高中数学 数列通项公式的求法集锦论文

数列通项公式的求法集锦

非等比、等差数列的通项公式的求法，题型繁杂，方法琐碎，笔者结合近几年的高考情况，对数列求通项公式的方法给以归纳总结。 一、累加法

形如1()n n a a f n --= (n=2、3、4…...) 且(1)(2)...(1)f f f n +++-可求，则用累加法求n a 。有时若不能直接用，可变形成这种形式，然后用这种方法求解。

例1. 在数列{n a }中，1a =1，11n n a a n --=- (n=2、3、4……) ，求{n a }的通项公式。 解：∵111n a ==时，

213243121

23.......1n n n a a a a a a a a n -≥-=?

?

-=?

?

-=???

-=-??

时,

这n-1个等式累加得：112...n a a -=+++（n-1）

=(1)2n n - 故21(1)222n n n n n a a --+=+= 且11a =也满足该式 ∴222

n n n a -+= (n N *

∈). 例2．在数列{n a }中，1a =1，12n n n a a +-= (n N *

∈),求n a 。

解：n=1时, 1a =1212323

431

122

22.......2n n n n a a a a a a a a --≥-=?

?

-=?

?-=????-=?

时,

以上n-1个等式累加得

21

122 (2)

n n a a --=+++=12(12)12

n ---=22n

-，故12221n n n a a =-+=- 且11a =也满

足该式 ∴21n n a =- (n N *

∈)。 二、累乘法

形如

1

()n

n a f n a -= (n=2、3、4……)，且(1)(2)...(1)f f f n +++-可求，则用累乘法求n a 。有时若不能直接用，可变形成这种形式，然后用这种方法求解。 例3．在数列{n a }中，1a =1，1n n a na +=，求n a 。

解：由已知得

1

n n

a n a += ，分别取n=1、2、3……(n-1),代入该式得n-1个等式累乘，即

324

1231........n n a a a a a a a a -=1×2×3×…×(n-1)=(n-1)!所以时，1

(1)!n a n a =-故(1)!n a n =-

且10!a ==1也适用该式 ∴(1)!n a n =- (n N *

∈). 例4．已知数列{n a }满足1a =

23，11

n n n

a a n +=

+，求n a 。 解：由已知得

11

n n a n

a n +=

+，分别令n=1，2，3，….(n-1),代入 上式得n-1个等式累乘，即

324

1231........n n a a a a a a a a -= 1231 (234)

n n -??? 所以

11

n a a n

=，又因为123a =也满足该式，所以23n a n =

。 三、构造等比数列法

原数列{n a }既不等差，也不等比。若把{n a }中每一项添上一个数或一个式子构成新数列，使之等比，从而求出n a 。该法适用于递推式形如1n a +=n ba c +或1n a +=()n ba f n +或

1n a += n n ba c +其中b 、c 为不相等的常数，()f n 为一次式。

例5、（06福建理22）已知数列{n a }满足1a =1，1n a +=21n a + (n N *

∈)，求数列{n a }的通项公式。

解：构造新数列{}n a p +，其中p 为常数，使之成为公比是n a 的系数2的等比数列 即1n a p ++=2()n a p + 整理得：1n a +=2n a p +使之满足1n a +=21n a + ∴p=1 即{}1n a +是首项为11a +=2，q=2的等比数列∴1n a +=1

22

n -? n a =21n

-

例6、（07全国II 理21）设数列{n a }的首项1(0,1)a ∈，n a =1

32

n a --，n=2、3、4…… （I ）求{n a }的通项公式。

解：构造新数列{}n a p +，使之成为1

2

q =-

的等比数列

即n a p +=11()2n a p --

+ 整理得：n a =113

22n a p ---满足n a =132n a -- 得 32p -=32 ∴p=-1 即新数列{}1n a -首项为11a -，12

q =-的 等比数列 ∴1n a -=1(1a -）112n --（） 故 n a =1(1a -）

1

12

n --（）+1

例7、（07全国I 理22）已知数列{n a }中，1a =2，1n a +=1)(2)n a + n N *

∈

（I ）求{n a }的通项公式。

解：构造新数列{}n a p +，使之成为1q =的等比数列

1n a p ++=1)()n a p + 整理得：1n a +=1)n a +2)p

使之满足已知条件 1n a +=1)n a +21)∴2)1)p =解得

p =∴{n a 是首项为21q =的等比数列，由此得

n a (211)n - ∴n a 1)n 例8、已知数列{n a }中，1a =1，1n a +=23n n a +，求数列的通项公式。

分析：该数列不同于以上几个数列，该数列中含3n

是变量，而不是常量了。故应构造新数列{3}n n a λ+，其中λ为常数，使之为公比是n a 的系数2的等比数列。

解：构造数列{3}n n a λ+，λ为不为0的常数，使之成为q=2的等比数列 即113n n a λ+++=2(3)n n a λ+ 整理得：1n a +=12(233)n n n a λλ++- 满足 1n a +=23n n a + 得1

233

3n

n n λλ+-= ∴1λ=-新数列{3}n n a -是首项为

113a -=2-，q=2的等比数列 ∴3n n a -=122n --? ∴n a =32n n -

例9、（07天津文20）在数列{n a }中，1a =2，1n a +=431n a n -+ ，求数列的通项n a 。

解：构造新数列{}n a n λ+，使之成为q=4的等比数列，则1(1)n a n λ+++=4()n a n λ+ 整理得：1n a +=43n a n λλ+-满足1n a +=431n a n -+，即331n n λλ-=-+得

1λ=-∴新数列{}n a n -的首项为111a -=，q=4的等比数列

∴14n n a n --= ∴14n n a n -=+

四、构造等差数列法

数列{n a }既不等差，也不等比，递推关系式形如11()n n n a ba b f n ++=++，那么把两边同除以1

n b

+后，想法构造一个等差数列，从而间接求出n a 。

例10．（07石家庄一模）数列{n a }满足1221n n n a a -=+-(2)n ≥且481a =。求(1)

1a 、2a 、

3a (2)是否存在一个实数λ，使此数列{

}2n n

a λ

+为等差数列？若存在求出λ的值及n a ；若不存在，说明理由。

解：(1)由4a =43221a +-=81 得3a =33；又∵3a =32221a +-=33得2a =13；

又∵2a =21221a +-=13，∴1a =5

(2)假设存在一个实数λ，使此数列{

}2

n n a λ

+为等差数列 即1122n n n n a a λλ--++-= 122n n n a a λ---= 212n n

λ--= 112n λ

+- 该数为常数 ∴λ=1- 即1{}2n n a -为首项11

1

22a -=，d=1的等差数列 ∴

12

n n

a -=2+(1)1n -?=n+1 ∴n a =(1)21n

n +?+ 例11、数列{n a }满足1n a += 12(2)n n a +-+- (n N *

∈)，首项为12a =-，求数列{n a }的通项公式。

解：1n a += 12(2)n n a +-+- 两边同除以1(2)n +-得

11(2)n n a ++-=(2)

n

n

a -+1 ∴数列{

}(2)n n a -是首项为12

(2)--=1，d=1的等差数列∴(2)n n

a -=1+(1)1n n -?= 故n a =(2)n

n -

例12．数列{n a }中，1a =5，且1331n n n a a -=+- （n=2、3、4……），试求数列{n a }的通项公式。

解：构造一个新数列{

}3n n a λ+，λ为常数，使之成为等差数列，即11

33

n n n n a a d λλ

--++=+ 整理得133n n n a a d λ-+=++3λ，让该式满足1331n n n a a -=+-∴取33n

n

d ?=，

21λ=-得12λ=-，d=1 ，即{}3n n a λ+是首项为11

1

3232

a -

=，公差d=1的等差数列。

故1

312(1)1322

n n a n n -

=+-?=+ ∴n

a =11()322n n +?+ 例13、（07天津理21）在数列{n a }中，1a =2，且11(2)2n n

n n a a λλλ++=++- （n N *

∈）

其中λ＞0，()I 求数列{n a }的通项公式。 解：1

n λ

+的底数与n a 的系数相同，则两边除以1

n λ

+得

1

1

1

1

221n n

n n

n n

n n

a a λλλλ++++=

++

-

即

1

11

221n n

n n n n

a a λ

λ

+++--=

+∴2{

}n

n n

a λ

-是首项为

12

0a λ

-=，公差d=1的等差数

列。 ∴20(1)1n

n n

a n n λ

-=+-=- ∴(1)2n n n a n λ=-+。

五、取倒数法

有些关于通项的递推关系式变形后含有1n n a a +项，直接求相邻两项的关系很困难，但两边同除以1n n a a +后，相邻两项的倒数的关系容易求得，从而间接求出n a 。 例14、已知数列{n a }，1a = 1-，11n n n

a a a +=

- n N *

∈，求n a =？ 解：把原式变形得11n n n n a a a a ++-?= 两边同除以1n n a a +得

1

111n n a a +=+ ∴1

{

}n

a 是首项为1-，d=1-的等差数列故11(1)(1)n n n a =-+--=-∴1n a n =-。

例15、（06江西理22）已知数列{n a }满足132a =

，且11321

n n n na a a n --=+-（2n ≥n N *

∈）()I 求数列{n a }的通项公式。

解：把原式变形成112(1)3n n n n a a n a na --+-= 两边同除以1n n a a +得 即

111233n n n n a a --=+ …… ⑴构造新数列{}n n

a λ+，使其成为公比q= 13的等比数列

即

111()3n n n n a a λλ--+=+整理得：112

33

n n n n a a λ--=- 满足⑴式使2233λ-= ∴1λ=-

∴数列{

1}n n a -是首项为111

13

a -=-，q= 13的等比数列

∴11111()()333

n n

n n a --=-=- ∴331n n n

n a ?=-。 例16．（06江西文22）已知各项均为正数的数列{n a }满足：13a =，且

111

22n n

n n n n a a a a a a +++-=-

n N *∈求数列{n a }的通项公式。

解：把原式变形为1112(2)n n n n n n a a a a a a +++-=- 两边同除以1n n a a +得

11

21

2n n n n a a a a ++-=- 移项得：11112()n n n n a a a a ++-=-

所以新数列1{

}n n a a -是首项为11118

333

a a -=-=- q=2的等比数列。 故

211

23

n n n a a +-=-? 解关于n a

的方程得11(23n n a +=+。

六．利用公式1(2)n n n a S S n -=-≥求通项

有些数列给出{n a }的前n 项和n S 与n a 的关系式n S =()n f a ，利用该式写出11()n n S f a ++=，两式做差，再利用11n n n a S S ++=-导出1n a +与n a 的递推式，从而求出n a 。 例17.(07重庆21题)已知各项均为正数的数列{n a }的前n 项和为n S 满足1S ＞1且6n S =

(1)(2)n n a a ++ n ∈N * 求{n a }的通项公式。

解：由11a S ==

111

(1)(2)6a a ++解得1a =1或1a =2，由已知11a S =＞1，因此1a =2又由11n n n a S S ++=-=1111

(1)(2)(1)(2)66

n n n n a a a a ++++-++得

11()(3)n n n n a a a a +-+--=0 ∵n a ＞0 ∴13n n a a --=

从而{n a }是首项为2，公差为3的等差数列，故{n a }的通项为n a =2+3(n-1)=3n-1. 例18.(07陕西理22)已知各项全不为0的数列{k a }的前k 项和为k S ，且k S =

11

2

k k a a +(k ∈N *)其中1a =1，求数列{k a }的通项公式。

解：当k=1时，11a S ==

121

2a a 及1a =1得2a =2； 当k ≥2时， 由k a =1k k S S --=1111

22

k k k k a a a a +--得11()k k k a a a +--=2k a ∵k a ≠0∴11k k a a +--=2

从而21m a -=1+(m-1)2=2m-1 2m a =2+(m-1)2=2m (m ∈N *) 故k a =k (k ∈N *

). 例19.(07福建文21)数列{n a }的前n 项和为n S ，1a =1，12n n a S += ( n ∈N *

),求{n a }的

通项公式。

解：由1a =1，212a S ==2，当n ≥2时n a =1n n S S --=

11()2n n a a +-得1n n

a

a +=3，因此{n a }是首项为2a =2，q=3的等比数列。故n a =2

23n -? (n ≥2),而1a =1不满足该式

所以n a =2

13

(2)

n n -??

?≥? (n=1)2。

例20.(06全国Ⅰ理22)该数列{n a }的前n 项和1412

2333

n n n S a +=-?+ (n=1、2、3……) 求{n a }的通项公式。 解：由14122333n n n S a +=

-?+ (n=1、2、3……)…①得11a S ==1412

4333

a -?+ 所以1a =2 再1n S -=1412

2333

n n a --?+ （n=2、3…）…②

将①和②相减得：n a =1n n S S --=1141()(22)33

n n

n n a a +---?-

整理得1124(2)n n n n a a --+=+ （n=2、3…）因而数列{2n n a +}是首项为124a +=,q=4 的等比数列。即2n n a +=1

44

n -?=4n

，因而42n n n a =-。

七．重新构造新方程组求通项法

有时数列{n a }和{n b }的通项以方程组的形式给出，要想求出n a 与n b 必须得重新构造关于n a 和n b 的方程组，然后解新方程组求得n a 和n b 。

例21.（07辽宁第21题）：已知数列{n a }，{n b }满足1a =2，1b =1且11

113114413144

n n n n n n a a b b a b ----?

=++???

?=++??（2n ≥）,求数列{n a }，{n b }的通项公式。

解析：两式相加得112n n n n a b a b --+=++ 则{n n a b +}是首项为113a b +=，d=2的等差数

列，故n n a b +=3+2(n-1)=2n+1 (1)

而两式相减得n n a b -=

111122n n a b ---=111()2n n a b --- 则{n n a b -}是首项为11a b -=1，q=12的等比数列，故n n a b -=1

1()2

n - (2)

联立(1)、(2)得121

1()2

n n n n n a b n a b -+=-??

?-=?? 由此得11()22n n a n =++，11()22n n b n =+-。

[分析]该题条件新颖,给出的数据比较特殊，两条件做加法、减法后恰好能构造成等差或等比数列，从而 再通过解方程组很顺利求出{n a }、{n b }的通项公式。若改变一下数据，又该怎样解决呢？下面给出一种通法。 例22.在数列{n a }、{n b }中1a =2，1b =1，且11267n n n n n n

a a

b b a b ++=-??=+?（n ∈N +

）求数列{n a }和{n b }

的通项公式。

解析：显然再把1n a +与1n b +做和或做差已无规律可循。不妨构造新数列{n n a b λ+}其中为

λ≠的常数。则

11n n a b λ+++=26(7)n n n n a b a b λ-++=(2)n a λ++(76)n b λ-=76

(2)()2

n n a b λλλ-++

+令76

2

λλλ-=

+得1λ=2或2λ=3 则{n n a b λ+}为首项11a b λ+，q=λ+2的等比数列。 即1λ=2时，{2n n a b +}是首项为4，q=4的等比数列，故2n n a b +=4×1

4

n -=4n

； 2λ=3时，{3n n a b +}是首项为5，q=5的等比数列，故3n n a b +=5×1

5

n -=5n

联立二式2435

n

n n n

n n a b a b ?+=??+=??解得3425n n n a =?-?，54n n

n b =-。 注：该法也可适用于例21，下面给出例21的该种解法 解：构造新数列{n n a b λ+}，则

n n a b λ+=131()44n a λ-++113()44n b λ-++(1)λ+=11313(1)43n n a b λλλλ--++??

+++??+??

令133λ

λλ

+=

+得1λ=1或2λ=1-即1λ=1时，新数列{n n a b +}中，n n a b +=112n n a b --++ ∴（n n a b +）11()2n n a b ---+= 新数列{n n a b +}是首项为113a b +=，d=2的等差

数列 ∴n n a b +=32(1)n +-=21n + (1)

当2λ=1-时，新数列{n n a b -}是首项为11a b +=1，q=

1

2

的等比数列 ∴n n a b -=1

12n -??

?

??

(2)

联立(1)、(2) 1

2112n n n n n a b n a b -+=+?????-=? ?

???

得1122n

n a n ??=++ ??? ，1122n n b n ??=+- ???。

例23.在数列{n a }、{n b }中，111a b ==，且115157n n n n n

n a a b b a b ++=+??=+?（n ∈N +

），求{n a }、{n b }

的通项公式。

解：构造新数列{n n a b λ+}，则

11n n a b λ+++=(5)n a λ++(157)n b λ+=157(5)5n n a b λλλ+?

?++

??+??

，令1575λλλ+=+得1λ =3-或2λ =5 {n n a b λ+}为首项11a b λ+，q=λ+5的等比数列 即

1λ=-3时，{3n n a b -}是首项为113a b -=2-，q=5+λ =2的等比数列，故

3n n a b -=122n --?=2n -；

当2λ =5时，{5n n a b +}是首项为115a b +=6，q=λ+5=10的等比数列，故5n n a b +=6×

110n -

联立二式1

325610

n

n n n n n a b a b -?-=-??+=???得13910524n n n a --=?-?，13

31024n n n b --=?+。