第14讲-二维离散型随机变量边缘分布
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二维离散型随机变量及其分布
P{ X xi } P{ X xi , } P{ X xi , (Y y j )}
j 1
P{ ( X xi , Y y j )} P{ X xi , Y y j } pij
j 1 j 1 j 1
Two-dimension Discrete Random Variable and Distribution
所以,关于X的边缘分布律为：
X
pi.
x1
x2 …
xi …
pi. …
p1. p2. …
关于Y的边缘分布律为：
Y p.j y1 p.1 y2 … yj …
p.2 … p.j …
Two-dimension Discrete Random Variable and Distribution
[例2]见例1，试求（X,Y）关于X和关于Y的边缘 分布律。
1 2/5
Two-dimension Discrete Random Variable and Distribution
联合分布律 边缘分布律
Two-dimension Discrete Random Variable and Distribution
1、统计学中有两种抽样：不放回抽样和有放 回抽样。将例1中“不放回地取两次球”改为 “有放回地取两次球”，试求（X,Y）的联合分 布律、（X,Y）分别关于X,Y的边缘分布律及判断 X,Y是否相互独立？ 2、上述我们解决了：已知二维离散型随机变 量（X,Y）的联合分布律，如何求（X,Y）关于X 或关于Y的边缘分布律的问题。那么，已知X,Y的 边缘分布律，能否求（X,Y）的联合分布律呢？
0, Y 1,
表示第二次取红球 表示第二次取白球
j 1
P{ ( X xi , Y y j )} P{ X xi , Y y j } pij
j 1 j 1 j 1
Two-dimension Discrete Random Variable and Distribution
所以,关于X的边缘分布律为：
X
pi.
x1
x2 …
xi …
pi. …
p1. p2. …
关于Y的边缘分布律为：
Y p.j y1 p.1 y2 … yj …
p.2 … p.j …
Two-dimension Discrete Random Variable and Distribution
[例2]见例1，试求（X,Y）关于X和关于Y的边缘 分布律。
1 2/5
Two-dimension Discrete Random Variable and Distribution
联合分布律 边缘分布律
Two-dimension Discrete Random Variable and Distribution
1、统计学中有两种抽样：不放回抽样和有放 回抽样。将例1中“不放回地取两次球”改为 “有放回地取两次球”，试求（X,Y）的联合分 布律、（X,Y）分别关于X,Y的边缘分布律及判断 X,Y是否相互独立？ 2、上述我们解决了：已知二维离散型随机变 量（X,Y）的联合分布律，如何求（X,Y）关于X 或关于Y的边缘分布律的问题。那么，已知X,Y的 边缘分布律，能否求（X,Y）的联合分布律呢？
0, Y 1,
表示第二次取红球 表示第二次取白球
概率论与数理统计14 3.2 边缘分布3.3独立性
• 设联合概率分布
pij P{ X xi , Y y j } i , j 1,2,
{ X xi } { X xi , Y y j }
P{ X xi } P{ X xi , Y y j } pij i 1,2,
j 1
• 同理:
2 1 2 2
[
( x 1 ) 2
2
( x 1 )( y 2 )
( y 2 )2
]}
• 例 某码头只能容纳一只船.现预知某日 将来到甲乙两只船,且在24小时内来到的 可能性相等.如果两船需要停靠的时间均 为3小时,试求甲船在江中等待的概率. • 解 设X,Y表示甲乙两船到达码头的时间, • 则(1)
• 所求概率为
P{0 X Y 3}
0 x y 3
f ( x, y)dxdy
P { 0 X Y 3} 1 2 dxdy 24 D 1 24 2 212 2( ) 24 2 2 0.11
• 问X,Y是否相互独立? •解 2 1 x2
1 x 1 f X ( x) 0 其它 2 1 y2 1 y 1 fY ( y ) 0 其它 f ( x , y ) f X ( x ) fY ( y ) X , Y不相互独立
1 0 x 24 f X ( x ) 24 其它 0 1 0 y 24 fY ( y ) 24 其它 0
• (2)X,Y相互独立
f ( x , y ) f X ( x ) fY ( y ) 1 2 0 x 24, 0 y 24 24 其它 0 • A=“甲船在江中等待”={0 X Y 3}
概率论与数理统计二维随机变量的边缘分布共32页
21、要知道对好事的称颂过于夸大，也会招来人们的反感轻蔑和嫉妒。——培根 22、业精于勤，荒于嬉；行成于思，毁于随。——韩愈
23、一切节省，归根到底都归结为时间的节省。——马克思 24、意志命运往往背道而驰，决心到最后会全部推倒。——莎士比亚
25、学习是劳动，是充的边缘分布
26、机遇对于有准备的头脑有特别的 亲和力 。 27、自信是人格的核心。
28、目标的坚定是性格中最必要的力 量泉源 之一， 也是成 功的利 器之一 。没有 它，天 才也会 在矛盾 无定的 迷径中 ，徒劳 无功。- -查士 德斐尔 爵士。 29、困难就是机遇。--温斯顿．丘吉 尔。 30、我奋斗，所以我快乐。--格林斯 潘。
边缘概率分布
例3. 设(X,Y) 均匀分布在由直线
x
y 2
1，x
轴
和y 轴所围成的区域 D上.
求: (X,Y) 的联合概率密度与边缘概率密度.
解:
(1). 因为( X ,Y ) 服从均匀分布 所以其概率密度为：f ( x, y)
1 A
(x, y) D
0 其 它
11
由题意可知 D 域图为: y
2
D
A 1 12 1
2
1 8
3
1 12
4
1 16
p 25 . j 48
234
0
0
0
1 8 1 12 1 16
13 48
0
0
1 12 1 16
7 48
0
1 16
3 48
pi .
1 4 1 4 1 4 1 4
10
(2) ( X ,Y ) 边缘分布律
X 1234
1111 Pk 4 4 4 4
Y 1234
25 13 7 3 Pk 48 48 48 48
[ f ( x, y)dy] dx
边缘概率密度:
fX (x)
f ( x, y) dy
边缘分布函数：
y
FY ( y) F (, y)
[ f ( x, y)dx] dy
边缘概率密度: fY ( y) f ( x, y) dx
4
例1 把一枚均匀硬币抛掷三次，设 X 为三次抛掷中 正面出现的次数，Y为正面出现次数与反面出现 次数之差的绝对值
)2
2
t 2
令：t
1
e 2 dt 2
( y 2 x 1 ) 则有：
1 2 2
二维离散型随机变量
ρ(X,Y)=Cov(X,Y)σ(X)σ(Y)
相关系数具有对称性，即 ρ(X,Y)=ρ(Y,X)。
05 二维离散型随机变量的函 数变换
线性变换
线性变换的定义
线性变换是指对二维离散型随机变量进行加、减、缩放等线性运算，得到新的二维离散型 随机变量。
线性变换的性质
线性变换保持了概率分布的平移、旋转和伸缩不变性，即变换后的随机变量的概率分布与 原随机变量的概率分布相同。
协方差与相关系数
协方差
计算公式
相关系数
计算公式
性质
二维离散型随机变量的 协方差是每个取值的横 坐标与期望值之差的乘 积和每个取值的纵坐标 与期望值之差的乘积的 期望值之和。
Cov(X,Y)=∑[(x−E(X))*(y −E(Y))]p(x,y)dxdy
协方差除以两个随机变 量的标准差的乘积，用 于衡量两个随机变量的 线性相关程度。
意义
联合概率分布函数提供了两个随机变量之间 关系的完整描述，包括它们同时发生的概率 。
性质
非负性
联合概率分布函数 F(x, y) 的值总是非负的。
01
归一化
联合概率分布函数满足条件，即所有可 能取值的概率之和为1。
02
03
独立性
如果两个随机变量是独立的，则它们 的联合概率分布函数可以表示为两个 边缘概率分布函数的乘积。
性质
可数性
二维离散型随机变量的取值可以 一一对应到自然数集上，即其取 值是可数的。
有限性
二维离散型随机变量的取值集合 通常是有限的，即其取值个数是 有限的。
独立性
在某些情况下，二维离散型随机 变量可能具有独立性，即两个随 机事件的发生与否相互独立。
联合概率分布
二维离散型随机变量边缘分布
1
2
34
1
1
0
00
4
2
1 8
1
8
00
3
1
1
10
12 1
12 12
1
11
4
16
16 16 16
由公式 pi pij , p j pij，可得
j
i
Y X
1
2
34
pi
1
1
0பைடு நூலகம்
00
1
4
4
2 3
1 8
1
8
00
1
1
10
12 1
12 12
1
11
1
14
4 1
4
16
16 16 16
4
pj
25 13 7 3 48 48 48 48
律为
P{ X xi ,Y y j } pij , i, j 1,2,.
记
pi pij P{ X xi }, i 1,2,,
j 1
p j pij P{Y y j }, j 1,2,,
i 1
分别称 pi (i 1,2,) 和 p j ( j 1,2,) 为 ( X ,Y )
记为 FX ( x) F ( x,).
同理令 x , FY ( y) F (, y) P{ X ,Y y} P{Y y}
为随机变量 (X,Y )关于Y 的边缘分布函数.
例4 已知(X,Y)的分布函数为
1 e x xe y 0 x y
F ( x, y) 1 e y ye y 0 y x
边缘分布
P{X xi , Y y j } P{X xi }P{Y y j }
即
pij pi. p. j .
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《概率统计》
例1．设随机变量X与Y相互独立，下表列出了二维随机变量 （X，Y）的分布表及关于X和Y的边缘分布表中的部分数据， 请补充下表：
Y X
y1
y2
1/8
解: (1) 由于
1 e , x0 FX ( x) F ( x,) 0, 其它
0.5 x
(2) P{X 0.1, Y 0.1}
P{0.1 X ,0.1 Y }
1 e 0.5 y , y 0 FY ( y ) F (, y ) 0, 其它
j 1
p j P{Y y j } pi j
i 1
(i =1,2, …)
(j = 1,2, …)
即
X
X,Y 的边缘分布函数分别为：
x1 · · ·xi · · · … pi. x p2 . 1 p2. · · ·pi. · · ·
Y
FX(x) = F(x,+∞) = FY(y) = F(+∞, y) =
即
P{X x, Y y} P{X x}P{Y y}
则称随机变量X与Y是相互独立的. 补充例1．一电子产品由两个部件构成，以X和Y分别表示两个 部件的寿命（单位：小时），已知X和Y的联合分布函数
1 e 0.5 x e 0.5 y e 0.5( x y ) , x 0, y 0, F ( x, y) 0, 其他 (1)问X和Y是否相互独立？(2)求两部件寿命都超过0.1小时的概率.
F , F ,0.1
二维随机变量的边缘分布
概率论与数理统计
❖ 3.边缘概率密度 1.概念
➢由连续型随机变量的定义知，X是一个连续型随机变
量，且其概率密度为
fX ( x)
f ( x, y)dy
同样，Y也是一个连续型随机变量，其概率密度为
fY ( y) f ( x, y)dx
➢分别称
fX ( x) f ( x, y)dy 和 fY ( y) f ( x, y)dx
➢ 例3.4.1 设(X，Y)的分布函数为
1
F ( x,
y)
2
(arctan x
)(arctany 2
), 2x,y求关于X和Y的边缘分布函数FX(x)、FY(y)．
➢ 解：由定义知
1
FX (x)
lim F( x,
y
y)
lim [
y
2
(arctan x
)(arctany 2
)] 2
1
(arctanx )
❖ 2.边缘分布律 1.概念
➢ 例3.4.2 袋中有2只白球3只黑球，现从中摸两次，每次摸一球，分
别采用有无放回两种摸球方式，令
1, 第一次摸出白球,
1, 第二次摸出白球,
X 0, 第一次摸出黑球, Y 0, 第二次摸出黑球.
求 X 和 Y 的联合分布律与边缘分布律.
➢ 解 利用古典概型的方法求其分布律.
概率密度为 f(x, y)，因为X的分布函数为
x
FX ( x) F ( x, )
(
f ( x, y)dy)dx
➢由连续型随机变量的定义知, X 是一个连续型随机变量，
且其概率密度为
fX ( x)
f ( x, y)dy
同样, Y 也是一个连续型随机变量，其概率密度为
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P { X xi }
p11 p12 p1 j
p21 p22 p2 j
pi 1 pi 2 pij
pij , i 1,2,; P{Y y j } pij , j 1,2,. j 1
i 1
记pi pij , p j pij
CHAP3 多维随机变量及其分布
第14讲 离散型随机变量的边缘分布
定义3.6 设 F ( x , y ) 为随机变量 ( X ,Y ) 的分布函数 ,
则 F ( x , y ) P { X x ,Y y } . 令 y , 称 P { X x } P { X x ,Y } F ( x , ) 为随机变量 ( X ,Y ) 关于X的边缘分布函数 .
P { X i ,Y j } P{Y j X i }P{ X i } 1 1 , i 4 i 1,2,3,4, j i .
于是 ( X ,Y ) 的分布律为
X
1 2
Y
1
2
3
4
3
4
1 4 1 8 1 12 1 16
0
0 0
1 12 1 16
0 0 0
1 8
1 12 1 16
注意 联合分布
x i x j 1
y j y i 1
p ,
ij
p .
ij
边缘分布
例5 已知(X,Y)的分布律如下,求X、Y的边缘分布律。 X\Y 1 0 1 1/10 3/10 0 3/10 3/10 解 x\y 1 0 pi. 1 1/10 3/10 2/5 0 3/10 3/10 3/5 p.j 2/5 3/5 故关于X和Y的边缘分布律分别为： X 1 0 Y 1 0 P 2/5 3/5 P 2/5 3/5
i
1 16
由公式 pi pij , p j pij，可得
j
X
1 2
Y
1
2
3
4
pi
1 4 1 4 1 4 1 4
3
4
1 4 1 8 1 12 1 16
0
0 0
1 12 48
13 48
1 12 1 16
1 16
7 48
3 48
则关于X 的边缘分布律为
例6
设随机变量 X 在 1,2,3,4 四个整数中等可能地
取值, 另一个随机变量Y 在 1 ~ X 中等可能地取一 整数值.试求 ( X ,Y ) 的分布律. 同时求出关于X ，Y 的边缘分布律.
解
{ X i ,Y j } 的取值情况是: i 1,2,3,4,
j取不大于i的正整数. 且由乘法公式得
1 e y ye y FY ( y ) F (, y ) 0
y0 y0
3.2.1 离散型随机变量的情形
设二维离散型随机变量( X ,Y )的联合分布 律为 记 P { X xi ,Y y j } pij , i , j 1,2,. pi pij P { X xi }, j 1
X
1
2 14
3 14
4 14
pi 1 4
关于Y 的边缘分布律为
Y p j
1
25 48
2
13 48
3
7 48
4
3 48
记为 FX ( x ) F ( x , ).
同理令 x , FY ( y ) F (, y ) P{ X ,Y y } P{Y y }
为随机变量 (X,Y )关于Y 的边缘分布函数.
例4 已知(X,Y)的分布函数为 1 e x xe y 0 x y F ( x , y ) 1 e y ye y 0 y x 0 其它 求FX(x)与FY(y). 1 e x x 0 解 FX ( x ) F ( x , ) x0 0
则关于X 的边缘分布律为 x1 x2 xn X
j i
pi
p1 y1 p1
p2 y2 p2
pn yn pn
关于Y 的边缘分布律为
Y p j
离散型随机变量关于X 和Y 的边缘分布函数分别为
FX ( x ) F ( x , )
FY ( y ) F ( , y )
i 1
i 1,2,, j 1,2,,
p j pij P {Y y j },
分别称 pi ( i 1,2,) 和 p j ( j 1,2,) 为 ( X ,Y ) 关于 X 和关于 Y 的边缘分布律 .
Y
X
x1
x2
xi
y1 y2 yj
p11 p12 p1 j
p21 p22 p2 j
pi 1 pi 2 pij
pij , i 1,2,; P{Y y j } pij , j 1,2,. j 1
i 1
记pi pij , p j pij
CHAP3 多维随机变量及其分布
第14讲 离散型随机变量的边缘分布
定义3.6 设 F ( x , y ) 为随机变量 ( X ,Y ) 的分布函数 ,
则 F ( x , y ) P { X x ,Y y } . 令 y , 称 P { X x } P { X x ,Y } F ( x , ) 为随机变量 ( X ,Y ) 关于X的边缘分布函数 .
P { X i ,Y j } P{Y j X i }P{ X i } 1 1 , i 4 i 1,2,3,4, j i .
于是 ( X ,Y ) 的分布律为
X
1 2
Y
1
2
3
4
3
4
1 4 1 8 1 12 1 16
0
0 0
1 12 1 16
0 0 0
1 8
1 12 1 16
注意 联合分布
x i x j 1
y j y i 1
p ,
ij
p .
ij
边缘分布
例5 已知(X,Y)的分布律如下,求X、Y的边缘分布律。 X\Y 1 0 1 1/10 3/10 0 3/10 3/10 解 x\y 1 0 pi. 1 1/10 3/10 2/5 0 3/10 3/10 3/5 p.j 2/5 3/5 故关于X和Y的边缘分布律分别为： X 1 0 Y 1 0 P 2/5 3/5 P 2/5 3/5
i
1 16
由公式 pi pij , p j pij，可得
j
X
1 2
Y
1
2
3
4
pi
1 4 1 4 1 4 1 4
3
4
1 4 1 8 1 12 1 16
0
0 0
1 12 48
13 48
1 12 1 16
1 16
7 48
3 48
则关于X 的边缘分布律为
例6
设随机变量 X 在 1,2,3,4 四个整数中等可能地
取值, 另一个随机变量Y 在 1 ~ X 中等可能地取一 整数值.试求 ( X ,Y ) 的分布律. 同时求出关于X ，Y 的边缘分布律.
解
{ X i ,Y j } 的取值情况是: i 1,2,3,4,
j取不大于i的正整数. 且由乘法公式得
1 e y ye y FY ( y ) F (, y ) 0
y0 y0
3.2.1 离散型随机变量的情形
设二维离散型随机变量( X ,Y )的联合分布 律为 记 P { X xi ,Y y j } pij , i , j 1,2,. pi pij P { X xi }, j 1
X
1
2 14
3 14
4 14
pi 1 4
关于Y 的边缘分布律为
Y p j
1
25 48
2
13 48
3
7 48
4
3 48
记为 FX ( x ) F ( x , ).
同理令 x , FY ( y ) F (, y ) P{ X ,Y y } P{Y y }
为随机变量 (X,Y )关于Y 的边缘分布函数.
例4 已知(X,Y)的分布函数为 1 e x xe y 0 x y F ( x , y ) 1 e y ye y 0 y x 0 其它 求FX(x)与FY(y). 1 e x x 0 解 FX ( x ) F ( x , ) x0 0
则关于X 的边缘分布律为 x1 x2 xn X
j i
pi
p1 y1 p1
p2 y2 p2
pn yn pn
关于Y 的边缘分布律为
Y p j
离散型随机变量关于X 和Y 的边缘分布函数分别为
FX ( x ) F ( x , )
FY ( y ) F ( , y )
i 1
i 1,2,, j 1,2,,
p j pij P {Y y j },
分别称 pi ( i 1,2,) 和 p j ( j 1,2,) 为 ( X ,Y ) 关于 X 和关于 Y 的边缘分布律 .
Y
X
x1
x2
xi
y1 y2 yj