场与矢量(流体力学)
矢量场的基本概念和算法
矢量场的基本概念和算法绪论矢量场，指任意空间位置周围的矢量组成的函数，是现代计算机图形学中重要的研究内容之一。
矢量场通常指的是二维或三维空间中的矢量场，本文主要针对这种情况进行讨论。
矢量场广泛应用于流体力学、电磁学、医学图像处理等领域，因此对其基本概念和算法的理解和掌握是非常重要的。
一、矢量场的基本概念1.1 矢量矢量是指具有大小和方向的物理量，通常用箭头表示。
在二维平面中，矢量可以表示为由其起点 $(x_0,y_0)$ 到终点$(x_1,y_1)$ 的向量 $\vec{v}$，其大小为 $|\vec{v}|=\sqrt{(x_1-x_0)^2+(y_1-y_0)^2}$，方向为与 x 轴正方向的夹角 $\theta$，即$\theta=\arctan \dfrac{y_1-y_0}{x_1-x_0}$。
在三维空间中，矢量可以表示为由其起点 $(x_0,y_0,z_0)$ 到终点 $(x_1,y_1,z_1)$ 的向量 $\vec{v}$，其大小为$|\vec{v}|=\sqrt{(x_1-x_0)^2+(y_1-y_0)^2+(z_1-z_0)^2}$，方向为与x 轴正方向、y 轴正方向、z 轴正方向的夹角 $\alpha$、$\beta$、$\gamma$。
1.2 矢量场矢量场是指在空间任意点上有定义的矢量函数，即将每个位置$(x,y,z)$ 映射到一个矢量 $\vec{v}$ 上的函数$\vec{F}(x,y,z)=(F_x(x,y,z),F_y(x,y,z),F_z(x,y,z))$。
矢量场的一个重要性质是：在空间中任意一点上的矢量大小和方向可以确定。
1.3 梯度梯度是指矢量场瞬时变化率的向量，其大小表示矢量场在某个点上的变化率，而方向表示变化的最快方向。
在二维平面中，矢量场 $\vec{F}(x,y)=(F_x(x,y),F_y(x,y))$ 在某个点 $(x_0,y_0)$ 处的梯度可以表示为 $\nabla \vec{F}(x_0,y_0)=(\dfrac{\partialF_x}{\partial x}(x_0,y_0),\dfrac{\partial F_y}{\partial y}(x_0,y_0))$。
矢量场的环量旋度
矢量场的环量__旋度
在矢量分析和流体力学中，矢量场的旋度（或称为旋涡）是一个重要的概念。
旋度描述了一个矢量场在某一点的变化率和方向。
具体来说，它给出了一个矢量场在某一点围绕一个点或一条线的旋转强度和方向。
旋度的数学定义是 curl(F) = ∇× F，其中 F 表示矢量场，∇表示哈密顿算子（一个矢量算子），× 表示矢量的叉乘。
这个定义表明，旋度是一个矢量，其大小等于原矢量场在三个方向上的变化率的最大差值，其方向垂直于原矢量场所在的平面。
在具体应用中，旋度有很多重要的用途。
例如，在电磁学中，根据安培定律和法拉第电磁感应定律，磁场的变化会产生电场，这个电场的大小和方向与磁场的变化率和方向有关。
这表明旋度在电磁场的变化和传播中起着重要作用。
在流体力学中，旋度描述了流体速度场的旋转情况。
如果一个流体速度场的旋度很大，那么这个流体的旋转速度就很大。
这种旋转流体在自然界和工程中有很多重要应用，例如龙卷风、旋涡星云、水涡等。
此外，在向量场中，如果一个向量场的旋度为零，那么这个向量场就是无旋的。
无旋向量场在很多实际应用中具有重要价值。
例如，无旋的电流场不会产生磁场，因此不会受到磁场的干扰。
因此，在电力工程中，无旋电流场的设计和分析是非常重要的。
总之，矢量场的旋度是一个描述矢量场在某一点的变化率和方向的重要概念。
它在矢量分析、流体力学、电磁学、工程应用等领域中有广泛的应用。
通过对旋度的计算和分析，我们可以更好地理解和描述自然现象以及设计各种实际应用。
流体力学
流体力学基本方程
连 续 性 方 程
动 量 方 程
动 量 矩 方 程
伯 努 利 方 程
能 量 方 程
第一节 描述流体运动的两种方法
流体的流动是由充满整个流动空间的无限多个流体 质点的运动构成的。充满运动流体的的空间称为流场。
研
欧拉法
究
方
着眼于整个流场的状态，即研究表征流场内流体流动 特性的各种物理量的矢量场与标量场
7.湿周 水力半径 当量直径
湿周——在总流的有效截面上，流体与固体壁面的接触长度。
水力半径——总流的有效截面积A和湿周之比。
圆形截面管道的几何直径
d 2 4A d 4R d x
D
R
A x
非圆形截面管道的当量直径
4A 4R x
关于湿周和水力半径的概念在非圆截面管道的水力计算中常常用到。
二、欧拉法
欧拉法（euler method）是以流体质点流经流场中 各空间点的运动来研究流动的方法。 ——流场法
研究对象：流场
它不直接追究质点的运动过程，而是以充满运动
流体质点的空间——流场为对象。研究各时刻质点在 流场中的变化规律。将个别流体质点运动过程置之不 理，而固守于流场各空间点。通过观察在流动空间中 的每一个空间点上运动要素随时间的变化，把足够多 的空间点综合起来而得出的整个流体的运动情况。
由欧拉法的特点可知，各物理量是空间点x，y，z和时 间t的函数。所以速度、密度、压强和温度可表示为：
v v x，y，z，t ＝ x，y，z，t p p x，y，z，t T T x，y，z，t
1.速度
u ux, y, z, t
向量场的数学分析
向量场的数学分析向量场是随着微积分学的发展而被提出的一个概念，具有广泛的应用，如在电磁学、流体力学、机械工程等领域中都有广泛的运用。
在此，本文将着重讨论向量场的数学分析问题。
一、向量场的定义与分类向量场是指一个区域内，每个点都对应着一个向量的场。
向量场可以分为标量场和矢量场两类，标量场表示的是每个点具有一个实数值的场，矢量场可以用一个向量来表示这个场。
向量场又可以细分为旋度场和散度场两种，旋度场指的是向量场围绕轴心旋转的情形，散度场指的是向量场从一个区域流出或流入的情形。
二、向量场的数学分析1. 梯度梯度是标量场的一个重要概念，它表示的是一个标量场在给定点的变化率。
对于标量场f(x,y,z) ，其梯度场∇f可以表示为：∇f= i(∂f/∂x) + j(∂f/∂y) + k(∂f/∂z)其中，i、j、k分别表示$x$、$y$、$z$方向的单位向量。
梯度的几何意义是标量场的变化率最大的方向，即在这个方向上的变化率是其它方向上的变化率的最大值。
2. 散度散度是矢量场的一个重要概念，它表示的是一个矢量场在给定点的流出或流入的数量。
对于矢量场$F(x,y,z)$，它的散度场divF可以表示为：divF=∂Fx/∂x + ∂Fy/∂y + ∂Fz/∂z散度的几何意义是表示在一个有限区域内，流入该区域的流量与流出该区域的流量之差除以该区域的体积。
3. 旋度旋度是矢量场的另一个重要概念，它表示的是一个矢量场围绕轴心旋转的程度。
对于矢量场$F(x,y,z)$，它的旋度场rotF可以表示为：rotF= i(∂Fz/∂y- ∂Fy/∂z) + j(∂Fx/∂z - ∂Fz/∂x ) + k(∂Fy/∂x - ∂Fx/∂y)旋度的几何意义是表示的是一个矢量场的围绕轴心旋转的激烈程度。
三、向量场的应用1. 电磁学在电磁学领域中，电场和磁场都可以用向量场来表示。
矢量场在这一领域中应用十分广泛，它能够用于研究电磁波的传播和电荷的运动等问题。
第一章 流体力学基础知识
第一章流体力学基础知识本章先介绍流体力学的基本任务，研究方向和流体力学及空气动力学的发展概述。
然后介绍流体介质，气动力系数，矢量积分知识。
最后引入控制体，流体微团及物质导数的概念。
为流体力学及飞行器空气动力学具体知识的学习做准备。
1.1流体力学的基本任务和研究方法1.1.1流体力学的基本任务流体力学是研究流体和物体之间相对运动（物体在流体中运动或者物体不动而流体流过物体）时流体运动的基本规律以及流体与物体之间的作用力。
而空气动力学则是一门研究运动空气的科学。
众所周知，空气动力学是和飞机的发生，发展联系在一起的。
在这个意义上，这门科学还要涉及到飞机的飞行性能，稳定性和操纵性能问题。
事实上，空气动力学研究的对象还不限于飞机。
空气相对物体的运动，可以在物体的外部进行，像空气流过飞机表面，导弹表面和螺旋浆等；也可以在物体的内部进行，像空气在风洞内部和进气道内部的流动。
在这些外部或内部流动中，尽管空气的具体运动和研究运动的目的有所不同，但它们都发生一些共同的流动现象和遵循一些共同的流动规律，例如质量守恒，牛顿第二定律，能量守恒和热力学第一定律，第二定律等。
研究空气动力学的基本任务，不仅是认识这些流动所发生现象的基本实质，要找出这些共同性的基本规律在空气动力学中的表达，并且研究如何应用这些规律能动地解决飞行器的空气动力学问题和与之相关的工程技术问题，并对流动的新情况、新进展加以预测。
1.1.2空气动力学的研究方法空气动力学研究是航空科学技术研究的重要组成部分，是飞行器研究的“先行官”。
其研究方法，如同物理学各个分支的研究方法一样，有实验研究、理论分析和数值计算三种方法。
这些不同的方法不是相互排斥，而是相互补充的。
通过这些方法以寻求最好的飞行器气动布局形式，确定整个飞行范围作用在飞行器的力和力矩，以得到其最终性能，并保证飞行器操纵的稳定性。
实验研究方法在空气动力学中有广泛的应用，其主要手段是依靠风洞、水洞、激波管以及测试设备进行模拟实验或飞行实验。
矢量分析与场论
矢量分析与场论简介矢量分析与场论是研究物理学中的重要分支，广泛应用于电磁学、流体力学、力学等领域。
矢量分析用于描述和分析具有大小和方向的物理量，例如力、速度、加速度等。
场论则将物理量看作空间中的场，并通过场的分布和变化来描述物理现象。
本文将介绍矢量分析的基本概念和常见运算，并探讨场论的基本原理和应用。
矢量分析矢量的定义和表示矢量是具有大小和方向的物理量。
在二维空间中，矢量可以表示为有序对(x, y)，其中x和y分别表示矢量在x轴和y轴上的分量。
在三维空间中，矢量可以表示为有序三元组(x, y, z)，其中x、y和z分别表示矢量在x轴、y轴和z轴上的分量。
通常将矢量用粗体字母如A表示。
矢量的运算矢量之间可以进行加法、减法和数量乘法等运算。
矢量的加法两个矢量A和B的加法定义为将它们的相应分量相加，即：A +B = (Ax + Bx, Ay + By)两个矢量A和B的减法定义为将B的相应分量取负后与A相加，即：A -B = (Ax - Bx, Ay - By)数量乘法将矢量的每个分量乘以一个实数称为数量乘法，表示为：c A = (cAx, cAy)矢量的模和方向矢量的模表示矢量的大小，矢量的方向表示矢量的指向。
在二维空间中，矢量(x, y)的模可以通过勾股定理求得：||A|| = sqrt(x2 + y2)在三维空间中，矢量(x, y, z)的模可以通过类似的方法求得：||A|| = sqrt(x2 + y2 + z2)矢量的方向可以用一个角度来表示，通常用与x轴的夹角来表示，记为θ。
矢量的点积和叉积矢量的点积和叉积是矢量分析中常用的运算。
两个矢量A和B的点积定义为两个矢量的模相乘再乘以它们夹角的余弦值，表示为A·B：A·B = ||A|| ||B|| cos(θ)点积的结果是一个标量，即一个没有方向的量。
点积还满足交换律和分配律。
矢量的叉积两个矢量A和B的叉积定义为一个新的矢量，其模等于两个矢量模的乘积再乘以它们夹角的正弦值，表示为A×B：A×B = ||A|| ||B|| sin(θ) n其中n是一个垂直于A和B的单位矢量，它的方向由右手法则确定。
矢量分析与场论讲义
矢量分析与场论矢量分析是矢量代数和微机分运算的结合和推广，主要研究矢性函数的极限、连续、导数、微分、积分等。
而场论则是借助于矢量分析这个工具，研究数量场和矢量场的有关概念和性质。
通过这一部分的学习，可使读者掌握矢量分析和场论这两个数学工具，并初步接触到算子的概念及其简单用法，为以后学习有关专业课程和解决实际问题，打下了必要的数学基础。
第一章 矢量分析一 内容概要1 矢量分析是场论的基础，本章主要包括以下几个主要概念：矢性函数及其极限、连续，有关导数、微分、积分等概念。
与高等数学研究过的数性函数的相应概念完全类似，可以看成是这些概念在矢量分析中的推广。
2 本章所讨论的，仅限于一个自变量的矢性函数()t A ，但在后边场论部分所涉及的矢性函数，则完全是两个或者三个自变量的多元矢性函数()y x ,A 或者()z y x ,,A ，对于这种多元矢性函数及其极限、连续、偏导数、全微分等概念，完全可以仿照本章将高等数学中的多元函数及其有关的相应概念加以推广而得出。
3 本章的重点是矢性函数及其微分法，特别要注意导矢()t 'A 的几何意义，即()t 'A 是位于()t A 的矢端曲线上的一个切向矢量，其起点在曲线上对应t 值的点处，且恒指向t 值增大的一方。
如果将自变量取为矢端曲线的弧长s ，即矢性函数成为()s A A =，则()dsd s A A ='不仅是一个恒指向s 增大一方的切向矢量，而且是一个单位切向矢量。
这一点在几何和力学上都很重要。
4 矢量()t A 保持定长的充分必要条件是()t A 与其导矢()t 'A 互相垂直。
因此单位矢量与其导矢互相垂直。
比如圆函数()j ie t t t sin cos +=为单位矢量，故有()()t t 'e e ⊥，此外又由于()()t t 1'e e =，故()()t t 1e e ⊥。
（圆函数还可以用来简化较冗长的公式，注意灵活运用）。
高等流体力学—场论及张量初步
Vz diva lim V 0 x y z Q
1.4 矢量的通量.散度.奥高定理
a x a y a z diva lim V 0 x y z Q
1.6 环量. 旋度. 斯托克斯定理
极限存在的证明： Stockes公式：线积分与面积分的关系 中值公式：面积分与函数值的关系
az a y rotx a y z a x a z rot y a z x a y ax rotz a x y
1.6 环量. 旋度. 斯托克斯定理
grad i j k x y x
dr dxi dyj dzk
梯度的主要性质
grad i j k x y z
dr dxi dyj dzk
dr grad
dx dy dz x y z
an：矢量a在法线方向的投影 an dS:矢量a通过面积元dS的通量
1.4 矢量的通量.散度.奥高定理
在整个曲面上积分，得矢量a通过S面的通量
a dS n
s
实质上相当于函数的面积分
1.4 矢量的通量.散度.奥高定理
当S面为封闭曲面时，通量为：
a dS n
s
1.4 矢量的通量.散度.奥高定理
S 0
a dr
L
S
1.6 环量. 旋度. 斯托克斯定理
极限存在的证明： Stockes公式：线积分与面积分的关系
a dr a dx a dy a dz x y z
L L
a z a y cos(n, x) s z y
i rota x ax j y ay k i z x az x j y y k 0 z z
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
S M
lim
l
u dl S
M
△S △l
与方向导数类似，它是一个与方向有关的标量 （n是由线元所围面元的法线方向）
旋度：矢量场中的一个矢量，其方向为环量面
密度在M点处变化率最大的方向，其模也正是
此环量面密度之最大值。常记作rot u。旋度是
风洞机翼模型流 体矢量图
矢量图绘制
不足之处敬请谅解
谢谢
ss
u ( x, y, z) dS uxxdydz u yydzdx uzzdxdy
s s s s
问题：通量值的大小即取决于矢量场u强度又取决于面积S的值，那
么我们如何才能更准确的度量出通量呢？ 散度：散度指通量在单位体积的改变率。简单地说，流体在运 动中集中的区域为辐合，运动中发散的区域为辐散。表示辐 合、 辐散的物理量为散度。
3.矢量场中的通量与散度
通量的概念
设有矢量场u(M)，定义其中有 向曲面 S（可开，可闭）沿某 一侧的曲面积分为矢量场u(M) 穿过曲面该侧的通量。
M))d dss 0 0 uu((M
ss
M))ds 0 uu((M
ss
u(M ) ds 0
一个矢量，它与坐标系选无关。
5.几种重要的矢量场
有势场：设有矢量场u满足u= grad T 则称此 矢量场u为有势场，并称－T 为这个场的势函 数。 管形场：若在矢量场u 中有divu= 0则称矢量 场u为管形场。 调和场：若在矢量场u 中恒有divu = 0且rotu ＝0，则称此矢量场为调和场。
散度是一个标量，它与坐标系选择无关。
4.矢量场中的环量及旋度
环量的概念 定义矢量场u(M) 中，沿某一封闭有 向曲线 L的曲线积 分为矢量场u(M)沿
曲线L该方向的环量
u ( M ) d l u dx u dy u dz x y z
lபைடு நூலகம்l
问题：环量值的大小即取决于矢量场u强度又取决于曲线L的大小，
标量场：当研究物理系统中温度、
压力、密度等在一定空间内的分 布状态时，数学上只需用一个代 数量来描绘，这些代数量（即标 量函数）所定出的场就称为标量 场。
2.矢量场的矢量线
定义 曲线：在曲线上的每一点处，场的矢 量都位于该点处的切线上。例如：磁 场的磁力线、流速场中的流线等。
性质 矢量线与矢径的关系式：A×dr=0
场与矢量
1. 2. 3. 4. 5.
场的概念 矢量场的矢量线 矢量场的通量与散度 矢量场的环量与旋度 几种重要的矢量场
1.场的概念
定义：场指物体在空间中的分布情况。是一种特 殊物质，看不见摸不着，但它确实存在， 比如引力场，磁场，电场。场是用间位置 函数来表征的，是一个以时空为变量的物 理量。在物理学中，我们经常要研究某种 物理量在空间的分布和变化规律。场可以 分为标量场、矢量场和张量场三种，依据 场在时空中每一点的值是标量、矢量还是 张量而定。
div u lim
u d s
s
V M
V
散度在直角坐标系下的计算式
div u lim u ds
s V M
1 lim u x dydz u y dzdx u z dxdy V M V s V
由高斯公式得 u x u y u z div u x y z
磁场模拟图
矢量场：如果我们给空间的每
一个点所赋予的“量”既有大小， 又有方向，即矢量，那么整个空 间就变成充满了矢量，这个场就 叫做矢量场。
张量场：是物理学中场的一种。
假如一个空间中的每一点的属性都可 以以一个张量来代表的话，那么这个 场就是一个张量场。最常见的张量场 有广义相对论的应力能张量场