定积分的微元法
第一节_定积分的微元法(大专)
第一节_定积分的微元法(大专)定积分是高等数学中的一个重要概念，它是微积分学的基础。
定积分的微元法是定积分的一种重要解法方法。
定积分的定义是：若函数 $f(x)$ 在区间 $[a,b]$ 上有定义，并且在该区间内是有界的，那么将该区间分成许多小区间，每个小区间长度为 $ \triangle x $，并在每个小区间内任取一点 $x_i$，则当小区间宽度趋近于 0 时，Riemann和 $\sum f(x_i)\triangle x$ 的极限称为函数 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上的定积分，记作 $\int_a^b f(x) dx$。
定积分的微元法可以简化定积分的求解过程，实现求解和计算的快速精确。
定积分的微元法公式是：$$\int_a^b f(x) dx = \lim_{\max\limits_{i=1}^{n} \triangle x_i \to 0}\sum\limits_{i=1}^{n} f(\xi_i) \triangle x_i \approx \sum\limits_{i=1}^{n} f(x_i) \triangle x$$其中，$n$ 为区间 $[a,b]$ 被分成的小区间的数量，$\triangle x_i$ 为每个小区间的宽度，$\xi_i$ 为每个小区间中任意一个点的值，$x_i$ 是每个小区间的左端点。
根据定积分的微元法公式，我们可以将要求解的区间 $[a,b]$ 分成 $n$ 个小区间，记作$[x_0,x_1], [x_1,x_2], …, [x_{n-1},x_n]$。
在每个小区间 $[x_{i-1},x_i]$ 中取一点 $x_i$，则定积分的值可以近似表示为：$$\int_a^b f(x) dx \approx \sum_{i=1}^{n} f(x_i) \triangle x_i$$其中，$\triangle x_i = x_i - x_{i-1}$，即小区间的宽度。
定积分的微元法的思想和原理
定积分的微元法的思想和原理
微元法是一种以单元为基础的教学设计理论，由美国教育学家托马斯·贝尔（ThomasBell）提出。
该理论认为，有效的教学设计必须精细分解教学内容，组织成微小的教学单元，深入解释。
微元法把教学内容分解为一系列有关联的“微元”，它为每一元建立一个独立的学习任务环境，通过各种媒体手段描述并引导学生们进行学习，在每一元完成后，引导学生们评估自己的学习过程中的微观目标，从而实现全局目标的累积，最终实现达到学习目的。
微元法以学习为主要目的，它的最大特点是将学习者的目标从大的宏观抽象层
次转移到微观具体层次上。
整个系列的学习目标可分为“综述型”（宏观型）和“分解型”（微观型）两部分。
前者以核心问题或主题为中心展开，重在主题内容的学习和理解，后者则以明确的学习任务为基点展开，重点在于细节技能的具体演练和指导学习者实际应用具体技能。
与其他教学方法不同，微元法倡导以学习者为中心，强调充分发挥学习者的主
观能力，同时又增强了学习者的自我管理能力与自我调整能力，强调环境引导和自主学习的结合。
学习者在完成各元学习，主要通过视频、多媒体、互联网、学习软件等多种技术手段自主学习，具有更大的自我掌控学习的能力，既可以获得丰富的知识和技能，同时还可以提高自我的学习质量。
微元法是一种以学习为中心的设计思想，其主要目的是将学习者的目标从宏观
抽象层级转移到微观具体层次上，实现更细致的学习效果。
集合视频、多媒体、互联网、学习软件等技术手段，构建教学环境，让学习者可以规划自己的学习过程，促进自主学习，有效提高学习效果。
定积分微元法及其应用
定积分微元法及其应用摘要：积分学中的定积分在几何、物理、经济管理等方面有着极其广泛的应用。
由于定积分的微元法通常往往能使一些实际问题简单化，因此，定积分的微元法在定积分的应用方面至关重要。
本文首先简介定积分的微元法适用的所求量以及定积分微元法在应用中的步骤，重点介绍积分微元法在几何、物理、经济管理及日常生活等方面的应用。
关键词：定积分：微元法：应用一、定积分的微元法适用的所求量定积分的微元法是将实际问题设法转化为定积分问题的一种方法，通常，如果所求量满足三条：1.关于某一个区间有关；2.在区间上具有可加性，即当把区间分成任意n个小区间时，相应的所求量也分成n个小部分，且所求量等于n个小部分之和，即；3.在上任取一个小区间，所求量的部分量能够近似表示成（即所求量的微分元素），那么所求量就可以用定积分的微元法来求，即。
二.定积分微元法在应用中的步骤定积分微元法就是将所研究的所求量进行无限细分，从中抽取某一微小部分进行探探讨，通过分析，研究找出所求量的整体变化规律的方法。
通常利用定积分微元法解决一些具体问题时，采用将所研究的所求量细分成很多微小的“元素”，而这些微小的“元素”具有相同的几何形态或物理规律，因此，我们仅需要分析和研究其中的一个微小部分，利用所学的数学或物理的理论知识进行处理，以期达到用一个定积分表达式来求所求量的效果。
用定积分微元法将实际问题中的所求量抽象为定积分的步骤也基本相同，分为3步，1.根据题意，建立适当坐标系，画出草图（使得后面的选积分变量、确定积分区间、寻找所求量的微分元素比较直观）；由于函数关系的建立是由所建立的坐标系来决定的，坐标系的建立是否恰当，往往直接影响到寻找微分元素的难易以及定积分计算的繁简程度。
因此，建立坐标系时，既要考虑到较易寻找所求量的微分元素，还要考虑到后面的定积分的计算要相对较简单。
2.选取积分变量，并确定其变化区间。
积分变量选择的是否恰当，往往直接决定着定积分的计算是简单还是繁琐。
微元法与定积分的应用
如果 f (x) 在 [a, b] 上有正有负，那么它的面积 A 的微元应是以 | f (x) | 为高，dx 为底的矩形面积，
即 dA= | f (x) |dx .
于是，总有
b
A a | f ( x) | dx.
y
f (x)
Oa
x x+dx
bx
dA
例 1 求由曲线 y = x3 与直线 x = - 1，x = 2 及 x 轴所围成的平面图形的面积．
dA
( x2
-
x1 )dy
( y
4) -
y2 2
dy,
y
4
于是
A
4 -2
(
y
4)
-
y2 2
dy
y + dy y
18.
如果选择 x 为积分变量， -2
那么它的表达式就比上式复杂.
y2 = 2x
(2,-2) A
B (8,4) y = x-4
x
例 4 求椭圆 x = a cos t，y = b sin t 的面积，其
n i 1
f ( xi )x
1
b
f (ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱx)dx,
b-a a
即
y 1
b
f ( x)dx.
b-a a
例 5 求从 0 至 t 秒到这段时间内自由落体的 平均速度．
解 因为自由落体的速度为 v = gt， 所以，
v 1 t gudu 1 gt.
t-0 0
2
例 6 求 y = lnx 在 [1, 2] 上的平均值.
中 a > 0，b > 0. 解 因为图形关于 x 轴、y
7.1-7.2.1定积分的微元法与平面图形的面积
面积元素为： [f 上(x)-f 下(x)]dx．
所求图形的面积为：
A=
b a
[f
上(x)-f
下(x)]dx．
y=f 上(x) y
O
a
y=f 下(x) x x+dx
bx
求由曲线y=f 上(x)、 y=f 下(x)及直线x=a、 x=b所围成的图形的 面积，也可以按如下方法求面积：
所求的图形的面积可以看成是两个曲边梯形面积的差
y = f(x) bx
•在 [a, b]中任意插
入 n -1个分点．
y
y = f(x) f(i)
得n个小区间： [xi-1 , xi ]
f(2) f(1)
区间[xi-1 , xi ]的长
度Dxi xi -xi-1 ．
f(i)Dxi
(i=1, 2 , ···, n)． n
A DAi i 1
O
a 1 x1 2 x2
被积函数=大函数-小函数
例2 计算抛物线y22x 与直线yx-4所围成的图形的面积．
解 画图．求两曲线的交点得：(2，-2)，(8，4)．
将图形向 y 轴投影得区间[-2，4]．
y 2=2x
选 y 为积分变量 y [-2, 4] 4
(8, 4)
[ y, y dy] [-2, 4],
2
y=x-4
lim
0
i1
f (i )Dxi
．记
b
f ( x) dx
a
y
简化步骤：
任取 x, x dx a,b
DA f x dx dA
面积元素 O a
A
b
a
f
x dx
y = f(x)
定积分的微元法PPT课件
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二、 平面图形的面积
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例1. 计算两条抛物线 所围图形的面积 .
在第一象限
解: 由
y
得交点 (0, 0) , (1, 1)
1
AdA0
x x2 dx
1 3
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y2 x (1,1) y x2
旋转体的体积为 V b [ f ( x)]2 dx a
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例3. 求由曲线 y x ,直线x = 1及x轴所围成的平面图形
绕x轴旋转一周所生成的旋转体的体积.
解 如图, 选x为积分变量
y
y x
由旋转体的体积公式,得
Vx
1
(
0
x )2 dx
1
xdx 0
o
x
x2 1 22
n
（3）求和：A f (i )xi
i 1
（4）取极限：
o a b 1 x12 xi1 ixi xn1
x
b
f
( x)dx
lim
n
f
(i )xi
a
0 i1
max{xi } i 1，2，3n
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b
f (x)dx
只与积分区间和被积函数有关
a
关键:
1.积分区间 [a,b] ---------- 变?量的范围
ox 1 x xdx
计算由区间[a, b]上的两条连续曲线 y f (x)与y g(x),
以及两条直线x= a与x= b所围成的平面图形的面积。
y
由微元法，取x为积分变量，
其变化范围为区间[a, b] ，任意
高等数学(第三版)课件：定积分的应用
线 y f ( x，) 直线 x a, x b (a b) 与
• x 轴围成的面积是在x 轴上方和下方曲边梯形
面积的差.
• • 同样可由微元法分析
•⒉ 一般地，根据微元法由曲线 y f ( x), y g( x),
• ( f ( x) g( x)) 及直线x a, x b 所围的图形
• 面积.（右图所示）
• 解: 取 为积分变量,
•
面积微元为
d
A
1 2
(a )2
d
• 于是
A 2 1 (a )2d a 2 2
02
23
2 4 a 2 3
03
• 例5 计算双纽线 r 2 a2 cos2 (a 0)
•
所围成的平面图形的面积（下图所示）
• 解 因 r 2 0,故 的变化范围是 [ 3 , 5 ,]
• ⑴分割区间[a,b],将所求量(曲边梯形面积 A )
分为部分量(小曲边梯形面积 Ai）之和;
• ⑵确定各部分量的近似值(小矩形面积);
Ai f (i )xi
• ⑶求和得所求量的近似值（各小矩形面积之和);
n
A f (i )xi
i 1
• ⑷对和式取极限得所求量的精确值（曲边梯形面积）.
n
A lim 0
• 它表示高为f ( x) 、底为 dx 的一个矩形面积.
• ⑵由定积分几何意义可知,当 f (x) 0 时,由曲
线 y f (x)，直线 x a, x b (a b) 与 x 轴所围成
的曲边梯形的面积A为
A
b
f (x)dx
.
a
• ⑶当 f ( x)在区间 [a, b]上的值有正有负时，则曲
•
定积分中微元法及其应用研究
定积分中微元法及其应用研究1. 引言1.1 什么是定积分中微元法及其应用研究定积分中微元法是微积分学中的重要概念，它通过将被积函数分割成无穷小的微元，然后对这些微元进行求和，从而得到整个函数的定积分值。
微元法在定积分中的应用非常广泛，可以解决各种形式的积分计算问题，同时也可以帮助我们更好地理解积分的几何意义。
微元法在实际问题中的应用也非常广泛，例如在物理学、工程学、经济学等领域都有重要的应用价值。
通过微元法，我们可以更准确地描述和分析各种现实问题，为科学研究和工程实践提供有力的支持。
虽然微元法在定积分中有着重要的作用，但它也存在一定的局限性，例如在处理复杂函数或高维度的积分问题时会比较困难。
我们在使用微元法时需要结合具体情况，选择合适的方法和技巧来求解问题。
定积分中微元法是微积分学中的重要工具，它不仅可以简化积分计算的过程，还可以帮助我们更深入地理解函数的性质和应用。
在未来的研究中，我们可以进一步探讨微元法在更复杂问题中的应用，以及不同类型积分的求解方法，从而拓展微元法在定积分中的应用范围。
2. 正文2.1 定积分的基本概念定积分是微积分中的一个重要概念，是对曲线下面积的一种计算方法。
在定积分中，我们将给定的区间分成许多小区间，并在每个小区间内取一个点，然后求出这些小区间上的面积之和，最后取极限得到整个区间的面积。
在进行定积分运算时，我们通常利用微元法来计算。
微元法是一种运用微小部分求和的方法，将函数进行分割，然后在每个微小的部分上进行计算，最后将所有微小部分相加得到整体的结果。
在定积分中，微元法能够帮助我们将曲线下的面积分解成无穷个微小的长方形或梯形，进而求得整个区间的面积。
需要注意的是，定积分的基本概念中还包括对积分上下限的理解和确定，以及对被积函数的理解和计算。
通过对定积分的基本概念的理解和掌握，我们可以更好地应用微元法进行定积分的计算，并进一步应用到实际问题的求解中。
2.2 微元法在定积分中的应用微元法在定积分中的应用是定积分中非常重要和常见的方法之一。
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） （2）计算∆Ai 的近似值
∆Ai ≈ f (ξ i )∆xi
ξ i ∈ ∆x i
n i =1
（3） 求和，得A的近似值 A ≈ ∑ f (ξ i )∆xi . ） 求和， 的近似值
（4） 求极限，得A的精确值 ） 求极限， 的精确值
面 )∆xi = ∫ f ( x )dx a λ →0
二、小结
元素法的提出、思想、步骤 元素法的提出、思想、步骤.
（注意微元法的本质） 注意微元法的本质）
思考题
微元法的实质是什么？ 微元法的实质是什么？
思考题解答
微元法的实质仍是“和式”的极限 微元法的实质仍是“和式”的极限.
为被积表达式， ） 3）以所求量U 的元素 f ( x )dx 为被积表达式，在 上作定积分， 区间[a , b]上作定积分，得U = 的积分表达式. 即为所求量U 的积分表达式
∫a f ( x )dx ，
b
这个方法通常叫做元素法． 这个方法通常叫做元素法． 元素法 应用方向： 应用方向： 平面图形的面积；体积；平面曲线的弧长； 平面图形的面积；体积；平面曲线的弧长； 水压力；引力和平均值等． 功；水压力；引力和平均值等．
i =1
n
积 元 素
提示 若用∆A 表示任一小区间
y [ x , x + ∆x ]上的窄曲边梯形的面积， 上的窄曲边梯形的面积，
A = ∑ ∆A，
∆A ≈ f ( x )dx ，
b
y = f (x)
dA
A ≈ ∑ f ( x )dx
A = lim ∑ f ( x )dx = ∫a f ( x )dx .
o a x x + dx x b
（1）U 是与一个变量 x 的变化区间[a, b ]有关 ） 的量； 的量； （ 2 ） U 对 于 区 间 [a, b] 具 有 可 加 性 ， 就 是 分成许多部分区间， 说，如果把区间[a, b]分成许多部分区间，则 U 相应地分成许多部分量 ， 而U 等于所有部 相应地分成许多部分量， 分量之和； 分量之和；
一、问题的提出
回顾 曲边梯形求面积的问题
曲边梯形由连续曲线
y
y = f ( x ) ( f ( x ) ≥ 0) 、
x 轴与两条直线 x = a 、
y = f ( x)
x = b 所围成。 所围成。 b A = ∫a f ( x)dx
o a
b x
面积表示为定积分的步骤如下
） 的小区间， （1）把区间[a , b]分成n 个长度为 ∆x i 的小区间， 个小窄曲边梯形， 相应的曲边梯形被分为n 个小窄曲边梯形， i 第 小窄曲边梯形的面积为∆Ai ，则 A = ∑ ∆Ai .
2）设想把区间[a , b]分成 n 个小区间，取其中任 ） 个小区间， 一小区间并记为[ x , x + dx ]，求出相应于这小区 的近似值.如果 间的部分量 ∆U 的近似值 如果 ∆U 能近似地表示 为[a , b ]上的一个连续函数在 x 处的值 f ( x ) 与 dx 的乘积， 的乘积，就把 f ( x )dx 称为量U 的元素且记作 dU ，即 dU = f ( x )dx ；
符合下列条件： 当所求量U 符合下列条件：
） （3）部分量∆U i 的近似值可表示为 f (ξ i )∆x i ；
就可以考虑用定积分来表达这个量U
元素法的一般步骤： 元素法的一般步骤：
1）根据问题的具体情况 ， 选取一个变量例如 x ） 根据问题的具体情况， 为积分变量， 为积分变量，并确定它的变化区间[a , b ]；