高中数学数列通项公式的求法(方法总结)

（1）主题：求数列通项n a 的常用方法总结一、 形如：特殊情况：当n+11,nn A B C A a a A =*+*+≠，常用累加法。

(n n a a +-,z 构建等比数列()1y n z *++z；的通项公式，进而求得n a 。

二、 形na a*；三、 形()x f x =） 情形1：1n n A B a a +=*+型。

设λ是不动点方程的根，得数列 {}na λ-是以公比为A 的等比数列。

情形2：1*n n n A BC D a a a +*+=+型。

设1λ和2λ是不动点方程*A x Bx C x D*+=+的两个根；（1）当12λλ≠时，数列n 12n a a λλ⎧⎫-⎪⎪⎨⎬-⎪⎪⎩⎭是以12A C A C λλ-*-*为公比的等比数列；（2）当12=λλλ=时，数列1n a λ⎧⎫⎪⎪⎨⎬-⎪⎪⎩⎭是以2*C A D +为公差的等差数列。

【推导过程：递推式为a n+1=dca b aa n n ++（c ≠0,a,b,c,d 为常数）型的数列a n+1－λ=dca b aa n n ++－λ=d ca c a d b a c a n n +--+-))((λλλ，令λ＝－λλc a d b --，可得λ＝d c ba ++λλ ……（1）。

（1）是a n+1=dca b aa n n ++中的a n ，a n+1都换成λ后的不动点方程。

○1当方程（1）有两个不同根λ１，λ２时，有 a n+1－λ１＝d ca a c a n n +--))((11λλ，a n+1－λ２＝dca a c a n n +--))((22λλ∴2111λλ--++n n a a ＝21λλc a c a --∙21λλ--n n a a ，令b n =21λλ--n n a a 有b n ＋１＝21λλc a c a --∙b n○2当方程（1）出现重根同为λ时， 由a n+1－λ＝d ca a c a n n +--))((λλ得λ-+11n a ＝))((λλ--+n n a c a d ca ＝λc a c-＋))((λλλ--+n a c a c d （ “分离常数”）。

设c n =λ-n a 1得c n ＋１＝λλc a c d -+∙c n ＋λc a c-】（2）通过例子学习解题步骤方法1：累加法若1()n n a a f n +-=，则：11221()()()n n n n n a a a a a a a ---=-+-++-1a +(2)n ≥。

例题1: 已知数列{}n a 满足11211n n a a n a +=++=，，求数列{}n a 的通项 解：由121n n a a n +=++得121n n a a n +-=+则112322112()()()()[2(1)1][2(2)1](221)(211)12[(1)(2)21](1)1(1)2(1)12(1)(1)1n n n n n a a a a a a a a a a n n n n n n nn n n n ---=-+-++-+-+=-++-+++⨯++⨯++=-+-++++-+-=+-+=-++= 所以数列{}n a 的通项公式为2n a n =。

例题2：已知数列{}n a 满足1132313n n n a a a +=+⨯+=，，求数列{}n a 的通项 解：13231n n n a a +=+⨯+两边除以13n +，得111213333n n n n n a a +++=++， 则111213333n n n n n a a +++-=+，故 112232112232111122122()()()()33333333212121213()()()()3333333332(1)11111()1333333n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a a a n --------------=-+-+-++-+=+++++++++-=+++++++因此11(13)2(1)2113133133223n n n n na n n ---=++=+--⨯， 则21133.322n n n a n =⨯⨯+⨯-方法2：待定系数法Case1: 一般地对于1n n k m a a -=+ (,k m 为常数）型，可化为的形式1()nn k aa λλ-+=+.重新构造出一个以k 为公比的等比数列{}1n a λ-+，然后通过化简用待定系数法求λ，然后再求n a 。

例题3 已知数列{}n a 满足112356n n n a a a +=+⨯=，，求数列{}n a 的通项解：设1152(5)n n n n a x a x +++⨯=+⨯①将1235n n n a a +=+⨯代入①式，得12355225n n n n n a x a x ++⨯+⨯=+⨯，等式两边消去2n a ，得135525n n n x x +⋅+⋅=⋅，两边除以5n ，得352,1,x x x +==-则代入④式得1152(5)n n n n a a ++-=-②由1156510a -=-=≠及②式得50nn a -≠，则11525n n nn a a ++-=-，则数列{5}nn a -是以1151a -=为首项，以2为公比的等比数列，则152n n n a --=，故125n n n a -=+。

Case2:对于1()(n n a pa f n +=+其中p 为常数),讨论()f n 两种情况：i ）.当()f n 为一次多项式时，即数列的递推关系为型，可化为的形式来求通项。

ii).当()f n 为一次多项式时，即数列的递推关系为型，可化为的形式来求通项。

例题4 已知数列{}n a 满足1135241n n n a a a +=+⨯+=，，求数列{}n a 的通项解：设1123(2)n n n n a x y a x y +++⨯+=+⨯+ ①将13524n n n a a +=+⨯+代入①式，得C Bn Aa a n n ++=+1])1([21211λλλλ+-+=+++n a A n a n n C Bn Aa a n n ++=+1])1([21211λλλλ+-+=+++n a A n a n n1352423(2)n n n n n a x y a x y ++⨯++⨯+=+⨯+整理得(52)24323n n x y x y +⨯++=⨯+。

令52343x x y y +=⎧⎨+=⎩，则52x y =⎧⎨=⎩，代入①式得115223(522)n n n n a a +++⨯+=+⨯+②由11522112130a +⨯+=+=≠及②式，得5220nn a +⨯+≠，则115223522n n nn a a +++⨯+=+⨯+， 故数列{522}n n a +⨯+是以1152211213a +⨯+=+=为首项，以3为公比的等比数列，因此1522133n n n a -+⨯+=⨯，则1133522n n n a -=⨯-⨯-。

方法3：累乘法已知1()n n a f n a +=求n a ，用累乘法：121121n n n n n a a aa a a a a ---=⋅⋅⋅⋅(2)n ≥。

例题5. 已知数列{}n a 满足321=a ，n n a n na 11+=+，求n a 。

解：由条件知11+=+n n a a n n ，分别令)1(,,3,2,1-⋅⋅⋅⋅⋅⋅=n n ，代入上式得)1(-n 个等式累乘之，即1342312-∙⋅⋅⋅⋅⋅⋅∙∙∙n n a a a a a a a a nn 1433221-⨯⋅⋅⋅⋅⋅⋅⨯⨯⨯=n a a n 11=⇒ 又321=a ，na n 32=∴方法4：不动点法例题6 已知数列{}n a 满足112124441n n n a a a a +-==+，，求数列{}n a 的通项。

解：令212441x x x -=+，得2420240x x -+=，则1223x x ==，是函数2124()41x f x x -=+的两个不动点。

因为 112124224121242(41)13262132124321243(41)92793341n n n n n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a a a a a ++---+--+--====----+---+。

所以数列23n n a a ⎧⎫-⎨⎬-⎩⎭是以112422343a a --==--为首项，以913为公比的等比数列，故12132()39n n n a a --=-，则113132()19n n a -=+-。

例题7 已知数列{}n a 满足1172223n n n a a a a +-==+，，求数列{}n a 的通项公式。

解：令7223x x x -=+，得22420x x -+=，则1x =是函数31()47x f x x -=+的不动点。

因为17255112323n n n n n a a a a a +---=-=++，所以12311215515n n n n a a a a ++==+--- 从而得到数列111n a +⎧⎫⎪⎪⎨⎬-⎪⎪⎩⎭是公差为25的等差数列。

从而得 2111()()3423n n n a =++。