第四节正态总体的置信区间
正态分布总体 总体均值已知 方差的置信区间
正态分布总体总体均值已知方差的置信区间【文章开头】一、引言在统计学中，正态分布总体是相当常见的一种总体类型。
当我们需要对一个正态分布总体的总体均值进行推断时，有时候我们会面临到总体均值已知，但方差未知的情况。
对于这样的情况，我们可以使用置信区间来进行推断。
二、什么是置信区间？置信区间是指在统计推断中，对总体参数的估计范围。
通常，我们会给出一个置信水平，比如95%的置信水平，表示对总体参数的估计有95%的把握是正确的。
置信区间由一个下限和一个上限组成，表示总体参数可能落在这个范围内的概率。
三、正态分布总体的总体均值已知的情况下，方差的置信区间如何计算？当正态分布总体的总体均值已知时，我们可以使用样本标准差来作为总体方差的估计。
我们可以利用样本大小、置信水平和样本标准差来计算方差的置信区间。
四、计算步骤1. 收集样本数据：从正态分布总体中随机抽取样本，并记录样本数据。
2. 计算样本标准差：利用样本数据计算样本标准差。
样本标准差是总体方差的一个无偏估计。
3. 确定置信水平：根据需要的置信水平，确定置信水平对应的临界值。
临界值可以从统计表中查找。
4. 计算置信区间：利用样本大小、样本标准差和置信水平的临界值，计算方差的置信区间。
五、示例假设我们想研究某种药物对血压的影响。
我们从正态分布的总体中随机抽取了100个样本，并记录了每个样本的血压数据。
我们已知总体均值为120，方差未知。
现在，我们想要计算方差的95%置信区间。
1. 收集样本数据：从正态分布总体中随机抽取100个样本，并记录血压数据。
2. 计算样本标准差：利用样本数据计算样本标准差。
假设计算得到样本标准差为10。
3. 确定置信水平：我们希望得到95%的置信区间，因此置信水平为0.95。
4. 计算置信区间：根据样本大小100，样本标准差10，和置信水平0.95的临界值，我们可以计算得到方差的置信区间。
【文章主体】六、方差的置信区间是如何帮助我们进行推断的？方差的置信区间为我们提供了一个总体参数可能的取值范围。
置信区间的概念[1]
![置信区间的概念[1]](https://img.taocdn.com/s3/m/572dde0eff00bed5b8f31d0f.png)
[X
z 2 , X
Z 1.96 ，由此得置信区间：
2
z 2 ]
18
2、未知σ2时，μ的置信区间 当总体X的方差未知时， 容易想到用样本方差Ѕ 2代替σ2。 X T ~ t (n 1) 已知 2 S n X t (n 1)} 1 则对给定的α，令 P{ S 2 2 n 查t 分布表，可得 t (n 1) 的值。 2 S S P{ X t 2 (n 1) X t 2 (n 1)} 1 n n
例2
已知某种油漆的干燥时间X（单位:小时）
服从正态分布 X ~ N ( ,1), 其中μ未知,现在抽取 25个样品做试验， 得数据后计算得 1 n x xk 6 25 k 1
取 0.05 (1 0.95), 求μ的置信区间。
解
z z0.025 1.96 n 25 x 6
这种形式的估计称为区间估计.
使我们能以比 也就是说，我们希望确定一个区间， 较高的可靠程度相信它包含真参数值.
这里所说的“可靠程度”是用概率来度量的， 称为置信概率，置信度或置信水平. 习惯上把置信水平记作 1 ，这里 是一个很小 2 的正数，称为显著水平。
定义7.6 若由总体X的样本 X1,X2,…Xn 确定的
1 ( x1 , x2 , xn ), 2 ( x1, x2 , xn ) 都是常数。 [1 , 2 ] 为常数区间。
3
定义7.7
设 是总体X的 一个未知参数，
若存在随机区间 [1 ,2 ], 对于给定的 0 1, 若满足
P{1 2 } 1
T X S
2
~ t (n 1)
7.4 正态总体的置信区间
课堂练习
随机地取炮弹 10 发做试验，得炮口速度 的标准差 s 11( m s ) , 炮口速度服从正态分布 . 求这种炮弹的炮口速度的标准差 σ 的置信水 平为0.95 的置信区间.
随机地取炮弹 10 发做试验，得炮口速度的 标准差 s 11( m s ) , 炮口速度服从正态分布. 求这 种炮弹的炮口速度的标准差 σ 的置信水平为0.95 的置信区间.
( xi ) i 1 2 ( n) 1 2
n 2
这里
χ
2 0.025
α 2 0.025,1 α 2 0.975, n 1 9,
2 χ (9) 19.023, 0.975 (9) 2.700, s 11.
于是得到 σ的置信水平为 0.95 的置信区间为
( n 1s
2 χα 2 ( n 1)
,
n 1s χ12 α 2 ( n 1)
对给定的置信水平
1,
2
查标准正态分布表得 u
,
X 使 P {| | u 2 } 1 n
从中解得
P{ X
n
u 2 X
n
u 2 } 1
P{ X z X z } n n 1
2 2
则的一个置信度为1- 的 置信区间为
2 2
σ2
μ未知
n ( xi ) 2 i 1 , 2 ( n) 2
(n 1)S 2 ~ (n 1) 2
2
(n 1) S 2 (n 1) S 2 2 , 2 (n 1) (n 1) 1 2 2
给定置信度1-, X1, X2,…, Xn是来自N(,2)的样本,
第2章 第4节 置信区间与假设检验
且
Cov ( ui , u j ) E ( ui u j ) 0,
u 正态假定理由如下： uii 的 的正态假定理由如下：
1．ui 代表回归模型中未包含的变量的集合。 这些未引入的变量的影响是微弱的和随机的。根 据中心极限定理，如果存在大量独立且同分布的 随机变量，随着这些变量个数的增大，它们的总 和将趋向正态分布。 2．即使变量个数不是很大或这些变量不是严 格独立的，它们的总和仍可视同正态分布。
同理我们可得到的 β1置信度为(1-α)的置信区间：
( ( ˆ t ( n 2) Se ˆ ), ˆ t ( n 2) Se ˆ ) 1 1 /2 1 1 /2
例如，在例 2.1 中，我们得到 ˆ 0.7616 2 ˆ ) 0.0149 Se(
置信下限
置信上限
需要指出的是，给定样本，给定置信水平 ， 置信区间不是唯一的. 对同一个参数，我们可以 构造许多置信区间. 在概率密度为单峰且对称的情形，取对称的 分位点求得的置信区间的长度为最短.
三、 ui 正态性假定和普通最小二乘估计量
ˆ , ˆ 和 2 的性质 ˆ 1 2
（一）ui 正态性假定 在回归分析中，我们的目的不仅仅是得到 j ，
ˆ 推断 。因此，我们需要得到 ˆ 的置 而且要用 j j j
信区间，通过置信区间去判断这种推断的可靠性。
ˆ 的概率分布。 这就需要 j
ˆ 是Yi 的线性函数， 在最小二乘估计式中， j ˆ 的置信 从而也就是 ui 的线性函数。要推 断 j
区间，我们就必须获得 ui 的概率分布。 在回归分析中，人们常常假定 ui 服从正态 分布。即
置信区间计量经济学
置信区间计量经济学置信区间是统计学中常用的一个概念，它是指对一个未知参数的估计结果进行的一种区间限制。
在计量经济学中，置信区间的应用非常广泛，它可以帮助研究者进行有效的假设检验和推断，从而得出更加可靠的研究结论。
在计量经济学中，通常通过样本数据来对总体参数进行估计。
例如，如果我们想知道某个城市的平均收入水平，我们可以通过对该城市的样本数据进行收入调查来获得一个估计值。
然而，每个样本数据都不完全准确，因此我们需要对估计结果进行一定的限制，从而得出一个有一定置信度的估计区间。
这个区间就被称为置信区间。
置信区间的计算方法一般是基于标准误差和样本大小来进行的。
在计量经济学中，我们通常使用t分布或者正态分布来计算置信区间。
如果我们使用t分布，那么计算置信区间的公式如下：CI = x̄± tα/2 * SE其中，CI表示置信区间，x̄表示样本均值，tα/2表示t分布的分位数，SE表示标准误差。
如果我们使用正态分布，那么计算置信区间的公式如下：CI = x̄± zα/2 * SE其中，CI、x̄和SE的含义同上，zα/2表示正态分布的分位数。
需要注意的是，t分布的使用前提是样本容量必须足够大，否则就要使用正态分布。
置信区间的意义在于，它能够帮助我们对估计结果进行一定的限制，从而使得研究者更加有信心地得出结论。
例如，如果我们计算出了某个城市的平均收入水平的置信区间为（5000，6000），那么我们可以判断的是，如果我们用同样的方法再次对该城市进行调查，我们有95%的把握，样本均值会在5000到6000之间。
换言之，我们可以相当确定地认为，该城市的平均收入水平在5000到6000元之间。
需要注意的是，在使用置信区间进行假设检验时，我们通常会对一个未知参数提出假设，然后根据计算出的置信区间来判断这个假设的成立情况。
如果置信区间与假设中的值有较大差距，那么我们就可以拒绝这个假设，并得出结论。
因此，置信区间能够帮助我们进行有效的假设检验和推断，从而得出更加合理和可靠的研究结论。
正态近似法估计总体率的置信区间
正态近似法估计总体率的置信区间正态近似法估计总体率的置信区间【导语】在统计学中，我们常常需要估计总体参数，如总体率或总体均值。
为了对估计结果的准确性进行评估，我们需要计算出一个置信区间。
本文将介绍一种常用的方法——正态近似法，用于估计总体率的置信区间。
通过掌握这种方法，我们能够更好地理解和解释样本数据，并对总体参数进行准确的推断。
【1. 介绍】总体率是指在总体中具有某一属性的个体所占的比例。
我们想要了解某种药物的治愈率，即可以使用总体率的估计方法。
一般情况下，我们无法直接获得总体所有个体的信息，因此需要通过从总体中抽取样本来进行估计。
【2. 正态近似法的基本原理】正态近似法是一种常用的估计总体率置信区间的方法。
其基本原理是假设样本中符合某个二项分布，然后根据中心极限定理，利用正态分布来近似这个二项分布，从而得到总体率的置信区间。
【3. 置信区间的计算】在正态近似法中，首先需要确定样本中符合二项分布的事件发生的概率p。
我们可以根据样本的大小n和事件发生的次数k，来估计总体率的点估计p̂（即k/n）。
接下来，我们需要计算标准误差（Standard Error），表示估计值p̂的不确定性。
标准误差的计算可以使用以下公式：SE = sqrt((p̂*(1-p̂))/n)。
我们使用标准正态分布的分位点来确定置信水平对应的临界值。
常见的置信水平有95%和99%，对应的临界值分别为1.96和2.58。
我们可以使用以下公式计算置信区间的下限和上限：下限 = p̂ - (临界值 * SE)上限 = p̂ + (临界值 * SE)【4. 实例分析】为了更好地理解正态近似法估计总体率的置信区间，我们以一个实例进行分析。
假设某医院对200个患者随机进行了调查，统计发现其中有50个患者生完孩子后没有产生并发症。
现在，我们想要估计该医院产生并发症的总体率，并给出其置信区间。
根据上述计算步骤，我们可以得到以下结果：- 点估计p̂ = 50/200 = 0.25- 标准误差SE = sqrt((0.25*(1-0.25))/200) ≈ 0.030- 临界值(95%置信水平) ≈ 1.96- 置信区间下限≈ 0.25 - (1.96 * 0.030) ≈ 0.19- 置信区间上限≈ 0.25 + (1.96 * 0.030) ≈ 0.31我们可以得出结论：该医院产生并发症的总体率的置信区间为[0.19, 0.31]，置信水平为95%。
标准正态分布的置信区间
标准正态分布的置信区间标准正态分布是统计学中非常重要的一个分布，它是指均值为0，标准差为1的正态分布。
在实际的统计分析中，我们经常需要对样本数据进行推断，而置信区间就是用来估计总体参数的范围。
在本文中，我们将介绍如何利用标准正态分布来计算置信区间。
首先，我们需要明确什么是置信区间。
置信区间是用来估计总体参数的范围，它可以告诉我们总体参数落在一个区间内的概率有多大。
在统计学中，常用的置信水平有95%和99%。
以95%置信水平为例，如果我们得到一个95%置信区间为（a，b），那么意味着有95%的概率总体参数落在a和b之间。
接下来，我们将介绍如何利用标准正态分布来计算置信区间。
首先，我们需要明白标准正态分布的性质。
标准正态分布的概率密度函数是一个钟形曲线，均值为0，标准差为1。
利用标准正态分布的性质，我们可以计算出给定置信水平下的临界值。
在95%置信水平下，临界值为±1.96；在99%置信水平下，临界值为±2.58。
然后，我们可以利用样本数据来计算置信区间。
假设我们有一个样本数据，我们可以计算出样本均值和标准差。
接着，我们可以利用样本均值和标准差来计算标准误差，标准误差是总体标准差的估计量。
最后，我们可以利用标准误差和临界值来计算置信区间。
举个例子来说明，假设我们有一个样本数据，样本均值为10，样本标准差为2，样本容量为100。
我们希望计算出95%置信水平下的置信区间。
首先，我们可以计算出标准误差，标准误差等于标准差除以样本容量的平方根，即2/√100=0.2。
然后，我们可以利用标准误差和临界值来计算置信区间，即10-1.960.2到10+1.960.2，最终得到的置信区间为（9.6，10.4）。
在实际的统计分析中，我们经常需要计算置信区间来估计总体参数的范围。
利用标准正态分布来计算置信区间是一种常用且有效的方法。
通过本文的介绍，相信读者对于标准正态分布的置信区间有了更深入的理解。
数理统计正态总体的置信区间
§4 正态总体的置信区间
的置信度为1 置信区间为
查表得
(n
2 /
1)S 2 2(n 1)
,
(n
2 1
/2
1)S 2 (n 1)
.
2 0.1 /
2
(25
1)
36.42,
2 10.1 /
2
(25
1)
13.85,
于是, 置信下限和置信上限分别为
24122 / 36.42 9.74, 24 122 / 13.85 15.80,
/
2
(n
1)
§4 正态总体的置信区间
例1 某旅行社为调查当地旅游才的平均消费额, 随
机访问了100名旅游者, 得知平均消费额 x 80 元.
根据经验, 已知旅游者消费服从正态分布, 且标准
差 12 元, 求该旅游者平均消费额 的置信度
为95%置信区间.
§4 正态总体的置信区间
解 对于给定的置信度
1, 2, 2 的无偏估计分别为
且
X
1
n1
n1 i 1
Xi
,
Y
1
n2
n2
Yj
j 1
,
S2
(n1
1)
S12
(n2
1)
S
2 2
n1 n2 2
( X Y ) (1 2) ~ t(n1 n2 2)
S
1
n1
1
n2
故
P(
改1 为的分2置位信形数度式为上有的1置 信区间为
X
Y
)
t
(n1n(2(12X)S2Y)n1)~1(tXn12/
所求 的90%置信区间为 (9.74,15.80).
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第四节 正态总体的置信区间与其他总体相比, 正态总体参数的置信区间是最完善的,应用也最广泛。
在构造正态总体参数的置信区间的过程中，t 分布、2χ分布、F 分布以及标准正态分布)1,0(N 扮演了重要角色.本节介绍正态总体的置信区间,讨论下列情形: 1. 单正态总体均值(方差已知)的置信区间; 2. 单正态总体均值(方差未知)的置信区间; 3. 单正态总体方差的置信区间;4. 双正态总体均值差(方差已知)的置信区间;5. 双正态总体均值差(方差未知但相等)的置信区间;6. 双正态总体方差比的置信区间.注: 由于正态分布具有对称性, 利用双侧分位数来计算未知参数的置信度为α-1的置信区间, 其区间长度在所有这类区间中是最短的.分布图示★ 引言★ 单正态总体均值（方差已知）的置信区间★ 例1 ★ 例2★ 单正态总体均值（方差未知）的置信区间 ★ 例3 ★ 例4★ 单正态总体方差的置信区间 ★ 例5 ★ 双正态总体均值差（方差已知）的置信区间 ★ 例6 ★ 双正态总体均值差（方差未知）的置信区间★ 例7 ★ 例8★ 双正态总体方差比的置信区间 ★ 例9 ★ 内容小结 ★ 课堂练习 ★ 习题6-4内容要点一、单正态总体均值的置信区间(1)设总体),,(~2σμN X 其中2σ已知, 而μ为未知参数, n X X X ,,,21 是取自总体X 的一个样本. 对给定的置信水平α-1, 由上节例1已经得到μ的置信区间,,2/2/⎪⎪⎭⎫⎝⎛⋅+⋅-n u X n u X σσαα二、单正态总体均值的置信区间(2)设总体),,(~2σμN X 其中μ,2σ未知, n X X X ,,,21 是取自总体X 的一个样本. 此时可用2σ的无偏估计2S 代替2σ, 构造统计量n S X T /μ-=,从第五章第三节的定理知).1(~/--=n t nS X T μ对给定的置信水平α-1, 由αμαα-=⎭⎬⎫⎩⎨⎧-<-<--1)1(/)1(2/2/n t n S X n t P ,即 ,1)1()1(2/2/αμαα-=⎭⎬⎫⎩⎨⎧⋅-+<<⋅--n S n t X n S n t X P因此, 均值μ的α-1置信区间为.)1(,)1(2/2/⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅-+⋅--n S n t X n S n t X αα三、单正态总体方差的置信区间上面给出了总体均值μ的区间估计，在实际问题中要考虑精度或稳定性时，需要对正态总体的方差2σ进行区间估计.设总体),,(~2σμN X 其中μ,2σ未知,n X X X ,,,21 是取自总体X 的一个样本. 求方差2σ的置信度为α-1的置信区间. 2σ的无偏估计为2S , 从第五章第三节的定理知,)1(~1222--n S n χσ, 对给定的置信水平α-1, 由,1)1()1()1()1(,1)1(1)1(22/12222/222/2222/1αχσχαχσχαααα-=⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧--<<---=⎭⎬⎫⎩⎨⎧-<-<---n S n n Sn P n S n n P 于是方差2σ的α-1置信区间为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----)1()1(,)1()1(22/1222/2n S n n S n ααχχ而方差σ的α-1置信区间.)1()1(,)1()1(22/1222/2⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----n S n n S n ααχχ四、双正态总体均值差的置信区间(1)在实际问题中，往往要知道两个正态总体均值之间或方差之间是否有差异，从而要研究两个正态总体的均值差或者方差比的置信区间。
设X 是总体),(211σμN 的容量为1n 的样本均值, Y 是总体),(222σμN 的容量为2n 的样本均值, 且两总体相互独立, 其中2221,σσ已知.因X 与Y 分别是1μ与2μ的无偏估计, 从第五章第三节的定理知),1,0(~//)()(22212121N n n Y X σσμμ+---对给定的置信水平α-1, 由,1//)()(2/22212121ασσμμα-=⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧<+---u n n Y X P可导出21μμ-的置信度为α-1的置信区间为.,2221212/2221212/⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⋅+-+⋅--n n u Y X n n u Y X σσσσαα五、双正态总体均值差的置信区间(2)设X 是总体),(21σμN 的容量为1n 的样本均值, Y 是总体),(22σμN 的容量为2n 的样本均值, 且两总体相互独立, 其中1μ,2μ及σ未知.从第五章第三节的定理知).2(~/1/1)()(212121-++---=n n t n n S Y X T w μμ其中.212122212212112S n n n S n n n S w -+-+-+-=对给定的置信水平α-1, 根据t 分布的对称性, 由,1)}2(|{|212/αα-=-+<n n t T P可导出21μμ-的α-1置信区间为.11))2()(,11))2()(21212/21212/⎪⎪⎭⎫+⋅-++- ⎝⎛+⋅-+--n n S n n t Y X n n S n n t Y X w w αα六、双正态总体方差比的置信区间设21S 是总体),(211σμN 的容量为1n 的样本方差, 22S 是总体),(222σμN 的容量为2n 的样本方差, 且两总体相互独立, 其中222211,,,σμσμ未知. 21S 与22S 分别是21σ与22σ的无偏估计, 从第五章第三节的定理知),1,1(~212221212--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=n n F S S F σσ对给定的置信水平α-1, 由,1)}1,1()1,1({212/212/1ααα-=--<<---n n F F n n F P ,1)1,1(1)1,1(12221212/122212221212/ασσαα-=⎭⎬⎫⎩⎨⎧⋅--<<⋅---S S n n F S S n n F P 可导出方差比2221/σσ的α-1置信区间为.)1,1(1,)1,1(12221212/12221212/⎪⎪⎭⎫⎝⎛⋅--⋅---S S n n F S S n n F αα例题选讲单正态总体均值（方差已知）的置信区间例1(E01) 某旅行社为调查当地一旅游者的平均消费额, 随机访问了100名旅游者, 得知平均消费额80=x 元. 根据经验, 已知旅游者消费服从正态分布, 且标准差12=σ元, 求该地旅游者平均消费额μ的置信度为95%的置信区间.解 对于给定的置信度 ,95.01=-α ,05.0=α ,025.02/=α查标准正态分布表,96.1025.0=u 将数据,100=n ,80=x ,12=σ ,96.1025.0=u 代入nu x σα⋅±2/计算得μ的置信度为95%的置信区间为),4.82,6.77( 即在已知12=σ情形下, 可以95%的置信度认为每个旅游者的平均消费额在77.6元至82.4元之间.例2 设总体),,(~2σμN X 其中μ未知, .42=σ n X X ,,1 为其样本. (1) 当16=n 时, 试求置信度分别为0.9及0.95的μ的置信区间的长度. (2) n 多大方能使μ的90%置信区间的长度不超过1? (3) n 多大方能使μ的95%置信区间的长度不超过1? 解 (1) 记μ的置信区间长度为A, 则)/()/(2/2/n u X n u X σσαα⋅--⋅+=∆,22/n u σα⋅=于是当%901=-α时, ,65.116/265.12=⨯⨯=∆ 当%951=-α时, .96.116/296.12=⨯⨯=∆(2) 欲使,1≤∆ 即,1/22/≤⋅n u σα 必须,)2(22/ασu n ≥ 于是, 当%901=-α时,,)65.122(2⨯⨯≥n 即,44≥n 即n 至少为44时, μ的90%置信区间的长度不超过1. (3) 当%951=-α时，类似可得.62≥n注: ① 由(1)知, 当样本容量一定时, 置信度越高, 则置信区间长度越长, 对未知参数的估计精度越低.② 在置信区间的长度及估计精度不变的条件下, 要提高置信度, 就须加大样本的容量,n 以获得总体更多的信息.单正态总体均值（方差未知）的置信区间例3(E02) 某旅行社随机访问了25名旅游者, 得知平均消费额80=x 元, 子样标准差12=s 元, 已知旅游者消费额服从正态分布, 求旅游者平均消费额μ的95%置信区间.解 对于给定的置信度),05.0%(95=α,0639.2)24()1(025.02/==-t n t α将,80=x ,12=s ,25=n ,0639.2)24(025.0=t 代入计算得μ的置信度为95%的置信区间为,05.75(),95.84 即在2σ未知情况下, 估计每个旅游者的平均消费额在75.05元至84.95元之间, 这个估计的可靠度是95%.注: 与例1相比, 在标准差σ未知时, 用样本的标准差S 给出的置信区间偏差不太大.例4 (E03) 有一大批袋装糖果. 现从中随机地取16袋, 称得重量(以克计)如下:506 508 499 503 504 510 497 512 514 505 493 496 506 502 509 496设袋装糖果的重量近似地服从正态分布, 试求总体均值μ的置信水平为0.95的置信区间.解 ,95.01=-α ,025.02/=α ,151=-n ,1315.2)15(025.0=t由给出的数据算得,75.03.5=x .2022.6=s 可得到均值μ的一个置信水平为0.95的置信区间为),16/2022.61315.275.503(⨯± 即).1.507,4.500(这就是说, 估计袋装糖果重量和均值在500.4克与507.1克之间, 这个估计的右信程度为95%. 若以此区间内任一值作为μ的近似值, 其误差不大于61.616/2022.61315.22=⨯⨯(克)这个误差估计的可信程度为95%.单正态总体方差的置信区间例5 (E04) 为考察某大学成年男性的胆固醇水平, 现抽取了样本容量为25的一样本, 并测得样本均值,186=x 样本标准差12=s . 假定所论胆固醇水平),,(~2σμN X μ与2σ均未知. 试分别求出μ以及σ的90%置信区间.解 μ的置信度为α-1的置信区间为./)1((2/n s n t x ⋅-±α按题设数据,1.0=α,186=x ,12=s ,25=n 查表得,7109.1)125(2/1.0=-t 于是,106.425/127109.1/)1(2/=⨯=⋅-n s n t α 即).11.190,89.181(σ的置信度为α-1置信区间为.)1()1(,)1()1(22/1222/2⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----n S n n S n ααχχ 查表得,85.13)125(,42.36)125(22/1.0122/1.0=-=--χχ 于是, 置信下限和置信上限分别为,74.942.36/12242=⨯,80.1585.13/12242=⨯所求σ的90%置信区间为).80.15,74.9(双正态总体均值差（方差已知）的置信区间例6 (E05) 2003年在某地区分行业调查职工平均工资情况: 已知体育、卫生、社会福利事业职工工资X (单位: 元));218,(~21μN 文教、艺术、广播事业职工工资Y (单位: 元)),227,(~22μN 从总体X 中调查30人, 平均工资1272元, 求这两大类行业职工平均工资之差的99%的置信区间.解 由于,99.01=-α 故,01.0=α 查表得,576.2005.0=u又,251=n ,302=n ,218221=σ ,227222=σ ,1286=x ,1272=y于是21μμ-的置信度为99%的置信区间为],96.168,96.140[- 即两大类行业职工平均工资相差在96.140-96.168~之间, 这个估计的置信度为99%.双正态总体均值差（方差未知）的置信区间例7 (E06) A , B 两个地区种植同一型号的小麦. 现抽取了19块面积相同的麦田, 其中9块属于地区A , 另外10块属于地区B , 测得它们的小麦产量(以kg 计)分别如下:地区A : 100, 105, 110, 125, 110, 98, 105, 116, 112;地区B : 101, 100, 105, 115, 111, 107, 106, 121, 102, 92. 设地区A 的小麦产量),,(~21σμN X 地区B 的小麦产量),(~22σμN Y , 1μ,2μ,2σ均未知. 试求这两个地区小麦的平均产量之差21μμ-的90%置信区间.解 由题意知所求置信区间的两个端点分别为.11)2()(21212/n n S n n t Y X w +⋅⋅-+±-α 由,1.0=α ,91=n ,102=n 查表得,7396.1)17(2/1.0=t 按已给数据计算得,109=x ,106=y ,8/55021=s ,9/60622=s,682)1()1(212222112=-+-+-=n n s n s n s w,246.8=w s于是置信下限为 ,59.310191246.87396.1)106109(-=+⨯⨯-- 置信上限为 ,59.910191246.87396.1)106109(=+⨯⨯+- 故均值差21μμ-的90%的置信区间为).59.9,59.3(-例8 为比较I, II 两种型号步枪子弹的枪口速度, 随机地取I 型子弹10发, 得到枪口速度的平均值为 )/(5001s m x =, 标准差)/(10.11s m s =, 随机地取II 型子弹20发, 得到枪口速度的平均值为)./(4962s m x = 标准差)./(20.12s m s =假设两总体都可认为近似地服从正态分布. 且由生产过程可认为方差相等. 求两总体均值差21μμ-的一个置信水平为0.95的置信区间.解 按实际情况, 可认为分别来自两个总体的样本是相互独立的, 且两总体的方差相等, 但数值未知, 由于,95.01=-α ,025.02/=α,101-n ,202=n ,28221=-+n n ,0484.2)28(025.0=t,28/)20.11910.19(222⨯+⨯=w s .12==w w s s ,1688故所求的两总体均值差21μμ-的一个置信水平为0.95的置信区间是),93.04(201101)28(025.021±=⎪⎪⎭⎫⎝⎛+⨯±-t s x x w 即).93.4,07.3( 注: 本题中得到的置信区间的下限大于零, 在实际中我们就认为1μ比2μ大，即Ⅰ型子弹的枪口速度大于Ⅱ型子弹的枪口速度.双正态总体方差比的置信区间例9(E07) 某钢铁公司的管理人员为比较新旧两个电炉的温度状况, 他们抽取了新电炉的31个温度数据及旧电炉的25个温度数据, 并计算得样本方差分别为7521=s 及10022=s . 设新电炉的温度),(~211σμN X , 旧电炉的温度),(~222σμN Y . 试求2221/σσ的95%置信区间.解 2221/σσ的α-1置信区间的两个端点分别是22211212/))1,1((s s n n F ⋅---α与,)1,1(2221122/s s n n F ⋅--α ,05.0=α ,311=n ,252=n查表得,21.2)24,30(2/05.0=F .14.2)30,24(2/05.0=F于是置信下限为,34.01007521.21=⨯ 置信上限为,61.11007514.2=⨯所求置信区间为).61.1,34.0(注: 在内容小结中分别总结了有关单正态总体参数和双正态总体参数的置信区间, 以方便查用.课堂练习1. 已知某地区农户人均生产蔬菜量为X (单位:kg), 且),,(~2σμN X 现随机抽取9个农户, 得人均生产蔬菜量为75, 143, 156, 340, 400, 287, 256, 244, 249问该地区农户人均生产蔬菜量最多为多少)05.0(=α?2. 为了考察温度对某物体断裂强度的影响, 在70℃与80℃时分别重复了8次试验,测试值的样本方差依次为,8266.0,8857.02221==s s假定70℃下的断裂强度),,(~211σμN X 80℃下的断裂强度),,(~222σμN Y 且X 与Y 相互独立, 试求方差比2221/σσ的置信度为90%的置信区间.。