《运筹学》习题课
运筹学课后习题答案
第一章 线性规划1、由图可得：最优解为2、用图解法求解线性规划： Min z=2x 1+x 2⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≤≤≥+≤+-01058244212121x x x x x x解：由图可得：最优解x=1.6,y=6.4Max z=5x 1+6x 2⎪⎩⎪⎨⎧≥≤+-≥-0,23222212121x x x x x x解：由图可得：最优解Max z=5x 1+6x 2, Max z= +∞Maxz = 2x 1 +x 2⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≤+≤+≤0,5242261552121211x x x x x x x由图可得：最大值⎪⎩⎪⎨⎧==+35121x x x ， 所以⎪⎩⎪⎨⎧==2321x xmax Z = 8.1212125.max 23284164120,1,2maxZ .jZ x x x x x x x j =+⎧+≤⎪≤⎪⎨≤⎪⎪≥=⎩如图所示，在（4，2）这一点达到最大值为26将线性规划模型化成标准形式：Min z=x 1-2x 2+3x 3⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≥-=++-≥+-≤++无约束321321321321,0,052327x x x x x x x x x x x x解：令Z ’=-Z,引进松弛变量x 4≥0，引入剩余变量x 5≥0，并令x 3=x 3’-x 3’’,其中x 3’≥0,x 3’’≥0Max z ’=-x 1+2x 2-3x 3’+3x 3’’⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≥≥≥≥≥-=++-=--+-=+-++0,0,0'',0',0,05232'''7'''5433213215332143321x x x x x x x x x x x x x x x x x x x7将线性规划模型化为标准形式Min Z =x 1+2x 2+3x 3⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≤-=--≥++-≤++无约束，321321321321,00632442392-x x x x x x x x x x x x解：令Z ’ = -z ，引进松弛变量x 4≥0,引进剩余变量x 5≥0,得到一下等价的标准形式。
运筹学习题.doc
习题课1(1) 假定一个成年人每天需要从食物中获取3000卡路里热量，55克蛋白质和800毫克钙。
如果市场上只有四种食品可供选择，它们每千克所含热量和营养成份以及市场价格如下表所示。
问如何选择才能满足营养的前提下使购买食品解:设x j (j=1,2,3,4)为第j 种食品每天的购买量，则配餐问题数学模型为 minz=10x 16x 23x 32x 4⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=≥≥+++≥+++≥+++)4,3,2,1(08005003002004005510206050300020090080010000.432143214321j x x x x x x x x x x x x x tx j(2) 将以下线性规划问题转化为标准形式 Min f = 3.6 x1 - 5.2 x2 + 1.8 x3 s. t. 2.3 x1 + 5.2 x2 - 6.1 x3 ≤15.7 4.1 x1 + 3.3 x3 ≥8.9 x1 + x2 + x3 = 38 x1 , x2 , x3 ≥ 0解：首先,将目标函数转换成极大化： 令 z = -f = -3.6x1+5.2x2-1.8x3其次考虑约束，有2个不等式约束，引进松弛变量x4，x5 ≥0。
于是，我们可以得到以下标准形式的线性规划问题： Max z = - 3.6 x1 + 5.2 x2 - 1.8 x3 s.t. 2.3x1+5.2x2-6.1x3+x4= 15.7 4.1x1+3.3x3-x5= 8.9 x1+x2+x3= 38x1 ,x2 ,x3 ,x4 ,x5 ≥ 0(3)用图解法求解下列线性规划问题本例中目标函数与凸多边形的切点是B (2,5)，则X *=(2,5)为最优解，m a x Z =20(4) 找出下列线性规划问题的全部基解，基可行解，并找出最优解基本解：X 1=(0,1,4,12,18)’ X 2=(4,0,0,12,6)’ X 3=(6,0,-2,12,0)’ X 4 =(4,3,0,6,0)’ X 5=(0,6,4,0,6)’ X 6=(2,6,2,0,0)’ X 7=((4,6,0,0,-6)’ X 8=(0,9,4,-6,0)’ 其中基本可行解为： X 1， X 2， X 4， X 5 ，X 6 最优解为X *＝X 6 =(2,6,2,0,0)’ Z *=36⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≥≤≤+≤++=04155162325max 211212121x x x x x x x x x z ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≥≤+≤≤++=018236453max 21212121x x x x x x x x z习题课2(1) 用单纯形表求解LP问题Max z = 1500 x1 + 2500 x2s.t. 3 x1 + 2 x2 + x3 = 652 x1 + x2 + x4 = 403 x2 + x5 = 75x1 , x2 , x3 , x4 , x5 ≥0最优解x1 = 5 x2 = 25 x4 = 5（松弛标量，表示B设备有5个机时的剩余）最优值z* = 70000(2)用单纯形法解线性规划问题(唯一解)解：化为标准型列出单纯形表Z*=17/2, X*=(7/2,3/2, 15/2,0,0)’⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥=++=++=+++++=-0524261550002max 515214213254321x x x x x x x x x x x x x x z习题课3(1) 用单纯形法求解线性规划问题化成标准形式有加入人工变量则为列出单纯形表 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≥≥=+≥-+-≤+++-=000931243max 3213232132131x x x x x x x x x x x x x z ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥=+=--+-=++++++-=-093124003max 5132532143215431x x x x x x x x x x x x x x x z ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥=++=+--+-=+++--+++-=-093124003max 71732653214321765431x x x x x x x x x x x x x Mx Mx x x x x z人工变量已不在基变量中，X*=(0,5/2,3/2,0,0,0,0)’ Z*=3/2注意：(1)在L P 问题的最优解中，人工变量都处在非基变量位置(即取0值)，则原问题有最优解，且去掉人工变量后的解为原问题的最优解。
《运筹学》课后习题答案 第3章 运输问题
一、选择题1. 2. 3. 4. 5. 6. 7.二、判断题1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9.三、表上作业法 3. 解：可知，有初始基本可行解1112132122230,10,20,10,35,0x x x x x x ======用闭回路法计算非基变量的检验数：1123(56)(84)10(98)(67)40σσ=+-+=-<=+-+=>因为110σ<，该解并不是最优解。
进行换基迭代，让11x 进基，考虑上述闭回路，调整量min(10,10)10θ==，调整后得到新的调运方案：A2 4 0645945销量10 45 20计算非基变量的检验数得：1223(84)(56)10(95)(47)30σσ=+-+=>=+-+=>故此方案为最优方案，最优解为：11121321222310,0,20,0,45,0x x x x x x ======最优值min 105207456460Z =⨯+⨯+⨯=用电子表格模型求解进行验算：4. 解：用西北角法求得初始基本可行解：1112131421222324313233344,0,0,0;1,2,4,2;0,0,0,4;x x x x x x x x x x x x ============ 用位势法计算检验数：1111212121131322214142233131324323243433333106()210167()861012()9455()12194()731010()47u u v u v v u v u v u u v u v v u v u v v u v u v v u v u v u σσσσσσ=⎧+==-+=⎧⎧⎪=⎪⎪⎪+==-+=⎪⎪⎪=⎪⎪++=-+=⎪⎪⇒=⇒⎨⎨⎨+==-+=-⎪⎪=-⎪⎪+==-+=-=⎪⎪+==-+=⎪⎪⎩=⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎩因为3132,σσ小于0，该解不是最优解。
《运筹学》课后习题答案 EX14_第14次作业解答
第十四次作业解答：P219 习题6_3)：(1)，(3)，(5)；3、建立下列问题的排队模型，画出系统的状态转移图并按要求求解。
（1）某理发店只有一名理发师，来理发的顾客按泊松分布到达，平均每小时4人，理发时间服从负指数分布，平均需6分钟。
①判断排队系统模型，画出系统的状态转移速度图；②理发店空闲的概率、店内有三个顾客的概率、店内至少有一个顾客的概率； ③在店内顾客平均数、在店内平均逗留时间； ④等待服务的顾客平均数、平均等待服务时间。
解: ① 依题意, 该问题是一个M/M/1等待制排队系统，系统容量和顾客源无限。
顾客到达按泊松流输入，=＝4人／小时，理发时间服从负指数分布，＝10人／小时。
② 理发店空闲的概率：04110.610p λμ=-=-=。
店内有三个顾客的概率：3344()(1)0.03841010p =⨯-=。
店内至少有一个顾客的概率：010.4p -=。
③店内顾客平均数：40.66667104s L λμλ===--。
在店内的平均逗留时间：110.16667104ss eL W λμλ====--。
④等待服务的顾客平均数：2440.26667()10(104)e q s L L λλμμμλ⨯=-===-⨯-。
平均等待服务时间：0.06667()qq eL W λλμμλ===-。
（3）某加油站有一台油泵。
来加油的汽车按泊松流到达，平均每小时二十辆，但当加油站已有n 辆汽车时，新来汽车中将有一部分不愿意等待而离去，离去概率为n ／4（n=0,1,2,3,4）。
油泵给一辆汽车加油所需要的时间为均值3分钟的负指数分布。
①画出排队系统的状态转移速度图； ②导出其平衡方程式；③求出系统的运行参数,,,,s q e s q L L W W λ。
解：根据题意，顾客按泊松流到达，λ＝20辆／小时，服务时间服从负指数分布， μ＝20辆／小时。
一个服务台1C =，系统容量为N=4，离去的概率为n ／4。
运筹学第三版课后习题答案 (2)
运筹学第三版课后习题答案第一章：引论1.1 课后习题习题1a)运筹学是一门应用数学的学科，旨在解决实际问题中的决策和优化问题。
它包括数学模型的建立、问题求解方法的设计等方面。
b)运筹学可以应用于各个领域，如物流管理、生产计划、流程优化等。
它可以帮助组织提高效率、降低成本、优化资源分配等。
c)运筹学主要包括线性规划、整数规划、指派问题等方法。
习题2运筹学的应用可以帮助组织提高效率、降低成本、优化资源分配等。
它可以帮助制定最佳的生产计划，优化供应链管理，提高运输效率等。
运筹学方法的应用还可以帮助解决紧急情况下的应急调度问题，优化医疗资源分配等。
1.2 课后习题习题1运筹学方法可以应用于各个领域，如物流管理、生产计划、供应链管理、流程优化等。
在物流管理中，可以使用运筹学方法优化仓储和运输的布局，提高货物的运输效率。
在生产计划中，可以使用运筹学方法优化产品的生产数量和生产周期，降低生产成本。
在供应链管理中，可以使用运筹学方法优化订单配送和库存管理，提高供应链的效率。
在流程优化中，可以使用运筹学方法优化业务流程，提高整体效率。
习题2在物流管理中，可以使用运筹学方法优化车辆的调度和路线规划，以提高运输效率和降低成本。
在生产计划中，可以使用运筹学方法优化生产线的安排和产品的生产量，以降低生产成本和提高产能利用率。
在供应链管理中，可以使用运筹学方法优化供应链各个环节的协调和调度，以提高整体效率和减少库存成本。
在流程优化中，可以使用运筹学方法优化业务流程的排布和资源的分配，以提高流程效率和客户满意度。
第二章：线性规划基础2.1 课后习题习题1线性规划是一种数学优化方法，用于解决包含线性约束和线性目标函数的优化问题。
其一般形式为：max c^T*xs.t. Ax <= bx >= 0其中，c是目标函数的系数向量，x是决策变量向量，A是约束矩阵，b是约束向量。
习题2使用线性规划方法可以解决许多实际问题，如生产计划、供应链管理、资源分配等。
运筹学习题课2-解答
运筹学习题课二---小组任务（解答） 要求：1、 以小组形式共同完成习题任务，每小组人数为3人，成员自定；2、 小组成员共同讨论任务解决方案，最后由一人撰写习题报告；3、 习题报告需给出完整的数学模型及求解过程；4、 习题报告中签署所有成员的班级、姓名及学号。
任务1：P152-6.4：某城市的消防总部将全市划分为11个防火区，设有4个消防（救火）站。
图6-8表示各防火区域与消防站的位置，其中①、②、③、④表示消防站，1, 2, 3, …, 11表示防火区域。
根据历史的资料证实，各消防站可在事先规定的允许时间内对所负责的地区的火灾予以消灭。
图中虚线即表示各地区由哪个消防站负责（没有虚线连接，就表示不负责）。
现在总部提出：可否减少消防站的数目，仍能同样负责各地区的防火任务？如果可以，应当关闭哪个？解答：使用0-1整数规划求解，可知规划只有两个可行解，比较后可知可以关闭第2个消防站。
任务2：P312-11.15-(2)：已知矩阵对策A =(400008060)的解为x ∗=(613,313,413)T ,y ∗=(613,413,313)T ,对策值为 2413 . 求下列矩阵对策的解，其赢得矩阵A 分别为(1)(−2−226−2−2−24−2)， (2)(322020202044203820).解答：使用矩阵对策基本定理的定理7-8进行求解，可得(1)及(2)的最优策略不变，最优对策值分别为：−213，33213. 其中矩阵(1)是在矩阵A 的基础上交换了1，3列后再减2而得，易知交换赢得矩阵的任意两行或两列不改变原矩阵对策的值，只需对局中人的最优策略的分量作相应的交换即可。
《运筹学》(第二版)课后习题参考答案
生产工序
所需时间（小时）
每道工序可用时间（小时）
1
2
3
4
5
成型
3
4
6
2
3
3600
打磨
4
3
5
6
4
3950
上漆
2
3
3
4
3
2800
利润（百元）
2.7
3
4.5
2.5
3
解：设 表示第i种规格的家具的生产量（i=1,2,…,5），则
s.t.
通过LINGO软件计算得： ．
11．某厂生产甲、乙、丙三种产品，分别经过A，B，C三种设备加工。已知生产单位产品所需的设备台时数、设备的现有加工能力及每件产品的利润如表2—10所示。
－10/3
－2/3
0
故最优解为 ，又由于 取整数，故四舍五入可得最优解为 , ．
（2）产品丙的利润 变化的单纯形法迭代表如下：
10
6
0
0
0
b
6
200/3
0
1
5/6
5/3
－1/6
0
10
100/3
1
0
1/6
－2/3
1/6
0
0
100
0
0
4
－2
0
1
0
0
－20/3
－10/3
－2/3
0
要使原最优计划保持不变，只要 ，即 ．故当产品丙每件的利润增加到大于6.67时，才值得安排生产。
答：（1）唯一最优解：只有一个最优点；
（2）多重最优解：无穷多个最优解；
（3）无界解：可行域无界，目标值无限增大；
运筹学课后习题及答案
运筹学课后习题及答案运筹学是一门应用数学的学科，旨在通过数学模型和方法来解决实际问题。
在学习运筹学的过程中，课后习题是非常重要的一部分，它不仅可以帮助我们巩固所学的知识，还可以提升我们的解决问题的能力。
下面，我将为大家提供一些运筹学课后习题及答案，希望对大家的学习有所帮助。
1. 线性规划问题线性规划是运筹学中的一个重要分支，它旨在寻找线性目标函数下的最优解。
以下是一个线性规划问题的例子：Max Z = 3x + 4ySubject to:2x + 3y ≤ 10x + y ≥ 5x, y ≥ 0解答：首先，我们可以画出约束条件的图形，如下所示：```y^|5 | /| /| /| /|/+-----------------10 x```通过观察图形，我们可以发现最优解点是(3, 2)，此时目标函数取得最大值为Z = 3(3) + 4(2) = 17。
2. 整数规划问题整数规划是线性规划的一种扩展，它要求变量的取值必须是整数。
以下是一个整数规划问题的例子：Max Z = 2x + 3ySubject to:x + y ≤ 52x + y ≤ 8x, y ≥ 0x, y为整数解答：通过计算，我们可以得到以下整数解之一：x = 2, y = 3此时，目标函数取得最大值为Z = 2(2) + 3(3) = 13。
3. 网络流问题网络流问题是运筹学中的另一个重要分支，它研究的是在网络中物体的流动问题。
以下是一个网络流问题的例子：有一个有向图，其中有三个节点S、A、B和一个汇点T。
边的容量和费用如下所示：S -> A: 容量为2，费用为1S -> B: 容量为3，费用为2A -> T: 容量为1，费用为1B -> T: 容量为2，费用为3A -> B: 容量为1，费用为1解答：通过使用最小费用最大流算法，我们可以找到从源点S到汇点T的最小费用流量。
在该例中，最小费用为5，最大流量为3。
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要求确定既满足动物生长的营养需求，又使费用最省 的选用饲料方案。
LINDO 输入文件： MIN 0.2X1+0.7X2+0.4X3+0.3X4+0.8X5 ST 3X1+2X2+X3+6X4+18X5>=700 X1+0.5X2+0.2X3+2X4+0.5X5>=30 0.5X1+X2+0.2X3+2X4+0.8X5>=100 END
Day Req
Mon
Tue
Wed
Thu
Fri
Sat
Sun
20
13
10
12
16
18
20
表-2 每件容积 （m3/件） 10 5 7
为了航运安全，要求：前、后舱分别与中舱之间的载重量比例的偏差 不超过15％，前后舱之间不超过10％，问该货轮应装载Ａ、Ｂ、Ｃ各多少 件运费收入才最大？试建立这个问题的线性规划模型。
Ex3 .宏银公司承诺为某建设项目从2003年起的4年中每年初分别提供以下 数额的贷款（万元）： 2003年 2004年 2005年 2006年
100 150 120 110
以上贷款资金均须与2002年底前筹建齐，但为了充分发挥这笔资金的作用， 在满足每年贷款额的情况下可将多余资金分别用于下列投资项目： （1）于2003年初购买A种债券，期限3年，到期后本息合计为投资额的140%， 但限购60万元； （2）2003年初 B债券 期限2年 125% 限购90万 （3）2004年初 C债券 期限2年 130% 限购50万 （4）并于每年年初将任意数额的资金放于银行中，年息4%，于年底取出； 问宏银公司应如何运用好这笔酬金到的资金，使200 OPTIMUM FOUND AT STEP
1 OBJECTIVE FUNCTION VALUE 1) 32.43590 VARIABLE VALUE REDUCED COST X1 0.000000 0.059615 X2 0.000000 0.593590 X3 0.000000 0.352564 X4 39.743591 0.000000 X5 25.641026 0.000000
线性规划模型与Lindo6使用
社科系工商管理教研室 陈鼎藩
图解法求解：
(1) max z 3 x1 2 x 2 2 x1 x 2 2 st 3 x1 4 x 2 12 x1 ,x 2 0 (2) minz 5 x1 6 x 2 2 x1 x 2 2 st 2 x1 3 x 2 2 x1 ,x 2 0
Ex4.工业原材料的合理利用问题
要制作100套钢筋架子，每套有长2.9米、2.1米和1.5米的 钢筋各一根。已知原材料长7.4米，应如何切割，使用原材料最 节省，试建立此问题的线性规划模型。
2.9m
2.1m
1.5m
剩余
Ex5 分配问题
下表为某医院每天的护士值班最低需求人数。已知护 士连续工作5天必须休息2天。在正常工作日（5天）周工 资为300元；周六上班额外补助25元；周日上班额外补助35 元。试安排护士值班计划，使医院的总工资支出最少。
Ex2 .一艘货轮分前、中、后三个货仓，它们的容积和最大允许载重量如 表-1所示。现有三种货物待运，有关数据见表-2。
表-1 项 目 后舱 2000 4000 中舱 3000 5400 每件重量 （t） 8 6 5 前舱 1500 1500 运价 （元/件） 1000 700 600 最大载重量（t） 容积（m3） 商品 A B C 数量 （件） 600 1000 800
单纯形法求解：
(1)maxz 10 x1 15 x2 12 x3 5 x1 3 x2 x3 9 5 x1 6 x2 15 x3 15 st 2 x1 x2 x3 5 x1,x2 ,x3 0 (2)maxz 2 x 1 x 2 2 x 3 4 x 1 3 x 2 8 x 3 12 4 x 1 x 2 12 x 3 8 st 4 x1 x 2 3 x 3 8 x 1 ,x 2 ,x 3 0
建模问题：
Ex1 . 某饲养厂饲养动物出售，设每头动物每天至少需 要700g蛋白质，30g矿物质，100mg维生素，现有五种饲料可 供选用，各种饲料每kg 营养成份含量及单价如下表所示：
饲料 A B C D E 蛋白质（g） 3 2 1 6 18 矿物质（g） 1 0.5 0.2 2 0.5 维生素（mg） 价格（元/kg） 0.5 1.0 0.2 2 0.8 0.2 0.7 0.4 0.3 0.8