2019-2020学年辽宁省沈阳市郊联体高二下学期期末数学试卷 (解析版)

2019-2020学年辽宁省沈阳市郊联体高二第二学期期末数学试卷一、选择题（共12小题）.1．若复数z满足z（1﹣i）＝1+3i，则z的模等于（）A．B．C．D．32．已知集合A＝{x|x2﹣6x+5≤0}，B＝{x|x≥3}，则A∪∁R B＝（）A．[1，+∞）B．[1，3）C．（﹣∞，5]D．（3，5]3．命题p：“∀x≥0，都有e x≥﹣x+1”，则命题p的否定为（）A．∀x≥0，都有e x＜﹣x+1B．∀x＜0，都有e x≥﹣x+1C．∃x0≥0，e＜﹣x0+1D．∃x0＜0，e＜﹣x0+14．复数，则在复平面内，z对应的点的坐标是（）A．（1，0）B．（0，1）C．D．5．下列函数中，与函数y＝x表示同一函数的是（）A．y＝（）2B．y＝（）3C．y＝D．y＝6．函数的值域为（）A．（﹣∞，2]B．[2，+∞）C．（0，2]D．[1，2]7．已知a∈R，则“a＝﹣2”是“（4x﹣）4展开式各项系数和为0”的（）A．必要不充分条件B．充分不必要条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件8．已知f（+1）＝x+3，则f（x+1）的解析式为（）A．x+4（x≥0）B．x2+3（x≥0）C．x2﹣2x+4（x≥1）D．x2+3（x≥1）9．直线＝1（a＞0，b＞0）经过点（3，2），则2a+3b的最小值为（）A．12B．36C．24D．4810．函数f（x）＝的图象大致为（）A．B．C．D．11．若函数f（x）对∀a，b∈R，同时满足：（1）当a+b＝0时有f（a）+f（b）＝0；（2）当a+b＞0时有f（a）+f（b）＞0，则称f（x）为Ω函数．下列函数中：①f（x）＝x﹣sin x，②f（x）＝e x﹣e﹣x，③f（x）＝e x+e﹣x，④是Ω函数的为（）A．①②B．②③C．③④D．①④12．f（x）是定义在R上的奇函数，当x＜0时，f（x）+x•f′（x）＜0，且f（﹣3）＝0，则不等式f（x）＜0的解集为（）A．（﹣3，0）∪（3，+∞）B．（﹣3，0）∪（0，3）C．（﹣∞，3）∪（3，+∞）D．（﹣∞，﹣3）∪（0，3）二、填空题（共4小题）.13．已知f（x）是定义在R上的奇函数，且当x≥0时，f（x）＝x2+ax+a﹣1，则f（﹣1）＝．14．2020年初，我国突发新冠肺炎疫情．面对“突发灾难”，举国上下一心，继解放军医疗队于除夕夜飞抵武汉，各省医疗队也陆续增援，纷纷投身疫情防控与病人救治之中，为分担“逆行者”的后顾之忧，某大学学生志愿者团队开展“爱心辅学”活动，为抗疫前线工作者子女在线辅导功课．现随机安排甲、乙、丙3名志愿者为某学生辅导数学、物理、化学、生物、英语5门学科，每名志愿者至少辅导1门学科，每门学科由1名志愿者辅导，则不同的安排方法共有种．15．定义在（0，+∞）上的函数f（x），满足对于任意正实数x，y恒有f（xy）＝f（x）+f（y），且f（3）＝1，如果对任意的x1，x2∈（0，+∞），当x1≠x2时，都有（x1﹣x2）•[f（x1）﹣f（x2）]＞0，则不等式f（x）+f（x﹣8）＜2的解集是．16．已知函数f（x）＝x3+2x+1，若对于∀x∈R不等式f（ax﹣e x+2a）≤1恒成立，则实数a 的取值范围为．三、解答题：（满分70分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤，解答过程书写在答题纸的对应位置）17．在箱子中有10个小球，其中有3个红球，3个白球，4个黑球，从这10个球中任取3个．求：（1）取出的3个球中红球的个数为X，求X的数学期望；（2）取出的3个球中红球个数多于白球个数的概率．18．已知函数f（x）＝x2﹣8lnx．（1）求函数f（x）的极值；（2）求函数f（x）在区间上的最值．19．某花圃为提高某品种花苗质量，开展技术创新活动，在A，B实验地分别用甲、乙方法培育该品种花苗．为观测其生长情况，分别在实验地随机抽取各50株，对每株进行综合评分，将每株所得的综合评分制成如图所示的频率分布直方图，记综合评分为80分及以上的花苗为优质花苗．（1）用样本估计总体，以频率作为概率，若在A，B两块实验地随机抽取3株花苗，求所抽取的花苗中优质花苗数的分布列和数学期望；（2）填写下面的列联表，并判断是否有99%的把握认为优质花苗与培育方法有关．优质花苗非优质花苗合计甲培育法20乙培育法10合计（参考公式：，其中n＝a+b+c+d．）P（K2＞k0）0.0500.0100.001k0 3.841 6.63510.82820．一饮料店制作了一款新饮料，为了进行合理定价先进行试销售，其单价x（元）与销量y（杯）的相关数据如表：单价x（元）8.599.51010.5销量y（杯）120110907060（Ⅰ）已知销量y与单价x具有线性相关关系，求y关于x的线性回归方程；（Ⅱ）若该款新饮料每杯的成本为8元，试销售结束后，请利用（Ⅰ）所求的线性回归方程确定单价定为多少元时，销售的利润最大？（结果保留到整数）参考公式：线性回归方程＝x中斜率和截距最小二乘法估计计算公式：＝，＝﹣，参考数据：x i y i＝4195，x i2＝453.75．21．已知函数，其中a∈R．（Ⅰ）当a＝0时，求f（x）在（1，f（1））的切线方程；（Ⅱ）求证：f（x）的极大值恒大于0．22．已知函数f（x）＝e x﹣．（Ⅰ）若函数f（x）在[1，2]上是减函数，求实数a的取值范围；（Ⅱ）当a＝1时，求证：对任意m∈[﹣2，2]，函数f（x）的图象均在x轴上方．参考答案一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．若复数z满足z（1﹣i）＝1+3i，则z的模等于（）A．B．C．D．3【分析】把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简，然后利用复数模的计算公式求解．解：∵z（1﹣i）＝1+3i，∴z＝，∴．故选：C．2．已知集合A＝{x|x2﹣6x+5≤0}，B＝{x|x≥3}，则A∪∁R B＝（）A．[1，+∞）B．[1，3）C．（﹣∞，5]D．（3，5]【分析】求出集合A，B，∁U B，由此能求出A∪∁R B．解：∵集合A＝{x|x2﹣6x+5≤0}＝{x|1≤x≤5}，B＝{x|x≥3}，∴∁U B＝{x|x＜3}，∴A∪∁R B＝（﹣∞，5]．故选：C．3．命题p：“∀x≥0，都有e x≥﹣x+1”，则命题p的否定为（）A．∀x≥0，都有e x＜﹣x+1B．∀x＜0，都有e x≥﹣x+1C．∃x0≥0，e＜﹣x0+1D．∃x0＜0，e＜﹣x0+1【分析】根据全称命题的否定是特称命题，写出对应的命题即可．解：命题p：“∀x≥0，都有e x≥﹣x+1”，则命题p的否定为：“∃x0≥0，都有＜﹣x0+1”．故选：C．4．复数，则在复平面内，z对应的点的坐标是（）A．（1，0）B．（0，1）C．D．【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简即可得z对应的点的坐标，则答案可求．解：由＝＝＝i；则在复平面内，z对应的点的坐标是：（0，1）．故选：B．5．下列函数中，与函数y＝x表示同一函数的是（）A．y＝（）2B．y＝（）3C．y＝D．y＝【分析】分别判断函数的定义域和对应法则是否和y＝x一致即可．解：A．函数y＝（）2＝x的定义域为{x|x≥0}，和y＝x定义域不相同．不是同一函数．B．函数y＝（）3＝x的定义域为R，和y＝x的定义域相同，对应法则相同．是同一函数．C．函数y＝的定义域为R，和y＝x的定义域相同，对应法则不相同．不是同一函数．D．函数y＝＝x的定义域{x|x≠0}，和y＝x的定义域不相同，对应法则相同．不是同一函数．故选：B．6．函数的值域为（）A．（﹣∞，2]B．[2，+∞）C．（0，2]D．[1，2]【分析】对分式的分母进行配方即可得解．解：函数的定义域为R，＝，且f（x）＞0，所以其值域为（0，2]．故选：C．7．已知a∈R，则“a＝﹣2”是“（4x﹣）4展开式各项系数和为0”的（）A．必要不充分条件B．充分不必要条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【分析】由a＝﹣2，可得展开式各项系数和为0，反之，由展开式各项系数和为0，得到a＝±2，再由充分必要条件的判定得答案．解：当a＝﹣2时，化为，取x＝1，可得展开式各项系数和为0；反之，由展开式各项系数和为0，得4﹣a2＝0，即a＝±2．∴“a＝﹣2”是“展开式各项系数和为0”的充分不必要条件．故选：B．8．已知f（+1）＝x+3，则f（x+1）的解析式为（）A．x+4（x≥0）B．x2+3（x≥0）C．x2﹣2x+4（x≥1）D．x2+3（x≥1）【分析】利用换元法求函数的解析式即可．设t＝，求出f（x）的表达式，然后求f（x+1）即可．解：设t＝，t≥1，则，所以f（t）＝（t﹣1）2+3，即f（x）＝（x﹣1）2+3，所以f（x+1）＝（x+1﹣1）2+3＝x2+3，由x+1≥1，得x≥0，所以f（x+1）＝（x+1﹣1）2+3＝x2+3，（x≥0）．故选：B．9．直线＝1（a＞0，b＞0）经过点（3，2），则2a+3b的最小值为（）A．12B．36C．24D．48【分析】利用“乘1法”与基本不等式的性质即可得出．解：由题意可得，，∴2a+3b＝（2a+3b）（）＝12+＝12+12＝24，当且仅当且，即a＝6，b＝4时取等号．故选：C．10．函数f（x）＝的图象大致为（）A．B．C．D．【分析】利用函数的奇偶性排除选项，通过x＞1函数的导数判断函数的单调性，即可得到结果．解：函数是偶函数，排除C、D；当x≥1时，函数＝x﹣，f′（x）＝1﹣，因为x＞1时，g（x）＝1﹣2lnx是减函数，g（x）＜1，所以＜1，所以f′（x）＝1﹣＞0，当x≥1时，函数f（x）＝x﹣是增函数，排除B．故选：A．11．若函数f（x）对∀a，b∈R，同时满足：（1）当a+b＝0时有f（a）+f（b）＝0；（2）当a+b＞0时有f（a）+f（b）＞0，则称f（x）为Ω函数．下列函数中：①f（x）＝x﹣sin x，②f（x）＝e x﹣e﹣x，③f（x）＝e x+e﹣x，④是Ω函数的为（）A．①②B．②③C．③④D．①④【分析】由题意可得f（x）满足是R上的奇函数，且为增函数，称为Ω函数，由函数的奇偶性和单调性的定义，分别判断①、②、③、④的函数的奇偶性和单调性，可得所求结论．解：由（1）当a+b＝0时有f（a）+f（b）＝0，即为f（﹣a）＝﹣f（a），则f（x）为R上的奇函数；由（2）当a+b＞0时有f（a）+f（b）＞0，即为a＞﹣b，f（a）＞﹣f（b）＝f（﹣b），可得f（x）为R上的增函数，则函数f（x）为R上的奇函数，且为增函数．由①f（x）＝x﹣sin x，定义域为R，f（﹣x）＝﹣x﹣sin（﹣x）＝﹣x+sin x＝﹣f（x），即有f（x）为奇函数；又f′（x）＝1﹣cos x≥0，可得f（x）为R上的增函数，故①是Ω函数；②f（x）＝e x﹣e﹣x，定义域为R，f（﹣x）＝e﹣x﹣e x＝﹣f（x），即有f（x）为奇函数，又f′（x）＝e x+e﹣x＞0，可得f（x）为R上的增函数，故②是Ω函数；③f（x）＝e x+e﹣x，定义域为R，f（﹣x）＝e﹣x+e x＝f（x），可得f（x）为偶函数，故③不是Ω函数；④定义域为R，x≠0时，f（﹣x）＝＝﹣f（x），可得f（x）为奇函数，又f（x）在（﹣∞，0），（0，+∞）递增，但在R上不为增函数，比如f（﹣1）＞f （1），故④不是Ω函数．故选：A．12．f（x）是定义在R上的奇函数，当x＜0时，f（x）+x•f′（x）＜0，且f（﹣3）＝0，则不等式f（x）＜0的解集为（）A．（﹣3，0）∪（3，+∞）B．（﹣3，0）∪（0，3）C．（﹣∞，3）∪（3，+∞）D．（﹣∞，﹣3）∪（0，3）【分析】构造函数g（x）＝xf（x），易推出g（x）在（﹣∞，0）上单调递减；由f（x）是定义在R上的奇函数，可知g（x）为偶函数，从而得g（x）在（0，+∞）上单调递增，且g（3）＝g（﹣3）＝0．在f（x）＜0的情形下，再分x＞0和x＜0，讨论g（x）与0的关系，从而得解．解：令g（x）＝xf（x），则g'（x）＝f（x）+x•f′（x），当x＜0时，g'（x）＜0，∴g（x）在（﹣∞，0）上单调递减，∵f（x）是定义在R上的奇函数，∴g（﹣x）＝﹣xf（﹣x）＝xf（x）＝g（x），即函数g（x）为偶函数，∴g（x）在（0，+∞）上单调递增，∵f（﹣3）＝0，∴g（3）＝g（﹣3）＝﹣3×f（﹣3）＝0，当x＞0时，若f（x）＜0，则g（x）＜0，∴0＜x＜3；当x＜0时，若f（x）＜0，则g （x）＞0，∴x＜﹣3．∴不等式f（x）＜0的解集为（﹣∞，﹣3）∪（0，3）．故选：D．二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把等案填在答题纸上）13．已知f（x）是定义在R上的奇函数，且当x≥0时，f（x）＝x2+ax+a﹣1，则f（﹣1）＝﹣2．【分析】根据奇函数的性质，利用f（0）＝0，求出a的值，结合奇函数的性质，进行转化求解即可．解：∵f（x）是定义在R上的奇函数，且当x≥0时，f（x）＝x2+ax+a﹣1，∴f（0）＝0，即a﹣1＝0，得a＝1，此时f（x）＝x2+x，∴f（﹣1）＝﹣f（1）＝﹣（1+1）＝﹣2，故答案为：﹣214．2020年初，我国突发新冠肺炎疫情．面对“突发灾难”，举国上下一心，继解放军医疗队于除夕夜飞抵武汉，各省医疗队也陆续增援，纷纷投身疫情防控与病人救治之中，为分担“逆行者”的后顾之忧，某大学学生志愿者团队开展“爱心辅学”活动，为抗疫前线工作者子女在线辅导功课．现随机安排甲、乙、丙3名志愿者为某学生辅导数学、物理、化学、生物、英语5门学科，每名志愿者至少辅导1门学科，每门学科由1名志愿者辅导，则不同的安排方法共有150种．【分析】根据题意，分2步进行分析：①将5门学科分为3组，②将分好的三组分配给甲、乙、丙3名志愿者，由分步计数原理计算可得答案．解：根据题意，分2步进行分析：①将5门学科分为3组，若分为3、1、1的三组，有C53＝10种分组分法，若分为2、2、1的三组，有＝15种分组分法，则有10+15＝25种分组分法；②将分好的三组分配给甲、乙、丙3名志愿者，有A33＝6种情况，则有25×6＝150种安排分法；故答案为：15015．定义在（0，+∞）上的函数f（x），满足对于任意正实数x，y恒有f（xy）＝f（x）+f（y），且f（3）＝1，如果对任意的x1，x2∈（0，+∞），当x1≠x2时，都有（x1﹣x2）•[f（x1）﹣f（x2）]＞0，则不等式f（x）+f（x﹣8）＜2的解集是（8，9）．【分析】由“对任意的x1，x2∈（0，+∞），当x1≠x2时，都有（x1﹣x2）•[f（x1）﹣f （x2）]＞0”可知该函数是单调增函数，再结合“定义域、f（xy）＝f（x）+f（y），且f（3）＝1”，将f（x）+f（x﹣8）＜2转化为两函数值的大小比较问题，最终列出关于x的不等式求解．解：因为对于任意正实数x，y恒有f（xy）＝f（x）+f（y），且f（3）＝1，f（x）+f（x﹣8）＜2可化为：f[x（x﹣8）]＜f（3）+f（3）＝f（9）．因为对任意的x1，x2∈（0，+∞），当x1≠x2时，都有（x1﹣x2）•[f（x1）﹣f（x2）]＞0，故f（x）在（0，+∞）上单调递增，所以，解得8＜x＜9．故不等式的解集为：（8，9）．16．已知函数f（x）＝x3+2x+1，若对于∀x∈R不等式f（ax﹣e x+2a）≤1恒成立，则实数a 的取值范围为[0，]．【分析】令t＝ax﹣e x+2a，由f（t）≤1恒成立，可得t≤0，再令ax﹣e x+2a≤0对任意的x∈R恒成立，通过分离参数，构造函数，即可求出a的范围．解：令t＝ax﹣e x+2a，由f（t）＝t3+2t+1≤1，得t（t2+2）≤0，故t≤0，即ax﹣e x+2a≤0对任意的x∈R恒成立．整理得a（x+2）≤e x①对任意的x∈R恒成立．（i）当x+2≤0时，要使①式恒成立，只需a≥0即可；（ii）当x+2＞0时，①式可化为：，令g（x）＝，则，易知x∈（﹣2，﹣1）时，g′（x）＜0；x∈（﹣1，+∞）时，g′（x）＞0．所以g（x）在（﹣2，﹣1）上单调递减，在（﹣1，+∞）上单调递增，故此时g（x）min＝g（﹣1）＝，要使①恒成立，只需．综合（i），（ii）可知，所求a的范围是．即a．三、解答题：（满分70分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤，解答过程书写在答题纸的对应位置）17．在箱子中有10个小球，其中有3个红球，3个白球，4个黑球，从这10个球中任取3个．求：（1）取出的3个球中红球的个数为X，求X的数学期望；（2）取出的3个球中红球个数多于白球个数的概率．【分析】（1）从这10个球中任取3个．取出的3个球中红球的个数为X，则X的可能取值为0，1，2，3，分别求出相应的概率，由此能求出X的数学期望．（2）设“取出的3个球中红球个数多于白球个数”为事件A，“恰好取出1个红球和2个黑球”为事件A1，“恰好取出2个红球”为事件A2，“恰好取出3个红球”为事件A3，取出的3个球中红球个数多于白球个数的概率为P（A）＝P（A1）+P（A2）+P（A3），由此能求出结果．解：（1）在箱子中有10个小球，其中有3个红球，3个白球，4个黑球，从这10个球中任取3个．取出的3个球中红球的个数为X，则X的可能取值为0，1，2，3，P（X＝0）＝＝，P（X＝1）＝＝，P（X＝2）＝＝，P（X＝3）＝＝，∴X的数学期望E（X）＝＝．（2）设“取出的3个球中红球个数多于白球个数”为事件A，“恰好取出1个红球和2个黑球”为事件A1，“恰好取出2个红球”为事件A2，“恰好取出3个红球”为事件A3，P（A1）＝＝，P（A2）＝＝，P（A3）＝＝，所以取出的3个球中红球个数多于白球个数的概率为：P（A）＝P（A1）+P（A2）+P（A3）＝＝．18．已知函数f（x）＝x2﹣8lnx．（1）求函数f（x）的极值；（2）求函数f（x）在区间上的最值．【分析】（1）求出导函数，通过导函数的符号判断函数的单调性，然后求解函数的极值．（2）由（1）函数的单调性，求出函数的端点值，以及函数的极值，判断函数的最值即可．解：（1），当0＜x＜2时，f'（x）＜0，f（x）单调递减；当x＞2时，f'（x）＞0，f（x）单调递增．所以当x＝2时，f（x）取得极小值，且极小值为f（2）＝4﹣8ln2，f（x）无极大值．（2）由（1）得f（x）在上单调递减，在（2，e]上单调递增，所以f（x）在区间上的最小值为f（2）＝4﹣8ln2．因为，，所以f（x）在区间上的最大值为．19．某花圃为提高某品种花苗质量，开展技术创新活动，在A，B实验地分别用甲、乙方法培育该品种花苗．为观测其生长情况，分别在实验地随机抽取各50株，对每株进行综合评分，将每株所得的综合评分制成如图所示的频率分布直方图，记综合评分为80分及以上的花苗为优质花苗．（1）用样本估计总体，以频率作为概率，若在A，B两块实验地随机抽取3株花苗，求所抽取的花苗中优质花苗数的分布列和数学期望；（2）填写下面的列联表，并判断是否有99%的把握认为优质花苗与培育方法有关．优质花苗非优质花苗合计甲培育法20乙培育法10合计（参考公式：，其中n＝a+b+c+d．）P（K2＞k0）0.0500.0100.001k0 3.841 6.63510.828【分析】（1）由频率分布直方图可知，优质花苗的频率为（0.04+0.02）×10＝0.6，即概率为0.6．设所抽取的花苗为优质花苗的株数为X，则X～B（），然后依据二项分布求概率的方式逐一求出每个X的取值所对应的概率即可得分布列，由二项分布的性质可直接求出数学期望；（2）先补充完整2×2列联表，然后根据K2的公式计算出其观测值，并与附表中的数据进行对比即可作出判断．解：（1）由频率分布直方图可知，优质花苗的频率为（0.04+0.02）×10＝0.6，即概率为0.6．设所抽取的花苗为优质花苗的株数为X，则X～B（），于是；；；．其分布列为：X0123P所以，所抽取的花苗为优质花苗的数学期望．（2）由（1）可知，优质花苗的频率为（0.04+0.02）×10＝0.6，则样本中优质花苗的株数为0.6×100＝60株，列联表如下表所示：优质花苗非优质花苗合计甲培育法203050乙培育法401050合计6040100可得．所以，有99%的把握认为优质花苗与培育方法有关系．20．一饮料店制作了一款新饮料，为了进行合理定价先进行试销售，其单价x（元）与销量y（杯）的相关数据如表：单价x（元）8.599.51010.5销量y（杯）120110907060（Ⅰ）已知销量y与单价x具有线性相关关系，求y关于x的线性回归方程；（Ⅱ）若该款新饮料每杯的成本为8元，试销售结束后，请利用（Ⅰ）所求的线性回归方程确定单价定为多少元时，销售的利润最大？（结果保留到整数）参考公式：线性回归方程＝x中斜率和截距最小二乘法估计计算公式：＝，＝﹣，参考数据：x i y i＝4195，x i2＝453.75．【分析】（Ⅰ）由已知数据求得与的值，则线性回归方程可求；（Ⅱ）写出利润关于售价的函数，再由二次函数求最值．解：（Ⅰ）由表格中的数据可得，．＝＝，＝﹣＝90+32×9.5＝394，∴y关于x的线性回归方程为；（Ⅱ）设定价为x元，则利润函数为y＝（﹣32x+394）（x﹣8），（x≥8）．∴y＝﹣32x2+650x﹣3152．则当x＝（元）时，销售的利润最大为148元．21．已知函数，其中a∈R．（Ⅰ）当a＝0时，求f（x）在（1，f（1））的切线方程；（Ⅱ）求证：f（x）的极大值恒大于0．【分析】（Ⅰ）求导，代入a＝0，求出在x＝1处的导数值及函数值，由此即可求得切线方程；（Ⅱ）分类讨论得出极大值即可判断．解：（Ⅰ）＝，当a＝0时，，则f（x）在（1，f（1））的切线方程为；（Ⅱ）证明：令f′（x）＝0，解得x＝2或x＝﹣a，①当a＝﹣2时，f′（x）≤0恒成立，此时函数f（x）在R上单调递减，∴函数f（x）无极值；②当a＞﹣2时，令f′（x）＞0，解得﹣a＜x＜2，令f′（x）＜0，解得x＜﹣a或x＞2，∴函数f（x）在（﹣a，2）上单调递增，在（﹣∞，﹣a），（2，+∞）上单调递减，∴；③当a＜﹣2时，令f′（x）＞0，解得2＜x＜﹣a，令f′（x）＜0，解得x＜2或x＞﹣a，∴函数f（x）在（2，﹣a）上单调递增，在（﹣∞，2），（﹣a，+∞）上单调递减，∴，综上，函数f（x）的极大值恒大于0．22．已知函数f（x）＝e x﹣．（Ⅰ）若函数f（x）在[1，2]上是减函数，求实数a的取值范围；（Ⅱ）当a＝1时，求证：对任意m∈[﹣2，2]，函数f（x）的图象均在x轴上方．【分析】（Ⅰ）根据已知条件将问题转化为f′（x）≤0恒成立，从而转化为求函数的最值即可，（Ⅱ）运用分离参数法，转化为函数的最值问题，即可证明．解：（Ⅰ）根据题意得f′（x）＝e x﹣（x＞0），∵函数f（x）在[1，2]递减，∴f′（x）≤0在x∈[1，2]恒成立，即≥xe x恒成立，故只需≥（xe x）max，（1≤x≤2），令m（x）＝xe x，则m′（x）＝e x（1+x），当x∈[1，2]时，m′（x）＞0，m（x）在[1，2]递增，故m（x）max＝m（2）＝2e2，∴≥2e2，解得：0＜a≤，故实数a的范围是（0，]；（Ⅱ）证明：a＝1时，f（x）＝e x﹣lnx﹣（x＞0），则f′（x）＝e x﹣，要使对任意m∈[﹣2，2]，函数f（x）的图象均在x轴上方，只需f（x）＞0对任意m∈[﹣2，2]恒成立⇔e x﹣lnx＞对任意m∈[﹣2，2]恒成立，又m∈[﹣2，2]时，∈[0，2]，则原不等式等价于e x﹣lnx＞2恒成立，令h（x）＝e x﹣lnx，则h′（x）＝，令t（x）＝xe x﹣1（x＞0），则t′（x）＝（1+x）e x＞0恒成立，故t（x）在（0，+∞）递增，又x＝0时，t（x）＝﹣1＜0，x＝1时，t（x）＝e﹣1＞0，故∃x0∈（0，1）使得t（x0）＝0，∴x∈（0，x0）时，h′（x）＜0，x∈（x0，+∞）时，h′（x）＞0，h（x）在（0，x0）递减，在（x0，+∞）递增，∴h（x）min＝h（x0）＝﹣lnx0，由t（x0）＝0，得＝，故x0＝﹣lnx0，故h（x0）＝+x0，（0＜x0＜1），∴h（x0）＝+x0＞2，∴h（x）≥h（x）min＝h（x0）＞2，即e x﹣lnx＞2恒成立，故原不等式得证，∴对任意m∈[﹣2，2]，函数f（x）的图象均在x轴上方．。