北师大版数学八上2-1认识无理数(2)教学设计
北师大版初中数学八年级上册第二章《2.1认识无理数》 教案
北师大版数学八年级上册《认识无理数（2）》教案一、学生起点分析学生在小学阶段已经学习了非负数，七年级又学习了有理数.本章第一课时的学习，学生感受到了生活中确实存在着不是有理数的数，让学生认识到所学的数又不够用了，从而激发他们学习的好奇心，能积极主动地参与到学习中，充分认识到学习无理数引入的必要性，发展学生的合情推理能力.二、教学任务分析《数不够用了》是义务教育课程标准北师大版实验教科书八年级（上）第二章《实数》的第一节，第一课时让学生感受数的发展，感知生活中确实存在着不同于有理数的数. 本课时为第二课时，内容是建立无理数的基本概念，借助计算器，感受无理数是无限不循环小数，会判断一个数是无理数，并能结合实际判别有理数和无理数.在活动中进一步发展学生独立思考的意识和合作交流的能力，在学习中领悟数学知识来源于生活，体会数学知识与现实世界的联系，而且对今后学习数学也有着重要意义.为此，本节课的教学目标是: 1．借助计算器探索无理数是无限不循环小数，借助计算器进行估算，培养学生的估算能力，发展学生的抽象概括能力，并从中体会无限逼近的思想.2．探索无理数的定义，比较无理数与有理数的区别，并能辨别出一个数是无理数还是有理数，训练学生的思维判断能力.3．能够准确地将目前所学习的数按不同角度进行分类，并说明理由，进一步体会分类思想，培养学生解决问题的能力.4.充分调动学生参与数学问题的积极性，培养学生的合作精神，提高他们的辨识能力.三、教学过程设计本节课设计六个教学环节:第一环节：新课引入；第二环节：活动与探究；第三环节：知识分类整理；第四环节：知识运用与巩固；第五环节：课堂小结；第六环节：作业布置.第一环节：新课引入内容:想一想：1. 有理数是如何分类的？整数（如1-，0，2，3，…) 有理数 分数(如31，52-，119，0.5，… ) 2. 除上面的数以外，我们还学习过哪些不同的数? 如圆周率π，0.020020002…上节课又了解到一些数，如22=a ，25=b 中的a ，b 不是整数，能不能转化成分数呢？那么它们究竟是什么数呢？本节课我们就来揭示它们的真面目.意图：通过这些问题让学生发现有理数不够用了，存在既不是整数，也不是分数的数，激发学生的求知欲，去揭示它的真面目.效果：激发学生的好奇心和求知欲，引出本节课题“数不够用了（2）”. 第二个环节：活动与探究1. 探索无理数的小数表示内容：借助计算器以小组讨论的形式对面积为2的正方形的边长a 和面积为5的正方形的边长b 进行估计.请看图，判断下面3个正方形的边长之间有怎样的大小关系？边长a 的取值范围大致是多少?如何估算的？是否存在一个小数的平方等于2?说说你的理由.边长a 面积s 1<a <21<s<4 1.4<a <1.5[来源:学+科+1.96<s<2.25 1.41<a <1.42 1.9881<s<2.0164 1.414<a <1.415 1.999396<s<2.002225 1.4142<a <1.41431.99996164<s<2.00024449归纳总结:a 是介于1和2之间的一个数，既不是整数，也不是分数，则a 一定不是有理数.如果写成小数形式，它们是无限不循环小数.请大家用上面的方法估计面积为5的正方形的边长b 的值.目的：让学生有充分的时间进行思考和交流，逐渐地缩小范围，借助计算器探索出a =1.41421356…，b =2.2360679…，是无限不循环小数的过程，体会无限逼近的思想.效果：学生感受到无理数确实是无限不循环的，为后续定义无理数打下基础. 2. 探索有理数的小数表示，明确无理数的概念内容：请同学们以学习小组的形式活动：一同学举出任意一分数，另一同学将此分数表示成小数，并总结此小数的形式.议一议：分数化成小数，最终此小数的形式有哪几种情况？ 探究结论：分数只能化成有限小数或无限循环小数. 即任何有限小数或无限循环小数都是有理数.强调：像0.585885888588885…，1.41421356…，－2.2360679…等这些数的小数位数都是无限的，并且不是循环的，它们都是无限不循环小数.我们把无限不循环小数叫做无理数.(圆周率π=3.14159265…也是一个无限不循环小数，故π是无理数).[来源:学.科.网Z.X.X.K]目的：通过学生的活动与探究，得出无理数的概念.效果：通过师生互动的教学活动，既培养学生独立思考与小组合作讨论的能力，又感受到无理数存在的必然性，建立了无理数的概念. 第三个环节：知识分类整理内容：到目前为止我们所学过的数可以分为几类？(按小数的形式来分).强调“无限不循环小数”与“无限循环小数”的联系和区别.无理数还可以进行怎样的分类?目的：培养学生总结归纳的能力，把新学知识纳入已有的知识体系，进一步发展学生的思维判断能力，加强学生对分类思想的理解.效果：通过师生的共同探究，形成对中学现阶段数的系统认识，提高了总结归纳能力. 第四个环节：知识运用与巩固内容：认识一个数是无理数还是有理数.有理数：有限小数或无限循环小数无理数：无限不循环小数数整数分数例1填空: 0.351， 4.96••-，32-， 3.14159， 6， －5.2323332…，3π，1234567891011…(由相继的正整数组成).例2 判断下列说法是否正确(1)有限小数是有理数; （ ） (2)无限小数都是无理数; （ ） (3)无理数都是无限小数; （ ） (4)有理数是有限数. （ ）例3以下各正方形的边长是无理数的是（ ） (A ）面积为25的正方形； (B ） 面积为254的正方形； (C ） 面积为8的正方形； (D ） 面积为1.44的正方形. [来源:Z 。
北师大版八年级数学上册：2.1《认识无理数》教学设计
北师大版八年级数学上册：2.1《认识无理数》教学设计一. 教材分析《认识无理数》是北师大版八年级数学上册第二章的第一节内容。
本节内容是在学生学习了实数、有理数的基础上，引入无理数的概念，使学生了解无理数在生活中的应用和实际意义，培养学生运用数学解决实际问题的能力。
教材通过丰富的实例和探究活动，让学生感受无理数的存在，体验数的概念的扩展，培养学生的数感。
二. 学情分析八年级的学生已经学习了实数和有理数，对数的概念有一定的了解。
但是，学生对无理数的理解可能还比较模糊，需要通过具体的实例和实践活动来加深对无理数概念的理解。
此外，学生可能对无理数的存在感到困惑，需要教师通过讲解和引导，让学生逐渐接受无理数的存在。
三. 教学目标1.了解无理数的概念，理解无理数的存在和实际意义。
2.能够识别常见的无理数，如π、√2等。
3.能够运用无理数解决实际问题，提高运用数学解决实际问题的能力。
4.培养学生的数感，提高学生的数学思维能力。
四. 教学重难点1.重点：无理数的概念和实际意义的理解。
2.难点：无理数的识别和运用。
五. 教学方法1.实例教学法：通过具体的实例，让学生感受无理数的存在和实际意义。
2.实践活动法：通过实践活动，让学生加深对无理数概念的理解。
3.问题驱动法：通过提问和引导，让学生主动探索无理数的性质和运用。
六. 教学准备1.教材和教案。
2.投影仪和教学课件。
3.练习题和测试题。
七. 教学过程1.导入（5分钟）利用投影仪展示生活中的实例，如圆的周长和面积的关系，引出无理数的概念。
2.呈现（10分钟）讲解无理数的定义，通过具体的实例，让学生感受无理数的存在。
如π、√2等。
3.操练（10分钟）让学生进行练习，识别常见的无理数，加深对无理数概念的理解。
4.巩固（10分钟）讲解无理数的性质和运用，让学生通过实践活动，加深对无理数概念的理解。
5.拓展（10分钟）引导学生思考无理数在生活中的应用和实际意义，培养学生的数感。
北师大版八年级上册数学2.1认识无理数精选教案2
第一章实数2.1 认识无理数第一环节：新课引入内容:想想：1.有理数是如何分类的？整数（如1，0，2，3， )有理数分数(如1，2，9，0.5，) 35112. 除上边的数之外，我们还学习过哪些不一样的数? 如圆周率，0.020020002上节课又认识到一些数，如a2 2 ， b2 5 中的a，b不是整数，能不可以转变成分数呢？那么它们终究是什么数呢？本节课我们就来揭露它们的真面目 .企图：经过这些问题让学生发现有理数不够用了，存在既不是整数，也不是分数的数，激发学生的求知欲，去揭露它的真面目.成效：激发学生的好奇心和求知欲，引出本节课题“数不够用了（2）” .第二个环节：活动与研究1.研究无理数的小数表示内容：借助计算器以小组议论的形式对面积为 2 的正方形的边长 a 和面积为5 的正方形的边长 b 进行预计 .请看图，判断下边 3 个正方形的边长之间有如何的大小关系？边长 a 的取值范围大概是多少 ?如何估量的？能否存在一个小数的平方等于2?谈谈你的原因 .边长 a面积s1<a<21<s<41.4<a<1.5 1.96<s<2.251.41<a<1.42 1.9881<s<2.01641.414<a<1.415 1.999396<s<2.0022251.4142<a<1.4143 1.99996164<s<2.00024449概括总结 :a 是介于 1 和 2 之间的一个数，既不是整数，也不是分数，则 a 必定不是有理数 .假如写成小数形式，它们是无穷不循环小数 .请大家用上边的方法预计面积为 5 的正方形的边长 b 的值 .目的：让学生有充足的时间进行思虑和沟通，渐渐地减小范围，借助计算器研究出 a=1.41421356， b=2.2360679，是无穷不循环小数的过程，领会无穷迫近的思想 .成效：学生感觉到无理数的确是无穷不循环的，为后续定义无理数打下基础.2.研究有理数的小数表示，明确无理数的观点内容：请同学们以学习小组的形式活动：一起学举出随意一分数，另一起学将此分数表示成小数，并总结此小数的形式 .议一议：分数化成小数，最后此小数的形式有哪几种状况？研究结论：分数只好化成有限小数或无穷循环小数.即任何有限小数或无穷循环小数都是有理数.重申：像 0.585885888588885， 1.41421356，－ 2.2360679等这些数的小数位数都是无穷的，而且不是循环的，它们都是无穷不循环小数.我们把无穷不循环小数叫做无理数 .(圆周率 =3.14159265也是一个无穷不循环小数，故是无理数 ).目的：经过学生的活动与研究，得出无理数的观点.成效：经过师生互动的教课活动，既培育学生独立思虑与小组合作议论的能力，又感觉到无理数存在的必定性，成立了无理数的观点 .第三个环节：知识分类整理内容：到当前为止我们所学过的数能够分为几类？(按小数的形式来分 ).整数有理数：有限小数或无穷循环小数数分数无理数：无穷不循环小数重申“无穷不循环小数”与“无穷循环小数”的联系和差别.无理数还能够进行如何的分类 ?目的：培育学生总结概括的能力，把新学知识归入已有的知识系统，进一步发展学生的思想判断能力，增强学生对分类思想的理解.成效：经过师生的共同研究，形成对中学现阶段数的系统认识，提升了总结概括能力 .第四个环节：知识运用与稳固内容：认识一个数是无理数仍是有理数.例1填空:0.351，4.96，2， 3.14159， 6，－5.2323332，，由33接踵的正整数构成 ).有理数会合无理数会合例 2 判断以下说法能否正确(1)有限小数是有理数 ;（）(2)无穷小数都是无理数 ;（）(3)无理数都是无穷小数 ;（）(4)有理数是有限数 .（）例 3 以下各正方形的边长是无理数的是（）(A ）面积为 25 的正方形；(B）面积为4的正方形；25(C）面积为 8 的正方形；(D）面积为 1.44 的正方形 .例 4 一个直角三角形两条直角边的长分别是 3 和 5，则斜边 a是有理数吗 ?5a 解:由勾股定理得 : a23252，即 a2 =34 .因为34不是完好平方数，因此 a 不是有理数 .3重申 :1. 无理数是无穷不循环小数，有理数是有限小数或无穷循环小数.2.任何一个有理数都能够化成分数p形式（ q ≠0， p， q 为整数且互质），q而无理数则不可以 .练一练：1.课本P23随堂练习.已知：在数 3 ，5，1.42 ，，3.1416，2，0，2，( 1)2n，2.434－1.424224222中，（1）写出全部有理数；（2）写出全部无理数；（3）把这些数按由小到大的次序摆列起来，并用符号“ <”连结 .目的：经过例题的解说、练习，让学生充足理解无理数、有理数的观点、区别，感觉数的分类 .成效：经过学生练习，更为明确了有理数、无理数的观点，及它们之间的区别与联系，激发学生学习兴趣，稳固了对观点的理解.第五个环节：讲堂小结内容：本节课你有哪些收获?1．无理数的定义 .2．你是如何判断一个数是无理数仍是有理数的？3．请把已学过的数如何分类？目的：让学生学会实时对知识点、数学方法进行总结，并整理成经验，形成知识系统，培育学生优秀的学习习惯，提升其概括总结能力.成效：师生共同总结增补，形成完好的知识系统.第六个环节：部署作业习题 2.2 1.2.3.教课反省本节课借助找寻正方形边长这一“现实生活中的实例”，让学生经过预计、借助计算器进行研究、议论等门路，领会数学学习的乐趣，领会无穷迫近的数学思想，获得无理数的观点；可能在教课实行过程中，对基础较单薄的学生和班级，这一研究过程所需时间较长，会影响后边环节的进行，但感知过程是学生理解无理数这一抽象观点所必要的，因此绝对不可以淡化.让学生在数学学习中能将抽象的知识形象详细化，复杂知识系统化.同时指引学生回首旧知、研究新知，形成必定的数学研究能力，进一步培育学生的分类和概括的思想，为此后的数学学习打下坚固基础 . 但对观点的理解掌握一些同学还不很到位，只好在此后的教课过程中不停的加深 .此外，因为学生对有理数和无理数的观点详细感知还不够，所以在第三环节：知识分类整理环节，学生自主整理和接受会有必定困难，若学生学习例 1 后再进行知识分类整理可能会更好 .。
八年级数学上册2.1认识无理数教学设计 (新版北师大版)
八年级数学上册2.1认识无理数教学设计（新版北师大版）一. 教材分析《八年级数学上册2.1认识无理数》这一节，主要让学生了解无理数的概念，掌握无理数的性质，以及学会用有理数和无理数表示实数。
教材通过生活中的实例引入无理数的概念，接着引导学生通过观察、思考、探究，掌握无理数的性质。
在这一过程中，学生需要理解无理数与有理数的区别，以及无理数在实际生活中的应用。
二. 学情分析八年级的学生已经学习了有理数的概念和性质，具备一定的数学基础。
但是，对于无理数这一概念，学生可能较为陌生，难以理解。
因此，在教学过程中，教师需要结合学生的实际情况，从生活实例出发，引导学生逐步理解无理数的概念，并掌握无理数的性质。
三. 教学目标1.让学生了解无理数的概念，知道无理数是一种实数。
2.让学生掌握无理数的性质，能够辨别一个数是有理数还是无理数。
3.让学生理解无理数在实际生活中的应用，提高学生运用数学知识解决问题的能力。
四. 教学重难点1.重难点：无理数的概念和性质。
2.难点：理解无理数在实际生活中的应用。
五. 教学方法1.情境教学法：通过生活实例引入无理数的概念，让学生在实际情境中感受无理数。
2.启发式教学法：引导学生观察、思考、探究，从而掌握无理数的性质。
3.小组合作学习：让学生在小组讨论中，共同解决问题，提高学生的合作能力。
六. 教学准备1.教学课件：制作课件，展示无理数的定义、性质和实际应用。
2.教学素材：准备一些生活中的实例，用于引入无理数的概念。
3.练习题：准备一些有关无理数的练习题，用于巩固所学知识。
七. 教学过程1.导入（5分钟）教师通过展示一些生活中的实例，如圆的周长、声音的频率等，引导学生思考这些实例与数学的关系。
进而提出问题：“你知道无理数吗？无理数是什么？”让学生分享自己对无理数的理解。
2.呈现（15分钟）教师利用课件，详细讲解无理数的定义、性质和特点。
同时，通过展示一些实际应用的例子，让学生了解无理数在生活中的重要作用。
北师大版数学八年级上册2.1.2认识无理数教学设计
1.通过探索无理数的发现过程，培养学生自主探究、合作交流的能力。
2.通过数轴比较无理数的大小，使学生掌握数形结合的数学思想方法。
3.利用实际问题引入无理数，引导学生运用数学知识解决生活中的问题，提高学生将数学应用于实际情境的能力。
4.通过讲解和练习，使学生掌握无理数的运算方法，培养他们的逻辑思维能力和数学推理能力。
3.合作交流，共同提高：鼓励学生进行小组讨论和交流，分享彼此的学习心得和问题解决方法，提高他们的合作能力和沟通能力。
4.紧密联系生活，注重实际应用：结合生活实际，设计相关习题，让学生在实际问题中运用无理数知识，提高数学应用能力。
5.适时总结，巩固知识：在教学过程中，教师应适时进行总结，帮助学生梳理无理数知识体系，巩固所学内容。
四、教学内容与过程
（一）导入新课
1.教师通过提问方式引导学生回顾有理数的知识，为新课的学习做好铺垫：“同学们，我们已经学习了有理数，那么有理数包括哪些数呢？它们有什么特点？”
2.学生回答后，教师继续引导：“今天我们将学习一种新的数，它和有理数不同，它叫做无理数。那么，什么是无理数呢？它又有什么特点呢？接下来，我们就一起来探讨这个问题。”
4.课后拓展：
a.查找资料，了解无理数的发现和发展历程，了解数学家们在无理数研究方面的贡献。
b.尝试利用无理数知识解决实际问题，例如计算圆形物体的面积、周长等。
5.家长参与：
a.请同学们向家长介绍本节课所学无理数知识，增进家长对子女学习情况的了解。
b.家长协助孩子完成课后作业，关注孩子在数学学习中的困难和问题。
2.学生在小组内进行讨论，教师巡回指导，关注学生的讨论过程，适时给予提示和引导。
3.各小组汇报讨论成果，教师点评并总结。
北师大版八年级数学上册：21认识无理数教学设计
3.引出无理数：告诉学生，像√2这样不能表示为两个整数之比的数，我们称之为无理数。从而导入新课——认识无理数。
（二）讲授新知
1.无理数的定义：详细讲解无理数的概念，强调无理数的不可度量性和无限不循环性。
-解释：无理数是无限不循环小数，不能精确地表示为分数形式。
6.分层教学，关注差异：针对不同学生的学习能力，设计不同难度的练习题和拓展任务，使每个学生都能在原有基础上得到提高。
-对于基础较弱的学生，重点在于理解无理数的概念和基本性质；对于基础较好的学生，可以增加一些拓展性问题，提高他们的思维能力。
7.持续评价，激励发展：采用多元化的评价方式，如课堂问答、小组讨论、作业反馈等，对学生的学习过程和结果进行持续评价，激励学生不断进步。
（二）过程与方法
1.通过对无理数的探究，培养学生独立思考、合作交流的能力。
2.引导学生通过观察、猜想、验证等环节，发现无理数的性质，提高学生的归纳总结能力。
3.运用数轴、几何图形等工具，将无理数与直观图形相结合，培养学生的空间想象力和数形结合思想。
4.通过解决实际问题，让学生体会数学在实际生活中的应用，提高学生的实际问题解决能力。
-解释无理数与有理数的区别和联系。
-计算√9-√16，并说明结果是有理数还是无理数。
2.实际应用题：
-一个正方形的对角线长度是边长的√2倍，求该正方形的对角线长度。
-估算圆的周长，已知半径为3cm，π取3.14。
-某同学在跑步时，以每秒√2米的速度匀速前进，求1分钟内跑过的距离。
3.拓展提升题：
-证明：如果一个数的平方是无理数，那么这个数本身也是无理数。
7.课后作业：布置适量的课后作业，巩固学生对无理数的认识，提高学生的实际问题解决能力。
北师大版数学八年级上册2.1认识无理数第二课时优秀教学案例
（二）过程与方法
1.采用探究式学习，让学生通过自主探究、合作交流，发现无理数的性质和规律。
2.运用案例分析法，让学生结合实际案例，深入理解无理数在现实生活中的应用。
3.采用数形结合法，引导学生通过图形直观地理解无理数的概念和性质。
4.教授数学归纳法，培养学生运用归纳思维解决数学问题的能力。
2.强调无理数在现实生活中的重要性。例如，通过案例分析，让学生认识到无理数在建筑、音乐等领域的重要作用。
3.总结本节课的学习方法。例如，强调探究式学习、合作交流等方法的重要性，让学生学会学习。
（五）作业小结
1.布置具有针对性的作业。例如，让学生运用所学的无理数知识解决实际问题，巩固所学内容。
2.要求学生在作业中反思自己的学习过程。例如，让学生在作业中总结自己在课堂上的学习心得，找出需要改进的地方。
3.鼓励学生自主探究，引导他们通过自己解决问题。
（三）小组合作
1.组织学生进行小组讨论，促进他们之间的交流与合作。例如，将学生分成若干小组，让他们共同探讨无理数的性质，并分享各自的发现。
2.设计合作性的数学活动，让学生共同解决问题。例如，安排学生分组进行数学探究项目，要求他们共同研究无理数在现实生活中的应用，并展示研究成果。
3.鼓励学生互相评价，培养他们的团队合作意识。例如，让小组成员互相评价对方在合作过程中的表现，并提出建设性的意见。
（四）反思与评价
1.引导学生进行自我反思，检查自己的学习效果。例如，让学生回顾本节课所学的无理数知识，总结自己的学习心得，找出需要改进的地方。
2.设计评价量表，对学生的学习情况进行全面评价。例如，制定评价量表，从知识掌握、思考能力、团队合作等方面，对学生的表现进行评估。
北师大版八年级上册数学2.1《认识无理数》(2)(教案)
北师大版八年级上册数学2.1《认识无理数》（2）（教案）2.1认识无理数（2）教学目标知识与技能1.借助计算器探索无理数是无限不循环小数，并从中体会无限逼近的思想.2.会判断一个数是有理数还是无理数.过程与方法1.借助计算器进行估算，培养学生的估算能力，发展学生的抽象概括能力，并在活动中进一步发展学生独立思考、合作交流的意识和能力.2.探索无理数的定义，以及无理数与有理数的区别，并能辨别出一个数是无理数还是有理数.情感态度与价值观1.让学生理解估算的意义，掌握估算的方法，发展学生的数感和估算能力.2.充分调动学生的积极性，培养他们的合作精神，提高他们的辨识能力.重点难点重点：了解无理数与有理数的区别，用所学定义正确判断所给数的属性.难点：无理数概念的建立及估算.教学过程【情境导入】创设问题情境，引入新课我们在上节课了解到有理数又不够用了，并且我们还发现了一些新数，如a2=2,b2=5中的a，b既不是整数，也不是分数，那么它们究竟是什么数呢？本节课我们就来揭示它的真面目.【新知构建】一、数的小数表示面积为2的正方形的边长a究竟是多少呢?(1)如图所示,三个正方形的边长之间有怎样的大小关系?说说你的理由.大家判断一下3个正方形的边长之间有怎样的大小关系？说说你的理由.生：因为3个正方形的面积分别为1，2，4，而面积又等于边长的平方，所以面积大的正方形边长就大.师：大家能不能判断一下面积为2的正方形的边长a的大致范围呢？生：因为a2大于1且a2小于4，所以a大致为1点几.师：很好.a肯定比1大而比2小，可以表示为1＜a＜2.那么a究竟是1点几呢？请大家用计算器进行探索，首先确定十分位，十分位究竟是几呢？如1.12=1.21，1.22=1.44，1.32=1.69，1.42=1.96，1.52=2.25，而a2=2，故a应比1.4大且比1.5小，可以写成1.4＜a＜1.5，所以a是1点4几，即十分位上是4，请大家用同样的方法确定百分位、千分位上的数字.生1：因为1.412=1.9881，1.422=2.0164，所以a应比1.41大且比1.42小，所以百分位上数字为1.生2：因为1.4112=1.990921，1.4122=1.993744，1.4132=1.996569，1.4142=1.999396，1.4152=2.002225，所以a应比1.414大而比1.415小，即千分位上的数字为4.生3：因为1.41422=1.99996164，1.41432=2.00024449，所以a应比1.4142大且比1.4143小，即万分位上的数字为2.师：大家非常聪明，请一位同学把自己的探索过程整理一下，用表格的形式反映出来.生：可以.师：请大家继续探索，并判断a 是有限小数吗？生：a =1.41421356…，还可以再继续进行，且a 是一个无限不循环小数.师：请大家用上面的方法估计面积为5的正方形的边长b 的值.边长b 会不会算到某一位时，它的平方恰好等于5？请大家分组合作后回答.(约4分钟)生：b =2.236067978…，还可以再继续进行，b 也是一个无限不循环小数. 生：边长b 不会算到某一位时，它的平方恰好等于5，但我不知道为什么.师：好.这位同学很坦诚，不会就要大胆地提出来，而不要冒充会，这样才能把知识学扎实，学透，大家应该向这位同学学习.这个问题我来回答.如果b 算到某一位时，它的平方恰好等于5，即b 是一个有限小数，那么它的平方一定是一个有限小数，而不可能是5，所以b 不可能是有限小数.同样,对于体积为2的正方体,借用计算器,可以得到它的棱长c =1.25992105…,它也是一个无限不循环小数. 二、有理数的小数表示,明确无理数的概念展示教材P23议一议请下列各数表示成小数，你发现了什么？3，112,458,95,54-. （提示：看它们是有限小数还是无限小数，是循环小数还是不循环小数.）生：3=3.0，54=0.8，95=•5.0，458-=•71.0，••=818.1112生：3，54是有限小数，112,458,95-是无限循环小数.师：上面这些数都是有理数，所以有理数总可以用有限小数或无限循环小数表示.反过来，任何有限小数或无限循环小数都是有理数.像上面研究过的a 2=2,b 2=5中的a ，b 是无限不循环小数. 无限不循环小数称为无理数(irrational number).除上面的a ，b 外，圆周率π=3.14159265…也是一个无限不循环小数，0.5858858885…(相邻两个5之间8的个数逐次加1)也是一个无限不循环小数，它们都是无理数.强调：有理数与无理数的主要区别(1)无理数是无限不循环小数，有理数是有限小数或无限循环小数. (2)任何一个有理数都可以化为分数的形式，而无理数则不能. 三、例题讲解 展示教材P23例题下列各数中，哪些是有理数？哪些是无理数？3.14，－34，••75.0，0.1010010001…(相邻两个1之间0的个数逐次加1).解：有理数有3.14，－34，••75.0.无理数有0.1010010001…(相邻两个1之间0的个数逐次加1).知识拓展：确定x2=a(a≥0)中正数x的近似值的方法:1.确定正数x的整数部分.根据平方的定义,把x夹在两个连续的正整数之间,确定其整数部分.例如:求x2=5中的正数x的整数部分,因为22<5<32,即22<x2<32,所以2<x<3,因此x的整数部分为2.2.确定x的小数部分十分位上的数字.(1)将这两个整数平方和的平均数与a比较,预测十分位上数字的取值范围,如两个整数2和3的平方和的平均数为=6.5>5,所以x的十分位上的数字一定比3小,不妨设x≈2.2.(2)设误差为k(k必为一个纯小数,且k可能为负数),则x=2.2+k,所以(2.2+k)2=5,所以4.84+4.4k+k2=5,因为k是小数,所以k2很小,把它舍去,所以4.84+4.4k=5,所以k≈0.036,所以x=2.2+k≈2.2+0.036=2.236.实际估算中,整数部分的数字容易估计,十分位上的数字也可以采用试验的方法进行估计,即2.12=4.41,2.22=4.84,2.32=5.29,因为4.84<5<5.29,所以2.22<x2<2.32,所以2.2<x<2.3,所以十分位上的数字为2.【课堂小结】1.用计算器进行无理数的估算.2.无理数的定义.3.判断一个数是无理数或有理数.【课后作业】必做题：教材第24页随堂练习.教材第25页习题2.2第1,2,3题.选做题：教材第25页习题2.2第4题.。
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第一周第二课时八年级上册第二章实数第一节认识无理数（2）
【课标与教材分析】
课标要求
了解无理数的概念；《认识有理数》是义务教育课程标准北师大版实验教科书八年级（上）第二章《实数》的第一节，第一课时让学生感受数的发展，感知生活中确实存在着不同于有理数的数. 本课时为第二课时，内容是建立无理数的基本概念，借助计算器，感受无理数是无限不循环小数，会判断一个数是无理数，并能结合实际判别有理数和无理数.在活动中进一步发展学生独立思考的意识和合作交流的能力，在学习中领悟数学知识来源于生活，体会数学知识与现实世界的联系，而且对今后学习数学也有着重要意义.
【学情分析】
学生已经知道的:学生在小学阶段已经学习了非负数，七年级又学习了有理数.本章第一课时的学习，学生感受到了生活中确实存在着不是有理数的数，让学生认识到所学的数又不够用了，从而激发他们学习的好奇心，能积极主动地参与到学习中，充分认识到学习无理数引入的必要性，发展学生的合情推理能力.
学生想知道的:无理数的定义，比较无理数与有理数的区别，怎样判断一个数是无理数还是有理数的？
学生能自己解决的：学生发现有理数不够用了，存在既不是整数，也不是分数的数。
【教学目标】
根据以上分析,确定本节课的教学目标如下：
1．知识与技能借助计算器探索无理数是无限不循环小数，借助计算器进行估算，培养学生的估算能力，发展学生的抽象概括能力，并从中体会无限逼近的思想.
2数学思考: 探索无理数的定义，比较无理数与有理数的区别，并能辨别出一个数是无理数还是有理数，训练学生的思维判断能力.
3问题解决:能够准确地将目前所学习的数按不同角度进行分类，并说明理由，进一步体会分类思想，培养学生解决问题的能力.
4情感态度:充分调动学生参与数学问题的积极性，培养学生的合作精神，提高他们的辨识能力.
【教学重点】感受无理数是无限不循环小数，会判断一个数是无理数，并能结合实际判别有理数和无理数.
【教学难点】感受无理数是无限不循环小数
【教学方法】引导、探究、发现与合作交流相结合.
【教学媒体】多媒体黑板电脑
【教学过程】本节课设计六个教学环节:
第一环节：新课引入；第二环节：活动与探究；第三环节：知识分类整理；第四环节：知识运用与巩固；第五环节：课堂小结；第六环节：作业布置.
第一环节：新课引入
内容:想一想：
1. 有理数是如何分类的？ 整数（如1-，0，2，3，…)
有理数
分数(如31
，52-，11
9，0.5，… ) 2. 除上面的数以外，我们还学习过哪些不同的数? 如圆周率π，0.020020002…上节课又了解到一些数，如22=a ，5=b 中的a ，b 不是整数，能不能转化成分数呢？那么它们究竟是什么数呢？本节课我们就来揭示它们的真面目.
通过这些问题让学生发现有理数不够用了，存在既不是整数，也不是分数的数，激发学生的求知欲，去揭示它的真面目. 第二个环节：活动与探究
1. 探索无理数的小数表示
内容：借助计算器以小组讨论的形式对面积为2的正方形的边长a 和面积为5的正方形的边长b 进行估计.
请看图，判断下面3个正方形的边长之间有怎样的大小关系？边长a 的取值范围大致是多少?如何估算的？是否存在一个小数的平方等于2?说说你的理由.
归纳总结:a是介于1和2之间的一个数，既不是整数，也不是分数，则a一定不是有理数.如果写成小数形式，它们是无限不循环小数.
请大家用上面的方法估计面积为5的正方形的边长b的值.
让学生有充分的时间进行思考和交流，逐渐地缩小范围，借助计算器探索出a=1.41421356…，b=2.2360679…，是无限不循环小数的过程，体会无限逼近的思想.
2. 探索有理数的小数表示，明确无理数的概念
内容：请同学们以学习小组的形式活动：一同学举出任意一分数，另一同学将此分数表示成小数，并总结此小数的形式.
议一议：分数化成小数，最终此小数的形式有哪几种情况？
探究结论：分数只能化成有限小数或无限循环小数.
即任何有限小数或无限循环小数都是有理数.
强调：像0.585885888588885…，1.41421356…，－2.2360679…等这些数的小数位数都是无限的，并且不是循环的，它们都是无限不循环小数.
我们把无限不循环小数叫做无理数.(圆周率π=3.14159265…也是一个无限不循环小数，故π是无理数).
通过学生的活动与探究，得出无理数的概念.
第三个环节：知识分类整理
内容：到目前为止我们所学过的数可以分为几类？(按小数的形式来分).
强调“无限不循环小数”与“无限循环小数”的联系和区别.无理数还可以进行怎样的分类?
培养学生总结归纳的能力，把新学知识纳入已有的知识体系，进一步发展学生的思维判断能力，加强学生对分类思想的理解. 第四个环节：知识运用与巩固
内容：认识一个数是无理数还是有理数.
例1填空:
0.351， 4.96∙∙-，32-， 3.14159， 6， －5.2323332…，3
π，1234567891011…(由相继的正整数组成).
有理数：有限小数或无限循环小数
无理数：无限不循环小数 数
整数
分数
例2 判断下列说法是否正确
(1)有限小数是有理数; （ ）
(2)无限小数都是无理数; （ ）
(3)无理数都是无限小数; （ ）
(4)有理数是有限数. （ ）
例3以下各正方形的边长是无理数的是（ ）
(A ）面积为25的正方形； (B ） 面积为254的正方形； (C ） 面积为8的正方形； (D ） 面积为1.44的正方形. 例4一个直角三角形两条直角边的长分别是3和5，
则斜边a 是有理数吗?
解:由勾股定理得: 22235a =+，即2=34a .因为34不
是完全平方数，所以a 不是有理数.
强调:
1. 无理数是无限不循环小数，有理数是有限小数或无限循环小数.
2. 任何一个有理数都可以化成分数q p 形式（q ≠0， p ，q 为整数且互质），而无理数则不能.
练一练： 有理数集合 无理数集合
… …
5
1.课本P 23 随堂练习.
2.已知：在数4
3-，5， 1.42∙∙-，π，3.1416，32，0，24，2n (1)- ， －1.424224222…中，
（1）写出所有有理数；
（2）写出所有无理数；
（3）把这些数按由小到大的顺序排列起来，并用符号“<”连接. 通过例题的讲解、练习，让学生充分理解无理数、有理数的概念、区别，感受数的分类.
第五个环节：课堂小结
内容：本节课你有哪些收获?
1．无理数的定义.
2．你是怎样判断一个数是无理数还是有理数的？
3．请把已学过的数怎样分类？
让学生学会及时对知识点、数学方法进行总结，并整理成经验，形成知识体系，培养学生良好的学习习惯，提高其归纳总结能力. 第六个环节：布置作业
习题2.2 1.2.3.
教学评价：本节课借助寻找正方形边长这一“现实生活中的实例”，让学生通过估计、借助计算器进行探索、讨论等途径，体会数学学习的乐趣，体会无限逼近的数学思想，得到无理数的概念；在教学实施过程中，由于我班基础较薄弱，这一探索过程所需时间较长，会影响后面环节的进行，但感知过程是学生理解无理数这一抽象概念所必需
的，所以绝对不能淡化.让学生在数学学习中能将抽象的知识形象具体化，复杂知识体系化.同时引导学生回顾旧知、探索新知，形成一定的数学探究能力，进一步培养学生的分类和归纳的思想，为今后的数学学习打下坚实基础. 但对概念的理解掌握一些同学还不很到位，只能在以后的教学过程中不断的加深.另外，由于学生对有理数和无理数的概念具体感知还不够，所以在第三环节：知识分类整理环节，学生自主整理和接受会有一定困难，若学生学习例1后再进行知识分类整理更好.
板书设计：
第二章
实数 1. 认识无理数（2）
一、导入
二、新课
1.有理数的定义：有限小数或无限循环小数.
2.无理数的定义：无限不循环小数.
3.实数分类：
三、例题讲述
四、小结
有理数：有限小数或无限循环小数
无理数：无限不循环小数 实数
整数
分数。