平面解析几何高考研究及应考策略

平面解析几何高考研究及应考策略

考纲分析：

1.直线与方程（文、理相同）

①在平面直角坐标系中，结合具体图形，确定直线位置的几何要素。

②理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线斜率的计算公式

③能根据两条直线的斜率判定这两条直线平行或垂直

④掌握确定直线位置的几何要素，掌握直线方程的几种形式（点斜式、两点式及一般式），了解斜截式与一次函数的关系。

⑤能用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标。

⑥掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两条平行直线间的距离。

2.圆与方程（文、理相同）

①掌握确定圆的几何要素，掌握圆的标准方程与一般方程

②能根据给定直线、圆的方程判断直线与圆的位置关系；能根据给定两个圆的方程判断两个圆的位置关系

③能用直线和圆的方程解决一些简单的问题

④初步了解用代数方法处理几何问题的思想

3.圆锥曲线与方程（理科）

①了解圆锥曲线的实际背景，了解圆锥曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用

②掌握椭圆、抛物线的定义、几何图形、标准方程及简单的几何性质。

③了解双曲线的定义、几何图形和标准方程，知道它们的简单几何性质（范围、对称性、顶点、离心率、渐近线）。

④理解数形结合思想。

⑤了解圆锥曲线的简单应用。

4.圆锥曲线与方程（文科）

①掌握椭圆的定义、几何图形、标准方程及简单的几何性质。（范围、对称性、顶点、离心率）。

②了解双曲线的定义、几何图形和标准方程，知道其简单的几何性质（范围、对称性、顶点、离心率、渐近线）。

③了解抛物线的定义、几何图形和标准方程，知道其简单的几何性质（范围、对称性、顶点、离心率）。

④理解数形结合思想。

⑤了解圆锥曲线的简单应用。

二．命题规律：

通过近三年高考数学试题的分析，高考对解析几何的考查有以下特点：

1. 从题型和内容上看：（2个小题1个大题22分）。

（1）选择填空题（一般2个小题）：

主要考查直线和圆的方程.位置关系;椭圆、双曲线、抛物线的定义,标准方程,几何性质.直线与圆锥曲线的位置关系; 主要考查基础知识的掌握，尤其要注意圆锥曲线中的基本量在图形中的反应，平面几何知识的应用，数形结合的能力。属于中等难度的题。

（2）解答题（1个大题）

主要考查直线与圆锥曲线的位置关系，与平面向量、不等式、函数、三角函数、导数、平面几何等知识的综合题。常考方法有：设而不求法(韦达定理、弦长公式)，点差法（弦的中点及中点弦的问题），坐标法，数形结合思想。主要考查阅读理解能力、运算求解能力、数形结合的能力以及综合运用数学知识分析解决问题的能力。属于中高档题。

2.解析几何高考考查特点看：

1)题型稳定：2个小题1个大题22分。

(2)整体平衡,重点突出: 对直线、圆、圆锥曲线知识的考查几乎没有遗漏,通过对知识的重新组合,考查时既注意全面,更注意突出重点, 对支撑数学学科知识体系的主干知识, 考查时保证较高的比例并保持必要深度。 (3)能力立意,渗透数学思想: 常见的基本题型,如果借助于数形结合的思想,就能快速准确的得到答案。 (4)题型新颖,位置不定: 近几年解析几何试题的难度有所下降,选择题、填空题均属易中等题,且解答题未必 处于压轴，

三.典型高考试题分析：

1.(2012·湖北高考)过点P(1,1)的直线，将圆形区域{(x ，y)|x2+y2≤4}分为两部分，使得这两部分的面积之

差最大，则该直线的方程为( ) (A)x+y-2=0 (B)y-1=0 (C)x-y=0 (D)x+3y-4=0

【解析】本题考查的是直线与圆的位置关系的应用,解答 本题的关键是结合图象,分析出临界位置.

【解析】选A.如图,要使两部分的面积之差最大,即使阴影部分的面积最小,也就 是弦长AB 最短.结合直线与圆的位置关系的性质知:当直线AB 与直线OP 垂直时, 弦长AB 最短 ,又∵kAB ·kOP=-1,kOP=1,∴kAB=-1, 所求直线方程为y+x-2=0.

2.(2010·江苏高考)在平面直角坐标系xOy 中，已知圆x2+

y2=4上有且仅有四个点到直线12x-5y+c=0的距离为1，则实数c 的取值范围是______.

【解析】如图，圆x2+y2=4的半径为2，圆上有且仅有四个点到 直线12x-5y+c=0的距离为1，问题转化为圆心(0,0)到直线12x- 5y+c=0的距离小于1.即

<1,|c|<13, ∴-13

答案：-13

3.(2012·江苏高考)在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为

x2+y2-8x+15=0，若直线y=kx-2上至少存在一点，使得以该点为 圆心，1为半径的圆与圆C 有公共点，则k 的最大值是_____． 【解析】方法一：设直线上一点(t,kt-2)，

则圆心距满足 ≤2对t ∈R 有解.即(1+k2)t2-(4k+8)t+16≤0有解， 所以有(4k+8)2-4×16(1+k2)≥0,∴0≤k ≤ . 方法二：由题意，圆心C 到直线的距离不大于2，

d= ≤2,∴0≤k≤ .

4.(2010·全国Ⅰ)已知圆O 的半径为1，PA 、PB 为该圆的两条切线，A 、B 为两切点，那么 的最

小值为( )

(A)-4+ (B)-3+

(C)-4+2 (D)-3+2 【解析】选D.如图所示：

方法一：设PA=PB=x(x ＞0),∠APO=α,则∠APB=2α，PO= ，

sin α= ， =| |·| |cos2α=x2(1-2sin2α) = ，

22

c 125+24k 2k 1

-+43

43

22(t 4)(kt 2)-+-222

2PA PB 21x +21

1x

+PA PB 224222x (x 1)x x x 1x 1

--=++PA

PB

令 =y ，则y= ， 即x4-(1+y)x2-y=0，由于x2是实数，

所以Δ=［-(1+y)］2-4×1×(-y)≥0，y2+6y+1≥0， 解得y ≤-3-2 或y ≥-3+2 . 方法二：设∠APB=θ,0＜θ＜π，

= ｜ ｜｜ ｜cos θ=

换元：x= ，0＜x ＜1,

= ∴ 的最小值为 2 -3. 5.(2009·北京高考)椭圆 + =1的焦点为F1，F2，点P 在椭圆上，若|PF1|=4，则|PF2|=_____；∠F1PF2

的大小为_____.

【解析】∵a2=9,b2=2,∴c= , ∴|F1F2|=2 ,又|PF1|=4，|PF1|+|PF2|=2a=6, ∴|PF2|=2,又由余弦定理，得cos ∠F1PF2= ∴∠F1PF2=120°.答案：2 120°

6.(20XX 年全国文，理科4)设12F F 是椭圆2222:1(0)x y E a b a b +=>>的左、右焦点，P 为直线32

a

x =

上一点，?21F PF 是底角为30

的等腰三角形，则E 的离心率为（ ）

()

A 12 ()

B 2

3

()

C 34

()

D 45

【解析】选C

?21F PF 是底角为30

的等腰三角形22133

2()224

c PF F F a c c e a ?

==-=?==

7．(20XX 年全国理科7)设直线l 过双曲线C 的一个焦点，且与C 的一条对称轴垂直，l 与C 交于 A,B 两

点，

AB

为C 的实轴长的2倍，则C 的离心率为

（A ）

2 （B ）

3 （C ）2 （D ）3

解析：本题需要作出图形，设出双曲线方程，用双曲线中的基本量a .b.c 表示点的坐标，列出关于a .b.c

42

2x x x 1

-+22

PA PB

PA PB PA PB 2

222cos 12()cos (12sin )2tan sin 22θ

θθ=?-θθ222(1sin )(12sin )

22sin 2

θθ--=

θ2

sin 2

θ(1x)(12x)1

2x 322 3.

x x

--=+-≥-PA

PB PA

PB 222a b 927

-=-=722224(27)1

,

2242

+-=-??2x 92

y 2

的等式，坐标法。

8.(20XX 年全国文，理科8)等轴双曲线C 的中心在原点，焦点在x 轴上，C 与抛物线x y 162=的准线

交于

,A B 两点，43AB =；则C 的实轴长为（ ）

()

A 2 ()

B 22 ()

C 4 ()

D 8

【解析】选C

设2

22:(0)C x y a a -=>交x y 162=的准线:4l x =-于(4,23)A -(4,23)B -- 得：2

22(4)(23)4224a

a a =--=?=?=

9．(20XX 年全国文科20)在平面直角坐标系xOy 中，曲线261y x x =-+与坐标轴的交点都在圆C 上．

（I ）求圆C 的方程；

（II ）若圆C 与直线0x y a -

+=交于A ，B 两点，且,OA OB ⊥求a 的值．

解：（Ⅰ）曲线

162+-=x x y 与y 轴的交点为（0，1），与x 轴的交点为（).0,223(),0,223-+

故可设C 的圆心为（3，t ），则有,)22()1(32222

t t +=-+解得t=1.

则圆C 的半径为.3)1(322=-+t 所以圆C 的方程为.9)1()3(22=-+-y x

（Ⅱ）设A （11,

y x ），B （22,y x ），其坐标满足方程组：

??

???=-+-=+-.9)1()3(,

02

2y x a y x 消去

y ，得到方程

.

012)82(222=+-+-+a a x a x 由已知可得，判别式

.

0416562>--=?a a 因此，

,

4

41656)28(2

2,1a a a x --±-=

从而

2

1

20,422121+-=

-=+a a x x a x x ①

由于OA ⊥OB ，可得,02121=+y y x x 又,,2211a x y a x y +=+=

所以.0)(22212

1=+++a x x a x x

②

由①，②得1-=a ，满足,0>?故.1-=a

10．(20XX 年全国理科20)在平面直角坐标系xOy 中，已知点A(0,-1)，B 点在直线y = -3上，M 点满足

MB//OA ， MA ?AB = MB ?BA ，M 点的轨迹为曲线C 。 （Ⅰ）求C 的方程；

（Ⅱ）P 为C 上的动点，l 为C 在P 点处得切线，求O 点到l 距离的最小值。

解：(Ⅰ)设M(x,y),由已知得B(x,-3),A(0,-1).所以MA =（-x,-1-y ）, MB =(0,-3-y), AB =(x,-2).再由愿意得知（MA +MB ）? AB =0,即（-x,-4-2y ）?

(x,-2)=0.

所以曲线C 的方程式为y=

14

x 2

-2.

(Ⅱ)设P(x 0,y 0)为曲线C ：y=14

x 2-2上一点，因为y '

=

12

x,所以l 的斜率为

12

x 0

因此直线l 的方程为

0001

()2

y y x x x -=

-，即200220x x y y x -+-=。 则O 点到

l

的

距

离

2

002

|2|

4

y x d x -=

+.又

2

00124

y x =

-，所以

2

02

0220014

142(4)2,244

x d x x x +==++≥++当20

x =0时取等号，所以O 点到l 距离的最小值为2. 11.(20XX 年全国文，理科20)设抛物线2

:2(0)C x py p =>的焦点为F ，准线为l ，A C ∈，

已知以F 为圆心，FA 为半径的圆F 交l 于,B D 两点；

（1）若0

90=∠BFD ，ABD ?的面积为24；求p 的值及圆F 的方程；

（2）若,,A B F 三点在同一直线m 上，直线n 与m 平行，且n 与C 只有一个公共点，

求坐标原点到,m n 距离的比值。 （1）2

2

(1)8x y +-=

(2) 坐标原点到,m n 距离的比值为33:326

p p =。 四.复习时的应对策略

解析几何的任务是将几何问题代数化：用有序实数对表示点，用方程表示曲线，用方程组表示曲线的公

共点，用不等式表示平面区域。指导思想是“数形结合”：要把曲线的几何特征准确地转换为代数特征，根据方程画出曲线，研究曲线几何性质。学好解析几何要做到以下四点： （一）夯实基础知识，强化双基训练，帮助学生构建好知识网络

（1）与直线有关的概念：倾斜角、斜率、直线方程、点到直线的距离、平行与垂直、线性规划等 （2）与圆有关的问题：圆的概念，方程，圆心，半径，直线与的常用处理方法（几何法，代数法）；

（3）椭圆，双曲线，抛物线相关问题：定义，标准方程，性质，离心率，焦点，注意关系：2

22a

b c =+，

222c a b =+等等。

（4）对称问题：包括关于点对称，关于直线对称

（5）直线与曲线常用处理手法：联列方程，△，韦达定理

（二）把握基本题型，熟悉常规解法

（1）解析几何的两个常见的考查题型：题型1：由曲线的相关性质求曲线的方程。 （包括轨迹方程）题型2：由曲线的方程研究曲线的性质：最值问题；定值问题；参数的取值范围；证明题。

综观近几年的高考试题，不难发现，解析几何的综合题主要集中在：弦长问题，三角形面积问题，中点弦问题，动点轨迹的探求，定点与定值问题，最值问题，相关量的取值范围问题。

（2）重视常见题型的专项总结，突出抓好重点、热点考查内容的复习，如范围问题、对称问题、定点问题、定值问题、直线与圆锥曲线问题，开放性与探索性问题，向量、导数与解析几何综合问题等等．选择一些综合性强、代表性强的交汇性题目、做到解一题、懂一块，熟一类，在 “活”与“变”上下工夫．

具体到解题中，应注意将每一个条件进行数学化转化，同时要将题设中的条件全部融入图形中，切实做好数学的文字语言，符号语言，图形语言的相互转化。往往可以这样做：联立两个方程，并将消元所得方程的判别式与韦达定理正确写出；用两个交点的同一类坐标的和或积来表示题中涉及的位置关系和数量关系；求解转化过来的纯粹代数问题，并将答案回归到原几何问题中。

（3）注重求解过程的严谨性与合理性，如：设直线方程时，要注意直线方程各种形式的特点以及适用范围；对于圆的方程，在使用标准方程与一般方程的选择上更有讲究，何时使用标准方程，何时使用一般方程，都需要牢固掌握． 【例】过抛物线

2:4C x y =的对称轴上一点(0,)(0)

P m m >作直线

l

与抛物线交于

1122(,),(,)A x y B x y 两点，点Q 是点P 关于原点的对称点．

(Ⅰ) 求证：124x x m =-；

(Ⅱ) 若PB AP

λ=，且()QP QA QB μ⊥-，求证：λμ=．

（三）理解数学本质，体会数学思想

解析几何常用的数学思想与数学方法：函数与方程的思想；分类讨论的思想；数形结合的思想；转化的思想；整体的思想等。抓住机会，引导学生感悟一些“好题”，体会其中的数学思想方法。

【例】已知抛物线

22(0)y px p =>上任一点到焦点的距离比到y 轴距离大1。

（1）求抛物线的方程；

（2）设A ，B 为抛物线上两点，且AB 不与x 轴垂直，若线段AB 的垂直平分线恰过点M （4，0），求MAB ?的面积的最大值。

（四）加强运算能力的培养

解析几何不仅是运用代数方法研究几何关系，更是数与形的统一。因此在解题过程中应充分挖掘图形的几何性质，特别是几何曲线的定义，另外在代数运算过程中要灵活运用代数知识，如：消元的思想，整体代换，对称思想，函数思想，同解变形等。选取合适方法，优化解题过程，可以选取定义法，几何法，包括如何设元，如何运算等。

【例】已知圆4)4(:22=++y x C

，圆D 的圆心在y 轴上且与圆C 外切，圆

D 与y 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 上方）

（Ⅰ）圆D 的圆心在什么位置时，圆D 与x 轴相切；

（Ⅱ）在x 轴正半轴上求点P ，当圆心D 在y 轴的任意位置时，直线AP 与直线BP 的夹角为定值，并求此常数.