系统动力学 符号说明
系统动力学
源与汇
参数
6.2 系统动力学原理
（2）流图符号
实物流
①
流
信息流 R1 R1
②
速率变量 L1
③ ④
水准变量 辅助变量 (
。 )
A1
。
6.2 系统动力学原理
（3）流图绘制程序和方法
① 明确问题及其构成要素； ② 绘制要素间相互作用关系的因果关系 图。注意一定要形成回路； ③ 确定变量类型（ L 变量、 R 变量和 A 变 量）。将要素转化为变量，是建模的关键一步。 在此，应考虑以下几个具体原则：
常量方程 （C方程）
C
C1=数值
6.3 基本反馈回路的DYNAMO仿真分析
2、一阶正反馈回路
PR 人 口 数 P （+）
年人口 增 加
PR
P
。
+
C1（人口年自然增长率0.02） p PR 2 2.04 2.0808 ┆
。
L P•K=P•J+DT*PR•JK N P=100 R PR•KL=C1*R•K C C1=0.02 0 1 2 ┆
（3）SD将社会系统当作非线性(多重)信息反 馈系统来研究
6.2 系统动力学原理
3、工作程序
认识 问题 界定 系统
要素及其因 果关系分析
建立结 构模型
建立数 学模型
仿真 分析
比较与 评价
政策 分析
（流图）（DYNAMOY方程）
6.2 系统动力学原理
4、系统动力学模型
（1）常用要素
流 速率 水平变量
P 100 102 104.04 ┆
100 0
一阶正反馈（简单 人口问题）系统输 出特性曲线
3、一级负反馈回路
符号动力学系统中的相关结论与证明
无 级 被 何 数 穷 数 几 级 ∑专： 所 制， 此 是 敛 ２控 因 它 收
的 而 ： ＝ 。 ） ＝或）该 离 义 下 。 ∑：｛ （ Ｉ ０ １ 距 定 之 … 在
变 为距 离空 间 。
ｐ）一｛ （＝６ 三 ａ ｌＩ ，口＝ ６
可数个这样 的空 间Ｓ ＝ Ⅳ） ｉ （ 的笛 卡尔积 为 ：
第 ２卷 第 ２ ４ 期 ２１ ３ ００年 月
湖
南
工
２ １２ Ｎ ．
Ｊ ｕ ａ ｆ ｏ ｒ ｌ ｎ ｎ Ｕｎ ｖ ｒｉ ｆ ｅ ｈ ｏ ｏ ｙ ｎ ｏ Ｈｕ ａ ｉ ｅ ｓｔ ｏ ｃ ｎ ｌ ｇ ｙ Ｔ
Ｍ ａ ．２ １ ｒ ００
符号动 力学 系统中 的相关结论 与证明
Ｅ ｍａ ： ｊｄ ａ ＠１ ３ ｏ － ｉ ｘ＿ ｕｎ ６ ． ｒ ｌ ｃｎ
第２ 期
段晓君 ，张增 辉
符号动 力学系统 中的相关结 论与证明
和 最 终 周 期 序 歹 的 势 也 为 。 Ｕ 。
３ ３
２ 相 关 结 论 及 证 明
结 Ｊｓｓ。 ）∑； ｔｔ ）∑； 且 论１ ． ＝ｏ …∈ ，＝ｏ ∈ ， ￣ （ ｓ （ ｔ
段晓君 ，张增 辉
（ 国防科学技术大学 理学院 ，湖南 长沙 ４ ０ ７ １０ ３）
摘 要 ：在介 绍 了符 号动 力学 系统定义 的基础上 ，利 用级数和 实变函数理论 ，证 明 了符 号动 力学 系统 中与 移位 映射相 关的距 离、周 期点 稠 密性 等 性质 的相 关结论 。 关 键 词 ：符 号动 力 学 ；周期 点 ；稠 密性 中图分类号 ： ９ Ｎ４ 文献标志码 ： Ａ 文章编号 ： ６ ３ ９ ３ （０ ００ －０ ２ ０ １７ － ８ ３２ １）２ ０３ － ２
符号动力学熵
符号动力学熵符号动力学熵是一种描述动力学系统无序程度的数学工具。
这个概念可以用来研究信息理论、统计力学、热力学、量子力学等领域中的问题。
在这篇文章中，我们将简要介绍符号动力学熵的概念、性质和应用。
符号动力学熵是指在符号动力学系统中，单位时间内的平均信息量。
符号动力学系统是一种理论模型，用来描述动力学过程中数字、文本等符号串的演化规律。
系统的状态可以用符号串来表示，每一个符号表示系统某个部分的状态。
符号串是由一些预先定义好的符号组成，如二进制数字、字母字符等。
在符号动力学系统中，我们可以定义一个符号串出现的概率。
如果系统中有n个符号，每个符号出现的概率为p_1, p_2, … p_n，我们就可以计算出任意一个符号串的概率。
在信息理论中，每个符号出现的概率可以看作是信息量。
一个出现概率较低的符号带来的信息量更高。
例如，对于一个二进制数字串00101101，如果我们知道前五位，那么在接下来的三位中出现1的概率为^{3}/_{4}，而在接下来的三位中出现0的概率为^{1}/_{4}。
由于出现0的概率低，当接下来的三位为010时，我们会觉得比接下来三位为101要更惊讶，因为前者出现的概率小，所携带的信息量也更大。
一个系统的符号动力学熵H可以用以下公式来计算：H = -\sum_{i}p_i \log_2(p_i)这里的i表示系统中的每个符号，p_i表示符号i出现的概率，\log_2表示以2为底的对数。
由于p_i是小于等于1的数，并且对数函数的值是负数，所以符号动力学熵是非负的。
符号动力学熵也被称为香农熵或信息熵。
不同的符号串所包含的信息量是不同的。
如果一个符号串的出现概率较高，它所携带的信息量就较小；反之，如果一个符号串的出现概率较低，它所携带的信息量就较大。
符号动力学熵可以用来衡量一个系统的“无序程度”。
如果符号串的出现概率分布较均匀，那么符号动力学熵就比较大，说明系统比较混乱；反之，如果出现概率分布不均匀，符号动力学熵就比较小，说明系统比较有序。
车辆动力学基础符号中英文说明
NSP Neutral steer point
中性转向点
P Pneumatic trail
充气轮胎拖距
Pa Brake application pressure/effort Patm Atmospheric pressure
制动作用压力/制动力 大气压力
Pf Front brake application pressure Pr Rear brake application pressure Ps Static pressure Pt Total pressure PM Aerodynamic pitching moment
空气动力横摆力矩系数 悬架阻尼系数 空气动力横向力矩系数
CP Center of press location of aerodynamic side force 空气动力横向力的压力中心
Lateral distance between steering axis and center of 转向轴和轮胎与地面接触中心之间
对 x 轴的转动惯量 对 y 轴的转动惯量 对 z 轴的转动惯量 回转半径
K Understeer gradient
不足转向梯度
Kat Understeer gradient due to aligning torque
由回正力矩产生的不足转向梯度
Understeer gradient due to lateral load transfer on 由车轴上侧向载荷转移产生的不足
一个轴上轮胎的侧偏刚度
Cα’ Cornering stiffness of on tire CCα Tire cornering coefficient
一个轮胎的侧偏刚度 轮胎侧偏系数
系统动力学模型
如：
用
表示。
系统动力学的建模步骤
例1：建立“一阶库存管理系统”的系统动力学模型，并分析系统 的
动态趋势。
例2,: 建立“二阶库存管理系统”的系统动力学模型，并分析系统 的
动态趋势。
思考题
• 物流系统的系统动力学模型构建
• 决策变量（又称流率）（r）：
描述系统物质流动或信息流动积累效应变化快慢的变 量，其具有瞬时性的特征。
——反映单位时间内物质流动或信息流量的增加或 减少的量
——相对量、速度、微积分中的变化率等
决策变量符号表示：
注 意：
(3) 常数：描述系统中不随时间而变化的量，
用
表示。
如：
(4) 辅助变量：从信息源到决策变量之间，起到辅助表达信息反 馈决策作用的变量。
——流图能反映出物质ห้องสมุดไป่ตู้积累值和积累效应变化快慢的区别
2. 流图 :
流图确定反馈回路中变量状态发生变化的机制，明确表 示系统各元素间的数量关系，反映物质链与信息链的区 别，能够反映物质的积累值及积累效应变化快慢的区别。
(1). 物质链与信息链
物质链：系统中流动的实体，连接状态变量 是不使状态值变化的守恒流。
物质链符号表示：要素A→要素B
• 信息链：连接状态和变化率的信息通道，是与因果关系相连 的信息传输线路。
信息链符号表示：A O···→B
（2）状态变量与决策变量
• 状态变量（又称流位）（x）：
描述系统物质流动或信息流动积累效应的变量，表 征系统的某种属性，有积累或积分过程的量
—— 绝对量、位移、微积分中的积分量等
1. 因果关系图: 2. 因果链：
3. 反馈回路：
综合“因果关系图”：
系统动力学：延迟与平滑
系统动力学
物质延迟的阶次
6
• 阶次的含义在延迟结构中，指的是延迟环节内部包含的水平变量数。 • 下图给出了不同阶次延迟环节的输入量发生突变时，(即为阶跃输入时)，其 相应的输出量的曲线。这是一簇曲线，包括1，2，3，6和12阶延迟的响应。 • 曲线簇表明，l阶与3阶的延迟特性彼此差别很大。1阶延迟表现出简单的指数 形增长的特性，2阶延迟开始表现出S形增长特性，3阶时的S形增长特性已较 明显，6阶与12阶的S形增长特性也就更加突出了。 • 随着阶数的增加，延迟环节的响应的增长模式本质相同，其错开程度取决于 延迟时间。显而易见，l阶与3阶的曲线差别很大，增长模式全然不同，但3阶 曲线与6阶甚至12阶曲线相比则无本质差别，只是程度上差异而已，同样是S 形模式。
系统动力学
信息延迟(续)
12
• 当一变化量增加时，其平滑值也随之增加，但有滞后 现象。
系统动力学
三阶信息延迟函数DLINF3
13
• 可以把数个1阶平滑函数串接成为高阶的信息延迟。 • 如图为三阶信息延迟的流图。图中每一水平变量都力图跟踪前 一级的水平值。 • 利用DYNAMO的三阶信息延迟函数DLINF3，用一个方程式就能代 表。
SYMP与CURE两速率的结构是相 同的，都是[水平]/[时间 常数]。
一阶物质流的延迟环节的输出 变化率取同一类型表达式 LEV.K/DEL，LEV为内部隐 含的水平变量，DEL为延迟 时间。
系统动力学
DELAY3 —— 三阶延迟环节
5
• 同理，可把一阶延迟环节中隐含的一个水平变量再细分成若干个水平变量。 • 假定潜伏期TSS＝3天，可把处潜伏期的人口INC划分为三部分，INCl，INC2 及INC3分别表示处于潜伏期第1天、第2天和第3天的人口。 • 此时由INC到SYMP的延迟称为三阶指数物质延迟，DYNAM0中以DELAY3表示： R SYMP.KL = DELAY3(INF.JK,TSS ) • 注意：一个DELAY3方程等效于3个水平变量方程，三个N方程和三个速率方程 。
复杂系统的动力学理论
复杂系统的动力学理论引言复杂系统的研究已经成为现代科学领域中的热点之一。
复杂系统包含许多相互作用的组成部分，其整体行为往往不容易通过简单的规律进行描述。
在过去几十年中，动力学理论被广泛应用于复杂系统的研究，帮助揭示其内在的规律和行为模式。
本文将介绍复杂系统的动力学理论，并深入探讨其在各个领域中的应用。
1. 复杂系统的定义和特征复杂系统是由许多相互作用的组成部分组成的系统。
这些组成部分可以是物体、人类、生物、社会群体等等。
复杂系统的特征包括以下几个方面：•非线性性：复杂系统的行为通常不是线性的，其响应不随输入的改变而呈线性变化。
•自适应性：复杂系统能够根据外部环境的变化主动调整自身的行为。
•自组织性：复杂系统具有自组织的能力，可以通过自身内部的相互作用形成具有特定结构和功能的组织。
•耦合性：复杂系统中的组成部分之间存在相互作用和依赖关系，相互之间的变化会相互影响。
2. 动力学理论的基本概念动力学理论是研究物体或系统在时间和空间中运动和变化规律的科学。
它通过建立数学模型描述系统的演化和变化过程，以揭示系统的内在机制和行为模式。
在复杂系统的研究中，动力学理论起到了重要的作用。
2.1 状态和相空间在动力学理论中，状态是指描述系统特定时刻下的性质和特征的量。
对于复杂系统而言，状态往往需要多个变量来描述。
相空间是由所有可能的状态组成的空间，在相空间中，系统的演化可以被看作是在状态空间中的轨迹运动。
2.2 相图和相流相图是在相空间中描述系统行为的图形化表示，其中每个点代表一个状态。
相流是描述系统在相空间中的演化和运动的一组微分方程。
通过研究相图和相流，可以揭示系统不同状态之间的转变规律和演化轨迹。
2.3 动力学方程和吸引子动力学方程是描述系统演化的微分方程。
通过求解动力学方程，可以得到系统在不同时刻的状态。
吸引子是相空间中吸引系统轨迹的稳定点或稳定集合。
通过研究吸引子，可以揭示系统的稳定性和演化轨迹。
2.4 非线性动力学和混沌非线性动力学是研究非线性系统演化行为的科学。
系统动力学第三章(2)
16
3.9 模型体系的演进及其应用
4、SD为主体与其他理论、方法的结合 SD为主体与其他理论、 为主体与其他理论 与数理经济学、 （1）SD与数理经济学、计量经济学相结合 ） 与数理经济学 与ห้องสมุดไป่ตู้业关联分析、 （2）SD与产业关联分析、 SD与投入产出分析结合应用 ） 与产业关联分析 与投入产出分析结合应用 （3）SD与优化理论结合 ） 与优化理论结合 （4） SD与自组织理论结合 ） 与自组织理论结合 （5）SD与灰色理论相结合 ） 与灰色理论相结合 （6）SD与图论相结合 ） 与图论相结合
12
3.8 速率与状态关系图
用图表示状态变量（ LEV ）与速率变量（ RATE ）之间关 用图表示状态变量（ 与速率变量（ 之间的函数关系为： 系，RATE与LEV之间的函数关系为： 与 之间的函数关系为
RATE = f (LEV )
速率-状态关系图如下 速率 状态关系图如下
速率图3.6 速率-状态关系图
3
3.7 存量流量图
存量流量图与因果关系图的比较 因果关系图只能描述反馈结构的基本方面， 因果关系图只能描述反馈结构的基本方面 ， 而 存量流量图 不仅能描述反馈结构的基本方面 而且能区别变量的性质。 描述反馈结构的基本方面， 不仅能 描述反馈结构的基本方面 ， 而且能区别变量的性质 。
图3.4 库存系统的因果关系图
17
3.9 模型体系的演进及其应用
5、SD和其他多种方法组成综合模型体系 SD和其他多种方法组成综合模型体系 6、智能化综合系统 智能化综合系统是以SD与复杂系统理论（耗散结构、 智能化综合系统是以 与复杂系统理论（耗散结构、协同 与复杂系统理论 突变论等）相结合建立以SD为核心的模型库 为核心的模型库， 学、突变论等）相结合建立以 为核心的模型库，加上知 识库与数据库等。 识库与数据库等。
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SAVINGS AND INCOME
effort
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钮
1．若有较多的模拟执行，则分析工具是无法运作的。
因此，在实验中，必须仔细地追踪在窗口中所显示的结果。
2．大部分窗口显示有关工作变量的信息。
在窗口中选择一变量，用鼠标双击变量即成工作变量。
3．在分析工具所输出图形左上角功能列如右图，其中最左边的键是删除窗口键。
在其右边则是锁住删除功能键，再按一次则可恢复删除功能。
其右边则是打印机功能键可
以打印此窗口内容。
其右边键则是复制窗口至回纹夹。
最后键则是储存窗口内容于档案。
4．在图形内有多个曲线，这些曲线会使用不同颜色显示。
黑白打印机打印时很难区隔它，因此在Option功能键，选择”Show Line Markers on Graph Lines”可以在曲线上标示不同数字以示区隔。
Status Bar（状态列）。