数列通项公式的求法集锦

非等比、等差数列的通项公式的求法，题型繁杂，方法琐碎，笔者结合近几年的高考情况，对数列求通项公式的方法给以归纳总结。一、累加法

形如1()n n a a f n --= (n=2、3、4…...) 且(1)(2)...(1)f f f n +++-可求，则用累加法求n a 。有时若不能直接用，可变形成这种形式，然后用这种方法求解。例1.

在数列{n a }中，1a =1，11n n a a n --=- (n=2、3、4……) ，求{n a }的通项公式。

解：∵111n a ==时，

213243121

23.......1n n n a a a a a a a a n -≥-=??

-=?

-=???

-=-??时,

这n-1个等式累加得：112...n a a -=+++（n-1）=(1)2n n -

故21(1)222n n n n n a a --+=+= 且11a =也满足该式 ∴222

n n n a -+= (n N *

∈). 例2．在数列{n a }中，1a =1，12n n n a a +-= (n N *

∈),求n a 。

解：n=1时, 1a =1212323431

122

22.......2n n n n a a a a a a a a --≥-=??

-=?

-=????-=?

时,

以上n-1个等式累加得

122 (2)

n n a a --=+++=12(12)12

n ---=22n -，故12221n n

n a a =-+=- 且11a =也满

足该式 ∴21n n a =- (n N *

∈)。

二、累乘法

形如

()n

n a f n a -= (n=2、3、4……)，且(1)(2)...(1)f f f n +++-可求，则用累乘法求n a 。有时若不能直接用，可变形成这种形式，然后用这种方法求解。

例3．在数列{n a }中，1a =1，1n n a na +=，求n a 。

解：由已知得

n n

a n a += ，分别取n=1、2、3……(n-1),代入该式得n-1个等式累乘，即324

1231........n n a a a a a a a a -=1×2×3×…×(n-1)=(n-1)!所以时，1

(1)!n a n a =-故(1)!n a n =- 且10!a ==1也适用该式 ∴(1)!n a n =- (n N *∈).

例4．已知数列{n a }满足1a =

23，11

n n n a a n +=+，求n a 。解：由已知得

n n a n a n +=+，分别令n=1，2，3，….(n-1),代入上式得n-1个等式累乘，即

3241231........n n a a a a a a a a -= 1231

......234n n

-??? 所以

11n a a n =，又因为123a =也满足该式，所以2

3n a n

=。三、构造等比数列法

原数列{n a }既不等差，也不等比。若把{n a }中每一项添上一个数或一个式子构成新数列，使之等比，从而求出n a 。该法适用于递推式形如1n a +=n ba c +或1n a +=()n ba f n +或

1n a += n n ba c +其中b 、c 为不相等的常数，()f n 为一次式。

例5、（06福建理22）已知数列{n a }满足1a =1，1n a +=21n a + (n N *

∈)，求数列{n a }

的通项公式。

解：构造新数列{}n a p +，其中p 为常数，使之成为公比是n a 的系数2的等比数列即1n a p ++=2()n a p + 整理得：1n a +=2n a p +使之满足1n a +=21n a + ∴p=1

即{}1n a +是首项为11a +=2，q=2的等比数列∴1n a +=122n -? n a =21n

例6、（07全国II 理21）设数列{n a }的首项1(0,1)a ∈，n a =1

n a --，n=2、3、4…… （I ）求{n a }的通项公式。

解：构造新数列{}n a p +，使之成为1

q =-

的等比数列即n a p +=11()2n a p --+ 整理得：n a =113

22n a p ---满足n a =132

n a --

得 32p -

=32 ∴p=-1 即新数列{}1n a -首项为11a -，12

q =-的等比数列 ∴1n a -=1(1a -）112n --（）故 n a =1(1a -）1

n --（）

例7、（07全国I 理22）已知数列{n a }中，1a =2，1n a +=1)(2)n a + n N *

∈

（I ）求{n a }的通项公式。

解：构造新数列{}n a p +，使之成为1q =

的等比数列

1n a p ++=1)()n a p + 整理得：1n a +=1)n a +2)p

使之满足已知条件 1n a +=1)n a +21)∴2)1)p =解得

p = ∴{n a 是首项为2 1q =的等比数列，由此得

n a (211)n - ∴n a 1)n

例8、已知数列{n a }中，1a =1，1n a +=23n

n a +，求数列的通项公式。

分析：该数列不同于以上几个数列，该数列中含3n

是变量，而不是常量了。故应构造

新数列{3}n

n a λ+，其中λ为常数，使之为公比是n a 的系数2的等比数列。

解：构造数列{3}n

n a λ+，λ为不为0的常数，使之成为q=2的等比数列

即1

n n a λ+++=2(3)n n a λ+ 整理得：1n a +=1

2(233)n n n a λλ++-

满足 1n a +=23n n a + 得12333n n n

λλ+-= ∴1λ=-新数列{3}n n a -是首项为

113a -=2-，q=2的等比数列 ∴3n n a -=122n --? ∴n a =32n n -

例9、（07天津文20）在数列{n a }中，1a =2，1n a +=431n a n -+ ，求数列的通项n a 。

解：构造新数列{}n a n λ+，使之成为q=4的等比数列，则1(1)n a n λ+++=4()n a n λ+ 整理得：1n a +=43n a n λλ+-满足1n a +=431n a n -+，即331n n λλ-=-+得

1λ=-∴新数列{}n a n -的首项为111a -=，q=4的等比数列

∴14n n a n --= ∴1

4n n a n -=+

四、构造等差数列法

数列{n a }既不等差，也不等比，递推关系式形如1

1()n n n a ba b f n ++=++，那么把两边

同除以1

n b

+后，想法构造一个等差数列，从而间接求出n a 。

例10．（07石家庄一模）数列{n a }满足1221n

n n a a -=+-(2)n ≥且481a =。求(1)1a 、2a 、

3a (2)是否存在一个实数λ，使此数列{

n n a λ

+为等差数列？若存在求出λ的值及n a ；若不存在，说明理由。

解：(1)由4a =43221a +-=81 得3a =33；又∵3a =3

2221a +-=33得2a =13；

又∵2a =2

1221a +-=13，∴1a =5

(2)假设存在一个实数λ，使此数列{

n n a λ

+为等差数列即1122n n n n a a λλ--++-= 122n n n a a λ---= 212n n λ--= 112

λ+- 该数为常数 ∴λ=1- 即1{}2n n a -为首项11

a -=，d=1的等差数列 ∴

n n

a -=2+(1)1n -?=n+1 ∴n a =(1)21n

n +?+ 例11、数列{n a }满足1n a += 12(2)n n a +-+- (n N *

∈)，首项为12a =-，求数列{n a }的通

项公式。

解：1n a += 12(2)n n a +-+- 两边同除以1

(2)n +-得

11(2)n n a ++-=(2)n

a -+1

∴数列{

}(2)n n a -是首项为12

(2)--=1，d=1的等差数列∴(2)

n n

a -=1+(1)1n n -?= 故n a =(2)n

n -

例12．数列{n a }中，1a =5，且1331n

n n a a -=+- （n=2、3、4……），试求数列{n a }

的通项公式。

解：构造一个新数列{

}3n n a λ+，λ为常数，使之成为等差数列，即11

33n n n n a a d λλ

--++=+ 整理得133n n n a a d λ-+=++3λ，让该式满足1331n n n a a -=+-∴取33n n

d ?=，

21λ=-得12λ=-，

d=1 ，即{}3n n a λ+是首项为111

3232

a -

=，公差d=1的等差数列。故1312(1)1322

n n a n n -

=+-?=+ ∴n

a =11()322n n +?+

例13、（07天津理21）在数列{n a }中，1a =2，且11(2)2n n n n a a λλλ++=++- （n N *

∈）

其中λ＞0，()I 求数列{n a }的通项公式。解：1

n λ

+的底数与n a 的系数相同，则两边除以1

n λ

+得

221n n

n n

a a λ

++++=

即

221n n

n n n n

a a λλ+++--=

+∴2{

n n

a λ-是首项为

0a λ

-=，公差d=1的等差数

列。 ∴20(1)1n

n n

a n n λ-=+-=- ∴(1)2n n n a n λ=-+。

五、取倒数法

有些关于通项的递推关系式变形后含有1n n a a +项，直接求相邻两项的关系很困难，但两边同除以1n n a a +后，相邻两项的倒数的关系容易求得，从而间接求出n a 。例14、已知数列{n a }，1a = 1-，11n n n

a a a +=

- n N *

∈，求n a =？解：把原式变形得11n n n n a a a a ++-?= 两边同除以1n n a a +得

111n n a a +=+ ∴1{

}n a 是首项为1-，d=1-的等差数列故11(1)(1)n n n a =-+--=-∴1n a n

=-。

例15、（06江西理22）已知数列{n a }满足132

a =

，且11321n n n na a a n --=+-（2n ≥n N *

∈）()

I 求数列{n a }的通项公式。

解：把原式变形成112(1)3n n n n a a n a na --+-= 两边同除以1n n a a +得即

111233n n n n a a --=+ …… ⑴构造新数列{}n n a λ+，使其成为公比q= 1

3的等比数列即

111()3n n n n a a λλ--+=+整理得：11233n n n n a a λ--=- 满足⑴式使2233

λ-= ∴1λ=- ∴数列{

1}n n a -是首项为11113a -=-，q= 1

的等比数列

∴11111()()333n n

n n a --=-=- ∴331

n n n n a ?=-。例16．（06江西文22）已知各项均为正数的数列{n a }满足：13a =，且

111

22n n

n n n n a a a a a a +++-=-

n N *∈求数列{n a }的通项公式。

解：把原式变形为1112(2)n n n n n n a a a a a a +++-=- 两边同除以1n n a a +得

212n n n n a a a a ++-=- 移项得：1111

2()n n n n a a a a ++-=- 所以新数列1{

}n n a a -是首项为11118

333

a a -=-=- q=2的等比数列。故

21123n n n a a +-=-? 解关于n a

的方程得11

(23

n n a +=+。六．利用公式1(2)n n n a S S n -=-≥求通项

有些数列给出{n a }的前n 项和n S 与n a 的关系式n S =()n f a ，利用该式写出

11()n n S f a ++=，两式做差，再利用11n n n a S S ++=-导出1n a +与n a 的递推式，从而求出n a 。

例17.(07重庆21题)已知各项均为正数的数列{n a }的前n 项和为n S 满足1S ＞1且6n S =

(1)(2)n n a a ++ n ∈N * 求{n a }的通项公式。

解：由11a S ==

111

(1)(2)6a a ++解得1a =1或1a =2，由已知11a S =＞1，因此1a =2又由11n n n a S S ++=-=1111

(1)(2)(1)(2)66

n n n n a a a a ++++-++得

11()(3)n n n n a a a a +-+--=0 ∵n a ＞0 ∴13n n a a --=

从而{n a }是首项为2，公差为3的等差数列，故{n a }的通项为n a =2+3(n-1)=3n-1. 例18.(07陕西理22)已知各项全不为0的数列{k a }的前k 项和为k S ，且k S =11

k k a a +(k ∈N *)其中1a =1，求数列{k a }的通项公式。

解：当k=1时，11a S ==

121

a a 及1a =1得2a =2；当k ≥2时，

由k a =1k k S S --=

1111

k k k k a a a a +--得11()k k k a a a +--=2k a ∵k a ≠0∴11k k a a +--=2 从而21m a -=1+(m-1)2=2m-1 2m a =2+(m-1)2=2m (m ∈N *) 故k a =k (k ∈N *

). 例19.(07福建文21)数列{n a }的前n 项和为n S ，1a =1，12n n a S += ( n ∈N *

),求{n a }的通

项公式。

解：由1a =1，212a S ==2，当n ≥2时n a =1n n S S --=

()2

n n a a +-得1n n a a +=3，因此{n a }是

首项为2a =2，q=3的等比数列。故n a =2

n -? (n ≥2),而1a =1不满足该式

所以n a =2

13(2)n n -???≥?

(n=1)

2。例20.(06全国Ⅰ理22)该数列{n a }的前n 项和1412

2333

n n n S a +=-?+ (n=1、2、3……) 求{n a }的通项公式。解：由14122333n n n S a +=

-?+ (n=1、2、3……)…①得11a S ==1412

4333

a -?+ 所以1a =2 再1n S -=1412

2333

n n a --?+ （n=2、3…）…②

将①和②相减得：n a =1n n S S --=1141()(22)33

n n

n n a a +---?-

整理得1124(2)n n n n a a --+=+ （n=2、3…）因而数列{2n

n a +}是首项为124a +=,q=4 的等比数列。即2n n a +=144n -?=4n

，因而42n n n a =-。

七．重新构造新方程组求通项法

有时数列{n a }和{n b }的通项以方程组的形式给出，要想求出n a 与n b 必须得重新构造关于n a 和n b 的方程组，然后解新方程组求得n a 和n b 。

例21.（07辽宁第21题）：已知数列{n a }，{n b }满足1a =2，1b =1且11

113114413144

n n n n n n a a b b a b ----?=++???

?=++??（2n ≥）,求数列{n a }，{n b }的通项公式。

解析：两式相加得112n n n n a b a b --+=++ 则{n n a b +}是首项为113a b +=，d=2的等差数列，故n n a b +=3+2(n-1)=2n+1 (1)

而两式相减得n n a b -=

111122n n a b ---=111()2n n a b --- 则{n n a b -}是首项为11a b -=1，q=12的等比数列，故n n a b -=1

1()2

n - (2)

联立(1)、(2)得121

1()2

n n n n n a b n a b -+=-??

?-=?? 由此得11()22n n a n =++，11()22n n

b n =+-。 [分析]该题条件新颖,给出的数据比较特殊，两条件做加法、减法后恰好能构造成等差或等比数列，从而再通过解方程组很顺利求出{n a }、{n b }的通项公式。若改变一下数据，又该怎样解决呢？下面给出一种通法。

例22.在数列{n a }、{n b }中1a =2，1b =1，且11267n n n n n n

a a

b b a b ++=-??=+?（n ∈N +

）求数列{n a }和{n b }

的通项公式。

解析：显然再把1n a +与1n b +做和或做差已无规律可循。不妨构造新数列{n n a b λ+}其中为

0λ≠的常数。

则11n n a b λ+++=26(7)n n n n a b a b λ-++=(2)n a λ++(76)n b λ-=76

(2)()2n n

a b λλλ-++

+令76

λλλ-=

+得1λ=2或2λ=3 则{n n a b λ+}为首项11a b λ+，q=λ+2的等比数列。即1λ=2时，{2n n a b +}是首项为4，q=4的等比数列，故2n n a b +=4×14n -=4n

； 2λ=3时，{3n n a b +}是首项为5，q=5的等比数列，故3n n a b +=5×15n -=5n

联立二式2435

n n n

n n a b a b ?+=??+=??解得3425n n n a =?-?，54n n

n b =-。注：该法也可适用于例21，下面给出例21的该种解法解：构造新数列{n n a b λ+}，则

n n a b λ+=131()44n a λ-++113()44n b λ-++(1)λ+=11313(1)43n n a b λλλλ--++??+++??+??

令133λ

λλ

+得1λ=1或2λ=1-即1λ=1时，新数列{n n a b +}中，n n a b +=112n n a b --++ ∴（n n a b +）11()2n n a b ---+= 新数列{n n a b +}是首项为113a b +=，d=2的等差

数列 ∴n n a b +=32(1)n +-=21n +………(1) 当2λ=1-时，新数列{n n a b -}是首项为11a b +=1，q=

的等比数列

∴n n a b -=1

12n -??

(2)

联立(1)、(2) 1

2112n n n n n a b n a b -+=+?????-=? ?

???

得1122n n a n ??=++ ??? ，1122n

n b n ??=+- ???。

例23.在数列{n a }、{n b }中，111a b ==，且115157n n n n n n

a a

b b a b ++=+??=+?（n ∈N +

），求{n a }、{n b }

的通项公式。

解：构造新数列{n n a b λ+}，则

11n n a b λ+++=(5)n a λ++(157)n b λ+=157(5)5n n a b λλλ+?

?++??+??

，令1575λλλ+=+得1λ

=3-或2λ =5 {n n a b λ+}为首项11a b λ+，q=λ+5的等比数列即1λ=-3时，{3n n a b -}是首项为113a b -=2-，q=5+

λ =2的等比数列，故

3n n a b -=122n --?=2n -；

当2λ =5时，{5n n a b +}是首项为115a b +=6，q=λ+5=10的等比数列，故5n n a b +=6×

110n -

联立二式1

325610

n n n n n a b a b -?-=-??+=???得13910524n n n a --=?-?，13

31024n n n b --=?+。

数列通项公式的求法集锦

数列通项公式的求法集锦非等比、等差数列的通项公式的求法，题型繁杂，方法琐碎，笔者结合近几年的高考情况，对数列求通项公式的方法给以归纳总结。一、累加法形如1()n n a a f n --= (n=2、3、4…...) 且(1)(2)...(1)f f f n +++-可求，则用累加法求n a 。有时若不能直接用，可变形成这种形式，然后用这种方法求解。例1. 在数列{n a }中，1a =1，11n n a a n --=- (n=2、3、4……) ，求{n a }的通项公式。解：∵111n a ==时， 213243121 23.......1n n n a a a a a a a a n -≥-=??-=??-=???-=-?? 时, 这n-1个等式累加得：112...n a a -=+++（n-1）=(1)2n n - 故21(1)222n n n n n a a --+=+= 且11a =也满足该式 ∴222 n n n a -+= (n N *∈). 例2．在数列{n a }中，1a =1，12n n n a a +-= (n N *∈),求n a 。解：n=1时, 1a =1212323431122 22.......2n n n n a a a a a a a a --≥-=??-=??-=????-=?时, 以上n-1个等式累加得 21122...2n n a a --=+++=12(12)12 n ---=22n -，故12221n n n a a =-+=- 且11a =也满足该式 ∴21n n a =- (n N *∈)。二、累乘法形如1 ()n n a f n a -= (n=2、3、4……)，且(1)(2)...(1)f f f n +++-可求，则用累乘法求n a 。有时若不能直接用，可变形成这种形式，然后用这种方法求解。例3．在数列{n a }中，1a =1，1n n a na +=，求n a 。

数列通项公式的求法(较全)

常见数列通项公式的求法公式： 1、定义法若数列是等差数列或等比数列,求通公式项时,只需求出1a 与d 或1a 与q ,再代入公式()d n a a n 11-+=或 11-=n n q a a 中即可. 例1、成等差数列的三个正数的和等于15，并且这三个数分别加上2，5，13后成为等比数列{}n b 的345,,b b b ,求数列{}n b 的的通项公式. 练习：数列{}n a 是等差数列,数列{}n b 是等比数列,数列{}n c 中对于任何* n N ∈都有 1234127 ,0,,,,6954 n n n c a b c c c c =-====分别求出此三个数列的通项公式.

2、累加法形如()n f a a n n =-+1()1a 已知型的的递推公式均可用累加法求通项公式. （1）当()f n d =为常数时，{}n a 为等差数列，则()11n a a n d =+-；（2）当()f n 为n 的函数时，用累加法. 方法如下：由()n f a a n n =-+1得当2n ≥时，() 11n n a a f n --=-， () 122n n a a f n ---=-， ()322a a f -=， () 211a a f -=，以上()1n -个等式累加得 ()()()()11+221n a a f n f n f f -=--+ ++ 1n a a ∴=+()()()()1+221f n f n f f --+ ++ （3）已知1a ，()n f a a n n =-+1，其中()f n 可以是关于n 的一次函数、二次函数、指数函数、分式函数，求通项. ①若()f n 可以是关于n 的一次函数，累加后可转化为等差数列求和； ②若()f n 可以是关于n 的二次函数，累加后可分组求和； ③若()f n 可以是关于n 的指数函数，累加后可转化为等比数列求和； ④若()f n 可以是关于n 的分式函数，累加后可裂项求和求和. 例2、数列{}n a 中已知111,23n n a a a n +=-=-, 求{}n a 的通项公式.

几种常见的数列的通项公式的求法

几种常见的数列的通项公式的求法一．观察法例1：根据数列的前4项，写出它的一个通项公式：（1）9，99，999，9999，…（2） ,1716 4,1093,542,211 （3） ,5 2 ,21,32 ,1（4） ,5 4 ,43,32,21-- 解：（1）变形为：101－1，102―1，103―1，104―1，…… ∴通项公式为：110-=n n a （2）;1 2 2 ++=n n n a n （3）;12 += n a n （4）1 )1(1+? -=+n n a n n .点评：关键是找出各项与项数n 的关系。二、公式法例2：已知数列{a n }是公差为d 的等差数列，数列{b n }是公比为q 的(q ∈R 且q ≠1)的等比数列，若函数f (x ) = (x －1)2，且a 1 = f (d －1)，a 3 = f (d +1)，b 1 = f (q +1)，b 3 = f (q －1)，(1)求数列{ a n }和{ b n }的通项公式；解：(1)∵a 1=f (d －1) = (d －2)2，a 3 = f (d +1)= d 2，∴a 3－a 1=d 2－(d －2)2=2d ， ∴d =2，∴a n =a 1+(n －1)d = 2(n －1)；又b 1= f (q +1)= q 2，b 3 =f (q －1)=(q －2)2， ∴2 213)2(q q b b -==q 2 ，由q ∈R ，且q ≠1，得q =－2，∴b n =b ·q n －1=4·(－2)n －1 例 3. 等差数列{}n a 是递减数列，且432a a a ??=48，432a a a ++=12，则数列的通项公式是（） (A) 122-=n a n (B) 42+=n a n (C) 122+-=n a n (D) 102+-=n a n 解析：设等差数列的公差位d ，由已知???==+??+12348)()(3 333a d a a d a ，解得 ?? ?±==2 4 3d a ，又 {} n a 是递减数列， ∴ 2 -=d ， 8 1=a ，∴ =--+=)2)(1(8n a n 102+-n ，故选(D)。例 4. 已知等比数列 {}n a 的首项11=a ，公比10<

高中数学数列通项公式的求法(方法总结)

（1）主题：求数列通项n a 的常用方法总结一、形如：特殊情况：当n+11,n n A B C A a a A =*+*+≠，常用累加法。 (n n a a +-,z 构建等比数列()1y n z *++z ；的通项公式，进而求得n a 。二、形n a a * ；

三、形 ()x f x =）情形1：1n n A B a a +=*+型。设λ是不动点方程的根，得数列 {}n a λ-是以公比为A 的等比数列。情形2：1*n n n A B C D a a a +*+=+型。设1λ和2λ 是不动点方程 *A x B x C x D *+=+的两个根；（1）当12λλ≠时，数列n 12n a a λλ??-?? ??-????是以12 A C A C λλ -*-*为公比的等比数列；（2）当12 =λλλ =时，数列1n a λ???? ??-???? 是以2*C A D +为公差的等差数列。【推导过程：递推式为a n+1= d ca b aa n n ++（c ≠0,a,b,c,d 为常数）型的数列 a n+1－λ= d ca b aa n n ++－λ= d ca c a d b a c a n n +--+ -) )((λλλ，令λ＝－λ λc a d b --，可得λ＝d c b a ++λλ ……（1）。（1）是a n+1=d ca b aa n n ++中的a n ，a n+1都换成λ后的不动点方程。 ○ 1当方程（1）有两个不同根λ１，λ２时，有 a n+1－λ１＝ d ca a c a n n +--))((11λλ，a n+1－λ２＝d ca a c a n n +--) )((22λλ ∴ 2111λλ--++n n a a ＝21λλc a c a --?21λλ--n n a a ，令b n =21λλ--n n a a 有b n ＋１＝ 2 1 λλc a c a --?b n ○ 2当方程（1）出现重根同为λ时，由a n+1－λ＝ d ca a c a n n +--))((λλ得λ-+11n a ＝))((λλ--+n n a c a d ca ＝λ c a c -＋))((λλλ--+n a c a c d （ “分离常数”）。设c n =λ-n a 1 得c n ＋１＝ λ λc a c d -+?c n ＋ λ c a c -】

几种常见的数列的通项公式的求法

几种常见的数列的通项公式的求法一、观察法 1、根据数列的前4项，写出它的一个通项公式：（1） ,5 4,43,32,21-- （2） ,5 2,21,32,1 （3）9，99，999，9999，… 二、叠加法：对于型如)(1n f a a n n +=+类的通项公式 2、已知数列6，9，14，21，30，…求此数列的一个通项。 3、若在数列{}n a 中，31=a ，n a a n n +=+1，求通项n a 。三、叠乘法：对于型如1+n a =f (n)·n a 类的通项公式 4、在数列｛n a ｝中，1a =1, (n+1)·1+n a =n ·n a ，求n a 的表达式。 5、已知数列{}n a 中，3 11= a ，前n 项和n S 与n a 的关系是 n n a n n S )12(-= ，试求通项公式n a 。四、S n 法利用1--=n n n S S a (n ≥2) 6、已知下列两数列}{n a 的前n 项和s n 的公式，求}{n a 的通项公式。（1）13-+=n n S n 。（2）12-=n s n 五、辅助数列法 7、已知数}{n a 的递推关系为121+=+n n a a ，且11=a 求通项n a 。六、倒数法 8、已知数列｛n a ｝中11=a 且11+=+n n n a a a （N n ∈），，求数列的通项公式。 1．已知数列{}n a 的首项11a =，且13(2)n n a a n -=+≥，则n a = 3n-2 ．

2．已知数列{}n a 的首项11a =，且123(2)n n a a n -=+≥，则n a 1433n -?-． 3．已知数列{}n a 的11a =，22a =且121()(3)2n n n a a a n --=+≥，则1lim n x n a a →∞+=

常见数列通项公式的求法(超好)

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常见数列通项公式的求法 1.定义法：①等差数列通项公式；②等比数列通项公式。例1．等差数列{}n a 是递增数列，前n 项和为n S ，且931,,a a a 成等比数列， 2 55a S =．求数列{}n a 的通项公式.n a n 53= 2.公式法：已知n S （即12()n a a a f n ++ +=）求n a ，用作差法：{ 11,(1) ,(2) n n n S n a S S n -== -≥。例2：已知数列}{n a 的前n 项和s n ，12-=n s n 求}{n a 的通项公式。解：（1）当n=1时，011 ==s a ，当2≥n 时 12]1)1[()1(221-=----=-=-n n n s s a n n n 由于1a 不适合于此等式。 ∴? ??≥-==)2(12)1(0 n n n a n 练习：数列{a n }满足a n =5S n －3，求a n 。答案：a n =34 （－14 ）n-1 3.累加法：若1()n n a a f n +-=求n a ：11221()()()n n n n n a a a a a a a ---=-+-+ +-1a +(2)n ≥。例3：（1）数列{a n }满足a 1=1且a n =a n －1+3n －2（n ≥2），求a n 。（2）数列{a n }满足a 1=1且a n =a n －1+1 2n （n ≥2），求a n 。解：（1）由a n =a n －1+3n －2知a n －a n －1=3n －2，记f （n ）=3n －2= a n －a n －1 则a n = （a n －a n －1）+（a n －1－a n －2）+（a n －2－a n －3）+…（a 2－a 1）+a 1 =f （n ）+ f （n －1）+ f （n －2）+…f （2）+ a 1 =（3n －2）+[3（n －1）－2]+ [3（n －2）－2]+ …+（3×2－2）+1 =3[n+（n －1）+（n －2）+…+2]－2（n －1）+1 =3×（n+2）（n －1）2 －2n+3=3n 2－n 2 （2）由a n =a n －1+12n 知a n －a n －1=12n ，记f （n ）=1 2n = a n －a n －1 则a n =（a n －a n －1）+（a n －1－a n －2）+（a n －2－a n －3）+…（a 2－a 1）+a 1 =f （n ）+ f （n －1）+ f （n －2）+…f （2）+ a 1 =12n +12n －1 +12 n －2 +…+122 +1=12 －12n 练习：已知数列{}n a 满足211=a ，n n a a n n ++=+211 ，求n a 。答案：n a n 1-23= 4.累乘法：已知1()n n a f n a +=求n a ，用累乘法：121121 n n n n n a a a a a a a a ---=????(2)n ≥。例4：在数列｛n a ｝中，1a =1, (n+1)·1+n a =n ·n a ，求n a 的表达式。解：由(n+1)·1+n a =n ·n a 得 1 1+=+n n a a n n ，

高中数学数列通项公式的求法详解

数列通项公式的求法及数列求和方法详解专题一：数列通项公式的求法关键是找出各项与项数n 的关系.）例1：根据数列的前4项，写出它的一个通项公式：（1）9，99，999，9999，…（2） ,17 16 4,1093,542,211（3） ,5 2 ,21,32 , 1（4） ,5 4 ,43,3 2 ,21-- 答案：（1）110-=n n a （2）;122++=n n n a n （3）;12+=n a n （4）1 )1(1+?-=+n n a n n . 公式法1：特殊数列例2：已知数列{a n }是公差为d 的等差数列，数列{b n }是公比为q 的(q ∈R 且q ≠1)的等比数列，若函数f (x ) = (x －1)2，且a 1 = f (d －1)，a 3 = f (d +1)，b 1 = f (q +1)，b 3 = f (q －1)，(1)求数列{ a n }和 { b n }的通项公式；答案：a n =a 1+(n －1)d = 2(n －1)； b n =b ·q n －1=4·(－2)n －1 例3. 等差数列{}n a 是递减数列，且432a a a ??=48，432a a a ++=12，则数列的通项公式是（） (A) 122-=n a n (B) 42+=n a n (C) 122+-=n a n (D) 102+-=n a n (D) 例4. 已知等比数列{}n a 的首项11=a ，公比10<

史上最全的数列通项公式的求法13种

最全的数列通项公式的求法数列是高考中的重点内容之一，每年的高考题都会考察到，小题一般较易，大题一般较难。而作为给出数列的一种形式——通项公式，在求数列问题中尤其重要。本文给出了求数列通项公式的常用方法。一、直接法根据数列的特征，使用作差法等直接写出通项公式。二、公式法 ①利用等差数列或等比数列的定义求通项 ②若已知数列的前n 项和n S 与n a 的关系，求数列{}n a 的通项n a 可用公式 ?? ?≥???????-=????????????????=-2 1 11n S S n S a n n n 求解. (注意：求完后一定要考虑合并通项) 例2．①已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足1,)1(2≥-+=n a S n n n ．求数列{}n a 的通项公式. ②已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足2 1n S n n =+-，求数列{}n a 的通项公式. ③ 已知等比数列{}n a 的首项11=a ，公比10<

数列通项公式、前n项和求法总结全

一.数列通项公式求法总结： 1.定义法 —— 直接利用等差或等比数列的定义求通项。特征：适应于已知数列类型（等差或者等比）．例1．等差数列{}n a 是递增数列，前n 项和为n S ，且931,,a a a 成等比数列，2 55a S =．求数列{}n a 的通项公式. 变式练习： 1.等差数列{}n a 中,71994,2,a a a ==求{}n a 的通项公式 2. 在等比数列{}n a 中,212a a -=,且22a 为13a 和3a 的等差中项,求数列{}n a 的首项、公比及前n 项和. 2.公式法求数列{}n a 的通项n a 可用公式???≥???????-=????????????????=-21 11n S S n S a n n n 求解。特征：已知数列的前n 项和n S 与n a 的关系例2.已知下列两数列}{n a 的前n 项和s n 的公式，求}{n a 的通项公式。（1）13-+=n n S n 。（2）12 -=n s n

变式练习： 1. 已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且n S =2n 2 +n ，n ∈N ﹡，数列{b }n 满足n a =4log 2n b +3，n ∈N ﹡.求n a ，n b 。 2. 已知数列{}n a 的前n 项和2 12 n S n kn =-+（*k N ∈）,且S n 的最大值为8，试确定常数k 并求n a 。 3. 已知数列{}n a 的前n 项和*∈+=N n n n S n ，2 2.求数列{}n a 的通项公式。 3.由递推式求数列通项法类型1 特征：递推公式为 ) (1n f a a n n +=+ 对策：把原递推公式转化为)(1n f a a n n =-+，利用累加法求解。例3. 已知数列{}n a 满足211= a ，n n a a n n ++=+211，求n a 。

常见递推数列通项公式的求法典型例题及习题

常见递推数列通项公式的求法典型例题及习题【典型例题】 [例1] b ka a n n +=+1型。（1）1=k 时，}{1n n n a b a a ?=-+是等差数列，)(1b a n b a n -+?= （2）1≠k 时，设)(1m a k m a n n +=++ ∴ m km ka a n n -+=+1 比较系数：b m km =- ∴ 1-= k b m ∴ }1{-+ k b a n 是等比数列，公比为k ，首项为11-+k b a ∴ 11)1(1-?-+=-+ n n k k b a k b a ∴ 1)1(11--?-+=-k b k k b a a n n [例2] )(1n f ka a n n +=+型。（1）1=k 时，)(1n f a a n n =-+，若)(n f 可求和，则可用累加消项的方法。例：已知}{n a 满足11=a ，)1(1 1+= -+n n a a n n 求}{n a 的通项公式。解： ∵ 11 1)1(11+- =+= -+n n n n a a n n ∴ n n a a n n 1111--= -- 112121---=---n n a a n n 21 3132-- -=---n n a a n n …… 312123-= -a a 21112-=-a a 对这（1-n ）个式子求和得： n a a n 111- =- ∴ n a n 1 2- =

（2）1≠k 时，当b an n f +=)(则可设)()1(1B An a k B n A a n n ++=++++ ∴ A B k An k ka a n n --+-+=+)1()1(1 ∴ ???=--=-b A B k a A k )1()1( 解得： 1-=k a A ，2)1(1-+-=k a k b B ∴ }{B An a n ++是以B A a ++1为首项，k 为公比的等比数列 ∴ 1 1)(-?++=++n n k B A a B An a ∴ B An k B A a a n n --?++=-11)( 将A 、B 代入即可（3）n q n f =)(（≠q 0，1）等式两边同时除以1 +n q 得q q a q k q a n n n n 1 11+?=++ 令 n n n q a C = 则q C q k C n n 1 1+ =+ ∴ }{n C 可归为b ka a n n +=+1型 [例3] n n a n f a ?=+)(1型。（1）若)(n f 是常数时，可归为等比数列。（2）若)(n f 可求积，可用累积约项的方法化简求通项。例：已知： 311= a ，1 121 2-+-=n n a n n a （2≥n ）求数列}{n a 的通项。解：123537532521232121212233 2211+= ?--?--?+-=???-----n n n n n n n a a a a a a a a a a n n n n n n ∴ 1211231+= +? =n n a a n [例4] 11 --+?? =n n n a m a m k a 型。

数列通项公式的几种求法

数列通项公式的几种求法数列通项公式直接表述了数列的本质，是给出数列的一种重要方法。数列通项公式具备两大功能，第一，可以通过数列通项公式求出数列中任意一项；第二，可以通过数列通项公式判断一个数是否为数列的项以及是第几项等问题；因此，求数列通项公式是高中数学中最为常见的题型之一，它既考察等价转换与化归的数学思想，又能反映学生对数列的理解深度，具有一定的技巧性，是衡量考生数学素质的要素之一，因而经常渗透在高考和数学竞赛中。本文分别介绍几种常见的数列通项的求法，以期能给读者一些启示。一、常规数列的通项例1：求下列数列的通项公式（1）22—12 ，32—13 ，42—14 ，52—15 ，… （2）－11×2 ，12×3 ，－13×4 ，14×5 ，… （3）23 ，1，107 ，179 ，2611 ，… 解：（1）a n =n 2—1n （2）a n = （－1）n n （n+1）（3） a n =n 2＋12n ＋1 评注：认真观察所给数据的结构特征，找出a n 与n 的对应关系，正确写出对应的表达式。二、等差、等比数列的通项直接利用通项公式a n =a 1+（n －1）d 和a n =a 1q n －1写通项，但先要根据条件寻求首项、公差和公比。三、摆动数列的通项例2：写出数列1，－1，1，－1，…的一个通项公式。解：a n =（－1）n －1 变式1：求数列0，2，0，2，0，2，…的一个通项公式。分析与解答：若每一项均减去1，数列相应变为－1，1，－1，1，… 故数列的通项公式为a n =1+（－1）n 变式2：求数列3，0，3，0，3，0，…的一个通项公式。分析与解答：若每一项均乘以23 ，数列相应变为2，0，2，0，… 故数列的通项公式为a n =32 [1+（－1）n －1 ] 变式3：求数列5，1，5，1，5，1，…的一个通项公式。分析与解答1：若每一项均减去1，数列相应变为4，0，4，0，… 故数列的通项公式为a n =1++2×23 [1+（－1）n －1 ]=1+43 [1+（－1）n －1 ] 分析与解答2：若每一项均减去3，数列相应变为2，－2，2，－2，… 故数列的通项公式为a n =3+2（－1）n －1 四、循环数列的通项例3：写出数列0.1，0.01，0.001，0.0001，…的一个通项公式。

数列通项公式求法大全配练习及答案

数列通项公式的十种求法一、公式法 * 11(1)()n a a n d dn a d n N =+-=+-∈ 1 *11()n n n a a a q q n N q -== ?∈ 二、累加法 )(1n f a a n n +=+ 例 1 已知数列{}n a 满足1121 1n n a a n a +=++=，，求数列{}n a 的通项公式。 2n a n = 例 2 已知数列{}n a 满足112313n n n a a a +=+?+=，，求数列{}n a 的通项公式。（3 1.n n a n =+-）三、累乘法 n n a n f a )(1=+ 例3 已知数列{}n a 满足112(1)53n n n a n a a +=+?=，，求数列{}n a 的通项公式。（(1)1 2 32 5 !.n n n n a n --=???）评注：本题解题的关键是把递推关系12(1)5n n n a n a +=+?转化为 1 2(1)5n n n a n a +=+，进而求出 1 32 112 21 n n n n a a a a a a a a a ---??? ??，即得数列{}n a 的通项公式。例4已知数列{}n a 满足112311 23(1)(2)n n a a a a a n a n -==++++-≥，，求{}n a 的通项公式。（! .2 n n a =）

评注：本题解题的关键是把递推关系式1(1)(2)n n a n a n +=+≥转化为 1 1(2)n n a n n a +=+≥，进而求出 1 3 212 2 n n n n a a a a a a a ---??? ?，从而可得当2n n a ≥时，的表达式，最后再求出数列{}n a 的通项公式。四、待定系数法 q pa a n n +=+1 ()n f pa a n n +=+1 n n n qa pa a +=++12（其中p ，q 均为常数）。例5 已知数列{}n a 满足112356n n n a a a +=+?=，，求数列{}n a 的通项公式。（125n n n a -=+）评注：本题解题的关键是把递推关系式1235n n n a a +=+?转化为1152(5)n n n n a a ++-=-，从而可知数列{5}n n a -是等比数列，进而求出数列{5}n n a -的通项公式，最后再求出数列 {}n a 的通项公式。例6 已知数列{}n a 满足1135241n n n a a a +=+?+=，，求数列{}n a 的通项公式。（1133522n n n a -=?-?-）评注：本题解题的关键是把递推关系式13524n n n a a +=+?+转化为 1 15223(522)n n n n a a +++?+=+ ?+，从而可知数列{522}n n a +?+是等比数列，进而求出数列{522}n n a +?+的通项公式，最后再求数列{}n a 的通项公式。例7 已知数列{}n a 满足2 1123451n n a a n n a +=+++=，，求数列{}n a 的通项公式。（42 231018n n a n n +=---）评注：本题解题的关键是把递推关系式2 12345n n a a n n +=+++转化为 2213(1)10(1)182(31018)n n a n n a n n ++++++=+++，从而可知数列

常见递推数列通项公式的求法

常见递推数列通项公式的求法教学目标： (1)知识与技能：会根据递推公式求出数列中的项，并能运用累加、累乘、待定系数等方法求数列的通项公式。 (2)过程与方法： ①复习回顾所学过的通项公式的求法，对比递推公式与通项公式区别认识到由递推公式求通项公式的重要性，引出课题。 ②对比等差数列的推导总结出累加法的试用题型。教学重点：根据数列的递推关系式求通项公式。教学难点：解题过程中方法的正确选择。教学过程: （一）复习回顾： 1、通项公式的定义及其重要作用 2、学过的通项公式的几种求法 3、区别递推公式与通项公式，从而引入课题（二）新知探究：问题1:已知数列}{n a ，1a =1，1n a +=n a +2，求n a ? 变式：已知数列}{n a ，1a =1，1n a +=n a +2n ，求n a ? 活动：通过分析发现形式类似等差数列，故想到用累加法去求解。教师引导学生细致讲解整个解题过程。练习：已知数列}{n a ，1a =1，n n n a a 2 11=-+，求n a =? 总结：类型1：)(1n f a a n n =-+，利用累加法求解。问题2：已知数列{a n }满足)(,2,111*+∈==N n a a a n n ，求{a n }的通项公式。变式：若条件变为)(,21*+∈=N n a a n n n 练习：已知数列{}n a 满足321=a ，n n a n n a 1 1+=+，求n a 。总结：类型2型如用累乘法求解问题3：已知数列{a n }满足)(,12,111*+∈+==N n a a a n n ，求{a n }的通项公式。变式：)(,64,311*+∈-==N n a a a n n ，求{a n }的通项公式。 ) (1n f a a n n ?=+

求数列通项公式的11种方法

求数列通项公式的11种方法方法总述：一．利用递推关系式求数列通项的11种方法：累加法、累乘法、待定系数法、阶差法（逐差法）、迭代法、对数变换法、倒数变换法、换元法（目的是去递推关系式中出现的根号）、数学归纳法（少用）不动点法（递推式是一个数列通项的分式表达式）、特征根法二．四种基本数列：等差数列、等比数列、等和数列、等积数列及其广义形式。等差数列、等比数列的求通项公式的方法是：累加和累乘，这二种方法是求数列通项公式的最基本方法。三．求数列通项的方法的基本思路是：把所求数列通过变形，代换转化为等级差数列或等比数列。四．求数列通项的基本方法是：累加法和累乘法。五．数列的本质是一个函数，其定义域是自然数集的一个函数。一、累加法 1．适用于：1()n n a a f n +=+ ----------这是广义的等差数列累加法是最基本的二个方法之一。 2．若1()n n a a f n +-=(2)n ≥，则 21321(1) (2) () n n a a f a a f a a f n +-=-=-=

两边分别相加得 111 ()n n k a a f n +=-= ∑ 例1 已知数列{}n a 满足1121 1n n a a n a +=++=，，求数列{}n a 的通项公式。解：由121n n a a n +=++得121n n a a n +-=+则 11232211 2 ()()()()[2(1)1][2(2)1](221)(211)12[(1)(2)21](1)1(1)2(1)12 (1)(1)1n n n n n a a a a a a a a a a n n n n n n n n n n n ---=-+-++-+-+=-++-+++?++?++=-+-++++-+-=+-+=-++= 所以数列{}n a 的通项公式为2 n a n =。例2 已知数列{}n a 满足11231 3n n n a a a +=+?+=，，求数列{}n a 的通项公式。解法一：由1231n n n a a +=+?+得1231n n n a a +-=?+则 11232211 122112211()()()()(231)(231)(231)(231)32(3333)(1)33(13) 2(1)3 13 331331 n n n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a n n n n --------=-+-++-+-+=?++?+++?++?++=+++++-+-=+-+-=-+-+=+- 所以3 1.n n a n =+- 解法二：13231n n n a a +=+?+两边除以1 3 n +，得 111 21 3333 n n n n n a a +++=++，则 111 21 3333n n n n n a a +++-=+，故

几种常见的数列的通项公式的求法(两课时)

几种常见的数列的通项公式的求法一．观察法例1：根据数列的前4项，写出它的一个通项公式：（1）9，99，999，9999，…（2） ,17 164 ,10 93 ,5 42 ,2 11 （3） ,52 , 2 1, 3 2, 1（4） ,5 4,4 3, 3 2,21 - - 解：（1）变形为：101－1，102―1，103―1，104―1，…… ∴通项公式为：110-=n n a （2）;1 22 ++ =n n n a n （3）;1 2+= n a n （4）1 )1(1+?-=+n n a n n .点评：关键是找出各项与项数n 的关系。二、公式法例2：已知数列{a n }是公差为d 的等差数列，数列{b n }是公比为q 的(q ∈R 且q ≠1)的等比数列，若函数f (x ) = (x － 1)2 ，且a 1 = f (d －1)，a 3 = f (d +1)，b 1 = f (q +1)，b 3 = f (q －1)，(1)求数列{ a n }和{ b n }的通项公式；解：(1)∵a 1=f (d －1) = (d －2)2，a 3 = f (d +1)= d 2，∴a 3－a 1=d 2－(d －2)2=2d ， ∴d =2，∴a n =a 1+(n －1)d = 2(n －1)；又b 1= f (q +1)= q 2，b 3 =f (q －1)=(q －2)2， ∴ 2 2 1 3)2(q q b b -==q 2，由q ∈R ，且q ≠1，得q =－2，∴b n =b ·q n －1=4·(－2)n －1 例3. 等差数列{}n a 是递减数列，且432a a a ??=48，432a a a ++=12，则数列的通项公式是（） (A) 122-=n a n (B) 42+=n a n (C) 122+-=n a n (D) 102+-=n a n 解析：设等差数列的公差位d ，由已知? ??==+??+12348)()(3333a d a a d a ，解得?? ?±==2 43d a ，又{}n a 是递减数列， ∴ 2-=d ，81=a ，∴ =--+=)2)(1(8n a n 102+-n ，故选(D)。例4. 已知等比数列{}n a 的首项11=a ，公比10<

(完整版)数列通项公式的十种求法

数列通项公式的十种求法一、公式法例1 已知数列{}n a 满足1232n n n a a +=+?，12a =，求数列{}n a 的通项公式。解：1232n n n a a +=+?两边除以12n +，得 113222n n n n a a ++=+，则113222n n n n a a ++-=，故数列{}2 n n a 是以1222 a 1 1==为首项，以23 为公差的等差数列，由等差数列的通项公式，得31(1)22n n a n =+-，所以数列{}n a 的通项公式为31()222 n n a n =-。评注：本题解题的关键是把递推关系式1232n n n a a +=+?转化为 11 3 222 n n n n a a ++-=，说明数列{}2 n n a 是等差数列，再直接利用等差数列的通项公式求出3 1(1)22n n a n =+-，进而求出数列{}n a 的通项公式。二、累加法例2 已知数列{}n a 满足11211n n a a n a +=++=，，求数列{}n a 的通项公式。解：由121n n a a n +=++得121n n a a n +-=+则 11232211 2 ()()()()[2(1)1][2(2)1](221)(211)1 2[(1)(2)21](1)1 (1)2(1)1 2 (1)(1)1n n n n n a a a a a a a a a a n n n n n n n n n n n ---=-+-++-+-+=-++-+++?++?++=-+-++++-+-=+-+=-++=L L L 所以数列{}n a 的通项公式为2 n a n =。评注：本题解题的关键是把递推关系式121n n a a n +=++转化为121n n a a n +-=+，进而求出11232211()()()()n n n n a a a a a a a a a ----+-++-+-+L ，即得数列{}n a 的通项公式。

求数列通项公式的11种方法

两边分别相加得 111 ()n n k a a f n +=-= ∑ 例1 已知数列{}n a 满足1121 1n n a a n a +=++=，，求数列{}n a 的通项公式。解：由121n n a a n +=++得121n n a a n +-=+则 11232211 2 ()()()()[2(1)1][2(2)1](221)(211)1 2[(1)(2)21](1)1(1)2(1)1 2 (1)(1)1n n n n n a a a a a a a a a a n n n n n n n n n n n ---=-+-++-+-+=-++-+++?++?++=-+-++++-+-=+-+=-++= 所以数列{}n a 的通项公式为2n a n =。例2 已知数列{}n a 满足112313n n n a a a +=+?+=，，求数列{}n a 的通项公式。解法一：由1231n n n a a +=+?+得1231n n n a a +-=?+则 11232211122112211()()()()(231)(231)(231)(231)3 2(3333)(1)3 3(13)2(1)3 13 331331 n n n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a n n n n --------=-+-++-+-+=?++?+++?++?++=++ +++-+-=+-+-=-+-+=+- 所以3 1.n n a n =+- 解法二：13231n n n a a +=+?+两边除以1 3n +，得 111 21 3333 n n n n n a a +++=++，则 111 21 3333n n n n n a a +++-=+，故