单正态总体均值与方差的置信区间表
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《应用统计学》第6章：置信区间估计
求解正态总体均值 的置信区间。
20
课堂练习2：
某车床加工的缸套外径尺寸 X~N( μ, σ 2 )，
下面是随机测得的10个加工后的缸套外径尺 寸(mm)，
90.01，90.01，90.02，90.03，89.99
8x9.9980，.00819.97，S 2900.0.001，859302 .01，89.99
的样本， X 和 S2 分别为样本均值和样本方差。
可以证明：
t X ～
S/ n
t(n-1)
因此，对给定的置信度 1-，有
P{t /2 (n 1)
X
S/ n
t / 2 (n 1)}
1
即 P{X t /2(n 1)S / n X t /2(n 1)S / n} 1
由此可得 的置信度为 1- 的置信区间为
可用 Excel 的统计函数 TINV 返回 t (n)。 语法规则如下：
格式：TINV( 2 , n )
功能:返回 t (n)的值。
说明：TINV(, n )返回的是 t/2(n)的值。
17
4. 未知时总体均值 μ 的区间
估计
设总体 X~N( μ, σ 2 )， X1, X2, ···, Xn 为 X 的容量为 n
/2=0.025， n=10， 查表得 t0.025(9)=2.2622
d t /2(n 1)S / n 2.2622 196 .5 / 10 140.6
故所求 的 95% 置信区间为
(x d, x d) (1282.5, 1563.7)
可用 Excel 的【工具】→“数据分析”→“描述统 计”
第6章 置信区间估计
本章教学目标： (1) 单个正态总体均值和方差的区间估计。 (2) 总体比例的区间估计。 (3) 均值和比例置信区间估计中的样本容量
20
课堂练习2：
某车床加工的缸套外径尺寸 X~N( μ, σ 2 )，
下面是随机测得的10个加工后的缸套外径尺 寸(mm)，
90.01，90.01，90.02，90.03，89.99
8x9.9980，.00819.97，S 2900.0.001，859302 .01，89.99
的样本， X 和 S2 分别为样本均值和样本方差。
可以证明：
t X ～
S/ n
t(n-1)
因此，对给定的置信度 1-，有
P{t /2 (n 1)
X
S/ n
t / 2 (n 1)}
1
即 P{X t /2(n 1)S / n X t /2(n 1)S / n} 1
由此可得 的置信度为 1- 的置信区间为
可用 Excel 的统计函数 TINV 返回 t (n)。 语法规则如下：
格式：TINV( 2 , n )
功能:返回 t (n)的值。
说明：TINV(, n )返回的是 t/2(n)的值。
17
4. 未知时总体均值 μ 的区间
估计
设总体 X~N( μ, σ 2 )， X1, X2, ···, Xn 为 X 的容量为 n
/2=0.025， n=10， 查表得 t0.025(9)=2.2622
d t /2(n 1)S / n 2.2622 196 .5 / 10 140.6
故所求 的 95% 置信区间为
(x d, x d) (1282.5, 1563.7)
可用 Excel 的【工具】→“数据分析”→“描述统 计”
第6章 置信区间估计
本章教学目标： (1) 单个正态总体均值和方差的区间估计。 (2) 总体比例的区间估计。 (3) 均值和比例置信区间估计中的样本容量
正态分布总体 总体均值已知 方差的置信区间
正态分布总体总体均值已知方差的置信区间【文章开头】一、引言在统计学中，正态分布总体是相当常见的一种总体类型。
当我们需要对一个正态分布总体的总体均值进行推断时，有时候我们会面临到总体均值已知，但方差未知的情况。
对于这样的情况，我们可以使用置信区间来进行推断。
二、什么是置信区间？置信区间是指在统计推断中，对总体参数的估计范围。
通常，我们会给出一个置信水平，比如95%的置信水平，表示对总体参数的估计有95%的把握是正确的。
置信区间由一个下限和一个上限组成，表示总体参数可能落在这个范围内的概率。
三、正态分布总体的总体均值已知的情况下，方差的置信区间如何计算？当正态分布总体的总体均值已知时，我们可以使用样本标准差来作为总体方差的估计。
我们可以利用样本大小、置信水平和样本标准差来计算方差的置信区间。
四、计算步骤1. 收集样本数据：从正态分布总体中随机抽取样本，并记录样本数据。
2. 计算样本标准差：利用样本数据计算样本标准差。
样本标准差是总体方差的一个无偏估计。
3. 确定置信水平：根据需要的置信水平，确定置信水平对应的临界值。
临界值可以从统计表中查找。
4. 计算置信区间：利用样本大小、样本标准差和置信水平的临界值，计算方差的置信区间。
五、示例假设我们想研究某种药物对血压的影响。
我们从正态分布的总体中随机抽取了100个样本，并记录了每个样本的血压数据。
我们已知总体均值为120，方差未知。
现在，我们想要计算方差的95%置信区间。
1. 收集样本数据：从正态分布总体中随机抽取100个样本，并记录血压数据。
2. 计算样本标准差：利用样本数据计算样本标准差。
假设计算得到样本标准差为10。
3. 确定置信水平：我们希望得到95%的置信区间，因此置信水平为0.95。
4. 计算置信区间：根据样本大小100，样本标准差10，和置信水平0.95的临界值，我们可以计算得到方差的置信区间。
【文章主体】六、方差的置信区间是如何帮助我们进行推断的？方差的置信区间为我们提供了一个总体参数可能的取值范围。
7.4单正态总体下未知参数的置信区间 课件- 《概率论与数理统计(第2版)》同步教学(人民邮电版)
2 的无偏估计为 ˆ 2
1 n
n i 1
X
2 i
2 ，
取 a b 满足
G ˆ 2, 2
1
2
n
(Xi
i 1
)2
~
2 n
P
a
1
2
n
(Xi
i1
)2
b
1
二、方差的置信区间
取
a
2 2
n,b
2 12
n
此时，对应的 2 的双侧1 置信区间为：
n
X
i
2
n
X
i
2
i1
, i1
．
第7章 参数估计
1
07
参数估计
目录/Contents
第7章 参数估计
2
7.1 点估计
7.2 点估计的良好性评判标准
7.3 置信区间
7.4 单正态总体下未知参数的置信区间
7.5
两个正态总体下未知参数的置信区间
目录/Contents
第7章 参数估计
3
7.4 单正态总体下未知参数的置信区间
一、均值的置信区间 二、方差的置信区间
故 的双侧 0.95 置信区间的观测值为[1485.69,1514.31] ．
二、方差的置信区间
第7章 参数估计
12
1
期望 已知, 方差 2的双侧置信区间；
2
期望 未知, 方差 2的双侧置信区间.
二、方差的置信区间
第7章 参数估计
13
(1)期望 已知, 方差 2 的双侧置信区间
当 已知时，
0.95 的双侧置信区间.
解 由题设条件知 n 10, 0.05, x 1500, s 20, 查表得
置信区间原理及单正态总体
为 (1)
(2)
15.1 若
若
22,未=10知4.0.86,求,, 求15.的2的,置置1信4信.9区区,间间1X4.6tX2, 置n均15信u为.112水0Sn.9n平, X5,
Xtnu
22
1nSn
(3) 求方差 2的置信区间.
解
(1) 2
u
0.06,n 6, x
u0.025 1.96
1 6
10 反复抽样多次(各次的样本容量相同)，得到多个区间
其中包含真值的约占100(1 )%,不包含的约占 100%.
20 置信区间不唯一.
U ~ N(0,1), P{|U | } 0.95
,
P1 U 2 0.95 1, 2
30 反映了估计的可靠度 ，即 越小, 越可靠.
越小, 1- 越大, 估计的可靠度越高.
n
16
2
(2) 欲使 1，即 2 u 1，有 n (2u )2
n 2
2
(22 1.645)2 43
故样本容量n至少为43.
(2) 2为未知, 估计 选择有无 2的统计量
条 件 使用的统计量 统计量
置信区间
服从的分布
ห้องสมุดไป่ตู้
(1) 2已知
U
X
n
U ~ N( 0,1 )
X u
2
n
,X
u
2
n
(3)查表得
2 0.025
(5)
12.833,
02975(5) 0.831
得 2 的置信区间为
5 s2
( 02.025(5) ,
5 s2
02.975(5)
)
( 0.0199,
置信度(置信区间计算方法)
S S , X t (n 1) (2) X t (n 1) 2 2 n n
推导
选取枢轴量 T X ~ T (n 1)
S
n X 由P t (n 1) 确定t ( n 1) 2 S 2 n
这时, T2 T1 往往增大, 因而估计精度降低.
确定后, 置信区间 的选取方法不唯一,
ch73
常选最小的一个.
75
处理“可靠性与精度关系”的原 则
先
求参数 置信区间 保 证 可靠性
再
提 高 精 度
ch73
76
求置信区间的步骤
寻找一个样本的函数
— 称为枢轴量 它含有待估参数, 不含其它未知参数, 它的分布已知, 且分布不依赖于待估参 数 (常由 的点估计出发考虑 ). 例如 X～N ( , 1 / 5)
P(T1 T2 ) 1
则称 [ T1 , T2 ]为 的置信水平为1 - 的
置信区间或区间估计. T1 置信下限 T2 置信上限
ch73
几点说明
置信区间的长度 T2 T1 反映了估计精度 T2 T1 越小, 估计精度越高.
反映了估计的可靠度, 越小, 越可靠. 越小, 1- 越大, 估计的可靠度越高,但
( 引例中 a 1.96, b 1.96 )
由 a g ( X1, X 2 , X n , ) b 解出 T1 , T2
得置信区间 ( T1 , T2 ) 引例中
( T1 , T2 ) ( X 1.96 1 , X 1.96 1 ) 5 5
ch73 78
置信区间常用公式
推导
选取枢轴量 T X ~ T (n 1)
S
n X 由P t (n 1) 确定t ( n 1) 2 S 2 n
这时, T2 T1 往往增大, 因而估计精度降低.
确定后, 置信区间 的选取方法不唯一,
ch73
常选最小的一个.
75
处理“可靠性与精度关系”的原 则
先
求参数 置信区间 保 证 可靠性
再
提 高 精 度
ch73
76
求置信区间的步骤
寻找一个样本的函数
— 称为枢轴量 它含有待估参数, 不含其它未知参数, 它的分布已知, 且分布不依赖于待估参 数 (常由 的点估计出发考虑 ). 例如 X～N ( , 1 / 5)
P(T1 T2 ) 1
则称 [ T1 , T2 ]为 的置信水平为1 - 的
置信区间或区间估计. T1 置信下限 T2 置信上限
ch73
几点说明
置信区间的长度 T2 T1 反映了估计精度 T2 T1 越小, 估计精度越高.
反映了估计的可靠度, 越小, 越可靠. 越小, 1- 越大, 估计的可靠度越高,但
( 引例中 a 1.96, b 1.96 )
由 a g ( X1, X 2 , X n , ) b 解出 T1 , T2
得置信区间 ( T1 , T2 ) 引例中
( T1 , T2 ) ( X 1.96 1 , X 1.96 1 ) 5 5
ch73 78
置信区间常用公式
t检验
3.对于问题1Spss的实际操作过程
(1) H 0 : 1 2
H1 : 1 2
1）建立数据文件（定义变量，输入数据） 2）选择统计方法：
Analyze－compare mean－Independent Sample T test
3)结果显示
X GROU P A B N
二、 两个正态总体的均值检验与置 信区间
1.实际问题：随机地从A批导线中抽取4根， 从B批导线中抽取5根，测得其电阻为 A批导线：0.143，0.142，0.143，0.137 Ｂ批导线：0.140，0.142，0.136，0.138 0.140 测试数据分别服从正态分布
2
X ~ N ( 1 , ),Y ~ N ( 2 , )
3.分析问题 在总体 X ~ N ( , ) 用样本判断
2
(1) H 0 : 100
H1 : 100
X
X 100 100
当H 0： 100成立时，即等价于 与100很接近 X
X 100 | 比较小，则H 0成立，否则不成立 |
即 | Ｘ 100 | C时，拒绝Ｈ ０
(1) H 0 : 1 2
3.分析问题
H1 : 1 2
(2) P(c 1 2 d ) 95%
X 1 Y 2
X Y 1 2
H 0成立时，等价于| X Y | 很小，否则拒绝 0 H
即 | X Y | C时，拒绝Ｈ ０
2
问题：（1）这两批导线的平均电阻是 否有显著性差异？
（2）求
1 2 的95%置信区间。
2.转化为数学问题： 已知信息：总体X ~ N ( 1 , 2 )，样本x1 , x2 ,..., xm
7.5正态总体均值与方差的区间估计
1)
1,
即
P
X
S n t / 2 (n 1)
X
S n
t
/
2
(n
1)
1
,
于是得 的置信度为 1 的置信区间
X
S n
t
/
2
(n
1)
.
例1 有一大批糖果, 现从中随机地取16袋, 称得
重量(克)如下:
506 508 499 503 504 510 497 512
514 505 493 496 506 502 509 496
2
2
/
2
(n
1)
1,
即
(n 1)S 2
P
2
/
2
(
n
1)
2
(n 1)S 2
2 1
/
2
(n
1)
1 ,
于是得方差 2 的置信度为1 的置信区间
(n
2 /
1)S 2(n
2
1)
,
(n
2 1
/2
1)S 2 (n 1)
.
进一步可得:
标准差 的一个置信度为1 的置信区间
n 1S ,
只要n1和n2都很大(实用上 50即可), 则有
1 2的一个置信度为1 的近似置信区间
X
Y
z / 2
S12 n1
S22 n2
.
(3)
2 1
22
2,
但 2 为未知,
1 2的一个置信度为1 的置信区间
X Y t / 2(n1 n2 2)Sw
1 n1
1 n2
.
其中
Sw2
2. 两个总体方差比 12 的置信区间 22
正态分布总体的区间估计与假设检验汇总表
（单侧检验）
2
(n
1)S 2
2 0
～2n1
2
2 /2
n
1
或
2
2 1- / 2
n 1
2 2 n 1
2
≥
2 0
2
<
2 0
（单侧检验）
2
2 1-
n
1
2. 两个正态总体均值及方差的假设检验表(显著性水平 α)
条件 原假设 H0 备择假设 H1
检验统计量
拒绝域
12
，
2 2
已知
1 =2 1 2 1 2
1 2
1 2
（单侧检验）
SW
(n1 1)S12 (n2 1)S22 n1 n2 2
T < - t (n1 n2 2)
1，2
未知
2 1
=
2 2
2 1
≤
2 2
2 1
≠
2 2
（双侧检验）
2 1
>
2 2
（单侧检验）
F
S12 S22
～
F ( n1 - 1, n2 - 1)
F ≥ F /2 n1 1, n2 1
已知
0 / n
X
0 n
u
/2,
X
0 n
u
/2
2 未知 T X 0 ～ t(n 1) S/ n
X
S n 1
t / 2
n
1 ,
X
S n
1
t
/
2
n
1
方差 2
未知
2
(n 1)S 2
2 0
～2n1
(n 2 /
1)S 2