厦大随机过程6

k k 2 2 2 E b t j W j Eb2 ti E W j j 0 j 0 2 2 E b tk t tk b ti t j 1 t j E j 0 k 1
显然，我们有
，他的财富
有多少？
0 1
1
其中股票价格服从伊藤过程。在连续时间下，
0 0
类似地，我们应如何定义对
的积分？
黎曼积分就是大家在基础微积分中学习到的按照自变量的路径定义的积分， 自牛顿和莱 布尼兹发明黎曼积分以来，它已经被使用好几百年了。该积分只能处理非常 规则 的函数， 也就是几乎处处可导（不可导的点为有限个或者可数有限个）的函数。对于不那么规则的函 数（如 的例 那样的抽象函数，或者离散随机变量的密度函数）该积分是无能 为力的。 在工程、物理、金融等领域中，存在着大量不规则的函数，然而传统积分却对其无能为 力。 一直到 世纪初， 才由 、 和 等人系统地阐述了一种新的积分方法， 这就是勒贝格积分。 勒贝格积分可以按照任意其他函数的路径或者一种抽象的分类方法进行 分组再进行加和。 形象地说， 传统的黎曼积分就是按地域临近挨个统计每个人的财富然后加 起来； 而勒贝格积分就可以先按照收入或者职业进行分组， 然后再计算每个组里面的财富和， 最后加总。 例如上面的
0
t
则
I t t u dW u u dW u
0 0
t
t
同时，对于任何常数 c 都有
cI t cb u dW u
0
t
伊藤积分是一个鞅过程。 给 定 0 s t T， 假 设 s tl , tl 1 , t tk , tk 1 。 我 们 的 目 标 是 证 明
dI t b t dW t
如果考虑 I 0 0 的情形， I t 可以表达为
I t I 0 b u dW u
0
t
此外， t0 , t1, 在定义伊藤过程
tn ,0 t0 t1
tn T 是 0, T 上的一个划分。
j l 1
k 1
且
l 1 E b t j W t j 1 W t j | j 0 E W tl 1 W tl | b tl
s b tl W s W tl
那么
S T S 0 t dt t dW t
0 0
T
T
第一项是一个普通积分，但第二项如何进行积分？如果 g t 是可微函数，我们有
b t dg t b t g t dt
0 0
T源自文库
T
但
0
代表了一系列不可预料而且变化非常剧烈的随机变量增加量
T 0

W t 关于时间是不可导的， 的和， 对于
必须寻找新的积分方法。
b t dW t 来说，上述黎曼积分是无法进行的，
0 的财富，在股票市场上遵循
另一种情形是，如果有一个投资者在初始时刻拥有
的交易策略，那么到时刻
伊藤积分
伊藤积分的定义
为了计算
b t dW t ，我们沿用传统的积分方法：先离散划分再取极限，即
0
n 0 i 1
T
lim
b t W t
i 1 i
n
问题是：上式作为随机变量的积分，其自身也是一个随机变量，它会收敛于某个极限吗？ 由于布朗运动的一阶变分
E I t |
伊藤积分的伊藤等距（ 伊藤等距是指伊藤积分的以下性质：
s I s
）
2
2 E I t E
证明： 由于
b u dW u E b u du
t t 2 0 0
2 0i j k

其中
t
0
b u dW u

2
b2 t j W j 2
j 0
k
b t b t W W
i j i
j
W j W t j 1 W t j , Wk W t W tk
很容易看出，第二项的期望为 。第一项的期望值则为
| W t | 是不收敛的，因此一阶条件下的极限不存在；但
i 1 i
2 i
n
布朗运动的二阶变分
W t
i 1
n
却是收敛的。这样，在平方可积条件下
T E b2 t dt 0
我们定义使得偏差平方的均值趋于 ，即
T n lim E b ti 1 W ti b t dW t 0 0 n i 1 0 2
0 0
T
T
来说，根据伊藤积分的无条件期望和伊藤等距性质，在 t 非随机的假设下，可以计算其 无条件期望为

无条件方差为
0 0


0


0
2


可以看出，伊藤等距性质基本决定了伊藤过程（基于布朗运动的连续随机过程）的方差，而 伊藤等距又主要源于布朗运动的二次变分性质。 布朗运动的二次变分是决定伊藤过程方差的 决定性因素。 伊藤积分的二次变分 截至时刻 t ， I t 累积的二次变分为
s
k 1 j l 1 j
l 1 s b t j W t j 1 W t j j 0 E b t W t W t | t | s 0 E
E b2 u du
0
t
□
伊藤等距是伊藤积分的方差，从这里也可以看出为何伊藤过程的条件是
0
2

，它意味着伊藤积分的方差有限。
伊藤等距主要用于计算随机过程的方差。 由于 I t 是一个鞅，且 I 0 0 ，因此其无条件期望为 ，即
t E b u dW u 0, t 0 0

时，一般假定对于每个 0 ，





0
0 0



0
0
2


因为只有这样伊藤积分右端的每个积分项才有定义，并且可以使得伊藤积分是鞅过程。
如果股票价格服从伊藤过程，
dS t t dt t dW t


图
简单被积函数
图
一般被积函数
伊藤积分是一个连续过程。 作为积分上限 的函数， 适应性。 对每个 ， I t 为
的路径是连续的。
可测。
t
线性性。伊藤积分可以进行线性计算。 如果
I t u dW u
0
t
t u dW u
收敛方式不同：黎曼积分是依路径收敛，伊藤积分是均方收敛。 使用路径不同： 黎曼积分使用的是被积函数的真实路径， 伊藤积分使用的则是 随机等价路径。 伊藤积分中的被积函数是非预先确定的。 伊藤积分的积分算子只适用于布朗运动。
伊藤积分的性质
由于 I T

T
0
b t dW t 是 b ti 1 W ti 的极限，因此我们可以通过后者来考
I , I t 0 b2 u du
t
证明： 我们先计算 I t 在子区间 t j , t j 1 上累积的二次变分。为此，取分点
t j s0 s1 ... sm t j 1
此时，
m 1 i 0 m 1 i 0
I si 1 I si b t j W si 1 W si
j 1 j j
k 1 E b t j W t j 1 W t j | j l 1 E W t W tk | b tk
因此
b tk s W t W tk | tk E E | s 0
无条件方差则为
2 t b2 u du VarI t E I t E 0
又如，对于
dS t t dt t dW t
即
S T S 0 t dt t dW t
i 1
n
察伊藤积分的性质。其中， b t 可以在每个时间子区间 ，这样 t j , t j 1 上是常量（如图 ） 的被积函数称为简单被积函数； 也可以随时间连续变化， 甚至可以有跳跃的情形 （如图 ） ， 这样的被积函数称为一般被积函数。对于一般被积函数，我们可以用简单被积函数 bn t 逼 近， bn t 在子区间 t j , t j 1 上是常量。当 n 或是最大步幅趋于 时， bn t 将收敛于 连续变化的被积函数 b t 。因此对伊藤积分性质的讨论，我们可以基于简单被积函数加以 理解。
的极限
I T b t dW t
0
T
为伊藤积分。上述在均方收敛下定义的极限称为均方极限。更一般地，伊藤积分写为
I t b u dW u
0
t
在离散处理方式下可以看出，伊藤积分的基本要求是，被积函数的取值在前一个时点
b ti 1 而非后一个时点 b ti ，以保证变量运动非预先确定。
本章的基本积分形式被称为伊藤积分（
t 0
） ，一般表达形式为
I t b u dW u
其中 t 为正数，u 0 ， 布朗运动 W u 和被积函数 b u 对于域流 而且 b u 独立于未来的布朗运动增量。
u
都是适应的随机过程，
I t 的微分形式为
b t dg t 是一种勒贝格积分，而 b t g t dt 则是传统的黎曼积分。
0 0
T
T
前者是按照 g t 来进行分组，然后求分组为无穷多时
b t g t 是否有极限；而后者
i
则对自变量加以划分，求划分无穷小时加和的极限。 又如，我们求随机变量的期望时，是按照概率来进行分组的，而概率是定义在一个抽象 的样本空间中的，所以这也是一种勒贝格积分。本章的伊藤积分也属于勒贝格积分。 总之勒贝格积分是黎曼积分的推广， 只要黎曼积分存在， 那么两种积分算出来的结果是 一致的。

| 。由于
I t b t j W tl 1 W tl W t j 1 W t j b tl
j 0 l 1
b t j W t W tk W t j 1 W t j b tk