6-5 两个正态总体均值及方差比的置信区间
《应用统计学》第6章：置信区间估计
20
课堂练习2：
某车床加工的缸套外径尺寸 X~N( μ, σ 2 )，
下面是随机测得的10个加工后的缸套外径尺 寸(mm)，
90.01，90.01，90.02，90.03，89.99
8x9.9980，.00819.97，S 2900.0.001，859302 .01，89.99
的样本， X 和 S2 分别为样本均值和样本方差。
可以证明：
t X ～
S/ n
t(n-1)
因此，对给定的置信度 1-，有
P{t /2 (n 1)
X
S/ n
t / 2 (n 1)}
1
即 P{X t /2(n 1)S / n X t /2(n 1)S / n} 1
由此可得 的置信度为 1- 的置信区间为
可用 Excel 的统计函数 TINV 返回 t (n)。 语法规则如下：
格式：TINV( 2 , n )
功能:返回 t (n)的值。
说明：TINV(, n )返回的是 t/2(n)的值。
17
4. 未知时总体均值 μ 的区间
估计
设总体 X~N( μ, σ 2 )， X1, X2, ···, Xn 为 X 的容量为 n
/2=0.025， n=10， 查表得 t0.025(9)=2.2622
d t /2(n 1)S / n 2.2622 196 .5 / 10 140.6
故所求 的 95% 置信区间为
(x d, x d) (1282.5, 1563.7)
可用 Excel 的【工具】→“数据分析”→“描述统 计”
第6章 置信区间估计
本章教学目标： (1) 单个正态总体均值和方差的区间估计。 (2) 总体比例的区间估计。 (3) 均值和比例置信区间估计中的样本容量
概率论与数理统计-第6章-第6讲-两个正态总体参数的置信区间
[0.3545 , 2.5545]
本讲内容
01 两个正态总体的情形 02 两个正态总体参数的置信区间 03 *6.2.3 单侧置信区间
03 *6.2.3 单侧置信区间
P(ˆ1 ˆ2 ) 1
[θˆ1, θˆ2 ] θ 的置信区间 双侧置信区间
但在某些实际问题中，例如，对于机器设备零部件来说，平均 寿命越长越好，我们关心的是平均寿命的“下限” ；又如，在购 买家具用品时，其中甲醛含量越小越好，我们关心的是甲醛含量均 值的“上限”．这就引出了单侧置信区间的概念．
2 1
2 2
2,
求均值差
1 2 的置信度为0.95 的置信区间;
02 两个正态总体参数的置信区间
解
(1) F0.025 (16, 12) 3.16,
F0.975 (16 ,
12)
1 F0.025 (12 ,
16)
1 2.89
由公式得方差比
2 1
2 2
的置信区间为
S12 S22
F0.975 (n2
12
2 2
n1 n2
P u U u 1,
2
2
( X Y uα 2
σ12 n1
σ
2 2
n2
,X
Y
uα
2
σ12 σ22 ) n1 n2
5
02 两个正态总体参数的置信区间
(2)
2 1
2 2
2
未知，1 2 的置信区间
T
X
Y Sw
(1
1 n1
2)
1 n2
~
t (n1
n2
2)
Sw
估什么？
1 2
2 1
第四节正态总体的置信区间
第四节 正态总体的置信区间与其他总体相比, 正态总体参数的置信区间是最完善的,应用也最广泛。
在构造正态总体参数的置信区间的过程中，t 分布、2χ分布、F 分布以及标准正态分布)1,0(N 扮演了重要角色.本节介绍正态总体的置信区间,讨论下列情形: 1. 单正态总体均值(方差已知)的置信区间; 2. 单正态总体均值(方差未知)的置信区间; 3. 单正态总体方差的置信区间;4. 双正态总体均值差(方差已知)的置信区间;5. 双正态总体均值差(方差未知但相等)的置信区间;6. 双正态总体方差比的置信区间.注: 由于正态分布具有对称性, 利用双侧分位数来计算未知参数的置信度为α-1的置信区间, 其区间长度在所有这类区间中是最短的.分布图示★ 引言★ 单正态总体均值（方差已知）的置信区间★ 例1 ★ 例2★ 单正态总体均值（方差未知）的置信区间 ★ 例3 ★ 例4★ 单正态总体方差的置信区间 ★ 例5 ★ 双正态总体均值差（方差已知）的置信区间 ★ 例6 ★ 双正态总体均值差（方差未知）的置信区间★ 例7 ★ 例8★ 双正态总体方差比的置信区间 ★ 例9 ★ 内容小结 ★ 课堂练习 ★ 习题6-4内容要点一、单正态总体均值的置信区间(1)设总体),,(~2σμN X 其中2σ已知, 而μ为未知参数, n X X X ,,,21 是取自总体X 的一个样本. 对给定的置信水平α-1, 由上节例1已经得到μ的置信区间,,2/2/⎪⎪⎭⎫⎝⎛⋅+⋅-n u X n u X σσαα二、单正态总体均值的置信区间(2)设总体),,(~2σμN X 其中μ,2σ未知, n X X X ,,,21 是取自总体X 的一个样本. 此时可用2σ的无偏估计2S 代替2σ, 构造统计量n S X T /μ-=,从第五章第三节的定理知).1(~/--=n t nS X T μ对给定的置信水平α-1, 由αμαα-=⎭⎬⎫⎩⎨⎧-<-<--1)1(/)1(2/2/n t n S X n t P ,即 ,1)1()1(2/2/αμαα-=⎭⎬⎫⎩⎨⎧⋅-+<<⋅--n S n t X n S n t X P因此, 均值μ的α-1置信区间为.)1(,)1(2/2/⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅-+⋅--n S n t X n S n t X αα三、单正态总体方差的置信区间上面给出了总体均值μ的区间估计，在实际问题中要考虑精度或稳定性时，需要对正态总体的方差2σ进行区间估计.设总体),,(~2σμN X 其中μ,2σ未知,n X X X ,,,21 是取自总体X 的一个样本. 求方差2σ的置信度为α-1的置信区间. 2σ的无偏估计为2S , 从第五章第三节的定理知,)1(~1222--n S n χσ, 对给定的置信水平α-1, 由,1)1()1()1()1(,1)1(1)1(22/12222/222/2222/1αχσχαχσχαααα-=⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧--<<---=⎭⎬⎫⎩⎨⎧-<-<---n S n n Sn P n S n n P 于是方差2σ的α-1置信区间为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----)1()1(,)1()1(22/1222/2n S n n S n ααχχ而方差σ的α-1置信区间.)1()1(,)1()1(22/1222/2⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----n S n n S n ααχχ四、双正态总体均值差的置信区间(1)在实际问题中，往往要知道两个正态总体均值之间或方差之间是否有差异，从而要研究两个正态总体的均值差或者方差比的置信区间。
第二章参数估计
第二章 参数估计【学习目标】1、掌握矩估计的替代原则；会求已知分布中未知参数的矩估计（值）2、熟练掌握极大似然估计的思想及求法3、估计量的评价标准：无偏性、有效性、相合性的定义4、统计量的无偏性的判断；两个无偏估计的有效性判断；会用Fisher 信息量及c-R 下界进行统计量的UMVUE 充分性判断5、掌握区间估计的定义6、单个正态总体均值的区间估计（包括方差已知、方差未知）；单个正态总体方差的区间估计（包括均值已知、均值未知）7、两个正态总体均值差的区间估计（方差未知）；两个正态总体方差比的区间估计 8、单侧置信区间的求法 【典型例题讲解】例1、设1,,n X X 是来自均匀分布(,1)U θθ+的总体的容量为n 的样本，其中θ-∞<<+∞为未知参数，试证：θ的极大似然估计量不止一个，例如1(1)ˆXθ=，2()ˆ1n X θ=-，3(1)()11ˆ()22n XXθ=+-都是θ的极大似然估计。
解：(,1)U θθ+分布的密度函数为11()0x f x θθ≤≤+⎧=⎨⎩其他似然函数(1)()11()0n x x L θθθ≤≤≤+⎧=⎨⎩其他由于在(1)()1n x x θθ≤≤≤+上()L θ为常数，所以凡是满足：(1)()ˆˆ1n x x θθ≤≤≤+的ˆθ均为θ的极大似然估计。
从而（1）1(1)ˆX θ=满足此条件，故1(1)ˆX θ=是θ的极大似然估计；（2）由于()(1)1n X X -≤，故2()(1)()2ˆˆ11n n X X X θθ=-≤≤=+，所以2()ˆ1n Xθ=-为θ的极大似然估计；（3）由于()(1)1n X X -≤，故(1)()(1)12n X X X +-≤，(1)()()12n n X X X ++≥，从而有3(1)()(1)()(1)()31111ˆˆ()()12222n n n XXXXXXθθ=+-≤≤≤++=+，故3ˆθ也为θ的极大似然估计。
6-5 两个正态总体均值及方差比的置信区间
6.5 两个正态总体均值差及 方差比的置信区间
1. 两正态总体均值差 µ1 − µ 2的置信区间
2 σ1 2. 两个总体方差比 2 的置信区间 σ2
3. 小结
设给定置信度为1 − α , 并设 X 1 , X 2 ,⋯, X n 为 第一个总体 N ( µ1 ,σ 1 )的样本 , Y1 ,Y2 ,⋯,Yn 为第二
要点回顾
无偏性 1. 估计量的评选的三个标准 有效性 相合性 2. 置信区间是一个随机区 (θ , θ ), 它覆盖未知参 间 ( 数具有预先给定的概率置信水平) , 即对于任
意的θ ∈Θ, 有 P{θ < θ < θ } ≥ 1−α. 求置信区间的一般步骤(分三步 分三步). 求置信区间的一般步骤 分三步
例4 分别由工人和机器人操作钻孔机在纲部件 上钻孔，今测得所钻的孔的深度（以cm计）如下 上钻孔，今测得所钻的孔的深度（ 计
工人 操作 机器人 操作 4.02 3.64 4.03 4.02 3.95 4.06 4.00 4.01 4.03 4.02 4.01 4.00 3.99 4.02 4.00
2 σ1 , 由 X , Y 的独立性及 X ~ N µ1 , n1 2 2 σ1 σ 2 , + 可知 X − Y ~ N µ1 − µ 2 , n1 n2
2 σ2 , Y ~ N µ2 , n2
或
( X − Y ) − (µ1 − µ 2 ) ~ N (0, 1),
2 s1 s12 1 1 2 , 2 s F (6,7) s F (6,7) = ( 2.87,46.81). 0.95 2 2 0.05
这个区间的下限大于1，在实际中， 这个区间的下限大于 ，在实际中，我们就认为
概率论-6-4单个正态总体的置信区间
§6-1 参数的点估计 §6-2 估计量的评选标准 §6-3 参数的区间估计 §6-4 单个正态总体均值与方差的置信区间 §6-5 两个正态总体均值与方差的置信区间 §6-6 单侧置信限
§6-4 单个正态总体均值的置信区间
均值μ的置信区间
方差 的2 置信区间
设总体 X ~ N (, 2 )，X1, X 2,, X n 为来自总体X的样本. 样本均值：X ，样本方差：S 2 ，给定置信水平为：1
区间，使可信程度为95%。
解：这是 2未知，求 的置信区间
x
1259,
S2
1 4
5 i 1
( xi
x)2
570 4
由1- 0.95，知 0.05
又 t /（2 n 1） t0.02（5 4） 2.776 的置信水平为0.95的置信区间为：
X t / 2 (n 1)
s n
1259
507.1克之间, 这个估计的可信程度为95%.
若依此区间内任一值作为 的近似值,
其误差不大于 6.2022 2.1315 2 6.61 (克). 16
这个误差的可信度为95%.
练习：某仪器间接测量温度，重复测5次：1250℃, 1265 ℃,
1245 ℃, 1260 ℃, 1275 ℃ ，设测量值，求温度真值的置信
解：这是 未知，求 2的置信区间
由 题x
503.75,
S2
1 15
16 i 1
( xi
x)2
6.20222
由1- 0.95，知 0.05
查 表 得 20.02（5 15） 27.488 20.97（5 15） 6.262
的置信水平为0.95的置信区间为：
双正态总体参数的区间估计
双正态总体参数的区间估计双正态总体参数的区间估计是统计学中的一种方法，用于估计由两个正态分布组成的总体的参数。
这种方法适用于当我们需要估计两个总体的平均值或比例时，且这两个总体可以被假定为来自两个不同的正态分布。
下面我们将详细介绍双正态总体参数的区间估计的原理和步骤。
双正态总体参数的区间估计可以分为两种情况：一种是当我们需要估计两个总体的平均值，另一种是当我们需要估计两个总体的比例。
首先，假设我们需要估计两个总体的平均值。
我们可以用样本平均值来估计总体平均值，并通过计算标准误差来构建置信区间。
如果我们假设两个总体的方差相等，则可以使用统计学中的配对t检验方法来进行推断。
具体步骤如下：1.收集样本数据。
从每个总体中随机抽取一定数量的样本，并记录下每个样本的观测值。
2.计算样本平均值。
对于每个总体，计算对应样本的平均值。
3.计算差值。
对于每个配对样本，计算它们的差值。
如果我们关注的是总体平均值的差异，则用两个总体对应样本的平均值之差来作为差值。
4.计算标准差。
计算差值样本的标准差，用来估计差值的标准误差。
5.确定置信水平。
选择一个置信水平，通常为95%。
这意味着我们希望有95%的置信度认为估计的区间包含真实的总体差异。
6.计算临界值。
确定配对t检验的自由度，并使用自由度和置信水平来查找相应的t临界值。
7.构建置信区间。
使用差值平均值±t临界值*标准误差来构建置信区间，这个区间将包含真实的总体差异。
另一种情况是当我们需要估计两个总体的比例。
在这种情况下，我们可以使用两个样本中的比例差异来估计总体的比例差异。
具体步骤如下：1.收集样本数据。
从每个总体中随机抽取一定数量的样本，并记录下每个样本中的成功次数和总次数。
2.计算样本比例。
对于每个总体，计算对应样本的比例，即成功次数除以总次数。
3.计算差异。
对于每个配对样本，计算它们的比例之差。
4.计算标准误差。
计算比例差异样本的标准误差，用来估计比例差异的标准误差。
置信区间PPT精选文档
单样本区间应用－1
• 注塑模压机生产的产品外壳形状直接影响产 品外壳组装。
• 对于上壳的直径目标值为10.88cm，判断其 中设备A所加工的上壳直径平均高度与目标值 是否相同。也就是说，在置信度α=0.05的条件 下，A所模压出产品直径的总体平均值的置信 区间是否包含目标值。
• 抽取模压机A加工的10个外壳并测得直径为： 10.88 10.89 10.87 10.89 10.89 10.86 10.88 10.87 10.86 10.88
10
单样本区间应用－1
• 计算样本数据的均值与标准差
n10 x10.8σ ˆ70 7.0116
• 样本计算的平均值与目标值存在差异， 进一步分析其差异是偶然因素还是特殊 因素造成的。
10.89 10.88
10.87
10.86
设备A
11
单样本区间应用－1
• 计算置信区间
由于σ未知，套用前单元的公式：
置信区间计算公式
备注
（ x y
2
2 1
n1
2 2
n2
，x y
2
2 1
2 2
）
n1 n2
（ x y t SW
2
11 n1 n2
，x y t SW
2
11 ） n1 n2
其中： SW
( n1
1) s12
(n2
1)
s
2 2
n1 n2 2
σ1， σ2 为 总 标 准 差
n1， n2 为 样 本 容 量
置信区间为：
(x snt2 , x snt2)
(10.8770.01162.262, 10.8770.01126.26)2
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1 / 2 的置信水平为0.90的置信区间为
2
2 s 12 s1 1 1 s 2 F ( 6 , 7 ) , s 2 F ( 6 , 7 ) ( 2 . 87 , 46 . 81 ). 0 . 95 2 2 0 .05
这个区间的下限大于1，在实际中，我们就认为
157.5 182.9
设样本分别来自总体
2 2 N ( 1 , ) , N ( 2 , ) , 1 ,
2 ,
2
未知，两样本独立，求
1 2 的置信水
，
平为0.90的置信区间。
解
现在
n1 n 2 5 ,
1 0 . 90 ,
/ 2 0 . 05 ,
n2 8 ,
1 0 .9 ,
/ 2 0 . 05 ,
1 4 . 12 ,
F 0 .05 ( 6 , 7 ) 3 . 87 , F 1 0 .05 ( 6 , 7 )
经计算得 所求的
2
1 F 0 .05 ( 7 , 6 )
s 1 0 . 00189 ,
2
s 2 0 . 00017 ,
随机地取І型子弹10发, 得到枪口速度的平均值为
x 1 500 ( m / s ),标准差 s 1 1 . 10 ( m / s ), 随机地取ІІ
型子弹20发, 得枪口速度平均值为
x 2 496 ( m / s ),
标准差 s 2 1 . 20 ( m / s ), 假设两总体都可认为近似
.
1 2
1 n1 n2 1
16 / 63 ) ,
即
（4.08±7.25）＝（－3.17，11.33）.
例2 测得两个民族中各5位成年人的身高 （以cm计）如下
A民族 B民族 162.6 175.3 170.2 177.8
，
172.7 167.6
165.1 180.3
2
个总体 N ( 2 , 2 )的样本 , X , Y 分别是第一、二个 总体的样本均值 的样本方差 .
讨论两个正态总体均值差和方差比的估计问题.
, S 1 , S 2 分别是第一、二个总体
2
2
1. 两个总体均值差
2 2
1 2 的置信区间
( 1 ) 1 和 2 均为已知
地服从正态分布,且由生产过程可认为它们的方差 相等, 求两总体均值差 信区间. 解 由题意, 两总体样本独立且方差相等(但未知),
1 2的置信度为
0 .95 的置
0.025,
2 查 t ( n 1 ) 分布表可知
2
n1 10 ,
n 2 20 ,
n1 n 2 2 28 ,
解
现在
1 0 . 95 , / 2 0 . 025 ,
t 0 .025 ( n 1 n 2 2 ) t 0 .025 (14 ) 2 . 1448 .
sw
2
( n1 1 ) s1 ( n 2 1 ) s 2
2
2
n1 n 2 2 8 5 . 88 6 7 . 68
经计算
t 0 .05 ( 5 5 2 ) 1 . 8595 .
x 165 . 62 ,
s 1 6 . 05 ,
y 176 . 78 ,
4( s1 s 2 )
2 2
s 2 5 . 86 ,
2 x y 11.16 , s w
( 5 . 96 )
2
8
得 1 2 的一个置信水平为0.90的置信区间为
2 2
6 . 71 .
2
14
1 1 由 X Y t / 2 ( n 1 n 2 2 ) S w 得所求 n1 n 2 的一个置信水 平为0.95的置信区间为
x y t 0 .025 ( n 1 n 2 2 ) s w
(43.71 - 39.63 2.1448 6.71
2 1 , X ~ N 1, n1
2 2 , Y ~ N 2, n2
可知
2 2 1 2 , X Y ~ N 1 2, n1 n2
或
X
Y 1 2
1
2
2 2
s 1 0 . 34 ( mm ),
F / 2 ( n 1 1 , n 2 1 ) F 0 . 05 ( 17 , 12 ) 2 . 59 , F1 / 2 ( 17 , 12 ) F 0 . 95 ( 17 , 12 )
11 . 16 1 . 8595 5 . 96
1
1 ( 11 . 16 7 . 01 ) 5 5
即 （－18.17，－4.15）. 这个区间的上限小于零，在实际中我们就认为 比 小。
1
2
例3
为比较І, ІІ两种型号步枪子弹的枪口速度,
~ F ( n 1 1 , n 2 1 ),
( n1 1 ) S 1
即 S1 S2
2 2
2
1 2
2 2
1 2
2 2
( n1 1 )
( n2 1) S 2
2
~ F ( n1 1 , n 2 1 ),
( n2 1)
2 2 S1 1 P F1 / 2 ( n 1 1 , n 2 1 ) F / 2 ( n 1 1 , n 2 1 ) 2 2 S2 2
推导过程如下:
由于
( n1 1 ) S 1
2
1
2
~ ( n 1 1 ),
2
( n2 1) S 2
2
2
2
~ ( n 2 1 ),
2
且由假设知
( n1 1 ) S 1
2
1
2
与
S1 S2
2 2
( n2 1) S 2
2
2
1 2
2 2
2
相互独立 ,
根据F分布的定义, 知
1 2的一个置信度为
1 的置信区间
2 2 1 2 X Y z /2 n1 n2
.
推导过程如下:
因为 X , Y 分别是 1 , 2 的无偏估计 所以 X Y 是 1 2 的无偏估计 ,
,
由 X , Y 的独立性及
和 N (
2
,
2
2
)，两总体方差相同，两
值差
样本相互独立，
1 ， 2，
均未知。求两总体均
1 2
的置信水平为0.95的置信区间。
连续训练
样本容量 样本均值 样本标准差
间断训练
n1 9
n2 7
x 43 . 71
s 1 5 . 88
y 39 . 63
s 2 7 . 68
从正态分布
N ( 1 , ), N ( 2 , ), i , i ( i 1 , 2 )
2 1 2 2
2
均未知, 求方差比 区间. 解 n 1 18 ,
2
1
2
2 的置信度为
2
0 .90 的置 信
n 2 13 ,
2
0 . 10 ,
s 2 0 . 29 ( mm ),
6.5 两个正态总体均值差及 方差比的置信区间
1.
两正态总体均值差
1 2的置信区间
2.
两个总体方差比
1 2
2 2
的置信区间
3. 小结
设给定置信度为 第一个总体
1 , 并设 X 1 , X 2 , , X n 为
2
N ( 1 , 1 )的样本 , Y 1 , Y 2 , , Y n 为第二
要点回顾
1. 估计量的评选的三个标准
2 . 置信区间是一个随机区 数具有预先给定的概率
无偏性 有效性 相合性 间 ( , ), 它覆盖未知参
( 置信水平 ) , 即对于任
意的 , 有 P { } 1 .
求置信区间的一般步骤(分三步).
3 . 单个正态总体均值
的置信区间 2 z / 2 . ( 1 ) 为已知 , X n ( 2 ) 2为未知 , X S t ( n 1 ) . /2 n
4 . 单个正态总体方差
的置信区间
2
2 ( n 1) S 2 ( n 1) S 2 . , 2 ( n 1 ) 1 / 2 ( n 1 ) /2
2 S12 1 S1 1 2 . , S F ( n 1, n 1 ) S 2 F ( n1 1 , n 2 1 ) 2 1 / 2 2 /2 1 2
例4 分别由工人和机器人操作钻孔机在纲部件 上钻孔，今测得所钻的孔的深度（以cm计）如下
工人 操作 机器人操 作 4.02 3.64 4.03 4.02 3.95 4.06 4.00
2
2
~ N 0 , 1 ,
n1
n2
1 的置信区间
于是得 1 2 的一个置信度为
2 2 1 2 X Y z /2 n1 n2
.
( 2 ) 1 和 2 均为未知 , 只要 n 1 和 n 2 都很大 ( 50 即可 ), 则有
2 2
1 2的一个置信度为