数量积的坐标表示
平面向量的坐标表示,模,夹角
二、探究解疑
Office组件之word2007
1、平面向量数量积的坐标表示
问题1、如图，i 是x轴上的单位向量，j
是y轴上的单位向量，
i i 1 . j j 1 .
y A(x1,y1)
i j j i 0 .
B(x2,y2) a
bj
oi x
问题2
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AB AC 1313 0
是的判两断条B相线(2应段,3)
AB AC
∴ △ABC是直角三角形
或垂A(直直1,2的线) 是重否要 x 0方法之一
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uuuv
uuuv
uuuv
方法2：AB= 1,1，AC= -3,3，BC= -4,2
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2.4.2 平面向量数量积的 坐标表示、模、夹角
一、复习引入
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1、数量积的定义：a b | a || b | cos
2、投影：| b | cos 叫做 b在 a方 向 上 的 投 影
B
r
b
r
Oθ
a
B1
A
| b | cos
2 2
=45o
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例3:已知a =(1, 0)，b =(2, 1)，当k为何实数 时，向量k a－ b与 a+3b(1)平行；(2)垂直
解：k a－ b =(k－2, －1) a +3 b=(7, 3)
(1)由向量平行条件得3(k－2)+7=0
所以k= 1 3
3.数量积的性质
Office组件之word2007
平面向量数量积的坐标表示
求两向
平面向量数量积的坐标表示
平面向量数量积的坐标表示
已知向量a,b的夹角θ的范围,求参数的取值范围时,可利用性质:①0°≤θ<90°⇔ a·b>0;②90°<θ≤180°⇔a·b<0.
3.解决投影向量问题的方法 已知非零向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a在b方向上的投影向量为 · =
. ,
.
平面向量数量积的坐标表示
判断正误，正确的画“√” ，错误的画“ ✕” .
1.向量a=(x1,y1),b=(x2,y2)的数量积仍是向量,其坐标为(x1x2,y1y2). ( ✕ ) 2.| |的计算公式与A,B两点间的距离公式是一致的. ( √ )
3.若非零向量a=(x1,y1),b=(x2,y2)的夹角为锐角,则x1x2+y1y2>0;反之,若非零向量a=(x1, y1),b=(x2,y2)满足x1x2+y1y2>0,则它们的夹角为锐角. ( ✕ )
.
其中的真命题为 ②③ .(填序号)
思路点拨 根据平面向量的夹角、模及投影向量公式求解.
平面向量数量积的坐标表示
平面向量数量积的坐标表示
解析 对于①,∵a=(1,2),b=(1,1), ∴a+λb=(1+λ,2+λ). ∵a与a+λb的夹角为锐角,
∴
解得
∴λ的取值范围为
∪(0,+∞),故①错误.
对于②,∵a⊥c,∴2x-4=0,解得x=2.
6.3.5 平面向量数量积的坐标表示
1.能用坐标表示平面向量的数量积,会求两个平面向量的夹角. 2.会用两个向量的坐标判断它们是否垂直. 3.会利用平面向量的数量积解决判断图形形状的问题,进一步体会数形结合的 思想方法.
向量的数量积坐标运算原理
向量的数量积坐标运算原理向量的数量积（也称为点积或内积）是向量运算中的一种重要运算，它用于计算两个向量之间的相似性和夹角。
在三维空间中，向量的数量积可以通过以下公式来表示：A ·B = A * B * cos(θ)其中，A和B是两个向量，A 和B 分别表示它们的模（长度），θ表示A和B 之间的夹角。
向量的数量积可以使用坐标运算来计算。
假设A = (a1, a2, a3)和B = (b1, b2, b3)是两个三维向量，则它们的数量积通过以下公式计算：A ·B = a1 * b1 + a2 * b2 + a3 * b3在计算数量积时，我们将每个向量的对应坐标相乘，然后将乘积相加，从而得到数量积的结果。
这个过程可以类比于在笛卡尔坐标系中通过向量的投影计算出向量的模和夹角。
为了更好地理解坐标运算原理，我们可以通过一个具体的例子来说明。
假设有两个向量A = (2, 3)和B = (4, 5)，我们可以使用坐标运算来计算它们的数量积。
首先，将向量A和B的对应坐标相乘：A ·B = (2 * 4) + (3 * 5) = 8 + 15 = 23这样，我们得到了向量A和B的数量积为23。
通过计算可以得到，向量A和B 之间的夹角θ约为57.02。
在实际应用中，向量的数量积具有很多重要的性质和应用。
以下是一些常见的性质和应用：1. 平行性：如果两个向量的数量积为0，则它们是垂直的。
因此，我们可以使用数量积来判断两个向量是否平行。
2. 夹角：通过数量积的公式，我们可以计算出两个向量之间的夹角。
夹角的范围是0到180之间。
3. 正交性：如果两个向量的数量积为0，则它们是正交或垂直的。
因此，我们可以使用数量积来判断两个向量是否正交。
4. 投影：向量的数量积还可以用来计算一个向量在另一个向量上的投影。
具体而言，如果我们有一个向量A和一个单位向量u，那么向量A在u上的投影可以通过执行数量积A ·u来计算。
向量数量积的坐标表示、模、夹角
向量数量积的几何意义
投影长度
数量积表示向量$vec{A}$在向量 $vec{B}$上的投影长度。
角度余弦值
数量积等于两向量夹角的余弦值乘以 两向量的模的乘积，即$cos theta = frac{vec{A} cdot vec{B}}{|vec{A}| cdot |vec{B}|}$。
向量数量积的计算公式
几何意义
向量模的计算公式在几何上表示了从原点到该向量的有向线段的长度。
向量模的性质
性质1
向量的模满足三角不等式，即对于任意两个向量$overset{longrightarrow}{a}$和 $overset{longrightarrow}{b}$，有$left| overset{longrightarrow}{a} +
向量数量积的坐标表示、模、夹角
$number {01}
目 录
• 向量的坐标表示 • 向量数量积的坐标表示 • 向量的模 • 向量夹角 • 向量数量积、模、夹角之间的关
系
01
向量的坐标表示
定义与性质
定义
向量可以用坐标表示为 $overrightarrow{A} = (x_1, y_1)$，$overrightarrow{B} = (x_2, y_2)$。
向量夹角与点积的关系
当两个向量的夹角为90°时，它们的数量积为0，即A·B = 0；当两个向 量的夹角为0°或180°时，它们的数量积等于它们的模长的乘积，即A·B = ||A|| ||B||。
05
向量数量积、模、夹角之间 的关系
向量数量积与模的关系
1 2
3
向量数量积的定义
两个向量的数量积定义为它们的模的乘积乘以它们夹角的余 弦值。
2.4.2平面向量数量积的坐标表示、模、夹角数学学案009
2.4.2平面向量数量积的坐标表示、模、夹角【目标要求】1.掌握向量数量积的坐标表达式，会进行向量数量积的坐标运算．2．能运用数量积表示两个向量的夹角、计算向量的长度，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系.【热点提示】向量的数量积是高考命题的热点，主要考查数量积的运算、化简、证明，向量平行、垂直的充要条件的应用以及利用向量解决平面几何问题．【知识梳理】1．平面向量数量积的坐标表示若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ·b ＝x 1x 2＋y 1y 2.即两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和．2．两个向量垂直的坐标表示设两个非零向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ⊥b ⇔x 1x 2＋y 1y 2＝0.3．三个重要公式(1)向量模公式：设a ＝(x 1，y 1)，则|a |＝x 21＋y 21.(2)两点间距离公式：若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则|AB →|＝(x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)2.(3)向量的夹角公式：设两非零向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，a 与b 的夹角为θ，则cos θ＝x 1x 2＋y 1y 2x 21＋y 21·x 22＋y 22. 【课堂互动】平面向量数量积的坐标运算【例1】 已知向量a 与b 同向，b ＝(1,2)，a ·b ＝10.(1)求向量a 的坐标；(2)若c ＝(2，－1)，求(b ·c )a .练1 已知a ＝(2，－1)，b ＝(3，－2)，求(3a －b )·(a －2b )．向量的模的问题【例2】 已知向量a ＝(sin θ，1)，b ＝(1，cos θ)，－π2<θ<π2. 求|a ＋b |的最大值．练2 已知向量a ＝(2,1)，a ·b ＝10，|a ＋b |＝52，则|b |等于( )A.5B.10 C ．5 D ．25向量的垂直问题【例3】 已知三点A (2,1)，B (3,2)，D (－1,4)．(1)求证：AB ⊥AD ；(2)要使四边形ABCD 为矩形，求点C 的坐标并求矩形ABCD 的对角线的长度．练3 已知向量a ＝(1,1)，b ＝(2，－3)，若λa －2b 与a 垂直，则实数λ等于________．向量的夹角问题【例4】 已知a ＝(1,2)，b ＝(1，λ)，分别确定实数λ的取值范围，使得(1)a 与b 的夹角为直角；(2)a 与b 的夹角为钝角；(3)a 与b 的夹角为锐角．4 如下图所示，已知O 是原点，点A (16,12), 点B (－5,15)，求：(1)|OA →|，|AB →|；(2)∠OAB .【限时训练】1．设a ＝(1，－2)，b ＝(－3,4)，c ＝(3,2)，则(a ＋2b )·c 等于( )A ．(－15,12)B ．0C ．－3D ．－112．已知向量a ＝(x －5,3)，b ＝(2，x )，若a ⊥b ，则由x 的值构成的集合是( )A ．{2,3}B ．{－1,6}C ．{2}D ．{6}3．(2010·安徽)设向量a ＝(1,0)，b ＝(12，12)，则下列结论中正确的是( )A ．|a |＝|b |B ．a ·b ＝22C ．a －b 与b 垂直D ．a ∥b4．与a ＝(3,4)垂直的单位向量是( )A ．(45，35) B ．(－45，－35)C ．(45，－35或(－45，35) D ．(45，35)或(－45，－35)5．已知向量a ＝(1,2)，b ＝(－2，－4)，|c |＝5，若(a ＋b )·c ＝52，则a 与c 的夹角是() A ．30° B ．60° C ．120° D ．150°6．与向量a ＝(72，12)，b ＝(12，－72)的夹角相等，且模为1的向量是( )A ．(45，－35)B ．(45，－35)或(－45，35)C ．(223，－13) D ．(223，－13或(－223，13)。
§2.4.2平面向量数量积的坐标表示、模、夹角
二、向量的模和两点间距离公式:
1向量的模(长度公式)：
设a (x, y),则
2
a x2 y2,或a
x2 y2
2两点间的距离公式： 设Ax1, y1、Bx2, y2 ,则AB x2 x1, y2 y1
AB x2 x1 2 y2 y1 2
【拓展提升】数量积坐标运算的方法技巧 (1)进行数量积运算时,要正确使用公式 a·b=x1x2+y1y2,并能灵活运用以下几个关系: |a|2=a·a.(a+b)(a-b)=|a|2-|b|2. (a+b)2=|a|2+2a·b+|b|2. (2)利用数量积的条件求平面向量的坐标,一般来 说应当先设出向量的坐标,然后根据题目中已知 的条件找出向量坐标满足的等量关系,利用数量 积的坐标运算列出方程组来进行求解.
记忆口诀：注意坐标形式下两向量垂直的条件与两向量平 行的条件不要混淆， “a⊥b⇔x1x2＋y1y2＝0”可简记为“对应相乘和为0”； “a∥b⇔x1y2－x2y1＝0”可简记为“交叉相乘差为0”．
四、向量夹角公式的坐标表示:
设a x1, y1 ,b x2 , y2 , a与b夹角为，0
(1)掌握向量数量积的坐标表达式， 会进行向量数量积的坐标运算;
(2)能运用数量积表示两个向量的夹角，计 算向量的长度，会用数量积判断两个平面 向量的垂直关系.
一、平面向量数量积的坐标表示:
a x1, y1 ,b x2 , y2 a,b非零向量 y A(x1,y1)
a x1i y1 j,b x2i y2 j
B(x2,y2)
a
bj
a b (x1i y1 j) (x2i y2 j)
空间向量数量积的坐标表示
Hale Waihona Puke 0时，的夹角在什么范围内？
练习一：
1.求下列两点间的距离：
(1) A(1,1, 0) , B(1,1,1) ; (2) C(3 ,1, 5) , D(0 , 2 , 3) .
2.求下列两个向量的夹角的余弦：
(1) ar (2 , 3 ,
r 3)，b (1, 0 , 0) ;
(2)
ar
(1
,
例题：
A
例1 已知A(3 , 3 ,1)、B(1, 0 , 5) ，求：
（1）线段 AB 的中点坐标和长度；
M
B
解：设 M(x , y , z) 是 AB的中点，则 O
uuuur OM
1 2
uuur (OA
uuur OB)
1 2
(3
,
3
,
1)
1 ,
0
,
5
2
,
3 2
,
3
,
∴点 M的坐标是
2
,
3 2
1
,
r 1)，b
(1
,
0
,
1)
;
3．已知 ABCD ,顶点 A(1,0,0), B(0,1,0) ,C(0,0, 2) ,
则顶点 D 的坐标为___(_1_,_-_1_,2_)_____;
4． Rt△ABC 中, BAC 90o , A(2,1,1), B(1,1, 2) ,
C( x, 0,1) ,则 x __2__;
r a
r b
(a
1
b1,
a2
b2
,
a3
b3
)
;
ar
r b
(a 1b1,a2
《数量积坐标表示》课件
01
刚体运动是指物体在运动过程中保持形状和大小不变的运动。
刚体运动的实例
02
例如，一个球体在平面上滚动、一个立方体在三维空间中旋转
等。
刚体运动的表示方法
03
在刚体坐标系中，可以用固定点表示刚体的位置和速度，用向
量的数量积表示力在刚体上的投影。
物理学
在物理学中，许多物理量如力、速 度、加速度等都可以用向量表示， 而数量积坐标表示是描述这些向量 的重要工具。
02
数量积坐标表示的计算方 法
坐标系的选择与转换
01
02
03
04
直角坐标系
以原点为中心，x轴、y轴为 基轴，用于描述平面内点的位
置。
极坐标系
以原点为中心，极轴为基轴， 用于描述平面内点的位置和方
《数量积坐标表示》 ppt课件
目录 CONTENT
• 数量积坐标表示的基本概念 • 数量积坐标表示的计算方法 • 数量积坐标表示的几何意义 • 数量积坐标表示的物理意义 • 数量积坐标表示的实例分析
01
数量积坐标表示的基本概 念
定义与公式
定义
数量积坐标表示是一种数学表达 方式，用于描述向量在二维或三 维空间中的位置和方向。
公式
在二维空间中，向量A的数量积坐 标表示为(A_x, A_y)，在三维空间 中，向量A的数量积坐标表示为 (A_x, A_y, A_z)。
数量积坐标表示的性质
01
02
03
非负性
数量积坐标表示的数值均 为非负数，表示向量的长 度或模长。
正交性
对于两个正交的向量A和B ，它们的数量积坐标表示 为0，即A·B=0。
VS
详细描述
在二维平面中，一个向量可以分解为两个 垂直向量的和，这两个垂直向量分别表示 该向量在x轴和y轴上的分量。在三维空间 中，一个向量可以分解为三个垂直向量的 和，这三个垂直向量分别表示该向量在x 轴、y轴和z轴上的分量。向量的合成则是 指将若干个向量加在一起得到一个新的向 量，例如，两个向量的和就是将它们首尾 相接，形成一个新的向量。
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题型二 两向量的夹角 【例 2】 已知 a＝(1,2)，b＝(1，λ)，分别确定实数 λ 的取值范 围，使得：(1)a 与 b 的夹角为直角；(2)a 与 b 的夹角为钝角； (3)a 与 b 的夹角为锐角．
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【变式 2】 已知 a＝(－2，－1)，b＝(λ，1)，若 a 与 b 的夹角 α 为钝角，求 λ 的取值范围. 解 由题意 cos α＝|aa|·|bb|＝ －5·2λλ－2＋11， ∵90°＜α＜180°，∴－1＜cos α＜0， ∴－1＜ －5·2λλ－2＋11＜0， ∴－－22λλ－－11＜＞0－， 5λ2＋5，
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即λ＞－12， 2λ＋12＜5λ2＋5，
即λ＞－12， λ≠2，
∴λ 的取值范围是（－12，2）∪(2，＋∞)．
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题型三 向量垂直的坐标运算 【例 3】 已知 a＝－12， 23，O→A＝a－b，O→B＝a＋b，若△AOB 是以 O 为直角顶点的等腰直角三角形，求向量 b.
与 b 的夹角为 θ，则 cos θ＝
x1x2＋y1y2 x21＋y21· x22＋y22
.
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题型一 向量数量积的坐标表示及运算 【例 1】 已知向量 a 与 b 同向，b＝(1,2)，a·b＝10，求： (1)向量 a 的坐标；(2)若 c＝(2，－1)，求(a·c)·b.
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3．三个重要公式
(1)向量模公式：设 a＝(x1，y1)，则|a|＝ x21＋y21 . (2) 两 点 间 距 离 公 式 ： 若 A(x1 ， y1) ， B(x2 ， y2) ， 则 | A→B | ＝
x2－x12＋y2－y12 .
(3)向量的夹角公式：设两非零向量 a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a
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【变式 3】 已知 a＝(m＋1，－3)，b＝(1，m－1)，若(a＋b)⊥ (a－b)，求 m 的值． 解 ∵a＋b＝(m＋2，m－4)，a－b＝(m，－m－2)， 又(a＋b)⊥(a－b)， ∴(a＋b)·(a－b)＝0， 即(m＋2，m－4)·(m，－m－2)＝0. ∴m2＋2m－m2＋2m＋8＝0，∴m＝－2.
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【变式 1】 已知 a＝(4，－3)，|b|＝1，且 a·b＝5，求向量 b 的 坐标．
解 设 b＝(x，y)，则x42x＋－y32y＝＝15，，
解得xy＝ ＝45－，35，
∴b＝45，－35.
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2．4.2 平面向量数量积的坐标表示、模、夹角
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自学 a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则 a·b＝ x1x2＋y1y2 . 即两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和．
2．两个向量垂直的坐标表示 设两个非零向量 a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则 a⊥b⇔x1x2＋y1y2＝0 .