高中数学-数列公式及解题技巧

数列求和的基本方法和技巧

除了等差数列和等比数列有求和公式外，大部分数列的求和都需要一定的技巧. 下面，就几个历届高考数学来谈谈数列求和的基本方法和技巧.

一、利用常用求和公式求和 利用下列常用求和公式求和是数列求和的最基本最重要的方法. 1、 等差数列求和公式：d n n na a a

n S n n 2

)

1(2)(11-+=+=

2、 等比数列求和公式：?????≠--=--==)

1(11)1()1(111q q q a a q

q a q na S n n

n

自然数方幂和公式：

3、 )1(211

+==∑=n n k S n

k n 4、)12)(1(6112

++==∑=n n n k S n

k n

5、 21

3

)]1(21[+==

∑=n n k S n

k n [例] 求和1＋x 2＋x 4＋x 6＋…x 2n+4(x≠0) 解： ∵x≠0

∴该数列是首项为1，公比为x 2的等比数列而且有n+3项 当x 2＝1 即x ＝±1时 和为n+3

评注：

(1)利用等比数列求和公式．当公比是用字母表示时，应对其是否为1进行讨论，如本

题若为“等比”的形式而并未指明其为等比数列，还应对x 是否为0进行讨论．

(2)要弄清数列共有多少项，末项不一定是第n 项． 对应高考考题：设数列1，（1+2），…，（1+2+1

2

2

2-?+n ），……的前顶和为

n

s

，则

n

s

的值。

二、错位相减法求和

错位相减法求和在高考中占有相当重要的位置，近几年来的高考题其中的数列方面都出

了这方面的内容。需要我们的学生认真掌握好这种方法。这种方法是在推导等比数列的前n 项和公式时所用的方法，这种方法主要用于求数列{a n · b n }的前n 项和，其中{ a n }、{ b n }分别是等差数列和等比数列.

求和时一般在已知和式的两边都乘以组成这个数列的等比数列

的公比q ；然后再将得到的新和式和原和式相减，转化为同倍数的等比数列求和，这种方法就是错位相减法。

[例] 求和：1

32)12(7531--+???++++=n n x n x x x S （

1≠x ）………………………①

解：由题可知，{1

)12(--n x

n }的通项是等差数列{2n －1}的通项与等比数列{1

-n x

}的通项之积

设n

n x n x x x x xS )12(7531432-+???++++=………………………. ② （设制错位） ①－②得 n

n n x n x x x x x S x )12(222221)1(1432--+???+++++=-- （错位相减）

再利用等比数列的求和公式得：n n n x n x x x S x )12(1121)1(1

----?

+=-- ∴ 2

1)

1()

1()12()12(x x x n x n S n n n -+++--=+ 注意、1 要考虑 当公比x 为值1时为特殊情况 2 错位相减时要注意末项

此类题的特点是所求数列是由一个等差数列与一个等比数列对应项相乘。 对应高考考题：设正项等比数列{}n a 的首项2

1

1=

a ，前n 项和为n S ，且0)12(21020103010=++-S S S 。（Ⅰ）求{}n a 的通项； （Ⅱ）求{}n nS 的前n 项和n T 。

三、反序相加法求和

这是推导等差数列的前n 项和公式时所用的方法，就是将一个数列倒过来排列（反序），再把它与原数列相加，就可以得到n 个)(1n a a +.

[例] 求证：n

n n n n n n C n C C C 2)1()12(53210+=++???+++

证明： 设n

n n n n n C n C C C S )12(53210++???+++=………………………….. ①

把①式右边倒转过来得

113)12()12(n n n n n n n C C C n C n S ++???+-++=- （反序）

又由m

n n m n C C -=可得

n

n n n n n n C C C n C n S ++???+-++=-1103)12()12(…………..…….. ②

①+②得 n

n n n n n n n n C C C C n S 2)1(2))(22(2110?+=++???+++=- （反序相加） ∴ n

n n S 2)1(?+=

四、分组法求和

有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可.

若数列{}n a 的通项公式为n n n b a c +=，其中{}{}n n b a ,中一个是等差数列，另一个是等比数列，求和时一般用分组结合法。

[例]：求数列Λ16

1

4,813,412,211的前n 项和；

分析：数列的通项公式为n n n a 21+=，而数列{}?

??

???n n 21,分别是等差数列、等比数列，求

和时一般用分组结合法；

[解] ：因为n n n a 2

1

+

=，所以 )2

1

()813()412()211(n n n s ++++++++=Λ

)2

1

814121()321(n n +++++++++=ΛΛ（分组）

前一个括号内是一个等比数列的和，后一个括号内是一个等差数列的和，因此

12122

11)

21

1(212)1(2+-+=--++=n n n n n n

五、裂项法求和

这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用. 裂项法的实质是将数列中的每项（通项）分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的. 通项分解（裂项）如：

（1）)()1(n f n f a n -+= （2）ο

οο

οοn n n n tan )1tan()1cos(cos 1sin -+=+

（3）1

1

1)1(1+-=+=n n n n a n （4）)121121(211)12)(12()2(2+--+=+-=

n n n n n a n （5）])2)(1(1

)1(1[21)2)(1(1++-+=+-=

n n n n n n n a n

[例] 求数列

???++???++,1

1,

,321,

2

11

n n 的前n 项和.

解：设n n n n a n -+=++=

111 （裂项）

则 1

13

212

11+++???+++

+=

n n S n （裂项求和）

＝)1()23()12(n n -++???+-+- ＝11-+n

小结：此类变形的特点是将原数列每一项拆为两项之后，其中中间的大部分项都互相抵消了。只剩下有限的几项。

注意： 余下的项具有如下的特点

1余下的项前后的位置前后是对称的。 2余下的项前后的正负性是相反的。

[练习] 在数列{a n }中，11211++

???++++=n n

n n a n ，又1

2+?=n n n a a b ，求数列{b n }的前n 项的和.

六、合并法求和

针对一些特殊的数列，将某些项合并在一起就具有某种特殊的性质，因此，在求数列的和时，可将这些项放在一起先求和，然后再求S n .

[例] 在各项均为正数的等比数列中，若103231365log log log ,9a a a a a +???++=求的值.

解：设1032313log log log a a a S n +???++=

由等比数列的性质 q p n m a a a a q p n m =?+=+ （找特殊性质项） 和对数的运算性质 N M N M a a a ?=+log log log 得

)log (log )log (log )log (log 6353932310313a a a a a a S n ++???++++= （合并求和）

＝)(log )(log )(log 6539231013a a a a a a ?+???+?+? ＝9log 9log 9log 333+???++

＝10

数列的求和方法多种多样，它在高考中的重要性也显而易见。我们的学生在学习中必须要掌握好

几种最基本的方法，在解题中才能比较容易解决数列问题。

数列通项公式的十种求法

一、公式法

例1 已知数列{}n a 满足1232n

n n a a +=+?，12a =，求数列{}n a 的通项公式。

解：1232n n n a a +=+?两边除以1

2n +，得

113222n n n n a a ++=+，则113222n n n n a a ++-=，故数列{}2n n a 是以12

2

2a 11==为首项，以23

为公差的等差数列，由等差数列的通项公式，得31(1)22n n

a n =+-，所以数列{}n a 的通项公式为31()222

n

n a n =-。

评注：本题解题的关键是把递推关系式1232n

n n a a +=+?转化为

113222n n n n a a ++-=，说明数列{}2n

n

a 是等差数列，再直接利用等差数列的通项公式求出

3

1(1)22

n n a n =+-，进而求出数列{}n a 的通项公式。

二、累加法

例2 已知数列{}n a 满足11211n n a a n a +=++=，，求数列{}n a 的通项公式。 解：由121n n a a n +=++得121n n a a n +-=+则

11232211

2

()()()()[2(1)1][2(2)1](221)(211)12[(1)(2)21](1)1

(1)2(1)1

2

(1)(1)1n n n n n a a a a a a a a a a n n n n n n n

n n n n ---=-+-++-+-+=-++-+++?++?++=-+-++++-+-=+-+=-++=L L L 所以数列{}n a 的通项公式为2

n a n =。

评注：本题解题的关键是把递推关系式121n n a a n +=++转化为121n n a a n +-=+，进而求出

11232211()()()()n n n n a a a a a a a a a ----+-++-+-+L ，即得数列{}n a 的通项公式。

例3 已知数列{}n a 满足112313n

n n a a a +=+?+=，，求数列{}n a 的通项公式。

解：由

1231

n n n a a +=+?+得

1231

n n n a a +-=?+则

11232211

122112211()()()()(231)(231)(231)(231)32(3333)(1)33(13)2(1)3

13

331331

n n n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a n n n n --------=-+-++-+-+=?++?+++?++?++=+++++-+-=+-+-=-+-+=+-L L L

所以3 1.n

n a n =+-

评注：本题解题的关键是把递推关系式1231n n n a a +=+?+转化为1231n

n n a a +-=?+，进而求出

11232211()()()()n n n n n a a a a a a a a a a ---=-+-++-+-+L ，即得数列{}n a 的通项公式。

例4 已知数列{}n a 满足1132313n

n n a a a +=+?+=，，求数列{}n a 的通项公式。

解：13231n n n a a +=+?+两边除以1

3n +，得

111

21

3333n n n n n a a +++=++

， 则

111

21

3333n n n n n a a +++-=+

，故 11223211

2232111122122()()()()33333333212121213()()()()3333333332(1)11111()1

333333

n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a a a n --------------=-+-+-++-+=+++++++++-=+++++++L L L

因此1

1(13)

2(1)2113133133223n n n n n

a n n ---=++=+-

-?， 则211

33.322

n n n a n =

??+?- 评注：本题解题的关键是把递推关系式13231n

n n a a +=+?+转化为

11121

3333

n n n n n a a +++-=+，进而求出112232*********(

)()()()333333333n n n n n n n n n n n n a a a a a a a a a -----------+-+-++-+L ，即得数列3n n a ??

????

的通项公式，最后再求

数列{}n a 的通项公式。

三、累乘法

例5 已知数列{}n a 满足112(1)53n

n n a n a a +=+?=，，求数列{}n a 的通项公式。

解：因为112(1)53n

n n a n a a +=+?=，，所以0n a ≠，则

1

2(1)5n n n

a n a +=+，故13211221

12211(1)(2)21(1)

1

2

[2(11)5][2(21)5][2(21)5][2(11)5]32[(1)32]5332

5!

n n n n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a n n n n n -------+-+++--=

?????=-+-+??+?+??=-?????=???L L L L 所以数列{}n a 的通项公式为(1)1

2

32

5

!.n n n n a n --=???

评注：本题解题的关键是把递推关系12(1)5n

n n a n a +=+?转化为

1

2(1)5n n n

a n a +=+，进而求出13211221

n n n n a a a a a a a a a ---?????L ，即得数列{}n a 的通项公式。 例6 （2004年全国I 第15题，原题是填空题）已知数列{}n a 满足

11231123(1)(2)n n a a a a a n a n -==++++-≥L ，，求{}n a 的通项公式。

解：因为123123(1)(2)n n a a a a n a n -=++++-≥L ①

所以1123123(1)n n n a a a a n a na +-=++++-+L ②

用②式－①式得1.n n n a a na +-= 则1(1)(2)n n a n a n +=+≥

故

1

1(2)n n

a n n a +=+≥ 所以13222122![(1)43].2

n n n n n a a a n a a n n a a a a a ---=

????=-???=L L ③

由123123(1)(2)n n a a a a n a n -=++++-≥L ，21222n a a a ==+取得，则21a a =，又知11a =，则

21a =，代入③得!13452

n n a n =?????=

L 。 所以，{}n a 的通项公式为!.2

n n a =

评注：本题解题的关键是把递推关系式1(1)(2)n n a n a n +=+≥转化为

1

1(2)n n

a n n a +=+≥，进而求出132122

n n n n a a a a a a a ---????L ，从而可得当2n n a ≥时，的表达式，最后再求出数列{}n a 的通项公式。 四、待定系数法

例7 已知数列{}n a 满足112356n

n n a a a +=+?=，，求数列{}n a 的通项公式。

解：设1

15

2(5)n n n n a x a x +++?=+?

④

将1235n

n n a a +=+?代入④式，得12355225n n n n n a x a x ++?+?=+?，等式两边消去2n a ，得

135525n n n x x +?+?=?，两边除以5n ，得352,1,x x x +==-则代入④式得1152(5)n n n n a a ++-=-

⑤

由1

156510a -=-=≠及⑤式得50n

n a -≠，则11525

n n n

n a a ++-=-，则数列{5}n n a -是以1

151a -=为首项，以2为公比的等比数列，则152n n n a --=，故125n n

n a -=+。

评注：本题解题的关键是把递推关系式1235n

n n a a +=+?转化为1

15

2(5)n n n n a a ++-=-，从而可知数列

{5}n n a -是等比数列，进而求出数列{5}n n a -的通项公式，最后再求出数列{}n a 的通项公式。

例8 已知数列{}n a 满足1135241n

n n a a a +=+?+=，，求数列{}n a 的通项公式。

解：设1

12

3(2)n n n n a x y a x y +++?+=+?+

⑥

将13524n

n n a a +=+?+代入⑥式，得

1352423(2)n n n n n a x y a x y ++?++?+=+?+

整理得(52)24323n n

x y x y +?++=?+。

令52343x x y y +=??

+=?，则5

2

x y =??=?，代入⑥式得

115223(522)n n n n a a +++?+=+?+

⑦

由1

1522112130a +?+=+=≠及⑦式，

得5220n

n a +?+≠，则11522

3522

n n n

n a a +++?+=+?+， 故数列{522}n n a +?+是以1

152211213a +?+=+=为首项，以3为公比的等比数列，因此

1522133n n n a -+?+=?，则1133522n n n a -=?-?-。

评注：本题解题的关键是把递推关系式13524n

n n a a +=+?+转化为

115223(522)n n n n a a +++?+=+?+，从而可知数列{522}n n a +?+是等比数列，进而求出数列{522}n n a +?+的通项公式，最后再求数列{}n a 的通项公式。

例9 已知数列{}n a 满足2

1123451n n a a n n a +=+++=，，求数列{}n a 的通项公式。

解：设22

1(1)(1)2()n n a x n y n z a xn yn z ++++++=+++ ⑧

将2

12345n n a a n n +=+++代入⑧式，得

2222345(1)(1)2()n n a n n x n y n z a xn yn z ++++++++=+++，则 222(3)(24)(5)2222n n a x n x y n x y z a xn yn z +++++++++=+++

等式两边消去2n a ，得2

2

(3)(24)(5)222x n x y n x y z xn yn z ++++++++=++，

解方程组3224252x x x y y x y z z +=??++=??+++=?，则31018x y z =??

=??=?，代入⑧式，得

2213(1)10(1)182(31018)n n a n n a n n ++++++=+++ ⑨

由213110118131320a +?+?+=+=≠及⑨式，得2

310180n a n n +++≠

则212

3(1)10(1)18231018

n n a n n a n n ++++++=+++，故数列2

{31018}n a n n +++为以21311011813132a +?+?+=+=为首项，以2为公比的等比数列，因此21

31018322n n a n n -+++=?，

则42

231018n n a n n +=---。

评注：本题解题的关键是把递推关系式2

12345n n a a n n +=+++转化为

2213(1)10(1)182(31018)n n a n n a n n ++++++=+++，从而可知数列2{31018}n a n n +++是等比数

列，进而求出数列2

{31018}n a n n +++的通项公式，最后再求出数列{}n a 的通项公式。

五、对数变换法

例10 已知数列{}n a 满足5

123n n n a a +=??，17a =，求数列{}n a 的通项公式。

解：因为511237n n n a a a +=??=，，所以100n n a a +>>，。在5

123n n n a a +=??式两边取常用对数得

1lg 5lg lg3lg 2n n a a n +=++

⑩

设1lg (1)5(lg )n n a x n y a xn y ++++=++

○

11 将⑩式代入○11式，得5lg lg 3lg 2(1)5(lg )n n a n x n y a xn y +++++=++，两边消去5lg n a 并整理，得

(lg3)lg 255x n x y xn y ++++=+，则 lg35lg 25x x x y y +=??

++=?，故lg 34lg 3lg 2164x y ?

=????=+??

代入○11式，得1lg3lg3lg 2lg3lg3lg 2

lg (1)5(lg )41644164

n n a n a n +++++=+++ ○12 由1lg3lg3lg 2lg3lg3lg 2

lg 1lg 71041644164a +?++=+?++≠及○12式， 得lg3lg3lg 2lg 04164

n a n +

++≠，

则

1lg3lg3lg 2

lg (1)41645lg3lg3lg 2lg 4164

n n a n a n ++

+++=+++

， 所以数列lg3lg3lg 2{lg }4164n a n +

++是以lg3lg3lg 2

lg 74164

+++

为首项，以5为公比的等比数列，则1

lg3lg3lg 2lg3lg3lg 2lg (lg 7)541644164n n a n -+++=+++，因此

111111

1116

164

4

44

111111

16

16

4

4

4

4

11111116

16

4

4

4

4

55514

lg 3lg 3lg 2lg 3lg 3lg 2

lg (lg 7)54164464

(lg 7lg 3lg 3lg 2)5lg 3lg 3lg 2

[lg(7332)]5

lg(332)

lg(7332)5lg(332)lg(733

n n n n n n n n n n n n a n ---------=+

++---=+++---=???-??=???-??=??1115116

4

541515116

4

2)

lg(73

2

)

n n n n n -------?=??

则11

54151516

4

73

2

n n n n n a -----=??。

评注：本题解题的关键是通过对数变换把递推关系式5

123n n n a a +=??转化为

1lg3lg3lg 2lg3lg3lg 2

lg (1)5(lg )41644164n n a n a n ++

+++=+++，从而可知数列lg3lg3lg 2{lg }4164n a n +++是等比数列，进而求出数列lg3lg3lg 2

{lg }4164n a n +++的通项公式，最后再

求出数列{}n a 的通项公式。 六、迭代法

例11 已知数列{}n a 满足3(1)2115n

n n n a a a ++==，，求数列{}n a 的通项公式。

解：因为3(1)21n

n n n

a a ++=，所以1

2

1

323(1)2

321

2

[]n n n n n n n n n a a a ---?-??--==

2(2)(1)

32

(2)(1)

3

(3)(2)(1)

1

12(3)(2)(1)

(1)

12

3(1)22

3(2)23(1)23

3(2)(1)23

323(2)(1)213!21

[]n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n a a a a a

-+---+--+-+--+++-+-+----??--?-??---?-??-?-????======L L L L L

又15a =，所以数列{}n a 的通项公式为(1)12

3!2

5

n n n n n a --??=。

评注：本题还可综合利用累乘法和对数变换法求数列的通项公式。即先将等式3(1)21n n n n

a a

++=两边取常用对

数得1lg 3(1)2lg n

n n

a n a +=+??，即

1

lg 3(1)2lg n n n

a n a +=+，再由累乘法可推知(1)12

3!2

132

11221

lg lg lg lg lg lg lg5lg lg lg lg n n n n n n n n n a a a a a a a a a a --??---=?????=L ，从而1(1)

3!2

2

5

n n n n n a --??=。

七、数学归纳法

例12 已知数列{}n a 满足11

228(1)8

(21)(23)9

n n n a a a n n ++=+

=++，，求数列{}n a 的通项公式。 解：由122

8(1)(21)(23)n n n a a n n ++=+

++及189

a =，得 2122322243228(11)88224

(211)(213)992525

8(21)248348

(221)(223)25254949

8(31)488480

(231)(233)49498181a a a a a a +?=+

=+=

?+?+?+?=+=+=?+?+?+?=+=+=

?+?+?

由此可猜测22

(21)1

(21)n n a n +-=+，往下用数学归纳法证明这个结论。 （1）当1n =时，212(211)18

(211)9

a ?+-=

=?+，所以等式成立。 （2）假设当n k =时等式成立，即22

(21)1

(21)k k a k +-=+，则当1n k =+时，

122

8(1)

(21)(23)

k k k a a k k ++=+

++ 22222222

222222

2

2

22

222(21)18(1)(21)(21)(23)[(21)1](23)8(1)(21)(23)(21)(23)(23)8(1)(21)(23)(21)(23)(21)

(21)(23)(23)1(23)[2(1)1]1[2(1)1]k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k +-+=+++++-+++=

++++-+++=

++++-+=

+++-=

+++-=

++2

由此可知，当1n k =+时等式也成立。

根据（1），（2）可知，等式对任何*

n N ∈都成立。

评注：本题解题的关键是通过首项和递推关系式先求出数列的前n 项，进而猜出数列的通项公式，最后再用数学归纳法加以证明。 八、换元法

例13 已知数列{}n a 满足111

(14116n n a a a +=

+=，，求数列{}n a 的通项公式。

解：令n b =2

1(1)24

n n a b =-

故2111(1)24n n a b ++=

-，代入11

(1416

n n a a +=++得 22

1111(1)[14(1)]241624

n n n b b b +-=+-+ 即2214(3)n n b b +=+

因为0n b =≥，故10n b +=≥ 则123n n b b +=+，即11322

n n b b +=+， 可化为11

3(3)2

n n b b +-=

-，

所以{3}n b -是以13332b -==为首项，以

2

1

为公比的等比数列，因此

121132()()22n n n b ---==，则21()32n n b -=+21

()32n -=+，得

2111

()()3423

n n n a =++。

n b ，使得所给递推关系式转化113

22

n n b b +=

+形式，从而可知数列{3}n b -为等比数列，进而求出数列{3}n b -的通项公式，最后再求出数列{}n a 的通项公式。

九、不动点法

例14 已知数列{}n a 满足112124

441

n n n a a a a +-=

=+，，求数列{}n a 的通项公式。

解：令212441x x x -=+，得2

420240x x -+=，则1223x x ==，是函数2124()41

x f x x -=+的两个不动点。

因为

112124

2

24121242(41)13262

132124321243(41)92793

341n n n n n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a a a a a ++---+--+--====----+---+。所以数列

23n n a a ??

-??-??是以112422343a a --==--为首项，以913

为公比的等比数列，故12132()39

n n n a a --=-，则11

313

2()19

n n a -=

+-。

评注：本题解题的关键是先求出函数2124()41x f x x -=

+的不动点，即方程2124

41

x x x -=+的两个根

1223x x ==，，进而可推出

1122

13393n n n n a a a a ++--=?--，从而可知数列23n n a a ??-??-??

为等比数列，再求出数列

23n n a a ??

-??-??

的通项公式，最后求出数列{}n a 的通项公式。 例15 已知数列{}n a 满足1172

223

n n n a a a a +-=

=+，，求数列{}n a 的通项公式。

解：令7223x x x -=

+，得2

2420x x -+=，则1x =是函数31()47x f x x -=+的不动点。

因为17255

112323

n n n n n a a a a a +---=

-=++，所以

2111

()()3423

n n n a =++。

n b ，使得所给递推关系式转化113

22

n n b b +=

+形式，从而可知数列{3}n b -为等比数列，进而求出数列{3}n b -的通项公式，最后再求出数列{}n a 的通项公式。 九、不动点法

例14 已知数列{}n a 满足112124

441

n n n a a a a +-=

=+，，求数列{}n a 的通项公式。

解：令212441x x x -=+，得2

420240x x -+=，则1223x x ==，是函数2124()41

x f x x -=+的两个不动点。

因为

112124

2

24121242(41)13262

132124321243(41)927

93341n n n n n n n n

n n n n n n a a a a a a a a a a a a a a ++---+--+--====----+---+。所以数列23n n a a ??

-??-??是以112422343a a --==--为首项，以913

为公比的等比数列，故12132()39

n n n a a --=-，则11

313

2()19

n n a -=

+-。

评注：本题解题的关键是先求出函数2124()41x f x x -=

+的不动点，即方程2124

41

x x x -=+的两个根

1223x x ==，，进而可推出

1122

13393n n n n a a a a ++--=?--，从而可知数列23n n a a ??-??-??

为等比数列，再求出数列

23n n a a ??

-??-??

的通项公式，最后求出数列{}n a 的通项公式。 例15 已知数列{}n a 满足1172

223

n n n a a a a +-=

=+，，求数列{}n a 的通项公式。

解：令7223x x x -=

+，得2

2420x x -+=，则1x =是函数31()47x f x x -=+的不动点。

因为17255

112323

n n n n n a a a a a +---=

-=++，所以