数列通项公式的求法集锦

数列通项公式的求法集锦非等比、等差数列的通项公式的求法，题型繁杂，方法琐碎，笔者结合近几年的高考情况，对数列求通项公式的方法给以归纳总结。

一、累加法形如1()n n a a f n --= (n=2、3、4…...) 且(1)(2)...(1)f f f n +++-可求，则用累加法求n a 。

有时若不能直接用，可变形成这种形式，然后用这种方法求解。

例1.在数列{n a }中，1a =1，11n n a a n --=- (n=2、3、4……) ，求{n a }的通项公式。

解：∵111n a ==时，21324312123.......1n n n a a a a a a a a n -≥-=⎫⎪-=⎪⎪-=⎬⎪⎪-=-⎪⎭时,这n-1个等式累加得：112...n a a -=+++（n-1）=(1)2n n -故21(1)222n n n n n a a --+=+= 且11a =也满足该式 ∴222n n n a -+= (n N *∈). 例2．在数列{n a }中，1a =1，12n n n a a +-= (n N *∈),求n a 。

解：n=1时, 1a =121232343112222.......2n n n n a a a a a a a a --≥-=⎫⎪-=⎪⎪-=⎬⎪⎪⎪-=⎭时,以上n-1个等式累加得21122 (2)n n a a --=+++=12(12)12n ---=22n -，故12221n nn a a =-+=- 且11a =也满足该式 ∴21n n a =- (n N *∈)。

二、累乘法形如1()nn a f n a -= (n=2、3、4……)，且(1)(2)...(1)f f f n +++-可求，则用累乘法求n a 。

有时若不能直接用，可变形成这种形式，然后用这种方法求解。

例3．在数列{n a }中，1a =1，1n n a na +=，求n a 。

解：由已知得1n na n a += ，分别取n=1、2、3……(n-1),代入该式得n-1个等式累乘，即3241231........n n a a a a a a a a -=1×2×3×…×(n-1)=(n-1)!所以时，1(1)!n a n a =-故(1)!n a n =- 且10!a ==1也适用该式 ∴(1)!n a n =- (n N *∈).例4．已知数列{n a }满足1a =23，11n n n a a n +=+，求n a 。

解：由已知得11n n a n a n +=+，分别令n=1，2，3，….(n-1),代入 上式得n-1个等式累乘，即3241231........n n a a a a a a a a -= 1231......234n n-⨯⨯⨯ 所以11n a a n =，又因为123a =也满足该式，所以23n a n=。

三、构造等比数列法原数列{n a }既不等差，也不等比。

若把{n a }中每一项添上一个数或一个式子构成新数列，使之等比，从而求出n a 。

该法适用于递推式形如1n a +=n ba c +或1n a +=()n ba f n +或1n a += n n ba c +其中b 、c 为不相等的常数，()f n 为一次式。

例5、（06福建理22）已知数列{n a }满足1a =1，1n a +=21n a + (n N *∈)，求数列{n a }的通项公式。

解：构造新数列{}n a p +，其中p 为常数，使之成为公比是n a 的系数2的等比数列 即1n a p ++=2()n a p + 整理得：1n a +=2n a p +使之满足1n a +=21n a + ∴p=1即{}1n a +是首项为11a +=2，q=2的等比数列∴1n a +=122n -⋅ n a =21n-例6、（07全国II 理21）设数列{n a }的首项1(0,1)a ∈，n a =132n a --，n=2、3、4…… （I ）求{n a }的通项公式。

解：构造新数列{}n a p +，使之成为12q =-的等比数列 即n a p +=11()2n a p --+ 整理得：n a =11322n a p ---满足n a =132n a --得 32p -=32 ∴p=-1 即新数列{}1n a -首项为11a -，12q =-的 等比数列 ∴1n a -=1(1a -）112n --（） 故 n a =1(1a -）112n --（）+1例7、（07全国I 理22）已知数列{n a }中，1a =2，1n a +=1)(2)n a + n N *∈（I ）求{n a }的通项公式。

解：构造新数列{}n a p +，使之成为1q =的等比数列1n a p ++=1)()n a p + 整理得：1n a +=1)n a +2)p使之满足已知条件 1n a +=1)n a +21)∴2)1)p =解得p = ∴{n a 是首项为2 1q =的等比数列，由此得n a (211)n - ∴n a 1)n例8、已知数列{n a }中，1a =1，1n a +=23nn a +，求数列的通项公式。

分析：该数列不同于以上几个数列，该数列中含3n是变量，而不是常量了。

故应构造新数列{3}nn a λ+，其中λ为常数，使之为公比是n a 的系数2的等比数列。

解：构造数列{3}nn a λ+，λ为不为0的常数，使之成为q=2的等比数列即113n n a λ+++=2(3)n n a λ+ 整理得：1n a +=12(233)n n n a λλ++-满足 1n a +=23n n a + 得12333n n nλλ+-= ∴1λ=-新数列{3}n n a -是首项为113a -=2-，q=2的等比数列 ∴3n n a -=122n --⨯ ∴n a =32n n -例9、（07天津文20）在数列{n a }中，1a =2，1n a +=431n a n -+ ，求数列的通项n a 。

解：构造新数列{}n a n λ+，使之成为q=4的等比数列，则1(1)n a n λ+++=4()n a n λ+ 整理得：1n a +=43n a n λλ+-满足1n a +=431n a n -+，即331n n λλ-=-+得1λ=-∴新数列{}n a n -的首项为111a -=，q=4的等比数列∴14n n a n --= ∴14n n a n -=+四、构造等差数列法数列{n a }既不等差，也不等比，递推关系式形如11()n n n a ba b f n ++=++，那么把两边同除以1n b+后，想法构造一个等差数列，从而间接求出n a 。

例10．（07石家庄一模）数列{n a }满足1221nn n a a -=+-(2)n ≥且481a =。

求(1)1a 、2a 、3a (2)是否存在一个实数λ，使此数列{}2n n a λ+为等差数列？若存在求出λ的值及n a ；若不存在，说明理由。

解：(1)由4a =43221a +-=81 得3a =33；又∵3a =32221a +-=33得2a =13；又∵2a =21221a +-=13，∴1a =5(2)假设存在一个实数λ，使此数列{}2n n a λ+为等差数列 即1122n n n n a a λλ--++-= 122n n n a a λ---= 212n n λ--= 112nλ+- 该数为常数 ∴λ=1- 即1{}2n n a -为首项11122a -=，d=1的等差数列 ∴12n na -=2+(1)1n -⨯=n+1 ∴n a =(1)21nn +⨯+ 例11、数列{n a }满足1n a += 12(2)n n a +-+- (n N *∈)，首项为12a =-，求数列{n a }的通项公式。

解：1n a += 12(2)n n a +-+- 两边同除以1(2)n +-得11(2)n n a ++-=(2)nna -+1∴数列{}(2)n n a -是首项为12(2)--=1，d=1的等差数列∴(2)n na -=1+(1)1n n -⨯= 故n a =(2)nn -例12．数列{n a }中，1a =5，且1331nn n a a -=+- （n=2、3、4……），试求数列{n a }的通项公式。

解：构造一个新数列{}3n n a λ+，λ为常数，使之成为等差数列，即1133n n n n a a d λλ--++=+ 整理得133n n n a a d λ-+=++3λ，让该式满足1331n n n a a -=+-∴取33n nd ⋅=，21λ=-得12λ=-，d=1 ，即{}3n n a λ+是首项为1113232a -=，公差d=1的等差数列。

故1312(1)1322n n a n n -=+-⨯=+ ∴na =11()322n n +⋅+例13、（07天津理21）在数列{n a }中，1a =2，且11(2)2n n n n a a λλλ++=++- （n N *∈）其中λ＞0，()I 求数列{n a }的通项公式。

解：1n λ+的底数与n a 的系数相同，则两边除以1n λ+得1111221n nn nn nn na a λλλλ++++=++-即111221n nn n n na a λλ+++--=+∴2{}nn na λ-是首项为120a λ-=，公差d=1的等差数列。

∴20(1)1nn na n n λ-=+-=- ∴(1)2n n n a n λ=-+。

五、取倒数法有些关于通项的递推关系式变形后含有1n n a a +项，直接求相邻两项的关系很困难，但两边同除以1n n a a +后，相邻两项的倒数的关系容易求得，从而间接求出n a 。

例14、已知数列{n a }，1a = 1-，11n n na a a +=- n N *∈，求n a =？ 解：把原式变形得11n n n n a a a a ++-⋅= 两边同除以1n n a a +得1111n n a a +=+ ∴1{}n a 是首项为1-，d=1-的等差数列故11(1)(1)n n n a =-+--=-∴1n a n=-。

例15、（06江西理22）已知数列{n a }满足132a =，且11321n n n na a a n --=+-（2n ≥n N *∈）()I 求数列{n a }的通项公式。

解：把原式变形成112(1)3n n n n a a n a na --+-= 两边同除以1n n a a +得 即111233n n n n a a --=+ …… ⑴构造新数列{}n n a λ+，使其成为公比q= 13的等比数列 即111()3n n n n a a λλ--+=+整理得：11233n n n n a a λ--=- 满足⑴式使2233λ-= ∴1λ=- ∴数列{1}n n a -是首项为11113a -=-，q= 13的等比数列∴11111()()333n nn n a --=-=- ∴331n n n n a ⋅=-。