2015-2016学年天津市第一中学高一下学期期中考试数学试题 word版
天津一中2015-2016-2高一年级 数学学科期中质量调查试卷本试卷分为第I 卷（选择题）、第II 卷（非选择题）两部分，共100分，考试用时90分钟。
第I 卷 1 页，第II 卷 至 2 页。
考生务必将答案涂写在规定的位置上，答在试卷上的无效。
红色选项为答案祝各位考生考试顺利! 一、选择题：1．不等式102x x -<+ 的解集是为 A ．(2,1)- B ．(,2)-∞- C ．(1,)+∞ D ．(,2)-∞-⋃(1,)+∞2．设{}n a 是等差数列，62a =且530S =，则8S = A ．31B ．32C ．33D ．343．若,011<<ba 则下列不等式中正确的不等式有 ①ab b a <+ ②||||b a > ③b a < ④2>+baa bA ．①②B ．①④C ．②③D ．③④4．设{}n a 是等差数列. 下列结论中正确的是A ．若120a a +>，则230a a +>B ．若130a a +<，则120a a +<C ．若120a a <<，则2a >D ．若10a <，则()()21230a a a a --> 5．设ABC ∆的内角,,A B C 所对边的长分别为,,a b c ,若2,3sin 5sin b c a A B +==,则角C =A ．3πB ．23π C ．34π D ．56π 6．△ABC 中，内角,,A B C 所对的边分别是,,a b c ，若cos cos sin b C c B a A +=, 则△ABC 的形状为A ． 等腰三角形B ．锐角三角形C ．直角三角形D ．钝角三角形7．已知),(||,*123N n x x x x x n n n n n ∈-==+++若)0,1(,121≠≤==a a a x x 则数列}{n x 的前2016项的和2016S 为A ．1344B ．1342C ．672D ．6718．在△ABC 中，内角,,A B C 所对的边分别是,,a b c ，若4,3a A π==，则该三角形面积的最大值是A． B． C． D ．9．不等式2313x x a a +--≤-对任意实数x 恒成立，则实数a 的取值范围为A ．(,1][4,)-∞-+∞B ．(,2][5,)-∞-+∞C ．[1,2]D ．(,1][2,)-∞+∞10．已知数列{}n a 的首项11a =，前n 项和为n S ，且满足122n n a S ++=，*n ∈N 则满足2100111100010n n S S <<的正整数n 的个数是 A ．4B ．5C ．6D ．7二、填空题：11．设ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若a = 1sin 2B =，6C =π，则b = . 答案】． 12．已知12x >，那么函数12221y x x =++-的最小值是 【答案】5 13．已知数列{}n a 是等比数列，14239,8a a a a +==，则数列{}n a 的前n 项和等于 .【答案】21n- 或116(1())2n - 14．设数列{}n a 的前n 项和为n S .已知11a =,2121233n n S a n n n +=---,*n ∈N ，则数列{}n a 的通项公式n a = 【答案】2*,n a n n N =∈15．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若675S S S >>，则满足10k k S S +<的正整数k = 12 16．已知等比数列()1nn c =-和等差21n b n =-,数列{}n a 的项由{}n b 和{}n c 中的项构成且11a b =,在数列{}n b 的第k 和第1k +项之间依次插入2k 个{}n c 中的项,即：1122345637891011124,,,,,,,,,,,,,,,,...b c c b c c c c b c c c c c c b 记数列}{n a 的前n 项和为n S ，则20S = 16 ；2014S = 1936 ．三、 解答题(共4题，42分)17．在ABC ∆中，内角,,A B C 对边的长分别是,,a b c ，且2,3c C π==. （1）若ABC ∆，求,a b ；（2）若sin()sin(2)2sin 2A B A C A +++=，求ABC ∆的面积.解：（1）由余弦定理及已知条件，得224a b ab +-=。
因为ABC ∆1sin 2ab C =，解得4ab =。
联立得方程组224,4a b ab ab ⎧+-=⎨=⎩，解得2,2a b =⎧⎨=⎩。
（2）由题意，得sin()sin()4sin cos B A B A A A ++-=，即sin cos 2sin cos B A A A =。
当cos 0A =，即2A π=时，,6B a b π===当cos 0A ≠时，得sin 2sin B A =，由正弦定理，得2b a =.由题意得方程组224,2a b ab b a ⎧+-=⎨=⎩，解得a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩.所以ABC ∆的面积1sin 2S ab C ==18．解关于x 的不等式()()3110m x x +-+>⎡⎤⎣⎦，其中m R ∈解：下面对参数m 进行分类讨论：①当m=3-时，原不等式为x+1>0，∴不等式的解为1-<x②当3->m 时，原不等式可化为()0131>+⎪⎭⎫⎝⎛+-x m x 1031->>+m，∴不等式的解为1-<x 或31+>m x ③当3-<m 时，原不等式可化为0)1(31<+⎪⎭⎫⎝⎛+-x m x 34131++=++m m m， 当34-<<-m 时，131-<+m 原不等式的解集为131-<<+x m ； 当4-<m 时，131->+m 原不等式的解集为311+<<-m x ； 当4-=m 时，131-=+m 原不等式无解19．已知数列}{n a 是等比数列，首项11=a ，公比0>q ，其前n 项和为n S ，且11S a +，33S a +，22S a +成等差数列.（1）求数列}{n a 的通项公式； （2）若数列}{n b 满足nn b a n a )21(1=+，n T 为数列}{n b 的前n 项和，若m T n ≥恒成立，求m 的最大值.12)1(22121--=⋅---=n n n n n20．已知数列{}n a 中，111,1,33,n n n a n n a a a n n +⎧+⎪==⎨⎪-⎩为奇数，为偶数.（1）求a 2， a 3，a 4的值；（2）求证：数列232n a ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭是等比数列；（3）求数列{}n a 的前n 项和n S ，并求满足0n S >的所有正整数n 的值。
、解：（Ⅰ）设232n n b a =-， 因为2122122133(21)3223322n n n n n n a n a b b a a +++++--==--=2213(6)(21)3232n n a n n a -++--=2211132332n n a a -=-, 所以数列23{}2n a -是以232a -即16-为首项，以13为公比的等比数列. ……… 5分（Ⅱ）由（Ⅰ）得123111126323n n n n b a -⎛⎫⎛⎫=-=-⋅=-⋅ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，即2113232nn a ⎛⎫=-⋅+ ⎪⎝⎭，由2211(21)3n n a a n -=+-，得1212111533(21)()6232n n n a a n n --=--=-⋅-+， 所以12121111[()()]692()692333n n nn n a a n n --+=-⋅+-+=-⋅-+，21234212()()()n n n S a a a a a a -=++++++21112[()()]6(12)9333n n n =-+++-++++11[1()](1)332691213n n n n -+=-⋅-⋅+- 2211()136()3(1)233n n n n n =--+=--+…………………….10分 显然当n N *∈时，2{}n S 单调递减， 又当1n =时，273S =＞0，当2n =时，489S =-＜0，所以当2n ≥时，2n S ＜0； 22122315()36232n n n n S S a n n -=-=⋅--+，同理，当且仅当1n =时，21n S -＞0， 综上，满足0n S >的所有正整数n 为1和2．…………………………………… 13分。
天津市第一中学2024-2025学年高一上学期数学学科期中质量调查试卷
天津市第一中学2024-2025学年高一上学期数学学科期中质量调查试卷一、单选题1．已知全集Z U =，集合{}Z 33A x x x =∈≤->或，()0,3B =，则()U A B ⋂=ð（）A ．()1,2B ．{}1,2,3C ．{}0,1,3D ．{}1,22．已知命题20001:,04∃∈-+≤p x x x R ，则命题p 的否定为（）A ．20001,04∃∈-+>x x x R B ．20001,04∃∈-+<x x x R C ．21,04∀∈-+≤x x x R D ．21,04x x x ∀∈-+>R 3．下列说法正确的是（）.A ．若a b >，则22a b >B ．若0a b >>，0c d <<，则a b d c>C ．若a b >，c d <，则a c b d +>+D ．若0a b >>，0c <，则b c ba c a->-4．不等式11ax x b +>+的解集为{1x x <-或}4x >，则01x abx +≥-的解集为（）A ．164x x ⎧⎫-≤<-⎨⎬⎩⎭B ．{}11x x -≤<C ．164x x ⎧⎫-≤≤-⎨⎬⎩⎭D ．114x x ⎧⎫-≤≤⎨⎬⎩⎭5．函数22()1xf x x =+的图象大致是（）A ．B ．C ．D ．6．命题“213R,022x x x a ∃∈+-<”为真命题的一个必要不充分条件是（）A ．0a ≥B ．1a ≥C ．2a >-D ．3a ≥-7．下列函数中，值域是()0,∞+的是（）A．y =B ．()2,0,1x y x x ∞+=∈++C ．21,21=∈++y x x x ND ．11y x =-8．已知函数()222,02,0x x x f x x x x ⎧+≥=⎨-<⎩，若()22()f m f m ->，则实数m 的取值范围是（）A ．(2,1)-B ．(,1)(2,)-∞-⋃+∞C ．(,2)(1,)-∞-+∞ D ．(1,2)-9．已知函数()2216,2,21x ax x f x a x x ⎧++≤⎪=⎨->⎪-⎩在定义域上单调递减，则实数a 的取值范围是（）A ．[]4,2--B ．(],2-∞-C ．(),0-∞D ．(]4,2--10．若(){}2max 23,32g x x x =--，(){}2max 23,32h x x x =+-，()()(){}min ,f x g x h x =，其中{}max ,,x y z 表示x ，y ，z 中的最大者，{}min ,,x y z 表示x ，y ，z 中的最小者，下列说法不正确的是（）A ．函数()f x 为偶函数B ．当[]1,3x ∈时，有()f x x≤ C ．不等式()1f f x ⎡⎤≤⎣⎦的解集为1,22⎡⎤--⋃⎢⎥⎣⎦⎣⎦D ．当[][]3,22,3x ∈--⋃时，有()()f f x f x ⎡⎤≤⎣⎦二、填空题11．函数()f x =315x +-的定义域为12．设函数()24,24,2x x f x x x ⎧+≤=⎨>⎩，则()1f f -=⎡⎤⎣⎦.13．已知集合{}25A x x =-≤≤，{}121B x m x m =+≤≤-，若B A ⊆，则实数m 的取值范围为.14．已知实数1x >，则函数221y x x =+-的最小值为.15．偶函数()f x 的定义域为R ，且对于任意1x ，(]()212,0x x x ∈-∞≠，均有()()1212f x f x x x -<-成立，若()()121f a f a -<-，则实数a 的取值范围为．16．已知不等式230mx nx -+>的解集为{|1x x <或3}x >，若0,0,3a b ma nb >>+=，并且2112k k a b+≥-恒成立，则实数k 的取值范围是．三、解答题17．已知集合432A xx ⎧⎫=<-⎨⎬-⎩⎭，()(){}170B x x m x m =---->．(1)若0m =，求集合A B ；(2)若A B =∅ ，求实数m 的取值范围．18．已知关于x 的不等式()2320R ax x a ++>∈，(1)若2320ax x ++>的解集为{}|1x b x <<，求实数a ，b 的值；(2)求关于x 的不等式2321ax x ax -+>-的解集．19．已知函数22()4ax bx c f x x ++=+是定义在[2,2]-上的奇函数，且1(1)5f =.(1)求函数()f x 的解析式：(2)判断并用定义法证明()f x 在[]22-,上的单调性：(3)解关于x 的不等式(1)(21)0f x f x -++<20．已知函数()22f x x mx n =++的图象过点(0,1)-，且满足(1)(2)f f -=．(1)求函数()f x 的解析式；(2)设函数()f x 在[],2a a +上的最小值为()h a ，求()h a 的值域；(3)若0x 满足()00f x x =，则称0x 为函数()y f x =的不动点．函数()()g x f x tx t =-+有两个不相等的不动点12,x x ，且120,0x x >>，求1221x x x x +的最小值．。
天津市第一中学2023届高三上学期第一次月考数学试题 Word版含答案
【答案】
【14题答案】
【答案】
【15题答案】
【答案】
三､解答题（本大题共5小题，共75分）
【16题答案】
【答案】（1）
（2） ， 或 ，
【17题答案】
【答案】（1）证明ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ解析
（2）
（3）正弦值为1
【18题答案】
【答案】（1）
（2）
（3）
【19题答案】
【答案】（1）答案见解析
（2）证明见解析（3）
C. D.
4.已知函数 是偶函数，则 的值是（）
A. B. C.1D.2
5.已知函数 是 上的偶函数，且 ，当 时， ，则 的值为（）
A.1B.2C. D.0
6 已知函数 ，则（）
A. B.
C. D.
7.已知 且 ，则a的值为（）
A. B. C. D.
8.设函数 ，不等式 对 恒成立，则实数a的最大值为（）
【2题答案】
【答案】A
【3题答案】
【答案】B
【4题答案】
【答案】A
【5题答案】
【答案】A
【6题答案】
【答案】B
【7题答案】
【答案】C
【8题答案】
【答案】D
【9题答案】
【答案】B
二､填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）
【10题答案】
【答案】
【11题答案】
【答案】
【12题答案】
【答案】 ##20立方米
每户每月用水量
水价
不超过 的部分
3元/
超过 但不超过 部分
6元/
超过 部分
9元/
若某户居民本月交纳的水费为90元，则此户居民本月用水量为___________.
2022-2023学年天津市第一中学高一上学期期中数学试题(解析版)
2022-2023学年天津市第一中学高一上学期期中数学试题一、单选题1．已知集合{}0,1,2,A B x y⎧===⎨⎩∣，则A B ⋃=（ ）A ．{}0,1,2B ．{}1,2C ．()0,∞+D ．[)0,∞+【答案】D【分析】先解出集合B ，再求A B ⋃.【详解】{}0B x y xx⎧===>⎨⎩∣∣. 因为{}0,1,2A =，所以A B ⋃=[)0,+∞. 故选：D2．命题“()10,,10x x∞∃∈++<”的否定为（ ）A ．()10,,10x x∞∃∈++>B ．()10,,10x x ∞∃∈++≥C ．()10,,10x x ∞∀∈++>D ．()10,,10x x∞∀∈++≥【答案】D【分析】特称命题的否定：将存在改任意并否定原结论，即可得答案.【详解】由特称命题的否定为全称命题，则原命题的否定为()10,,10x x ∞∀∈++≥.故选：D3．设x R ∈，则“250x x -<”是“|1|1x -<”的 A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 【答案】B【解析】分别求出两不等式的解集，根据两解集的包含关系确定. 【详解】化简不等式，可知 05x <<推不出11x -<； 由11x -<能推出05x <<，故“250x x -<”是“|1|1x -<”的必要不充分条件， 故选B ．【点睛】本题考查充分必要条件，解题关键是化简不等式，由集合的关系来判断条件．4．函数234x x y x --+=的定义域为（ ）A ．[4,1]-B ．[4,0)-C ．(0,1]D ．[4,0)(0,1]-⋃【答案】D【分析】根据被开方数是非负数，以及分母不为零，列出不等式求得结果即可. 【详解】由2340x x --+≥可得{|41}x x -≤≤，又因为分母0x ≠， 所以原函数的定义域为[4,0)(0,1]-⋃． 故选：D .【点睛】本题考查具体函数定义域的求解，涉及一元二次不等式的求解，属综合基础题. 5．函数241xy x =+的图象大致为（ ） A ． B ．C ．D ．【答案】A【分析】由题意首先确定函数的奇偶性，然后考查函数在特殊点的函数值排除错误选项即可确定函数的图象.【详解】由函数的解析式可得：()()241xf x f x x --==-+，则函数()f x 为奇函数，其图象关于坐标原点对称，选项CD 错误； 当1x =时，42011y ==>+，选项B 错误. 故选：A.【点睛】函数图象的识辨可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置．(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势．(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性．(4)从函数的特征点，排除不合要求的图象．利用上述方法排除、筛选选项． 6．已知a ，b 为非零实数，且a ＞b ，则下列不等式成立的是（ ） A ．a c b c ->- B ．22ac bc > C ．22a b >D ．11a b<【答案】A【分析】利用不等式的性质可判断A ；取特殊值0c 可判断B ；取特殊值1,2a b ==-可判断C ，D 【详解】选项A ，若a ＞b ，利用不等式的性质可得a c b c ->-，正确； 选项B ，当0c 时，22ac bc =，不正确；选项C ，当1,2a b ==-时，a ＞b ，但22a b <，不正确; 选项D ，当1,2a b ==-时，a ＞b ，但11a b>，不正确; 故选：A7．若函数,1()27,1x x f x x x x -≤-⎧⎪=⎨+->-⎪⎩，则()2f f -=⎡⎤⎣⎦（ ） A ．-2 B ．2C ．-4D ．4【答案】C【分析】由()()222f -=--=，得到()()22f f f -=⎡⎤⎣⎦，由此求出()2f f -⎡⎤⎣⎦即可. 【详解】∵函数,1()27,1x x f x x x x -≤-⎧⎪=⎨+->-⎪⎩，∴()()222f -=--=， ()2(2)27422f f f ==+--⎤⎣⎦=-⎡. 故选：C .8．若函数y=f （x)是奇函数，且函数F(x)=af(x)+bx+2在（0，+∞，)上有最大值8，则函数y=F(x)在(－∞，，0)上有 A ．最小值－8 B ．最大值－8 C ．最小值－6 D ．最小值－4【答案】D【分析】利用函数的奇偶性与单调性即可得到结果. 【详解】∵y ＝f （x ）和y ＝x 都是奇函数， ∴af （x ）+bx 也为奇函数，又∵F （x ）＝af （x ）+bx +2在（0，+∞）上有最大值8， ∴af （x ）+bx 在（0，+∞）上有最大值6，∴af （x ）+bx 在（﹣∞，0）上有最小值﹣6，∴F （x ）＝af （x ）+bx +2在（﹣∞，0）上有最小值﹣4， 故选D ．【点睛】本题考查的知识点是函数奇偶性与单调性，函数的最值及其几何意义，其中根据函数奇偶性的性质，构造出F （x ）﹣2＝af （x ）+bx 也为奇函数，是解答本题的关键．9．已知函数()f x 的定义域为R ，()2f x +是偶函数，()42f =，()f x 在(),2-∞上单调递增，则不等式()412f x ->的解集为（ ） A ．15,44⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．15,,44⎛⎫⎛⎫-∞⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C ．()(),117,-∞-⋃+∞D ．()1,17-【答案】A【分析】由题意判断出函数()f x 关于2x =对称，结合函数的对称性与单调性求解不等式. 【详解】∵()2f x +是偶函数，∴函数()f x 关于2x =对称，∴()()042f f ==，又∵()f x 在(),2-∞上单调递增，∴()f x 在()2,+∞单调递减，∴()412f x ->可化为0414x <-<，解得1544x <<，∴不等式()412f x ->解集为15,44⎛⎫⎪⎝⎭.故选：A10．已知定义在R 上的奇函数()y f x =，当0x ≥时，()||(0)f x x a a a =-->若对于任意的实数x 有(2)()f x f x -≤成立，则正数a 的取值范围是（ ）A ．[)1+∞，B ．1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭C ．(]01，D ．10,2⎛⎤⎥⎝⎦【答案】D【分析】当0x ≥时，函数()f x 的解析式中含有绝对值，去绝对值化为分段函数，再利用函数在R 上是奇函数，可画出函数()f x 的图像，把函数()f x 向右平移两个单位为(2)f x -，在采用数形结合可知，要想(2)()f x f x -≤恒成立，即(2)f x -的图象始终在()f x 下方，即可得出2(2)2a a --≤，即可得到答案.【详解】0a >，当0x ≥时，2,()=,0x a x af x x a a x x a -≥⎧=--⎨-<<⎩，()f x 为奇函数，即可得到如下图像：对于任意的实数x 有(2)()f x f x -≤成立，采用数形结合把函数()f x 的图象向右平移两个单位得到(2)f x -并使(2)f x -的图象始终在()f x 的图象的下方，即2(2)2a a --≤，即12a ≤，0a >，102∴<≤a . 故选：D.二、填空题11．已知幂函数()()233af x a a x =--在()0,∞+为增函数，则实数a 的值为___________.【答案】4【分析】根据幂函数的定义和单调性，即可求解.【详解】解：()f x 为递增的幂函数，所以23310a a a ⎧--=⎨>⎩，即()()1400a a a ⎧+-=⎨>⎩，解得：4a =， 故答案为：412．若命题“x ∃∈R 使()2110x a x +-+<”是假命题，则实数a 的取值范围为_____，【答案】[]1,3-【分析】原命题等价于命题“2R,(1)10x x a x ∀∈+-+≥，”是真命题 【详解】由题意得若命题“2R,(1)10x x a x ∃∈+-+<”是假命题， 则命题“2R,(1)10x x a x ∀∈+-+≥，”是真命题，则需()2014013a a ∆≤⇒--≤⇒-≤≤,故本题正确答案为[]1,3-．【点睛】本题主要考查全称量词与存在量词以及二次函数恒成立的问题．属于基础题． 13．已知函数221x xy x x -=-+的，则其值域为_____________.【答案】1,13⎡⎫-⎪⎢⎣⎭【分析】首先利用换元，将函数转化为111t y t t-==-，34t ≥，利用函数的单调性，即可求解.【详解】设221331244t x x x ⎛⎫=-+=-+≥ ⎪⎝⎭，即111t y t t -==-，函数在区间34⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭，单调递增， 所以113y -≤<.故答案为：113⎡⎫-⎪⎢⎣⎭，14．函数1y =_____． 【答案】[3,6]【解析】首先求出函数的定义域，再利用复合函数的单调性即可求解. 【详解】226060x x x x -+≥⇒-≤，解得06x ≤≤， 令()()22639x x x x μ=-+=--+，对称轴为3x =，所以函数()x μ在(),3-∞为单调递增；在[)3,+∞上单调递减.所以函数1y =[3,6]. 故答案为：[3,6]15．已知0,0a b >>，且1ab =，则11822a b a b+++的最小值为_________． 【答案】4【分析】根据已知条件，将所求的式子化为82a b a b +++，利用基本不等式即可求解. 【详解】0,0,0a b a b >>∴+>，1ab =,11882222ab ab a b a b a b a b∴++=++++842a b a b +=+≥=+，当且仅当a b +=4时取等号， 结合1ab =,解得22a b =-=+22a b ==. 故答案为：4【点睛】本题考查应用基本不等式求最值，“1”的合理变换是解题的关键，属于基础题.三、双空题16．已知函数2,0()2,0ax x x f x x x ⎧-≥=⎨-<⎩，①若对任意12,x x R ∈，且12x x ≠都有2121()()0f x f x x x -<-，则实数a 的取值范围为___________；②若()f x 在[1,)t -上的值域为[0,4]，则实数t 的取值范围为___________. 【答案】 0a ≤ 24t <≤【分析】由已知可得()f x 在(),-∞+∞单调递减，利用二次函数的对称轴的位置可得a 的取值范围； 分0a >、 0a ≤利用()f x 单调性可得实数t 的取值范围. 【详解】若对任意12,x x R ∈，且12x x ≠都有2121()()0f x f x x x -<-，则()f x 在(),-∞+∞单调递减，则02≤a，即0a ≤，所以实数a 的取值范围(],0-∞；当0a >时，若()f x 在[1,)t -上的值域为[0,4]，224224⎛⎫=-= ⎪⎝⎭a aa f ，解得4a =或4a =-（舍去），又()()()12,040-===f f f ，所以24t <≤；当0a ≤时，因为()f x 在[1,)t -单调递减， 则()f x 在[1,)t -上的最大值为()12f -=，不合题意，所以实数t 的取值范围为(]2,4. 故答案为：①(],0-∞；②(]2,4.四、解答题17．已知集合{|25}A x x =-≤≤，集合{|121}B x a x a =+≤≤+， (1)若2a =，求A B ⋃和R A C B ⋂； (2)若A B A ⋃=，求实数a 的取值范围.【答案】(1){|25}A B x x ⋃=-≤≤，(){|23}R A C B x x =-≤< (2)2a ≤【分析】（1）由2a =，得到{|25}A x x =-≤≤，{|35}B x x =≤≤，再利用补集、并集和交集运算求解；（2）由A B A ⋃=，得到B A ⊆，分B =∅， B ≠∅求解. 【详解】（1）解：2a =时，{|25}A x x =-≤≤，{|35}B x x =≤≤ 所以{|35}R C B x x x =<>或， 所以{|25}A B x x ⋃=-≤≤ (){|23}R A C B x x =-≤<；（2）∵A B A ⋃=，B A ∴⊆，①若B =∅时，121a a +>+，解得a<0，符合题意；②若B ≠∅时，12121512a a a a +≤+⎧⎪+≤⎨⎪+≥-⎩，解得02a ≤≤.综上可得2a ≤.18．函数()f x 是定义在实数集R 上的奇函数，当0x ≥时，()1f x xx -=+. (1)判断函数()f x 在[0,)+∞的单调性，并给出证明； (2)求函数()f x 的解析式；(3)若对任意的[1,1]t ∈-，不等式22()(223)0f k t f t t -+-->恒成立，求实数k 的取值范围. 【答案】(1)函数()f x 在[)0,∞+上单调递减，证明见解析 (2)(),01,01xx x f x x x x -⎧≥⎪⎪+=⎨⎪<⎪-⎩(3)8,3k k k R ⎧⎫<∈⎨⎬⎩⎭【分析】（1）()f x 在[)0,∞+上单调递减，由定义法证明即可； （2）由奇函数的定义求解即可；（3）由函数的奇偶性与单调性结合二次函数的性质求解即可； 【详解】（1）当0x ≥时，()1111x f x x x -==-+++，∴函数()f x 在[)0,∞+上单调递减. 证明如下：任取12,[0,)x x ∈+∞且12x x <， 2112121211()()(1)(1)11(1)(1)x x f x f x x x x x --=-+--+=++++， ∵12,[0,)x x ∈+∞，∴1210,10x x +>+>， 又12x x <，∴210x x ->∵()()()()12120,f x f x f x f x ->>， ∴函数()f x 在[)0,∞+上单调递减 （2）因为当0x ≥时，()1f x xx -=+，所以，当0x <时，0x ->， 又因为()f x 是定义在实数集R 上的奇函数， 所以，()()()11x xf x f x x x --=--=-=-+-， 即当0x <时，()1x f x x =-. 所以，函数()f x 的解析式为(),01,01xx x f x x x x -⎧≥⎪⎪+=⎨⎪<⎪-⎩；（3）∵函数()f x 在[)0,∞+上单调递减，且()()00f x f ≤=， 又因为()f x 是定义在实数集R 上的奇函数，所以，函数()f x 在(),0∞-上单调递减，且0x <时，()()00f x f >=， 所以，函数()f x 在实数集R 上单调递减；那么不等式()()222230f k t f t t -+-->， 即：()()()222223223f k t f t t f t t ->---=-++，则有22223k t t t -<-++，即2218323333k t t t ⎛⎫<-+=-+ ⎪⎝⎭（[1,1]t ∈-）恒成立，所以，2min 1883333k t ⎡⎤⎛⎫<-+=⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦，所以，实数k 的取值范围是8,3k k k R ⎧⎫<∈⎨⎬⎩⎭.19．设函数2()(2)3f x ax b x =+-+（1）若(1)3f =，且0,0a b >>，求14a b+的最小值；（2）若(1)2f =，且()2f x >在(1,1)-上恒成立，求实数a 的取值范围. 【答案】（1）92；（2）[1,1]-.【分析】（1）由()13f =可得2a b +=，再利用基本不等式中乘“1”法的应用计算可得； （2）依题意可得1a b +=，即2(1)10ax a x -++>在(1,1)-上恒成立，等价于(1,1)-是不等式()(1)(1)0g x ax x =-->解集的子集，再对参数a 分类讨论，分别计算可得；【详解】解：（1）函数2()(2)3f x ax b x =+-+，由(1)233f a b =+-+=，可得2a b +=，所以141141419()552222b a a b a b a b a b ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=++=++≥= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 当4b aa b =时等号成立，因为2a b +=，0a >，0b >，解得23a =，43b =时等号成立， 此时14a b +的最小值是92.（2）由(1)232f a b =+-+=，即1a b +=，又由2(2)32ax b x +-+>在(1,1)-上恒成立，即2(1)10ax a x -++>在(1,1)-上恒成立， 等价于(1,1)-是不等式()(1)(1)0g x ax x =-->解集的子集， ①当0a =时，不等式的解集为(,1)-∞，满足题意；②当a<0时，不等式的解集为1,1a ⎛⎫⎪⎝⎭，则11a ≤-，解得1a ≥-，故有10a -≤<；③当01a <≤时，即11a ≥时，不等式的解集为1(,1),a ⎛⎫-∞⋃+∞ ⎪⎝⎭，满足题意；④当1a >时，即11a <时，不等式的解集为1,(1,)a ⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭，不满足题意，（舍去），综上所述，实数a 的取值范围是[1,1]-.【点睛】本题考查基本不等式的应用，以及不等式恒成立问题，考查分类讨论思想，属于中档题. 20．已知函数()21x f x ax b+=+是定义域上的奇函数，且()12f -=-．（1）求函数()f x 的解析式，判断函数()f x 在0,上的单调性并证明；（2）令()()g x f x m =-，若函数()g x 在0,上有两个零点，求实数m 的取值范围；（3）令()()()22120h x x tf x t x =+-<，若对1x ∀，21,22x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦都有()()12154h x h x -≤，求实数t 的取值范围．【答案】（1）()1f x x x =+；函数()f x 在0,1上单调递减，在1,上单调递增，证明见解析；（2）m>2；（3）302t -≤< 【解析】（1）由()f x 是奇函数，可知()12f -=-，()12f =，进而列出关系式，求出,a b ，即可得到函数()f x 的解析式，然后利用定义法，可判断并证明函数()f x 在0,上的单调性； （2）由函数()g x 在0,上有两个零点，整理得方程210x mx -+=在0,上有两个不相等的实数根，进而可得到24002m m ⎧∆=->⎪⎨>⎪⎩，求解即可；（3）由对任意的1x ∀，21,22x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦都有()()12154h x h x -≤恒成立，可得()()max min 154h x h x -≤，求出()()max min ,h x h x ，进而可求出t 的取值范围.【详解】（1）()12f -=-，且()f x 是奇函数，()12f ∴=，2222a b a b ⎧=-⎪⎪-+∴⎨⎪=⎪+⎩，解得10a b =⎧⎨=⎩， ()1xf x x ∴=+． 函数()f x 在0,1上单调递减，在1,上单调递增，证明如下：任取1x ，()20,1x ∈，且12x x <，则()()()121212*********x x f x f x x x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫--=+-+=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， ()12,0,1x x ∈，且12x x <，120x x ∴-<，1201x x <<，∴1210x x -<，()()120f x f x ∴->，即()()12f x f x >，∴函数()f x 在0,1上单调递减.同理可证明函数()f x 在1,上单调递增． （2）函数()g x 在0,上有两个零点，即方程10x m x+-=在0,上有两个不相等的实数根，所以210x mx -+=在0,上有两个不相等的实数根， 则24002m m ⎧∆=->⎪⎨>⎪⎩，解得m>2． （3）由题意知()22112h x x t x x x ⎛⎫ ⎪⎝=+-⎭+， 令1z x x=+，222y z tz =--， 由（1）可知函数1z x x =+在1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，在[]1,2上单调递增， 52,2z ⎡⎤∴∈⎢⎥⎣⎦， 函数222y z tz =--的对称轴方程为0z t =<，∴函数222y z tz =--在52,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增， 当2z =时，222y z tz =--取得最小值，min 42y t =-+； 当52z =时，222y z tz =--取得最大值，max 1754y t =-+. 所以()min 42h x t =-+，()max 1754h x t =-+， 又对任意的1x ∀，21,22x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦都有()()12154h x h x -≤恒成立， ()()max min 154h x h x ∴-≤， 即()171554244t t -+--+≤， 解得32t ≥-，又0t <， t ∴的取值范围是302t -≤<． 【点睛】方法点睛：已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法：（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解.。
天津市第一中学高一上学期期中考试数学试题含答案
天津一中2019－2020－1高一年级数学学科期中质量调查试卷本试卷分为第I 卷（选择题）、第II 卷（非选择题）两部分，共100分，考试用时120分钟。
第Ⅰ卷为第1页，第Ⅱ卷为第2至3页。
考生务必将答案涂写规定的位置上，答在试卷上的无效。
祝各位考生考试顺利!第Ⅰ卷一．选择题：（每小题3分，共30分）在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知全集为R ，集合{}1,0,1,2,3A =-，201x B xx ⎧⎫-=≥⎨⎬+⎩⎭，则A B 中元素的个数为()A ．1B ．2C ．3D ．42．命题“012,2≥+-∈∀x x R x ”的否定是（）A.∃012,2≤+-∈x x R x B.012,2≥+-∈∃x x R x C.D.012,2<+-∈∀x x R x 3.下列关系中正确的是（）A.221333111252⎛⎫⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭B.122333111225⎛⎫⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭C.212333111522⎛⎫⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭D.221333111522⎛⎫⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭4．函数2()21,f x ax x =+-在[1,2]上是増函数，则a 的取值范围是()A ．1[,0]2-B ．1[,)2-∞C ．1[,0)(0,)2-+∞ D ．(0,)+∞012,2<+-∈∃x x R x5.若不等式02>++c bx ax 的解集为},21|{<<-x x 那么不等式ax c x b x a 2)1()1(2>+-++的解集为（）A.}12|{<<-x xB.{2|-<x x 或1>x }C.}30|{<<x x D.0|{<x x 或}3>x 6.使不等式0)1|)(|1(>-+x x 成立的充分不必要条件是（）A.),1(+∞∈x B.),2(+∞∈x C.),1()1,(+∞--∞∈ x D.)1,(--∞∈x 7．已知函数()9411y x x x =-+>-+，当x a =时，y 取得最小值b ，则a b +等于（）A.3-B ．2C ．3D ．88.若定义运算=Θb a ,,b a ba ab ≥⎧⎨<⎩，则函数)2()(x x x f -Θ=的值域为（）A.(0,1]B ．(,1]-∞C ．(0,1)D ．[1,)+∞9．若函数)(x f y =是奇函数，且函数2)()(++=bx x af x F 在（0，+∞，)上有最大值8，则函数)(x F y =在(－∞，，0)上有()A.最小值－8B.最大值－8C.最小值－6D.最小值－410.高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设x ∈R ，用[]x 表示不超过x 的最大整数，则[]y x =称为高斯函数，例如：[3.5]4-=-，[2.1]2=，已知函数1()12x xe f x e =-+，则函数()()y f x f x =+-⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦的值域是（）A.{0,1}B.{1}C.{1,0,1}- D.{1,0}-第Ⅱ卷二．填空题：（本大题共6小题，每小题4分，共24分）11．计算=+⎪⎭⎫ ⎝⎛+331125833416___．12.已知函数，，则的值为.________13.若()f x 为奇函数，且在(,0)-∞上是减函数，又(2)0f -=，则()0x f x ⋅<的解集为________。
天津市第一中学2018-2019学年高一下学期期中考试数学试题(附答案)
天津一中2018-2019-2 高一年级数学学科模块质量调查试卷本试卷分为第I 卷（选择题）、第II 卷（非选择题）两部分，共100 分，考试用时90 分钟。
第I 卷1 页，第II 卷至2 页。
考生务必将答案涂写在规定的位置上，答在试卷上的无效。
一．选择题1.以下说法正确的有几个（）①四边形确定一个平面；②如果一条直线在平面外，那么这条直线与该平面没有公共点；③过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行；④如果两条直线垂直于同一条直线，那么这两条直线平行；A．0 个B．1 个C．2 个D．3 个2.在△ABC 中,角A, B, C的对边分别是a, b, c ,且a cos B = ( 2c - A ，则角A 的大小为（）ππππA．B．C．D．6 4 3 23.在∆ABC 中，若AB ⋅AC = 2 且∠BAC = 30 ，则∆ABC 的面积为（）A B．C D4.设α、β、γ为平面，为m、n、l 直线，则下列判断正确的是（）A．若α⊥β,α⋂β=l, m ⊥l ，则m ⊥β B．若α⋂γ=m,α⊥γ, β⊥γ，则m ⊥βC．若α⊥γ, β⊥γ, m ⊥α，则m ⊥β D．若n ⊥α,n ⊥β, m ⊥α，则m ⊥βB．C．D．2 3 4 151 1 1 1 1 1A．13B．23C．43D．26．点G 为∆ABC 的重心，AB = 2, BC =1, ∠ABC = 60 ，则AG ⋅CG =（）A．-59B．-98C．59D．197.在正方体ABCD -A1B1C1D1中，点O 是正方形ABCD 的中心，关于直线A1O 下列说法正确的（）A．A1O / / D1C B．A1O / / 平面B1CD1C．A1O ⊥BC D．A1O ⊥平面AB1D18.一个圆锥SC 的高和底面直径相等,且这个圆锥SC 和圆柱OM 的底面半径及体积也都相等, 则圆锥SC 和圆柱OM 的侧面积的比值为（）A．39.平行六面体ABCD -A B C D 的底面ABCD 是菱形，且∠C CB =∠C CD =∠BCD = 60 ，CD = 2, C C =3 ，则二面角C-BD -C 的平面角的余弦值为（）1 2 1A．12B．13C3D310．如图，在 ∆ABC 的边 AB 、AC 上分别取点 M 、N ，使AM = 1 AB , AN = 1 AC ， BN 与 CM 交于点 P ，若 BP = λ PN , PM = μCP ，3 2则 λ的值为（ ） μA ． 83B ． 38C ． 16D ． 6二．填空题11．已知向量 a , b 满足 | a |= 1 ,| b |= 2 ， | a + b |=，则 | 2a - b |=．12 如图， PA ⊥ 平面ABC ， ∠ACB = 90 且PA = AC ，AC = 2BC ，则异面直线 PB 与 AC 所成的角的正切值等于．13.如图,在直棱柱 ABC - A 1 B 1C 1 中, AB ⊥ AC , AB = AC = AA 1 = 2 , 则二面角 A 1 - BC 1 - C 的平面角的正弦值为．14.在 △ABC 中,角 A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c , 2b (2b - c ) cos A = a 2 + b 2 - c 2 ，则内角 A 的值为 ．15.已知正方体 ABCD - A 1 B 1C 1 D 1 的棱长为1 ，点 E 是棱 BB 1 的中点，则点 B 1 到平面 ADE 的距离为．16.如图，在直角梯形 ABCD 中， ∠BAD = π， AB = AD = 2 ，若 M 、N3分别是边 AD 、BC 上的动点，满足 AM = λ AD ， BN = (1 - λ )BC ，其中λ ∈ (0,1) ，若 AN ⋅ BM = -2 ，则 λ 的值为 ．Nα 1 αα17. 设f (α) =m ⋅n ,其中向量m = ( n = (2 in , cos-1) .2 4 2（1）若f (α) =-1 ,求cos( π-α) 的值；3 2（2）在△ABC 中,角A, B, C的对边分别是a, b, c ,若a cos B +b cos A + 2c ⋅ cos C = 0 ,求函数f ( A) 的取值范围.18. 如图，在几何体中，四边形ABCD 是菱形，ADNM 是矩形，平面ADNM ⊥平面ABCD , E 为AB 中点.（1）求证：AN / / 平面MEC ；（2）求证：AC ⊥BN .19．如图1 所示，在矩形ABCD 中，AB = 2 A D = 4 ，E 为CD 的中点，沿AE 将∆AED 折起，如图2 所示，O、H、M 分别为AE、BD、AB 的中点，且DM = 2 .（1）求证：OH / / 平面DEC ；（2）求证：平面ADE ⊥平面ABCE .20.如图，四棱锥P -ABCD 的底面是菱形，PO ⊥底面ABCD ，O、E 分别是AD、AB 的中点，AB = 6, AP =5，∠BAD = 60 . （1）求证：平面PAC ⊥平面POE ；（2）求直线PB 与平面POE 所成角的正弦值；（3）若F 是边DC 的中点，求异面直线BF 与PA 所成角的正切值。
精品：【全国百强校】重庆市第一中学2015-2016学年高一下学期期中考试数学试题(原卷版)
重庆市第一中学2015-2016学年高一下学期期中考试数学试题一、选择题（每小题5分，共60分）1.在等差数列{}n a ，12a =，3510a a +=，则公差d =（ ）A ．-1B ．1C ．2D ．32.不等式111x ≤-的解集为（ ）A ．(,1)[2,)-∞+∞B ．(,0](1,)-∞+∞C ．(1,2]D ．[2,)+∞3.甲、乙两名同学八次数学测试成绩如茎叶图所示，则甲同学成绩的众数与乙同学成绩的中位数依次为（） A ．85，86 B ．85，85， C ．86，85 D ．86，864.运行如下的程序框图，输出的n 值为（ ）A ．4B ．3C ．2D ．15.（原创）ABC ∆中，角090C =，若(,1),(2,2)AB t AC ==，则t =（ ）A ．-1B ．1C ．-3D ．3 6.已知21()sin x f x x ⎧-⎪=⎨⎪⎩ 00x x >≤，则下列结论正确的是（ ） A ．()f x 为偶函数 B ．()f x 为增函数 C ． ()f x 为周期函数 D ．()f x 值域为()1,-+∞7.从向阳小区抽取100户居民进行月用电量调查，为制定阶梯电价提供数据，发现其用电量都在50到350度之间，制作频率分布直方图的工作人员精心大意，位置t 处未标明数据，你认为t =（ ）A ．0.0041B ．0.0042C ．0.0043D ．0.00448.（原创）已知递减的等比数列{}n a 满足22a =，前三项和为7，则12n a a a 取最大值时n =（ ） A ．2 B ．3 C ．2或3 D ．3或49.（原创）设a 为实数，则下列不等式一定不成立的是（ ）A ．24a a >B ．2lg lg a a <C ．20a a +≤D ．12a a+< 10.锐角ABC ∆三边长分别为,1,2x x x ++，则x 的取值范围是（ ）A ．(1,3)-B ．(1,3)C ．(3,)+∞D ．(1,3)(3,)+∞11.（原创）设G 为ABC ∆的重心，2AG AM =，则（ ） A ．2136BM BA BC =-+ B ．2136BM BA BC =+ C ．2136BM BA BC =- D ．2136BM BA BC =-- 12.已知函数()(1)f x x m x =+，关于x 的不等式()()f x f x m >+的解集记为T ，若区间11,22T ⎡⎤-⊆⎢⎥⎣⎦，则实数m 的取值范围是（ ）A． B． C．(-∞ D．13(0,+ 二、填空题（每小题5分，共20分）13.（原创）重庆某教育研究机构对重庆38个区县中学生体重进行调查，按地域把它们分成甲、乙、丙、丁四个组，对应区县个数为4，10，16，8，若用分层抽样抽取9个城市，则丁组应抽取的区县个数为__________.14. ABC ∆中，05,7,120AB AC B ===，则ABC ∆的面积为__________.15.设0,0x y >>，且312()2x y -=，则14x y+的最小值为__________. 16.（原创）对数列{}n a 前n 项和为n S ，0n a >（1,2,n =），121a a ==，且对2n ≥有12()n n a a a a +++1211()n n a a a a -+=+++，则1223341n n S S S S S S S S -++++=__________.三、解答题 （共70分.）17.（10分）已知数列{}n a 前n 项和为212n S n n =-+. （1）求{}n a 的通项公式；（2）求数列{}n a 的前10项和10T .18.（12分）在ABC ∆中，角,,A B C 对边分别为,,a b c ，角34C π=，且sin 2sin cos()B A A B =+. （1）证明：222b a =；（2）若ABC ∆面积为1，求边c 的长.19.（12分）某家父母记录了女儿玥玥的年龄（岁）和身高（单位cm ）的数据如下：（1）试求y 关于x 的线性回归方程y bx a =+；（2）试预测玥玥10岁时的身高.（其中，121()()()ni ii n ii x x y y b x x ==--=-∑∑，a y bx =-）20.（12分）直角三角形ABC 中，角,,A B C 对边长分别为,,a b c ，090C ∠=.（1）若三角形面积为2，求斜边长c 最小值；（2）试比较n n a b +与n c *()n N ∈的大小，并说明理由.21.（12分）已知函数9()log (91)()x f x kx k R =++∈是偶函数.（1）求k 的值；（2）若函数94()log (3)3x g x a a =∙-的图象与()f x 的图象有且只有一个公共点，求a 的取值范围. 22. （12分）已知函数{}1:n a a t =，2221()n n n n n S n S a a +=++，1,2,n = （1）设{}n a 为等差数列，且前两项和23S =，求t 的值；（2）若13t =，证明：121n n a n ≤<+。
天津市重点中学2022-2023学年高一下学期期中考试数学试卷
南开中学2022—2023学年度第二学期期中检测高一数学试卷考试时间：100分钟I 卷(共32分)本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷两部分，共100分．考试结束后，将答题卡、答题纸一并交回.一、单项选择题(共8题，每题4分，共32分)1. 下面关于平面向量的描述不正确的有()A ．共线向量是在一条直线上的向量B ．起点不同但方向相同且模相等的向量是相等向量C ．向量CD 与向量DC 长度相等D ．两个非零向量a ，b ，若a +b =a -b ，则a ⊥b 2. 己知复数z 满足i -1 z =2，给出下列四个命题其中正确的是()A ．z =2B ．z 的虚部为-1C ．z =1+iD ．z 2=-2i 3.以下说法正确的是()①棱柱的侧面是平行四边形；②长方体是平行六面体；③长方体是直棱柱；④底面是正多边形的棱锥是正棱锥；⑤直四棱柱是长方体；⑥四棱柱、五棱锥都是六面体．A ．①②④⑥B ．②③④⑤C ．①②③⑥D ．①②⑤⑥4．在平行四边形ABCD 中，AC =1,2 ，BD =-3,2 ，则AD =()A ．-1,2B ．-2,4C ．1,-2D ．2,-45. 在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若a =c 2cos B +1 ,sin C =45，则sin B =()A ．1825B ．-2425C ．-1825D ．24256．在△ABC 中，AB =1,AC =4,∠BAC =π3，点D 为边BC 上靠近B 的三等分点，则AD ⋅BC 的值为()A ．-163B ．163C ．-4D ．47．如图，在平行四边形ABCD 中，E 、F 分别为AB 、AD 上的点，且AE =45AB ，连接AC 、EF 交于点P ，若AP =411AC ，则点F 在AD 上的位置为()A ．AD 边中点B ．AD 边上靠近点D 的三等分点C ．AD 边上靠近点D 的四等分点D ．AD 边上靠近点D 的五等分点8. 如图，△ABC 是由三个全等的钝角三角形和一个小的正三角形拼成一个大的正三角形，若AD =2，BD =1，点M 为线段CE 上的动点，则MA ⋅MC 的最小值为()A ．-254B ．2516C ．-2516D ．254II 卷(共68分)二、填空题(共6题，每小题4分，共24分)9. 若i 是虚数单位，复数1+3i 2-i 3=.10.如图，正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱长为2，E 是侧棱AA 1的中点，则平面B 1CE 截正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1所得的截面图形的周长是.11.已知点B (6,5)，若向量AB 与a =(2,3)同向，|AB |=213，则点A 的坐标为.12.已知a ,b ,c 分别为ΔABC 的三个内角A ,B ,C 的对边，a =3，且(a +b )(sin A -sin B )=(c -b )sin C ，则ΔABC 面积的最大值为.13. 三棱锥P -ABC 的顶点都在球O 的球面上，且AB =2AC =12，∠ABC =π6，若三棱锥P -ABC 的体积最大值为108，则球O 的表面积为.14．2020年12月8日，中国和尼泊尔联合公布珠穆朗玛峰最新高程为8848.86(单位：米)，三角高程测量法是珠穆朗玛峰高程测量方法之一.如图是三角高程测量法的一个示意图，现有A ,B ,C 三点，且A ,B ,C 在同一水平面上的投影A ′,B ′,C ′满足∠A ′C ′B ′=45°,∠A ′B ′C ′=60°, 由点C 测得点B 的仰角为15°,BB ′与CC′的差为100，由点B测得点A的仰角为45°, 则A,C两点到水平面A′B′C′的高度差AA′-CC′为米.三、解答题(共3题，共44分)15．(14分)在△ABC中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c，且sin2A+sin A sin B=cos2B-cos2C.(1)求角C的大小；(2)若sin A=2sin B，c=7，求△ABC的面积.16．（15分）已知点P为正方形ABCD所在平面外一点，PA=PB=PC=PD=AB=13，M、N分别为PA、BD上的点，且PMMA=BNND=58．(1)求证：MN∥平面PBC；(2)求线段MN的长.17. （15分）如图所示，某市有一块空地△OAB，其中OA=2km，∠OAM=60°，∠AOB=90°．当地政府计划将这块空地改造成一个旅游景点，拟在中间挖一个人工湖△OMN，其中M，N，都在边AB上，且∠MON=30°，挖出的泥土堆放在△OAM地带上形成假山，剩下的△OBN地带开设儿童游乐场．为安全起见，需在△OAN的周围安装防护网．设∠AOM=θ．(1)当AM=1km时，求此时防护网的总长度.(2)若θ=15°，问此时人工湖用地△OMN的面积是堆假山用地△OAM的面积的多少倍？(3)为节省投入资金，人工湖△OMN的面积要尽可能小，问如何设计施工方案，可使△OMN的面积最小？最小面积是多少？参考答案1-4ABCA5-8DBBC9．1+i10．32+2511. (2，-1)12．94313．192π14．100(3+2)15．(1)2π3(2)32【分析】(1)先将条件中的等式全部变为正弦，然后利用正弦定理角化边，再利用余弦定理求角即可；(2)先利用正弦定理将sin A=2sin B转化为a,b的关系，再结合(1)中的条件求出a,b，最后利用三角形的面积公式求解即可.【详解】(1)∵sin2A+sin A sin B=cos2B-cos2C=1-sin2B-1-sin2C=sin2C-sin2B,∴由正弦定理得a2+ab=c2-b2，即a2+b2-c2=-ab∴cos C=a2+b2-c22ab=-ab2ab=-12，又C∈0,π，∴C=2π3；(2)∵sin A=2sin B，∴由正弦定理得a=2b①，又a2+b2-7=-ab②，由①②得a=2,b=1，∴S△ABC=12ab sin C=12×2×1×sin2π3=32.16.17. 【答案】(1)6km；(2)3倍；(3)当θ=15°时，S△OMN最小值为6-33km2．【分析】(1)在三角形OAM中，由余弦定理得OM的值，利用勾股定理可得三角形OAM是直角三角形，可求θ的值，求得△OAN是等边三角形，即可得解．(2)由已知利用正弦定理，三角函数恒等变换的应用可求MNAM=3，由于以O为顶点时，△OMN和△OAM的高相同，根据三角形的面积公式即可求解．(3)由已知利用正弦定理求出OM，ON，利用三角形的面积公式，三角函数恒等变换的应用可求△OMN的面积关于θ的函数，利用正弦函数的性质即可求解其最小值．【详解】(1)在三角形OAM中，由余弦定理得，OM=22+12-2×2×1×cos60°=3，所以OM2+AM2=3+1=4=OA2，所以三角形OAM是直角三角形，所以∠OMA=90°，θ=30°．由于∠MON =30°，所以∠AON =∠A =60°，所以△OAN 是等边三角形，周长为2×3=6，也即防护网的总长度为6km ．(2)θ=15°时，在三角形OAM 中，由正弦定理得OM sin60°=AM sin15°⇒OM =AM ⋅sin60°sin15°，在三角形OMN 中，∠ONA =180°-60°-15°-30°=75°，由正弦定理得，MN sin30°=OM sin75°⇒MN =OM ⋅sin30°sin75°=AM ⋅sin60°⋅sin30°sin75°sin15°．所以MN AM =sin60°⋅sin30°sin75°sin15°=sin60°⋅sin30°cos15°sin15°=sin60°⋅sin30°12sin30°=2sin60°=3．以O 为顶点时，△OMN 和△OAM 的高相同，所以S △OMN S △OAM =MN AM=3，S △ONN =3S △OAM ，即人工湖用地△OMN 的面积是堆假山用地△OAM 的面积的3倍．(3)在三角形OAN 中，∠ONA =180°-60°-30°-θ=90°-θ，由正弦定理得，ON sin60°=2sin 90°-θ=2cos θ⇒ON =2sin60°cos θ=3cos θ．在三角形OAM 中，∠ONA =180°-60°-30°-θ=90°-θ，由正弦定理得OM sin60°=2sin 180°-60°-θ =2sin θ+60°⇒OM =2⋅sin60°sin θ+60° =3sin θ+60°．所以S △OMN =12⋅OM ⋅ON ⋅sin30°=14⋅3cos θ⋅3sin θ+60° =34⋅1sin θ+60° ⋅cos θ=34⋅1sin θcos60°+cos θsin60° ⋅cos θ=34⋅112sin θcos θ+32cos 2θ=34⋅114sin2θ+32⋅1+cos2θ2=34⋅114sin2θ+34cos2θ+34=32⋅112sin2θ+32cos2θ+32=32⋅1sin 2θ+60° +32=3⋅12sin 2θ+60° +3．由于∠AOM =θ，0°<θ<60°，所以当2θ+60°=90°，θ=15°时，S △OMN 最小值为3⋅12+3=3⋅2-32+3 2-3=(6-33)km 2．。
2023-2024学年天津经济技术开发区第一中学高一下学期(强基班)期中检测数学试卷
2023-2024学年天津经济技术开发区第一中学高一下学期（强基班）期中检测数学试卷1.设与是两个不共线向量，且向量与共线，则=A．0B．C．－2D．2.下列说法中，正确的有（）个．①各个面都是三角形的几何体是三棱锥；②用一个平面去截棱锥，原棱锥底面和截面之间的部分是棱台；③三棱锥的四个面都可以是直角三角形；④梯形的直观图可以是平行四边形；⑤通过圆台侧面一点，有无数条母线；⑥四棱锥的四个侧面都可以是直角三角形．A．0B．1C．2D．33.复数，是虚数单位，则下列结论正确的是（）A．B．的共轭复数为C．的实部与虚部之和为1D．在平面内的对应点位于第一象限4.水平放置的的直观图如图，其中，，那么原是一个（）A．等边三角形B．直角三角形C．三边中只有两边相等的等腰三角形D．三边互不相等的三角形5.已知向量，，，且，则（）A．4B．C．2D．6.若复数，则（）A．B．C．D．7.直线、是异面直线，、是平面，若，，，则下列说法正确的是（）A．至少与、中的一条相交B．至多与、中的一条相交C．与、都相交D．与、都不相交8.在正方体ABCD—中，异面直线AD，所成角的余弦值为（）A．B．C．D．9.如图，在中，，，交于F，设，，则（）A．B．C．D．10.科技是一个国家强盛之根，创新是一个民族进步之魂，科技创新铸就国之重器，极目一号（如图1）是中国科学院空天信息研究院自主研发的系留浮空器.2022年5月，“极目一号”Ⅲ型浮空艇成功完成10次升空大气科学观测，最高升空至9050米，超过珠穆朗玛峰，创造了浮空艇大气科学观测海拔最高的世界纪录，彰显了中国的实力．“极目一号”Ⅲ型浮空艇长55米，高18米，若将它近似看作一个半球、一个圆柱和一个圆台的组合体，正视图如图2所示，则“极目一号”Ⅲ型浮空艇的体积为（）A．B．C．D．11.已知A，B，C，D在球O的表面上，为等边三角形且边长为3，平面ABC，，则球O的表面积为（）A．B．C．D．12.如图，在中，，为上一点，且，若，则的值为（）A．B．C．D．13.复数的值等于______.14.已知，是两个不重合的平面，给出下列条件：①，是平面内的两条直线，且，；②，都平行于平面；③内不共线的三点到的距离相等；④，是两条异面直线，，，且，．其中可判断的是__________．（填序号）15.已知轴截面为正三角形的圆锥顶点与底面均在一个球面上，则该圆锥与球的体积之比为______.16.在中，若，，三角形的面积，则外接圆的直径为__________．17.如图，边长为4的正方形所在平面与正三角形所在平面互相垂直，为的中点．二面角的正切值为__________．18.如图在平行四边形中，为边上一点，且满足，为上一点，且满足，，则，满足的数量关系为__________，的最小值为__________．19.已知复数z的虚部为，，且z在复平面内对应的点在第四象限(1)求复数z；(2)若，求的值.20.的内角的对边分别为，已知．（1）求角；（2）若，的周长为，求的面积．21.如图，在直三棱柱中，是的中点.(1)证明：平面；(2)若，求证：.22.如图，四棱锥P－ABCD的底面ABCD是平行四边形，BA＝BD＝，AD＝2，PA＝PD＝，E，F分别是棱AD，PC的中点．（1）证明：EF∥平面PAB；（2）若二面角P－AD－B为60°．①证明：平面PBC⊥平面ABCD；②求直线EF与平面PBC所成角的正弦值．23.在等腰梯形ABCD中，，，，，，动点E，F分别在线段BC和DC上（不包含端点），AE和BD交于点M，且，．(1)用向量，表示向量，；(2)求的取值范围；(3)是否存在点E，使得．若存在，求λ；若不存在，说明理由．。
天津市第一中学2023-2024学年高一上学期11月期中数学试题
所以 (ðU P) È Q = {4} È{2, 4} = {2, 4} .
故选：B 2．B 【分析】根据已知条件，分别检验充分性与必要性即可.
【详解】
a
=
b
<
0
时，
a
+ 2
b
=
ab
不成立，“
a
=
b
”不是“
a
+ 2
b
=
ab ”的充分条件；
( ) a
+b 2
=
ab 时，有 a ³ 0 且 b ³ 0 ， a + b - 2 ab = 0 ，即
答案第51 页，共22 页
【详解】解 2 + x - x2 < 0 ，即 x2 - x - 2 > 0 可得， x < -1或 x > 2 .
（）
A．{0, 2,3, 4} C．{2,3, 4}
B．{2, 4} D．{1, 2, 4}
2．“
a
=
b
”是“
a
+ 2
b
=
ab ”的（
）
A．充分不必要条件 C．充要条件
B．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
3．存在量词命题 p： $x Î[-1,1] , x2 -1 £ 0 的否定是（ ）
A． "x Î[-1,1] , x2 -1 > 0
f
(a)
=
.
15．已知函数
f
(
x)
=
ìïx2 - (a + 4) x íïî(2a - 3) x，x
+ ³
5，x 2
<
2
天津市第一中学2015-2016学年高一下学期英语讲义7-外研版必修3 期中复习(一) 含答案
学必求其心得，业必贵于专精年级:高一科目：英语天津一中2015-2016年第二学期高一英语讲义7Book 3 期中复习1课时1：词汇、表达与语法;课型A;课长30分钟一、单词拼写1。
Her house is _________ to mine. (对面）2。
The ________ were amazed by what had happened in the factory。
（代表）3。
We have been _________ by the development of the developing countries。
(鼓舞）4。
________ is playing a more and more important part in Tianjin。
（旅游业）5。
Our ________ have worked。
The situation has improved。
(努力) 6. The report shows that we are making p ________ but that we need to make greater improvements。
7. Europe has a lot of industry，w________ Africa has little.8. We are trying to reduce p________ and increase people’s income. 9。
There are many p_________ going on in Tianjin，and building the Freeway across the city is included。
10. He got up very early。
U________，he still missed the first bus。
二、单项填空1. Now everyone enjoys watching the live NBA games on TV，________ women and aged people。