置信区间原理及单正态总体

为 (1)
(2)
15.1 若
若
22,未=10知4.0.86,求,, 求15.的2的,置置1信4信.9区区,间间1X4.6tX2, 置n均15信u为.112水0Sn.9n平, X5,
Xtnu
22
1nSn
(3) 求方差 2的置信区间.
解
(1) 2
u
0.06,n 6, x
u0.025 1.96
1 6
10 反复抽样多次(各次的样本容量相同)，得到多个区间
其中包含真值的约占100(1 )%,不包含的约占 100%.
20 置信区间不唯一.
U ~ N(0,1), P{|U | } 0.95
,
P1 U 2 0.95 1, 2
30 反映了估计的可靠度 ，即 越小, 越可靠.
越小, 1- 越大, 估计的可靠度越高.
n
16
2
(2) 欲使 1，即 2 u 1，有 n (2u )2
n 2
2
(22 1.645)2 43
故样本容量n至少为43.
(2) 2为未知, 估计 选择有无 2的统计量
条 件 使用的统计量 统计量
置信区间
服从的分布
ห้องสมุดไป่ตู้
(1) 2已知
U
X
n
U ~ N( 0,1 )
X u
2
n
,X
u
2
n
(3)查表得
2 0.025
(5)
12.833,
02975(5) 0.831
得 2 的置信区间为
5 s2
( 02.025(5) ,
5 s2
02.975(5)
)
( 0.0199,
0.3069 )
Ex.假设人的身高服从正态分布.今从高三毕业班中随机抽查十名女 生，测其身高如下：
162, 159.5, 168,160, 157, 162, 163.4, 158.5, 170.3, 166 (单位：厘米)求高三女 生身高EX的0.95的置信区间.
为其一个样本.
(1) 当n 16时，试求置信水平为0.9的的置信区间的长度；
(2) n多大才能使的90%的长度不超过1？
解 (1) 2, n 16, 查表得 u u0.05 1.645,
2
的 置信区间为 X u , X u .
n 2
n
2
区间长度为 2 u 2 1.645 2 1.645.
n 10, x 162.67
s2
1 9
10 i 1
xi2
10 x 2
18.43
0.05 t (9) 2.262
2
EX 的置信水平为0.95的置信区间(159.60,165.74).
1.估计 P145
条 件 使用的统计量 统计量 服从的分布
置信区间
(1) 2已知
U
X
n
U ~ N( 0,1 )
（估计 or 2，已知or未知，置信水平？）
2.确定适当的公式； 3.计算x or s2，代入公式得置信区间.
四、大样本情形的渐近置信区间
若总体 X 的分布未知, 但样本容量很大,
由中心极限定理, 可近似地视
X
~
N(,
2
)
n
思考题
从某超市一年来的发票存根中随即抽取26张，算得平均金额 为78.5元，样本标准差为20元，假设发票金额服从正态分布， 则该超市一年来发票平均金额的90％的置信区间为 _________.
习惯上仍取对称的分位点来
确定置信区间(如图).
(n 1)S 2 (n 1)S 2
例5
(续例4)
求例4中总体方差
2
和
2
2
(n
1)
,
2 1 2
(n
1)
.
标准差 的 置信水平为 0.95 的置信区间.
解 此时,未知, n 12, 0.05, x 502.92, s2 152.52,
是
X
的无~偏N估(0计明,1),确, X问~题N置,是(信求,水n什2平)么, 是参多数少的？置信区间?
/ n
寻找未知参数的
一个良好估计.
寻找一个待估参数和 估计量的函数 ，要求 其分布为已知.
有了分布，就可以求出 U取值于任意区间的概率.
例1 设 X1, X 2,, X n 是来自正态总体 N (, 2 ) 的样本, 其中 2 为已知, 为未知, 求 的置信度
n 2
n
2
解 10, n 12, 计算得 x 502.92,
(1) 当 0.10 时, 查表得 u u0.05 1.645,
附表2-1
x
n
u
2
502.92
10
2
1.645 498.17,
12
x
n
u
2
502.92
10 1.645 507.67, 12
即 的 90% 的置信区间为 (498.17, 507.67).
(2) 2 未知
T X
S n
T ~ t( n1)
X
t
2
n
1
S n
,
X
t
2
n
1
S n
X ~ N(, 2)
n
X
~
N
(0,1)
n
(n
1)S 2
2
~
2(n
1)
X ~ t(n 1)
S n
定理6.3
例4 包糖机某日开工包了12包糖,称得质量(单位:克)
分别为506,500,495,488,504,486,505,
6 i1
xi
14.95
2
的置信区间为 ( 14.95 1.96 0.1 , 14.95 1.96 0.1 )
( 14.75, 15.15 )
(2)s2
1( 5
6 i 1
xi2
6x2)
0.051.
s 0.226
查表 t0.025(5) 2.5706
2 0.06,n 6,
x
1 6
X u
2
n
,
X
u
2
n
(2) 2 未知
2.估计 2
未知
T X
S n
2
(n
1)S 2
2
T ~ t( n1)
X
t
2
n
1
S n
,
X
t n
2
1
S n
2
~ 2(n 1)
(n 1)S 2 (n 1)S 2
2
2
(n
1)
,
2 1 2
(n
1)
三、求置信区间的一般步骤(共4步)
1.明确问题；
为0.95. (设 n = 5 )
Xi ~ N ,
1
(2) X
~
N
,
1 5
X ~ N 0,
1 5
1
P{ X a} 0.95
Xi ~ N ,
1 X ~ N ,
(3)
1 5
X ~ N 0,
1 5
1
P{ X a} 0.95 P{ a X a } 0.95
0(
a 1
) 0(
5
a 1
) 0.95
2（0
5
a ） 1 0.95 1
5
a 1
1.96 即 P{X a X a} 0.95
5
(4) P X 1.96
1 5
X
1.96
1 5
0.95
称随机区间
X 1.96
1 5
,
X 1.96
1 5
为未知参数 的置信水平为0.95的置信区间.
引例 已知 X ~ N ( ,1),
的无偏、有效点估计为 X
常数
随机变量
不同样本算得的 的估计值不同，
根据所给的样本确定一个随机区间, 使其包含参数
真值的概(率1)明达确到问指题定,的是要求求什.么参数的置信区间的? 真值
置信水平
置信水平是多少[？• ]
引例中，要找一个区间,使其包含 的真值的概率
置信区间
真值的“区间估计”问题 在一定的置信水平要求下,求真值的置信区间问题.
本节知识要点：
1.了解区间估计的概念及置信区间、置信水平的概率意义； 2. 熟练求解单个正态总体的均值和方差的置信区间.
一、置信区间
1.Def .设为总体X的一个未知参数, 对给定 (0 1),
若由样本X1, X2 ,, Xn 确定的两个统计量
2 1
/
2
(n
1)
1
,
P{a u b} 1 . P{u a} P{u b}
2
P{X } 为X水平的上侧分位数
标准正态分布的
上 分位数 u
自由度为n的
2分布的上
分位数
2
(
n)
在密度函数对称时, 如 正态分布和 t分布,取 u 2和t 2;
在密度函数不对称时, 如 2 分布和F分布,
附表5-2
于是
t (n 1)
2
s n
152.52 2.201 7.85, 12
得的 95%的置信区间 (495.07, 510.77).
0.15
2. 方差 2 的置信区间 为未知,0.125
0.1
方差 2 的置信水平为 1 的置信区间0.075
2
P187
(n 1)S 2 (n 1)S 2
查
2 (n
1)
分布表可知
:
2 0.025
(11)