史上最全的数列通项公式的求法13种

最全的数列通项公式的求法数列是高考中的重点内容之一，每年的高考题都会考察到，小题一般较易，大题一般较难。

而作为给出数列的一种形式——通项公式，在求数列问题中尤其重要。

本文给出了求数列通项公式的常用方法。

一、直接法根据数列的特征，使用作差法等直接写出通项公式。

二、公式法①利用等差数列或等比数列的定义求通项②若已知数列的前n 项和n S 与n a 的关系，求数列{}n a 的通项n a 可用公式⎩⎨⎧≥⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅-=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=-2111n S S n S a n n n 求解. (注意：求完后一定要考虑合并通项)例2．①已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足1,)1(2≥-+=n a S n n n ．求数列{}n a 的通项公式.②已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足21n S n n =+-，求数列{}n a 的通项公式.③ 已知等比数列{}n a 的首项11=a ，公比10<<q ，设数列{}n b 的通项为21+++=n n n a a b ，求数列{}n b 的通项公式。

③解析：由题意，321++++=n n n a a b ，又{}n a 是等比数列，公比为q ∴q a a a a b b n n n n n n =++=+++++21321，故数列{}n b 是等比数列，)1(211321+=+=+=q q q a q a a a b ， ∴ )1()1(1+=⋅+=-q q q q q b n n n三、归纳猜想法如果给出了数列的前几项或能求出数列的前几项，我们可以根据前几项的规律，归纳猜想出数列的通项公式，然后再用数学归纳法证明之。

也可以猜想出规律，然后正面证明。

四、累加（乘）法对于形如)(1n f a a n n +=+型或形如n n a n f a )(1=+型的数列，我们可以根据递推公式，写出n 取1到n 时的所有的递推关系式，然后将它们分别相加（或相乘）即可得到通项公式。

例4. 若在数列{}n a 中，31=a ，n a a n n +=+1，求通项n a 。

例5.在数列{}n a 中，11=a ，n n n a a 21=+（*N n ∈），求通项n a 。

五、取倒（对）数法a 、rn n pa a =+1这种类型一般是等式两边取对数后转化为q pa a n n +=+1，再利用待定系数法求解b 、数列有形如0),,(11=--n n n n a a a a f 的关系，可在等式两边同乘以,11-n n a a 先求出.,1n na a 再求得c 、)()()(1n h a n g a n f a n nn +=+解法：这种类型一般是等式两边取倒数后换元转化为q pa a n n +=+1。

例6.．设数列}{n a 满足,21=a ),N (31∈+=+n a a a n nn 求.n a 例7 设正项数列{}n a 满足11=a ，212-=n n a a （n ≥2）.求数列{}n a 的通项公式.解：两边取对数得：122log 21log -+=n n a a ，)1(log 21log 122+=+-n na a ，设1log 2+=n a nb ，则12-=n n b b {}n b 是以2为公比的等比数列，11log 121=+=b .11221--=⨯=n n n b ，1221log -=+n a n ，12log 12-=-n a n ， ∴1212--=n n a变式:1.已知数列｛a n ｝满足：a 1＝32，且a n ＝n 1n 13na n 2n N 2a n 1*≥∈－－（，）＋－求数列｛a n ｝的通项公式； 2、若数列的递推公式为11113,2()n na n a a +==-∈，则求这个数列的通项公式。

3、已知数列{n a }满足2,11≥=n a 时，n n n n a a a a 112--=-，求通项公式。

4、已知数列｛a n ｝满足：1,13111=+⋅=--a a a a n n n ，求数列｛a n ｝的通项公式。

5、若数列｛a n ｝中，a 1=1，a 1+n =22+n na a n ∈N +，求通项a n ． 六、迭代法迭代法就是根据递推式，采用循环代入计算. 七、待定系数法：1、通过分解常数，可转化为特殊数列{a n +k}的形式求解。

一般地，形如a 1+n =p a n +q （p ≠1，pq ≠0）型的递推式均可通过待定系数法对常数q 分解法：设a 1+n +k=p （a n +k ）与原式比较系数可得pk －k=q ，即k=1-p q，从而得等比数列{a n +k}。

例9、数列{a n }满足a 1=1，a n =21a 1-n +1（n ≥2），求数列{a n }的通项公式。

说明：通过对常数1的分解，进行适当组合，可得等比数列{ a n －2}，从而达到解决问题的目的。

练习、1数列{a n }满足a 1=1，0731=-++n n a a ,求数列{a n }的通项公式。

2、已知数列{}n a 满足11=a ，且132n n a a +=+，求n a ．2、递推式为11+++=n n n q pa a （p 、q 为常数）时，可同除1+n q ，得111+⋅=++nnn n q a q p q a ，令n n nq a b =从而化归为q pa a n n +=+1（p 、q 为常数）型．、例10．已知数列{}n a 满足11=a ，123-+=n n n a a )2(≥n ，求n a ．解：将123-+=n n n a a 两边同除n 3，得n n n n a a 32131-+=⇒1133213--+=n n nn a a 设n n n a b 3=，则1321-+=n n b b ．令)(321t b t b n n -=--⇒t b b n n 31321+=-⇒3=t ．条件可化成)3(3231-=--n n b b ，数列{}3-n b 是以3833311-=-=-a b 为首项，32为公比的等比数列．1)32(383-⨯-=-n n b ．因n n n a b 3=, )3)32(38(331+⨯-==∴-n n n n n b a ⇒2123++-=n n n a ．3、形如b an pa a n n ++=+1)001(≠≠，a 、p解法：这种类型一般利用待定系数法构造等比数列，即令)()1(1y xn a p y n x a n n ++=++++，与已知递推式比较，解出y x ,,从而转化为{}y xn a n ++是公比为p 的等比数列。

例11:设数列{}n a ：)2(,123,411≥-+==-n n a a a n n ，求n a . 解：令1(1)3()n n a x n y a xn y ++++=++ 化简得：1322n n a a xn y x +=++-所以2221x y x =⎧⎨-=-⎩解得10x y =⎧⎨=⎩，所以1(1)3()n n a n a n +++=+ 又因为115a +=，所以数列{}n a n +是以5为首项，3为公比的等比数列。

从而可得1153,53-n n n n a n a n --+=⨯=⨯所以 4、形如21n n a pa an bn c +=+++)001(≠≠，a 、p 解法：这种类型一般利用待定系数法构造等比数列，即令221(1)(1)()n n a x n y n c p a xn yn c ++++++=+++，与已知递推式比较，解出y x ,,z.从而转化为{}2n a xn yn c +++是公比为p 的等比数列。

例12:设数列{}n a ：2114,321,(2)n n a a a n n -==+-≥，求n a .八：不动点法，形如 hra qpa a n n n ++=+1解法：如果数列}{n a 满足下列条件：已知1a 的值且对于N ∈n ，都有hra qpa a n n n ++=+1（其中p 、q 、r 、h 均为常数，且r h a r qr ph -≠≠≠1,0,），那么，可作特征方程hrx qpx x ++=,当特征方程有且仅有一根0x 时,则01n a x ⎧⎫⎨⎬-⎩⎭是等差数列;当特征方程有两个相异的根1x 、2x 时，则12n n a x a x ⎧⎫-⎨⎬-⎩⎭是等比数列。

例15：已知数列}{n a 满足性质：对于,324,N 1++=∈-n n n a a a n 且,31=a 求}{n a 的通项公式.九：换元法：类比函数的值域的求法有三角代换和代数代换两种，目的是代换后出现的整体数列具有规律性。

例16 已知数列{}n a满足111(14116n n a a a +=+=，，求数列{}n a 的通项公式。

解：令n b =21(1)24n n a b =- 故2111(1)24n n a b ++=-，代入11(1416n n a a +=+得 221111(1)[14(1)]241624n n n b b b +-=+-+ 即2214(3)n n b b +=+因为0n b =，故10n b +=≥则123n n b b +=+，即11322n n b b +=+，可化为113(3)2n n b b +-=-，所以{3}n b -是以13332b -===为首项，以21为公比的等比数列，因此121132()()22n n n b ---==，则21()32n n b -=+21()32n -=+，得2111()()3423n n n a =++。

评注：本题解题的关键是通过将的换元为n b ，使得所给递推关系式转化11322n n b b +=+形式，从而可知数列{3}n b -为等比数列，进而求出数列{3}n b -的通项公式，最后再求出数列{}n a 的通项公式。

例18. 已知数列{}n a 满足211=a ，211n n a a +=+，求n a 。

解析：设3cos 211π==a ，∵ 211n n a a +=+，∴ 6cos 2π=a ，32cos 23⋅=πa ，…，32cos 1⋅=-n n a π总之，求数列的通项公式，就是将已知数列转化成等差（或等比）数列，从而利用等差（或等比）数列的通项公式求其通项。

十、双数列解法：根据所给两个数列递推公式的关系，灵活采用累加、累乘、化归等方法求解。

例19. 已知数列{}n a 中，11=a ；数列{}n b 中，01=b 。

当2≥n 时，)2(3111--+=n n n b a a ,)2(3111--+=n n n b a b ，求n a ,n b .解：因=+n n b a ++--)2(3111n n b a )2(3111--+n n b a 11--+=n n b a所以=+n n b a 11--+n n b a 1112222=+=+=•••=+=--b a b a b a n n 即1=+n n b a (1)又因为=-n n b a -+--)2(3111n n b a )2(3111--+n n b a )(3111---=n n b a所以=-n n b a )(3111---n n b a =-=--))31(222n n b a ……)()31(111b a n -=-1)31(-=n .即=-n n b a 1)31(-=n ………………………（2） 由（1）、（2）得：])31(1[211-+=n n a ， ])31(1[211--=n n b十一、周期型 解法：由递推式计算出前几项，寻找周期。