起，我们可以根据题目中的信息，构建新数列，找到新的递推关系式直接解决，或者再进行转化，结合数论知识解决。

例3、设数列{}n a 满足11=a ，n

n n a a a 1

211+

=

+ )(N n ∈ 求证：

N a n

∈-2

22

()1,>∈n N n 。

分析 直接令2

22-=n

n a b ，转化为证明N b n ∈ )1,(>∈n N n

证明：构建新数列{}n b ，令02

22>-=

n

n a b

则 2422

+=

n n b a ，242

1

2

1+=++n n b a