高二数学空间向量数量积的坐标表示

合集下载

空间向量及其运算的坐标表示课件-2022-2023学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

对应一个向量 O A ，且点A 的位置由向量 O A 唯一确定，由空间向量基本
定理，存在唯一的有序数组(x，y，z)，使 OA xi y j z k .
在单位正交基底 { i ，j ，k } 下与向量对应
z
的有序数组(x，y，z)，叫做点A在空间直
A
角坐标系中的坐标，记作A(x，y，z)，其
6.平面向量的夹角余弦值如何用坐标表示？
x1 x2 y1 y2
a b
cos

.
2
2
2
2
| a || b |
x1 y1 x2 y2
我国著名数学家吴文俊先生在《数学教育现
代化问题》中指出:“数学研究数量关系与空间形
式,简单讲就是形与数,欧几里得几何体系的特点是
排除了数量关系,对于研究空间形式,你要真正的
(a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3)
(1)＋＝
Ԧ
．
(a1－b1，a2－b2，a3－b3)
(2)－＝
Ԧ
(λa1，λa2，λa3)
(3)λ＝
Ԧ
(λ∈R)．
a1b1＋a2b2＋a3b3
(4)·＝
Ԧ
.
∙
＝(a
Ԧ
1，a2，a3)＝a1i＋a2j＋a3k，＝(b1，b2，b3)
＝b1i＋b2j＋b3k，所以 ·＝(a
中x 叫做点A 的横坐标、y 叫做点A 纵坐标、
O
z 叫做点A 竖坐标.
x
y
在空间直角坐标系Oxyz中，给定向量 a ，作 OA a ，由空间向量基
本定理，存在唯一的有序数组(x，y，z)，使 a xi y j z k .
有序实数组(x，y，z)叫做 a 在空间直角坐标系Oxyz中的坐标，上式可

空间向量数量积的坐标表

数量积满足结合律，即$(mathbf{A} cdot mathbf{B}) cdot mathbf{C} = mathbf{A} cdot (mathbf{B} cdot mathbf{C})$。
02
空间向量数量积的坐标表示
向量坐标表示
向量坐标表示
01
一个向量可以用坐标系中的有序实数对来表示，其中第一个数
(mathbf{b} cdot mathbf{c})$。
详细描述
结合律允许我们改变数量积运算的括号顺序，即不改变结果。结合律表明，向量的数量积满足结合性质，可以按照任意组合进行计算。
04
空间向量数量积的应用
在解析几何中的应用
计算向量的长度和角度
通过数量积，可以计算向量的长度（模长）以及两个向量之间的角度。
性质
数量积满足交换律，即$mathbf{A} cdot mathbf{B} = mathbf{B} cdot mathbf{A}$。
数量积满足分配律，即$(mathbf{A} + mathbf{B}) cdot mathbf{C} = mathbf{A} cdot mathbf{C} + mathbf{B} cdot mathbf{C}$。
表示向量的起点，第二个数表示向量的终点。
坐标系选择
02
选择一个合适的坐标系，使得向量的坐标表示更加直观和方便。
坐标变换
03
当坐标系发生变化时，向量的坐标表示也会随之改变。
向量数量积的坐标表示
数量积定义
两个向量的数量积是一个标量，等于两个向量的对应坐标之和再乘以它们的夹角的余弦值。
计算方法
根据向量的坐标表示，可以直接计算出它们的数量积。
详细描述

空间向量的运算的坐标表示

三、空间ห้องสมุดไป่ตู้量长度与夹角的坐标表示
设 = (x1, y1, z1), b = (x2, y2, z2 ) a 根空向运的标示有据间量算坐表 , (1) | a |= a⋅ a = x + y + z ,
2 1 2 1 2 1
(2 ) cos < a, b >= (a ≠ 0, b ≠ 0)
= 2 × (−5) + 3 × (−13) + 2 × 6 = −10 − 39 + 12 = −37。
练 1 已 a = (−1 −3,2), b = (1 2,0).求: 习、知 , , (1)2a,−5a, a + 2b,2a −b; r r r r (2)(a + 2b) ⋅ (−2a +b)。 r r 解 : (1)2a = (−2, −6, 4)，−5a = (5,15, −10)， r r r r a + 2b = (1,1, 2)， 2a − b = (−3, −8, 4)。 r r r r (2)(a + 2b) ⋅ (−2a + b) = 3。
x1x2 + y1y2 + z1z2 x + y +z ⋅ x + y +z
2 1 2 1 2 1 2 2 2 2 2 2
(3)a ⊥ b ⇔ x1x2 + y1y2 + z1z2 = 0
练 2 判下向是平或直习断列量否行垂 r r (1 a = (1 −2,3), b = (1 ) , ,2,1)。 r r (2)a = (0, −3,3), b = (0,1 −1). , r r 1 1 2 (3)a = (−3,2,4), b = (− , , ). 2 3 3 r 3 r 3 (4)a = ( , −3,2), b = (0,1 − ). , 2 2

空间向量数量积运算律(分配律)的说明

空间角的计算
1．线线角
l2 e2 l1
设e1 ，e2分别为直线l1 ，l2的方向向量，直线 l1 ， l2 所成的角为θ，则 cosθ =
e1
e1 ⋅ e2 e1 e2
• 空间向量数量积运算律（分配律）的说明空间向量数量积运算律（分配律）
• a· (b+c)=a·b+a·c，对于平面向量因为 |b+c|cosθ=|b|cosθ1+|c|cosθ2
B E θ2
c
C
|a||b+c|cosθ =|a||b|cosθ1+|a||c|cosθ2 所以： a· (b+c)=a·b+a·c
立体几何中的向量方法
直线的方向向量与平面的法向量
如何用向量来刻画直线、平面的“方向”？ • 直线的方向向量不惟一，这些方向向量是共线向量；两条平行直线的方向向量是共线向量．可以用直线的方向向量研究空间线线、线面的平行与垂直关系． • 平面的法向量不惟一，这些法向量是共线向量；两个平行平面的法向量是共线向量．可以用平面的法向量研究空间线面、面面的平行与垂直关系．
a×b b
a
用向量语言（符号语言）描述空间线面关系：空间线面关系的判定
平行 l1与l2 l1与α1 e1∥e2 e1⊥n1 n1∥n2 垂直 e1⊥e2 e1∥n1 n1⊥n2
α1与α2
其中e1 ，e2 分别为直线l1 ，l2 的方向向量，n1 ，n2 分别为平面α1，α2的法向量。
空间线面关系的判定：三垂线定理，线面平行的判定定理，线面垂直的判定定理，面面平行的判定定理，面面垂直的判定定理。
b
θ1 O
θ D
a
A

向量的数量积的坐标运算

在力学中，物体的动能与其速度向量的模的平方成正比，可以通过向量的数量积来计算。
在电磁学中的应用
计算电场强度
01
电场强度向量可以通过电荷分布密度向量与距离向量的数量积
来计算。
判断电场方向
02
电场强度的方向可以通过电场向量与距离向量的数量积来判断。来自计算磁感应强度03
磁感应强度向量可以通过电流密度向量与距离向量的数量积来
数量积的性质
分配律：(a+b)·c = a·c + b·c，即向量数量积满足分配律。
零向量与任何向量的数量积都是0。
交换律：a·b = b·a，即向量数量积满足交换律。
结合律：(λa)·b = λ(a·b) = a·(λb)，其中λ是标量，即向量数量积满足结合律。
若向量a和b垂直，则它们的数量积为0，即a·b = 0。
VS
性质与应用
向量数量积具有交换律、分配律等性质，在物理、工程、计算机图形学等领域有广泛应用，如计算力、功、能量等物理量，以及进行向量的投影、旋转等操作。
对未来研究的展望
深入研究高维向量数量积的性质和应用
随着数据维度的增加，高维向量的数量积运算将变得更加复杂，需要进一步研究其性质和应用。
探索向量数量积在机器学习等领域的应用
在物理中，向量的数量积常用来表示力、功等物理量。
04 向量的数量积坐标运算方法
直接计算法
定义
直接计算法是指根据向量数量积的定义，通过计算两个向量的模长和它们之间的夹角余弦值来求得数量积的方法。
公式
设两个向量 a = (x1, y1)，b = (x2, y2)，则它们的数量积 a · b = |a| * |b| * cosθ，其中 |a| 和 |b| 分别是向量 a 和 b 的模长，θ 是向量 a 和 b 之间的夹角。

空间向量数量积的坐标表示

Hale Waihona Puke 0时，的夹角在什么范围内？
练习一：
1.求下列两点间的距离：
(1) A(1,1, 0) , B(1,1,1) ; (2) C(3 ,1, 5) , D(0 , 2 , 3) .
2.求下列两个向量的夹角的余弦：
(1) ar (2 , 3 ,
r 3)，b (1, 0 , 0) ;
(2)
ar
(1
,
例题：
A
例1 已知A(3 , 3 ,1)、B(1, 0 , 5) ，求：
（1）线段 AB 的中点坐标和长度；
M
B
解：设 M(x , y , z) 是 AB的中点，则 O
uuuur OM
1 2
uuur (OA
uuur OB)
1 2
(3
,
3
,
1)
1 ,
0
,
5
2
,
3 2
,
3
,
∴点 M的坐标是
2
,
3 2
1
,
r 1)，b
(1
,
0
,
1)
;
3．已知 ABCD ,顶点 A(1,0,0), B(0,1,0) ,C(0,0, 2) ,
则顶点 D 的坐标为___(_1_,_-_1_,2_)_____;
4． Rt△ABC 中, BAC 90o , A(2,1,1), B(1,1, 2) ,
C( x, 0,1) ,则 x __2__;
r a
r b
(a
1
b1,
a2
b2
,
a3
b3
)
;
ar
r b
(a 1b1,a2

2020北师大版高中数学选修2-1 教师课件：第二章空间向量运算的坐标表示

[解析] 由已知可得：A→B＝(4,5，－1)－(2，－1,2)＝(2,6，－3)，A→C＝(－2,2,3) －(2，－1,2)＝(－4,3,1)． (1)O→P＝12(A→B－A→C)＝12[(2,6，－3)－(－4,3,1)]＝(3，32，－2)，所以 P 点的坐标为(3，32，－2)．
(2)设 P(x，y，z)，则A→P＝(x－2，y＋1，z－2)．因为12(A→B－A→C)＝(3，32，－2)，所以A→P＝(x－2，y＋1，z－2)＝(3，32，－2)，解得：x＝5，y＝12，z＝0，则 P 点的坐标为(5，12，0)．
[解析] (1)∵c∥B→C， ∴c＝mB→C＝m(－2，－1,2)＝(－2m，－m,2m)(m∈R)， ∴|c|＝－2m2＋－m2＋2m2＝3|m|＝3， ∴m＝±1， ∴c＝(－2，－1,2)或 c＝(2,1，－2)． (2)∵a＝(1,1,0)，b＝(－1,0,2)， ∴a·b＝(1,1,0)·(－1,0,2)＝－1. 又|a|＝ 12＋12＋0＝ 2，|b|＝－12＋0＋22＝ 5， ∴(ka＋b)·(ka－2b)＝k2a2－ka·b－2b2＝2k2＋k－10＝0，得 k＝2 或 k＝－52.
3＋y－2z＝0
z＝1
∴向量 a＝(－1,1,2)，b＝(1，－1，－2)，c＝(3,1,1)． (2)∵a＋c＝(2,2,3)，b＋c＝(4,0，－1)， ∴(a＋c)·(b＋c)＝2×4＋2×0＋3×(－1)＝5， |a＋c|＝ 22＋22＋32＝ 17，|b＋c|＝ 42＋02＋－12＝ 17， ∴a＋c 与 b＋c 所成角的余弦值为a|a＋＋cc|·|bb＋＋cc|＝157.
解析：(1)以 C 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系．由已知，得 C(0,0,0)，A(1,0,0)，B(0,1,0)，C1(0，0,2)，P12，12，2， Q(1,0,1)，B1(0,1,2)，A1(1,0,2)． ∴B→Q＝(1，－1,1)，C→B1＝(0,1,2)，B→A1＝(1，－1,2)，A→B1＝(－ 1,1,2)，C→1P＝12，12，0， ∴|B→Q|＝ 12＋－12＋12＝ 3.

专题03 空间向量及其运算的坐标表示(知识精讲)高二数学新教材知识讲学(人教A版选择性必修第一册)

专题三空间向量及其运算的坐标表示一知识结构图二.学法指导1．在空间直角坐标系中，确定点的坐标或求对称点坐标时，要记住规律：“在谁的轴上，谁属于R ，其它为零；在谁的平面上，谁属于R ，其它为零．”“关于谁对称谁不变，其余变成相反数．” 2．空间几何体中，要得到有关点的坐标时，先建立适当的坐标系，一般选择两两垂直的三条线段所在直线为坐标轴，然后选择基向量，根据已知条件和图形关系将所求向量用基向量表示，即得所求向量的坐标．3．进行空间向量的数量积坐标运算的技巧利用向量坐标运算解决问题的关键是熟记向量坐标运算的法则，同时掌握下列技巧． (1)在运算中注意相关公式的灵活运用，如(a ＋b )·(a －b )＝a 2－b 2＝|a |2－|b |2，(a ＋b )·(a ＋b )＝(a ＋b )2等．(2)进行向量坐标运算时，可以先代入坐标再运算，也可先进行向量式的化简再代入坐标运算，如计算(2a )·(－b )，既可以利用运算律把它化成－2(a ·b )，也可以求出2a ，－b 后，再求数量积；计算(a ＋b )·(a －b )，既可以求出a ＋b ，a －b 后，求数量积，也可以把(a ＋b )·(a －b )写成a 2－b 2后计算． 4.判断空间向量垂直或平行的步骤(1)向量化：将空间中的垂直与平行转化为向量的垂直与平行； (2)向量关系代数化：写出向量的坐标；(3)对于a ＝(x 1，y 1，z 1)，b ＝(x 2，y 2，z 2)，根据x 1x 2＋y 1y 2＋z 1z 2是否为0判断两向量是否垂直；根据x 1＝λx 2，y 1＝λy 2，z 1＝λz 2(λ∈R )或x 1x 2＝y 1y 2＝z 1z 2(x 2，y 2，z 2都不为0)判断两向量是否平行．5.利用向量数量积的坐标公式求异面直线所成角的步骤(1)根据几何图形的特点建立适当的空间直角坐标系；(2)利用已知条件写出有关点的坐标，进而获得相关向量的坐标；(3)利用向量数量积的坐标公式求得异面直线上有关向量的夹角，并将它转化为异面直线所成的角．6．利用向量坐标求空间中线段的长度的一般步骤(1)建立适当的空间直角坐标系；(2)求出线段端点的坐标；(3)利用两点间的距离公式求出线段的长．三.知识点贯通知识点1 求空间点的坐标例题1.如图，在长方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，|AB |＝4，|AD |＝3，|AA 1|＝5，N 为棱CC 1的中点，分别以DA ，DC ，DD 1所在的直线为x 轴、y 轴、z 轴，建立空间直角坐标系．(1)求点A ，B ，C ，D ，A 1，B 1，C 1，D 1的坐标； (2)求点N 的坐标．【解析】(1)显然D (0,0,0)，因为点A 在x 轴的正半轴上，且|AD |＝3，所以A (3,0,0)．同理，可得C (0,4,0)，D 1(0,0,5)．因为点B 在坐标平面xOy 内，BC ⊥CD ，BA ⊥AD ，所以B (3,4,0)．同理，可得A 1(3,0,5)，C 1(0,4,5)，与B 的坐标相比，点B 1的坐标中只有竖坐标不同，|BB 1|＝|AA 1|＝5，则B 1(3,4,5)．(2)由(1)知C (0,4,0)，C 1(0,4,5)，则C 1C 的中点N 为⎝⎛⎭⎫0＋02，4＋42，0＋52，即N ⎝⎛⎭⎫0，4，52. 知识点二求对称点的坐标在空间直角坐标系中，任一点P (a ，b ，c )的几种特殊的对称点的坐标如下：(1)求点P 关于x 轴的对称点的坐标； (2)求点P 关于xOy 平面的对称点的坐标；(3)求点P 关于点M (2，－1，－4)的对称点的坐标【解析】 (1)由于点P 关于x 轴对称后，它在x 轴的分量不变，在y 轴、z 轴的分量变为原来的相反数，所以对称点为P 1(－2，－1，－4)．(2)由于点P 关于xOy 平面对称后，它在x 轴、y 轴的分量不变，在z 轴的分量变为原来的相反数，所以对称点为P 2(－2,1，－4)．(3)设对称点为P 3(x ，y ，z )，则点M 为线段PP 3的中点．由中点坐标公式，可得x ＝2×2－(－2)＝6，y ＝2×(－1)－1＝－3，z ＝2×(－4)－4＝－12，所以P 3(6，－3，－12)．知识点三空间向量的坐标表示若),,(),,(2211y x B y x A 则),(1212y y x x --=。

1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。

（2）当 cos a , b 1时，a 与 b 反向；
（3）当cos a , b 0 时，a b 。
6.空间两非零向量垂直的条件
a b a b 0 x1x2 y1 y2 z1z2 0
思考：当 0 cos a , b 1及1 cos a , b 0 时，
的夹角在什么范围内？
a b (a1b1,a2 b2 ,a3 b3 );
a (a1,a2,a3),( R);
a // b a1 b1,a2 b2 ,a3 b3( R; ) a // b且a、b均各坐标值非0 a1 / b1 a2 / b2 a2 / b2 .
规定：0 a 0
思考：0 a ??
D1F1
z
A1B1 ，求
4
BE1 与 DF1 所成的角的余弦值.
解：设正方体的棱长为1，如图建
D1
F1
C1
立空间直角坐标系 O xyz ，则
A1
E1 B1
B(1 , 1 , 0)
,
E1
1
,
3 4
,
1
,
D
O
C
y
D(0 , 0 , 0) ,
F1
0
,
1 4
，1
.
A
x
DF1
0
,
1 4
B
BE1
1
,
若A(x1,y1,z1) , B(x2,y2,z2),
则 AB = OB - OA=(x2-x1 , y2-y1 , z2-z1)
空间向量类似于平面向量可以用坐标表示,而且也类似于平面向量可以用坐标来进行各种运算及进行有关判断.
设a (a1，a2，a3)，b (b1，b2，b3)，则 a b (a 1b1,a2 b2 ,a3 b3 ) ;
例2：已知两点A（1，2，3），B（2，1，2），P（1，1，2），点Q在 OP上运动，求当QA QB取得最小值时，点Q的坐标。
设OQ OP (, , 2),
QA QB 6 2 16 10
当 4时，QA QB取得最小值 2。
3
3
此时Q（ 4 ，4 ，8） 333
例3 如图, 在正方体ABCD A1B1C1D1中，B1E1
3.长度的计算
已知 a ( x, y, z) ,则 a x2 y2 z2
4.空间两点间的距离公式
已知 A( x1 , y1 , z1) 、B(x2 , y2 , z2 ) ，则
注：此公式的几何意义是表示长方体的对角线的长度。
AB ( x2 x1)2 ( y2 y1)2 (z2 z1)2
例1 已知A(3 , 3 ,1)、B(1, 0 , 5) ，求：
（1）线段 AB 的中点坐标和长度；
M
B
解：设 M(x , y , z) 是 AB的中点，则 O
OM
1 2
(OA
OB)
1 2
(3
,
3
,
1)
1 ,
0
,
5
2
,
3 2
,
3
,
∴点 M的坐标是
2
,
3 2
,
3
.
AB (1 3)2 (0 3)2 (5 1)2 29 .
3．已知 ABCD ,顶点 A(1,0,0), B(0,1,0) ,C(0,0, 2) ,
则顶点 D 的坐标为___(_1_,_-_1_,2_)_____;
4． Rt△ABC 中, BAC 90 , A(2,1,1), B(1,1, 2) ,
C( x, 0,1) ,则 x __2__;
例题：
A
1.中点坐标公式
已知 A( x1 , y1 , z1 ) , B( x2 , y2 , z2 )
则线段 AB 的中点坐标为 ( x1 x2 , y1 y2 , z1 z2 )
2
2
2
2.空间向量数量积的坐标表示：
设空间两个非零向量a (x1，y1，z1)，b (x2，y2，z2)，则a b x1x2 y1y2 z1z2
3 4
,
1
(1
,
1
,
0)
0
,
1 4
,
1
，1
(0
,
0,0)ຫໍສະໝຸດ 0,1 4
，1
.
BE1
DF1
0
0
1 4
1 4
1
1
15 16
,
,
15
| BE1 |
17 4 , | DF1 |
17 . 4
cos
BE1
,
DF1
|
BE1 BE1 |
DF1 | DF1
|
16 15 . 17 17 17
44
例 4．如图，正方体 ABCD A1B1C1D1 中， E ， F 分别是 BB1 ， D1B1 中点，求证： EF DA1
5.角度的计算
已知空间两非零向量 a (x1, y1, z1) , b ( x2, y2, z2 )
则 cos a, b a b
x1 x2 y1 y2 z1z2
ab
x12 y12 z12 x22 y22 z22
注意：（1）当 cos a , b 1时，a 与 b 同向；
证明：如图，不妨设正方体的棱长为 1，
分别以 DA 、 DC 、 DD1 为单位正交基底建立空间直角坐标系 Oxyz ，
则 E(1 , 1 , 1 ) ， F (1 , 1 , 1)
2
22
所以 EF ( 1 , 1 , 1 ) ， 2 22
又 A1(1 , 0 , 1) ， D(0 , 0 , 0) ，
空间向量运算的坐标表示(二)
复习：
z
z
以 i, j, k 为单位正交基底
建立空间直角坐标系O—xyz
p P(x, y, z)
i, j,k 为基底 ( x, y, z)
p xi y j zk
k
O
xi
j
y 记 p (x, y, z)
y OP ( x, y, z)
x
P(x, y, z)
（2）到 A 、B两点距离相等的点 P(x , y , z) 的
坐标 x , y , z 满足的条件。
解：点P(x , y , z)到 A 、B 的距离相等，则
(x 3)2 ( y 3)2 (z 1)2 (x 1)2 ( y 0)2 (z 5)2 ,
化简整理，得 4x 6 y 8z 7 0 即到 A 、B 两点距离相等的点的坐标 (x , y , z) 满足的条件是 4x 6 y 8z 7 0
所以 DA1 (1 , 0 , 1)
练习一：
1.求下列两点间的距离：
(1) A(1,1, 0) , B(1,1,1) ; (2) C(3 ,1, 5) , D(0 , 2 , 3) .
2.求下列两个向量的夹角的余弦：
(1) a (2 , 3 , 3)，b (1, 0 , 0) ; (2) a (1, 1,1)，b (1, 0 ,1) ;