24.1圆的有关概念及性质测试题)

合集下载

人教版九年级数学上册《24.1 圆的有关性质》同步练习题-附答案

人教版九年级数学上册《24.1 圆的有关性质》同步练习题-附答案学校:___________班级：___________姓名：___________考号：___________考点1 圆的有关概念（1）圆：平面上到的距离等于的所有点组成的图形．如图所示的圆记做⊙O。

（2）弦与直径：连接任意两点的叫做弦过圆心的叫做直径直径是圆内最长的。

（3）弧：圆上任意两点间的部分叫做小于半圆的弧叫做大于半圆的弧叫做。

（4）圆心角：顶点在的角叫做圆心角。

（5）圆周角：顶点在并且两边都与圆还有一个交点的角叫做圆周角。

（6）弦心距：到弦的距离叫做弦心距。

（7）等圆：能够的两个圆叫做等圆。

（8）等弧：在同圆或等圆中能的弧叫等弧。

考点2垂径定理（1）定理：垂直于弦的直径这条弦并且弦所对的两条弧。

（2）推论：①平分弦（不是直径）的直径于弦并且弦所对的两条弧②弦的垂直平分线经过并且弦所对的两条弧。

（3）延伸：根据圆的对称性如图所示在以下五条结论中：①AC AD=③CE＝DE④AB⊥CD⑤AB是直径。

=②BC BD只要满足其中两个另外三个结论一定成立即推二知三。

考点3 弧弦圆心角之间的关系（1）定理：在同圆或等圆中相等的圆心角所对的相等所对的相等。

（2）推论：在同圆或等圆中如果两个圆心角两条弧两条弦中有一组量相等那么它们所对应的其余各组量都分别相等。

考点4圆周角定理及其推论。

（1）定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的的一半．如图a＝12图a图b图c（ 2 ）推论：①在同圆或等圆中同弧或等弧所对的圆周角相等．如图b ①A＝。

①直径所对的圆周角是直角．如图c＝90°。

①圆内接四边形的对角互补．如图a ①A＋＝180° ①ABC＋＝180°。

关键点:垂径定理及其运用（1）垂径定理及推论一条直线在下列5条中只要具备其中任意两条作为条件就可以推出其他三条结论．称为知二得三（知二推三）。

①平分弦所对的优弧②平分弦所对的劣弧（前两条合起来就是：平分弦所对的两条弧）③平分弦④垂直于弦⑤过圆心（或是直径）（2）常用的辅助线作垂直于弦的直径或只画弦心距。

九年级数学： 24.1 圆的有关性质(同步练习题)( 含答案)

24．1圆的有关性质24．1.1圆1．在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O__旋转一周___，__另一个端点A___所形成的图形叫做圆．这个固定的端点O叫做__圆心___，线段OA叫做__半径___．2．连接圆上任意两点间的线段叫做__弦___．圆上任意两点间的部分叫做__弧___．直径是经过圆心的弦，是圆中最长的弦．3．在同圆或等圆中，能够__互相重合___的弧叫等弧．4．确定一个圆有两个要素，一是__圆心___，二是__半径___，圆心确定__位置___，半径确定__大小___．知识点1：圆的有关概念1．以已知点O为圆心，已知长为a的线段为半径作圆，可以作( A)A．1个B．2个C．3个D．无数个2．下列命题中正确的有( A)①弦是圆上任意两点之间的部分；②半径是弦；③直径是最长的弦；④弧是半圆，半圆是弧．A．1个B．2个C．3个D．4个3．如图，图中弦的条数为( B)A．1条B．2条C．3条D．4条4．过圆上一点可以作出圆的最长弦的条数为( A)A．1条B．2条C．3条D．无数条5．如图，在四边形ABCD中，∠DAB＝∠DCB＝90°，则A，B，C，D四个点是否在同一个圆上？若在，说出圆心的位置，并画出这个圆．解：在，圆心是线段BD的中点．图略知识点2：圆中的半径相等6．如图，MN为⊙O的弦，∠N＝52°，则∠MON的度数为( C)A．38°B．52°C．76°D．104°,第6题图),第7题图) 7．如图，AB，CD是⊙O的两条直径，∠ABC＝30°，那么∠BAD＝( D)A．45°B．60°C．90°D．30°8．如图，AB，AC为⊙O的弦，连接CO，BO并延长，分别交弦AB，AC于点E，F，∠B＝∠C.求证：CE＝BF.解：由ASA证△BEO≌△CFO，∴OE＝OF，又∵OC＝OB，∴OC＋OE＝OB＋OF，即CE＝BF9．如图，点A，B和点C，D分别在两个同心圆上，且∠AOB＝∠COD.求证：∠C＝∠D.解：∵∠AOB＝∠COD，∴∠AOB＋∠AOC＝∠COD＋∠AOC，即∠AOD＝∠BOC，又OA＝OB，OC＝OD，∴△AOD≌△BOC，∴∠C＝∠D10．M，N是⊙O上的两点，已知OM＝3 cm，那么一定有( D)A．MN＞6 cm B．MN＝6 cmC．MN＜6 cm D．MN≤6 cm11．如图，点A，D，G，M在半圆O上，四边形ABOC，DEOF，HMNO均为矩形．设BC＝a，EF＝b，NH＝c，则下列各式中正确的是( B)A．a＞b＞c B．a＝b＝cC．c＞a＞b D．b＞c＞a12．如图，在△ABC中，AB为⊙O的直径，∠B＝60°，∠BOD＝100°，则∠C的度数为( C)A．50°B．60°C．70°D．80°,第12题图),第13题图) 13．如图是张老师出门散步时离家的距离y与时间x之间的函数关系的图象，若用黑点表示张老师家的位置，则张老师散步行走的路线可能是( D)14．在同一平面内，点P到圆上的点的最大距离为7，最小距离为1，则此圆的半径为__3或4___．15．如图，AB，CD为圆O的两条直径，E，F分别为OA，OB的中点．求证：四边形CEDF为平行四边形．解：∵AO＝BO，E，F分别是AO和BO的中点，∴EO＝FO，又CO＝DO，∴四边形CEDF为平行四边形16．如图，AB是⊙O的弦，半径OC，OD分别交AB于点E，F，且AE＝BF，请你找出线段OE与OF的数量关系，并给予证明．解：OE＝OF.证明：连接OA，OB.∵OA，OB是⊙O的半径，∴OA＝OB，∴∠OBA ＝∠OAB.又∵AE＝BF，∴△OAE≌△OBF(SAS)，∴OE＝OF17．如图，AB为⊙O的直径，CD是⊙O的弦，AB，CD的延长线交于E点，已知AB ＝2DE，∠E＝18°，求∠AOC的度数．解：连接OD.∵AB为⊙O的直径，OC，OD为半径，AB＝2DE，∴OC＝OD＝DE，∴∠DOE＝∠E，∠OCE＝∠ODC.又∠ODC＝∠DOE＋∠E，∴∠OCE＝∠ODC＝2∠E.∵∠E ＝18°，∴∠OCE＝36°，∴∠AOC＝∠OCE＋∠E＝36°＋18°＝54°18．如图，AB是半圆O的直径，四边形CDEF是内接正方形．(1)求证：OC＝OF；(2)在正方形CDEF的右侧有一正方形FGHK，点G在AB上，H在半圆上，K在EF上．若正方形CDEF的边长为2，求正方形FGHK的面积．解：(1)连接OD，OE，则OD＝OE，又∠OCD＝∠OFE＝90°，CD＝EF，∴Rt△ODC ≌Rt△OEF(HL)，∴OC＝OF(2)连接OH，∵CF＝EF＝2，∴OF＝1，∴OH2＝OE2＝12＋22＝5.设FG＝GH＝x，则(x＋1)2＋x2＝5，∴x2＋x－2＝0，解得x1＝1，x2＝－2(舍去)，∴S ＝12＝1正方形FGHK24．1.2 垂直于弦的直径1．圆是__轴对称___图形，任何一条__直径___所在的直线都是它的对称轴．2．(1)垂径定理：垂直于弦的直径__平分___弦，并且__平分___弦所对的两条弧； (2)推论：平分弦(非直径)的直径__垂直___于弦并且__平分___弦所对的两条弧．3．在圆中，弦长a ，半径R ，弦心距d ，它们之间的关系是__(12a)2＋d 2＝R 2___．知识点1：认识垂径定理 1．(2014·毕节)如图，已知⊙O 的半径为13，弦AB 长为24，则点O 到AB 的距离是( B ) A ．6 B ．5 C ．4 D ．3,第1题图),第3题图),第4题图)2．CD 是⊙O 的一条弦，作直径AB ，使AB ⊥CD ，垂足为E ，若AB ＝10，CD ＝8，则BE 的长是( C )A ．8B ．2C ．2或8D ．3或73．(2014·北京)如图，⊙O 的直径AB 垂直于弦CD ，垂足是E ，∠A ＝22.5°，OC ＝4，则CD 的长为( C )A ．2 2B ．4C ．4 2D ．8 4．如图，在⊙O 中，直径AB ⊥弦CD 于点M ，AM ＝18，BM ＝8，则CD 的长为__24___．知识点2：垂径定理的推论5．如图，一条公路弯道处是一段圆弧(图中的弧AB)，点O 是这条弧所在圆的圆心，点C 是AB ︵的中点，半径OC 与AB 相交于点D ，AB ＝120 m ，CD ＝20 m ，则这段弯道的半径是( C )A ．200 mB ．200 3 mC ．100 mD ．100 3 m,第5题图) ,第6题图)6．如图，在⊙O 中，弦AB ，AC 互相垂直，D ，E 分别为AB ，AC 的中点，则四边形OEAD 为( C )A ．正方形B ．菱形C ．矩形D ．梯形知识点3：垂径定理的应用7．如图是一个圆柱形输水管的横截面，阴影部分为有水部分，若水面AB 宽为8 cm ，水的最大深度为2 cm ，则输水管的半径为( C )A ．3 cmB ．4 cmC ．5 cmD ．6 cm,第7题图) ,第8题图)8．古题今解：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”这是《九章算术》中的问题，用数学语言可表述为：如图，AB 为⊙O 的直径，弦CD ⊥AB 于点E ，AE ＝1寸，CD ＝10寸，则直径AB 的长为__26___寸．9．如图是某风景区的一个圆拱形门，路面AB 宽为2米，净高5米，求圆拱形门所在圆的半径是多少米？解：连接OA.∵CD ⊥AB ，且CD 过圆心O ，∴AD ＝12AB ＝1米，∠CDA ＝90°.在Rt△OAD 中，设⊙O 的半径为R ，则OA ＝OC ＝R ，OD ＝5－R.由勾股定理，得OA 2＝AD 2＋OD 2，即R 2＝(5－R)2＋12，解得R ＝2.6，故圆拱形门所在圆的半径为2.6米10．如图，已知⊙O 的半径为5，弦AB ＝6，M 是AB 上任意一点，则线段OM 的长可能是( C )A ．2.5B ．3.5C ．4.5D ．5.5,第10题图) ,第11题图)11．(2014·黄冈)如图，在⊙O 中，弦CD 垂直于直径AB 于点E ，若∠BAD ＝30°，且BE ＝2，则CD ＝．12．已知点P 是半径为5的⊙O 内一点，OP ＝3，则过点P 的所有弦中，最长的弦长为__10___；最短的弦长为__8___．13．如图，以点P 为圆心的圆弧与x 轴交于A ，B 两点，点P 的坐标为(4，2)，点A 的坐标为(2，0)，则点B 的坐标为__(6，0)___．,第13题图) ,第14题图)14．如图，AB 是⊙O 的弦，AB 长为8，P 是⊙O 上一个动点(不与A ，B 重合)，过点O 作OC ⊥AP 于点C ，OD ⊥PB 于点D ，则CD 的长为__4___．15．如图，某窗户是由矩形和弓形组成，已知弓形的跨度AB ＝3 m ，弓形的高EF ＝1 m ，现计划安装玻璃，请帮工人师傅求出AB ︵所在⊙O 的半径r.解：由题意知OA ＝OE ＝r ，∵EF ＝1，∴OF ＝r －1.∵OE ⊥AB ，∴AF ＝12AB ＝12×3＝1.5.在Rt △OAF 中，OF 2＋AF 2＝OA 2，即(r －1)2＋1.52＝r 2，解得r ＝138，即圆O 的半径为138米16．如图，要把破残的圆片复制完整，已知弧上的三点A ，B ，C.(1)用尺规作图法找出BAC ︵所在圆的圆心；(保留作图痕迹，不写作法)(2)设△ABC 是等腰三角形，底边BC ＝8 cm ，腰AB ＝5 cm ，求圆片的半径R.解：(1)分别作AB ，AC 的垂直平分线，其交点O 为所求圆的圆心，图略 (2)连接AO交BC 于E.∵AB ＝AC ，∴AE ⊥BC ，BE ＝12BC ＝4.在Rt △ABE 中，AE ＝AB 2－BE 2＝52－42＝3.连接OB ，在Rt △BEO 中，OB 2＝BE 2＋OE 2，即R 2＝42＋(R －3)2，解得R ＝256，即所求圆片的半径为256cm17．已知⊙O 的半径为13 cm ，弦AB ∥CD ，AB ＝24 cm ，CD ＝10 cm ，则AB ，CD 之间的距离为( D )A ．17 cmB ．7 cmC ．12 cmD ．17 cm 或7 cm18．如图，CD 为⊙O 的直径，CD ⊥AB ，垂足为点F ，AO ⊥BC ，垂足为E ，BC ＝2 3. (1)求AB 的长； (2)求⊙O 的半径．解：(1)连接AC ，∵CD 为⊙O 的直径，CD ⊥AB ，∴AF ＝BF ，∴AC ＝BC.延长AO 交⊙O 于G ，则AG 为⊙O 的直径，又AO ⊥BC ，∴BE ＝CE ，∴AC ＝AB ，∴AB ＝BC ＝23 (2)由(1)知AB ＝BC ＝AC ，∴△ABC 为等边三角形，∴∠OAF ＝30°，在Rt △OAF 中，AF ＝3，可求OA ＝2，即⊙O 的半径为224．1.3 弧、弦、圆心角1．圆既是轴对称图形，又是__中心___对称图形，__圆心___就是它的对称中心． 2．顶点在__圆心___的角叫圆心角．3．在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的__弧___相等，且所对的弦也__相等___． 4．在同圆或等圆中，若两个圆心角、两条弧、两条弦中，有一组量是相等的，则它们所对应的其余各组量也分别__相等___．知识点1：认识圆心角1．如图，不是⊙O 的圆心角的是( D ) A ．∠AOB B ．∠AOD C ．∠BOD D ．∠ACD,第1题图) ,第3题图)2．已知圆O 的半径为5 cm ，弦AB 的长为5 cm ，则弦AB 所对的圆心角∠AOB ＝__60°___．3．(2014·菏泽)如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，∠A ＝25°，以点C 为圆心，BC 为半径的圆交AB 于点D ，交AC 于点E ，则BD ︵的度数为__50°___．知识点2：弧、弦、圆心角之间的关系4．如图，已知AB 是⊙O 的直径，C ，D 是BE ︵上的三等分点，∠AOE ＝60°，则∠COE 是( C )A ．40°B ．60°C ．80°D ．120°,第4题图) ,第5题图)5．如图，已知A ，B ，C ，D 是⊙O 上的点，∠1＝∠2，则下列结论中正确的有( D ) ①AB ︵＝CD ︵； ②BD ︵＝AC ︵；③AC ＝BD ； ④∠BOD ＝∠AOC. A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个6．如图，AB 是⊙O 的直径，BC ，CD ，DA 是⊙O 的弦，且BC ＝CD ＝DA ，则∠BCD 的度数为( C )A ．100°B ．110°C ．120°D ．135°,第6题图) ,第7题图)7．如图，在同圆中，若∠AOB ＝2∠COD ，则AB ︵与2CD ︵的大小关系为( C ) A .AB ︵＞2CD ︵ B .AB ︵＜2CD ︵ C .AB ︵＝2CD ︵D ．不能确定8．如图，已知D ，E 分别为半径OA ，OB 的中点，C 为AB ︵的中点．试问CD 与CE 是否相等？说明你的理由．解：相等．理由：连接OC.∵D ，E 分别为⊙O 半径OA ，OB 的中点，∴OD ＝12AO ，OE ＝12BO.∵OA ＝OB ，∴OD ＝OE.∵C 是AB ︵的中点，∴AC ︵＝BC ︵，∴∠AOC ＝∠BOC.又∵OC＝OC ，∴△DCO ≌△ECO(SAS )，∴CD ＝CE9．如图，在⊙O 中，AB ︵＝AC ︵，∠B ＝70°，则∠A ＝__40°___．,第9题图) ,第10题图)10．如图，AB 是半圆O 的直径，E 是OA 的中点，F 是OB 的中点，ME ⊥AB 于点E ，NF ⊥AB 于点F.在下列结论中：①AM ︵＝MN ︵＝BN ︵；②ME ＝NF ；③AE ＝BF ；④ME ＝2AE.正确的有__①②③___．11．如图，A ，B ，C ，D 在⊙O 上，且AB ︵＝2CD ︵，那么( C )A ．AB ＞2CD B ．AB ＝2CDC ．AB ＜2CDD ．AB 与2CD 大小不能确定12．如图，在⊙O 中，弦AB ，CD 相交于点P ，且AC ＝BD ，求证：AB ＝CD.解：∵AC ＝BD ，∴AC ︵＝BD ︵，∴AB ︵＝CD ︵，∴AB ＝CD13．如图，以▱ABCD 的顶点A 为圆心，AB 为半径作圆，交AD ，BC 于E ，F ，延长BA 交⊙A 于G ，求证：GE ︵＝EF ︵.解：连接AF ，∵四边形ABCD 为平行四边形，∴AD ∥BC ，∴∠GAE ＝∠B ，∠EAF＝∠AFB.又∵AB ＝AF ，∴∠B ＝∠AFB ，∴∠GAE ＝∠EAF ，∴GE ︵＝EF ︵14．如图，AB 是⊙O 的直径，AC ︵＝CD ︵，∠COD ＝60°. (1)△AOC 是等边三角形吗？请说明理由； (2)求证：OC ∥BD.解：(1)△AOC 是等边三角形．理由：∵AC ︵＝CD ︵，∴∠AOC ＝∠COD ＝60°.又∵OA ＝OC ，∴△AOC 是等边三角形(2)∵AC ︵＝CD ︵，∴∠AOC ＝∠COD ＝60°，∴∠BOD ＝180°－(∠AOC ＋∠COD)＝60°.∵OD ＝OB ，∴△ODB 为等边三角形，∴∠ODB ＝60°，∴∠ODB ＝∠COD ＝60°，∴OC ∥BD15．如图，在△AOB 中，AO ＝AB ，以点O 为圆心，OB 为半径的圆交AB 于D ，交AO 于点E ，AD ＝BO.试说明BD ︵＝DE ︵，并求∠A 的度数．解：设∠A ＝x °.∵AD ＝BO ，又OB ＝OD ，∴OD ＝AD ，∴∠AOD ＝∠A ＝x °，∴∠ABO ＝∠ODB ＝∠AOD ＋∠A ＝2x °.∵AO ＝AB ，∴∠AOB ＝∠ABO ＝2x °，从而∠BOD＝2x °－x °＝x °，即∠BOD ＝∠AOD ，∴BD ︵＝DE ︵.由三角形的内角和为180°，得2x ＋2x ＋x ＝180，∴x ＝36，则∠A ＝36°16．如图，MN 是⊙O 的直径，MN ＝2，点A 在⊙O 上，AN ︵的度数为60°，点B 为AN ︵的中点，P 是直径MN 上的一个动点，求PA ＋PB 的最小值．解：作点B 关于MN 的对称点B′.因为圆是轴对称图形，所以点B′在圆上．连接AB′，与MN 的交点为P 点，此时PA ＋PB 最短，ABB ′⌒所对的圆心角为90°，连接OB′，则∠AOB′＝90°，∴AB ′＝AO 2＋OB′2＝2，∴PA ＋PB ＝AB ′＝2，即PA ＋PB 的最小值为224．1.4 圆周角1．顶点在__圆___上，并且两边和圆__相交___的角叫圆周角．2．在同圆或等圆中，__同弧___或__等弧___所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的__圆心角___的一半．在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧__相等___．3．半圆或直径所对的圆周角是__直角___，90°的圆周角所对的弦是__直径___． 4．圆内接四边形对角__互补___，外角等于__内对角___.知识点1：认识圆周角1．下列图形中的角是圆周角的是( B )2．在⊙O 中，A ，B 是圆上任意两点，则AB ︵所对的圆心角有__1___个，AB ︵所对的圆周角有__无数___个，弦AB 所对的圆心角有__1___个，弦AB 所对的圆周角有__无数___个．知识点2：圆周角定理3．如图，已知点A ，B ，C 在⊙O 上，ACB ︵为优弧，下列选项中与∠AOB 相等的是( A ) A ．2∠C B ．4∠B C ．4∠A D ．∠B ＋∠C,第3题图) ,第4题图)4．(2014·重庆)如图，△ABC 的顶点A ，B ，C 均在⊙O 上，若∠ABC ＋∠AOC ＝90°，则∠AOC 的大小是( C )A ．30°B ．45°C ．60°D ．70°知识点3：圆周角定理推论5．如图，已知AB 是△ABC 外接圆的直径，∠A ＝35°，则∠B 的度数是( C ) A ．35° B ．45° C ．55° D ．65°,第5题图),第6题图),第7题图)6．如图，CD ⊥AB 于E ，若∠B ＝60°，则∠A ＝__30°___．7．如图，⊙O 的直径CD 垂直于AB ，∠AOC ＝48°，则∠BDC ＝__24°___．8．如图，已知A ，B ，C ，D 是⊙O 上的四个点，AB ＝BC ，BD 交AC 于点E ，连接CD ，AD.求证：DB 平分∠ADC.解：∵AB ＝BC ，∴AB ︵＝BC ︵，∴∠BDC ＝∠ADB ，∴DB 平分∠ADC知识点4：圆内接四边形的对角互补9．如图，四边形ABCD 是圆内接四边形，E 是BC 延长线上一点，若∠BAD ＝105°，则∠DCE 的大小是( B )A ．115°B ．105°C ．100°D ．95°,第9题图) ,第10题图)10．如图，A ，B ，C ，D 是⊙O 上顺次四点，若∠AOC ＝160°，则∠D ＝__80°___，∠B ＝__100°___.11．如图，▱ABCD 的顶点A ，B ，D 在⊙O 上，顶点C 在⊙O 的直径BE 上，连接AE ，∠E ＝36°，则∠ADC 的度数是( B )A ．44°B ．54°C ．72°D ．53°,第11题图) ,第12题图)12．(2014·丽水)如图，半径为5的⊙A 中，弦BC ，ED 所对的圆心角分别是∠BAC ，∠EAD.已知DE ＝6，∠BAC ＋∠EAD ＝180°，则弦BC 的弦心距等于( D )A .412B .342C ．4D ．3 13．如图，AB 是⊙O 的直径，点C 是圆上一点，∠BAC ＝70°，则∠OCB ＝__20°___．,第13题图),第14题图),第15题图)14．如图，△ABC 内接于⊙O ，点P 是AC ︵上任意一点(不与A ，C 重合)，∠ABC ＝55°，则∠POC 的取值范围是__0°＜∠POC ＜110°___．15．如图，⊙C 经过原点，并与两坐标轴分别交于A ，D 两点，已知∠OBA ＝30°，点A 的坐标为(2，0)，则点D 的坐标为．16．如图，在△ABC 中，AB ＝为直径的⊙O 分别交BC ，AC 于点D ，E ，且点D 为边BC 的中点．(1)求证：△ABC 为等边三角形； (2)求DE 的长．解：(1)连接AD.∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ADB ＝90°.∵点D 是BC 的中点，∴AD 是BC 的垂直平分线，∴AB ＝AC.又∵AB ＝BC ，∴AB ＝AC ＝BC ，∴△ABC 为等边三角形 (2)连接BE ，∵AB 是直径，∴∠AEB ＝90°，∴BE ⊥AC.∵△ABC 是等边三角形，∴AE ＝EC ，即E 为AC 的中点．又∵D 是BC 的中点，∴DE 是△ABC 的中位线，∴DE ＝12AB ＝12×2＝117．(2014·武汉)如图，AB 是⊙O 的直径，C ，P 是AB ︵上两点，AB ＝13，AC ＝5.(1)如图①，若点P 是AB ︵的中点，求PA 的长；(2)如图②，若点P 是BC ︵的中点，求PA 的长．解：(1)连接PB.∵AB 是⊙O 的直径，P 是AB ︵的中点，∴PA ＝PB ，∠APB ＝90°，可求PA ＝22AB ＝1322(2)连接BC ，OP 交于点D ，连接PB.∵P 是BC ︵的中点，∴OP ⊥BC ，BD＝CD.∵OA ＝OB ，∴OD ＝12AC ＝52.∵OP ＝12AB ＝132，∴PD ＝OP －OD ＝132－52＝4.∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ACB ＝90°，由勾股定理可求BC ＝12，∴BD ＝12BC ＝6，∴PB ＝PD 2＋BD 2＝42＋62＝213.∵AB 是⊙O 的直径，∴∠APB ＝90°，∴PA ＝AB 2－PB 2＝132－（213）2＝31318．已知⊙O 的直径为10，点A ，B ，C 在⊙O 上，∠CAB 的平分线交⊙O 于点D. (1)如图①，若BC 为⊙O 的直径，AB ＝6，求AC ，BD ，CD 的长； (2)如图②，若∠CAB ＝60°，求BD 的长．解：(1)∵BC 为⊙O 的直径，∴∠CAB ＝∠BDC ＝90°.在Rt △CAB 中，AC ＝BC 2－AB 2＝102－62＝8.∵AD 平分∠CAB ，∴CD ︵＝BD ︵，∴CD ＝BD.在Rt △BDC 中，CD 2＋BD 2＝BC 2＝100，∴BD 2＝CD 2＝50，∴BD ＝CD ＝52 (2)连接OB ，OD.∵AD 平分∠CAB ，且∠CAB ＝60°，∴∠DAB ＝12∠CAB ＝30°，∴∠DOB ＝2∠DAB ＝60°.又∵⊙O 中OB ＝OD ，∴△OBD 是等边三角形，∵⊙O 的直径为10，∴OB ＝5，∴BD ＝5。

人教版九年级数学上册 24.1 圆的有关性质(含答案)

人教版九年级数学 24.1 圆的有关性质一、选择题（本大题共10道小题）1. 如图所示的圆规，点A 是铁尖的端点，点B 是铅笔芯尖的端点，已知点A 与点B 的距离是2 cm ，若铁尖的端点A 固定，将铅笔芯尖的端点B 绕点A 旋转一周，则作出的圆的直径是( )A ．1 cmB ．2 cmC ．4 cmD ．π cm2. 如图，AB是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB 于点E ，则下列结论正确的是( )A ．OE ＝BEB.BC ︵＝BD ︵ C ．△BOC 是等边三角形D ．四边形ODBC 是菱形3. 如图，AB是⊙O 的直径，BC ︵＝CD ︵＝DE ︵，∠COD ＝34°，则∠AEO 的度数是( )A ．51°B ．56°C ．68°D ．78°4. 如图，OA是⊙O 的半径，B 为OA 上一点(不与点O ，A 重合)，过点B 作OA的垂线交⊙O 于点C .以OB ，BC 为边作矩形OBCD ，连接BD .若BD ＝10，BC ＝8，则AB 的长为( )A ．8B ．6C ．4D ．25. 在⊙O 中，圆心角∠AOB ＝3∠COD (∠COD <60°)，则劣弧AB ，劣弧CD 的大小关系是( ) A.AB ︵＝3CD ︵B.AB ︵>3CD ︵C.AB ︵<3CD ︵D ．3AB ︵<CD ︵6. 如图，将半径为2的圆形纸片折叠后，圆弧恰好经过圆心O ，则折痕AB 的长为( )A. 5 B ．2 5 C ．3 D ．2 37. 如图，AB 是⊙O的直径，弦CD ⊥AB 于点E.若AB ＝8，AE ＝1，则弦CD 的长是( )A.7 B ．27 C ．6 D ．88. 如图，直线l1∥l2，以直线l1上的点A 为圆心、适当长为半径画弧，分别交直线l1，l2于点B ，C ，连接AC ，BC.若∠ABC ＝54°，则∠1等于( )A ．36°B ．54°C ．72°D ．73°9. 如图，在⊙O 中，AB ︵所对的圆周角∠ACB ＝50°，若P 为AB︵上一点，∠AOP ＝55°，则∠POB 的度数为( )A ．30°B ．45°C ．55°D ．60°10. 如图，△ABC 是⊙O 的内接三角形，∠C ＝30°，⊙O 的半径为5.若P 是⊙O上的一点，在△ABP 中，PB ＝AB ，则PA 的长为( )A ．5 B.5 32C ．5 2D ．5 3二、填空题（本大题共8道小题） 11. 2018·孝感已知⊙O 的半径为10 cm ，AB ，CD 是⊙O 的两条弦，AB ∥CD ，AB ＝16 cm ，CD ＝12 cm ，则弦AB 和CD 之间的距离是________cm.12. 2018·毕节如图，AB 是⊙O 的直径，C ，D 为半圆的三等分点，CE ⊥AB 于点E ，则∠ACE 的度数为________．13. 如图，平面直角坐标系xOy 中，点M 的坐标为(3，0)，⊙M 的半径为2，过点M 的直线与⊙M 的交点分别为A ，B ，则△AOB 的面积的最大值为________，此时A ，B 两点所在直线与x 轴的夹角等于________°.14. 如图所示，OB ，OC是⊙O 的半径，A 是⊙O 上一点．若∠B ＝20°，∠C ＝30°，则∠A ＝________°.15. 如图，⊙O 的直径AB 过弦CD 的中点E ，若∠C ＝25°，则∠D ＝________°.16. 如图所示，动点C 在⊙O 的弦AB 上运动，AB ＝23，连接OC ，过点C 作CD ⊥OC 交⊙O 于点D ，则CD 的最大值为________．17. 如图，圆内接四边形ABCD 中两组对边的延长线分别相交于点E ，F ，且∠A＝55°，∠E ＝30°，则∠F ＝________°.18. 如图所示，在半圆O 中，AB为直径，P 为AB ︵的中点，分别在AP ︵和PB ︵上取其中点A 1和B 1，再在P A ︵1和PB ︵1上分别取其中点A 2和B 2.若一直这样取下去，则∠A n OB n ＝________°.三、解答题（本大题共4道小题）19. 如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，D 是BC 边上一点，以BD 为直径的⊙O 经过AB 的中点E ，交AD 的延长线于点F ，连接EF. (1)求证：∠1＝∠F ；(2)若AC ＝4，EF ＝2 5，求CD 的长．20.如图，△ABC 和△ABD 都是直角三角形，且∠C ＝∠D ＝90°.求证：A ，B ，C ，D 四点在同一个圆上.21. (2019•包头)如图，在⊙O 中，B 是⊙O 上的一点，120ABC ∠=︒，弦AC =弦BM 平分ABC ∠交AC 于点D ，连接MA MC ，． (1)求⊙O 半径的长； (2)求证：AB BC BM +=．22. 如图，已知AB 为⊙O 的直径，C 为半圆ACB ︵上的动点(不与点A ，B 重合)，过点C 作弦CD ⊥AB ，∠OCD 的平分线交⊙O 于点P ，则点P 的位置有何规律？请证明你的结论．人教版九年级数学 24.1 圆的有关性质-答案一、选择题（本大题共10道小题） 1. 【答案】C2. 【答案】B[解析] AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB 于点E ，由垂径定理可以得到CE ＝DE ，BC ︵＝BD ︵，AC ︵＝AD ︵.但并不一定能得到OE ＝BE ，OC ＝BC ，从而A ，C ，D 选项都是错误的．故选B.3. 【答案】A[解析] ∵BC ︵＝CD ︵＝DE ︵，∠COD ＝34°，∴∠BOC ＝∠COD ＝∠EOD ＝34°，∴∠AOE ＝180°－∠EOD －∠COD －∠BOC ＝78°. 又∵OA ＝OE ，∴∠AEO ＝∠OAE ，∴∠AEO ＝12×(180°－78°)＝51°.4. 【答案】C5. 【答案】A[解析] 把∠AOB 三等分，得到的每一份角所对的弧都等于CD ︵，因此有AB ︵＝3CD ︵.6. 【答案】D[解析] 如图，过点O 作OD ⊥AB 于点D ，连接OA .根据题意，得OD ＝12OA ＝1.再根据勾股定理，得AD ＝ 3.根据垂径定理，得AB ＝2 3.7. 【答案】B[解析] 连接OC ，则OC ＝4，OE ＝3.在Rt △OCE 中，CE ＝OC2－OE2＝42－32＝7.因为AB ⊥CD ，所以CD ＝2CE ＝2 7.8. 【答案】C9. 【答案】B10. 【答案】D[解析] 如图，连接OB ，OA ，OP ，设OB 与AP 交于点D.由PB＝AB 可知PB ︵＝AB ︵，从而可知OB ⊥AP.运用“一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半”及“同圆的半径相等”可知△OAB 为等边三角形，在Rt △OAD 中，运用“在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半”及勾股定理列方程可求得AD 的长，从而可求出AP 的长为5 3.故选D.二、填空题（本大题共8道小题）11. 【答案】2或14 [解析] ①当弦AB 和CD 在圆心同侧时，连接OA ，OC ，过点O 作OE ⊥CD 于点F ，交AB 于点E ，如图①， ∵AB ＝16 cm ，CD ＝12 cm ， ∴AE ＝8 cm ，CF ＝6 cm. ∵OA ＝OC ＝10 cm ， ∴EO ＝6 cm ，OF ＝8 cm ， ∴EF ＝OF －OE ＝2 cm ；②当弦AB 和CD 在圆心异侧时，连接OA ，OC ，过点O 作OE ⊥CD 于点E 并反向延长交AB 于点F ，如图②，∵AB ＝16 cm ，CD ＝12 cm ， ∴AF ＝8 cm ，CE ＝6 cm. ∵OA ＝OC ＝10 cm ， ∴OF ＝6 cm ，OE ＝8 cm ， ∴EF ＝OF ＋OE ＝14 cm.∴AB 与CD 之间的距离为2 cm 或14 cm.12. 【答案】30°[解析] 如图，连接OC .∵AB 是⊙O 的直径，AC ︵＝CD ︵＝BD ︵，∴∠AOC ＝∠COD ＝∠DOB ＝60°.∵OA ＝OC ，∴△AOC 是等边三角形， ∴∠A ＝60°.∵CE ⊥OA ，∴∠AEC ＝90°， ∴∠ACE ＝90°－60°＝30°.13. 【答案】6 90 [解析] ∵AB 为⊙M 的直径，∴AB ＝4.当点O 到AB 的距离最大时，△AOB 的面积最大，此时AB ⊥x 轴于点M ， ∴△AOB 的面积的最大值为12×4×3＝6，∠AMO ＝90°. 即此时A ，B 两点所在直线与x 轴的夹角等于90°.14. 【答案】50[解析] 连接OA ，则OA ＝OB ，OA ＝OC ，∴∠OAB ＝∠B ，∠OAC ＝∠C ，∴∠BAC ＝∠OAB ＋∠OAC ＝∠B ＋∠C ＝20°＋30°＝50°.15. 【答案】65[解析] ∵∠C ＝25°，∴∠A ＝∠C ＝25°.∵⊙O 的直径AB 过弦CD 的中点E ， ∴AB ⊥CD ，∴∠AED ＝90°， ∴∠D ＝90°－25°＝65°.16. 【答案】3 [解析] 如图，连接OD ，过点O 作OH ⊥AB 于点H ，则AH ＝BH＝12AB ＝ 3.∵CD ⊥OC ，∴CD ＝OD 2－OC 2.∵OD 为⊙O 的半径，∴当OC 最小时，CD 最大．当点C 运动到点H 时，OC 最小，此时CD ＝BH ＝3，即CD 的最大值为 3.17. 【答案】40[解析] ∵∠BCD ＝180°－∠A ＝125°，∠CBF ＝∠A ＋∠E ＝85°，∴∠F ＝∠BCD －∠CBF ＝125°－85°＝40°.18. 【答案】(902n －1)[解析] 当n ＝1时，∠A 1OB 1＝90°；当n ＝2时，∠A 2OB 2＝90°2＝45……所以∠A n OB n ＝(902n －1)°.三、解答题（本大题共4道小题）19. 【答案】解：(1)证明：如图，连接DE. ∵BD 是⊙O 的直径， ∴∠DEB ＝90°，即DE ⊥AB. 又∵E 是AB 的中点， ∴AD ＝BD ，∴∠1＝∠B. 又∵∠B ＝∠F ，∴∠1＝∠F.(2)∵∠1＝∠F ，∴AE ＝EF ＝2 5， ∴AB ＝2AE ＝4 5.在Rt △ABC 中，∵AC ＝4，∠C ＝90°， ∴BC ＝AB2－AC2＝8. 设CD ＝x ，则AD ＝BD ＝8－x. 在Rt △ACD 中，∵∠C ＝90°，∴AC2＋CD2＝AD2，即42＋x2＝(8－x)2，解得x ＝3，即CD ＝3.20. 【答案】证明：如图，取AB 的中点O ，连接OC ，OD.∵△ABC 和△ABD 都是直角三角形，且∠ACB ＝∠ADB ＝90°，∴OC ，OD 分别为Rt △ABC 和Rt △ABD 斜边上的中线， ∴OC ＝OA ＝OB ，OD ＝OA ＝OB ，∴OA ＝OB ＝OC ＝OD ，∴A ，B ，C ，D 四点在同一个圆上．21. 【答案】(1)连接OA OC 、，过O 作OH AC ⊥于点H ，如图1，∵120ABC ∠=︒，∴18060AMC ABC ∠=-∠=︒︒，∴2120AOC AMC ∠=∠=︒， ∴1602AOH AOC ∠=∠=︒， ∵132AH AC ==， ∴2sin60AH OA ==︒，故⊙O 的半径为2．(2)在BM 上截取BE BC =，连接CE ，如图2，∵120ABC ∠=︒，BM 平分ABC ∠，∴60ABM CBM ∠=∠=︒，∵60MBC BE BC ︒∠==，，∴EBC △是等边三角形，∴60CE CB BE BCE ==∠=︒，， ∴60BCD DCE ∠+∠=︒，∵60ACM ∠=︒，∴60ECM DCE ∠+∠=︒，∴ECM BCD ∠=∠，∴6060CAM CBM ACM ABM ∠︒=∠︒=∠=∠=，， ∴ACM △是等边三角形，∴AC CM =，∴ACB MCE △≌△，∴AB ME =，∵ME EB BM +=，∴AB BC BM +=．22. 【答案】⎝ ⎛⎭⎪⎫360n m 解：P 为半圆ADB ︵的中点．证明：如图，连接OP .∵∠OCD 的平分线交⊙O 于点P ，∴∠PCD ＝∠PCO . ∵OC ＝OP ，∴∠PCO ＝∠OPC ，∴∠PCD ＝∠OPC ，∴OP ∥CD .∵CD ⊥AB ，∴OP ⊥AB ，∴AP ︵＝BP ︵，即P 为半圆ADB ︵的中点．。

圆的有关性质-圆周角定理考点训练课件人教版数学九年级上册

【答案】 A
6 【母题：教材P88练习T2】如图，A，B，C，D是⊙O 上的点，则图中与∠A相等的角是( ) A．∠B B．∠C C．∠DEB D．∠D
【点拨】根据同弧所对的圆周角相等得∠A＝∠D.
【答案】 D
7 【2022·朝阳】如图，在⊙O中，点A是B︵C的中点， ∠ADC＝24°，则∠AOB的度数是( ) A．24° B．26° C．48° D．66°
∵OA＝OB，∴∠OAB＝∠OBA＝180°－ 2 92°＝44°.
【答案】 A
5 【2022·枣庄】将量角器按如图所示的方式放置在三角形纸板上，使点C在半圆上，点A，B的读数分别为 86°，30°，则∠ACB的度数是( ) A．28° B．30° C．36° D．56°
【点拨】设量角器的中心点为 O，连接 OA，OB. 由题意得∠AOB＝86°－30°＝56°， ∴∠ACB＝12∠AOB＝28°.
【点拨】
︵
连接 BD.∵点 A 是BC的中点，
︵︵
∴AC＝AB.∴∠ADB＝∠ADC＝24°.
∴∠AOB＝2∠ADB＝48°.
【答案】 C
8 【2022·包头】如图，AB，CD是⊙O的两条直径，E 是劣弧BC的中点，连接BC，DE，若∠ABC＝22°，则∠CDE的度数为( ) A．22° B．32° C．34° D．44°
【点拨】如图，连接OE，根据等腰三角形的性质求出∠OCB，根
据三角形内角和定理求出∠BOC，进而求出∠COE，再根据圆周角定理计算即可．
【答案】 C
9 【2023·北京四中月考】已知在半径为 4 的⊙O 中，弦 AB＝4 3，点 P 在圆上，则∠APB＝ _____6_0_°__或__1_2_0_°____.

人教版九年级数学上册 24.1 --24.4分节测试题含答案)

人教版九年级数学上册 24.1 --24.4分节测试题含答案） 24.1 圆的有关性质一、选择题（本大题共10道小题）1. 如图所示的圆规，点A 是铁尖的端点，点B 是铅笔芯尖的端点，已知点A 与点B 的距离是2 cm ，若铁尖的端点A 固定，将铅笔芯尖的端点B 绕点A 旋转一周，则作出的圆的直径是( )A ．1 cmB ．2 cmC ．4 cmD ．π cm2. 如图，AB是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB 于点E ，则下列结论正确的是( )A ．OE ＝BEB.BC ︵＝BD ︵ C ．△BOC 是等边三角形D ．四边形ODBC 是菱形3. 如图，AB是⊙O 的直径，BC ︵＝CD ︵＝DE ︵，∠COD ＝34°，则∠AEO 的度数是( )A ．51°B ．56°C ．68°D ．78°4. 如图，OA是⊙O 的半径，B 为OA 上一点(不与点O ，A 重合)，过点B 作OA的垂线交⊙O 于点C .以OB ，BC 为边作矩形OBCD ，连接BD .若BD ＝10，BC ＝8，则AB 的长为( )A ．8B ．6C ．4D ．25. 在⊙O 中，圆心角∠AOB ＝3∠COD (∠COD <60°)，则劣弧AB ，劣弧CD 的大小关系是( ) A.AB ︵＝3CD ︵B.AB ︵>3CD ︵C.AB ︵<3CD ︵D ．3AB ︵<CD ︵6. 如图，将半径为2的圆形纸片折叠后，圆弧恰好经过圆心O ，则折痕AB 的长为( )A. 5 B ．2 5 C ．3 D ．2 37. 如图，AB 是⊙O的直径，弦CD ⊥AB 于点E.若AB ＝8，AE ＝1，则弦CD 的长是( )A.7 B ．27 C ．6 D ．88. 如图，直线l1∥l2，以直线l1上的点A 为圆心、适当长为半径画弧，分别交直线l1，l2于点B ，C ，连接AC ，BC.若∠ABC ＝54°，则∠1等于( )A ．36°B ．54°C ．72°D ．73°9. 如图，在⊙O 中，AB ︵所对的圆周角∠ACB ＝50°，若P 为AB︵上一点，∠AOP ＝55°，则∠POB 的度数为( )A ．30°B ．45°C ．55°D ．60°10. 如图，△ABC 是⊙O 的内接三角形，∠C ＝30°，⊙O 的半径为5.若P 是⊙O上的一点，在△ABP 中，PB ＝AB ，则PA 的长为( )A ．5 B.5 32C ．5 2D ．5 3二、填空题（本大题共8道小题） 11. 2018·孝感已知⊙O 的半径为10 cm ，AB ，CD 是⊙O 的两条弦，AB ∥CD ，AB ＝16 cm ，CD ＝12 cm ，则弦AB 和CD 之间的距离是________cm.12. 2018·毕节如图，AB 是⊙O 的直径，C ，D 为半圆的三等分点，CE ⊥AB 于点E ，则∠ACE 的度数为________．13. 如图，平面直角坐标系xOy 中，点M 的坐标为(3，0)，⊙M 的半径为2，过点M 的直线与⊙M 的交点分别为A ，B ，则△AOB 的面积的最大值为________，此时A ，B 两点所在直线与x 轴的夹角等于________°.14. 如图所示，OB ，OC是⊙O 的半径，A 是⊙O 上一点．若∠B ＝20°，∠C ＝30°，则∠A ＝________°.15. 如图，⊙O 的直径AB 过弦CD 的中点E ，若∠C ＝25°，则∠D ＝________°.16. 如图所示，动点C 在⊙O 的弦AB 上运动，AB ＝23，连接OC ，过点C 作CD ⊥OC 交⊙O 于点D ，则CD 的最大值为________．17. 如图，圆内接四边形ABCD 中两组对边的延长线分别相交于点E ，F ，且∠A＝55°，∠E ＝30°，则∠F ＝________°.18. 如图所示，在半圆O 中，AB为直径，P 为AB ︵的中点，分别在AP ︵和PB ︵上取其中点A 1和B 1，再在P A ︵1和PB ︵1上分别取其中点A 2和B 2.若一直这样取下去，则∠A n OB n ＝________°.三、解答题（本大题共4道小题）19. 如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，D 是BC 边上一点，以BD 为直径的⊙O 经过AB 的中点E ，交AD 的延长线于点F ，连接EF. (1)求证：∠1＝∠F ；(2)若AC ＝4，EF ＝2 5，求CD 的长．20.如图，△ABC 和△ABD 都是直角三角形，且∠C ＝∠D ＝90°.求证：A ，B ，C ，D 四点在同一个圆上.21. (2019•包头)如图，在⊙O 中，B 是⊙O 上的一点，120ABC ∠=︒，弦AC =弦BM 平分ABC ∠交AC 于点D ，连接MA MC ，． (1)求⊙O 半径的长； (2)求证：AB BC BM +=．22. 如图，已知AB 为⊙O 的直径，C 为半圆ACB ︵上的动点(不与点A ，B 重合)，过点C 作弦CD ⊥AB ，∠OCD 的平分线交⊙O 于点P ，则点P 的位置有何规律？请证明你的结论．人教版九年级数学 24.1 圆的有关性质-答案一、选择题（本大题共10道小题） 1. 【答案】C2. 【答案】B[解析] AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB 于点E ，由垂径定理可以得到CE ＝DE ，BC ︵＝BD ︵，AC ︵＝AD ︵.但并不一定能得到OE ＝BE ，OC ＝BC ，从而A ，C ，D 选项都是错误的．故选B.3. 【答案】A[解析] ∵BC ︵＝CD ︵＝DE ︵，∠COD ＝34°，∴∠BOC ＝∠COD ＝∠EOD ＝34°，∴∠AOE ＝180°－∠EOD －∠COD －∠BOC ＝78°. 又∵OA ＝OE ，∴∠AEO ＝∠OAE ，∴∠AEO ＝12×(180°－78°)＝51°.4. 【答案】C5. 【答案】A[解析] 把∠AOB 三等分，得到的每一份角所对的弧都等于CD ︵，因此有AB ︵＝3CD ︵.6. 【答案】D[解析] 如图，过点O 作OD ⊥AB 于点D ，连接OA .根据题意，得OD ＝12OA ＝1.再根据勾股定理，得AD ＝ 3.根据垂径定理，得AB ＝2 3.7. 【答案】B[解析] 连接OC ，则OC ＝4，OE ＝3.在Rt △OCE 中，CE ＝OC2－OE2＝42－32＝7.因为AB ⊥CD ，所以CD ＝2CE ＝2 7.8. 【答案】C9. 【答案】B10. 【答案】D[解析] 如图，连接OB ，OA ，OP ，设OB 与AP 交于点D.由PB＝AB 可知PB ︵＝AB ︵，从而可知OB ⊥AP.运用“一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半”及“同圆的半径相等”可知△OAB 为等边三角形，在Rt △OAD 中，运用“在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半”及勾股定理列方程可求得AD 的长，从而可求出AP 的长为5 3.故选D.二、填空题（本大题共8道小题）11. 【答案】2或14 [解析] ①当弦AB 和CD 在圆心同侧时，连接OA ，OC ，过点O 作OE ⊥CD 于点F ，交AB 于点E ，如图①， ∵AB ＝16 cm ，CD ＝12 cm ， ∴AE ＝8 cm ，CF ＝6 cm. ∵OA ＝OC ＝10 cm ， ∴EO ＝6 cm ，OF ＝8 cm ， ∴EF ＝OF －OE ＝2 cm ；②当弦AB 和CD 在圆心异侧时，连接OA ，OC ，过点O 作OE ⊥CD 于点E 并反向延长交AB 于点F ，如图②，∵AB ＝16 cm ，CD ＝12 cm ， ∴AF ＝8 cm ，CE ＝6 cm. ∵OA ＝OC ＝10 cm ， ∴OF ＝6 cm ，OE ＝8 cm ， ∴EF ＝OF ＋OE ＝14 cm.∴AB 与CD 之间的距离为2 cm 或14 cm.12. 【答案】30°[解析] 如图，连接OC .∵AB 是⊙O 的直径，AC ︵＝CD ︵＝BD ︵，∴∠AOC ＝∠COD ＝∠DOB ＝60°.∵OA ＝OC ，∴△AOC 是等边三角形， ∴∠A ＝60°.∵CE ⊥OA ，∴∠AEC ＝90°， ∴∠ACE ＝90°－60°＝30°.13. 【答案】6 90 [解析] ∵AB 为⊙M 的直径，∴AB ＝4.当点O 到AB 的距离最大时，△AOB 的面积最大，此时AB ⊥x 轴于点M ， ∴△AOB 的面积的最大值为12×4×3＝6，∠AMO ＝90°. 即此时A ，B 两点所在直线与x 轴的夹角等于90°.14. 【答案】50[解析] 连接OA ，则OA ＝OB ，OA ＝OC ，∴∠OAB ＝∠B ，∠OAC ＝∠C ，∴∠BAC ＝∠OAB ＋∠OAC ＝∠B ＋∠C ＝20°＋30°＝50°.15. 【答案】65[解析] ∵∠C ＝25°，∴∠A ＝∠C ＝25°.∵⊙O 的直径AB 过弦CD 的中点E ， ∴AB ⊥CD ，∴∠AED ＝90°， ∴∠D ＝90°－25°＝65°.16. 【答案】3 [解析] 如图，连接OD ，过点O 作OH ⊥AB 于点H ，则AH ＝BH＝12AB ＝ 3.∵CD ⊥OC ，∴CD ＝OD 2－OC 2.∵OD 为⊙O 的半径，∴当OC 最小时，CD 最大．当点C 运动到点H 时，OC 最小，此时CD ＝BH ＝3，即CD 的最大值为 3.17. 【答案】40[解析] ∵∠BCD ＝180°－∠A ＝125°，∠CBF ＝∠A ＋∠E ＝85°，∴∠F ＝∠BCD －∠CBF ＝125°－85°＝40°.18. 【答案】(902n －1)[解析] 当n ＝1时，∠A 1OB 1＝90°；当n ＝2时，∠A 2OB 2＝90°2＝45……所以∠A n OB n ＝(902n －1)°.三、解答题（本大题共4道小题）19. 【答案】解：(1)证明：如图，连接DE. ∵BD 是⊙O 的直径， ∴∠DEB ＝90°，即DE ⊥AB. 又∵E 是AB 的中点， ∴AD ＝BD ，∴∠1＝∠B. 又∵∠B ＝∠F ，∴∠1＝∠F.(2)∵∠1＝∠F ，∴AE ＝EF ＝2 5， ∴AB ＝2AE ＝4 5.在Rt △ABC 中，∵AC ＝4，∠C ＝90°， ∴BC ＝AB2－AC2＝8. 设CD ＝x ，则AD ＝BD ＝8－x. 在Rt △ACD 中，∵∠C ＝90°，∴AC2＋CD2＝AD2，即42＋x2＝(8－x)2，解得x ＝3，即CD ＝3.20. 【答案】证明：如图，取AB 的中点O ，连接OC ，OD.∵△ABC 和△ABD 都是直角三角形，且∠ACB ＝∠ADB ＝90°，∴OC ，OD 分别为Rt △ABC 和Rt △ABD 斜边上的中线，∴OC ＝OA ＝OB ，OD ＝OA ＝OB ，∴OA ＝OB ＝OC ＝OD ，∴A ，B ，C ，D 四点在同一个圆上．21. 【答案】(1)连接OA OC 、，过O 作OH AC ⊥于点H ，如图1，∵120ABC ∠=︒，∴18060AMC ABC ∠=-∠=︒︒，∴2120AOC AMC ∠=∠=︒，∴1602AOH AOC ∠=∠=︒， ∵132AH AC ==， ∴2sin60AH OA ==︒，故⊙O 的半径为2．(2)在BM 上截取BE BC =，连接CE ，如图2，∵120ABC ∠=︒，BM 平分ABC ∠，∴60ABM CBM ∠=∠=︒，∵60MBC BE BC ︒∠==，，∴EBC △是等边三角形，∴60CE CB BE BCE ==∠=︒，， ∴60BCD DCE ∠+∠=︒，∵60ACM ∠=︒，∴60ECM DCE ∠+∠=︒，∴ECM BCD ∠=∠，∴6060CAM CBM ACM ABM ∠︒=∠︒=∠=∠=，， ∴ACM △是等边三角形，∴AC CM =，∴ACB MCE △≌△，∴AB ME =，∵ME EB BM +=，∴AB BC BM +=．22. 【答案】⎝ ⎛⎭⎪⎫360n m 解：P 为半圆ADB ︵的中点．证明：如图，连接OP .∵∠OCD 的平分线交⊙O 于点P ，∴∠PCD ＝∠PCO .∵OC ＝OP ，∴∠PCO ＝∠OPC ，∴∠PCD ＝∠OPC ，∴OP ∥CD .∵CD ⊥AB ，∴OP ⊥AB ，∴AP ︵＝BP ︵，即P 为半圆ADB ︵的中点．24.2.2直线和圆的位置关系一．选择题1．如图，AB 、AC 是⊙O 的切线，B 、C 为切点，∠A ＝50°，点P 是圆上异于B 、C ，则∠BPC 的度数是（）A．65°B．115°C．115°或65°D．130°或65°2．△ABC中，AB＝13，BC＝5，点O是AC上的一点，⊙O与BC相切于点C，与AB相切于点D，则⊙O的半径为（）A．B．3C．D．53．如图，AB为⊙O的切线，A为切点，BO交⊙O于点C，点D在⊙O上，若∠ABO的度数是32°，则∠ADC的度数是（）A．15°B．16°C．29°D．58°4．如图，△ABC中，∠A＝80°，点O是△ABC的内心，则∠BOC的度数为（）A．100°B．160°C．80°D．130°5．如图，在△ABC中，以AB为直径的圆交AC于点D，⊙O的切线DE交BC于点E，若∠A＝35°，则∠CDE是（）A．35°B．45°C．55°D．65°6．如图，射线BM与⊙O相切于点B，若∠MBA＝140°，则∠ACB的度数为（）A．40°B．50°C．60°D．707．如图，P A、PB是⊙O切线，A、B为切点，AC是直径，∠P＝40°，则∠BAC＝（）A．40°B．80°C．20°D．10°8．如图，AB是⊙O的直径，BP是⊙O的切线，AP与⊙O交于点C，D为BC上一点，若∠P＝36°，则∠ADC等于（）A．18°B．27°C．36°D．54°9．如图，已知P A，PB是⊙O的两条切线，A，B为切点，线段OP交⊙O于点M．给出下列四种说法：①P A＝PB；②OP⊥AB；③四边形OAPB有外接圆；④M是△AOP外接圆的圆心．其中正确说法的个数是（）A．1B．2C．3D．410．如图，AB为⊙O的切线，切点为A，OB交⊙O于点C，点D在⊙O上，且OD∥AC，若∠B＝38°，则∠ODC的度数为（）A．46°B．48°C．52°D．58°二．填空题11．如图，已知圆O为Rt△ABC的内切圆，切点分别为D、E、F，且∠C＝90°，AB＝13，BC＝12，则圆O的半径为．12．如图，AB是⊙O的弦，点C在过点B的切线上，且OC⊥OA，OC交AB于点P，已知∠OAB＝23°，则∠OCB＝°．13．已知点P是圆外一点，过点P引圆的两条切线P A、PB，切点分别为A、B，点C是圆上异于A、B的点，若∠P＝70°，则∠ACB＝．14．如图，AB，AC，BD是⊙O的切线，P，C，D为切点，若AB＝5，AC＝4，则BD的长为．15．如图，等腰△ABC的内切圆⊙O与AB，BC，CA分别相切于点D，E，F，且AB＝AC＝5，BC＝6，则DE的长是．三．解答题16．已知：如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以AC为弦作⊙O，交BC的延长线于点D，且DC＝BC，过点D作⊙O的切线，交AB的延长线于点E．（1）猜想∠CAB与∠BDE的数量关系，并说明理由；（2）若AB＝BE，则∠E的度数为°．17．如图，在等腰三角形ABD中，AB＝AD，点C为BD上一点，以BC为直径作⊙O，且点A恰好在⊙O上，连接AC．（1）若AC＝CD，求证：AD是⊙O的切线．（2）在（1）的条件下，若CD＝1，求⊙O的直径．18．如图，△ABC内接于⊙O，∠B＝60°，CD是⊙O的直径，点P是CD延长线上的一点且AP＝AC．（1）求证：P A是⊙O的切线；（2）若AB＝2+，BC＝4，求⊙O的半径．参考答案1．解：∵AB、AC是⊙O的切线，∴OB⊥AB，OC⊥AC，∵∠A＝50°，∴∠BOC＝180°﹣50°＝130°，当点P在优弧BC上时，∠BPC＝∠BOC＝65°，当点P′在劣弧BC上时，∠BP′C＝180°﹣65°＝115°，故选：C．2．解：依题意画出图形，连接OD，如图：∵⊙O与BC相切于点C，与AB相切于点D，∴∠ACB＝90°，∠ADO＝90°，∴∠ACB＝∠ADO，又∵∠A＝∠A，∴△ADO∽△ACB，∴＝，在△ABC中，AB＝13，BC＝5，由勾股定理得：AC＝＝12，设⊙O的半径为r，则有：＝，解得：r＝．故选：C．3．解：∵AB为⊙O的切线，∴∠OAB＝90°，∴∠AOB＝90°﹣∠ABO＝58°，由圆周角定理得，∠ADC＝∠AOB＝29°，故选：C．4．解：∵∠A＝80°，∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A＝100°，∵点O是△ABC的内心，∴∠OBC+∠OCB＝（∠ABC+∠ACB）＝50°，∴∠BOC＝180°﹣50°＝130°．故选：D．5．解：连接DB，OD，∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，∵OA＝OD，∠A＝35°，∴∠ODA＝∠A＝35°，∴∠ODB＝90°﹣35°＝55°，∵DE是⊙O的切线，OD是⊙O的半径，∴∠ODE＝90°，∴∠BDE＝∠ODE﹣∠ODB＝90°﹣55°＝35°，∴∠CDE＝∠CDB﹣∠BDE＝90°﹣35°＝55°，故选：C．6．解：∵射线BM与⊙O相切于点B，∴BC⊥BM，∴∠MBC＝90°，∴∠ABC＝∠MBA﹣∠MBC＝140°﹣90°＝50°，∵BC为直径，∴∠BAC＝90°，∴∠ACB＝90°﹣50°＝40°．故选：A．7．解：连接OB，∵P A、PB是⊙O切线，A、B为切点，∴∠OAP＝∠OBP＝90°，∵∠P＝40°，∴∠AOB＝360°﹣∠OAP﹣∠P﹣∠OBP＝140°，∵OA＝OB，∴∠BAC＝∠OBA＝（180°﹣∠AOB）＝20°，故选：C．8．解：连接BC，∵BP是⊙O的切线，∴AB⊥BP，∴∠ABP＝90°，∴∠BAP＝90°﹣∠P＝54°，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∴∠ABC＝90°﹣∠BAP＝36°，由圆周角定理得，∠ADC＝∠ABC＝36°，故选：C．9．解：∵P A，PB是⊙O的两条切线，A，B为切点，∴P A＝PB，所以①正确；∵OA＝OB，P A＝PB，∴OP垂直平分AB，所以②正确；∵P A，PB是⊙O的两条切线，A，B为切点，∴OA⊥P A，OB⊥PB，∴∠OAP＝∠OBP＝90°，∴点A、B在以OP为直径的圆上，∴四边形OAPB有外接圆，所以③正确；∵只有当∠APO＝30°时，OP＝2OA，此时PM＝OM，∴M不一定为△AOP外接圆的圆心，所以④错误．故选：C．10．解：连接OA，∵AB为⊙O的切线，∴OA⊥AB，∴∠OAB＝90°，∴∠AOB＝90°﹣∠B＝52°，∵OA＝OC，∴∠OCA＝∠OAC＝×（180°﹣52°）＝64°，∵OD∥AC，∴∠DOC＝∠OCA＝64°，∵OC＝OD，∴∠ODC＝∠OCD＝×（180°﹣64°）＝58°，故选：D．11．解：在Rt△ABC中，∵∠C＝90°，AB＝13，BC＝12，∴AC＝＝5，∵⊙O为Rt△ABC的内切圆，切点分别为D，E，F，∴BD＝BF，AD＝AE，CF＝CE，如图，连接OE，OF，∵OE⊥AC，OF⊥BC，OE＝OF，∴∠OEC＝∠C＝∠OFC＝90°，∴四边形OECF是正方形，设OE＝OF＝CE＝CF＝x，则AD＝AE＝5﹣x，BF＝BD＝12﹣x，∵AD+BD＝13，∴5﹣x+12﹣x＝13，∴x＝2，则圆O的半径为2．故答案为：2．12．解：连接OB，∵BC是⊙O的切线，∴OB⊥BC，∴∠OBA+∠CBP＝90°，∵OC⊥OA，∴∠A+∠APO＝90°，∵OA＝OB，∠OAB＝23°，∴∠OAB＝∠OBA＝23°，∴∠APO＝∠CBP＝67°，∵∠APO＝∠CPB，∴∠CPB＝∠APO＝67°，∴∠OCB＝180°﹣67°﹣67°＝46°，故答案为：46．13．解：①当C和P在O的异侧时，如图1，连接OA，OB，∵P A，PB是⊙O的切线，∴OA⊥P A，OB⊥PB，∴∠P AO＝∠PBO＝90°，∴∠AOB＝360°﹣∠P AO﹣∠PBO﹣∠P＝360°﹣90°﹣90°﹣70°＝110°，∴∠ACB＝∠AOB＝55°；②当C和P在O的同侧时，如图2，连接OA，OB，由①知∠AOB＝110°，∵∠ACB+∠AOB＝180°，∴∠ACB＝180°﹣∠AOB＝125°；综上所述：∠ACB＝55°或125°，故答案为：55°或125°．14．解：∵AC，AP为⊙O的切线，∴AC＝AP＝4，∵BP，BD为⊙O的切线，∴BP＝BD，∴BD＝BP＝AB﹣AP＝5﹣4＝1．故答案为：1．15．解：连接OA、OE、OB，OB交DE于H，如图，∵等腰△ABC的内切圆⊙O与AB，BC，CA分别相切于点D，E，F，∴OA平分∠BAC，OE⊥BC，OD⊥AB，BE＝BD，∵AB＝AC，∴AO⊥BC，∴点A、O、E共线，即AE⊥BC，∴BE＝CE＝3，在Rt△ABE中，AE＝＝4，∵BD＝BE＝3，∴AD＝2，设⊙O的半径为r，则OD＝OE＝r，AO＝4﹣r，在Rt△AOD中，r2+22＝（4﹣r）2，解得r＝，在Rt△BOE中，OB＝＝，∵BE＝BD，OE＝OD，∴OB垂直平分DE，∴DH＝EH，OB⊥DE，∵HE•OB＝OE•BE，∴HE＝＝＝，∴DE＝2EH＝．故答案为：．16．解：（1）∠CAB＝∠BDE．理由如下：连接AD，如图，∵∠ACB＝90°，∴∠ACD＝90°，∴AD为⊙O的直径，∵DE为切线，∴AD⊥DE，∴∠ADC+∠BDE＝90°，∵DC＝BC，AC⊥BD，∴AD＝AB，∴∠ADC＝∠ABC，∵∠BAC+∠ABC＝90°，∴∠BAC＝∠BDE；（2）∵∠ADE＝90°，AB＝BE，∴BD＝AB＝BE，而AD＝AB，∴△ABD为等边三角形，∴∠BAD＝60°，∴∠E＝90°﹣60°＝30°．故答案为30．17．解：（1）如图，连接OA．∵OA＝OB，∴∠B＝∠OAB，∵AB＝AD，∴∠B＝∠D，∵AC＝CD，∴∠D＝∠CAD，∴∠OAB＝∠CAD，∵BC为直径，∴∠BAC＝90°，∴∠OAD＝90°，即OA⊥AD，∵OA是⊙O的半径，∴AD是⊙O的切线；（2）设⊙O的半径为x，则OA＝OC＝x，BC＝2x，∵∠B＝∠D，AB＝AD，∠BAC＝∠OAD＝90°，∴△BAC≌△DAO，∴BC＝DO，∵CD＝1，∴DO＝OC+CD＝x+1，∴2x＝x+1，∴x＝1，即⊙O的直径为2．18．（1）证明：连接OA，∵∠B＝60°，∴∠AOC＝2∠B＝120°，又∵OA＝OC，∴∠OAC＝∠OCA＝30°，又∵AP＝AC，∴∠P＝∠ACP＝30°，∴∠OAP＝∠AOC﹣∠P＝90°，∴OA⊥P A，∴P A是⊙O的切线；（2）解：过点C作CE⊥AB于点E．在Rt△BCE中，∠B＝60°，BC＝4，∴BE＝BC＝2，CE＝2，∵AB＝2+，∴AE＝AB﹣BE＝，在Rt△ACE中，AC＝＝3，∴AP＝AC＝3．在Rt△P AO中，OA＝OP＝3，∴⊙O的半径为3．24.3正多边形和圆一．选择题1．下列说法错误的是（）A．平分弦的直径垂直于弦B．圆内接四边形的对角互补C．任意三角形都有一个外接圆D．正n边形的中心角等于2．下列说法中正确的是（）A．直角三角形只有一条高B．三角形任意两个内角的和大于第3个内角C．在同圆中任意两条直径都互相平分D．如果一个多边形的各边都相等，那么它是正多边形3．如图，A、B、C是⊙O上顺次3点，若AC、AB、BC分别是⊙O内接正三角形、正方形、正n边形的一边，则n＝（）A．9B．10C．12D．154．如图，在正五边形ABCDE中，连结AC，以点A为圆心，AB为半径画圆弧交AC于点F，连接DF．则∠FDC的度数是（）A．18°B．30°C．36°D．40°5．下列说法中，正确的个数为（）①三角形的外角等于两个内角的和；②有两边和一角分别相等的两个三角形全等；③各边都相等的多边形是正多边形；④到角两边距离相等的点，在这个角的平分线上．A．1B．2C．3D．06．如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，点P是上的任意一点，则∠APB的大小是（）A．15°B．30°C．45°D．60°7．如图，四边形ABCD是⊙O的内接正方形，点P是上不同于点C的任意一点，则∠BPC的大小是（）A．22.5°B．45°C．30°D．50°8．如图，⊙O的周长等于4πcm，则它的内接正六边形ABCDEF的面积是（）A．B．C．D．9．如图，AC是⊙O的内接正四边形的一边，点B在弧AC上，且BC是⊙O的内接正六边形的一边．若AB是⊙O的内接正n边形的一边，则n的值为（）A．6B．8C．10D．1210．已知⊙O是正六边形ABCDEF的外接圆，P为⊙O上除C、D外任意一点，则∠CPD 的度数为（）A．30°B．30°或150°C．60°D．60°或120°二．填空题11．如图，将边长相等的正六边形和正五边形拼接在一起，则∠ABC的度数为°．12．已知正方形的半径是4，那么这个正方形的边心距是．13．已知正三角形ABC的半径长为R，那么△ABC的周长是．（用含R的式子表示）14．如图，正五边形ABCDE内接于⊙O，点F为BC上一点，连接AF，若∠AFC＝126°，则∠BAF的度数为．15．如图，△PQR是⊙O的内接正三角形，四边形ABCD是⊙O的内接正方形，BC∥QR，则∠BOQ＝．三．解答题16．如图，已知点O是正六边形ABCDEF的对称中心，G，H分别是AF，BC上的点，且AG＝BH．（1）求∠F AB的度数；（2）求证：OG＝OH．17．如图，⊙O的半径等于4cm，正六边形ABCDEF内接于⊙O（1）求圆心O到AF的距离；（2）求正六边形ABCDEF的面积．参考答案1．解：A、∵平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，∴选项A符合题意；B、∵圆内接四边形的对角互补，∴选项B不符合题意；C、∵任意三角形都有一个外接圆，∴选项C不符合题意；D、∵正n边形的中心角等于，∴选项D不符合题意；故选：A．2．解：A、直角三角形有3条高，故原命题错误，不符合题意；B、钝角三角形的两个较小的锐角的和小于最大的钝角，故原命题错误，不符合题意；C、在同圆中任意两条直径都互相平分，正确，符合题意；D、如果一个多边形的各角相等，各边都相等，那么它是正多边形，故原命题错误，不符合题意；故选：C．3．解：如图，连接OA，OC，OB．∵若AC、AB分别是⊙O内接正三角形、正方形的一边，∴∠AOC＝120°，∠AOB＝90°，∴∠BOC＝∠AOC﹣∠AOB＝30°，由题意30°＝，∴n＝12，故选：C．4．解：∵五边形ABCDE是正五边形，∴∠AED＝∠EAB＝∠ABC＝108°，∵BA＝BC，∴∠BAC＝∠BCA＝36°，∴∠EAC＝72°，∴∠AED+∠EAC＝180°，∴DE∥AF，∵AE＝AF＝DE，∴四边形AEDF是菱形，∴∠EDF＝∠EAF＝72°，∵∠EDC＝108°，∴∠FDC＝36°，故选：C．5．解：①三角形的外角等于两个内角的和，错误，应该是三角形的外角等于和它不相邻两个内角的和．②有两边和一角分别相等的两个三角形全等，错误，应该是有两边和夹角分别相等的两个三角形全等．③各边都相等的多边形是正多边形，错误．缺少各个角相等这个条件．④到角两边距离相等的点，在这个角的平分线上．错误，这个点必须在这个角的内部．故选：D．6．解：连接OA、OB、如图所示：∵∠AOB＝＝60°，∴∠APC＝∠AOC＝30°，故选：B．7．解：如图，连接OB、OC，则∠BOC＝90°，根据圆周角定理，得：∠BPC＝∠BOC＝45°．故选：B．8．解：如图，连接OA、OB，作OG⊥AB于点G，∵⊙O的周长等于4πcm，∴⊙O的半径为：＝2，∵ABCDEF是⊙O的内接正六边形，∴OA＝OB＝AB＝2，∵OG⊥AB，∴AG＝BG＝AB＝1，∴OG＝，∴S△AOB＝AB•OG＝2×＝．∴它的内接正六边形ABCDEF的面积是6S△AOB＝6（cm2）．故选：C．9．解：连接AO、BO、CO，∵AC是⊙O内接正四边形的一边，∴∠AOC＝360°÷6＝90°，∵BC是⊙O内接正六边形的一边，∴∠BOC＝360°÷6＝60°，∴∠AOB＝∠AOC﹣∠BOC＝90°﹣60°＝30°，∴n＝360°÷30°＝12；故选：D．10．解：连接OC、OD，如图，∵⊙O是正六边形ABCDEF的外接圆，∴∠COD＝60°，当P点在弧CAD上时，∠CPD＝∠COD＝30°，当P点在弧CD上时，∠CPD＝180°﹣30°＝150°，综上所述，∠CPD的度数为30°或150°．故选：B．11．解：由题意得：正六边形的每个内角都等于120°，正五边形的每个内角都等于108°，∴∠ABC＝360°﹣120°﹣108°＝132°，故答案为：132．12．解：如图，根据正方形的性质知：△BOC是等腰直角三角形，过O作OE⊥BC于E，∵正方形的半径是4，∴BO＝4，∴OE＝BE＝BO＝2，故答案为：2．13．解：如图所示：连接OA、OB、OC，过O作OD⊥BC于D，∵△ABC是半径为R的等边三角形，∴OA＝OB＝OC＝R，∠ABC＝60°，∴∠OBD＝30°，∵OD⊥BC，∴∠ODB＝90°，OD＝OB＝R，∴BD＝OD＝R，∴BC＝2BD＝R，∴该三角形的周长为3R，故答案为：3R．14．解：∵正五边形ABCDE内接于⊙O，∴∠ABC＝＝108°，∵∠AFC＝126°，∴∠BAF＝∠AFC﹣∠ABF＝126°﹣108°＝18°．故答案为18°．15．解：连结OA，OD，∵△PQR是⊙O的内接正三角形，∴PQ＝PR＝QR，∴∠POQ＝×360°＝120°，∵BC∥QR，OP⊥QR，∵BC∥QR，∴OP⊥BC，∵四边形ABCD是⊙O的内接正方形，∴OP⊥AD，∠AOD＝90°，∴＝，∴∠AOP＝∠DOP，∴∠AOP＝×90°＝45°，∴∠AOQ＝∠POQ﹣∠AOP＝75°．∵∠AOB＝90°，∴∠QOB＝15°，故答案为：15°．16．（1）解：∵六边形ABCDEF是正六边形，∴∠F AB＝＝120°；（2）证明：连接OA、OB，∵OA＝OB，∴∠OAB＝∠OBA，∵∠F AB＝∠CBA，∴∠OAG＝∠OBH，在△AOG和△BOH中，，∴△AOG≌△BOH（SAS）∴OG＝OH．17．解：（1）过O作OH⊥AF于H，连接OA，OF，∵在正六边形ABCDEF中，∠BAF＝120°，∴∠OAF＝60°，∵OA＝4，∴AH＝OA＝2，∴OH＝＝＝2；∴圆心O到AF的距离为2；（2）∵OA＝OF，∠OAF＝60°，∴△OAF是等边三角形，∴AF＝OA＝4，∴S△AOF＝×4×2＝4，∴正六边形ABCDEF的面积＝6S△AOF＝24．24.4 弧长和扇形面积一、选择题1. 如图，AB，CD是⊙O的两条互相垂直的直径，O1，O2，O3，O4分别是OA，OB，OC，OD的中点．若⊙O的半径是2，则阴影部分的面积为()A．8 B．4C．4π＋4 D．4π－42. 如图，用一张半径为24 cm的扇形纸板制作一顶圆锥形帽子(接缝忽略不计)．如果圆锥形帽子的底面圆半径为10 cm，那么这张扇形纸板的面积是()A．240π cm2B．480π cm2C．1200π cm2D．2400π cm23. 一个圆锥的侧面积是底面积的2倍，则该圆锥侧面展开图的圆心角的度数是( )A ．120°B ．180°C ．240°D ．300°4. 如图，在边长为4的正方形ABCD 中，以点B 为圆心，AB 长为半径画弧，交对角线BD 于点E ，则图中阴影部分的面积是(结果保留π)( )A ．8－πB ．16－2πC ．8－2πD ．8－12π5. 如图AB 为半圆O 的直径，AB ＝4，C ，D 为AB ︵上两点，且AC ︵＝15BD ︵.若∠CED ＝52∠COD ，则BD ︵的长为( )图A.59πB.78πC.89πD.109π6. 如图，线段AB 经过⊙O 的圆心，AC ，BD 分别与⊙O 相切于点C ，D .若AC ＝BD ＝4，∠A ＝45°，则CD ︵的长度为( )A ．πB ．2πC ．2 2πD ．4π7. 如图0，AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB 于点E ，∠CDB ＝30°，CD ＝2 3，则图中阴影部分的面积为( )A ．4πB ．2πC ．π D.2π38. 如图，△ABC 是等腰直角三角形，且∠ACB ＝90°.曲线CDEF…叫做“等腰直角三角形的渐开线”，其中CD ︵，DE ︵，EF ︵，…的圆心依次按A ，B ，C ，…循环．如果AC ＝1，那么曲线CDEF 和线段CF 围成图的面积为( )图A .（12＋72）4πB .（9＋52）4πC .（12＋72）π＋24D .（9＋52）π＋249. 如图，点I 为△ABC 的内心，AB ＝4，AC ＝3，BC ＝2，将∠ACB 平移使其顶点与点I 重合，则图中阴影部分的周长为( )A ．4.5B ．4C ．3D ．210. 如图所示，矩形纸片ABCD 中，AD ＝6 cm ，把它分割成正方形纸片ABFE 和矩形纸片EFCD 后，分别裁出扇形BAF 和半径最大的圆，恰好能作为一个圆锥的侧面和底面，则AB 的长为( )A．3.5 cm B．4 cm C．4.5 cm D．5 cm二、填空题11. 用一个圆心角为120°，半径为6的扇形作一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面圆的面积为________．12. 如图所示，有一直径是2米的圆形铁皮，现从中剪出一个圆心角是90°的最大扇形ABC，则：(1)AB的长为________米；(2)用该扇形铁皮围成一个圆锥，所得圆锥的底面圆的半径为________米．13. 如图，AB是⊙O的直径，AC是弦，AC＝3，∠BOC＝2∠AOC.若用扇形OAC(图中阴影部分)围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥底面圆的半径是________．AB=，将半圆绕点A顺时针旋转14. (2019•十堰)如图，AB为半圆的直径，且660︒，点B旋转到点C的位置，则图中阴影部分的面积为__________．15. 如图，∠AOB＝90°，∠B＝30°，以点O为圆心，OA长为半径作弧交AB于点A，C，交OB于点D.若OA＝3，则阴影部分的面积为________．三、解答题16. 已知扇形的圆心角为120°，面积为300π cm2.(1)求扇形的弧长；(2)若把此扇形卷成一个圆锥，则这个圆锥的体积是多少？17. 已知一个圆锥的轴截面△ABC(如图0)是等边三角形，它的表面积为75π cm2，求这个圆锥的底面圆的半径和母线长．18. 当汽车在雨天行驶时，司机为了看清楚道路，要启动前方挡风玻璃上的雨刷．如图是某汽车的一个雨刷的转动示意图，雨刷杆AB与雨刷CD在B处固定连接(不能转动)，当杆AB绕点A转动90°时，雨刷CD扫过的面积是图中阴影部分的面积，现量得CD＝90 cm，∠DBA＝20°，AC＝115 cm，DA＝35 cm，试从以上信息中选择所需要的数据，求出雨刷扫过的面积．19. 如图是两个半圆，点O 为大半圆的圆心，AB 是大半圆的弦且与小半圆相切，AB ＝24，求图中阴影部分的面积．20. 如图①，在等腰三角形ABC 中，∠BAC ＝120°，AD 平分∠BAC ，且AD ＝6，以点A 为圆心，AD 长为半径画弧EF ，交AB 于点E ，交AC 于点F.(1)求由EF ︵及线段FC ，CB ，BE 围成的图形(图中阴影部分)的面积；(2)将阴影部分剪掉，余下扇形AEF ，将扇形AEF 围成一个圆锥的侧面，AE 与AF 正好重合，圆锥侧面无重叠(如图②)，求这个圆锥的高h.人教版九年级数学 24.4 弧长和扇形面积针对训练 -答案一、选择题1. 【答案】A2. 【答案】A[解析] ∵扇形的弧长l＝2·π·10＝20π(cm)，∴扇形的面积S＝12lR＝12×20π×24＝240π(cm2)．3. 【答案】B[解析] 设母线长为R，底面圆的半径为r，则底面圆的周长＝2πr，底面积＝πr2，侧面积＝πrR.∵侧面积是底面积的2倍，∴2πr2＝πrR，∴R＝2r.设该圆锥侧面展开图的圆心角为n°，则nπR180＝2πr，∴nπR180＝πR，∴n＝180.故选B.4. 【答案】C[解析] 在边长为4的正方形ABCD中，BD是对角线，∴AD＝AB＝4，∠BAD＝90°，∠ABE＝45°，∴S△ABD＝12AD·AB＝8，S扇形BAE＝45·π·42360＝2π，∴S阴影＝S△ABD－S扇形BAE＝8－2π.故选C.5. 【答案】D6. 【答案】B7. 【答案】D[解析] 如图，连接OD.∵CD⊥AB，∴CE＝DE＝3，∠CEO＝∠DEO＝90°.又∵OE＝OE，∴△COE≌△DOE，故S△COE＝S△DOE，即可得阴影部分的面积等于扇形OBD的面积．∵∠CDB＝30°，∴∠COB＝60°，∴∠OCD ＝30°，∴OE ＝12OC.在Rt △COE 中，CE ＝3，由勾股定理可得OC ＝2，∴OD ＝2.∵△COE ≌△DOE ，∴∠DOE ＝∠COE ＝60°，∴S 扇形OBD ＝60π·22360＝23π，即阴影部分的面积为2π3.故选D.8. 【答案】C [解析] 曲线CDEF 和线段CF 围成的图是由三个圆心不同，半径不同的扇形以及△ABC 组成的，所以根据面积公式可得 135π×1＋135π×（2＋1）2＋90π×（2＋2）2360＋12×1×1＝（12＋7 2）π＋24.9. 【答案】B [解析] 设CA ，CB 平移后分别交AB 于点M ，N ，连接AI ，BI.由平移可知AC ∥MI ，∴∠CAI ＝∠AIM.∵∠CAI ＝∠BAI ，∴∠BAI ＝∠AIM ，∴AM ＝MI.同理BN ＝NI.∴△MNI 的周长＝MI ＋NI ＋MN ＝AM ＋BN ＋MN ＝AB ＝4.故选B.10. 【答案】B [解析] AF ︵的长＝14·2π·AB ，右侧圆的周长为π·D E.∵裁出的扇形和圆恰好能作为一个圆锥的侧面和底面，∴14·2π·AB ＝π·DE ，∴AB ＝2DE ，即AE ＝2DE.∵AE ＋DE ＝AD ＝6，∴AB ＝4.故选B.二、填空题11. 【答案】4π [解析] 设此圆锥的底面圆的半径为r.由题意可得2πr ＝120π×6180，解得r ＝2，故这个圆锥的底面圆的半径为2，所以底面圆的面积为πr2＝4π.12. 【答案】(1)1 (2)14 [解析] (1)如图，连接BC.∵∠BAC ＝90°，∴BC 为⊙O 的直径，即BC ＝ 2.∵AB ＝AC ，AB2＋AC2＝BC2＝2，∴AB ＝1(米)．(2)设所得圆锥的底面圆的半径为r 米．根据题意，得2πr ＝90·π·1180，解得r ＝14.13. 【答案】12 [解析] 设这个圆锥底面圆的半径是r.∵∠BOC ＝2∠AOC ，∠BOC ＋∠AOC ＝180°，∴∠AOC ＝60°.又∵OA ＝OC ，∴△OAC 为等边三角形，∴OA ＝OC ＝AC ＝3，∴lAC ︵＝60π×3180＝2πr ，解得r ＝12，∴这个圆锥底面圆的半径是12.14. 【答案】6π【解析】由图可得，图中阴影部分的面积为：22260π6π(62)π(62)6π36022⨯⨯⨯÷⨯÷+-=，故答案为：6π．15. 【答案】34π [解析] 如图，连接OC ，过点C 作CN ⊥AO 于点N ，CM ⊥OB于点M.∵∠AOB ＝90°，∠B ＝30°，∴∠A ＝60°.∵OA ＝OC ，∴△AOC 为等边三角形，∴∠AOC ＝60°，AC ＝OA.∵OA ＝3，∴AC ＝OA ＝3.∵CN ⊥OA ，∴AN ＝ON ＝12OA ＝32，∴CN ＝32 3，∴S △AOC ＝12OA·CN ＝94 3.∵∠AOB ＝90°，CN ⊥OA ，CM ⊥OB ，∴四边形CNOM 为矩形，∴CM ＝ON ＝32.在Rt △AOB 中，∠B ＝30°，OA ＝3，∴AB ＝2OA ＝6，∴OB ＝3 3，∴S △OCB ＝12OB·CM ＝94 3. ∵∠AOC ＝60°，OA ＝3，∴S 扇形OAC ＝60π·32360＝32π.∵∠COD ＝90°－60°＝30°，∴S 扇形OCD ＝30π·32360＝34π，∴S 阴影＝S 扇形OAC －S △AOC ＋S △OCB －S 扇形OCD ＝34π.三、解答题16. 【答案】解：(1)设扇形的半径为r cm.由题意，得120π×r2360＝300π，解得r ＝30，∴扇形的弧长＝120π×30180＝20π(cm)．(2)设圆锥的底面圆的半径为x cm ，则2π·x ＝20π，解得x ＝10， ∴圆锥的高＝302－102＝20 2(cm)，∴圆锥的体积＝13·π·102·20 2＝ 2000 23π(cm3)．17. 【答案】解：∵轴截面△ABC 是等边三角形，∴AC ＝BC ＝2OC.由题意，得π·OC·AC ＋π·OC 2＝75π，∴3π·OC2＝75π，∴OC2＝25.∵OC>0，∴OC ＝5 cm ，∴AC ＝2OC ＝2×5＝10(cm)．即这个圆锥的底面圆的半径为5 cm ，母线长为10 cm.18. 【答案】解：由题意可知△ACD ≌△AC′D′，所以可将△AC′D′旋转到△ACD 处，使阴影部分面积成为一部分环形面积，可通过两扇形面积之差求得，即雨刷CD 扫过的面积S 阴影＝S 扇形ACC′－S 扇形ADD′＝90π×1152360－90π×352360＝π4(115＋35)×(115－35)＝3000π(cm2)．答：雨刷扫过的面积为3000π cm2.19. 【答案】 [解析] 小圆向右平移，使它的圆心与大圆的圆心重合，于是阴影部分的面积可转化为大半圆的面积减去小半圆的面积．解：将小半圆向右平移，使两半圆的圆心重合，如图，连接OB ，过点O 作OC ⊥AB 于点C ，则AC ＝BC ＝12.∵AB 是大半圆的弦且与小半圆相切，∴OC 为小半圆的半径，∴S 阴影＝S 大半圆－S 小半圆＝12π·OB2－12π·OC2＝12π(OB2－OC2)＝12π·BC2＝72π.20. 【答案】解：(1)∵在等腰三角形ABC 中，∠BAC ＝120°，∴AB ＝AC ，∠B ＝∠C ＝30°.∵AD 平分∠BAC ，∴AD ⊥BC ，BD ＝CD.在Rt △ABD 中，由∠B ＝30°，AD ＝6，可得AB ＝12，BD ＝6 3，∴BC ＝2BD ＝12 3，∴由EF ︵及线段FC ，CB ，BE 围成的图形(图中阴影部分)的面积＝S △ABC －S 扇形AEF ＝12×6×12 3－120·π·62360＝36 3－12π. (2)设圆锥的底面圆的半径为r.根据题意，得2πr ＝120·π·6180，解得r ＝2，∴这个圆锥的高h ＝62－22＝4 2.。

24.1圆的测试题

24.1 圆同步学习检测姓名：一、选择题1．⊙O 的半径为10cm ，弦AB ＝12cm ，则圆心到AB 的距离为（） A ． 2cm B ． 6cm C ． 8cm D ． 10cm2．如图，AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB 于点E,∠CDB ＝30°, ⊙O 的半径为cm 3，则弦CD 的长为（）A ．3cm 2B ．3cmC ．D ．9cm3．如图，弦CD 垂直于⊙O 的直径AB ，垂足为H ，且CD ＝BD AB 的长为（）A ．2B ．3C ．4D ．5 4．如图，∠AOB 是⊙0的圆心角，∠AOB ＝80°，则弧AB 所对圆周角∠ACB 的度数是( )A ．40°B ．45°C ．50°D ．80° 5.如图，BD 是⊙O 的直径，∠CBD=30，则∠A 的度数为（）A.30B.45C.60D.756．如图， AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB 于点M, AM = 2，BM = 8. 则CD 的长为（） A ．4 B ．5C ．8D ．167．如图，在半径为2cm 的⊙O 中有长为的弦AB ，则弦AB 所对的圆心角的度数为( ) A ．600B ． 900C ．1200D ．15008．如图，⊙O 的半径为5，弦AB =8，M 是弦AB 上的动点，则OM 不可能为（） A ．2 B ．3 C ．4 D ．59．如图，⊙O 的弦AB =6，M 是AB 上任意一点，且OM 最小值为4，则⊙O 的半径为（） A ．5 B ．4 C ．3 D ．210.如图，已知AB 是半圆O 的直径，∠BAC=32º，D 是弧AC 的中点，那么∠DAC 的度数是（）A.25ºB.29ºC.30ºD.32°11.如下图，将半径为2cm 的圆形纸片折叠后，圆弧恰好经过圆心O ，则折痕AB 的长为（） A ．2cm B ．3cmC ．32cmD ．52cm12.如图，圆弧形桥拱的跨度AB ＝12米，拱高CD ＝4米，则拱桥的半径为（） A.6.5米 B.9米 C.13米 D.15米13.一根水平放置的圆柱形输水管道横截面如图所示，其中有水部分水面宽0.8米，最深处水深0.2米，则此输水管道的直径是（）A ．0.4米B ．0.5米C ．0.8米D ．1米 14.如图，某公园的一座石拱桥是圆弧形（劣弧），其跨度为24米，拱的半径为13米，则拱高为（）A ．5米B ．8米C ．7米D ．53米15．如图，O ⊙的直径AB 垂直弦CD 于P ，且P 是半径OB 的中点，6cm CD =，则直径AB 的长是（）A ．B ．C ．D ．16．如图，AB 是⊙O 的弦，OD ⊥AB 于D 交⊙O 于E ，则下列说法错误．．的是( )A ．AD ＝BDB ．∠ACB ＝∠AOEC ．AE BE= D ．OD ＝DE17．如图，在Rt ABC △中，C ∠=90°，AB =10，若以点C 为圆心，CB 长为半径的圆恰好经过AB 的中点D ，则AC 的长等于（）A ． B ．5 C ．D ．618．如图，正三角形ABC 内接于⊙Ｏ，动点Ｐ在圆周的劣弧AB 上，且不与A 、B 重合，则∠BPC 等于（） A ．30 B ．60 C ．90 D ．4519．⊙O 的半径为10cm ，弦AB ＝12cm ，则圆心到AB 的距离（）A ． 2cmB ． 6cmC ． 8cmD ． 10cm20. 如图，四个边长为1的小正方形拼成一个大正方形，A 、B 、O 是小正方形顶点，⊙O 的半径为1，P 是⊙O 上的点，且位于右上方的小正方形内，则∠APB 等于（）A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°21．如图，⊙O 是正方形 ABCD 的外接圆，点 P 在⊙O 上，则∠APB 等于（）A ． 30°B ． 45°C ． 55°D ． 60°22．如图，AB 是O ⊙的直径，点C 、D 在O ⊙上，110BOC ∠=°，AD OC ∥，则AOD ∠=（）A ．70°B ．60°C ．50°D ．40° 23．如图，△ABC 内接于⊙O ，连结OA 、OB ，若∠ABO=25°，则∠C 的度数为（）A ．55°B ．60°C ．65°D ．70° 24.如图，⊙O 的半径为1，AB 是⊙O 的一条弦，且AB=3，则弦AB 所对圆周角的度数为（）A ．30°B ．60°C ．30°或150°D ．60°或120°25. 如图，么AOB 是⊙0的圆心角，∠AOB=80°，则弧AB 所对圆周角∠ACB 的度数是( )A ．40°B ．45°C ．50°D ．80° 26．如图，已知CD 为⊙O 的直径，过点D 的弦DE 平行于半径OA ，若∠D 的度数是50°，则∠C 的度数是( ) A ．25° B ．40° C ．30° D ．5027．如图，A、D是⊙O上的两个点，BC是直径，若∠D = 35°，则∠OAC的度数是（）A．35°B．55°C．65°D．70°28．下列命题中，正确的个数是（）个⑴直径是弦，但弦不一定是直径；⑵半圆是弧，但弧不一定是半圆⑶半径相等的两个圆是等圆；⑷一条弦把圆分成的两段弧中，至少有一段是优弧．A．1 B．2 C．3 D．429．⊙O中，AOB＝∠84°，则弦AB所对的圆周角的度数为（）A.42°B.138°C.69°D.42°或138°30．如图，⊙O的直径CD⊥EF于G，若∠EOD=40°,则∠DCF等于（）A.80°B. 50°C. 40°D. 20°31．如图，⊙O的直径为10，弦AB的长为8，M是弦AB上的动点，则OM的长的取值范围（）A．3≤OM≤5 B．4≤OM≤5 C．3＜OM＜5 D．4＜OM＜5 32．如图，⊙O的直径AB与弦CD的延长线交于点E，若DE=OB, ∠E=25°，则∠AOC等于（）A．25°B．50°C．75°D．80°33．圆心角都是90°的扇形OAB与扇形OCD叠放在一起，OA＝3，OC＝1，分别连结AC、BD，则图中阴影部分的面积为（） A. 1π B. π C. 2π D. 4π234．如图，已知A、B、C、D、E均在⊙O上，且AC为直径，则∠A+∠B +∠C=（）度.A．30 B．60 C．90 D．12035．如图，AB是⊙O的直径，∠ACD=15°则∠BAD的度数为（）A．15°B．30°C．60 °D．75°36．AC是⊙O的直径，∠BAC=20°，P是弧AB的中点，则∠PAB=（）A．35° B．40 Ｃ．60° D.70°∠的度数是（）37．如图∠BAC=24°,∠CED=31°BODＡ．550 B．1100Ｃ．1250 Ｄ．1500B38．如右图，在⊙O 中，∠B=50º，∠C=20º，则∠BOC 的= ．39．如图，在“世界杯” 足球比赛中，甲带球向对方球门PQ 进攻，当他带球冲到A 点时，同样乙已经助攻冲到 B 点．有两种射门方式：第一种是甲直接射门；第二种是甲将球传给乙，由乙射门．仅从射门角度考虑，应选择______种射门方式． 40．如图，直角坐标系中一条圆弧经过网格点A 、B 、C ，其中，B 点坐标为(4，4)，则弧所在圆的圆心坐标为． 41．⊙O 中，圆心角∠AOB ＝1000，点C 在劣弧AB 上，点D 在优弧AB 上，则∠ACB ＝，∠D ＝． 42．如图，⊙O 中，若∠AOB 的度数为360，∠ACB ＝．43．如图，AB 是⊙O 的直径，CD 是弦，∠BDC ＝250，则∠AOC ＝．44．如图等边ΔABC 的三个顶点在⊙O 上，BD 是直径，则∠BDC ＝，∠ACD ＝．若CD ＝10，则⊙O 的半径长为．45．如图，已知AB 是⊙O 的直径，C 、D 是⊙O 上的两点，且∠D=130°则∠BAC 的度数是．46．如图，⊙O 的直径AC =2，∠BAD =75°，∠ACD =45°，则四边形ABCD 的周长为 (结果取准确值) ． 47．如上右在⊙O 中，AD ∥BC ，AC 、BD 相交于点E ，连接AB 、CD ，图中的全等三角形共有对，面积相等的三角形共有对．48．如图，△ABC 内接于⊙O ，∠C=45°AB=4，求⊙O 的半径．二、解答题49.图4,平行四边形ABCD 中,以A 为圆心,AB 为半径的圆分别交AD 、BC 于F 、G,•延长B A 交圆于E.求证:EF=FG.50．已知：如图，⊙O 1与坐标轴交于A （1，0）、B （5，0）两点，点O 1．求⊙O 1的半径．51．如图所示，已知AB 为圆O 的直径，AC 为弦，OD ∥BC 交AC 于D ，OD=cm 2，求BC 的长．GFEDCBABD CBA52．⊙O 的半径是6cm ，弦AB=10cm ，弦CD=8cm 且AB ⊥CD 于P ，求OP 的长．53．如图所示，等腰△ABC 的顶角∠A = 120°，BC = 12 cm ，求它的外接圆的直径．54．如图,∆ABC 内接于⊙O ，∠BAC=120°，AB=AC ，BD 为⊙O 的直径，AD=6，求BC 的长.55．如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，AB 为直径，AC ＝CF ，CD ⊥AB 于D ，且交⊙O 于G ，AF 交CD 于E ．（1）求∠ACB 的度数；（2）求证：AE ＝CE ；56．如图，ABC △是⊙O 的内接三角形，AC BC =，D 为⊙O 中弧AB 上一点，延长DA 至点E ，使CE CD =．（1）求证：AE BD =；（2）若AC BC ⊥，求证：AD BD +．57．如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，D 是AB 的中点，以DC 为直径的⊙O 交△ABC 的边于G ，F ，E 点. 求证：（1）F 是BC 的中点；（2）∠A ＝∠GEF.58.已知：如图，AB 是⊙O 的直径，点C 、D 为圆上两点，且弧CB ＝弧CD ，CF ⊥AB 于点F ，CE ⊥AD 的延长线于点E ．求证：DE ＝BF ；59．已知，如图，四边形ABCD 内接于圆，延长AD 、BC 相交于点E ，点F 是BD 的延长线上的点，且DE 平分∠CDF.⑴求证：AB ＝AC ；⑵若AC ＝3cm ，AD ＝2cm ，求DE 的长.60．如图，已知圆内接四边形ABCD 的对角线AC 、BD 交于点N ，点M 在对角线BD 上，且满足∠BAM=∠DAN ，∠BCM=∠DCN ．求证：（1）M 为BD 的中点；（2）CMAMCN AN ． AB CD E FG OB A。

部编数学九年级上册专题24.1圆【七大题型】(人教版)(解析版)含答案

专题24.1 圆【七大题型】【人教版】【题型1 圆的概念】 (1)【题型2 圆的有关概念】 (4)【题型3 确定圆的条件】 (6)【题型4 点与圆的位置关系】 (9)【题型5 圆中角度的计算】 (12)【题型6 圆中线段长度的计算】 (15)【题型7 圆相关概念的应用】 (18)定义②：圆可以看做是所有到定点O的距离等于定长r的点的集合．【题型1 圆的概念】【例1】（2022•金沙县一模）下列说法中，不正确的是（）A．圆既是轴对称图形又是中心对称图形B．圆有无数条对称轴C．圆的每一条直径都是它的对称轴D．圆的对称中心是它的圆心【分析】利用圆的对称性质逐一求解可得．【解答】解：A．圆既是轴对称图形又是中心对称图形，正确；B．圆有无数条对称轴，正确；C．圆的每一条直径所在直线都是它的对称轴，此选项错误；D．圆的对称中心是它的圆心，正确；故选：C．【变式1-1】（2022•武昌区校级期末）由所有到已知点O 的距离大于或等于2，并且小于或等于3的点组成的图形的面积为（）A ．4πB ．9πC ．5πD ．13π【分析】根据题意、利用圆的面积公式计算即可．【解答】解：由所有到已知点O 的距离大于或等于2，并且小于或等于3的点组成的图形的面积为以3为半径的圆与以2为半径的圆组成的圆环的面积，即π×32﹣π×22＝5π，故选：C ．【变式1-2】（2022•杭州模拟）现有两个圆，⊙O 1的半径等于篮球的半径，⊙O 2的半径等于一个乒乓球的半径，现将两个圆的周长都增加1米，则面积增加较多的圆是（）A ．⊙O 1B ．⊙O 2C ．两圆增加的面积是相同的D ．无法确定【分析】先由L ＝2πR 计算出两个圆半径的伸长量，然后再计算两个圆增加的面积，然后进行比较大小即可．【解答】解：设⊙O 1的半径等于R ，变大后的半径等于R ′；⊙O 2的半径等于r ，变大后的半径等于r ′，其中R ＞r ．由题意得，2πR+1＝2πR ′，2πr +1＝2πr ′，解得R ′＝R +12π，r ′＝r +12π；所以R ′﹣R =12π，r ′﹣r =12π，所以，两圆的半径伸长是相同的，且两圆的半径都伸长12π．∴⊙O 1的面积＝πR 2，变大后的面积=π(R +12π)2，面积增加了π(R +12π)2−πR 2＝R +14π，⊙O 2的面积＝πr 2，变大后的面积=π(r +12π)2，面积增加了π(r +12π)2−πr 2=r +14π，∵R ＞r ，∴R +14π＞r +14π，∴⊙O 1的面积增加的多．故选：A ．【变式1-3】（2022•浙江）如图，AB 是⊙O 的直径，把AB 分成几条相等的线段，以每条线段为直径分别画小圆，设AB ＝a ，那么⊙O 的周长l ＝πa ．计算：（1）把AB 分成两条相等的线段，每个小圆的周长l 2=12πa =12l ；（2）把AB 分成三条相等的线段，每个小圆的周长l 3＝　13l ；（3）把AB 分成四条相等的线段，每个小圆的周长l 4＝　14l ；（4）把AB 分成n 条相等的线段，每个小圆的周长l n ＝　1n l ．结论：把大圆的直径分成n 条相等的线段，以每条线段为直径分别画小圆，那么每个小圆周长是大圆周长的　1n ．请仿照上面的探索方法和步骤，计算推导出每个小圆面积与大圆面积的关系．【分析】把大圆的直径分成n 条相等的线段，以每条线段为直径分别画小圆，那么每个小圆周长是l n ＝π（1n a ）=1n l ，即每个小圆周长是大圆周长的1n ；根据圆的面积公式求得每个小圆的面积和大圆的面积后比较．【解答】解：（2）13l ；（3）14l ；（4）1n l ；1n ；每个小圆面积＝π（12•1n a ）2=14•πa 2n 2，而大圆的面积＝π（12•a ）2=14πa 2即每个小圆的面积是大圆的面积的1．n2【题型2 圆的有关概念】【例2】（2022•远安县期末）下列说法：①弦是直线；②圆的直径被该圆的圆心平分；③过圆内一点P的直径仅有一条；④弧是圆的一部分．其中正确的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【分析】根据弦，直径，弧的定义一一判断即可．【解答】解：①弦是直线，错误，弦是线段．②圆的直径被该圆的圆心平分，正确．③过圆内一点P的直径仅有一条，错误，点P是圆心时，直径有无数条．④弧是圆的一部分，正确．故选：B．【变式2-1】（2022图木舒克月考）有一个圆的半径为5，则该圆的弦长不可能是（）A．1B．4C．10D．11【分析】根据直径是圆中最长的弦，判断即可．【解答】解：∵一个圆的半径为5，∴圆中最长的弦是10，∴弦长不可能为11，故选：D．【变式2-2】（2022•嘉鱼县期末）如右图中有　1　条直径，有　4　条弦，以点A为端点的优弧有　2　条，有劣弧　2　条．【分析】根据直径、弦、优弧及劣弧的概念解答即可得．【解答】解：图中直径只有AB这1条，弦有AC、AB、CD、BC这4条，以点A为端点的优弧有ACD、ADC 这2条，劣弧有AC、AD这2条，故答案为：1、4、2、2．【变式2-3】（2022仪征市期末）如图，⊙O的半径为6，△OAB的面积为18，点P为弦AB上一动点，当OP长为整数时，P点有　4　个．【分析】解法一：过点P最长的弦是12，根据已知条件，△OAB的面积为18，可以求出AB＜12，根据三角形面积可得OC＝OP的长有两个整数：5，6，且OP＝6是P在A或B点时，每一个值都有两个点P，所以一共有4个．解法二：根据面积可知，OA上的高为6，也就是说OA与OB互相垂直，然后算出OC长度即可．【解答】解：解法一：过O作OC⊥AB于C，则AC＝BC，设OC＝x，AC＝y，∵AB是⊙O的一条弦，⊙O的半径为6，∴AB≤12，∵△OAB的面积为18，+y2=362y⋅x=18，则y=18x，∴x2+(18x)2=36，解得x＝∴OC＝4，∴4＜OP≤6，∵点P为弦AB上一动点，当OP长为整数时，OP＝5或6，P点有4个．解法二：设△AOB中OA边上的高为h，则12×OAℎ=18，即12×6ℎ=18，∴h＝6，∵OB＝6，∴OA⊥OB，即∠AOB＝90°，∴AB＝OC＝同理得：点P为弦AB上一动点，当OP长为整数时，OP＝5或6，P点有4个．故答案为：4．【题型3 确定圆的条件】【例3】（2022•绥中县一模）小明不慎把家里的圆形镜子打碎了，其中三块碎片如图所示，三块碎片中最有可能配到与原来一样大小的圆形镜子的碎片是（）A．①B．②C．③D．均不可能【分析】要确定圆的大小需知道其半径．根据垂径定理知第①块可确定半径的大小．【解答】解：第①块出现两条完整的弦，作出这两条弦的垂直平分线，两条垂直平分线的交点就是圆心，进而可得到半径的长．故选：A．【变式3-1】（2022春•射阳县校级期末）平面直角坐标系内的三个点A（1，0）、B（0，﹣3）、C（2，﹣3）　能　确定一个圆（填“能”或“不能”）．【分析】根据三个点的坐标特征得到它们不共线，于是根据确定圆的条件可判断它们能确定一个圆．【解答】解：∵B（0，﹣3）、C（2，﹣3），∴BC∥x轴，而点A（1，0）在x轴上，∴点A、B、C不共线，∴三个点A（1，0）、B（0，﹣3）、C（2，﹣3）能确定一个圆．故答案为：能．【变式3-2】（2022•西城区期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A，B，C的横、纵坐标都为整数，过这三个点作一条圆弧，则此圆弧的圆心坐标为　（2，1）　．【分析】根据图形得出A、B、C的坐标，再连接AB，作线段AB和线段BC的垂直平分线MN、EF，两线交于Q，则Q是圆弧的圆心，最后求出点Q的坐标即可．【解答】解：从图形可知：A点的坐标是（0，2），B点的坐标是（1，3），C点的坐标是（3，3），连接AB，作线段AB和线段BC的垂直平分线MN、EF，两线交于Q，则Q是圆弧的圆心，如图，∴Q点的坐标是（2，1），故答案为：（2，1）．【变式3-3】（2022•任城区校级月考）将图中的破轮子复原，已知弧上三点A，B，C．（1）画出该轮的圆心；（2）若△ABC是等腰三角形，底边BC＝16cm，腰AB＝10cm，求圆片的半径R．【分析】（1）根据垂径定理，分别作弦AB和AC的垂直平分线交点即为所求；（2）连接AO，OB，利用垂径定理和勾股定理可求出圆片的半径R．【解答】解：（1）如图所示：分别作弦AB和AC的垂直平分线交点O即为所求的圆心；（2）连接AO，OB，BC，BC交OA于D．∵BC＝16cm，∴BD＝8cm，∵AB＝10cm，∴AD＝6cm，设圆片的半径为R，在Rt△BOD中，OD＝（R﹣6）cm，∴R2＝82+（R﹣6）2，cm，解得：R=253cm．∴圆片的半径R为253【题型4 点与圆的位置关系】【例4】（2022秋•宜州区期末）如已知：如图，△ABC中，∠C＝90°，AC＝2cm，BC＝4cm，CM是中线，以C长为半径画圆，则点A、B、M与⊙C的关系如何？【分析】点与圆的位置关系由三种情况：设点到圆心的距离为d，则当d＝R时，点在圆上；当d＞R时，点在圆外；当d＜R时，点在圆内．【解答】解：根据勾股定理，有AB=cm）；∵CA＝2cm，∴点A在⊙O内，∵BC＝4cm，∴点B在⊙C外；由中线定理得：CM=∴M点在⊙C上．【变式4-1】（2022春•龙湖区校级月考）⊙O的面积为25πcm2，⊙O所在的平面内有一点P，当PO　＝5cm　时，点P在⊙O上；当PO　＜5cm　时，点P在⊙O内；当PO　＞5cm　时，点P在⊙O外．【分析】根据圆的面积求出圆的半径，然后确定圆上点，圆内点以及圆外的到圆心的距离．【解答】解：因为圆的面积为25πcm2，所以圆的半径为5cm．当点P到圆心的距离等于5cm时，点P在⊙O上，此时OP＝5cm．当点P到圆心的距离小于5cm时，点P在⊙O内，此时OP＜5cm．当点P到圆心的距离大于5cm时，点P在⊙O外，此时OP＞5cm．故答案分别是：PO＝5cm，PO＜5cm，PO＞5cm．【变式4-2】（2022•广东模拟）如图，已知⊙A的半径为1，圆心的坐标为（4，3）．点P（m，n）是⊙A 上的一个动点，则m2+n2的最大值为　36　．【分析】由于圆心A的坐标为（4，3），点P的坐标为（m，n），利用勾股定理可计算出OA＝5，OP=这样把m2+n2理解为点P与原点的距离的平方，利用图形可得到当点P运动到射线OA上时，点P离圆点最远，即m2+n2有最大值，然后求出此时的PO长即可．【解答】解：作射线OA交⊙O于P′点，如图，∵圆心A的坐标为（4，3），点P的坐标为（m，n），∴OA5，OP=∴m2+n2是点P点圆点的距离的平方，∴当点P运动到P′处，点P离圆点最远，即m2+n2有最大值，此时OP＝OA+AP′＝5+1＝6，则m2+n2＝36．故答案为：36．【变式4-3】（2022秋•金牛区期末）如图．A（3，0）．动点B到点M（3，4）的距离为1，连接BO，BO 的中点为C，则线段AC的最小值为　2　．【分析】先确定AC最小值时点B的位置：过B作BD∥AC交x轴于D，由图可知：当BD经过M时，线段BD的长最小，此时AC有最小值，根据勾股定理和三角形中位线定理可得AC的长．【解答】解：过B作BD∥AC交x轴于D，∵C是OB的中点，∴OA＝AD，BD，∴AC=12∴当BD取最小值时，AC最小，由图可知：当BD经过M时，线段BD的长最小，此时AC有最小值，∵A（3，0），∴D（6，0），∵M（3，4），∴DM==5，∴BD＝5﹣1＝4，BD＝2，即线段AC的最小值为2；∴AC=12故答案为：2．【题型5 圆中角度的计算】【例5】（2022•江宁区校级期中）如图，BD＝OD，∠AOC＝114°，求∠AOD的度数．【分析】设∠B＝x，根据等腰三角形的性质，由BD＝OD得∠DOB＝∠B＝x，再根据三角形外角性质得∠ADO＝2x，则∠A＝∠ADO＝2x，然后根据三角形外角性质得2x+x＝114°，解得x＝38°，最后利用三角形内角和定理计算∠AOD的度数．【解答】解：设∠B＝x，∵BD＝OD，∴∠DOB＝∠B＝x，∴∠ADO＝∠DOB+∠B＝2x，∵OA＝OD，∴∠A＝∠ADO＝2x，∵∠AOC＝∠A+∠B，∴2x+x＝114°，解得x＝38°，∴∠AOD＝180°﹣∠OAD﹣∠ADO＝180°﹣4x＝180°﹣4×38°＝28°．【变式5-1】（2022•汉阳区校级月考）如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，AB、CD的延长线交于点E．已知AB＝2DE，∠AEC＝25°，求∠AOC的度数．【分析】求∠AOC的度数，可以转化为求∠C与∠E的问题．【解答】解：连接OD，∵AB＝2DE＝2OD，∴OD＝DE，又∵∠E＝25°，∴∠DOE＝∠E＝25°，∴∠ODC＝50°，同理∠C＝∠ODC＝50°∴∠AOC＝∠E+∠OCE＝75°．【变式5-2】（2022•金牛区期末）如图，AB为⊙O的直径，AD∥OC，∠AOD＝84°，则∠BOC＝　48°　．【分析】根据半径相等和等腰三角形的性质得到∠D＝∠A，利用三角形内角和定理可计算出∠A，然后根据平行线的性质即可得到∠BOC的度数．【解答】解：∵OD＝OC，∴∠D＝∠A，∵∠AOD＝84°，（180°﹣84°）＝48°，∴∠A=12又∵AD∥OC，∴∠BOC＝∠A＝48°．故答案为：48°．【变式5-3】（2022•大丰市月考）如图，直线l经过⊙O的圆心O，且与⊙O交于A、B两点，点C在⊙O 上，且∠AOC＝30°，点P是直线l上的一个动点（与圆心O不重合），直线CP与⊙O相交于点Q．是否存在点P，使得QP＝QO；若存在，求出相应的∠OCP的大小；若不存在，请简要说明理由．【分析】点P是直线l上的一个动点，因而点P与线段AO有三种位置关系，在线段AO上，点P在OB 上，点P在OA的延长线上．分这三种情况进行讨论即可．【解答】解：①根据题意，画出图（1），在△QOC中，OC＝OQ，∴∠OQC＝∠OCP，在△OPQ中，QP＝QO，∴∠QOP＝∠QPO，又∵∠AOC＝30°，∴∠QPO＝∠OCP+∠AOC＝∠OCP+30°，在△OPQ中，∠QOP+∠QPO+∠OQC＝180°，即（∠OCP+30°）+（∠OCP+30°）+∠OCP＝180°，整理得，3∠OCP＝120°，∴∠OCP＝40°．②当P在线段OA的延长线上（如图2）∵OC＝OQ，∴∠OQP＝（180°﹣∠QOC）×1①，2∵OQ＝PQ，∴∠OPQ＝（180°﹣∠OQP）×1②，2在△OQP中，30°+∠QOC+∠OQP+∠OPQ＝180°③，把①②代入③得∠QOC＝20°，则∠OQP＝80°∴∠OCP＝100°；③当P在线段OA的反向延长线上（如图3），∵OC＝OQ，∴∠OCP＝∠OQC＝（180°﹣∠COQ）×1①，2∵OQ＝PQ，∴∠P＝（180°﹣∠OQP）×1②，2∵∠AOC＝30°，∴∠COQ+∠POQ＝150°③，∵∠P＝∠POQ，2∠P＝∠OCP＝∠OQC④，①②③④联立得∠P＝10°，∴∠OCP＝180°﹣150°﹣10°＝20°．故答案为：40°、20°、100°．【题型6 圆中线段长度的计算】【例6】（2022•潮安区模拟）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AB＝10．若以点C为圆心，CA长为半径的圆恰好经过AB的中点D，则⊙C的半径为（）A ．B ．8C ．6D ．5【分析】连结CD ，根据直角三角形斜边中线定理求解即可．【解答】解：如图，连结CD ，∵CD 是直角三角形斜边上的中线，∴CD =12AB =12×10＝5．故选：D ．【变式6-1】（2022•海港区校级自主招生）如图，圆O 的周长为4π，B 是弦CD 上任意一点（与C ，D 不重合），过B 作OC 的平行线交OD 于点E ，则EO +EB ＝　2　．（用数字表示）【分析】根据圆的周长公式得到OD ＝2，根据等腰三角形的判定和性质定理即可得到结论．【解答】解：∵⊙O 的周长为4π，∴OD ＝2，∵OC ＝OD ，∴∠C ＝∠D ，∵BE ∥OC ，∴∠EBD ＝∠C ，∴∠EBD ＝∠D ，∴BE ＝DE ，∴EO +EB ＝OD ＝2，故答案为：2．【变式6-2】（2022•龙湖区校级开学）如图，已知AB 是⊙O 的直径，C 是⊙O 上的一点，CD ⊥AB 于D ，AD ＜BD ，若CD ＝2cm ，AB ＝5cm ，求AD 、AC 的长．【分析】由直径AB ＝5cm ，可得半径OC ＝OA =12AB =52cm ，分别利用勾股定理计算AD 、AC 的长．【解答】解：连接OC ，∵AB ＝5cm ，∴OC ＝OA =12AB =52cm ，Rt △CDO 中，由勾股定理得：DO =32cm ，∴AD =52−32=1cm ，由勾股定理得：AC ==则AD 的长为1cm ，AC ．【变式6-3】（2022秋•邗江区期中）如图，半圆O 的直径AB ＝8，半径OC ⊥AB ，D 为弧AC 上一点，DE ⊥OC ，DF ⊥OA ，垂足分别为E 、F ，求EF 的长．【分析】连接OD ，利用三个角是直角的四边形是矩形判定四边形DEOF 是矩形，利用矩形的对角线相等即可得到所求结论．【解答】解：连接OD ．∵OC ⊥AB DE ⊥OC ，DF ⊥OA ，∴∠AOC ＝∠DEO ＝∠DFO ＝90°，∴四边形DEOF是矩形，∴EF＝OD．∵OD＝OA∴EF＝OA＝4．【题型7 圆相关概念的应用】【例7】（2022秋•南岗区校级期中）某中学原计划修一个半径为10米的圆形花坛，为使花坛修得更加美观，决定向全校征集方案，在众多方案中最后选出两种方案：方案A如图1所示，先画一条直径，再分别以两条半径为直径修两个圆形花坛；方案B如图2所示，先画一条直径，然后在直径上取一点，把直径分成2：3的两部分，再以这两条线段为直径修两个圆形花坛；（花坛指的是图中实线部分）（1）如果按照方案A修，修的花坛的周长是．（保留π）（2）如果按照方案B修，与方案A比，省材料吗？为什么？（保留π）（3）如果按照方案B修，学校要求在5天内完成，甲工人承包了此项工程，甲每天能完成工程的1，他15做了1天后，发现不能完成任务，就请乙来帮忙，乙的速度是甲的2倍，乙加入后，甲的速度也提高了1，结果正好按时完成任务，若修1米花坛可得到10元钱，修完花坛后，甲，乙各得到多少钱？（π取23）【分析】（l）根据圆的周长公式：c＝xd，把数据代入公式求此直径是10米的两个圆的周长即可．（2）首先根据圆的周长公式：c＝元d，求出直径是4米、和6米的圆的周长和，然后与图1进行比较．（3）求出乙的钱数，再用总钱数﹣乙是钱数，可得结论．【解答】解：（1）10÷2＝5（米），2π×5×2＝20π（米）．故答案为：20π米．=8（米），8÷2＝4（米），（2）10×2＝20（米），20×223=12（米），12÷2＝6（米），20×323方案B花坛周长：2π（4+6）＝20π（米），20π＝20π，方案B与A周长一样，用的材料一样．×2×（5﹣1）×20π×10＝320（元）．（3）乙的钱数=115甲的钱数＝20π×10﹣320＝280（元），答：修完花坛后，甲，乙分别得到320元和280元．【变式7-1】（2022•南岗区期末）一个压路机的前轮直径是1.7米，如果前轮每分钟转动6周，那么这台压路机10分钟前进（）米．A．51πB．102πC．153πD．204π【分析】首先根据圆的周长公式C＝πd，求出前轮的底面圆周长，然后用前轮的底面周长乘每分钟转的周数（6周），求出1分钟前进多少米，再乘工作时间10分钟即可．【解答】解：前轮的底面圆周长：π×1.7＝1.7π（米），1.7π×6×10＝102π（米）故选：B．【变式7-2】（2022•罗田县校级模拟）一个塑料文具胶带如图所示，带宽为1cm，内径为4cm，外径为7cm，已知30层胶带厚1.5mm，则这卷胶带长　51.81　m．（π≈3.14，结果保留4位有效数字）【分析】首先求出胶带的体积，用胶带的体积除以一米长的胶带的体积即可求得．【解答】解：4÷2＝2（cm），7÷2＝3.5（cm），胶带的体积是：π（3.52﹣22）•1＝8.25πcm3＝8.25π×10﹣6（m3），一米长的胶带的体积是：0.01×1×5×10﹣5＝5×10﹣7（m3），因而胶带长是：（8.25π×10﹣6）÷（5×10﹣7）≈51.81（m）．故答案为：51.81．【变式7-3】（2022•张店区期末）如图，大圆和圆的半径都分别是4cm和2cm，两圆外切于点C，一只蚂蚁由点A开始ABCDEFCGA的顺序沿着两圆圆周不断地爬行，其中各点分别是两圆周的四等分点，蚂蚁直到行走2010πcm后才停下来．则这只蚂蚁停在点　E　．【分析】首先求得蚂蚁由点A开始ABCDEFCGA的顺序走一周的路线长，然后确定走2010πcm是走了多少周，即可确定．【解答】解：A开始ABCDEFCGA的顺序转一周的路径长是：8π+4π＝12πcm，蚂蚁直到行走2010πcm所转的周数是：2010π÷12π＝167…6π．即转167周以后又走了6πcm．从A到B得路长是：2π，再到C的路线长也是2π，从C到D，到E的路线长是2π，则从A行走6πcm 到E点．故答案是：E．。

初中数学人教版九年级上册第二十四章能力测试题含答案

初初初初初初初初初初初初初初初初初初初初初初初初初24.1圆的有关性质一、选择题1.如图，四边形ABCD内接于⊙O，AE⊥CB交CB的延长线于点E，若BA平分∠DBE，AD=5，CE=√13，则AE =()A. 3B. 3√2C. 4√3D. 2√32.如图，在⊙O中，弦AB的长为16cm，圆心O到AB的距离为6cm，则⊙O的半径是()A. 6cmB. 10cmC. 8cmD. 20cm3.如图，点O为线段BC的中点，点A，C，D到点O的距离相等，若∠ABC=40°，则∠ADC的度数是()A. 130°B. 140°C. 150°D. 160°4.如图，A、B是⊙O上两点，若四边形ACBO是菱形，⊙O的半径为r，则点A与点B之间的距离为()A. √2rB. √3rC. rD. 2r5.下列说法正确的是()1/ 45A. 垂直于弦的直线平分弦所对的两条弧B. 平分弦的直径垂直于弦C. 垂直于直径平分这条直径D. 弦的垂直平分线经过圆心6.下列说法正确的是()A. 相等的圆心角所对的弧相等B. 在同圆中，等弧所对的圆心角相等C. 在同圆中，相等的弦所对的弧相等D. 相等的弦所对的弧相等7.如图，在⊙O中，半径OD⊥弦AB于点C，连接AO并延长交⊙O于点E，连接EC，若AB=8，CD=2，则EC的长度为()A. 2√15B. 8C. 2√10D. 2√138.如图所示，图中弦的条数为()A. 1条B. 2条C. 3条D. 4条9.如图，⊙O的半径为5，AB为弦，点C为AB⌢的中点，若∠ABC=30°，则弦AB的长为()A. 12B. 5 C. 5√32D. 5√310.如图，已知⊙O的半径为5，弦AB，CD所对的圆心角分别是∠AOB，COD，若∠AOB与∠COD互补，弦CD=6，则弦AB的长为()A. 6B. 8C. 5√2D. 5√3二、填空题11.如图，在⊙O中，AB、AC是互相垂直的两条弦，OD⊥AB于点D，OE⊥AC于点E，且AB=8cm，AC=6cm，那么⊙O的半径OA长为______．12.如图，AB是⊙O的直径，C、D为半圆的三等分点，CE⊥AB于点E，∠ACE的度数为______．13.如图，AB是⊙O的直径，点D在⊙O上，∠BOD=130°，AC//OD交⊙O于C，连接BC，则∠B=________．14.如图，CD是⊙O的直径，CD=4，∠ACD=20°，点B为弧AD的中点，点P是直径CD上的一个动点，则PA+PB的3/ 45最小值为______．三、计算题15.⊙O中，直径AB和弦CD相交于点E，已知AE=1cm，EB=5cm，且∠DEB=60°，求CD的长．四、解答题16.如图，AB是⊙O的直径，点C为BD⌢的中点，CF为⊙O的弦，且CF⊥AB，垂足为E，连接BD交CF于点G，连接CD，AD，BF．(1)求证：△BFG≌△CDG；(2)若AD=BE=2，求BF的长．17.如图，已知A，B，C，D是⊙O上的四个点，AB=BC，BD交AC于点E，连接CD，AD.求证：DB平分∠ADC．18.如图所示，已知⊙O′与平面直角坐标系交于A，O，B三点，点C在⊙O′上，点A的坐标为(0,2)，∠COB=45°，∠OBC= 75°，求⊙O′的直径．5/ 45答案和解析1.【答案】D【解析】解：连接AC，如图，∵BA平分∠DBE，∴∠1=∠2，∵∠1=∠CDA，∠2=∠3，∴∠3=∠CDA，∴AC=AD=5，∵AE⊥CB，∴∠AEC=90°，∴AE=√AC2−CE2=√52−(√13)2=2√3．故选：D．连接AC，如图，根据圆内接四边形的性质和圆周角定理得到∠1=∠CDA，∠2=∠3，从而得到∠3=∠CDA，所以AC=AD=5，然后利用勾股定理计算AE的长．本题考查了圆内接四边形的性质：圆内接四边形的对角互补．圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角(就是和它相邻的内角的对角).也考查了勾股定理．2.【答案】B【解析】解：过点O作OE⊥AB于点E，连接OC，∵弦AB的长为16cm，圆心O到AB的距离为6cmAB=8cm，∴OE=6cm，AE=12在Rt△AOE中，根据勾股定理得，OA=√OE2+AE2=10cm故选：B．过点O作OE⊥AB于点E.根据垂径定理和勾股定理求解．本题考查了垂径定理和勾股定理的综合应用，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．【解析】解：由题意得到OA=OB=OC=OD，作出圆O，如图所示，∴四边形ABCD为圆O的内接四边形，∴∠ABC+∠ADC=180°，∵∠ABC=40°，∴∠ADC=140°，故选：B．根据题意得到四边形ABCD共圆，利用圆内接四边形对角互补即可求出所求角的度数．此题考查了圆内接四边形的性质，熟练掌握圆内接四边形的性质是解本题的关键．4.【答案】B【解析】解：连接AB，与OC交于点D，如图所示：∵四边形ACBO为菱形，∴OA=OB=AC=BC，OC⊥AB，又OA=OC=OB，∴△AOC和△BOC都为等边三角形，AD=BD，在Rt△AOD中，OA=r，∠AOD=60°，r，∴AD=OAsin60°=√32则AB=2AD=√3r.故选：B．连接AB，与OC交于点D，由ACBO为菱形，根据菱形的性质得到对角线互相垂直，且四条边相等，再由半径相等得到三角形AOC与三角形BOC都为等边三角形，同时得到AD=BD，在直角三角形AOD中，由OA=r，∠AOD为60°，利用余弦函数定义及特殊角的三角函数值求出AD的长，即可求出AB的长．此题考查了菱形的性质，等边三角形的判定与性质，垂径定理，以及锐角三角函数定义，熟练掌握性质及定理是解本题的关键．7/ 45【解析】解：A、垂直于弦的直径平分弦所对的两条弧，所以A选项错误；B、平分弦(非直径)的直径垂直于弦，所以B选项错误；C、垂直于直径的弦被这条直径平分，所以C选项错误；D、弦的垂直平分线经过圆心，所以D选项正确．故选：D．根据垂径定理对A、C进行判断；根据垂径定理的推论对B、D进行判断．本题考查了垂径定理：平分弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．推论：平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；平分弦所对一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧．6.【答案】B【解析】解：A、错误．在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，本选项不符合题意．B、正确．C、错误．弦所对的弧有两个，不一定相等，本选项不符合题意．D、错误．相等的弦所对的弧不一定相等．故选：B．根据圆心角，弧，弦之间的关系一一判断即可．本题考查圆心角、弧、弦之间的关系等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．7.【答案】D【解析】【分析】此题考查了圆周角定理、垂径定理、勾股定理以及三角形中位线的性质．注意准确作出辅助线是解此题的关键．首先连接BE，由⊙O的半径OD⊥弦AB于点C，AB=8，CD=2，根据垂径定理可求得AC=BC=4，然后设OA=R，利用勾股定理可得方程：42+(R−2)2=R2，则可求得半径的长，继而利用三角形中位线的性质，求得BE的长，又由AE是直径，可得∠B=90°，继而求得答案．【解答】解：如图，连接BE，设⊙O的半径为R，∵OD⊥AB，∴AC=BC=12AB=12×8=4，在Rt△AOC中，OA=R，OC=R−CD=R−2，由勾股定理，得OC2+AC2=OA2，∴(R−2)2+42=R2，解得R=5，∴OC=5−2=3，∵O是AE的中点，C是AB的中点，∴OC是三角形ABE的中位线，∴BE=2OC=6，∵AE为⊙O的直径，∴∠ABE=90∘，在Rt△BCE中，CE=√BC2+BE2=2√13．故选D．8.【答案】B【解析】【分析】本题考查了圆的有关概念，熟记连接圆上任意两点的线段叫弦是解题的关键．弦是连接圆上任意两点的线段，根据定义作答．【解答】解：由图可知，点A、B、D、C是⊙O上的点，9/ 45图中的弦有AB 、DC 一共2条．故选B ．9.【答案】D【解析】【分析】此题考查圆周角定理，垂径定理，勾股定理，含30°直角三角形有关知识，连接OC 、OA ，利用圆周角定理得出∠AOC =60°，再利用垂径定理得出AB 即可．【解答】解：连接OC 、OA ，∵∠ABC =30°，∴∠AOC =60°，∵AB 为弦，点C 为AB⏜的中点， ∴OC ⊥AB ，∴∠OAB =30°，在Rt △OAE 中，∵AO =5，∴OE =2.5，∴AE =√AO 2−OE 2=√52−(52)2=5√32， ∴AB =5√3，故选D ．10.【答案】B【解析】【分析】本题主要考查圆心角定理，解题的关键是掌握圆心角定理和圆周角定理．延长AO 交⊙O 于点E ，连接BE ，由∠AOB +∠BOE =∠AOB +∠COD 知∠BOE =∠COD ，据此可得BE=CD=6，在Rt△ABE中利用勾股定理求解可得．【解答】解：如图，延长AO交⊙O于点E，连接BE，则∠AOB+∠BOE=180°，又∵∠AOB+∠COD=180°，∴∠BOE=∠COD，∴BE=CD=6，∵AE为⊙O的直径，∴∠ABE=90°，∴AB=√AE2−BE2=√102−62=8，故选B．11.【答案】5cm【解析】解：连接OA，∵OD⊥AB，OE⊥AC，∴AE=12AC=12×6=3(cm)，AD=12AB=12×8=4(cm)，∠OEA=∠ODA=90°，∵AB、AC是互相垂直的两条弦，∴∠A=90°，∴四边形OEAD是矩形，∴OD=AE=3cm，在Rt△OAD中，OA=√AD2+OD2=5cm．故答案为：5cm．首先由AB、AC是互相垂直的两条弦，OD⊥AB，OE⊥AC，易证得四边形OEAD是矩形，根据垂径定理，可求得AE与AD的长，然后利用勾股定理即可求得⊙O的半径OA11/ 45长．此题考查了垂径定理，矩形的判定与性质以及勾股定理等知识．此题难度不大，解题的关键是注意数形结合思想的应用，注意特殊图形的性质的应用．12.【答案】30°【解析】解：如图，连接OC．∵AB是直径，AC⏜=CD⏜=BD⏜，∴∠AOC=∠COD=∠DOB=60°，∵OA=OC，∴△AOC是等边三角形，∴∠A=60°，∵CE⊥OA，∴∠AEC=90°，∴∠ACE=90°−60°=30°．故答案为30°想办法证明△AOC是等边三角形即可解决问题．本题考查圆周角定理、等边三角形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．13.【答案】40°【解析】【分析】本题主要考查圆周角定理及推论，平行线的性质，先求出∠AOD，利用平行线的性质得出∠A，再由圆周角定理求出∠B的度数即可．【解答】解：∵∠BOD=130°，∴∠AOD=50°，又∵AC//OD，∴∠A=∠AOD=50°，∵AB是⊙O的直径，∴∠C=90°，∴∠B=90°−50°=40°．故答案为40°．14.【答案】2【解析】【分析】本题考查的是轴对称−最短路线问题，解答此题的关键是找到点A的对称点，把题目的问题转化为两点之间线段最短解答．首先作A关于CD的对称点Q，连接BQ，然后根据圆周角定理、圆的对称性质和等边三角形的判定和性质解答．【解答】解：作A关于CD的对称点Q，连接CQ，BQ，BQ交CD于P，此时AP+PB=QP+PB= QB，根据两点之间线段最短，PA+PB的最小值为QB的长度，连接OQ，OB，∵点B为弧AD的中点，∴∠BOD=∠ACD=20°，∴∠QOD=2∠QCD=2×20°=40°，∴∠BOQ=20°+40°=60°．∵OB=OQ，∴△BOQ是等边三角形，13/ 45BQ=OB=12CD=2，即PA+PB的最小值为2．故答案为2．15.【答案】解：作OP⊥CD于P，连接OD，∴CP=PD，∵AE=1，EB=5，∴AB=6，∴OE=2，在Rt△OPE中，OP=OE⋅sin∠DEB=√3，∴PD=√OD2−OP2=√6，∴CD=2PD=2√6(cm)．【解析】作OP⊥CD于P，连接OD，根据正弦的定义求出OP，根据勾股定理求出PD，根据垂径定理计算．本题考查的是垂径定理，掌握垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧是解题的关键．16.【答案】证明：(1)∵C是BC⏜的中点，∴CD⏜=BC⏜，∵AB是⊙O的直径，且CF⊥AB，∴BC⏜=BF⏜，∴CD⏜=BF⏜，∴CD=BF，在△BFG和△CDG中，∵{∠F=∠CDG∠FGB=∠DGC BF=CD，∴△BFG≌△CDG(AAS)；(2)如图，过C作CH⊥AD于H，连接AC、BC，∵CD⏜=BC⏜，∵CE⊥AB，∴CH=CE，∵AC=AC，∴Rt△AHC≌Rt△AEC(HL)，∴AE=AH，∵CH=CE，CD=CB，∴Rt△CDH≌Rt△CBE(HL)，∴DH=BE=2，∴AE=AH=2+2=4，∴AB=4+2=6，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°，∴∠ACB=∠BEC=90°，∵∠EBC=∠ABC，∴△BEC∽△BCA，∴BCAB =BEBC，∴BC2=AB⋅BE=6×2=12，∴BF=BC=2√3．【解析】(1)根据AAS证明：△BFG≌△CDG；(2)如图，作辅助线，构建角平分线和全等三角形，证明Rt△AHC≌Rt△AEC(HL)，得AE=AH，再证明Rt△CDH≌Rt△CBE(HL)，得DH=BE=2，计算AE和AB的长，证明△BEC∽△BCA，列比例式可得BC的长，就是BF的长．此题考查了相似三角形的判定与性质、圆周角定理、垂径定理、三角形全等的性质和判定以及勾股定理．第二问有难度，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用．17.【答案】证明：∵AB=BC，∴AB⏜=BC⏜，∴∠BDC=∠ADB，15/ 45【解析】本题考查了圆周角定理、圆心角、弧、弦的关系.熟练掌握圆周角定理，证出AB⏜=BC⏜是解决问题的关键.由圆心角、弧、弦的关系得出AB⏜=BC⏜，由圆周角定理得出∠BDC=∠ADB，即可得出结论．18.【答案】解：如图，连接AB．∵∠AOB=90°，∴AB是直径，∵∠C=180°−∠COB−∠OBC=180°−45°−75°=60°，∴∠OAB=∠OCB=60°，∴∠ABO=30°，∵A(0,2)，∴OA=2，∴AB=2OA=4，∴⊙O′的直径为4．【解析】本题考查圆周角定理，坐标由图形的性质，圆心角，弧，弦之间的关系等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．如图，连接AB.首先证明AB是直径，解直角三角形求出AB即可．24.2点和圆、直线和圆的位置关系1、在矩形ABCD中，AB＝8，AD＝6，以A为圆心作圆，如果B、C、D三点中至少有一点在圆内，且至少有一点在圆外，则圆A的半径r的取值范围是？2、试述点和圆的位置关系？17 / 453、直线和圆的公共点的数目不能超过，这是因为。

1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。

圆第一节测试题(圆有关概念及性质)
姓名分数 .
一、选择题（每小题4分,共32分）
1、李沫沫想用直角尺检查某些工件是否恰好是半圆形，下列几个图形是半圆形的是（）
（2小题）
2、如图2，在Rt ABC △中，C ∠=90°，AB =10，若以点C 为圆心，CB 长为半径的圆恰好经过AB 的中点D ，则BC 的长等于（）．A ．5
B ．53
C ．52
D ．6
3、已知：如图3,⊙O 的半径为5，AB 所对的圆心角为120°，则弦AB 的长是（） A.．23cm B. 53 C.5 D.8
4、下列判断中正确的是（）
（A ）平分弦的直径垂直于弦（B ）平分弦的直线也必平分弦所对的两条弧（C ）弦的垂直平分线必平分弦所对的两条弧（D ）平分一条弧的直线必平分这条弧所对的弦
5、如图，AB O 是⊙的直径，弦303cm CD AB E CDB O ⊥∠=于点，°，⊙的半径为，则弦CD 的长为（）．A ．3
cm 2
B ．3cm
C ．23cm
D ．9cm
9题图
6．AB 是⊙O 的弦，∠AOB ＝80°则弦AB 所对的圆周角是（）。

A ．40° Ｂ．140°或40° C ．20° Ｄ．20°或160°
7．如图，边长为12米的正方形池塘的周围是草地，池塘边A 、B 、C 、D 处各有一棵树，且AB=BC=CD=3米．现用长4米的绳子将一头羊拴在其中的一棵树上．为了使羊在草地上活动区域的面积最大，应将绳子拴在（）。

A ． A 处 B ． B 处 C ．C 处 D ．D 处
8、如图，AB 为⊙O 的直径，点C 在⊙O 上，若∠B=60°，则∠A 等于（） A ．80° B ．50° C ．40° D ．30°
二、填空题（每小题4分,共28分） 9、某公园的一石拱桥是圆弧形（劣弧），其跨度为24米，拱的半径为13米，则拱高为_____．
10、已知一个直角三角形的面积为12cm 2，周长为12 cm ，那么这个直角三角形外接圆的半径是______cm. 11、如图，在△ABC 中，AB 是⊙O 的直径，∠B ＝60°，∠C ＝70°，则∠BOD 的度数是________． 12、如图，△ABC 内接于⊙O ，AC 是⊙O 的直径，∠ACB ＝50°，则∠D ＝_ _____.
13、如图,ABC △内接于O ⊙,AB BC =,120ABC ∠=°,AD 为O ⊙的直径,6=AC ，那么BD = ．
B
C
D
A
5题
C
A
B O
E
D
8题图
7题
14、平面上一点P 到⊙O 上一点的距离最长6cm ，最短为2cm ，则⊙O 的半径为_______cm. 15、如图，已知AB 为⊙O 的直径，∠E ＝20°，∠DBC ＝50°，则∠DBE ＝______．
三、解答题（每小题10分,共40分）
16、如图24—A —13，AD 、BC 是⊙O 的两条弦，且AD=BC.
求证：AB=CD 。

17. 如图所示，圆O 的直径AB 和弦CD 交于E ，已知AE=6cm ，EB=2cm ，∠CEA=30°，求CD 。

A
C
F
O
E
B D
18、如图所示，是一个直径为650mm 的圆柱形输油管的横截面，若油面宽AB=600mm ，求油面的最大深度。

9题 16题图
O
D
C
B A
11题
13题 15题 12题
图24—A —13
600
19、如图所示，已知AB 为圆O 的直径，AC 为弦，OD ∥BC 交AC 于D ，OD=cm 2，求BC 的长；
A
B
C
D
O。